Кој е методот на избор на полн квадрат. Факторинг полиноми. Метод на избор на целосен квадрат. Комбинација на методи. Метод на конверзија на вештачки броител

Како што веќе забележав, во интегралното сметање не постои погодна формула за интегрирање на дропка. И затоа, постои тажна тенденција: колку е „пософистицирана“ дропка, толку е потешко да се најде интеграл од неа. Во овој поглед, треба да прибегнете кон разни трикови, за кои сега ќе ви кажам. Обучените читатели можат веднаш да имаат корист од содржина:

• Начинот на доведување под диференцијален знак за наједноставните дропки

Метод на конверзија на вештачки броител

Пример 1

Патем, разгледуваниот интеграл може да се реши и со промена на методот на променлива, означувајќи, но решението ќе биде напишано многу подолго.

Пример 2

Најдете го неопределениот интеграл. Проверете.

Ова е пример за решение „направи сам“. Треба да се напомене дека методот за замена на променливата повеќе нема да работи овде.

Внимание, важно! Примерите бр. 1,2 се типични и се појавуваат често.... Особено, таквите интеграли често се појавуваат при решавање на други интеграли, особено при интегрирање на ирационални функции (корени).

Разгледуваната техника исто така функционира во случајот ако највисокиот степен на броителот е поголем од највисокиот степен на именителот.

Пример 3

Најдете го неопределениот интеграл. Проверете.

Почнуваме да го избираме броителот.

Алгоритмот за избор на броител е нешто вака:

1) Во броителот треба да организирам, но таму. Што да се прави? Го ставам во загради и множи со:.

2) Сега се обидувам да ги отворам овие загради, што се случува? ... Хм ... подобро е, но во броителот првично нема два. Што да се прави? Треба да се помножите со:

3) Повторно проширете ги заградите:. И еве го првиот успех! Испадна вистинскиот! Но, проблемот е што се појави дополнителен термин. Што да се прави? За да не се промени изразот, морам да го додадам истото во мојата конструкција:
... Животот стана полесен. Нели може пак да се организира во броител?

4) Можеш. Обидувајќи се: ... Проширете ги заградите од вториот член:
... Извинете, но јас всушност го имав претходниот чекор, не. Што да се прави? Треба да го помножите вториот член со:

5) Повторно, за верификација, ги проширувам заградите во вториот термин:
... Сега е во ред: добиено од конечната конструкција на точка 3! Но, повторно има мало „но“, се појави дополнителен термин, што значи дека морам да додадам на мојот израз:

Ако сè е направено правилно, тогаш кога ќе ги прошириме сите загради, треба да го добиеме оригиналниот броител на интеграндот. Проверуваме:
Добро.

Така:

Подготвени. Во последниот член го применив методот на ставање на функцијата под диференцијал.

Ако го најдеме изводот на одговорот и го доведеме изразот до заеднички именител, тогаш го добиваме токму оригиналниот интегранд. Разгледаниот метод на распаѓање во збир не е ништо повеќе од обратна акција за доведување на изразот до заеднички именител.

Алгоритмот за избор на броител во вакви примери најдобро се прави на нацрт. Со некои вештини, тоа ќе функционира ментално. Се сеќавам на рекордното време кога изведов фит за 11-ти степен, а проширувањето на броителот траеше скоро две вердски линии.

Пример 4

Најдете го неопределениот интеграл. Проверете.

Ова е пример за решение „направи сам“.

Начинот на доведување под диференцијален знак за наједноставните дропки

Преминуваме на разгледување на следниот тип на дропки.
,,, (коефициенти и не се еднакви на нула).

Всушност, неколку случаи со лаксин и арктангенс веќе се лизнаа на лекцијата Метод на промена на променливата во неопределен интеграл... Ваквите примери се решаваат со методот на доведување на функцијата под знакот на диференцијалот и понатамошна интеграција со помош на табелата. Еве неколку типични примери со долги и високи логаритми:

Пример 5

Пример 6

Овде препорачливо е да се земе табелата со интеграли и да се следи според кои формули и какосе врши трансформација. Забелешка, како и зоштоквадратите се истакнати во овие примери. Особено, во примерот 6, прво треба да го претставите именителот во формата , потоа доведете го под диференцијалниот знак. И сето ова треба да се направи за да се користи стандардната формула за табела .

Што да гледате, обидете се сами да ги решите примерите ## 7,8, особено затоа што тие се прилично кратки:

Пример 7

Пример 8

Најдете го неопределен интеграл:

Ако можете да ги проверите и овие примери, тогаш голема почит - вашите вештини за диференцијација се најдобри.

Метод на избор на целосен квадрат

Интеграли на формата, (коефициентите и не се еднакви на нула) се решаваат метод за избор на целосен квадрат, кој веќе беше прикажан во лекцијата Геометриски трансформации на графикони.

Всушност, таквите интеграли се сведуваат на еден од четирите табеларни интеграли што штотуку ги разгледавме. И ова се постигнува со користење на познатите формули за скратено множење:

Формулите се применуваат во оваа насока, односно идејата на методот е вештачки да се организираат изрази или во именителот, а потоа соодветно да се претворат во било кој.

