Jednolity ruch kołowy. Ruch kołowy. Równanie ruchu po okręgu. Prędkość kątowa. Normalny = przyspieszenie dośrodkowe. Okres, częstotliwość obiegu (rotacja). Związek między prędkością liniową i kątową Ruch kołowy zdefiniowany

Zagadnienia kodyfikatora USE: ruch po okręgu ze stałą prędkością modulo, przyspieszenie dośrodkowe.

Jednolity ruch kołowy jest dość prostym przykładem ruchu z wektorem przyspieszenia zależnym od czasu.

Niech punkt obraca się na okręgu o promieniu . Prędkość punktu jest stała modulo i równa . Prędkość nazywa się prędkość liniowa zwrotnica.

Okres obiegu to czas na pełną rewolucję. Na ten okres mamy oczywistą formułę:

. (1)

Częstotliwość obiegu jest odwrotnością okresu:

Częstotliwość wskazuje, ile pełnych obrotów wykonuje punkt na sekundę. Częstotliwość jest mierzona w obr./min (obrotach na sekundę).

Niech na przykład . Oznacza to, że w tym czasie punkt sprawia, że ​​jest się kompletnym
obrót. Częstotliwość w tym przypadku jest równa: około / s; Punkt wykonuje 10 pełnych obrotów na sekundę.

Prędkość kątowa.

Rozważ równomierny obrót punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych. Umieśćmy początek współrzędnych w środku okręgu (rys. 1).

Ryż. 1. Jednostajny ruch okrężny

Niech będzie początkową pozycją punktu; innymi słowy, punkt miał współrzędne . Niech punkt obróci się pod pewnym kątem w czasie i przyjmie pozycję .

Nazywa się stosunek kąta obrotu do czasu prędkość kątowa obrót punktowy:

. (2)

Kąt jest zwykle mierzony w radianach, więc prędkość kątowa jest mierzona w rad/s. Przez czas równy okresowi obrotu punkt obraca się o kąt. Dlatego

. (3)

Porównując wzory (1) i (3) otrzymujemy zależność między prędkością liniową i kątową:

. (4)

Prawo ruchu.

Znajdźmy teraz zależność współrzędnych punktu wirującego od czasu. Widzimy z ryc. 1 że

Ale ze wzoru (2) mamy: . W konsekwencji,

. (5)

Wzory (5) są rozwiązaniem głównego problemu mechaniki ruchu jednostajnego punktu po okręgu.

przyspieszenie dośrodkowe.

Teraz interesuje nas przyspieszenie punktu wirującego. Można to znaleźć, różnicując relacje (5) dwukrotnie:

Biorąc pod uwagę wzory (5), mamy:

(6)

Otrzymane formuły (6) można zapisać jako jednolitą równość wektora:

(7)

gdzie jest wektor promienia obracającego się punktu.

Widzimy, że wektor przyspieszenia jest skierowany przeciwnie do wektora promienia, tj. w kierunku środka okręgu (patrz rys. 1). Dlatego przyspieszenie punktu poruszającego się równomiernie po okręgu nazywa się dośrodkowy.

Dodatkowo ze wzoru (7) otrzymujemy wyrażenie na moduł przyspieszenia dośrodkowego:

(8)

Wyrażamy prędkość kątową z (4)

i zamień na (8) . Weźmy jeszcze jeden wzór na przyspieszenie dośrodkowe.

1. Jednolity ruch po okręgu

2. Prędkość kątowa ruchu obrotowego.

3.Okres rotacji.

4.Częstotliwość rotacji.

5. Zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej.

6. Przyspieszenie dośrodkowe.

7. Równie zmienny ruch po okręgu.

8. Przyspieszenie kątowe w ruchu jednostajnym po okręgu.

9. Przyspieszenie styczne.

10. Prawo ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu.

11. Średnia prędkość kątowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu.

12. Wzory określające zależność między prędkością kątową, przyspieszeniem kątowym i kątem obrotu w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu.

1.Jednolity ruch kołowy- ruch, w którym punkt materialny przechodzi przez równe odcinki łuku kołowego w równych odstępach czasu, tj. punkt porusza się po okręgu ze stałą prędkością modulo. W tym przypadku prędkość jest równa stosunkowi łuku okręgu pokonywanego przez punkt do czasu ruchu, tj.

i nazywana jest liniową prędkością ruchu po okręgu.

