Мерка топка. Повеќедимензионална музика на сфери perelman. Некои корисни апликации од други извори
Пред извесно време, на страницата за предпечатење arXiv.org се појавија два труда одеднаш, посветени на проблемот со најблиското пакување на топчиња во простори со димензии 8 и 24. До сега, слични резултати се познати само за димензиите 1, 2. и 3 (и не е сè толку едноставно овде, но повеќе за тоа подолу). Пробивот - а ние зборуваме за вистински револуционерен пробив - беше овозможен благодарение на работата на Марина Вјазовскаја, математичар родена во Украина, која сега работи во Германија. Приказната за ова достигнување ќе ја раскажеме во десет кратки раскази.
1.
Во 16 век, познатиот судски лик и поет Сер Волтер Рали живеел во Англија. Тој беше познат, пред сè, по тоа што еднаш ја фрли својата скапа наметка пред кралицата во локва за нејзиното височество да не и ги извалка нозете. Но, тоа не е причината зошто ние сме заинтересирани за тоа.
Сер Волтер Рали имал страст - многу сакал да ограбува шпански бродови и да го бара Ел Дорадо. И тогаш еден ден Рали видел куп наредени топовски ѓубре на бродот. И си помислив (ова им се случи на британските дворјани), велат тие, би било убаво кога би можеле да дознаете колку јадра има во еден куп без да ги броите. Придобивките од таквото знаење, особено ако уживате во ограбувањето на шпанската флота, се очигледни.
Волтер Рали
Самиот Рали не бил многу добар во математиката, па овој проблем му го дал на својот помошник Томас Хариот. Тој, пак, беше силен во математиката (Хариот, патем, е пронаоѓач на знаците „>“ и „<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
За коментари, тој се обрати до познатиот математичар од своето време, Јоханес Кеплер - тогашниот помошник на Тихо Брахе. Кеплер не дал одговор, но се сетил на проблемот. Во 1611 година, тој објави мал памфлет во кој разговараше за четири прашања: зошто пчелите имаат хексагонални чешли, зошто цветните ливчиња најчесто се групирани во пет ( Кеплер веројатно мислел саморозова - прибл. N+1), зошто зрната калинка се обликувани како додекаедони (иако неправилни) и зошто, конечно, снегулките имаат облик на шестоаголници.
Јоханес Кеплер
Памфлетот беше наменет за подарок, па беше повеќе филозофско и забавно четиво отколку вистинско научно дело. Кеплер го поврза одговорот на првото прашање со два услова - не треба да има празнини меѓу клетките, а збирот на клеточните површини треба да биде минимален. Авторот го поврзал второто прашање со броевите на Фибоначи, а разговорот за снегулките го поттикнал Кеплер да расудува за атомските симетрии.
Третото прашање ја покрена хипотезата дека хексагонално блиско пакување(тоа е на сликата подолу) е најгусто (што значи дека е и помал во математичка смисла). Се разбира, Кеплер не сметал дека е неопходно да се повика на Хариот. Затоа, оваа изјава се нарекува хипотеза на Кеплер. Законот на Стиглер - ака принципот на Арнолд - во акција.
Да, 7 години по објавувањето на овој памфлет, сер Волтер Рали беше обезглавен. Сепак, ова немаше никаква врска со проблемот со густото пакување.
2.
Според современите стандарди, задачата што ја реши Хариот не беше тешка. Затоа, ќе го анализираме подетално. И во исто време, подобро ќе разбереме како функционира хексагоналното блиско пакување.
Значи, главниот услов е еден куп јадра да не се тркалаат за време на pitching. Значи, поставете ги јадрата по ред на палубата. Во следниот ред ги ставаме јадрата така што топчињата се ставаат во процепите меѓу сферите од првиот ред. Ако има n топчиња во првиот ред, тогаш има n - 1 во вториот (бидејќи меѓу топчињата има една празнина помалку од самите топчиња). Следниот ред ќе биде едно јадро помалку. И така натаму, додека не добиеме ваков триаголник (ако го погледнете распоредот одозгора):
Оние кои се сеќаваат што е аритметичка прогресија лесно ќе пресметаат дека ако имало n топчиња во првиот ред, тогаш има n (n + 1)/2 топки во таков триаголник. Кога се гледа одозгора, има погодни вдлабнатини помеѓу топчињата. Таму ќе го додадеме вториот слој топчиња. Ова ќе резултира со триаголник организиран како првиот, само со една топка помалку на страна. Така, ставаме уште n(n - 1)/2 топчиња во купот.
Продолжуваме да поставуваме слоеви додека не добиеме слој од една топка. Добивме триаголна пирамида од јадра. За да дознаете колку јадра има, треба да го соберете бројот на јадра во секој слој. Ако првиот слој беше со страна n, тогаш добиваме n слоеви, кои вкупно ќе дадат n(n + 1)(n + 2)/6. Истражувачкиот читател ќе забележи дека токму тоа е биномниот коефициент C 3 n + 2 . Оваа комбинаторна коинциденција не е без причина, но нема да навлегуваме во неа.
Патем, покрај оваа задача, Хариот можеше приближно да одреди каков дел заземаат јадрата во доволно голем сад, ако го земеме обликот на вториот за коцка. Се покажа дека пропорцијата е π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
Што значи зборот најгустово изјавата за проблемот? Рали, Хариот, па дури и самиот Кеплер не дадоа точен одговор на ова. Се подразбираше најгустото во некоја разумна смисла. Сепак, оваа формулација не е погодна за математика. Треба да се разјасни.
Ајде прво да ја спуштиме димензијата подолу и да видиме како сè функционира во авионот. За дводимензионалниот случај, проблемот се претвора во следново: нека се дадат бесконечно множество кругови што не се сечат во внатрешниот дел (но, можеби, допираат - односно имаат заедничка точка на границата) кругови на авионот. Ајде да нацртаме квадрат. Го пресметуваме збирот на плоштините на парчињата кругови што паднале во квадратот. Да го земеме односот на оваа сума со плоштината на квадратот и ќе ја зголемиме страната на квадратот, гледајќи ја промената во односот.
Добиваме функција f(a), каде а- страна на квадрат. Ако имаме среќа, тогаш оваа функција со раст аргументот ќе се приближи асимптотички на некој број. Овој број се нарекува густина на даденото пакување. Важно е дека самата функција во одреден момент може да даде вредност поголема од густината. Навистина, ако квадратот е мал, тогаш тој целосно се вклопува во кругот и дефинитивниот сооднос е 1. Но, ние сме заинтересирани за просечната густина, односно, неформално кажано, „за квадрат со доволно голема страна“.
Меѓу сите такви густини, може да се најде максимум. Токму таа, како и пакувањето што го спроведува, ќе се нарече најгусто.
„Најгустото пакување не е нужно единствено (во асимптотичка смисла). Има бескрајно многу најгусти пакувања во 3-димензионалниот простор, па дури и Кеплер го знаеше ова“, вели Олег Мусин од Универзитетот во Тексас во Браунсвил.
Откако го дефиниравме концептот на најгусто пакување, лесно е да се разбере дека таквата дефиниција лесно може да се прошири на простор со произволна димензија n. Навистина, да ги замениме круговите со топчиња со соодветна димензија, односно збирки точки, од кои растојанието до фиксната (наречена центар) не надминува одредена вредност, наречена радиус на топката. Повторно, ајде да ги распоредиме така што било кои две во најдобар случај да се допрат, во најлош случај - да немаат воопшто заеднички точки. Ја дефинираме истата функција како во претходниот случај земајќи го волуменот на n-димензионална коцка и збирот на волумените на соодветните n-димензионални топчиња.
4.
Значи, разбравме дека претпоставката на Кеплер е проблемот на најблиското пакување на тридимензионални топчиња во тродимензионален простор. А што е со авионот (откако почнавме со него)? Или дури и директно? Со права линија, сè е едноставно: топката на права линија е сегмент. Правата линија може целосно да биде покриена со идентични сегменти што се сечат на краевите. Со оваа покриеност, функцијата f(a)е константна и еднаква на 1.
Во авионот сè се покажа како нешто покомплицирано. Значи, да почнеме со збир на точки на авионот. Велиме дека ова множество точки формира решетка ако можеме да најдеме пар вектори v и w така што сите точки се добиваат како N*v + M*w, каде што N и M се цели броеви. Слично на тоа, решетка може да се дефинира во простор со произволно големи димензии - потребни се само повеќе вектори.
Решетките се важни поради многу причини (на пример, атомите претпочитаат да се наоѓаат на местата на решетката кога станува збор за цврсти материјали), но за математичарите тие се добри затоа што се многу погодни за работа. Затоа, од сите пакувања, одделно се разликува класа во која центрите на топчињата се наоѓаат на јазлите на решетката. Ако се ограничиме на овој случај, тогаш на авионот има само пет типа решетки. Најгустото пакување од нив се добива на начин на кој точките се распоредени на темињата на правилни шестоаголници - како саќе во пчелите или атоми во графен. Овој факт го докажа Лагранж во 1773 година. Поточно: Лагранж не бил заинтересиран за густи пакувања, туку го интересирале квадратните форми. Веќе во 20 век стана јасно дека резултатот на густината на пакувањето за дводимензионални решетки следи од неговите проформни резултати.