Пример 9

Најдете го неопределениот интеграл

Ова е наједноставниот пример каде со поимот – единичен коефициент(не некој број или минус).

Го гледаме именителот, овде целата работа очигледно ќе се сведе на случај. Да почнеме да го конвертираме именителот:

Очигледно, треба да додадете 4. И за да не се промени изразот - истите четири и одземете:

Сега можете да ја примените формулата:

Откако ќе заврши конверзијата СЕКОГАШпрепорачливо е да се изврши обратно движење: сè е во ред, нема грешки.

Конечниот дизајн на примерот за кој станува збор треба да изгледа вака:

Подготвени. Сумирање на „слободна“ комплексна функција под диференцијалниот знак: во принцип, таа може да се занемари

Пример 10

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за решение „направи сам“, одговорот е на крајот од упатството.

Пример 11

Најдете го неопределен интеграл:

Што да направите кога има минус пред него? Во овој случај, треба да го извадите минусот од заградите и да ги распоредите термините по редоследот што ни треба:. Постојана(„Два“ во овој случај) не допирај!

Сега додадете една во заграда. Анализирајќи го изразот, доаѓаме до заклучок дека треба да се биде еден зад заградата - додадете:

Еве ја добивме формулата, применуваме:

СЕКОГАШго проверуваме нацртот:
, што требаше да се потврди.

Примерот за завршување изгледа вака:

Усложнување на задачата

Пример 12

Најдете го неопределен интеграл:

Овде со поимот веќе не е единичен коефициент, туку „петка“.

(1) Ако се најде константа за, тогаш веднаш ја вадиме од заградите.

(2) Во принцип, секогаш е подобро оваа константа да ја извадите надвор од интегралот за да не ви пречи под нозете.

(3) Очигледно, сè ќе се сведе на формула. Неопходно е да се разбере терминот, имено, да се добие „два“

(4) Да,. Значи, додаваме на изразот и ја одземаме истата дропка.

(5) Сега изберете целосен квадрат. Во општиот случај, исто така треба да пресметате, но овде имаме формула за долгиот логаритам , и нема смисла да се изврши дејството, зошто - ќе стане јасно малку подолу.

(6) Всушност, можете да ја примените формулата , само наместо „x“ имаме, што не ја негира валидноста на табеларниот интеграл. Строго кажано, еден чекор е испуштен - пред интеграцијата, функцијата требаше да биде ставена под знакот на диференцијалот: но, како што многупати забележав, ова често се занемарува.

(7) Во одговорот под коренот, пожелно е да се прошират сите загради назад:

Тешко? Ова сè уште не е најтешкиот дел од интегралната пресметка. Иако, примерите што се разгледуваат не се толку комплицирани колку што бараат добри пресметковни техники.

Пример 13

Најдете го неопределен интеграл:

Ова е пример за решение „направи сам“. Одговорот е на крајот од лекцијата.

Постојат интеграли со корени во именителот, кои, користејќи замена, се сведуваат на интеграли од разгледуваниот тип, можете да прочитате за нив во статијата Сложени интеграли, но тој е дизајниран за високо обучени студенти.

Додавање на броител под диференцијалниот знак

Ова е последниот дел од лекцијата, но интегралите од овој тип се доста чести! Ако се акумулирал замор, можеби е подобро да го прочитате утре? ;)

Интегралите што ќе ги разгледаме се слични на интегралите од претходниот дел, имаат форма: или (коефициенти, а не се еднакви на нула).

Односно, имаме линеарна функција во броителот. Како да се решат ваквите интеграли?

Во оваа лекција, ќе се потсетиме на сите претходно проучени методи за факторинг на полином во фактори и ќе разгледаме примери за нивна примена, покрај тоа, ќе проучуваме нов метод - методот на извлекување целосен квадрат и ќе научиме како да го примениме при решавање разни проблеми.

Тема:Факторинг полиноми

Лекција:Факторинг полиноми. Метод на избор на целосен квадрат. Комбинација на методи

Да се ​​потсетиме на главните методи за факторинг на полином во фактори кои беа проучувани порано:

Начинот на вадење на заедничкиот фактор од заградите, односно таков фактор што е присутен во сите членови на полиномот. Да разгледаме пример:

Потсетиме дека мономот е производ на степени и броеви. Во нашиот пример, двата члена имаат некои заеднички, идентични елементи.

Значи, да го извадиме заедничкиот фактор од заградите:

;

Потсетете се дека со множење на извадениот фактор со заградата, можете да ја проверите исправноста на поднесокот.

