Формули за фрлање Arctg. Тригонометрија. Инверзни тригонометриски функции. Инверзни графикони на тригонометриските функции

Дефиниција и нотација

Аркин (y \u003d arcsin x) е инверзна синусна функција (x \u003d грев y -1 ≤ x ≤ 1 и множеството вредности -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
грев (лак x) \u003d x ;
лак (грев x) \u003d x .

Аркасинот понекогаш се означува како што следува:
.

График на функции за аркин

График на функции y \u003d arcsin x

Заплетот за лакот се добива од синус со замена на оските на апсцисата и ординираните оски. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен со интервалот над кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот.

Аркозин, аркос

Дефиниција и нотација

Аркозин (y \u003d лакови x) е функција обратна на косинусот (x \u003d кос) Има обем -1 ≤ x ≤ 1 и многу значења 0 ≤ y ≤ π.
cos (лакови x) \u003d x ;
лакови (кос x) \u003d x .

Аркакозин понекогаш се означува како што следува:
.

График на функции на аркозин

График на функции y \u003d лакови x

Заплетот за аркозин се добива од косинусниот заговор со замена на оските на апсцисата и ординираните оски. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен со интервалот над кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на аркозин.

Паритет

Функцијата арцин е непарна:
арцин (- x) \u003d лак (-син лак x) \u003d арцин (грев (-арцин x)) \u003d - лак x

Инверзната косинусна функција не е парна или непарна:
лакови (- x) \u003d лакови (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - лакови x ≠ ± лакови x

Својства - екстрема, зголемување, намалување

Инверзниот синус и обратната косинусна функција се континуирани во однос на нивниот домен на дефиниција (видете го доказот за континуитет). Главните својства на лакот и лакот се претставени во табелата.

	y \u003d arcsin x	y \u003d лакови x
Опсег и континуитет	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Опсег на вредности
Зголеми Намали	се зголемува монотоно	се намалува монотоно
Највисоки
Минималните
Нули, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Точки на пресек со оската y, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Табела за арксин и аркозин

Оваа табела ги покажува вредностите на аркини и арцини, во степени и радијани, за некои вредности на аргументот.

x	arcsin x		лакови x
	град	среќен	град	среќен
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Исто така види: Извод на формули за инверзни тригонометриски функции

Формули за збир и разлика

кај или

кај и

кај и

кај или

кај и

кај и

во

во

во

во

Изрази на логаритам, сложени броеви

Исто така види: Изведување на формули

Изрази во однос на хиперболичните функции

Деривати

;
.
Погледнете деривати на деривати „Арксин“ и „Аркозин“ \u003e\u003e\u003e

Деривати од повисок ред:
,
каде е полином на степен. Тоа е определено со формулите:
;
;
.

Видете Извод на деривати од повисок ред на арцин и арцин \u003e\u003e\u003e

Интеграли

Замена x \u003d грев т... Ние се интегрираме по делови, имајќи предвид дека -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Да го изразиме инверзниот косинус во смисла на лакот:
.

Проширување на серии

За | x |< 1 се случува следното распаѓање:
;
.

Инверзни функции

Инверзниот инверзен синус и обратниот косинус се синус и косинус, соодветно.

Следните формули се валидни низ целиот домен:
грев (лак x) \u003d x
cos (лакови x) \u003d x .

Следните формули се валидни само за множеството вредности на лакот и лакот:
лак (грев x) \u003d x во
лакови (кос x) \u003d x во.

Користена литература:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти на технички институции, „Лан“, 2009 година.

Исто така види:

Инверзни тригонометриски функции се математички функции кои се обратни тригонометриски функции.