„Во 1831 година Лудвиг Зибер напиша книга за тројни квадратни форми. Во оваа книга, изнесена е претпоставка која е еквивалентна на Кеплеровата претпоставка за решетки пакувања. Самиот Зибер можеше да докаже само слаба форма на својата хипотеза и да ја тестира за голем број примери. Оваа книга беше прегледана од големиот Карл Фридрих Гаус. Во овој преглед, Гаус дава навистина неверојатен доказ кој се вклопува во 40 линии. Ова, како што сега велиме, е „олимпијада“ доказ што е разбирлив за средношколец. Многу математичари се обиделе да најдат скриено значење во доказот на Гаус, но досега никој не успеал“, вели Олег Мусин.
Што се случува, сепак, ако состојбата на мрежата се напушти? Тука работите стануваат малку покомплицирани. Првиот полноправен обид да се справи со овој случај го направи норвешкиот математичар Аксел Тју. Ако ја погледнете страницата посветена на Вто на Википедија, тогаш таму нема да најдеме ништо за тесно пакување. Тоа е разбирливо - Туе објави два труда, кои повеќе потсетуваат на есеи отколку на обични математички трудови, во кои, како што му се чинеше, целосно го реши проблемот со густото пакување. Единствениот проблем беше што никој освен самиот Тју не беше убеден во неговото размислување.
Ласло Фејес Тот
Данзер, Лудвиг / Викимедија
Проблемот конечно го решил унгарскиот математичар Ласло Фејес Тот во 1940 година. Се испостави, патем, дека распоредот на кругови во авионот, реализирајќи го најгустото пакување, е уникатен.
5.
Тесно поврзан со проблемот со затворањето на пакувањето е проблемот со бројот за контакт. Ајде повторно да разгледаме круг на авион. Колку кругови со ист радиус може да се распоредат околу него така што сите ќе го допрат централниот? Одговорот е шест. Навистина, да погледнеме два соседни круга кои се во контакт со нашиот централен. Да го погледнеме растојанието од центарот на централниот круг до центрите на овие два. Тоа е еднакво 2R, каде Ре радиусот на кругот. Растојанието помеѓу центрите на соседните кругови не надминува 2R.Пресметувајќи го аголот во центарот на централниот круг според косинусовата теорема, добиваме дека не е помал од 60 степени. Збирот на сите централни агли треба да даде 360 степени, што значи дека не може да има повеќе од 6 такви агли, а ја знаеме локацијата на круговите со шест агли.
Добиениот број се нарекува контакт број на авионот. Слично прашање може да се постави за простори од која било димензија. Нека едноставноста на решението во авионот не го доведе читателот во заблуда - проблемот со броевите за контакт, ако е поедноставен од проблемот со густото пакување, не е многу. Но, во оваа насока се добиени повеќе резултати.
За тродимензионалниот простор, бројот за контакт стана предмет на јавен спор помеѓу самиот Исак Њутн и Џејмс Грегори во 1694 година. Првиот веруваше дека бројот за контакт треба да биде 12, а вториот - дека 13. Работата е во тоа што не е тешко да се распоредат 12 топки околу централната - центрите на таквите топки лежат на темињата на правилен икозаедар ( има само 12 од нив). Но, овие топки не се допираат! На прв поглед се чини дека може да се поместат за да се провлече уште една, 13-та топка. Ова е речиси точно: ако топките се малку поместени, правејќи го растојанието помеѓу нивните центри и центарот на централниот 2R,но само 2.06R,тогаш веќе ќе се вклопат 13 топки. Но, за допирање на топки, Грегори погрешил - овој факт го докажаа ван дер Ваарден и Шут во 1953 година.
За димензија 4, овој проблем беше решен од Олег Мусин во 2003 година. Таму бројот за контакт испадна 24.
6.
Покрај овие димензии 1, 2, 3 и 4, познати се и контактните броеви во димензиите 8 и 24. Зошто овие димензии? Факт е дека за нив има многу интересни решетки наречени E8 и решетката Leech.
Значи, веќе сфативме што е решетка. Важна карактеристика на решетката за математика е нејзината симетрија. Под симетрија, се разбира, не мислиме на субјективни сензации (и кој, на пример, ќе ја претстави оваа решетка во димензии од четири?), туку бројот на различни видови движења на просторот што ја преведуваат оваа решетка во себе. Да објасниме со пример.
Да ја земеме истата хексагонална решетка што го остварува најгустото пакување на авионот. Лесно е да се разбере дека решетката се трансформира во себе ако се помести со векторите v и w кои беа во дефиницијата. Но, покрај тоа, решетката може да се ротира околу центарот на шестоаголникот. И има 6 такви ротации: 0, 60, 120, 180, 240, 300 степени. Покрај тоа, решетката може да се прикаже симетрично околу која било оска на симетрија на сложениот шестоаголник. Мала вежба покажува дека, не сметајќи ги смените, добиваме 12 трансформации. Кај другите решетки има помалку такви трансформации, па затоа велиме дека се помалку симетрични.
Сега, E8 и решетката Лич се неверојатно симетрични решетки. E8 се наоѓа во 8-димензионален простор. Оваа решетка ја измислиле руските математичари Коркин и Золотарев во 1877 година. Се состои од вектори, чиишто координати се цели броеви, а нивниот збир е парен. Таквата решетка, минус поместувања, има 696.729.600 трансформации. Лич мрежата постои во дваесет и четири димензии. Се состои од вектори со целобројни координати и условот - збирот на координатите минус која било координата помножена со 4 е делива со 8. Има само колосален број на симетрии - 8.315.553.613.086.720.000 парчиња.
Значи, во 8-димензионален и 24-димензионален простор, топчињата лоцирани на темињата на истите овие решетки допираат 240 и 19650 топчиња, соодветно. Изненадувачки, токму тоа се броевите за контакт (види точка 5) за простори со соодветната димензија.
7.
Сега да се вратиме на тродимензионалниот случај и на хипотезата на Кеплер (онаа за која зборувавме на самиот почеток). Оваа задача се покажа многу пати потешка од нејзините претходници.
Да почнеме со фактот дека има бесконечно многу пакувања со иста густина како хексагоналната густа. Почнавме да го поставуваме, почнувајќи од топчињата поставени на јазлите на хексагоналната решетка. Но, можете да го направите поинаку: на пример, на првото ниво, преклопете ги топчињата на квадрат, односно така што врвовите на топчињата се наоѓаат на јазлите на веќе квадратна решетка. Во овој случај, секоја топка допира четири соседи. Вториот слој, како и во случајот со шестоаголниот, ќе биде поставен одозгора во празнините помеѓу топчињата од првиот слој. Таков пакет се нарекува кубно пакување во центарот на лицето.Патем, ова е единствената најгуста решетка во вселената.
На прв поглед, се чини дека ова пакување треба да биде полошо, бидејќи празнините помеѓу четирите топчиња во првиот слој се многу поголеми (според сензациите) од празнините во шестоаголното густо пакување. Но, кога ќе го ставиме вториот ред, топчињата - токму затоа што празнините се поголеми - тонат подлабоко. Како резултат на тоа, како што се испоставува, густината е иста како порано. Всушност, се разбира, финтата е во тоа што вакво пакување се добива ако се гледа на шестоаголникот од друг агол.
Излегува дека во тродимензионалниот простор нема толку убави уникатни решетки како, на пример, хексагонални на авион или Е8 во 8-димензионален простор. На прв поглед е сосема неразбирливо како да се бара најгустото пакување во тродимензионален простор.
8.
Решението на хипотезата на Кеплер се роди во неколку фази.
Прво, Фејз Тот, истиот Унгарец кој го реши проблемот со густото пакување во авион, ја искажа следнава претпоставка: за да се разбере дали пакувањето е густо или не, доволно е да се разгледаат конечни кластери на топки. Како што дознавме, за разлика од авионот, ако централната топка допре 12 соседи, тогаш меѓу нив има празнини. Затоа, Фејеш Тот предложи да се проучат кластерите што се состојат од централна топка, нејзините соседи и соседите на соседите.
Работата е дека оваа претпоставка е направена во 60-тите години на минатиот век. А проблемот со минимизирање на волуменот на таков кластер е, всушност, нелинеарен проблем за оптимизација за функција од околу 150 променливи (секоја топка има центар, таа е дадена со три координати). Грубо кажано, таквата функција треба да најде минимум под некои дополнителни услови. Од една страна, задачата стана конечна, но од друга страна, таа е целосно неподнослива од пресметковна гледна точка за една личност. Но, Фејеш Тот не беше вознемирен и рече дека многу наскоро компјутерите ќе ја имаат потребната компјутерска моќ. Тие ќе помогнат.
На математичарите многу им се допадна хипотезата на Фејес Тот и тие почнаа активно да работат во оваа насока. До почетокот на 1990-тите, проценките за максималната густина на пакување на сферите во тродимензионалниот простор постепено се намалуваа. Идејата беше дека во одреден момент проценката ќе биде еднаква на густината на кубното пакување во центарот на лицето и, според тоа, ќе се докаже претпоставката на Кеплер. Во тоа време, математичарот Томас Хејлс ги објавил своите први трудови за пакување. За работа, тој избра објект наречен Делонеј ѕвезди (во чест на советскиот математичар Борис Делоне). Тоа беше храбар чекор - во тој момент ефективноста на таквите предмети за проучување на проблемот со пакувањето беше сомнителна.