Метод на групирање. Не е секогаш можно да се извади заеднички фактор во полином. Во овој случај, потребно е нејзините членови да се подели во групи, така што во секоја група може да се извади заеднички фактор и да се обиде да се подели така што откако ќе се извадат факторите во групите, да се појави заеднички фактор за целината. изразување, а проширувањето може да се продолжи. Да разгледаме пример:

Да го групираме првиот член со четвртиот, вториот со петтиот и третиот, соодветно, со шестиот:

Ајде да ги извадиме заедничките фактори во групи:

Изразот има заеднички фактор. Ајде да го извадиме:

Примена на скратени формули за множење. Да разгледаме пример:

;

Да го запишеме изразот подетално:

Очигледно, пред нас ја имаме формулата за квадратот на разликата, бидејќи постои збир на квадратите на два изрази и од него се одзема нивниот удвоен производ. Ајде да колабираме според формулата:

Денес ќе научиме уште еден метод - методот на избор на полн квадрат. Се заснова на формулите за квадратот на збирот и квадратот на разликата. Да се ​​потсетиме на нив:

Формулата за квадрат на збирот (разлика);

Особеноста на овие формули е што ги содржат квадратите на два изрази и нивниот удвоен производ. Да разгледаме пример:

Ајде да го напишеме изразот:

Значи првиот израз е овој, а вториот е.

За да се состави формулата за квадратот на збирот или разликата, двојниот производ на изразите не е доволен. Треба да се додаде и одземе:

Ајде да го склопиме целосниот квадрат од збирот:

Ајде да го трансформираме добиениот израз:

Ја применуваме формулата за разликата на квадратите, потсетиме дека разликата помеѓу квадратите на два изрази е производот и збирот според нивната разлика:

Значи, овој метод се состои, пред сè, во тоа што е неопходно да се идентификуваат изразите a и b што се на квадрат, односно да се одреди кои квадрати од кои изрази се во овој пример. После тоа, треба да проверите за присуство на удвоен производ и ако го нема, потоа додадете го и одземете го, значењето на примерот нема да се промени од ова, но полиномот може да се факторизира со помош на формулите за квадратот на збирот или разликата и разликата на квадратите, доколку постои таква можност.

Ајде да продолжиме со решавање на примери.

Пример 1 - факторизирајте:

Ајде да најдеме изрази кои се на квадрат:

Ајде да запишеме каков треба да биде нивниот удвоен производ:

Додадете и одземете двапати од производот:

Ајде да го срушиме целосниот квадрат од збирот и да дадеме слични:

Да ја запишеме формулата за разликата на квадратите:

Пример 2 - Решете ја равенката:

;

На левата страна од равенката има трином. Треба да го земеме предвид. Ја користиме формулата за квадратот на разликата:

Имаме квадрат од првиот израз и удвоен производ, квадратот на вториот израз недостасува, собирајте и одземете го:

Ајде да свиткаме полн квадрат и да дадеме слични термини:

Да ја примениме формулата за разликата на квадратите:

Значи, ја имаме равенката

Знаеме дека производот е нула само ако барем еден од факторите е нула. Врз основа на ова, ги составуваме равенките:

Да ја решиме првата равенка:

Да ја решиме втората равенка:

Одговор: или

;

Постапуваме слично на претходниот пример - изберете го квадратот на разликата.

Дефиниција

Изразите на формата 2 x 2 + 3 x + 5 се нарекуваат квадратен трином. Во општиот случај, квадратен трином е израз на формата a x 2 + b x + c, каде што a, b, c a, b, c се произволни броеви и a ≠ 0.

Размислете за квадратен трином x 2 - 4 x + 5. Ајде да го напишеме во оваа форма: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Додадете 2 2 на овој израз и одземете 2 2, добиваме: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Забележете дека x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, па x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Трансформацијата што ја направивме се вика „Избор на целосен квадрат од квадратен трином“.

Дополни го квадратот од квадратниот трином 9 x 2 + 3 x + 1.

Забележете дека 9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x`. Потоа `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. Додадете и одземете на добиениот израз `(1/2) ^ 2`, добиваме

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

Дозволете ни да покажеме како методот на одвојување на целосен квадрат од квадратен трином се користи за факторинг на квадратен трином.

Факторирајте го квадратниот трином 4 x 2 - 12 x + 5.

Одвојте целосен квадрат од квадратен трином: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Сега ја применуваме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), добиваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).

Факторирајте го квадратниот трином - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Сега забележи дека 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Додадете го терминот 2 2 на изразот 9 x 2 - 12 x, добиваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

Ја применуваме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Факторирајте го тројниот квадрат 3 x 2 - 14 x - 5.

Не можеме да го претставиме изразот 3 x 2 како квадрат на некој израз, бидејќи сè уште не сме го проучувале ова во училиште. Ова ќе се направи подоцна, а веќе во Задача 4 ќе ги проучуваме квадратните корени. Дозволете ни да покажеме како можете да факторизирате даден квадрат трином:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3 ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Дозволете ни да покажеме како методот на избор на целосен квадрат се користи за да се најдат најголемите или најмалите вредности на квадратен трином.
Размислете за квадратен трином x 2 - x + 3. Изберете целосен квадрат:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. Забележете дека за `x = 1 / 2`, вредноста на квадратниот трином е` 11 / 4`, а за `x! = 1 / 2`, се додава позитивен број на вредноста на` 11 / 4`, па добиваме број поголем од `11 / 4`. Така, најмалата вредност на квадратниот трином е `11 / 4` и се добива со` x = 1 / 2`.

Најдете го најголемиот квадратен трином - 16 2 + 8 x + 6.