Podobnie jak w ruchu krzywoliniowym, wektor prędkości jest skierowany stycznie do okręgu w kierunku ruchu (rys.25).

2. Prędkość kątowa w jednostajnym ruchu kołowym jest stosunkiem kąta obrotu promienia do czasu obrotu:

W jednostajnym ruchu okrężnym prędkość kątowa jest stała. W układzie SI prędkość kątowa jest mierzona w (rad/s). Jeden radian - rad to kąt środkowy, który stanowi łuk koła o długości równej promieniowi. Pełny kąt zawiera radian, tj. w jednym obrocie promień obraca się o kąt radianów.

3. Okres rotacji- przedział czasu T, w którym punkt materialny wykonuje jeden pełny obrót. W systemie SI okres jest mierzony w sekundach.

4. Częstotliwość rotacji to liczba obrotów na sekundę. W układzie SI częstotliwość mierzona jest w hercach (1 Hz = 1). Jeden herc to częstotliwość, z jaką wykonuje się jeden obrót w ciągu jednej sekundy. Łatwo to sobie wyobrazić

Jeżeli w czasie t punkt wykona n obrotów wokół koła, to .

Znając okres i częstotliwość obrotu, prędkość kątową można obliczyć ze wzoru:

5 Związek między prędkością liniową a prędkością kątową. Długość łuku okręgu to kąt, w którym kąt środkowy wyrażony w radianach, leżący u podstaw łuku, jest promieniem okręgu. Teraz zapisujemy prędkość liniową w postaci

Często wygodnie jest używać wzorów: lub Prędkość kątowa jest często nazywana częstotliwością cykliczną, a częstotliwość nazywana jest częstotliwością liniową.

6. przyspieszenie dośrodkowe. W ruchu jednostajnym po okręgu moduł prędkości pozostaje niezmieniony, a jego kierunek stale się zmienia (rys. 26). Oznacza to, że ciało poruszające się jednostajnie po okręgu doświadcza przyspieszenia skierowanego do środka i nazywanego przyspieszeniem dośrodkowym.

Niech droga równa łukowi koła przechodzi przez pewien okres czasu. Przesuwamy wektor , pozostawiając go równolegle do siebie, tak aby jego początek pokrywał się z początkiem wektora w punkcie B. Moduł zmiany prędkości wynosi , a moduł przyspieszenia dośrodkowego wynosi

Na rys. 26 trójkąty AOB i DVS są równoramienne, a kąty na wierzchołkach O i B są równe, podobnie jak kąty o wzajemnie prostopadłych bokach AO i OB. Oznacza to, że trójkąty AOB i DVS są podobne. Dlatego, jeśli tak jest, przedział czasu przyjmuje dowolnie małe wartości, to łuk można w przybliżeniu uznać za równy cięciwie AB, tj. . Dlatego możemy napisać Biorąc pod uwagę, że VD= , OA=R otrzymujemy Mnożąc obie części ostatniej równości przez , otrzymamy dalej wyrażenie na moduł przyspieszenia dośrodkowego w ruchu jednostajnym po okręgu: . Biorąc pod uwagę, że otrzymujemy dwie często używane formuły:

Tak więc w ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie dośrodkowe jest stałe w wartości bezwzględnej.

Łatwo się domyślić, że w limicie pod kątem . Oznacza to, że kąty przy podstawie DS trójkąta ICE dążą do wartości , a wektor zmiany prędkości staje się prostopadły do ​​wektora prędkości , tj. skierowany wzdłuż promienia w kierunku środka okręgu.

7. Jednolity ruch kołowy- ruch po okręgu, w którym w równych odstępach czasu prędkość kątowa zmienia się o tę samą wartość.

8. Przyspieszenie kątowe w ruchu jednostajnym po okręgu jest stosunkiem zmiany prędkości kątowej do przedziału czasu, w którym nastąpiła ta zmiana, tj.

gdzie mierzy się wartość początkową prędkości kątowej, wartość końcową prędkości kątowej, przyspieszenie kątowe w układzie SI w. Z ostatniej równości otrzymujemy wzory na obliczenie prędkości kątowej

I jeśli .