По само 8 години напорна работа, во 1998 година, Хејлс го заврши доказот на претпоставката на Кеплер. Тој го сведе доказот на конечно комбинаторно набројување на различни структури како што се ѕвездите на Делоне. За секоја таква комбинаторна структура, беше неопходно да се зголеми густината. Бидејќи компјутерот работи нормално само со цели броеви (едноставно затоа што во математиката броевите најчесто се бесконечни дропки), за секој случај Делоне автоматски изградил приближување одозгора користејќи симболични рационални пресметки (рационални броеви, на крајот на краиштата, ако не ги преведете во децимални дропки, само неколку цели броеви). Со ова приближување, тој доби горна проценка за максимумот на густината. Како резултат на тоа, сите проценки се покажаа дека се помали од онаа дадена од кубното пакување во центарот на лицето.
Меѓутоа, многу математичари беа збунети од ситуацијата во која беше изграден компјутер за да се изгради приближна вредност. За да докаже дека нема грешки во компјутерскиот дел од доказот, Хејлс започнал со формализирање и верификација, иако и со помош на компјутер. Оваа работа, на која работеше прилично голем меѓународен тим, беше завршена во август 2014 година. Не беа пронајдени грешки во доказот.
9.
Доказите за димензиите 8 и 24 не бараат компјутер и се нешто поедноставни. Пред извесно време беа добиени многу добри проценки за проценка на максималната густина на пакување во овие димензии. Ова го направија математичарите Кон и Елкис во 2003 година. Патем, оваа проценка (наречена е и граница Кон-Елкиес) неколку години пред самите Кон и Елкиес беше пронајдена од рускиот математичар Дмитриј Горбачов од Тула. Сепак, тој го објави ова дело на руски и во списание во Тула. Кон и Елкис не знаеле за ова дело, а кога им било кажано, тие, патем, се повикале на тоа.
„Границата Кон-Елкис се појави врз основа на работата на Жан Фредерик Делсарт и нашите прекрасни математичари Григориј Кабатјански и Владимир Левенштајн. Асимптотичната (во однос на просторната димензија) проценка за густината на пакувањата на топчињата во n-димензионален простор, добиена од Кабатијански и Левенштајн, се „држи“ од 1978 година. Патем, ова е Левенштајн и, независно, Американците Одлижко и Слоун го решија проблемот со контактните броеви во димензии 8 и 24 во 1979 година. Тие директно го користеа методот Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein“, вели Олег Мусин.
Проценките на Kohn и Elkies се всушност точни за сите пакувања, но во димензиите 8 и 24 тие даваат многу добра апроксимација. На пример, проценката на математичарот е само околу 0,0001 отсто поголема од густината Е8 во осум димензии. Затоа, се појави задачата да се подобри оваа проценка - на крајот на краиштата, решението, се чини, е веќе во близина. Згора на тоа, во 2012 година, истиот Дмитриј Горбачов аплицираше (и победи) за грант од Фондацијата Династија. Во пријавата тој експлицитно изјавил дека планира да ја докаже густината на пакувањето на Е8 во осумдимензионален простор.
Тие велат дека друг математичар, Андреј Бондаренко, го поттикнал Горбачов да даде таква храбра изјава, всушност, ментор, еден од научните надзорници на Марина Вјазовска, оној кој го решил проблемот за 8-димензионален простор (и коавтор за 24-димензионален простор). Тоа е Бондаренко кому му се заблагодарува на крајот на нејзината пробивна работа. Така, Бондаренко и Горбачов не успеаја, но Вјазовскаја успеа. Зошто?
Марина Вјазовска
Универзитетот Хумболт во Берлин
Проценката на Kohn-Elkies ја поврзува густината на пакувањето со својството на некоја функција од соодветното множество. Грубо кажано, за секоја таква функција се конструира проценка. Односно, главната задача е да најдеме соодветна функција, така што добиената проценка ќе испадне дека е она што ни треба. Значи, клучната состојка во изградбата на Вјазовскаја се модуларните форми. Веќе ги спомнавме во однос на доказот на Последната теорема на Ферма, за која . Ова е прилично симетричен објект кој постојано се појавува во различни гранки на математиката. Токму овој комплет со алатки овозможи да се најде саканата функција.
Во 24-димензионалниот простор, проценката е добиена на ист начин. Ова дело има повеќе автори, но се заснова на истото достигнување на Вјазовскаја (иако, се разбира, малку адаптирано). Патем, во трудот е докажан уште еден извонреден факт: решетката Лич имплементира уникатно периодично најгусто пакување. Тоа е, сите други периодични пакувања имаат густина помала од оваа. Според Олег Мусин, сличен резултат за периодични пакувања може да биде точен и во димензиите 4 и 8.
10.
Од гледна точка на апликациите, проблемот со густото пакување во високодимензионални простори е, пред сè, проблемот на оптимално кодирање со корекција на грешки.
Замислете дека Алис и Боб се обидуваат да комуницираат користејќи радио сигнали. Алис вели дека ќе му испрати на Боб сигнал составен од 24 различни фреквенции. Боб ќе ја мери амплитудата на секоја фреквенција. Како резултат на тоа, тој ќе добие сет од 24 амплитуди. Тие, се разбира, поставија точка во 24-димензионалниот простор - на крајот на краиштата, ги има 24. Боб и Алис земаат, да речеме, речник на Дал и на секој збор му доделуваат свој сет од 24 амплитуди. Излегува дека зборовите од речникот на Дал ги кодиравме со точки од 24-димензионален простор.
Во идеален свет, ништо повеќе не е потребно. Но, вистинските канали за пренос на податоци додаваат шум, што значи дека за време на декодирањето, Боб може да добие збир на амплитуди што не одговараат на ниту еден од зборовите. Но, тогаш тој може да го погледне зборот најблизок до дешифрираната верзија. Ако постои, тогаш веројатно е. За да можете секогаш да го правите тоа, неопходно е точките на просторот да се наоѓаат што е можно подалеку една од друга. Тоа е, на пример, ако нивото на бучава е такво што се воведува дисторзија што го поместува резултатот за вектор со должина најмногу една, тогаш две кодни точки мора да бидат точно најмалку две оддалечени. Тогаш, дури и со изобличувања, резултатот на Боб секогаш ќе биде блиску до еден единствен збор - оној што е потребен.
Во исто време, ниту јас навистина не сакам да надувам многу зборови - имаме прилично ограничен опсег во кој можеме да пренесуваме информации. Да речеме дека би било чудно (и не многу ефективно) ако Алис и Боб почнат да комуницираат на рендген. Затоа, идеално, растојанието помеѓу соседните кодни зборови треба да биде точно два. А тоа значи дека зборовите се наоѓаат на темињата на топчиња со радиус 1, густо спакувани во 24-димензионален простор.
Неодамна направив едноставен трагач за зраци за 3D сцени. Тоа беше напишано во JavaScript и не беше многу брзо. За забава, напишав raytracer во C и му дадов режим на рендерирање 4D - во овој режим може да проектира 4D сцена на рамен екран. Под резот ќе најдете неколку видеа, неколку слики и шифра за следење на зраци.
Зошто да напишете посебна програма за цртање 4Д сцена? Можете да земете обичен трагач за зраци, да ставите 4Д сцена и да добиете интересна слика, но оваа слика воопшто нема да биде проекција на целата сцена на екранот. Проблемот е што сцената има 4 димензии, а екранот е само 2, и кога трагачот на зраци исфрла зраци низ екранот, покрива само 3-димензионален потпростор и само 3-димензионален дел од 4-димензионална сцена ќе да бидат видливи на екранот. Едноставна аналогија: обидете се да проектирате 3D сцена на 1D сегмент.
Излегува дека 3-димензионален набљудувач со 2-димензионална визија не може да ја види целата 4-димензионална сцена - во најдобар случај, тој ќе види само мал дел. Логично е да се претпостави дека е попогодно да се гледа 4-димензионална сцена со 3-димензионална визија: одреден 4-димензионален набљудувач гледа во некој објект и се формира 3-димензионална проекција на неговиот 3-димензионален аналог на мрежницата. Мојата програма ќе ја следи оваа 3Д проекција. Со други зборови, мојот трагач на зраци го прикажува она што го гледа 4D набљудувачот со нивната 3D визија.
Карактеристики на 3D визија
Замислете дека гледате во круг хартија што е точно пред вашите очи - во овој случај, ќе видите круг. Ако го ставите овој круг на масата, ќе видите елипса. Ако го погледнете овој круг од далечина, тој ќе изгледа помал. Слично за тридимензионална визија: четиридимензионалната топка ќе му се појави на набљудувачот како тридимензионален елипсоид. Подолу се неколку примери. На првиот ротираат 4 идентични меѓусебно нормални цилиндри. На втората, рамката на 4-димензионална коцка се ротира.