Функција y \u003d arcsin (x)

Арцината на бројот α е број α од интервалот [-π / 2; π / 2], чиј синус е еднаков на α.
График на функции
Функцијата y \u003d sin\u2061 (x) на сегментот [-π / 2; π / 2] е строго зголемена и континуирана; оттука, таа има обратна функција, строго зголемена и континуирана.
Инверзната функција за функцијата y \u003d sin\u2061 (x), каде x ∈ [-π / 2; π / 2], се нарекува лак и се означува со y \u003d арцин (x), каде x ∈ [-1; 1].
Значи, според дефиницијата за инверзната функција, доменот на дефиниција на арцината е сегментот [-1; 1], а множеството вредности е сегментот [-π / 2; π / 2].
Имајте на ум дека графикот на функцијата y \u003d лак (x), каде x ∈ [-1; 1]. Е симетричен со графикот на функцијата y \u003d sin (\u2061x), каде x ∈ [-π / 2; π / 2], во однос на симетралот на координатните агли првиот и третиот квартал.

Опсег на функции y \u003d лак (x).

Пример # 1.

Најдете арцин (1/2)?

Бидејќи опсегот на вредности на функцијата arcsin (x) припаѓа на интервалот [-π / 2; π / 2], соодветна е само вредноста на π / 6. Следствено, arcsin (1/2) \u003d π / 6.
Одговор: π / 6

Пример # 2.
Најдете arcsin (- (√3) / 2)?

Бидејќи опсегот на вредности arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2], соодветна е само вредноста -π / 3. Затоа, arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

Функција y \u003d лакови (x)

Инверзна косинус на бројот α е број α од интервал чиј косинус е еднаков на α.

График на функции

Функцијата y \u003d cos (\u2061x) на еден сегмент е строго опаѓачка и континуирана; оттука, таа има обратна функција, строго опаѓачка и континуирана.
Се повикува инверзна функција за функцијата y \u003d cos\u2061x, каде x инверзна косинус и се означува со y \u003d arccos (x), каде што х ∈ [-1; 1].
Значи, според дефиницијата за инверзна функција, доменот на дефиниција на аркозин е сегментот [-1; 1], а множеството вредности е сегментот.
Забележете дека графикот на функцијата y \u003d лакови (x), каде x ∈ [-1; 1], е симетричен со графикот на функцијата y \u003d cos (\u2061x), каде x ∈, во однос на симетралот на координатните агли на првиот и третиот квартал.

Доменот на функцијата y \u003d arccos (x).

Пример број 3.

Најдете лакови (1/2)?

Бидејќи опсегот на вредности е лакови (x) х∈, соодветна е само вредноста π / 3; затоа, лаковите (1/2) \u003d π / 3.
Пример бр. 4.
Најдете лакови (- (√2) / 2)?

Бидејќи опсегот на вредности на функцијата arccos (x) припаѓа на интервалот, соодветна е само вредноста 3π / 4; затоа, arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

Одговор: 3π / 4

Функција y \u003d арктан (x)

Аркантангата на бројот α е број α од интервалот [-π / 2; π / 2], чија тангента е еднаква на α.

График на функции

Тангентната функција е континуирана и строго се зголемува на интервалот (-π / 2; π / 2); оттука, има обратна функција, која е континуирана и строго се зголемува.
Инверзна функција за функцијата y \u003d tg\u2061 (x), каде што х∈ (-π / 2; π / 2); се нарекува аркантангента и се означува со y \u003d арктан (x), каде што х∈R.
Според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефинирање на аркантангената е интервалот (-∞; + ∞), а множеството вредности е интервалот
(-π / 2; π / 2).
Забележете дека графикот на функцијата y \u003d арктан (x), каде што х∈R, е симетричен со графикот на функцијата y \u003d tg\u2061x, каде што х ∈ (-π / 2; π / 2), во однос на симетралот на координатните агли на првиот и третиот квартал.

Опсег на функции y \u003d арктан (x).

Пример # 5?

Пронајдете арктан ((√3) / 3).

Бидејќи опсегот на вредности arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), соодветна е само вредноста π / 6. Според тоа, arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
Пример # 6.
Најдете arctg (-1)?

Бидејќи опсегот на вредности arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), соодветна е само вредноста -π / 4. Затоа, arctg (-1) \u003d - π / 4.

Функција y \u003d arcctg (x)

Аркотангентата на бројот α е број α од интервалот (0; π), чиј котангент е α.

