Равенки. Трансформации на идентитетот Трансформација на изрази. резиме и основни формули

„Идентитети. Трансформација на идентитетот на изразите“.

Цели на часот

Образовни:

да ги запознае и првично да ги консолидира концептите на „идентични еднакви изрази“, „идентитет“, „идентични трансформации“;

да разгледува начини за докажување идентитети, да придонесе за развој на вештини за докажување идентитети;

да се провери асимилацијата кај учениците на опфатениот материјал, да се формираат вештините на примена на изученото за согледување на новото.

Образовни : развие размислување, говор на учениците.

Образовни : да се негува трудољубивост, точност, правилно запишување на решението на вежбите.

Тип на лекција: учење нов материјал

Опрема : Мултимедијална табла, табла, учебник, работна тетратка.

П лан лекција

Организациски момент (да се насочат учениците кон часот)

Проверка на домашна задача (поправка на грешка)

орални вежби

Проучување на нов материјал (Вовед и примарна консолидација на концептите на „идентитет“, „идентични трансформации“).

Вежби за обука(Формирање на концептите на „идентитет“, „идентични трансформации“).

Сумирање на лекцијата (Сумирајте ги теоретските информации добиени во лекцијата).

Порака за домашна задача (Објаснете ја содржината на домашната задача)

За време на часовите

I. Организациски момент.

Проверка на домашната задача.

Прашања за домашна работа.

Дебрифинг на табла.

Потребна е математика
Невозможно е без неа
Ние предаваме, учиме, пријатели,
Што се сеќаваме наутро?

II . орални вежби.

Ајде да вежбаме.

Резултат на додавање. (Збир)

Колку бројки знаете? (десет)

Стоти број. (процент)

резултат на поделба? (Приватно)

Најмалиот природен број? (еден)

Дали е можно при делење природни броевидобие нула? (Не)

Колку изнесува збирот на броевите од -200 до 200? (0)

Кој е најголемиот негативен цел број. (-еден)

Со кој број не може да се подели? (0)

Резултат од множење? (работа)

Најголем двоцифрен број? (99)

Кој е производот од -200 до 200? (0)

Резултатот од одземањето. (разлика)

Колку грама во килограм? (1000)

Комутативно својство на собирање. (Збирот не се менува од преуредувањето на местата на термините)

Комутативно својство на множење. (Производот не се менува од пермутацијата на местата на факторите)

Асоцијативно својство на собирање. (За да додадете број на збирот од два броја, можете да го додадете збирот на вториот и третиот на првиот број)

Асоцијативно својство на множење. (за да го помножите производот на два броја со третиот број, можете да го помножите првиот број со производот на вториот и третиот)

дистрибутивна сопственост. (За да помножите број со збир од два броја, можете да го помножите овој број со секој член и да ги додадете резултатите)

III . Учење нов материјал .

Наставник. Најдете ја вредноста на изразите на x=5 и y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Го добивме истиот резултат. Од дистрибутивното својство произлегува дека, генерално, за која било вредност на променливите, вредностите на изразите 3(x + y) и 3x + 3y се еднакви.

Размислете сега за изразите 2x + y и 2xy. За x=1 и y=2 тие земаат еднакви вредности:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

Сепак, можете да наведете x и y вредности така што вредностите на овие изрази не се еднакви. На пример, ако x=3, y=4, тогаш

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Дефиниција: Два изрази чии вредности се еднакви за која било вредност на променливите се вели дека се идентично еднакви.

Изразите 3(x+y) и 3x+3y се идентично еднакви, но изразите 2x+y и 2xy не се идентично еднакви.

Равенството 3(x + y) и 3x + 3y е точно за сите вредности на x и y. Ваквите еднаквости се нарекуваат идентитети.

Дефиниција: еднаквоста што е вистинита за која било вредност на променливите се нарекува идентитет.

Вистинските нумерички еднаквости исто така се сметаат за идентитети. Веќе се сретнавме со идентитети. Идентите се еднаквости кои ги изразуваат основните својства на дејствата на броевите (Учениците коментираат за секое својство изговарајќи го).

a + b = b + a аб=ба (а + б) + в = а + (б + в) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Може да се дадат и други примери на идентитети (Учениците коментираат за секое својство, изговарајќи го).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

но * (- б ) = - ab

а - б = а + (- б )

(- а ) * (- б ) = ab

Дефиниција: Замената на еден израз со друг, идентично еднаков на него, се нарекува идентична трансформација или едноставно трансформација на израз.

