Ние го пресметуваме збирот на агли и плоштина на паралелограм: својства и карактеристики. Како да се најде плоштината на паралелограм? Како да се пресмета плоштината на паралелограм

Површина на геометриска фигура- нумеричка карактеристика на геометриска фигура што ја покажува големината на оваа фигура (дел од површината ограничен со затворената контура на оваа фигура). Големината на површината се изразува со бројот на квадратни единици содржани во неа.

Формули за површина на триаголник

1. Формула за плоштина на триаголник на страна и висина
   Плоштина на триаголникеднаква на половина од производот од должината на страната на триаголникот и должината на висината нацртана на оваа страна
   
2. Формула за плоштина на триаголник заснован на три страни и радиус на кружниот круг
   
3. Формула за плоштина на триаголник заснована на три страни и радиус на впишаниот круг
   Плоштина на триаголнике еднаков на производот на полупериметарот на триаголникот и радиусот на впишаната кружница.
   
каде што S е плоштината на триаголникот,
- должини на страните на триаголникот,
- висина на триаголникот,
- аголот помеѓу страните и,
- радиус на впишаниот круг,
R - радиус на ограничениот круг,

Формули за квадратна површина

1. Формула за плоштина на квадрат по должина
   Квадратна површинаеднаков на квадратот на должината на неговата страна.
2. Формула за плоштина на квадрат по должината на дијагоналата
   Квадратна површинаеднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала.
   

   S=	1	2
   	2

каде што S е плоштината на квадратот,
- должина на страната на квадратот,
- должина на дијагоналата на квадратот.

Формула за површина на правоаголник

Површина на правоаголникеднаков на производот од должините на неговите две соседни страни

каде што S е плоштината на правоаголникот,
- должини на страните на правоаголникот.

Формули за паралелограмска површина

1. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на должината и висината на страната
   Плоштина на паралелограм
2. Формула за плоштина на паралелограм врз основа на две страни и аголот меѓу нив
   Плоштина на паралелограме еднаков на производот од должините на неговите страни помножен со синусот на аголот меѓу нив.
   

   a b sin α

каде што S е плоштината на паралелограмот,
- должини на страните на паралелограмот,
- должина на висина на паралелограм,
- аголот помеѓу страните на паралелограмот.

Формули за плоштина на ромб

1. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и висината на страната
   Површина на ромбеднаков на производот од должината на неговата страна и должината на висината спуштена на оваа страна.
2. Формула за плоштина на ромб врз основа на должината и аголот на страната
   Површина на ромбе еднаков на производот од квадратот на должината на неговата страна и синусот на аголот помеѓу страните на ромбот.
3. Формула за плоштина на ромб врз основа на должините на неговите дијагонали
   Површина на ромбеднаква на половина од производот од должините на неговите дијагонали.
каде што S е плоштината на ромбот,
- должина на страната на ромбот,
- должина на висината на ромбот,
- аголот помеѓу страните на ромбот,
1, 2 - должини на дијагонали.

Формули за трапезоидна област

1. Херонова формула за трапез

   Каде што S е плоштината на трапезот,
   - должини на основите на трапезоидот,
   - должини на страните на трапезоидот,
   

Исто како што во Евклидовата геометрија, точка и права линија се главните елементи на теоријата на рамнините, така и паралелограмот е една од клучните фигури на конвексните четириаголници. Од него, како нишки од топка, течат концептите на „правоаголник“, „квадрат“, „ромб“ и други геометриски големини.

Во контакт со

Дефиниција на паралелограм

конвексен четириаголник,кој се состои од отсечки, од кои секој пар е паралелен, во геометријата е познат како паралелограм.

Како изгледа класичен паралелограм е прикажан со четириаголник ABCD. Страните се нарекуваат основи (AB, BC, CD и AD), нормалното извлечено од кое било теме на страната спротивна на ова теме се нарекува висина (BE и BF), линиите AC и BD се нарекуваат дијагонали.

Внимание!Квадрат, ромб и правоаголник се посебни случаи на паралелограм.

Страни и агли: карактеристики на врската

Клучни својства, во голема мера, предодредено од самата ознака, тие се докажуваат со теоремата. Овие карактеристики се како што следува:

1. Спротивните страни се идентични во парови.
2. Аглите еден спроти друг се еднакви во парови.

Доказ: Размислете за ∆ABC и ∆ADC, кои се добиваат со делење на четириаголникот ABCD со правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, бидејќи AC е вообичаена за нив (вертикални агли за BC||AD и AB||CD, соодветно). Од ова произлегува: ∆ABC = ∆ADC (вториот знак за еднаквост на триаголниците).