Дополни го квадратот од квадратниот трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

Со `x = 1 / 4` вредноста на квадратниот трином е 7, а со` x! = 1 / 4` од бројот 7 се одзема позитивен број, односно добиваме број помал од 7. Така, бројот 7 е најголемата вредност на квадратниот трином, а се добива кога `x = 1 / 4`.

Факторирајте го броителот и именителот на дропката `(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` и поништете ја таа дропка.

Забележете дека именителот на дропката x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Дозволете ни да го пресметаме броителот на дропката користејќи го методот на извлекување на целосен квадрат од квадратен трином. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Оваа дропка беше доведена во форма `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` по намалувањето за (x - 3) добиваме` (x + 5) / (x-3 ) `.

Факторирајте го полиномот x 4 - 13 x 2 + 36.

Ајде да го примениме методот на комплетен избор на квадрат на овој полином. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Способноста да се изврши оваа постапка е исклучително неопходна во многу теми од математиката поврзани со квадратен триномсекира 2 + bx + в ... Најчести:

1) Цртање параболи y= секира 2 + bx+ в;

2) Решавање на многу задачи за квадратен трином (квадратни равенки и неравенки, задачи со параметри и сл.);

3) Работа со некои функции кои содржат квадратен трином, како и работа со криви од втор ред (за ученици).

Корисна работа, накратко! Дали аплицирате за првите пет? Потоа совладајте го!)

Што значи да се избере целосниот квадрат на бином во квадратен трином?

Оваа задача значи дека оригиналниот квадратен трином мора да се трансформира со помош на оваа форма:

Број ашто е лево, што е десно - исто... Фактор на квадрат од x. Затоа е наведено една буква... Десно помножено со квадратот на заградите. Во самите загради седи самиот бином, за кој се зборува во оваа тема. Збир на чист x и број м... Да, ве молам обрнете внимание, точно чист х! Тоа е важно.

Но буквите ми nод десната страна - некои новброеви. Што ќе добиеме како резултат на нашите трансформации. Тие можат да бидат позитивни, негативни, целини, фракциони - секакви! Ќе се уверите сами во примерите подолу. Овие бројки зависат од коефициентитеа, бив... Тие имаат свои посебни општи формули. Доста незгодно, со фракции. Затоа, нема да ги дадам токму овде и сега. Зошто на вашите бистри умови им треба дополнително ѓубре? Да, и не е интересно. Ајде да работиме креативно.)

Што треба да знаете и да разберете?

Пред сè, треба да знаете напамет. Најмалку двајца од нив - квадратот на збироти квадратна разлика.

Овие:

Без овој пар формули - никаде. Не само во оваа лекција, туку и во речиси сите други математика воопшто. Дали е јасен навестувањето?)

Но, тука не се доволни само механички научените формули. Сè уште треба компетентно да може да ги примени овие формули... И не толку директно, од лево кон десно, туку обратно, од десно кон лево... Оние. да може да го дешифрира квадратот на збирот / разликата според оригиналниот квадратен трином... Ова значи дека треба лесно, автоматски, да препознаете еднаквости од типот:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Без оваа корисна вештина - исто така на кој било начин ... Значи, ако има проблеми со овие едноставни работи, тогаш затворете ја оваа страница. Премногу е рано за вас овде.) Прво, следете ја врската погоре. Таа е за вас!

О, дали сте долго време во оваа тема? Добро! Потоа прочитајте.)

Значи:

Како да се избере целосниот квадрат на бином во квадратен трином?

Да почнеме со едноставна, се разбира.

Ниво 1. Коефициент на x2 е еднакво на 1

Ова е наједноставната ситуација која бара минимум дополнителни трансформации.

На пример, даден е квадратен трином:

НС 2 + 4x + 6

Однадвор, изразот е многу сличен на квадратот на збирот. Знаеме дека квадратот на збирот ги содржи чистите квадрати на првиот и вториот израз ( а 2 и б 2 ), како и двојно зголемениот производ 2 abтокму овие изрази.

Па, веќе го имаме квадратот на првиот израз во неговата чиста форма. тоа НС 2 ... Всушност, токму тука лежи едноставноста на примерите од ова ниво. Треба да го добиете квадратот на вториот израз б 2 ... Оние. најдете б... И ќе послужи како поим израз со x во прв степен, т.е. 4x... После се 4xможе да се претстави како двоен производ x за двојка. Како ова:

4 x = 2 ́ X 2

Па ако 2 ab= 2x· 2и а= x, тогаш б=2 ... Можете да напишете:

НС 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Значи САДСакам да. Но! МатематикаЈа сакам суштината на оригиналниот израз од нашите постапки не се промени... Така функционира. Додадовме на двојно зголемениот производ 2 2 со што се менува оригиналниот израз. Значи, за да не се навреди математиката, ова е 2 2 токму таму и земе... Како ова:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Речиси сите. Останува само да се додадат 6, во согласност со оригиналниот три-рок. Шестката не отиде никаде! Ние пишуваме:

= НС 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Сега првите три термини даваат чиста (или - полн) квадратен бином x+2 ... Или (x+2) 2 ... Што се обидуваме да го постигнеме.) Нема ни да бидам мрзлив и да ставам заграда:

… = (Х 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Заградите не ја менуваат суштината на изразот, но јасно сугерираат што, како и зошто. Останува да ги свиткаме овие три члена на полн квадрат според формулата, пребројте ја преостанатата опашка во бројки -2 2 +6 (ова ќе биде 2) и напишете:

НС 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

Сè. Ние издвоиквадратни загради (x+2) 2 од оригиналниот квадратен трином НС 2 + 4x + 6... Го претвори во сума целосен квадратен бином (x+2) 2 и некој константен број (два). И сега ќе го запишам целиот синџир на нашите трансформации во компактна форма. За јасност.