Да продолжиме со размислувањата. Кога гледате топка со рефлектирачка површина (на пример, божиќна декорација), одразот е како да е нацртан на површината на сферата. Исто така за 3D визија: гледате во 4D топка и рефлексиите се нацртани како на нејзината површина. Само сега површината на 4-димензионалната топка е тродимензионална, па кога гледаме на 3-димензионална проекција на топката, рефлексиите ќе бидат внатре, а не на површината. Ако го направиме трагачот на зраци да емитува зрак и го најдеме најблискиот пресек со 3D проекцијата на топката, тогаш ќе видиме црн круг - површината на 3D проекцијата ќе биде црна (ова следува од формулите на Френел). Изгледа вака:
За 3D визија тоа не е проблем, бидејќи за неа се гледа целата 3D топка и се гледаат внатрешните точки како и оние на површината, но треба некако да го пренесам овој ефект на рамен екран, па направив дополнителна Режим на raytracer кога смета дека тродимензионалните објекти се како да се зачадени: зракот поминува низ нив и постепено ја губи енергијата. Излегува вака:
Истото важи и за сенките: тие не паѓаат на површината, туку во 3D проекции. Излегува дека внатре во 3-димензионална топка - проекција на 4-димензионална топка - може да има затемнета област во форма на проекција на 4-димензионална коцка, ако оваа коцка фрла сенка на топката. Не сфатив како да го пренесам овој ефект на рамен екран.
Оптимизации
Следењето зраци на 4D сцена е потешко од 3D: во случај на 4D, треба да ги најдете боите на 3D област, а не на рамна. Ако напишете трагач на зраци „на челото“, неговата брзина ќе биде исклучително мала. Постојат неколку едноставни оптимизации кои можат да го намалат времето на рендерирање за слика од 1000x1000 на неколку секунди.
Првото нешто што ви привлекува внимание кога гледате вакви слики се куп црни пиксели. Ако ја отсликате областа каде зракот за следење на зраци удира барем еден објект, тоа ќе изгледа вака:
Може да се види дека приближно 70% се црни пиксели и дека белата област е поврзана (поврзана е затоа што 4D сцената е поврзана). Можете да ги пресметате боите на пикселите во ред, но погодете еден бел пиксел и направете пополнување од него. Ова само ќе ги следи белите пиксели + неколку црни пиксели кои ја претставуваат границата од 1 пиксели на белата област.
Втората оптимизација е добиена од фактот дека фигурите - топчиња и цилиндри - се конвексни. Ова значи дека за било кои две точки во таква слика, сегментот што ги поврзува, исто така, целосно лежи во фигурата. Ако зракот пресекува конвексен објект, додека точката А лежи внатре во објектот, а точката Б е надвор, тогаш остатокот од зракот од страната Б нема да го пресече објектот.
Уште неколку примери
Овде коцката се ротира околу центарот. Топката не ја допира коцката, но на 3D проекција тие можат да се сечат.
Во ова видео, коцката е неподвижна, а 4-димензионален набљудувач лета низ коцката. Таа 3-димензионална коцка која изгледа поголема е поблиску до набљудувачот, а онаа што е помала е подалеку.
Подолу е класичната ротација во рамнините на оските 1-2 и 3-4. Таквата ротација е дадена со производот на две Гивенс матрици.
Како функционира мојот трагач на зраци
Кодот е напишан во ANSI C 99. Можете да го преземете. Тестирав на ICC+Windows и GCC+Ubuntu.
Програмата прифаќа текстуална датотека со опис на сцената како влез.
Сцена = ( објекти = -- листа на објекти во сцената ( група -- група на објекти може да има доделена афина трансформација ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), светла = -- листа на светла ( light((0.2, 0,1, 0,4, 0,7), 1), светлина ((7, 8, 9, 10), 1), ) ) оскацикл = 0,1 -- радиус на цилиндарот оска 1 = цилиндар ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), осовина, материјал = (боја = (1, 0, 0))) оска 2 = цилиндар ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, материјал = (боја = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = цилиндар ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, материјал = (боја = (0 , 0, 1)) ) оска 4 = цилиндар ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), оскицил, материјал = (боја = (1, 1, 0)) )
После тоа, го анализира овој опис и создава сцена во неговото внатрешно претставување. Во зависност од димензијата на просторот, тој ја рендерира сцената и добива или четиридимензионална слика како погоре во примерите, или редовна тридимензионална слика. За да го претворите 4D ray tracer во 3D ray tracer, треба да го промените параметарот vec_dim од 4 на 3 во датотеката vector.h. Можете исто така да го поставите во параметрите на командната линија за компајлерот. Составување во GCC:
cd /home/ корисничко име/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Тестирање:
/дома/ корисничко име/rt/rt cube4d.сцена cube4d.bmp
Ако го компајлирате raytracer со vec_dim = 3, тогаш тој ќе произведе редовна коцка за сцената cube3d.scene.
Како е направено видеото
За да го направам ова, напишав скрипта Луа која ја пресмета матрицата на ротација за секоја рамка и ја приложи на референтната сцена.
Оски = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- оска 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- оска 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- оска 3 (0, 0 , -0,358, 0,933) -- оска 4 ) сцена = ( објекти = ( група ( оски = оски, оска 1, оска 2, оска3, оска 4 ) ), )
Групниот објект, покрај списокот на објекти, има два параметри на афина трансформација: оски и потекло. Со менување на оските, можете да ги ротирате сите објекти во групата.
Скриптата потоа го повика компајлираниот raytracer. Кога беа рендерирани сите рамки, сценариото го повика mencoder и собра видео од поединечни слики. Видеото е направено на таков начин што може да се стави на автоматско повторување - т.е. Крајот на видеото е ист како и почетокот. Скриптата работи вака:
Играј animate.lua
И, конечно, во оваа архива има 4 avi-датотеки 1000 × 1000. Сите тие се циклични - можете да го ставите на автоматско повторување и добивате нормална анимација.
Тагови:
- трагач на зраци
- четиридимензионален простор
Уште кога бев студент во прва година, имав жестока расправија со еден од моите соученици. Тој рече дека четиридимензионалната коцка не може да биде претставена во ниедна форма, а јас уверив дека може да се претстави сосема јасно. Потоа дури направив проекција на хиперкоцка на нашиот тродимензионален простор од клипови за хартија... Но, ајде да разговараме за сè по ред.
Што е хиперкоцка и четиридимензионален простор
Постојат три димензии во нашиот вообичаен простор. Од геометриска гледна точка, тоа значи дека во него може да се наведат три меѓусебно нормални линии. Тоа е, за која било линија, можете да најдете втора права нормална на првата, а за пар, можете да најдете трета права нормална на првите две. Веќе нема да може да се најде четвртата права линија нормална на трите постоечки.
4D просторсе разликува од нашата само по тоа што има уште една дополнителна насока. Ако веќе имате три меѓусебно нормални линии, тогаш можете да ја најдете четвртата, таква што ќе биде нормална на сите три.
хиперкоцкатоа е само коцка во четири димензии.
Дали е можно да се замисли четиридимензионален простор и хиперкоцка?
Ова прашање е слично на прашањето: „Дали е можно да се замисли Тајната вечера гледајќи ја истоимената слика (1495-1498) од Леонардо да Винчи (1452-1519)?
Од една страна, се разбира, нема да замислите што видел Исус (тој седи свртен кон гледачот), особено затоа што нема да ја мирисате градината надвор од прозорецот и вкусот на храната на масата, нема да ги слушате птиците пеејќи ... Нема да добиете целосна слика за тоа што се случи вечерта, но не може да се каже дека нема да научите ништо ново и дека сликата не ве интересира.
Слична е ситуацијата и со прашањето за хиперкоцката. Невозможно е целосно да се замисли, но можете да се приближите до разбирање што е тоа.
Изградба на хиперкоцка
0-димензионална коцка
Да почнеме од почеток - со 0-димензионална коцка. Оваа коцка содржи 0 меѓусебно нормални лица, односно е само точка.
1-димензионална коцка
Во еднодимензионалниот простор имаме само една насока. Ја поместуваме точката во оваа насока и добиваме сегмент.
Ова е еднодимензионална коцка.
2 димензионална коцка
Имаме втора димензија, ја поместуваме нашата еднодимензионална коцка (сегмент) во насока на втората димензија и добиваме квадрат.
Тоа е коцка во две димензии.
3 димензионална коцка
Со доаѓањето на третата димензија, го правиме истото: го поместуваме квадратот и ја добиваме вообичаената тродимензионална коцка.
4-димензионална коцка (хиперкоцка)
Сега имаме четврта димензија. Односно, имаме на располагање правец нормален на сите три претходни. Ајде да го користиме на ист начин. 4Д коцката ќе изгледа вака.
Природно, тродимензионалните и четиридимензионалните коцки не можат да бидат прикажани на дводимензионална рамнина на екранот. Она што го нацртав се проекции. За проекции ќе зборуваме малку подоцна, но засега неколку голи факти и бројки.
Број на темиња, рабови, лица
Забележете дека лицето на хиперкоцката е нашата редовна 3Д коцка. Ако внимателно го погледнете цртежот на хиперкоцката, всушност можете да најдете осум коцки.
Проекции и визија на жител на четиридимензионален простор
Неколку зборови за видот
Живееме во тродимензионален свет, но го гледаме како дводимензионален. Ова се должи на фактот дека мрежницата на нашите очи се наоѓа во рамнина која има само две димензии. Затоа можеме да ги согледаме дводимензионалните слики и да ги најдеме слични на реалноста.
(Се разбира, благодарение на сместувањето, окото може да го процени растојанието до објектот, но ова е веќе несакан ефект поврзан со оптиката вградена во нашето око.)