Наставник:

Трансформации на идентитетотизразите со променливи се извршуваат врз основа на својствата на операциите на броеви.

Трансформациите на идентитетот на изразите се широко користени при пресметување на вредностите на изразите и решавање на други проблеми. Веќе требаше да извршите некои идентични трансформации, на пример, намалување на слични термини, проширување на заградите. Потсетете се на правилата за овие трансформации:

Студенти:

За да се донесат слични термини, потребно е да се додадат нивните коефициенти и да се помножи резултатот со делот за заедничка буква;

Ако има знак плус пред заградите, тогаш заградите може да се изостават, задржувајќи го знакот на секој термин затворен во загради;

Ако има знак минус пред заградите, тогаш заградите може да се изостават со менување на знакот на секој член затворен во загради.

Наставник:

Пример 1. Претставуваме слични термини

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

Кое правило го користевме?

Студент:

Го користевме правилото за намалување на слични термини. Оваа трансформација се заснова на дистрибутивното својство на множење.

Наставник:

Пример 2. Проширете ги заградите во изразот 2a + (б-3 в) = 2 а + б – 3 в

Го применивме правилото за отворање загради на кои му претходеше знакот плус.

Студент:

Извршената трансформација се заснова на асоцијативното својство на собирање.

Наставник:

Пример 3. Да ги отвориме заградите во изразот a - (4б- в) =а – 4 б + в

Го користевме правилото за отворање загради, на кои им претходи знакот минус.

На кое својство се заснова оваа трансформација?

Студент:

Извршената трансформација се заснова на дистрибутивното својство на множење и асоцијативното својство на собирање.

IV . Вежби за обука

(Пред да започнеме, правиме физичка активност

Тие брзо станаа и се насмевнаа.

Повлечено повисоко и повисоко.

Ајде, исправи ги рамената

Подигнете, спуштете.

Свртете десно, свртете лево

Седнете, стани. Седнете, стани.

И истрчаа на лице место.

(Браво, седни).

Ајде да имаме мини самостојна работа- усогласеност, И оние кои веруваат дека темата е добро разбрана - одлучува онлајн - тестирање.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

Д) 12x +12

В . Сумирање на лекцијата .

Наставникот поставува прашања, а учениците одговараат како што сакаат.

Кои два изрази се нарекуваат идентично еднакви? Наведи примери.

Која еднаквост се нарекува идентитет? Наведи пример.

Кои идентични трансформации ги знаете?

VI . Домашна работа . стр.5, најдете стари идентични изрази користејќи Интернет

Конверзијата на идентитетот е работа што ја правиме со нумерички и азбучни изрази, како и со изрази што содржат променливи. Ние ги извршуваме сите овие трансформации за да го доведеме оригиналниот израз до форма која ќе биде погодна за решавање на проблемот. Ќе ги разгледаме главните типови на идентични трансформации во оваа тема.

Трансформација на идентитет на израз. Што е тоа?

За прв пат се среќаваме со концептот на идентични трансформирани ние на часовите по алгебра во 7 одделение. Потоа прво се запознаваме со концептот на идентично еднакви изрази. Ајде да се справиме со концептите и дефинициите за да ја олесниме асимилацијата на темата.

Дефиниција 1

Трансформација на идентитет на изразсе дејствија што се вршат за замена на оригиналниот израз со израз кој ќе биде идентично еднаков на оригиналниот.

Често оваа дефиниција се користи во скратена форма, во која зборот „идентични“ е испуштен. Се претпоставува дека во секој случај трансформацијата на изразот ја вршиме на таков начин што ќе добиеме израз идентичен на оригиналниот и тоа не треба посебно да се нагласува.

Илустрирај оваа дефиницијапримери.

Пример 1

Ако го замениме изразот x + 3 - 2до идентично еднаков израз x+1, потоа ја извршуваме идентичната трансформација на изразот x + 3 - 2.

Пример 2

Замена на изразот 2 а 6 со израз а 3е идентитетска трансформација, додека замена на изразот xдо изразот x2не е идентична трансформација, бидејќи изразите xИ x2не се идентично еднакви.

Ви го обрнуваме вниманието на формата на пишување изрази при извршување на идентични трансформации. Оригиналниот израз и добиениот израз обично го пишуваме како еднаквост. Значи, пишувањето x + 1 + 2 = x + 3 значи дека изразот x + 1 + 2 е намален во формата x + 3 .