Mnożąc obie części tych równości przez i biorąc pod uwagę to , otrzymujemy przyspieszenie styczne, tj. przyspieszenie skierowane stycznie do okręgu otrzymujemy wzory na obliczenie prędkości liniowej:

I jeśli .

9. Przyspieszenie styczne jest liczbowo równa zmianie prędkości w jednostce czasu i jest skierowana wzdłuż stycznej do okręgu. Jeśli >0, >0, to ruch jest jednostajnie przyspieszony. Jeśli<0 и <0 – движение.

10. Prawo ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu. Droga przebyta po okręgu w czasie ruchem jednostajnie przyspieszonym obliczana jest ze wzoru:

Zastępując tutaj , , redukując przez , otrzymujemy prawo ruchu jednostajnie przyspieszonego po okręgu:

Albo jeśli .

Jeśli ruch jest równomiernie spowolniony, tj.<0, то

11.Pełne przyspieszenie w jednostajnie przyspieszonym ruchu okrężnym. W ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu przyspieszenie dośrodkowe wzrasta z czasem, ponieważ ze względu na przyspieszenie styczne wzrasta prędkość liniowa. Bardzo często przyspieszenie dośrodkowe nazywane jest normalnym i oznaczane jako . Ponieważ całkowite przyspieszenie w tej chwili jest określone przez twierdzenie Pitagorasa (ryc. 27).

12. Średnia prędkość kątowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu. Średnia prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu jest równa . Zastępując tu i redukując przez otrzymujemy

Jeśli następnie .

12. Wzory określające zależność między prędkością kątową, przyspieszeniem kątowym i kątem obrotu w ruchu jednostajnie przyspieszonym po okręgu.

Podstawiając do wzoru ilości , , , ,

i zmniejszając o , otrzymujemy

Wykład - 4. Dynamika.

1. Dynamika

2. Interakcja organów.

3. Bezwładność. Zasada bezwładności.

4. Pierwsze prawo Newtona.

5. Bezpłatny punkt materialny.

6. Inercyjny układ odniesienia.

7. Nieinercyjny układ odniesienia.

8. Zasada względności Galileusza.

9. Przemiany Galileusza.

11. Dodawanie sił.

13. Gęstość substancji.

14. Środek masy.

15. Drugie prawo Newtona.

16. Jednostka miary siły.

17. Trzecie prawo Newtona

1. Dynamika istnieje gałąź mechaniki, która bada ruch mechaniczny w zależności od sił, które powodują zmianę tego ruchu.

2.interakcje ciała. Ciała mogą wchodzić w interakcje zarówno w bezpośrednim kontakcie, jak i na odległość poprzez specjalny rodzaj materii zwany polem fizycznym.

Na przykład wszystkie ciała przyciągane są do siebie i przyciąganie to odbywa się za pomocą pola grawitacyjnego, a siły przyciągania nazywane są grawitacyjnymi.

Ciała przenoszące ładunek elektryczny oddziałują poprzez pole elektryczne. Prądy elektryczne oddziałują poprzez pole magnetyczne. Siły te nazywane są elektromagnetycznymi.

Cząstki elementarne oddziałują poprzez pola jądrowe, a siły te nazywane są jądrowymi.

3. Bezwładność. W IV wieku. pne mi. Grecki filozof Arystoteles twierdził, że przyczyną ruchu ciała jest siła działająca z innego ciała lub ciał. Jednocześnie, zgodnie z ruchem Arystotelesa, stała siła nadaje ciału stałą prędkość, a wraz z ustaniem siły ruch ustaje.

W XVI wieku Włoski fizyk Galileo Galilei, przeprowadzając eksperymenty z ciałami staczającymi się po pochyłej płaszczyźnie i spadającymi ciałami, wykazał, że stała siła (w tym przypadku ciężar ciała) nadaje ciału przyspieszenie.

Na podstawie eksperymentów Galileusz wykazał więc, że siła jest przyczyną przyspieszania ciał. Przedstawmy rozumowanie Galileusza. Niech bardzo gładka piłka toczy się po gładkiej płaszczyźnie poziomej. Jeśli nic nie przeszkadza piłce, może toczyć się w nieskończoność. Jeśli na drodze kuli wyleje się cienka warstwa piasku, to wkrótce przestanie, ponieważ. działała na nią siła tarcia piasku.