Очите на жител на четиридимензионален простор мора да имаат тродимензионална мрежница. Таквото суштество може веднаш да види тродимензионална фигура целосно: сите негови лица и внатре. (На ист начин, можеме да видиме дводимензионална фигура, сите нејзини лица и внатре.)
Така, со помош на нашите органи на видот, не сме во можност да ја согледаме четиридимензионалната коцка на ист начин како што би ја воочил жител на четиридимензионален простор. За жал. Останува само да се потпреме на умното око и фантазијата, кои, за среќа, немаат физички ограничувања.
Меѓутоа, кога прикажувам хиперкоцка на авион, едноставно морам да ја проектирам на дводимензионален простор. Имајте го ова на ум кога студирате цртежи.
Раскрсници на рабовите
Природно, рабовите на хиперкоцката не се сечат. Раскрсниците се појавуваат само на бројки. Сепак, тоа не треба да изненадува, бидејќи и рабовите на обична коцка на фигурите се вкрстуваат.
Должини на ребрата
Вреди да се напомене дека сите лица и рабови на четиридимензионална коцка се еднакви. На сликата тие не се еднакви само затоа што се наоѓаат под различни агли во однос на насоката на гледање. Сепак, можно е да се одвитка хиперкоцката така што сите проекции да имаат иста должина.
Патем, на оваа слика се јасно видливи осум коцки, кои се лицата на хиперкоцката.
Хиперкоцка внатре празна
Тешко е да се поверува, но помеѓу коцките што ја врзаа хиперкоцката, има одреден простор (фрагмент од четиридимензионален простор).
За да го разбереме ова подобро, да разгледаме 2Д проекција на обична 3Д коцка (намерно ја направив малку скицирана).
Дали е можно од него да се погоди дека има малку простор внатре во коцката? Да, но само со имагинација. Окото не го гледа овој простор.
Тоа е затоа што рабовите лоцирани во третата димензија (која не може да се прикаже на рамен цртеж) сега се претворија во сегменти кои лежат во рамнината на цртежот. Тие повеќе не даваат волумен.
Плоштадите што го врзуваа просторот на коцката се преклопуваа еден со друг. Но, можете да замислите дека во оригиналната фигура (тродимензионална коцка) овие квадрати се наоѓале во различни рамнини, а не еден врз друг во иста рамнина, како што се покажа на сликата.
Истото важи и за хиперкоцката. Лицата на коцката на хиперкоцката всушност не се преклопуваат, како што ни изгледа на проекцијата, туку се наоѓаат во четиридимензионален простор.
Рејмери
Значи, жител на четиридимензионален простор може да види тродимензионален објект истовремено од сите страни. Можеме ли да видиме тродимензионална коцка од сите страни во исто време? Со окото, не. Но, луѓето смислиле начин да ги прикажат сите лица на тродимензионална коцка во исто време на рамен цртеж. Таквата слика се нарекува бришење.
Расклопување на 3Д коцка
Сите веројатно знаат како се формира расплетот на тродимензионална коцка. Овој процес е прикажан во анимацијата.
За јасност, рабовите на лицата на коцката се направени проѕирни.
Треба да се напомене дека ние сме во состојба да ја согледаме оваа дводимензионална слика само благодарение на имагинацијата. Ако ги земеме предвид фазите на расплетот од чисто дводимензионална гледна точка, тогаш процесот ќе изгледа чуден и нималку визуелен.
Изгледа како постепеното појавување прво на контурите на искривените квадрати, а потоа нивното ширење на место со истовремено усвојување на потребната форма.
Ако погледнете во коцка која се расплетува во правец на едно од нејзините лица (од оваа гледна точка, коцката изгледа како квадрат), тогаш процесот на формирање на развој е уште помалку јасен. Сè изгледа како извлекување од квадрати од почетниот квадрат (не расклопена коцка).
Но не визуелномете само за окото.
Како да се разбере 4-димензионалниот простор?
Само благодарение на имагинацијата, од него може да се соберат многу информации.
Расплетување на 4Д коцка
Едноставно е невозможно анимираниот процес на расплетување на хиперкоцката да се направи барем малку визуелен. Но, овој процес може да се замисли. (За да го направите ова, треба да го погледнете низ очите на четиридимензионално суштество.)
Ширењето изгледа вака.
Сите осум коцки што ја ограничуваат хиперкоцката се видливи овде.
Лицата се обоени со исти бои, кои треба да се усогласат при преклопување. Лицата за кои не се видливи спарените се оставени сиви. По превиткување, најгорното лице на горната коцка треба да се усогласи со долната страна на долната коцка. (Слично на тоа, развојот на тридимензионална коцка е срушен.)
Ве молиме имајте предвид дека по преклопувањето, сите лица на осумте коцки ќе дојдат во контакт, затворајќи ја хиперкоцката. И конечно, кога го претставувате процесот на превиткување, не заборавајте дека при превиткување, коцките не се надредени, туку се обвиткуваат околу одредена (хиперкубна) четиридимензионална површина.
Салвадор Дали (1904-1989) го прикажувал распнувањето многу пати, а крстови се појавуваат во многу негови слики. Сликата Распетие (1954) користи хиперкоцка бришење.
Простор-време и Евклидов четиридимензионален простор
Се надевам дека успеавте да ја замислите хиперкоцката. Но, дали успеавте да се приближите до разбирањето како функционира четиридимензионалниот простор-време во кој живееме? За жал, не навистина.
Овде зборувавме за Евклидовиот четиридимензионален простор, но простор-времето има многу различни својства. Особено, при секоја ротација, сегментите секогаш остануваат наклонети кон временската оска, или под агол помал од 45 степени или под агол поголем од 45 степени.
Посветив серија белешки за својствата на простор-времето.
3D слика
Светот е тродимензионален. Неговата слика е дводимензионална. Важна задача на сликарството и сега фотографијата е да се пренесе тродимензионалноста на просторот. Римјаните веќе совладале некои техники, потоа биле заборавени и почнале да се враќаат на класичното сликарство со ренесансата.
Главната техника за создавање тродимензионален простор во сликарството е перспективата. Железнички шини, оддалечувајќи се од гледачот, визуелно тесни. Во сликањето, шините може физички да се стеснуваат. При фотографијата, перспективата се појавува автоматски: камерата ќе ги снима шините онолку тесни колку што ги гледа окото. Сепак, не дозволувајте речиси да се затвори: повеќе нема да изгледа како перспектива, туку чудна фигура; помеѓу шините, страните на улицата, бреговите на реката, треба да се одржува забележлив јаз.
Важно е да се разбере дека линеарната перспектива е најпримитивниот, најреалниот начин да се пренесе светот.
Пост навигација
Не случајно нејзиниот изглед е поврзан со театарска сценографија (Флоренски, Обратна перспектива). Конвенционалноста, леснотијата на пренос на театарска сцена со мала длабочина е многу погодна за фотографирање, без различни техники достапни во сликарството.
Има перспективи кои се многу поинтересни отколку линеарни. Во делата на кинеските мајстори постои пловечка перспектива, кога предметите се прикажуваат истовремено одоздола, горе и напред. Тоа не беше техничка грешка на неспособните уметници: легендарниот автор на оваа техника, Гуо Кси, напиша дека таквиот приказ овозможува да се сфати светот во неговата севкупност. Слична е техниката на руското сликање икони, во која гледачот може да ги види лицето и грбот на ликот во исто време. Интересен метод на иконопис, пронајден и кај западноевропските уметници, беше обратната перспектива, во која далечните предмети, напротив, се поголеми од блиските, нагласувајќи ја нивната важност. Дури во наше време е утврдено дека таквата перспектива е точна: за разлика од далечните објекти, предниот план навистина се перцепира во обратна перспектива (Раушенбах). Со помош на Photoshop, можете да постигнете обратна перспектива со зголемување на објектите во заднина. За гледач навикнат на законите на фотографијата, таквата слика ќе изгледа чудно.
Воведувањето на аголот на зградата во рамката, од која ѕидовите се разминуваат во двете насоки, создава привид на изометриска перспектива. Мозокот разбира дека ѕидовите се под прав агол и соодветно го поставува остатокот од сликата. Таквата перспектива е подинамична од фронталната и поприродна за преден план. Само внесете ги крајните агли на предметите и тесно распоредените згради во рамката.
Поради проширувањето, изометриската перспектива е голема, што ретко е погодна за класичен портрет. Линеарната перспектива, поради стеснувањето, подобро пренесува помали емоции.
Во фазата на снимање, на фотографот му се достапни голем број алатки за да се нагласи перспективата. Објектите со еднаква ширина (патека, улица, колони, бразди) кои одат во далечина, со нивното стеснување, па дури и едноставно оддалечување, на гледачот му укажуваат на тродимензионалноста на просторот. Ефектот е посилен кога снимате од низок агол за да се зголеми изобличувањето на перспективата. Ова е доволно за фотографирање пејзаж, но со мала длабочина на слика на внатрешно фотографирање, ефектот е тешко забележлив. Може да се подобри малку при пост-обработка со стеснување на горниот дел од сликата (Transform Perspective). Сепак, дури и во пејзаж, хипертрофирана перспектива може да изгледа интересно.
Длабочината може да биде експлицитна во значењето на сликата: зградите се одделени со улица или река. Дијагоналата ја нагласува тродимензионалноста; како мост преку река.