График на функции

На интервалот (0; π), функцијата на котангент строго се намалува; згора на тоа, тој е континуиран во секоја точка од овој интервал; затоа, на интервалот (0; π), оваа функција има обратна функција, што е строго опаѓачка и континуирана.
Инверзната функција за функцијата y \u003d ctg (x), каде што х ∈ (0; π), се нарекува лак котангент и се означува со y \u003d arcctg (x), каде што х∈R.
Според дефиницијата на инверзната функција, доменот на дефинирање на лакот котангент е R, а множеството вредности е интервалот (0; π). Графикот на функцијата y \u003d arcctg (x), каде што х∈R е симетричен со графикот на функцијата y \u003d ctg (x) х∈ (0 ; π), во однос на симетралот на координатните агли на првиот и третиот квартал.

Опсег на функции y \u003d arcctg (x).

Пример # 7.
Најдете arcctg ((√3) / 3)?

Бидејќи опсегот на вредности е arcctg (x) х ∈ (0; π), погоден е само π / 3; затоа, лаковите ((√3) / 3) \u003d π / 3.

Пример # 8.
Најдете arcctg (- (√3) / 3)?

Бидејќи опсегот на вредности е arcctg (x) х∈ (0; π), соодветна е само вредноста 2π / 3; затоа, arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

Уредници: Агеева ubубов Александровна, Гаврилина Ана Викторовна

На оваа лекција ќе ги разгледаме карактеристиките инверзни функции и повторете инверзни тригонометриски функции... Карактеристиките на сите главни инверзни тригонометриски функции ќе бидат разгледани одделно: арцин, аркозин, аркангент и аркотанџент.

Оваа лекција ќе ви помогне да се подготвите за еден од видовите задачи НА 7 и Ц1.

Подготовка за испит по математика

Експеримент

Лекција 9. Инверзни тригонометриски функции.

Теорија

Резиме на лекцијата

Да се \u200b\u200bпотсетиме кога ќе наидеме на таков концепт како обратна функција. На пример, разгледајте ја функцијата за квадрирање. Да претпоставиме дека имаме квадратна просторија со страни од 2 метри и сакаме да ја пресметаме нејзината површина. За да го направите ова, користејќи ја формулата за плоштадот на плоштадот, ги креваме двете на квадрат и како резултат добиваме 4 м 2. Сега да го замислиме обратниот проблем: ја знаеме површината на квадратна просторија и сакаме да ги најдеме должините на нејзините страни. Ако знаеме дека површината е сè уште иста 4 м 2, тогаш ќе извршиме обратна акција на квадрат - извлекувајќи ја аритметиката квадратен корен, што ќе ни даде вредност од 2 m.

Така, за функцијата квадрирање на број, инверзната функција е да се извлече аритметичкиот квадратен корен.

Поточно, во горниот пример, немавме проблеми со пресметување на страната на просторијата, оттогаш разбираме дека ова е позитивна бројка. Меѓутоа, ако се отцепиме од овој случај и го разгледаме проблемот на поопшт начин: „Пресметај број чиј квадрат е четири“, ќе се соочиме со проблем - има два такви броја. Овие се 2 и -2 затоа што исто така е еднакво на четири. Излегува дека инверзниот проблем во општ случај е решен двосмислено, а дејството за одредување на бројот што е на квадрат ни го даде бројот што го знаеме? има два резултати. Погодно е да се прикаже на табелата:

И ова значи дека таквиот закон за преписка на броевите не можеме да го наречеме функција, бидејќи за функцијата одговара една вредност на аргументот строго еден функционална вредност.

Со цел прецизно да се воведе обратната функција во квадрат, беше предложен концептот на аритметички квадратен корен, кој дава само не-негативни вредности. Оние за функција се смета обратната функција.

Слично на тоа, постојат функции обратни со тригонометриските функции, тие се нарекуваат инверзни тригонометриски функции... Секоја од функциите што ги разгледавме има своја обратна форма, тие се нарекуваат: арцин, аркозин, аркангент и аркотанџент.