И тоа е сè.) Тоа е целата поента на постапката за избор на полн квадрат.

Патем, какви се бројките овде ми n? Да. Секој од нив е еднаков на два: м=2, n=2 ... Така се случи за време на изборот.

Друг пример:

Изберете го целосниот квадрат на биномот:

НС 2 -6x + 8

И повторно, првиот поглед - на терминот со х. 6x го трансформираме во двоен производ од x и тројки. Пред двојно - минус. Оттука, избираме квадратна разлика... Ги собираме (за да добиеме целосен квадрат) и веднаш ги одземаме (за да се компензираме) трите во квадратот, т.е. 9. Па, да не заборавиме на осумте. Добиваме:

Еве м=-3 и n=-1 ... И двете се негативни.

Дали го сфаќате принципот? Потоа дојде редот да се совлада и општ алгоритам... Сè е исто, но преку писма... Значи, пред нас е квадратен трином x 2 + bx+ в (а=1) ... Што правиме:

bx б /2 :

б со.

Дали е јасно? Првите два примери беа многу едноставни, со цели броеви. За запознавање. Полошо е кога дропките излегуваат во процесот на трансформации. Главната работа овде не е да се плашите! И за да не се плашите, треба да ги знаете дејствата со дропки, да ...) Но, тука е петтото ниво, нели? Ја комплицираме задачата.

Да претпоставиме дека се дадени следните три термини:

НС 2 + x + 1

Како да се организира квадратот на збирот во оваа тројка? Нема проблем! Слично... Работиме точка по точка.

1. Го гледаме поимот со x во прв степен ( bx) и претворете го во двоен производ од x одб /2 .

Нашиот термин Х е едноставно Х. Па што? Како да го претвориме осамениот Х во двоен производ? Многу е едноставно! Директно според упатствата. Како ова:

Број бво оригиналниот термин - 1. Тоа е, б/2 излегува дека е фракционо. Половина. 1/2. Па, во ред. Веќе не е мал.)

2. Додадете во удвоениот производ и веднаш одземете го квадратот на бројот б/ 2. Додаваме - за дополнување на полн квадрат. Ние одземаме - за компензација. На самиот крај додадете бесплатен термин со.

Продолжуваме:

3. Првите три члена се преклопуваат во квадратот на збирот / разликата според соодветната формула. Изразот што останува надвор е внимателно пресметан во бројки.

Одделете ги првите три члена со загради. Не треба да го раздвојувате, се разбира. Ова е направено чисто за погодност и јасност на нашите трансформации. Сега можете јасно да видите дека целосниот квадрат на збирот се наоѓа во загради (x+1/2) 2 ... И сè што останува надвор од квадратот на збирот (ако се брои) дава +3/4. Заврши директно:

Одговор:

Еве м=1/2 , А n=3/4 ... Дробни броеви. Се случува. Таков трином се фати ...

Таква е технологијата. Разбрав? Може ли да се префрлам на следното ниво?)

Ниво 2. Коефициентот на x 2 не е еднаков на 1 - што да се прави?

Ова е поопшт случај отколку a = 1... Износот на пресметките, се разбира, се зголемува. Вознемирува, да... Но општ тек на решениегенерално останува ист. Кон него е додаден само еден нов чекор. Ова ме прави среќен.)

Засега, размислете за безопасен случај, без никакви фракции и други замки. На пример:

2 x 2 -4 x+6

Има минус во средината. Оттука, ќе ја вклопиме разликата на квадрат. Но коефициентот на квадрат од x е два. И полесно е да се работи со еден. Со чист х. Што да се прави? И да ги извадиме овие две од загради! За да не се меша. Имаме право! Добиваме:

2(x 2 -2 x+3)

Како ова. Сега три-рок во заграда - веќе со чисти x квадрат! Како што бара алгоритмот на ниво 1. И сега веќе е можно да се работи со овој нов трином според старата докажана шема. Значи ние дејствуваме. Ајде да го запишеме одделно и да го трансформираме:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Половина од работата е завршена. Останува да се вметне добиениот израз во заградите и да се прошири назад. Ќе испадне:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Подготвени!

Одговор:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Поправаме во главата:

Ако коефициентот на квадратот x не е еднаков на еден, тогаш овој коефициент го вадиме од заградите. Со преостанатиот три мандат во заградите, работиме според вообичаениот алгоритам за а= 1. Откако избравме целосен квадрат во него, го залепуваме резултатот на место и ги отвораме надворешните загради назад.