Објектите со големина позната на гледачот во позадина ја поставуваат скалата и, соодветно, ја формираат перспективата. Во фотографијата на пејзаж, таков предмет може да биде автомобил, но во портретната фотографија, обидете се да ја свиткате и да ја ставите ногата под столот (подалеку од камерата) така што таа, иако останува видлива, изгледа помала. Можете дури и малку да ја намалите оваа нога при пост-обработка.
Орнаментот пренесува перспектива со визуелно намалување на елементите. Пример би биле големите плочки на подот, означувајќи линии на патот.
Постои техника на хипертрофиран преден план. Непропорционално голем, создава длабочина на сликата. Споредувајќи ги размерите на предниот план и моделот, окото заклучува дека моделот е многу подалеку отколку што изгледа. Хипертрофијата треба да остане суптилна, така што сликата не се доживува како грешка. Оваа техника е погодна не само за пост-обработка, туку и за фотографирање: нарушете ги пропорциите кога снимате со објектив од 35 или 50 mm. Снимањето со широкоаголна леќа го растегнува просторот, зголемувајќи ја неговата тродимензионалност поради нарушување на пропорциите. Ефектот е посилен ако го снимате моделот од непосредна близина, но внимавајте на гротескните пропорции: само авторите на религиозните слики можат да прикажат личност поголема од зграда.
Кросоверот работи одлично. Ако јаболкото делумно ја покрие крушата, тогаш мозокот нема да згреши: јаболкото е пред крушата. Моделот, кој делумно го покрива мебелот, на тој начин ја создава длабочината на ентериерот.
Алтернацијата на светли и темни дамки и дава длабочина на сликата. Мозокот знае од искуство дека блиските објекти се приближно подеднакво осветлени, така што различно осветлените објекти ги толкува како да се наоѓаат на различни растојанија. За овој ефект, точките наизменично се менуваат во насока на перспективната оска - длабоко во сликата, а не преку неа. На пример, кога снимате модел кој лежи подалеку од камерата во темна рамка, ставете светлински светлини во близина на задникот и во близина на нозете. Можете да ги осветлите/затемните областите при пост-обработка.
Се смета дека низа сè потемни објекти се намалуваат. Со постепено засенчување на објектите долж активната линија, можете да добиете суптилно чувство за перспектива. Слично на тоа, длабочината се пренесува со слабеење на светлината: поминете низа светлина над мебелот или на подот.
Може да се добие тродимензионална слика поради не само светлина, туку и контраст во боја. Оваа техника им била позната на фламанските сликари, кои поставувале светли обоени точки на нивните мртви природи. Црвената калинка и жолтиот лимон рамо до рамо ќе изгледаат тродимензионално дури и при рамно фронтално осветлување. Тие ќе се истакнат особено добро на позадината на виолетово грозје: топла боја на ладна позадина. Површините со светли бои добро излегуваат од темнината дури и со слабата светлина типична за мртва природа. Контрастот на боите работи подобро со основните бои црвена, жолта, сина, наместо со нијанси.
На црна позадина, жолтата доаѓа напред, сината се крие назад. На бела позадина - напротив. Заситеноста на бојата го подобрува овој ефект. Зошто се случува ова? Жолтата боја никогаш не е темна, па мозокот одбива да верува дека жолт предмет може да биде потопен во темна позадина, а не да биде осветлен. Сината, од друга страна, е темна.
Подобрувањето на перспективата во пост-обработката се сведува на симулирање на атмосферска перцепција: далечните објекти ни изгледаат полесни, матни, со намален контраст во осветленоста, заситеноста и тонот.
Покрај долгите растојанија, атмосферските ефекти природно изгледаат во утринската магла, магла, зачадена лента. Размислете за времето: во облачен ден или во самрак, не може да има значителна разлика помеѓу предниот план и позадината.
Најсилниот од факторите е контрастот во осветленоста. Во поставките, ова е вообичаен контраст. Намалете го контрастот на далечните објекти, подигнете го контрастот на предниот план - и сликата станува испакната. Не станува збор за контрастот помеѓу предниот и заднината, туку за контрастот на позадината, кој треба да биде помал од контрастот на предниот план. Овој метод е погоден не само за пејзажи и жанрско снимање, туку и за студиски портрети: подигнете го контрастот на предниот дел на лицето, намалете го контрастот на косата и јаготките, облеката. Филтрите за портрет прават нешто слично, замаглувајќи ја кожата на субјектот и оставајќи ги очите и усните остри.
Прилагодувањето на контрастот е најлесниот начин да се направи 3Д пост-обработка на слика. За разлика од другите процеси, гледачот тешко дека ќе ги забележи промените, со што ќе се зачува максималната природност.
Заматувањето е слично на намалувањето на контрастот, но тие се различни процеси. Сликата може да биде со низок контраст додека останува остра. Поради ограничената длабочина на полето, замаглувањето на далечните објекти останува најпопуларниот начин за пренесување на тродимензионалност во фотографијата, а лесно е да се подобри со замаглување на позадината при пост-обработка. Затоа, помалку детали треба да се стават во позадина - мозокот не очекува препознатливи предмети во далечината. Во меѓувреме, намалувањето на контрастот подобро одговара на природната перцепција: далечните планини се гледаат со низок контраст, а не заматен, бидејќи скенирањето на пејзажот, окото постојано се рефокусира, тоа е туѓо на проблемот со длабочината на полето. Со замаглување на позадината, можете истовремено да го заострите предниот план. Дополнително, во преден план, можете да ги подобрите линиите на сликата (Филтер за висок пропуст или јасност). Високата острина на предниот план е она што го објаснува карактеристичното испакнување на сликата на висококвалитетните леќи. Внимание: заради мало зголемување на тродимензионалноста, можете да ја направите сликата премногу тврда.
Полесните предмети изгледаат пооддалечени. Ова се должи на фактот дека во природата гледаме далечни објекти преку дебелината на воздухот што расфрла светлина; далечните планини изгледаат светли. Според тоа, при фотографијата на пејзаж, треба да се внимава на положбата на светлите објекти во преден план.
Осветлете ги далечните предмети. Колку подалеку, толку повеќе се спојуваат со сјајот и тонот на небото. Имајте предвид дека хоризонталните објекти (копно, море) се подобро осветлени од вертикалните (ѕидови, дрвја), затоа не претерувајте со осветлувањето на второто. Во секој случај, предметите треба да останат значително помалку светли од небото.
Па, ако забележите дека осветлувањето е уште еден начин да се намали контрастот во осветленоста на позадината. Затемнете го малку преден план за да го подобрите ефектот на испакнување.
Се чини дека во внатрешноста е точно спротивното. Ако на улица окото е навикнато на фактот дека растојанието е светло, тогаш во просторијата светлината често се фокусира на личноста, а внатрешноста е потопена во темнина; мозокот е навикнат на осветлување во преден план, а не во позадина.
Во внатрешните слики со плитка длабочина на сцената, за разлика од сликите на пејзаж, осветлениот модел излегува од темна позадина. Но, постои и спротивен фактор: 99% од неговата еволуција, човекот ја набљудувал перспективата на отворен простор, а со појавата на собите, мозокот сè уште немал време да се реорганизира. Вермер претпочиташе светла позадина за портрети, и тие се навистина конвексни. Осветлувањето на вертикалната позадина, препорачано на фотографијата, не само што го одвојува моделот од него, туку и со осветлување на позадината, на сликата и дава мала тродимензионалност. Овде се соочуваме со фактот дека мозокот ја анализира локацијата на предметите според неколку фактори, а тие можат да бидат во конфликт.
Интересно изгледа студиското осветлување, во кое светлосните точки лежат на областите на моделот оддалечени од камерата. На пример, градите што се наоѓаат подалеку од камерата се означени.
Намалете ја заситеноста на боите на далечните објекти: поради дебелината на воздухот што нè одвојува, далечните планини се дезаситени речиси до ниво на монохроматски и покриени со сина магла. Заситеноста на преден план може да се зголеми.
Бидејќи жолтата е светла, а сината и црвената се темни, контрастот на бојата е исто така контраст на осветленоста.
Дезатурација на далечната позадина, не дозволувајте да исчезне од погледот. Често, напротив, треба да ја зголемите заситеноста на позадината за да ја извадите. Ова е поважно од тридимензионалноста.
Многу совети за 3D фотографија се однесуваат на температурниот контраст. Всушност, овој ефект е многу слаб, лесно се прекинува со контрастот во осветленоста. Покрај тоа, температурниот контраст е досаден, впечатлив.
Многу оддалечените објекти изгледаат поладни бидејќи топлата портокалова светлина се апсорбира од воздухот. Кога фотографирате модел на плажа со бродови на хоризонтот во позадина, намалете ја температурата на бојата на далечното море и бродовите во пост-обработка. Манекенка во црвен костим за капење излегува од синото море, а модел во жолтото светло на улична светилка излегува од синкавиот самрак.
Ова е посебното тонирање: го правиме моделот потопол, а позадината постудена. Мозокот разбира дека нема различни температури на боја во иста рамнина и ја доживува таквата слика како тродимензионална, во која моделот штрчи од позадината. Посебното тонирање додава длабочина на пејзажите: направете го предниот план потопол, а позадината постудена.