Секвенцијалното извршување на дејства нè води до синџир на еднаквости, што е неколку последователни идентични трансформации. Значи, ознаката x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ја разбираме како последователна имплементација на две трансформации: прво, изразот x + 1 + 2 се сведе на формата x + 3 и се сведе на формата 3 + x.

Трансформации на идентитет и ОДЗ

Голем број на изрази што почнуваме да ги проучуваме во одделение 8 немаат смисла за никакви вредности на променливи. Спроведувањето на идентични трансформации во овие случаи бара од нас да обрнеме внимание на регионот на дозволените вредности на променливите (ODV). Вршењето идентични трансформации може да го остави ODZ непроменет или да го стесни.

Пример 3

При извршување на премин од изразот a + (−b)до изразот а-бопсег на дозволени вредности на променливи аИ бостанува ист.

Пример 4

Премин од израз x во израз x 2 xдоведува до стеснување на опсегот на прифатливи вредности на променливата x од множеството на сите реални броеви до множеството на сите реални броеви, од кои е исклучена нулата.

Пример 5

Трансформација на идентитет на израз x 2 xизразот x води до проширување на опсегот на валидни вредности на променливата x од множеството на сите реални броеви, освен нула до множеството на сите реални броеви.

Стеснувањето или проширувањето на опсегот на дозволените вредности на променливите при извршување на идентични трансформации е важно за решавање на проблемите, бидејќи може да влијае на точноста на пресметките и да доведе до грешки.

Основни идентитетски трансформации

Ајде сега да видиме што се идентични трансформации и како се вршат. Да ги издвоиме оние типови на идентични трансформации со кои најчесто треба да се занимаваме во главната група.

Покрај основните идентитетски трансформации, постојат голем број трансформации кои се однесуваат на изрази од одреден тип. За дропки, тоа се методи на намалување и намалување на нов именител. За изразите со корени и моќи, сите дејства што се вршат врз основа на својствата на корените и моќите. За логаритамски изрази, дејства кои се вршат врз основа на својствата на логаритмите. За тригонометриски изразисите дејства со користење тригонометриски формули. Сите овие конкретни трансформации се детално разгледани во посебни теми што може да се најдат на нашиот ресурс. Поради оваа причина, ние нема да се задржиме на нив во оваа статија.

Да продолжиме со разгледување на главните идентични трансформации.

Преуредување на поими, фактори

Да почнеме со преуредување на термините. Најчесто се занимаваме со оваа идентична трансформација. И следнава изјава може да се смета за главно правило овде: во која било сума, преуредувањето на термините на места не влијае на резултатот.

Ова правило се заснова на комутативните и асоцијативните својства на собирањето. Овие својства ни овозможуваат да ги преуредиме поимите на места и во исто време да добиеме изрази кои се идентично еднакви со оригиналните. Затоа и преуредувањето на поимите на места во збирот е идентична трансформација.

Пример 6

Имаме збир од три члена 3 + 5 + 7 . Ако ги замениме поимите 3 и 5, тогаш изразот ќе добие форма 5 + 3 + 7. Постојат неколку опции за преуредување на термините во овој случај. Сите тие доведуваат до добивање изрази кои се идентично еднакви на оригиналниот.

Не само броевите, туку и изразите можат да дејствуваат како термини во збирот. Тие, исто како и бројките, може да се преуредат без да влијаат на конечниот резултат од пресметките.

Пример 7

Во збир од три члена 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 и - 12 a од формата 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) термините може да се преуредат, на пример, вака (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . За возврат, можете да ги преуредите членовите во именителот на дропката 1 a + b, додека дропката ќе има форма 1 b + a. И изразот под знакот на коренот а 2 + 2 а + 5е исто така збир во кој може да се заменат термините.

На ист начин како и поимите, во оригиналните изрази може да се заменат факторите и да се добијат идентично точни равенки. Оваа акција е регулирана со следново правило:

Дефиниција 2

Во производот, преуредувањето на факторите на места не влијае на резултатот од пресметката.

Ова правило се заснова на комутативните и асоцијативните својства на множењето, кои ја потврдуваат исправноста на идентичната трансформација.

Пример 8

Работа 3 5 7пермутацијата на факторите може да се претстави во една од следниве форми: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 или 3 7 5.

Пример 9

Пермутирајќи ги факторите во производот x + 1 x 2 - x + 1 x ќе даде x 2 - x + 1 x x + 1

Проширување на заградата

Заградите може да содржат записи од нумерички изрази и изрази со променливи. Овие изрази може да се трансформираат во идентично еднакви изрази, во кои воопшто нема да има загради или ќе ги има помалку отколку во оригиналните изрази. Овој начин на конвертирање на изразите се нарекува проширување на загради.