И ако коефициентите b и c не се деливи целосно со a? Ова е најчестиот и во исто време најлош случај. Тогаш само дропки, да... Нема што да се прави. На пример:

3 x 2 +2 x-5

Сè е исто, ја испраќаме тројката надвор од заградите, добиваме:

За жал, ниту два, ниту петка не се целосно поделени со три, така што коефициентите на новиот (намалениот) трој се - фракционо... Па, тоа е во ред. Работиме директно со дропки: двапретворете ги третините од x во двојнопроизвод на x на едентрето, додадете го квадратот од една третина (т.е. 1/9), одземете го, одземете 5/3 ...

Во принцип, ја разбирате идејата!

Донесете одлука, што е веќе таму. Треба да завршите со:

И уште едно гребло. Многу студенти напорно се справуваат со позитивни цели, па дури и фракциони коефициенти, но се држат до негативни. На пример:

- x 2 +2 x-3

Што да се прави со минусот претходноx 2 ? Во формулата за квадратот на збирот / разликата, секој плус е потребен ... Нема прашање! Се исто... Овој минус го вадиме од заградите. Оние. минус еден... Како ова:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

И сите случаи. И со три термин во загради - повторно по должината на згрчената патека.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Вкупно, земајќи го предвид минусот:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Тоа е се. Што? Не знаете како да го ставите минусот во загради? Па, ова е прашање за елементарна алгебра од седмо одделение, а не за квадратни триноми ...

Запомнете: работа со негативен коефициент ае инхерентно исто како и работата со позитивното. Го вадиме негативното анадвор од заградите, а потоа - според сите правила.

Зошто треба да можете да изберете целосен квадрат?

Првата корисна работа е да цртате параболи брзо и без грешки!

На пример, задача како оваа:

Исцртај ја функцијата:y=- x 2 +2 x+3

Што ќе правиме? Изградба по поени? Секако дека е можно. Со мали чекори по долгиот пат. Доста глупаво и неинтересно...

Најпрво да потсетам дека при градењето било којпараболи, ние секогаш и презентираме стандарден сет на прашања. Има два од нив. Имено:

1) Каде се насочени гранките на параболата?

2) Во која точка е врвот?

Со насоката на гранките, сè е јасно директно од оригиналниот израз. Гранките ќе бидат насочени надолу, бидејќи коефициентот предx 2 - негативен. Минус еден. Минус пред х квадрат секогашја превртува параболата.

Но, со локацијата на врвот, сè не е толку очигледно. Постои, се разбира, општа формула за пресметување на нејзината апсциса преку коефициентите аи б.

Оваа:

Но, не сите се сеќаваат на оваа формула, ох, не сите... И 50% од оние што се сеќаваат се сопнуваат на рамна земја и мрморат со банална аритметика (обично кога броат игра). Срамота е, нели?)

Сега ќе научите како да ги пронајдете координатите на темето на која било парабола. во умотза една минута! И x и igrek. Со еден удар и без никакви формули. Како? Со избирање на полн квадрат!

Значи, да избереме полн квадрат во нашиот израз. Добиваме:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Кој е добро упатен во општи информации за функциите и добро ја владее темата " трансформации на графови на функции “, тој лесно ќе сфати дека нашата посакувана парабола е добиена од обична парабола y= x 2 користејќи три трансформации. Тоа:

1) Промена на насоката на гранките.

Ова е означено со знакот минус пред квадратот на заградите ( a = -1). Беше y= x 2 , стана y=- x 2 .

Конверзија: ѓ ( x ) -> - ѓ ( x ) .

2) Паралелен превод на параболата y = - x 2 во x за 1 единица ПРАВО.

Вака испаѓа меѓураспоредот y = - (x-1 ) 2 .

Конверзија: - ѓ ( x ) -> - ѓ ( x + м ) (m = -1).

Зошто поместувањето е десно, а не налево, иако има минус во загради? Ова е теоријата на трансформации на графикони. Ова е посебна тема.

И, конечно,

3) Паралелен трансфер параболи y = - ( x -1) 2 по игра за 4 единици ГО.

Ова е последната парабола y = - (x-1) 2 +4 .

Конверзија: - ѓ ( x + м ) -> - ѓ ( x + м )+ n (n = + 4)

И сега го гледаме нашиот синџир на трансформација и размислуваме: каде се движи темето на параболатаy= x 2 ? Беше во точката (0; 0), по првата трансформација темето не се помести никаде (параболата штотуку се преврте), по втората - се помести надолу за x за +1, а по третата - за играта за +4. Вкупното теме ја погоди точката (1; 4) ... Тоа е целата тајна!

Сликата ќе биде следна:

Всушност, токму поради оваа причина толку упорно го привлекував вашето внимание на бројките. ми nдобиени во процесот на избор на целосен квадрат. Не погодивте зошто? Да. Поентата е дека точката со координати (- м ; n ) Е секогаш врвот на параболата y = а ( x + м ) 2 + n ... Ние само ги гледаме броевите во трансформираната тројна и во умотго даваме точниот одговор, каде е врвот. Практично, нели?)

Цртањето параболи е првото нешто што може да биде корисно. Да преминеме на вториот.