Важен исклучок од поделеното тонирање: на изгрејсонце и зајдисонце, далечната позадина воопшто не е ладна, туку топла, со жолти и црвено-портокалови тонови. Очигледното решение - да користите бел модел во виолетов костим за капење - не функционира бидејќи светлината на зајдисонце дава топла нијанса и на телото на моделот.
Да резимираме, за да се даде тродимензионалност на фотографија врз основа на атмосферски ефекти, неопходно е да се направи контраст на предниот план и позадината. Главната опозиција е вообичаениот контраст: предниот план е контрастен, позадината е со низок контраст. Втората опозиција е во острина: предниот план е остар, позадината е матна. Третата опозиција е според леснотијата: предниот план е темен, заднината е светла. Четвртата опозиција е со заситеност: боите на преден план се заситени, боите на позадината се дезаситени. Петтата опозиција е во температурата: предниот план е топол, позадината е ладна.
Овие фактори често се повеќенасочни. Жолтата е посветла од сината, а светлите објекти се појавуваат подалеку од темните. Би било природно да се очекува жолтата да се повлече, а сината да му се приближи на гледачот. Всушност, спротивното е точно: топла боја излегува од ладна позадина. Односно, бојата се покажува како посилен фактор од осветленоста. Што, на размислување, не е изненадувачки: жолтата и црвената јасно се разликуваат само одблиску, а гледачот не очекува да ги сретне на голема далечина.
Крајна линија: одржувајте ја позадината со низок контраст, измиена, светла, дезаситена, синкава. И бидете подготвени за фактот дека гледачот, навикнат на хипертрофирани 3D филмови, ќе ја најде тродимензионалноста што сте ја создале едвај забележлива или отсутна.
Во портретот, најдобро е да се потпрете на докажаниот ефект на киароскуро, играта на светлината и сенката на лицето на субјектот, што ќе направи сликата да изгледа прилично истакната. Во жанровската фотографија, перспективата дава најзабележителен тридимензионален ефект. Во мртва природа, главниот фактор ќе биде пресекот (преклопувањето) на предметите.
Не се занесувајте од перспективата; тоа е само позадина за фронталната рамнина на која ти трепери сликата. Во модерното сликарство, далеку од реализмот, перспективата не се почитува.
Преземете ја целата книга: pdfepubazw3mobifb2litСодржина
|
|||||||||||||||||||||
|
Во 1904 година, Анри Поенкаре сугерираше дека секој тродимензионален објект што има одредени својства на тродимензионална сфера може да се трансформира во 3-сфера. Беа потребни 99 години за да се докаже оваа хипотеза. (Внимание! Тродимензионалната сфера не е она што мислите.) Рускиот математичар Григориј Перелман ја докажа претпоставката на Поенкаре направена пред сто години и го заврши создавањето на каталог на форми на тридимензионални простори.
Поенкаре сугерираше дека 3-сферата е единствена и дека ниту еден друг компактен 3-колектор (Некомпактни колектори се бесконечни или имаат рабови. Во она што следува, се разгледуваат само компактните колектори) ги има својствата што го прават толку едноставно. Покомплексните 3-колектори имаат граници што стојат како ѕид од тули или повеќекратни врски помеѓу некои области, како шумска патека што се дели и повторно се поврзува. Секој тродимензионален објект со својства на 3-сфера може да се трансформира во самата 3-сфера, така што за тополозите тоа е едноставно нејзина копија. Доказот на Перелман, исто така, ни овозможува да одговориме на третото прашање и да ги класифицираме сите постоечки 3-колектори.
Потребна ви е прилично голема имагинација за да замислите 3-сфера. За среќа, има многу заедничко со 2-сфера, чиј типичен пример е гумата на тркалезен балон: тој е дводимензионален, бидејќи секоја точка на неа е дадена со само две координати - географска ширина и должина. Ако земеме предвид доволно мал дел од него под моќна лупа, тогаш тоа ќе изгледа како парче рамен лист. На мал инсект што ползи по балон, тоа ќе изгледа како рамна површина. Но, ако бугерот се движи во права линија доволно долго, на крајот ќе се врати на својата почетна точка. На ист начин, ние би ја сфатиле 3-сферата со големина на нашиот Универзум како „обичен“ тродимензионален простор. Летајќи доволно далеку во која било насока, на крајот ќе го „заокружиме светот“ на него и ќе се вратиме на почетната точка.
Како што можеби претпоставувате, n-димензионалната сфера се нарекува n-сфера. На пример, 1-сферата е позната на сите: тоа е само круг.
Математичарите кои докажуваат теореми за простори со повисоки димензии не мора да го замислуваат предметот на проучување: тие се занимаваат со апстрактни својства, водени од интуиции засновани на аналогии со помали димензии (таквите аналогии треба да се третираат со претпазливост и да не се сфаќаат буквално). Ќе ја разгледаме и 3-сферата врз основа на својствата на објектите со помал број димензии.
1. Да почнеме со разгледување на круг и неговиот граничен круг. За математичарите, круг е дводимензионална топка, а круг е еднодимензионална сфера. Понатаму, топката од која било димензија е исполнет предмет, налик на лубеница, а сфера е нејзината површина, повеќе како балон. Кругот е еднодимензионален, бидејќи позицијата на точка на неа може да се определи со еден број.
2. Од два круга, можеме да изградиме дводимензионална сфера, претворајќи ја едната во Северната хемисфера, а другата во Јужната. Останува да ги залепиме, а 2-сферата е готова.
3. Замислете мравка која ползи од Северниот Пол во голем круг формиран од нулата и 180-тиот меридијан (лево). Ако го мапираме својот пат до два оригинални кругови (десно), ќе видиме дека инсектот се движи права линија (1) до работ на северниот круг (а), потоа ја преминува границата, удира во соодветната точка на јужен круг и продолжува да ја следи правата линија (2 и 3). Тогаш мравката повторно стигнува до работ (б), го преминува и повторно се наоѓа на северниот круг, брзајќи кон почетната точка - Северниот пол (4). Забележете дека за време на патување околу светот на 2-сферата, насоката на движење се менува кога се движите од еден круг во друг.
4. Сега разгледајте ја нашата 2-сфера и волуменот што го содржи (3D топката) и направете го истото со нив како што направивме со кругот и кругот: земете две копии од топката и залепете ги нивните граници заедно. Невозможно е, а не е неопходно, јасно да се покаже како топчињата се искривуваат во четири димензии и се претвораат во аналог на хемисферите. Доволно е да се знае дека соодветните точки на површините, т.е. 2-сферите се меѓусебно поврзани на ист начин како и во случајот со кругови. Резултатот од спојувањето на две топки е 3-сфера - површина на четиридимензионална топка. (Во четири димензии, каде што постојат 3-сфери и 4-топки, површината на објектот е тридимензионална.) Да ја наречеме едната топка северна хемисфера, а другата јужна хемисфера. По аналогија со круговите, столбовите сега се наоѓаат во центрите на топките.
5. Замислете дека топчињата за кои станува збор се големи празни површини од просторот. Да речеме дека астронаут го напушта Северниот пол на ракета. Со текот на времето стигнува до екваторот (1), кој сега е сферата што ја опкружува северната земјина топка. Преминувајќи ја, ракетата влегува во јужната хемисфера и се движи права линија низ нејзиниот центар - Јужниот пол - на спротивната страна на екваторот (2 и 3). Таму повторно се случува преминот кон северната хемисфера, а патникот се враќа на Северниот пол, т.е. до почетната точка (4). Ова е сценарио за патување низ светот на површина на 4-димензионална топка! Разгледуваната тродимензионална сфера е просторот наведен во претпоставката Поанкаре. Можеби нашиот универзум е само 3-сфера.
Расудувањето може да се прошири до пет димензии и да се изгради 4-сфера, но тоа е исклучително тешко да се замисли. Ако залепиме две n-топчиња долж (n-1)-сферите што ги опкружуваат, ќе добиеме n-сфера што ја ограничува (n+1)-топката.
Помина половина век пред претпоставката за Поанкаре да излезе од земја. Во 60-тите. 20-ти век математичарите докажаа слични изјави за сфери со пет или повеќе димензии. Во секој случај, n-сферата е навистина единствениот и наједноставниот n-колектор. Доволно чудно, се покажа дека е полесно да се добие резултат за повеќедимензионални сфери отколку за 3- и 4-сфери. Доказот за четири димензии се појави во 1982 година. А само оригиналната претпоставка на Поенкаре за 3-сферата остана непотврдена.
Одлучувачкиот чекор беше направен во ноември 2002 година, кога Григориј Перелман, математичар од Катедрата на Математичкиот институт во Санкт Петербург. Стеклов, испрати статија на страницата www.arxiv.org, каде физичари и математичари од целиот свет разговараат за резултатите од нивните научни активности. Тополозите веднаш ја фатија врската помеѓу работата на рускиот научник и хипотезата на Поенкаре, иако авторот не ја спомна директно.
Всушност, доказот на Перелман, чија исправност сè уште никој не можеше да ја доведе во прашање, решава многу поширок опсег на прашања од вистинската претпоставка на Поанкаре. Постапката за геометризација предложена од Вилијам П. Турстон од Универзитетот Корнел овозможува целосна класификација на 3-колектори врз основа на 3-сферата, која е единствена по својата возвишена едноставност. Ако претпоставката на Поенкаре била лажна, т.е. ако има многу простори едноставни како сфера, тогаш класификацијата на 3-колекторите би станала нешто бескрајно посложено. Благодарение на Перелман и Тарстон, имаме целосен каталог на сите форми на тридимензионален простор дозволени од математиката што нашиот Универзум би можел да ги преземе (ако го земеме предвид само просторот без време).