Пример 10

Ајде да извршиме дејства со загради во израз на формата 3 + x − 1 xза да се добие идентично вистинскиот израз 3 + x − 1 x.

Изразот 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x може да се претвори во идентично еднаков израз без загради 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x.

Детално ги разгледавме правилата за конвертирање изрази со загради во темата „Проширување на заградата“, која е објавена на нашиот ресурс.

Групирање поими, фактори

Во случаи кога имаме работа со три или повеќе поими, можеме да прибегнеме кон таков тип на идентични трансформации како групирање на поими. Под овој метод на трансформација се подразбира соединување на неколку поими во група со нивно преуредување и ставање во загради.

При групирање, термините се заменуваат на таков начин што групираните поими се наоѓаат во записот за изразување еден до друг. После тоа, тие можат да бидат затворени во загради.

Пример 11

Земете го изразот 5 + 7 + 1 . Ако го групираме првиот член со третиот, добиваме (5 + 1) + 7 .

Групирањето на фактори се врши слично како и групирањето на поими.

Пример 12

Во работата 2 3 4 5можно е да се групира првиот фактор со третиот, а вториот фактор со четвртиот, во овој случај доаѓаме до изразот (2 4) (3 5). И ако ги групираме првиот, вториот и четвртиот фактор, ќе го добиеме изразот (2 3 5) 4.

Поимите и факторите што се групирани можат да се претстават и со прости броеви и со изрази. Правилата за групирање беа детално дискутирани во темата „Термини и фактори за групирање“.

Замена на разликите со суми, делумни производи и обратно

Замената на разликите со суми стана возможна благодарение на нашето запознавање со спротивни броеви. Сега одземање од број аброеви бможе да се гледа како додаток на бројот аброеви −б. Еднаквост a − b = a + (− b)може да се смета за праведно и врз основа на тоа да се изврши замена на разликите со суми.

Пример 13

Земете го изразот 4 + 3 − 2 , во која разликата на броевите 3 − 2 можеме да напишеме како збир 3 + (− 2) . Земете 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Сите разлики во изразувањето 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2може да се замени со суми како 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Можеме да продолжиме со суми од какви било разлики. Слично на тоа, можеме да направиме обратна замена.

Замената на делењето со множење со реципроцитет на делителот е овозможена со концептот на реципрочни броеви. Оваа трансформација може да се напише како a: b = a (b − 1).

Ова правило беше основа на правилото за делење на обични дропки.

Пример 15

Приватен 1 2: 3 5 може да се замени со производ на формата 1 2 5 3.

Слично на тоа, по аналогија, делењето може да се замени со множење.

Пример 16

Во случајот со изразот 1+5:x:(x+3)замени поделбата со xможе да се помножи со 1 x. Поделба по x + 3можеме да замениме со множење со 1 x + 3. Трансформацијата ни овозможува да добиеме израз кој е идентичен со оригиналниот: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Заменувањето на множењето со делење се врши според шемата a b = a: (b − 1).

Пример 17

Во изразот 5 x x 2 + 1 - 3, множењето може да се замени со делење како 5: x 2 + 1 x - 3.

Вршење дејства со броеви

Вршењето операции со броеви подлежи на правилото за редослед на операции. Прво, операциите се вршат со моќи на броеви и корени на броеви. После тоа, ги заменуваме логаритмите, тригонометриските и другите функции со нивните вредности. Потоа се вршат дејствата во загради. И тогаш веќе можете да ги извршите сите други дејства од лево кон десно. Важно е да се запамети дека множењето и делењето се вршат пред собирање и одземање.

Операциите со броеви ви овозможуваат да го трансформирате оригиналниот израз во идентичен, еднаков на него.

Пример 18

Да го трансформираме изразот 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x со извршување на сите можни операции со броеви.

Решение

Прво, да го погледнеме степенот 2 3 и коренот 4 и пресметај ги нивните вредности: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .

Заменете ги добиените вредности во оригиналниот израз и добијте: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Сега да ги направиме заградите: 8 − 1 = 7 . И да преминеме на изразот 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Треба само да го направиме множењето 3 И 7 . Добиваме: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Одговор: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

На операциите со броеви може да им претходат други видови трансформации на идентитетот, како што се групирање броеви или проширување на загради.