Отсечките AB и BC во ∆ABC во парови одговараат на правите CD и AD во ∆ADC, што значи дека се идентични: AB = CD, BC = AD. Така, ∠B одговара на ∠D и тие се еднакви. Бидејќи ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, кои исто така се идентични по парови, тогаш ∠A = ∠C. Имотот е докажан.

Карактеристики на дијагоналите на фигурата

Главна карактеристикаод овие прави на паралелограм: пресечната точка ги дели на половина.

Доказ: Нека е пресечната точка на дијагоналите AC и BD на сликата ABCD. Тие формираат два сразмерни триаголници - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD бидејќи се спротивни. Според линиите и секантите, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според вториот критериум на еднаквост, ∆ABE = ∆CDE. Тоа значи дека елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и истовремено се пропорционални делови на AC и BD. Имотот е докажан.

Карактеристики на соседните агли

Соседните страни имаат збир на агли еднакви на 180°, бидејќи лежат на иста страна на паралелни линии и трансверзала. За четириаголник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Својства на симетралата:

1. , спуштени на едната страна, се нормални;
2. спротивните темиња имаат паралелни симетрали;
3. триаголникот добиен со цртање симетрала ќе биде рамнокрак.

Определување на карактеристичните црти на паралелограм со помош на теоремата

Карактеристиките на оваа бројка произлегуваат од нејзината главна теорема, која го вели следново: четириаголник се смета за паралелограмво случај кога неговите дијагонали се сечат, а оваа точка ги дели на еднакви отсечки.

Доказ: нека правата AC и BD на четириаголникот ABCD се сечат на т.е. Бидејќи ∠AED = ∠BEC, и AE+CE=AC BE+DE=BD, тогаш ∆AED = ∆BEC (по првиот критериум за еднаквост на триаголниците). Тоа е, ∠EAD = ∠ЕЦБ. Тие се и внатрешните вкрстени агли на секантата AC за линиите AD и BC. Така, по дефиниција на паралелизам - АД || п.н.е. Слично својство на линиите BC и CD е исто така изведено. Теоремата е докажана.

Пресметување на плоштината на фигурата

Областа на оваа фигура пронајдени со неколку методиеден од наједноставните: множење на висината и основата до која е нацртан.

Доказ: нацртајте нормални BE и CF од темињата B и C. ∆ABE и ∆DCF се еднакви, бидејќи AB = CD и BE = CF. ABCD е еднаков по големина на правоаголникот EBCF, бидејќи тие се состојат од сразмерни бројки: S ABE и S EBCD, како и S DCF и S EBCD. Од ова произлегува дека областа на оваа геометриска фигура е иста како онаа на правоаголникот:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да ја одредиме општата формула за плоштината на паралелограм, да ја означиме висината како hb, и страната - б. Соодветно:

Други начини за наоѓање област

Пресметки на површина низ страните на паралелограмот и аголот, кој тие го формираат, е вториот познат метод.

,

Спр-ма - област;

a и b се неговите страни

α е аголот помеѓу отсечките a и b.

Овој метод практично се базира на првиот, но во случај да е непознат. секогаш отсекува правоаголен триаголник чии параметри се наоѓаат со тригонометриски идентитети, т.е. Трансформирајќи ја релацијата, добиваме . Во равенката на првиот метод, ја заменуваме висината со овој производ и добиваме доказ за валидноста на оваа формула.

Преку дијагоналите на паралелограмот и аголот,кои ги создаваат кога ќе се вкрстат, можете да ја најдете и областа.

Доказ: AC и BD се сечат за да формираат четири триаголници: ABE, BEC, CDE и AED. Нивниот збир е еднаков на плоштината на овој четириаголник.

Површината на секое од овие ∆ може да се најде со изразот , каде што a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Бидејќи , пресметките користат единечна синусна вредност. Тоа е . Бидејќи AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за плоштина се намалува на:

.

Примена во векторска алгебра

Карактеристиките на составните делови на овој четириаголник нашле примена во векторската алгебра, имено собирањето на два вектори. Правилото за паралелограм го кажува тоа ако се дадени векториИНесе колинеарни, тогаш нивниот збир ќе биде еднаков на дијагоналата на оваа бројка, чии основи одговараат на овие вектори.

Доказ: од произволно избран почеток - т.е. - конструирај вектори и . Следно, конструираме паралелограм OASV, каде што отсечките OA и OB се страни. Така, ОС лежи на векторот или збирот.