За подобро да се разбере претпоставката на Поенкаре и доказот на Перелман, треба подетално да се погледне топологијата. Во оваа математичка гранка, формата на предметот не е важен, како да е направен од тесто, кое може да се растегне, компресира и свиткува на кој било начин. Зошто треба да размислуваме за работи или простори од имагинарен тест? Факт е дека точната форма на објектот - растојанието помеѓу сите негови точки - се однесува на структурното ниво, кое се нарекува геометрија. Со испитување на објект од тестот, тополозите ги откриваат неговите основни својства кои не зависат од геометриската структура. Изучувањето на топологијата е како да ги барате најчестите карактеристики што ги имаат луѓето гледајќи во „човек од пластилин“ кој може да се претвори во која било одредена индивидуа.
Во популарната литература, честопати постои необично тврдење дека, од гледна точка на топологијата, чашата не се разликува од крофната. Факт е дека една шолја тесто може да се претвори во крофна со едноставно дробење на материјалот, т.е. ништо не се лепи или прави дупки. Од друга страна, за да направите крофна од топка, секако треба да направите дупка во неа или да ја виткате во цилиндар и да ги заслепите краевите, така што топката воопшто не е крофна.
Тополозите најмногу се заинтересирани за површините на сферата и крофната. Затоа, наместо цврсти тела, треба да се замислат балони. Нивната топологија е сè уште различна, бидејќи сферичниот балон не може да се претвори во прстенест балон, кој се нарекува торус. Прво, научниците решија да откријат колку објекти со различни топологии постојат и како тие можат да се карактеризираат. За 2-колекторите, кои сме навикнати да ги нарекуваме површини, одговорот е елегантен и едноставен: сè се одредува според бројот на „дупки“ или, еквивалентно, бројот на рачки. До крајот на XIX век. математичарите сфатиле како да ги класифицираат површините и откриле дека наједноставна од сите нив е сферата. Секако, тополозите почнаа да размислуваат за 3-колектори: дали 3-сферата е единствена по својата едноставност? Вековната историја на барање одговор е полна со погрешни чекори и погрешни докази.
Анри Поенкаре сериозно се зафати со ова прашање. Тој беше еден од двајцата најмоќни математичари на почетокот на 20 век. (другиот беше Дејвид Хилберт). Тој беше наречен последен генералист - тој успешно работеше во сите делови и од чиста и од применета математика. Покрај тоа, Поенкаре даде огромен придонес во развојот на небесната механика, теоријата на електромагнетизмот, како и во филозофијата на науката, за која напиша неколку популарни книги.
Поанкаре стана основач на алгебарската топологија и, користејќи ги нејзините методи, во 1900 година формулираше тополошка карактеристика на објектот, наречена хомотопија. За да се одреди хомотопијата на колекторот, мора ментално да се потопи затворена јамка во неа. Потоа, треба да откриеме дали е секогаш можно да се стегне јамката до одредена точка со нејзино поместување во внатрешноста на колекторот. За торус, одговорот ќе биде негативен: ако поставите јамка околу обемот на торусот, тогаш нема да може да се стегне до точка, бидејќи „дупката“ на крофната ќе се меша. Хомотопијата е бројот на различни патеки кои можат да спречат контракција на јамката.
На n-сфера, која било, дури и сложено извиткана, јамка секогаш може да се разоткрие и да се повлече до точка. (Една јамка е дозволено да помине низ себе.) Поенкаре претпоставил дека 3-сферата е единствениот 3-колектор на кој што било јамка може да се стегне до точка. За жал, тој никогаш не можел да ја докаже својата претпоставка, која подоцна станала позната како претпоставка Поенкаре.
Перелмановата анализа на 3-колекторите е тесно поврзана со постапката на геометризација. Геометријата се занимава со вистинската форма на предметите и колекторите, кои веќе не се направени од тесто, туку од керамика. На пример, чашата и ѓеврекот се геометриски различни бидејќи нивните површини се закривени поинаку. Се вели дека чашата и крофната се два примери на тополошки торус со различни геометриски форми.
За да разберете зошто Перелман користел геометризација, разгледајте ја класификацијата на 2-колекторите. На секоја тополошка површина и е доделена единствена геометрија чија кривина е рамномерно распоредена низ колекторот. На пример, за сфера, ова е совршено сферична површина. Друга можна геометрија за тополошката сфера е јајцето, но неговата кривина не е рамномерно распоредена насекаде: остриот крај е позакривен од тапиот.
2-колектори формираат три геометриски типа. Сферата се карактеризира со позитивно искривување. Геометризираниот торус е рамен и има нулта кривина. Сите други 2-колектори со две или повеќе „дупки“ имаат негативна кривина. Тие одговараат на површина слична на седло, која се криви нагоре напред и зад, и надолу лево и десно. Оваа геометриска класификација (геометризација) на 2-колектори ја развил Поенкаре заедно со Пол Коебе и Феликс Клајн, по кого е наречено шишето Клајн.
Постои природна желба да се примени сличен метод на 3-колектори. Дали е можно за секој од нив да се најде таква уникатна конфигурација, во која закривеноста би била рамномерно распоредена низ целиот колектор?
Се покажа дека 3-колекторите се многу покомплицирани од нивните дводимензионални колеги и повеќето од нив не можат да се поврзат со хомогена геометрија. Тие треба да се поделат на делови, кои одговараат на една од осумте канонски геометрии. Оваа постапка наликува на разложување на број на прости множители.
Како може да се геометризира колектор и да се даде униформа закривеност насекаде? Треба да земете произволна геометрија со различни испакнатини и вдлабнатини, а потоа да ги измазнете сите испакнатини. Во раните 90-ти. 20-ти век Хамилтон почнал да анализира 3-колектори користејќи ја равенката за проток на Ричи, именувана по математичарот Грегорио Ричи-Курбастро. Тоа е нешто слично на равенката за топлина, која ги опишува топлинските текови што течат во нерамномерно загреано тело додека неговата температура не стане насекаде иста. На ист начин, равенката за проток на Ричи дефинира промена во заобленоста на колекторот, што доведува до усогласување на сите корнизи и вдлабнатини. На пример, ако започнете со јајце, тоа постепено ќе стане сферично.
Перелман додаде нов термин во равенката за проток на Ричи. Оваа промена не го елиминираше проблемот со сингуларноста, туку овозможи многу подлабока анализа. Рускиот научник покажа дека може да се изврши „хируршка“ операција на колектор во форма на гира: отсечете тенка цевка од двете страни на штипката што излегува и затворете ги отворените цевки што излегуваат од топчињата со сферични капачиња. Потоа, треба да се продолжи со менување на „управуваниот“ колектор во согласност со равенката за проток на Ричи и да се примени горенаведената постапка за сите штипки кои произлегуваат. Перелман исто така покажа дека карактеристиките во облик на пура не можат да се појават. Така, секој 3-колектор може да се сведе на збир на делови со униформа геометрија.
Кога протокот на Ричи и „операцијата“ се применуваат на сите можни 3-колектори, секој од нив, ако е едноставен како 3-сфера (со други зборови, ја има истата хомотопија), нужно се сведува на иста хомогена геометрија , кој и 3-сфера. Оттука, од тополошка гледна точка, колекторот што се разгледува е 3-сферата. Така, 3-сферата е единствена.
Вредноста на написите на Перелман не лежи само во доказот за претпоставката на Поенкаре, туку и во новите методи на анализа. Научниците ширум светот веќе ги користат резултатите добиени од рускиот математичар во својата работа и ги применуваат методите развиени од него во други области. Се покажа дека протокот на Ричи е поврзан со таканаречената група за ренормализација, која одредува како се менува силата на интеракциите во зависност од енергијата на судир на честичките. На пример, при ниски енергии, јачината на електромагнетната интеракција се карактеризира со бројот 0,0073 (приближно 1/137). Меѓутоа, кога два електрони директно ќе се судрат со брзина на светлината, оваа сила се приближува до 0,0078. Математиката што ја опишува промената на физичките сили е многу слична со математиката што ја опишува геометризацијата на разновидноста.
Зголемувањето на енергијата на судир е еквивалентно на силата за учење на пократки растојанија. Затоа, групата за ренормализација е како микроскоп со променлив фактор на зголемување, што ви овозможува да го истражите процесот на различни нивоа на детали. Слично на тоа, протокот на Ричи е микроскоп за гледање на колектори. Испакнатините и вдлабнатините видливи при едно зголемување исчезнуваат при друго. Многу е веројатно дека на скалата на должината на Планк (околу 10 -35 m) просторот во кој живееме изгледа како пена со сложена тополошка структура. Покрај тоа, равенките на општата релативност, кои ги опишуваат карактеристиките на гравитацијата и структурата на универзумот од големи размери, се тесно поврзани со равенката на протокот на Ричи. Парадоксално, терминот Перелман додаден на изразот што го користел Хамилтон се појавува во теоријата на струни, која тврди дека е квантна теорија на гравитација. Можно е во написите на рускиот математичар, научниците да најдат многу покорисни информации не само за апстрактните 3-колекти, туку и за просторот во кој живееме.