Пример 19

Земете го изразот 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Решение

Најпрво ќе го смениме количникот во загради 6: 3 на неговото значење 2 . Добиваме: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Ајде да ги прошириме заградите: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Да ги групираме нумеричките фактори во производот, како и поимите што се броеви: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Ајде да ги направиме заградите: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Одговор:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ако работиме со нумерички изрази, тогаш целта на нашата работа ќе биде да ја најдеме вредноста на изразот. Ако ги трансформираме изразите со променливи, тогаш целта на нашите активности ќе биде да го поедноставиме изразот.

Заграда на заедничкиот фактор

Во случаи кога термините во изразот имаат ист фактор, тогаш овој заеднички фактор можеме да го извадиме од загради. За да го направите ова, прво треба да го претставиме оригиналниот израз како производ на заеднички фактор и израз во загради, кој се состои од оригинални термини без заеднички фактор.

Пример 20

Нумерички 2 7 + 2 3можеме да го извадиме заедничкиот фактор 2 надвор од заградите и да добијат идентично точен израз на формата 2 (7 + 3).

Можете да ја освежите меморијата на правилата за ставање на заедничкиот фактор надвор од загради во соодветниот дел од нашиот ресурс. Материјалот детално ги разгледува правилата за вадење на заедничкиот фактор од загради и дава бројни примери.

Намалување на слични термини

Сега да преминеме на суми што содржат слични термини. Овде се можни две опции: суми што ги содржат истите членови и суми чии членови се разликуваат по нумерички коефициент. Операциите со збирови кои содржат слични поими се нарекуваат намалување на слични поими. Се изведува на следниов начин: го ставаме делот за заедничка буква надвор од загради и го пресметуваме збирот на нумеричките коефициенти во загради.

Пример 21

Размислете за изразот 1 + 4 x − 2 x. Можеме да го извадиме буквалниот дел од x од загради и да го добиеме изразот 1 + x (4 − 2). Да ја пресметаме вредноста на изразот во загради и да го добиеме збирот од формата 1 + x · 2 .

Замена на броеви и изрази со идентично еднакви изрази

Броевите и изразите што го сочинуваат оригиналниот израз може да се заменат со изрази кои се идентично еднакви на нив. Ваквата трансформација на оригиналниот израз доведува до израз кој е идентично еднаков на него.

Пример 22 Пример 23

Размислете за изразот 1 + а5, во кој можеме да го замениме степенот a 5 со производ идентично еднаков на него, на пример, од формата а 4. Ова ќе ни го даде изразот 1 + а 4.

Извршената трансформација е вештачка. Има смисла само во подготовка за други трансформации.

Пример 24

Размислете за трансформацијата на збирот 4 x 3 + 2 x 2. Еве го терминот 4x3можеме да претставуваме како производ 2 x 2 x 2 x. Како резултат на тоа, оригиналниот израз добива форма 2 x 2 2 x + 2 x 2. Сега можеме да го изолираме заедничкиот фактор 2x2и извадете го од заградите: 2 x 2 (2 x + 1).

Собирање и одземање на истиот број

Собирањето и одземањето на ист број или израз во исто време е техника на трансформација на вештачки израз.

Пример 25

Размислете за изразот x 2 + 2 x. Можеме да додадеме или одземеме еден од него, што ќе ни овозможи последователно да извршиме друга идентична трансформација - да го избереме квадратот на биномот: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Нека се дадени два алгебарски изрази:

Ајде да направиме табела со вредностите на секој од овие изрази за различни нумерички вредности на буквата x.

Гледаме дека за сите оние вредности што беа дадени на буквата x, вредностите на двата израза се покажаа еднакви. Истото ќе важи и за која било друга вредност на x.

За да го потврдиме ова, го трансформираме првиот израз. Врз основа на законот за распределба, пишуваме:

Откако ги извршивме наведените операции на броевите, добиваме:

Значи, првиот израз, по неговото поедноставување, се покажа дека е сосема ист како вториот израз.

Сега е јасно дека за која било вредност на x, вредностите на двата израза се еднакви.

Изразите чии вредности се еднакви за која било вредност на буквите вклучени во нив се нарекуваат идентично еднакви или идентични.

Оттука, тие се идентични изрази.

Да направиме една важна забелешка. Да земеме изрази:

Откако составивме табела слична на претходната, ќе се погрижиме двата изрази, за која било вредност на x, освен за да имаат еднакви нумерички вредности. Само кога вториот израз е еднаков на 6, а првиот го губи своето значење, бидејќи именителот е нула. (Потсетете се дека не можете да делите со нула.) Можеме ли да кажеме дека овие изрази се идентични?