W ten sposób Galileusz doszedł do sformułowania zasady bezwładności, zgodnie z którą ciało materialne utrzymuje stan spoczynku lub jednostajny ruch prostoliniowy, jeśli nie działają na nie siły zewnętrzne. Często ta właściwość materii nazywana jest bezwładnością, a ruch ciała bez zewnętrznych wpływów nazywany jest bezwładnością.

4. Pierwsze prawo Newtona. W 1687 r., w oparciu o zasadę bezwładności Galileusza, Newton sformułował pierwsze prawo dynamiki - pierwsze prawo Newtona:

Punkt materialny (ciało) znajduje się w stanie spoczynku lub jednostajnym ruchu prostoliniowym, jeśli nie działają na niego żadne inne ciała lub siły działające od innych ciał są zrównoważone, tj. zrekompensowane.

5.Bezpłatny punkt materialny- punkt materialny, na który inne ciała nie mają wpływu. Czasami mówią - izolowany punkt materialny.

6. Inercyjny system odniesienia (ISO)- układ odniesienia, względem którego izolowany punkt materialny porusza się w linii prostej i jednostajnie lub jest w spoczynku.

Każdy układ odniesienia poruszający się jednostajnie i prostoliniowo względem ISO jest inercyjny,

Oto jeszcze jedno sformułowanie pierwszego prawa Newtona: Istnieją układy odniesienia, względem których swobodny punkt materialny porusza się po linii prostej i jednostajnie lub znajduje się w spoczynku. Takie układy odniesienia nazywane są inercjami. Często pierwsze prawo Newtona nazywa się prawem bezwładności.

Pierwsze prawo Newtona można również sformułować w następujący sposób: każde ciało materialne opiera się zmianie swojej prędkości. Ta właściwość materii nazywana jest bezwładnością.

Z manifestacją tego prawa spotykamy się na co dzień w transporcie miejskim. Kiedy autobus gwałtownie nabiera prędkości, jesteśmy dociskani do oparcia siedzenia. Gdy autobus zwalnia, nasze ciało ślizga się w kierunku autobusu.

7. Nieinercyjny układ odniesienia - układ odniesienia, który porusza się nierównomiernie względem ISO.

Ciało, które względem ISO jest w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym. W stosunku do nieinercjalnego układu odniesienia porusza się nierównomiernie.

Każdy obracający się układ odniesienia jest układem nieinercjalnym, ponieważ w tym systemie ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego.

W naturze i technologii nie ma ciał, które mogłyby służyć jako ISO. Na przykład Ziemia obraca się wokół własnej osi i każde ciało na jej powierzchni doświadcza przyspieszenia dośrodkowego. Jednak przez dość krótkie okresy układ odniesienia związany z powierzchnią Ziemi można w pewnym przybliżeniu uznać za ISO.

8.Zasada względności Galileusza. ISO może być solą, którą bardzo lubisz. Powstaje zatem pytanie: jak wyglądają te same zjawiska mechaniczne w różnych ISO? Czy możliwe jest za pomocą zjawisk mechanicznych wykrycie ruchu IFR, w którym są obserwowane.

Odpowiedzi na te pytania daje odkryta przez Galileusza zasada względności mechaniki klasycznej.

Sensem zasady względności mechaniki klasycznej jest stwierdzenie: wszystkie zjawiska mechaniczne przebiegają dokładnie w ten sam sposób we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Zasadę tę można również sformułować w następujący sposób: wszystkie prawa mechaniki klasycznej wyrażone są tymi samymi wzorami matematycznymi. Innymi słowy, żadne eksperymenty mechaniczne nie pomogą nam wykryć ruchu ISO. Oznacza to, że próba wykrycia ruchu ISO nie ma sensu.

Z manifestacją zasady względności spotkaliśmy się podróżując pociągami. W momencie, gdy nasz pociąg zatrzymuje się na stacji, a pociąg, który stał na sąsiednim torze powoli rusza, to w pierwszych chwilach wydaje nam się, że nasz pociąg jedzie. Ale dzieje się też w drugą stronę, kiedy nasz pociąg stopniowo nabiera prędkości, wydaje nam się, że sąsiedni pociąg ruszył.