Овие функции го решаваат проблемот со пресметување на аглите од познатата вредност на тригонометриската функција. На пример, користејќи табела со вредности на основните тригонометриски функции, можете да пресметате синус на кој агол е. Оваа вредност ја наоѓаме во линијата на синуси и одредуваме на кој агол одговара. Првото нешто што сакам да го одговорам е дека ова е агол или, но ако претходно имате табела со вредности, веднаш ќе забележите друг кандидат за одговор - ова е агол или. И, ако се сеќаваме на периодот на синусот, тогаш разбираме дека аглите под кои е подеднакво синусот се бесконечни. И таков збир на аголни вредности што одговараат на дадена вредност на тригонометриската функција ќе се наб cosудуваат за косинусите, тангентите и котангените, бидејќи сите тие имаат периодичност.

Оние се соочуваме со истиот проблем што го имавме за пресметување на вредноста на аргументот од вредноста на функцијата за акција на квадрат. И во овој случај, за инверзни тригонометриски функции, воведено е ограничување на опсегот на вредности што тие ги даваат при пресметувањето. Ова својство на такви обратни функции се нарекува стеснување на опсегот, и потребно е тие да се нарекуваат функции.

За секоја од обратните тригонометриски функции, опсегот на агли што ги враќа е различен, и ние ќе ги разгледаме одделно. На пример, лакот ги враќа аголните вредности во опсег од до.

Способноста да работиме со обратни тригонометриски функции ќе ни биде корисна при решавање тригонометриски равенки.

Сега ќе ги посочиме основните својства на секоја од обратните тригонометриски функции. Ако сакате да дознаете повеќе за нив, погледнете во поглавјето „Решавање на тригонометриски равенки“ во програмата за 10 одделение.

Разгледајте ги својствата на функцијата arcsine и изградете го нејзиниот график.

ДефиницијаАрцина на бројx

Главните својства на лакот:

1) кај,

2) во.

Основни својства на функцијата арцин:

1) Опсег ;

2) Опсег на вредности ;

3) Функцијата е непарна. Пожелно е да се запомни оваа формула одделно, бидејќи корисно е за трансформации. Исто така, забележете дека непарноста подразбира симетрија на графиконот на функциите во однос на потеклото;

Ајде да ја нацртаме функцијата:

Забележете дека ниту еден дел од графиконот на функции не се повторува, што значи дека лакот не е периодична функција, за разлика од синусот. Истото ќе се однесува на сите други функции на лакот.

Размислете за својствата на обратната косинусна функција и изградете го нејзиниот график.

ДефиницијаБрој на аркозинx се нарекува вредност на аголот y за кој. Покрај тоа, како ограничување на вредностите на синусот, но како избран опсег на агли.

Главните својства на аркозин:

1) кај,

2) во.

Основни својства на инверзната косинусна функција:

1) Опсег ;

2) Опсег на вредности;

3) Функцијата не е ниту парна, ниту непарна, т.е. општ поглед ... Исто така е пожелно да се запамети оваа формула, таа ќе ни биде корисна подоцна;

4) Функцијата се намалува монотоно.

Ајде да ја нацртаме функцијата:

Размислете за својствата на аркантантната функција и изградете го нејзиниот график.

ДефиницијаАркантангент на бројотx се нарекува вредност на аголот y за кој. Покрај тоа, оттогаш нема ограничувања на тангентните вредности, туку како избран опсег на агли.

Главните својства на аркантангата:

1) кај,

2) во.

Главните својства на функцијата на аркантинг:

1) Опсег на дефиниција;

2) Опсег на вредности ;

3) Функцијата е непарна ... Оваа формула е корисна, како и слични. Како и во случајот со лакот, необичноста подразбира симетрија на графиконот на функциите во однос на потеклото;

4) Функцијата се зголемува монотоно.

Ајде да ја нацртаме функцијата:

Лекции 32-33. Инверзни тригонометриски функции

09.07.2015 8936 0

Цел: разгледајте ги инверзните тригонометриски функции, нивната употреба за пишување решенија на тригонометриски равенки.