Формули за пресметување на параметрите на паралелограм

Идентитетот се дава под следниве услови:

1. a и b, α - страни и аголот меѓу нив;
2. d 1 и d 2, γ - дијагонали и на местото на нивното вкрстување;
3. h a и h b - висини спуштени на страните a и b;

Параметар	Формула
Наоѓање на страните
по дијагоналите и косинусот на аголот меѓу нив
по дијагонали и страни
низ висината и спротивното теме
Наоѓање на должината на дијагоналите
на страните и големината на врвот меѓу нив
по страните и една од дијагоналите	 Заклучок Паралелограмот, како една од клучните фигури на геометријата, се користи во животот, на пример, во градежништвото при пресметување на површината на локацијата или други мерења. Затоа, знаењето за карактеристичните карактеристики и методите за пресметување на неговите различни параметри може да биде корисно во секое време од животот.

Пред да научиме како да ја пронајдеме плоштината на паралелограм, треба да запомниме што е паралелограм и што се нарекува неговата висина. Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во пар (лежат на паралелни прави). Нормална извлечена од произволна точка на спротивната страна на правата што ја содржи оваа страна се нарекува висина на паралелограм.

Квадрат, правоаголник и ромб се посебни случаи на паралелограм.

Областа на паралелограм е означена како (S).

Формули за наоѓање плоштина на паралелограм

S=a*h, каде што a е основата, h е висината што се влече кон основата.

S=a*b*sinα, каде што a и b се основите, а α е аголот помеѓу основите a и b.

S =p*r, каде што p е полупериметарот, r е радиусот на кругот што е впишан во паралелограмот.

Областа на паралелограмот, која е формирана од векторите a и b, е еднаква на модулот на производот на дадените вектори, имено:

Да го разгледаме примерот бр. 1: Даден е паралелограм, чија страна е 7 cm, а висината е 3 cm. Како да ја најдеме плоштината на паралелограм, потребна ни е формула за решението.

Така S= 7x3. S=21. Одговор: 21 cm 2.

Да го разгледаме примерот бр. 2: Дадените основи се 6 и 7 cm, а исто така е даден агол помеѓу основите од 60 степени. Како да се најде плоштината на паралелограм? Формула што се користи за решавање:

Така, прво го наоѓаме синусот на аголот. Синус 60 = 0,5, соодветно S = 6*7*0,5=21 Одговор: 21 cm 2.

Се надевам дека овие примери ќе ви помогнат во решавањето на проблемите. И запомнете, главната работа е познавање на формули и внимание

Што е паралелограм? Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во парови.

1. Плоштината на паралелограм се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = a \cdot h_(a)\]

Каде:
a е страната на паралелограмот,
h a – висина повлечена на оваа страна.

2. Ако се познати должините на две соседни страни на паралелограмот и аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако се дадени дијагоналите на паралелограм и е познат аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Својства на паралелограм

Во паралелограм, спротивните страни се еднакви: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Во паралелограм, спротивните агли се еднакви: \(\агол A = \агол C\), \(\агол B = \агол D\)

Дијагоналите на паралелограмот на пресечната точка се поделени на половина \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Дијагоналата на паралелограм го дели на два еднакви триаголници.

Збирот на аглите на паралелограм во непосредна близина на едната страна е 180 o:

\(\агол A + \агол B = 180^(o)\), \(\агол B + \агол C = 180^(o)\)

\(\агол C + \агол D = 180^(o)\), \(\агол D + \агол A = 180^(o)\)

Дијагоналите и страните на паралелограмот се поврзани со следнава врска:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Во паралелограм, аголот помеѓу висините е еднаков на неговиот остар агол: \(\агол K B H =\агол A\) .

Симетралите на аглите соседни на едната страна на паралелограмот се меѓусебно нормални.

Симетралите на два спротивни агли на паралелограм се паралелни.

Знаци на паралелограм

Четириаголник ќе биде паралелограм ако:

\(AB = CD\) и \(AB || CD\)

\(AB = CD\) и \(BC = AD\)

\(AO = OC\) и \(BO = OD\)

\(\агол A = \агол C\) и \(\агол B = \агол D\)

Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!

При решавање на проблеми на оваа тема, освен основни својства паралелограми соодветните формули, можете да го запомните и примените следново:

1. Симетралата на внатрешен агол на паралелограм отсекува рамнокрак триаголник од него
2. Симетралите на внатрешните агли во непосредна близина на една од страните на паралелограмот се меѓусебно нормални
3. Симетралите што доаѓаат од спротивните внатрешни агли на паралелограмот се паралелни една на друга или лежат на иста права линија
4. Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на збирот на квадратите на неговите страни
5. Површината на паралелограм е еднаква на половина од производот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив

Да ги разгледаме проблемите во кои се користат овие својства.