W powyższym przykładzie zasada względności przejawia się w niewielkich odstępach czasu. Wraz ze wzrostem prędkości zaczynamy odczuwać wstrząsy i kołysanie samochodu, czyli nasz układ odniesienia staje się bezwładnościowy.

Tak więc próba wykrycia ruchu ISO nie ma sensu. Dlatego jest absolutnie obojętne, który IFR jest uważany za stały, a który się porusza.

9. Transformacje Galileusza. Niech dwa IFR i poruszają się względem siebie z prędkością . Zgodnie z zasadą względności możemy założyć, że IFR K jest nieruchomy, a IFR porusza się względnie z prędkością . Dla uproszczenia zakładamy, że odpowiednie osie współrzędnych układów i są równoległe, a osie i pokrywają się. Niech układy pokrywają się w momencie startu, a ruch odbywa się wzdłuż osi i , tj. (Rys.28)

11. Dodawanie sił. Jeżeli na cząstkę przyłożone są dwie siły, to wynikowa siła jest równa ich wektorowi, tj. przekątne równoległoboku zbudowanego na wektorach i (ryc. 29).

Ta sama zasada przy rozkładaniu danej siły na dwie składowe siły. W tym celu na wektorze danej siły, podobnie jak na przekątnej, budowany jest równoległobok, którego boki pokrywają się z kierunkiem składowych sił przyłożonych do danej cząstki.

Jeśli na cząstkę przyłożono kilka sił, wynikowa siła jest równa geometrycznej sumie wszystkich sił:

12.Waga. Doświadczenie pokazuje, że stosunek modułu siły do ​​modułu przyspieszenia, jaki ta siła nadaje ciału, jest wartością stałą dla danego ciała i nazywa się masą ciała:

Z ostatniej równości wynika, że ​​im większa jest masa ciała, tym większa siła musi zostać przyłożona, aby zmienić jego prędkość. Dlatego im większa masa ciała, tym bardziej jest ono bezwładne, tj. masa jest miarą bezwładności ciał. Tak zdefiniowaną masę nazywamy masą bezwładną.

W układzie SI masę mierzy się w kilogramach (kg). Jeden kilogram to masa wody destylowanej w objętości jednego decymetra sześciennego pobrana w temperaturze

13. Gęstość materii- masa substancji zawartej w jednostce objętości lub stosunek masy ciała do jego objętości

Gęstość jest mierzona w () w układzie SI. Znając gęstość ciała i jego objętość, możesz obliczyć jego masę za pomocą wzoru. Znając gęstość i masę ciała, jego objętość oblicza się według wzoru.

14.Środek masy- punkt ciała, który ma tę właściwość, że jeśli kierunek siły przechodzi przez ten punkt, ciało porusza się translacyjnie. Jeśli kierunek działania nie przechodzi przez środek masy, to ciało porusza się jednocześnie obracając się wokół swojego środka masy.

15. Drugie prawo Newtona. W ISO suma sił działających na ciało jest równa iloczynowi masy ciała i przyspieszenia nadanego mu przez tę siłę

16.Jednostka siły. W układzie SI siłę mierzy się w niutonach. Jeden niuton (n) to siła, która działając na ciało o masie jednego kilograma, nadaje mu przyspieszenie. Dlatego .

17. Trzecie prawo Newtona. Siły, z którymi działają na siebie dwa ciała, są równe co do wielkości, przeciwnie do kierunku i działają wzdłuż jednej prostej łączącej te ciała.

Jednolity ruch kołowy to najprostszy przykład. Na przykład koniec wskazówki zegara przesuwa się po tarczy po okręgu. Nazywa się prędkość ciała w kole linia prędkości.

Przy jednostajnym ruchu ciała po okręgu moduł prędkości ciała nie zmienia się w czasie, czyli v = const, a zmienia się w tym przypadku tylko kierunek wektora prędkości (ar = 0), a zmiana wektora prędkości w kierunku charakteryzuje się wartością zwaną przyspieszenie dośrodkowe() n lub CA. W każdym punkcie wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany do środka okręgu wzdłuż promienia.