I. Комуникација на темата и целта на часовите

II. Учење на нов материјал

1. Инверзни тригонометриски функции

Да ја започнеме нашата дискусија за оваа тема со следниот пример.

Пример 1

Да ја решиме равенката:а) грев x \u003d 1/2; б) sin x \u003d a.

а) На ординатата, ја одложуваме вредноста 1/2 и ги цртаме аглитеx 1 и x2, за штогрев x \u003d 1/2. Покрај тоа, x1 + x2 \u003d π, од каде x2 \u003d π -x 1 ... Според табелата на вредности на тригонометриските функции, ја наоѓаме вредноста x1 \u003d π / 6, тогашДа ја земеме предвид периодичноста на синусната функција и да ги запишеме решенијата на оваа равенка:каде k ∈ Z.

б) Очигледно е дека алгоритмот за решавање на равенкатагрев x \u003d a е исто како и во претходниот пасус. Се разбира, сега вредноста a е исцртана по должината на ординатата. Станува неопходно некако да се назначи аголот x1. Ние се согласивме да го означиме таков агол со симболотарцин и. Тогаш решенијата на оваа равенка можат да бидат напишани во формаОвие две формули можат да се комбинираат во една:при што

Останатите инверзни тригонометриски функции се воведени на сличен начин.

Многу често е потребно да се одреди вредноста на аголот од познатата вредност на нејзината тригонометриска функција. Овој проблем е повеќевалентен - има безброј агли, чии тригонометриски функции се еднакви на истата вредност. Затоа, тргнувајќи од монотонијата на тригонометриските функции, се воведуваат следниве обратни тригонометриски функции за уникатно одредување на аглите.

Арцина со број а (арцин) , чиј синус е еднаков на a, т.е.

Број на аркозина (лакови) а) е таков агол а од интервал чија косинус е еднаква на а, т.е.

Лачна тангента на бројa (аркт а) - таков агол а од интервалотчија тангента е еднаква на a, т.е.tg a \u003d a.

Аркотангент на бројотa (арктг а) е агол а од интервалот (0; π), чиј котангент е еднаков на a, т.е.ctg a \u003d a.

Пример 2

Ајде да најдеме:

Земајќи ги предвид дефинициите за инверзни тригонометриски функции, добиваме:

Пример 3

Ние пресметуваме

Нека аголот a \u003d лак 3/5, потоа по дефиницијагрев а \u003d 3/5 и ... Затоа, потребно е да се најдекос и. Користење на главната тригонометриски идентитет, добиваме:Беше земено предвид дека кос a 0. Значи,

Карактеристики на функцијата	Функција
	y \u003d лак x	y \u003d лакови x	y \u003d аркан x	y \u003d arcctg x
Домен	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
Опсег на вредности	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
Паритет	Непарен	Ниту парни, ниту непарни	Непарен	Ниту парни, ниту непарни
Функции нули (y \u003d 0)	За x \u003d 0	За x \u003d 1	За x \u003d 0	y ≠ 0
Интервали на постојаност	y\u003e 0 за x ∈ (0; 1], во< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 за x ∈ [-1; 1)	y\u003e 0 за х ∈ (0; + ∞), во< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 за x ∈ (-∞; + ∞)
Монотон	Зголемување	Намалува	Зголемување	Намалува
Врска со тригонометриска функција	грев y \u003d x	cos y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
Распоред

Еве неколку типични примери поврзани со дефинициите и основните својства на инверзните тригонометриски функции.

Пример 4

Пронајдете го доменот на функцијата

За да се дефинира функцијата y, нееднаквосташто е еквивалентно на системот на нееднаквостиРешение за првата нееднаквост е интервалот x∈ (-∞; + ∞), вториот -Овој јаз и е решение за системот на нееднаквости, а оттука и доменот на дефинирање на функцијата

Пример 5

Пронајдете ја областа на промена на функцијата

Размислете за однесувањето на функцијатаz \u003d 2x - x2 (види слика).