Задача 1.

Симетралата на аголот C на паралелограмот ABCD ја сече страната AD во точката M и продолжението на страната AB надвор од точката A во точката E. Најдете го периметарот на паралелограмот ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триаголникот CMD е рамнокрак. (Својство 1). Затоа, CD = MD = 3 cm.

2. Триаголникот ЕАМ е рамнокрак.
Затоа, AE = AM = 4 cm.

3. АД = АМ + МД = 7 см.

4. Периметар ABCD = 20 cm.

Одговори. 20 см.

Задача 2.

Дијагоналите се нацртани во конвексен четириаголник ABCD. Познато е дека плоштините на триаголниците ABD, ACD, BCD се еднакви. Докажете дека овој четириаголник е паралелограм.

Решение.

1. Нека BE е висината на триаголникот ABD, CF е висината на триаголникот ACD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа АД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. BE = CF.

2. BE, CF се нормални на AD. Точките B и C се наоѓаат на иста страна во однос на права линија AD. BE = CF. Затоа, права линија BC || А.Д. (*)

3. Нека AL е висината на триаголникот ACD, BK висината на триаголникот BCD. Бидејќи, според условите на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа ЦД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. АЛ = БК.

4. AL и BK се нормални на CD. Точките Б и А се наоѓаат на иста страна во однос на правата ЦД. АЛ = БК. Затоа, права линија AB || ЦД (**)

5. Од условите (*), (**) произлегува дека ABCD е паралелограм.

Одговори. Докажано. ABCD е паралелограм.

Задача 3.

На страните BC и CD на паралелограмот ABCD, точките M и H се означени, соодветно, така што отсечките BM и HD се сечат во точката O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. Во триаголник DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Во правоаголен триаголник DHC
(

Потоа<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Бидејќи во правоаголен триаголник, кракот што лежи спроти аголот од 30° е еднаков на половина од хипотенузата).

Но, CD = AB. Тогаш AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Одговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Една од дијагоналите на паралелограм со должина од 4√6 прави агол од 60° со основата, а втората дијагонала прави агол од 45° со истата основа. Најдете ја втората дијагонала.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Ја применуваме синусната теорема на триаголникот AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Одговор: 12.

Задача 5.

За паралелограм со страни 5√2 и 7√2, помалиот агол помеѓу дијагоналите е еднаков на помалиот агол на паралелограмот. Најдете го збирот на должините на дијагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 се дијагоналите на паралелограмот, а аголот помеѓу дијагоналите и помалиот агол на паралелограмот е еднаков на φ.

1. Да изброиме две различни
начини на нејзината површина.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Ја добиваме еднаквоста 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Користејќи го односот помеѓу страните и дијагоналите на паралелограмот, ја запишуваме еднаквоста

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ајде да создадеме систем:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Ајде да ја помножиме втората равенка на системот со 2 и да ја додадеме на првата.

Добиваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Оттука, Id 1 + d 2 I = 24.

Бидејќи d 1, d 2 се должините на дијагоналите на паралелограмот, тогаш d 1 + d 2 = 24.

Одговор: 24.

Задача 6.

Страните на паралелограмот се 4 и 6. Остриот агол помеѓу дијагоналите е 45 степени. Најдете ја плоштината на паралелограмот.

Решение.

1. Од триаголникот AOB, користејќи ја косинусната теорема, ја запишуваме врската помеѓу страната на паралелограмот и дијагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Слично ја пишуваме релацијата за триаголникот AOD.

Да го земеме предвид тоа<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Ја добиваме равенката d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме систем
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Одземање на првата од втората равенка, добиваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забелешка:Во овој и претходниот проблем нема потреба целосно да се реши системот, предвидувајќи дека во овој проблем ни треба производ на дијагонали за да ја пресметаме плоштината.

Одговор: 10.

Задача 7.

Плоштината на паралелограмот е 96, а неговите страни се 8 и 15. Најдете го квадратот на помалата дијагонала.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВАД. Ајде да направиме замена во формулата.

Добиваме 96 = 8 · 15 · sin VAD. Оттука грев ВАД = 4/5.

2. Ајде да најдеме cos VAD. грев 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Според условите на проблемот, ја наоѓаме должината на помалата дијагонала. Дијагоналата ВД ќе биде помала ако аголот ВАД е остар. Потоа cos VAD = 3/5.

3. Од триаголникот ABD, користејќи ја косинусната теорема, го наоѓаме квадратот на дијагоналата BD.

ВД 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВД · cos ВАД.

ВД 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Одговор: 145.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите геометриски проблем?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.