Moduł przyspieszenia dośrodkowego jest równy

CS \u003d v 2 / R

Gdzie v jest prędkością liniową, R jest promieniem okręgu

Ryż. 1.22. Ruch ciała po okręgu.

Opisując ruch ciała po okręgu, użyj kąt skrętu promienia jest kątem φ, o który promień narysowany od środka okręgu do punktu, w którym poruszające się ciało jest w tym momencie, obraca się w czasie t. Kąt obrotu mierzony jest w radianach. równy kątowi między dwoma promieniami okręgu, którego długość łuku jest równa promieniowi okręgu (ryc. 1.23). To znaczy, jeśli l = R, to

1 radian= l / R

Dlatego obwód jest równe

l = 2πR

360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.

w konsekwencji

1 rad. \u003d 57,2958 około \u003d 57 około 18 '

Prędkość kątowa ruchem jednostajnym ciała po okręgu jest wartość ω, równa stosunkowi kąta obrotu promienia φ do przedziału czasu, w którym następuje ten obrót:

ω = φ / t

Jednostką miary prędkości kątowej są radiany na sekundę [rad/s]. Moduł prędkości liniowej jest określony przez stosunek przebytej drogi l do przedziału czasu t:

v= l / t

Linia prędkości ruchem jednostajnym po okręgu jest skierowana stycznie do danego punktu na okręgu. Gdy punkt się porusza, długość l łuku kołowego, przez który przechodzi ten punkt, jest powiązana z kątem obrotu φ przez wyrażenie

l = Rφ

gdzie R jest promieniem okręgu.

Wówczas, w przypadku ruchu jednostajnego punktu, prędkości liniowe i kątowe są powiązane zależnością:

v = l / t = Rφ / t = Rω lub v = Rω

Ryż. 1.23. Radian.

Okres obiegu- jest to okres czasu T, w którym ciało (punkt) wykonuje jeden obrót po obwodzie. Częstotliwość obiegu- jest to odwrotność okresu cyrkulacji - liczba obrotów na jednostkę czasu (na sekundę). Częstotliwość obiegu oznaczono literą n.

n=1/T

Przez jeden okres kąt obrotu φ punktu wynosi 2π rad, więc 2π = ωT, skąd

T = 2π / ω

Oznacza to, że prędkość kątowa wynosi

ω = 2π / T = 2πn

przyspieszenie dośrodkowe można wyrazić za pomocą okresu T i częstotliwości obrotu n:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

Ponieważ prędkość liniowa jednostajnie zmienia kierunek, ruch po okręgu nie może być nazwany jednostajnym, jest jednostajnie przyspieszany.

Prędkość kątowa

Wybierz punkt na okręgu 1 . Zbudujmy promień. Na jednostkę czasu punkt przesunie się do punktu 2 . W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.

Okres i częstotliwość

Okres rotacji T to czas potrzebny ciału na wykonanie jednego obrotu.

RPM to liczba obrotów na sekundę.

Częstotliwość i okres są powiązane relacją

Związek z prędkością kątową

Linia prędkości

Każdy punkt na okręgu porusza się z pewną prędkością. Ta prędkość nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry spod młynka poruszają się, powtarzając kierunek prędkości chwilowej.

Rozważ punkt na kole, który wykonuje jeden obrót, czas, który spędza - to jest okres T. Droga pokonywana przez punkt to obwód koła.

przyspieszenie dośrodkowe

Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do ​​wektora prędkości, skierowany do środka okręgu.

Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności

Punkty leżące na tej samej linii prostej wychodzącej ze środka okręgu (np. mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały te same prędkości kątowe, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej będzie się poruszał.

Prawo dodawania prędkości obowiązuje również dla ruchu obrotowego. Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest jednorodny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Na przykład prędkość osoby idącej wzdłuż krawędzi obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości osoby.

Ziemia uczestniczy w dwóch głównych ruchach obrotowych: dziennym (wokół własnej osi) i orbitalnym (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równika a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.

Zgodnie z drugim prawem Newtona przyczyną każdego przyspieszenia jest siła. Jeżeli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, to natura sił powodujących to przyspieszenie może być inna. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, to działającą siłą jest siła sprężystości.