Претходно се договоривме дека секој израз ќе се разгледува само за дозволените вредности на буквите, односно за оние вредности за кои изразот не го губи своето значење. Ова значи дека овде, кога споредуваме два изрази, ги земаме предвид само оние вредности на буквите што важат за двата израза. Затоа, мора да ја исклучиме вредноста. И бидејќи за сите други вредности на x двата изрази имаат иста нумеричка вредност, имаме право да ги сметаме за идентични.

Врз основа на кажаното, ја даваме следната дефиниција за идентични изрази:

1. Изразите се нарекуваат идентични ако имаат исти нумерички вредности за сите дозволени вредности на буквите вклучени во нив.

Ако поврземе два идентични изрази со знак за еднаквост, тогаш добиваме идентитет. Значи:

2. Идентитетот е еднаквост што важи за сите дозволени вредности на буквите вклучени во него.

Идентитети веќе сме се сретнале и порано. Така, на пример, сите еднаквости се идентитети, со кои ги изразивме основните закони на собирање и множење.

На пример, еднаквости кои го изразуваат комутативниот закон на собирање

и асоцијативниот закон за множење

важат за сите вредности на буквите. Оттука, овие еднаквости се идентитети.

Сите вистински аритметички еднаквости исто така се сметаат за идентитети, на пример:

Во алгебрата, често треба да се замени изразот со друг што е идентичен со него. Нека, на пример, се бара да се најде вредноста на изразот

Многу ќе ги олесниме пресметките доколку дадениот израз го замениме со израз кој е идентичен на него. Врз основа на законот за распределба, можеме да напишеме:

Но, бројките во загради се собираат до 100. Значи, имаме идентитет:

Заменувајќи го 6.53 наместо a на десната страна од него, веднаш (во умот) ја наоѓаме бројната вредност (653) на овој израз.

Замена на еден израз со друг, идентичен на него, се нарекува идентична трансформација на овој израз.

Потсетете се дека секој алгебарски израз за какви било дозволени вредности на буквите е одреден

број. Од ова произлегува дека сите закони и својства на аритметичките операции кои беа дадени во претходното поглавје се применливи за алгебарските изрази. Значи, примената на законите и својствата на аритметичките операции го трансформира даден алгебарски израз во израз кој е идентичен со него.

Заедно со проучувањето на операциите и нивните својства во алгебрата, тие проучуваат такви концепти како израз, равенка, нееднаквост . Почетното запознавање со нив се случува во почетниот тек на математиката. Тие се воведуваат, по правило, без строги дефиниции, најчесто привидно, што бара од наставникот не само да биде многу внимателен во употребата на термините што ги означуваат овие поими, туку и да знае одреден број нивни својства. Затоа, главната задача што ја поставуваме кога започнуваме да го проучуваме материјалот од овој став е да ги разјасниме и продлабочиме знаењата за изразите (нумерички и со променливи), нумеричките еднаквости и нумеричките неравенки, равенките и неравенките.

Проучувањето на овие концепти е поврзано со употребата на математички јазик, се однесува на вештачки јазици кои се создаваат и развиваат заедно со одредена наука. Како и секој друг математички јазик, тој има своја азбука. Во нашиот курс тоа ќе биде претставено делумно, поради потребата да се посвети поголемо внимание на односот меѓу алгебрата и аритметиката. Оваа азбука вклучува:

1) броеви 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; со нивна помош, броевите се пишуваат според посебни правила;

2) знаци на операции +, -, , :;

3) знаци на врска<, >, =, М;

4) мали букви од латинската азбука, тие се користат за означување на броеви;

5) загради (круг, кадрава, итн.), Тие се нарекуваат технички знаци.

Со помош на оваа азбука, зборовите се формираат во алгебрата, нарекувајќи ги изрази, а речениците се добиваат од зборовите - нумерички еднаквости, нумерички неравенки, равенки, неравенки со променливи.

Како што знаете, записи 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 се викаат нумерички изрази. Тие се формираат од бројки, акциони знаци, загради. Ако ги извршиме сите дејства наведени во изразот, добиваме повикан број вредноста на нумеричкиот израз . Значи, вредноста на нумеричкиот израз е 3 × 2 - 4 е еднакво на 2.

Постојат нумерички изрази чии вредности не можат да се најдат. Се вели дека се такви изрази нема смисла .