Втората корисна работа е решавање на квадратни равенки и неравенки.

Да Да! Изборот на целосен квадрат во многу случаи се покажува како многу побрзо и поефикаснотрадиционални методи за решавање на такви задачи. Сомнеж? Ве молам! Еве една задача за вас:

Решете ја нееднаквоста:

x 2 +4 x+5 > 0

Научен? Да! Тоа е класично квадратна нееднаквост ... Сите такви неравенки се решаваат со помош на стандардниот алгоритам. За ова ни треба:

1) Направете равенка на стандардната форма од неравенката и решете ја, најдете ги корените.

2) Нацртајте ја X-оската и означете ги корените на равенката со точки.

3) Скицирај ја параболата според оригиналниот израз.

4) Дефинирајте ги +/- областите на сликата. Изберете ги бараните области според почетната неравенка и запишете го одговорот.

Всушност, целиот овој процес е досаден, да...) И, згора на тоа, не секогаш ве спасува од грешки во нестандардни ситуации како што е овој пример. Ајде прво да го пробаме шаблонот?

Значи, ја извршуваме првата точка. Ја правиме равенката од неравенството:

x 2 +4 x+5 = 0

Стандардна квадратна равенка, без трикови. Ние одлучуваме! Го сметаме за дискриминатор:

Д = б 2 -4 ак = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Токму тие времиња! А дискриминаторката е негативна! Равенката нема корени! И нема што да се нацрта на оската ... Што да се прави?

Овде, некои може да заклучат дека првичната нееднаквост исто така нема решенија... Ова е фатална заблуда, да... Но, со избирање на полн квадрат, точниот одговор на оваа нееднаквост може да се даде за половина минута! Сомнеж? Па, можете да го следите времето.

Значи, го избираме целосниот квадрат во нашиот израз. Добиваме:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Оригиналната нееднаквост почна да изгледа вака:

(x+2) 2 +1 > 0

И сега, без да одлучиме или трансформираме ништо понатаму, едноставно ја вклучуваме елементарната логика и дознаваме: ако квадратот на некој израз (вредноста очигледно не-негативни!) додадете уште еден, па кој број ќе го добиеме на крајот?Да! Строго позитивен!

Сега да ја погледнеме нееднаквоста:

(x+2) 2 +1 > 0

Ние го преведуваме записот од математичкиот јазик на руски: на кој x е строго позитивенизразувањето ќе биде строго повеќегребење? Не погодивте? Да! Со било кој!

Еве го одговорот: x - кој било број.

Сега да се вратиме на алгоритмот. Сепак, разбирањето на суштината и едноставното меморирање се различни работи.)

Суштината на алгоритмот е во тоа што правиме парабола од левата страна на стандардната нееднаквост и гледаме каде е над оската X, а каде е под. Оние. каде левата страна е позитивна, каде негативна.

Ако направиме парабола од нашата лева страна:

y =x 2 +4 x+5

И ќе го нацртаме неговиот график, па ќе го видиме тоа ситецела парабола поминува над X-оската.Сликата ќе изгледа вака:

Параболата е искривена, да... Затоа е шематски. Но, во исто време, сè што ни треба е видливо на сликата. Параболата нема точки на пресек со оската Х, нема нулта вредности на играта. И, се разбира, нема ниту негативни вредности. Што се покажува со засенчување на целата X-оска како целина. Патем, овде за џабе не ги нацртав Y-оската и координатите на темето. Споредете ги координатите на темето на параболата (-2; 1) и нашиот трансформиран израз!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Како ви се допаѓа? Да! Во нашиот случај м=2 и n=1 ... Според тоа, темето на параболата има координати: (- м; n) = (-2; 1) ... Сè е логично.)

Друга задача:

Реши ја равенката:

x 2 +4 x+3 = 0

Едноставна квадратна равенка. Можете да решите на старомоден начин,. Можеш преку. Како сакаш. На математиката не и пречи.)

Ги добиваме корените: x 1 =-3 x 2 =-1

И ако ниту еден ниту на друг начин ... не се сеќавам? Па, ти сјае дупче, на пријателски начин, но ... Така нека биде, ќе те спасам! Дозволете ми да ви покажам како можете да решите некои квадратни равенки само со методи од седмата класа. Повторно изберете полн квадрат!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

И сега го опишуваме добиениот израз како ... разлика на квадрати!Да, да, има еден во седмо одделение:

а 2 -б 2 = (а-б) (а + б)

Во улогата азаградите се испакнати(x+2) , и во улогата б- еден. Добиваме:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Го вметнуваме ова проширување во равенката наместо квадратниот трином:

(x+1)(x+3)=0

Останува да дознаеме дека производот на факторите е нула тогаш и само тогаш,кога некој од нив е нула. Значи, ние ја изедначуваме (во умот!) Секоја заграда на нула.

Добиваме: x 1 =-3 x 2 =-1

Тоа е се. Истите два корени. Таков е паметниот трик. Во прилог на дискриминатор.)