Jeżeli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taką siłą jest siła tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało będzie nadal poruszać się po linii prostej

Rozważ ruch punktu po okręgu od A do B. Prędkość liniowa jest równa v A I v B odpowiednio. Przyspieszenie to zmiana prędkości na jednostkę czasu. Znajdźmy różnicę wektorów.

Wśród różnych typów ruchu krzywoliniowego na szczególną uwagę zasługuje: jednostajny ruch ciała po okręgu. To najprostsza forma ruchu krzywoliniowego. Jednocześnie każdy złożony ruch krzywoliniowy ciała na dostatecznie małym odcinku jego trajektorii można w przybliżeniu uznać za ruch jednostajny po okręgu.

Taki ruch wykonują punkty obracających się kół, wirników turbin, sztucznych satelitów obracających się po orbitach itp. Przy ruchu jednostajnym po okręgu wartość liczbowa prędkości pozostaje stała. Jednak kierunek prędkości podczas takiego ruchu ciągle się zmienia.

Prędkość ciała w dowolnym punkcie trajektorii krzywoliniowej jest skierowana stycznie do trajektorii w tym punkcie. Można to zaobserwować, obserwując pracę kamienia szlifierskiego w kształcie dysku: dociskając koniec stalowego pręta do obracającego się kamienia, można zobaczyć gorące cząstki wydobywające się z kamienia. Cząstki te lecą z taką samą prędkością, jaką miały w momencie oddzielenia się od kamienia. Kierunek iskier zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu w punkcie, w którym pręt dotyka kamienia. Spryskiwacze z kół samochodu ślizgającego się również poruszają się stycznie do okręgu.

Zatem chwilowa prędkość ciała w różnych punktach trajektorii krzywoliniowej ma różne kierunki, podczas gdy moduł prędkości może być wszędzie taki sam lub zmieniać się w zależności od punktu. Ale nawet jeśli moduł prędkości się nie zmienia, nadal nie można go uznać za stały. W końcu prędkość jest wielkością wektorową, a dla wielkości wektorowych równie ważny jest moduł i kierunek. Dlatego ruch krzywoliniowy jest zawsze przyspieszony, nawet jeśli moduł prędkości jest stały.

Ruch krzywoliniowy może zmieniać moduł prędkości i jego kierunek. Ruch krzywoliniowy, w którym moduł prędkości pozostaje stały, nazywa się jednostajny ruch krzywoliniowy. Przyspieszenie podczas takiego ruchu związane jest jedynie ze zmianą kierunku wektora prędkości.

Zarówno moduł, jak i kierunek przyspieszenia muszą zależeć od kształtu zakrzywionej trajektorii. Jednak nie jest konieczne rozważanie każdej z jej niezliczonych form. Reprezentując każdy odcinek jako osobny okrąg o określonym promieniu, problem znajdowania przyspieszenia w krzywoliniowym ruchu jednostajnym zostanie sprowadzony do znalezienia przyspieszenia w ruchu jednostajnym ciała po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu charakteryzuje się okresem i częstotliwością krążenia.

Czas potrzebny ciału na wykonanie jednego obrotu nazywa się okres obiegu.

Przy ruchu jednostajnym po okręgu okres obrotu określa się dzieląc przebytą odległość, tj. obwód okręgu, przez prędkość ruchu:

Odwrotność okresu nazywa się częstotliwość cyrkulacji, oznaczony literą ν . Liczba obrotów na jednostkę czasu ν nazywa się częstotliwość cyrkulacji:

Ze względu na ciągłą zmianę kierunku prędkości ciało poruszające się po okręgu posiada przyspieszenie charakteryzujące prędkość zmiany jego kierunku, wartość liczbowa prędkości w tym przypadku nie ulega zmianie.

Przy jednostajnym ruchu ciała po okręgu przyspieszenie w dowolnym jego punkcie jest zawsze skierowane prostopadle do prędkości ruchu wzdłuż promienia koła do jego środka i nazywa się przyspieszenie dośrodkowe.

Aby znaleźć jego wartość, rozważ stosunek zmiany wektora prędkości do przedziału czasu, w którym nastąpiła ta zmiana. Ponieważ kąt jest bardzo mały, mamy