На пример, изразот 8: (4 - 4) нема смисла, бидејќи неговата вредност не може да се најде: 4 - 4 = 0, а делењето со нула е невозможно. Изразот 7-9, исто така, нема смисла ако го земеме во предвид множеството природни броеви, бидејќи вредностите на изразот 7-9 не можат да се најдат на ова множество.

Размислете за ознаката 2а + 3. Се формира од броеви, знаци за акција и буквата a. Ако наместо а замениме броеви, тогаш ќе се добијат различни нумерички изрази:

ако a = 7, тогаш 2 × 7 + 3;

ако a = 0, тогаш 2 × 0 + 3;

ако a = - 4, тогаш 2 × (- 4) + 3.

Во ознаката 2a + 3 се нарекува таква буква a променлива , и самиот запис 2a + 3 - променлив израз.

Променливата во математиката, по правило, се означува со која било мала буква од латинската азбука. ВО основно училиштеза означување на променлива, покрај буквите, се користат и други знаци, на пример, œ. Тогаш изразот со променлива има форма: 2ל + 3.

Секој израз со променлива одговара на множество од броеви, кои заменуваат што резултира со нумерички израз кој има смисла. Овој сет се нарекува опсег на изразување .

На пример,доменот на изразот 5: (x - 7) се состои од сите реални броеви, освен бројот 7, бидејќи за x = 7 изразот 5: (7 - 7) нема значење.

Во математиката се сметаат изрази кои содржат една, две или повеќе променливи.

На пример, 2a + 3 е израз со една променлива и (3x + 8y) × 2 е израз со три променливи. За да се добие нумерички израз од израз со три променливи, наместо секоја променлива, заменете ги броевите што припаѓаат на опсегот на изразот.

Значи, дознавме како се формираат нумерички изрази и изрази со променливи од азбуката на математичкиот јазик. Ако направиме аналогија со рускиот јазик, тогаш изразите се зборовите на математичкиот јазик.

Но, користејќи ја азбуката на математичкиот јазик, можно е да се формираат такви, на пример, записи: (3 + 2)) - × 12 или 3x - y: +) 8, што не може да се нарече ниту нумерички израз ниту израз со променлива. Овие примери укажуваат дека описот - од кој се формираат знаците на азбуката на математичките јазични изрази, нумерички и со променливи, не е дефиниција на овие поими. Да дадеме дефиниција за нумерички израз (израз со променливи е дефиниран слично).

Дефиниција.Ако f и q се нумерички изрази, тогаш (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) се нумерички изрази. Секој број се смета за нумерички израз.

Ако точно се следи оваа дефиниција, тогаш ќе треба да се напише премногу загради, на пример, (7) + (5) или (6): (2). За да се скрати ознаката, се договоривме да не пишуваме загради ако се додадат или одземат неколку изрази, а овие операции се вршат од лево кон десно. На ист начин, заградите не се пишуваат кога се множат или делат неколку броеви, а овие операции се вршат по редослед од лево кон десно.

На пример, пишуваат вака: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 или 120:15-7:12.

Дополнително, се договоривме прво да ги извршиме дејствата од втората фаза (множење и делење), а потоа дејствата од првата фаза (собирање и одземање). Затоа, изразот (12-4:3) + (5-8:2-7) е напишан на следниов начин: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Задача.Најдете ја вредноста на изразот 3x (x - 2) + 4 (x - 2) за x = 6.

Решение

1 начин. Заменете го бројот 6 наместо променлива во овој израз: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). За да ја пронајдеме вредноста на добиениот нумерички израз, ги извршуваме сите посочени дејства: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Затоа , кога X= 6 вредноста на изразот 3x(x-2) + 4(x-2) е 88.

2 начин. Пред да го замениме бројот 6 во овој израз, да го поедноставиме: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). И потоа, замена во добиениот израз наместо Xброј 6, направете го следново: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Да обрнеме внимание на следново: и во првиот метод на решавање на проблемот и во вториот, еден израз го заменивме со друг.

На пример, изразот 18 × 4 + 4 × 4 беше заменет со изразот 72 + 16, а изразот 3x (x - 2) + 4 (x - 2) - со изразот (X - 2) (3x + 4), и овие замени водат до истиот резултат. Во математиката, опишувајќи го решението на овој проблем, тие велат дека сме настапиле идентични трансформации изрази.

Дефиниција.За два изрази се вели дека се идентично еднакви ако, за која било вредност на променливите од доменот на изразите, нивните соодветни вредности се еднакви.