Патем, за дискриминантната и општата формула за корените на квадратната равенка:

Во мојата лекција, изведувањето на оваа гломазна формула беше испуштена. Како непотребно. Но еве тој припаѓа.) Дали би сакале да знаете како се добива оваа формула? Од каде и зошто точно изразот за дискриминаторб 2 -4ac, а не поинаку? Сепак, целосното разбирање на суштината на она што се случува е многу покорисно од непромисленото чкртање на какви било букви и симболи, нели?)

Третата корисна работа е изведувањето на формулата за корените на квадратната равенка.

Еве одиме! Земаме квадратен трином во општа форма секира 2 + bx+ ви… започнете да избирате полн квадрат!Да, директно преку писма!Имаше аритметика, сега - алгебра.) Прво, како и обично, ја извршуваме буквата анадвор од заградите, а сите други коефициенти се делат со а:

Како ова. Ова е совршено легална конверзија: а не е еднаква на нула, и можете да поделите со тоа. И повторно работиме со загради според вообичаениот алгоритам: од поимот со x правиме двоен производ, го додаваме / одземаме квадратот на вториот број ...

Сè е исто, но со букви.) Обидете се сами да го завршите! Здрав!)

По сите трансформации, треба да го добиете ова:

И зошто да градиме такви купишта од безопасен трином - прашувате? Ништо, сега ќе биде интересно! И сега, се разбира, ја поистоветуваме оваа работа на нула:

Решаваме како обична равенка, работиме според сите правила, само со букви... Правиме основно:

1) Поместете ја големата дропка надесно.Кога префрлате, сменете го плус во минус. За да не нацртам минус пред самата дропка, едноставно ќе ги сменам сите знаци во броителот. Лево, броителот беше4ac-b 2 , а по трансферот ќе стане -( 4ac-b 2 ) , т.е. б 2 -4 ак. Нешто познато, не мислиш? Да! Дискриминаторот, тој е најмногу ...) Ќе биде вака:

2) Го бришеме квадратот од заградите од коефициентот.Ги делиме двата дела на " а„. Лево, пред заградите, буквата аисчезнува, а десно оди во именителот на голема дропка, претворајќи го во 4 а 2 .

Излегува оваа еднаквост:

Дали сте разбрале погрешно? Тогаш темата „“ е за вас. Итно оди таму!

Следен чекор извлечете го коренот... Ние сме заинтересирани за Х, нели? И X седи под квадратот ... Извлекуваме според правилата за екстракција на корени, се разбира. По извлекувањето, го добивате ова:

Лево е квадратот на збирот исчезнуваи самата оваа сума останува. Што е потребно.) Но на десната страна се појавува плус / минус... За нашата дебела ролна, и покрај нејзиниот застрашувачки изглед, е само некој број... Дробен број. Зависен од коефициент а, б, в... Во исто време, коренот на броителот на оваа дропка не е убаво извлечен, постои разлика помеѓу двата израза. И тука е коренот на именителот 4 а 2 доста само-извлекување! Ќе биде лесно 2 а.

„Тешко“ прашање за пополнување: дали имав право да го извлечам коренот од изразот 4 а2, дај одговор само 2а?Впрочем, правилото за екстракција квадратен корен обврзува да го стави знакот на модулот, т.е.2 | а | !

Размислете зошто го испуштив знакот за модул. Многу помага. Совет: одговорот лежи во знакот плус / минуспред дропка.)

Останаа само ситници. Обезбедуваме чист X лево. За да го направите ова, поместете ја малата фракција надесно. Со промена на знакот, биберот е јасен. Дозволете ми да ве потсетам дека знакот во дропка може да се смени секаде и на кој било начин. Сакаме да се менуваме пред дропката, сакаме во именителот, сакаме во броителот. Ќе го сменам знакот во броителот... Беше + б, стана – б... Се надевам дека нема замерка?) По трансферот ќе стане вака:

Додадете две дропки со исти именители и добијте (конечно!):

Па? Што да кажам? Леле!)

Четвртата корисна работа е учениците да забележат!

И сега непречено ќе се движиме од училиште на универзитет. Верувале или не, неопходен е и избор на целосен квадрат во вишата математика!

На пример, задача како оваа:

Најдете го неопределен интеграл:

Каде да се започне? Директната апликација не се тркала. Само изборот на полн квадрат заштедува, да ...)

Кој не знае како да одбере целосен квадрат, засекогаш ќе виси на овој едноставен пример. И кој знае како, издвојува и добива:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

И сега интегралот (за познавачите) се зема со еден лево!

Одлично, нели? И ова не се само интеграли! Веќе молчам за аналитичката геометрија, со нејзината криви од втор ред – елипса, хипербола, парабола и круг.

На пример:

Одреди го типот на кривата дадена со равенката:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Без можност за избор на полн квадрат, задачата не може да се реши, да ... Но, примерот никаде не е поедноставен! За оние кои се во темата, секако.

Групирајте ги членовите со X и со играта во купови и изберете целосни квадрати за секоја променлива. Ќе испадне:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Па како? Откривте каков ѕвер?) Па, се разбира! Круг со радиус е тројка центрирана во точката (3; 4).

И тоа е сè.) Корисна работа е изборот на целосен квадрат!)