Се гледа дека z (-∞; 1]. Имајќи предвид дека аргументотz функцијата на лак котангента варира во наведените граници, од податоците во табелата што ги добивамеЗначи, областа на промените

Пример 6

Дозволете ни да докажеме дека функцијата y \u003dаркт x е непарен. Нека бидеПотоа тен a \u003d -x или x \u003d - тен a \u003d тен (- a), и Затоа, - а \u003d арктан х или а \u003d - аркан x Така, го гледаме тоатоа е, y (x) е непарна функција.

Пример 7

Дозволете ни да изразиме во смисла на сите инверзни тригонометриски функции

Нека биде Очигледно е дека Потоа од

Да воведеме агол Како што тогаш

Слично, затоа и

Значи,

Пример 8

Дозволете ни да ја нацртаме функцијата y \u003dкос (лак x).

Ние означуваме a \u003d arcsin x, тогаш Ние земаме предвид дека x \u003d sin a и y \u003d cos a, т.е. x 2 + y2 \u003d 1, и ограничувања на x (x∈ [-1; 1]) и y (y ≥ 0). Потоа, графикот на функцијата y \u003dкос (арцин) x) е полукруг.

Пример 9

Дозволете ни да ја нацртаме функцијата y \u003dлакови (кос x).

Бидејќи функцијата кос x промени на сегментот [-1; 1], тогаш функцијата y е дефинирана на целата нумеричка оска и се менува на сегментот. Willе имаме предвид дека y \u003dлакови (кос x) \u003d x на сегментот; функцијата y е парна и периодична со период од 2π. Имајќи предвид дека овие својства ги поседува функцијатаcos x, сега е лесно да се замисли.

Еве неколку корисни еднаквости:

Пример 10

Пронајдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијатаНие означуваме тогаш Ја добиваме функцијата Оваа функција има минимум во точкатаz \u003d π / 4, и тоа е еднакво на Најголемата вредност на функцијата се постигнува во точкатаz \u003d -π / 2, и тоа е еднакво на Така, и

Пример 11

Да ја решиме равенката

Да го земеме предвид тоа Тогаш равенката има форма: или од каде Според дефиницијата на аркантангата, добиваме:

2. Решение од наједноставните тригонометриски равенки

Слично на примерот 1, можете да добиете решенија за наједноставните тригонометриски равенки.

Равенката	Одлука
tgx \u003d a
ctg x \u003d a

Пример 12

Да ја решиме равенката

Бидејќи синусната функција е чудна, ние ја пишуваме равенката во формаРешенија за оваа равенка:каде наоѓаме

Пример 13

Да ја решиме равенката

Користејќи ја горенаведената формула, ги запишуваме решенијата на равенката:и најдете

Забележете дека во конкретни случаи (a \u003d 0; ± 1), при решавање на равенкитеsin x \u003d a и cos x \u003d и полесно и поудобно е да се користат не општи формули, туку да се пишуваат решенија засновани на единичниот круг:

за равенката sin х \u003d 1 решенија

за равенката sin х \u003d 0 решенија х \u003d π k;

за равенката sin x \u003d -1 решенија

за равенката кос x \u003d 1 решенија x \u003d 2πк;

за равенката cos x \u003d 0 решенија

за равенката cos x \u003d -1 решенија

Пример 14

Да ја решиме равенката

Бидејќи во овој пример има посебен случај на равенка, тогаш користејќи ја соодветната формула го пишуваме решението:каде ќе најдеме

III. Прашања од тест (фронтална анкета)

1. Дадете дефиниција и наведете ги главните својства на инверзните тригонометриски функции.

2. Дајте ги графиконите на инверзните тригонометриски функции.

3. Решение од наједноставните тригонометриски равенки.

IV. Задача во училница

§ 15, број 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, број 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, број 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Домашна задача

§ 15, број 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, број 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, број 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

Vi. Креативни задачи

1. Пронајдете го доменот на функцијата:

Одговори:

2. Пронајдете го опсегот на вредности на функцијата:

Одговори:

3. Нацртај ја функцијата:

Vii. Сумирање на лекциите