Примери за идентично еднакви изрази се изразите 5(x + 2) и 5x+ 10, бидејќи за какви било реални вредности Xнивните вредности се еднакви.

Ако два изрази кои се идентично еднакви на одредено множество се споени со знак за еднаквост, тогаш добиваме реченица наречена идентитет на овој сет.

На пример, 5(x + 2) = 5x + 10 е идентитет на множеството реални броеви, бидејќи за сите реални броеви вредностите на изразот 5(x + 2) и 5x + 10 се исти. Користејќи ја општата нотација на квантификатор, овој идентитет може да се запише на следниов начин: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Вистинските нумерички еднаквости исто така се сметаат за идентитети.

Се нарекува замена на израз со друг што е идентично еднаков на него во некое множество идентичната трансформација на дадениот израз на ова множество.

Значи, заменувајќи го изразот 5(x + 2) со изразот 5x + 10, кој е идентично еднаков на него, ја извршивме идентичната трансформација на првиот израз. Но, како, со оглед на два изрази, да откриеме дали тие се идентично еднакви или не? Најдете ги соодветните вредности на изразите со замена на одредени броеви за променливи? Долго и не секогаш можно. Но, тогаш кои се правилата што мора да се следат при извршување на идентични трансформации на изрази? Има многу од овие правила, меѓу нив се и својствата на алгебарските операции.

Задача.Факторирајте го изразот ax - bx + ab - b 2 .

Решение.Ајде да ги групираме членовите на овој израз на два (првиот со вториот, третиот со четвртиот): секира - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Оваа трансформација е можна врз основа на асоцијативното својство на собирање на реални броеви.

Го вадиме заедничкиот фактор во добиениот израз од секоја заграда: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - оваа трансформација е можна врз основа на дистрибутивната својство на множење во однос на одземањето на реалните броеви.

Во добиениот израз, термините имаат заеднички фактор, го вадиме од загради: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Основата на извршената трансформација е дистрибутивното својство на множење во однос на собирањето.

Значи, секира - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

Во почетниот тек на математиката, по правило, се вршат само идентични трансформации на нумерички изрази. Теоретска основаВаквите трансформации се својствата на собирање и множење, различни правила: додавање збир на број, број на збир, одземање број од збир итн.

На пример, за да го пронајдете производот од 35 × 4, треба да извршите трансформации: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Извршените трансформации се засноваат на: дистрибутивното својство на множење во однос на собирањето; принципот на запишување броеви во декадниот броен систем (35 = 30 + 5); правила за множење и собирање на природни броеви.

Броевите и изразите што го сочинуваат оригиналниот израз може да се заменат со изрази кои се идентично еднакви на нив. Ваквата трансформација на оригиналниот израз доведува до израз кој е идентично еднаков на него.

На пример, во изразот 3+x, бројот 3 може да се замени со збирот 1+2, што резултира со изразот (1+2)+x, кој е идентично еднаков на оригиналниот израз. Друг пример: во изразот 1+a 5 степенот на a 5 може да се замени со производ идентично еднаков на него, на пример, од формата a·a 4 . Ова ќе ни го даде изразот 1+a·a 4 .

Оваа трансформација е несомнено вештачка и обично е подготовка за некоја понатамошна трансформација. На пример, во збирот 4·x 3 +2·x 2, земајќи ги предвид својствата на степенот, поимот 4·x 3 може да се претстави како производ 2·x 2 ·2·x. По таквата трансформација, оригиналниот израз ќе добие форма 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очигледно, членовите во добиениот збир имаат заеднички фактор 2 x 2, така што можеме да ја извршиме следната трансформација - загради. После него ќе дојдеме до изразот: 2 x 2 (2 x+1) .

Собирање и одземање на истиот број

Друго вештачка трансформацијаизраз е собирање и истовремено одземање на ист број или израз. Таквата трансформација е идентична, бидејќи е, всушност, еквивалентна на додавање нула, а додавањето нула не ја менува вредноста.

Размислете за пример. Да го земеме изразот x 2 +2 x . Ако додадете еден на него и одземете еден, тогаш ова ќе ви овозможи да извршите друга идентична трансформација во иднина - изберете го квадратот на биномот: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 7 клетки. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; ед. С.А. Телјаковски. - 17-ти ед. - М. : Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:тетратка за 8 клетки. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; ед. С.А. Телјаковски. - 16-ти ед. - М. : Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 7-мо одделение. Во 14 часот, Дел 1. Учебник за студенти на образовни институции / А. Г. Мордкович. - 17. изд., додај. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 стр.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.