Jak rozwiązać sumę i różnicę kostek. Różnica sześcianu i sześcianu różnicy: zasady stosowania skróconych formuł mnożenia. Przykłady zastosowania FSO

Skrócone wzory mnożenia.

Studiowanie wzorów na mnożenie skrócone: kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice sześcianów dwóch wyrażeń.

Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia przy rozwiązywaniu przykładów.

Aby uprościć wyrażenia, podzielić wielomiany na czynniki i zredukować wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory mnożenia. Skrócone wzory mnożenia, które musisz znać na pamięć.

Niech a, b R. Wtedy:

1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. kostka sumy dwóch wyrażeń równa się sześcianowi pierwszego wyrażenia plus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia razy drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia razy kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. kostka różnicy dwóch wyrażeń równa się sześcianowi z pierwszego wyrażenia minus trzy razy iloczyn kwadratu z pierwszego wyrażenia, a drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego minus sześcian z drugiego wyrażenia.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy tych wyrażeń.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Różnica kostek dwóch wyrażeń jest równy iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład 1

Oblicz

a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń mamy

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń otrzymujemy

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Przykład 2

Oblicz

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń otrzymujemy

Przykład 3

Uprość wyrażenie

(x - y) 2 + (x + y) 2

Używamy wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Różnica kwadratów

Wyprowadzamy wzór na różnicę kwadratów $a^2-b^2$.

Aby to zrobić, pamiętaj o następującej zasadzie:

Jeśli do wyrażenia dodamy dowolny jednomian i odejmiemy ten sam jednomian, otrzymamy poprawną tożsamość.

Dodajmy do naszego wyrażenia i odejmijmy od niego jednomian $ab$:

W sumie otrzymujemy:

Oznacza to, że różnica kwadratów dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy i ich sumy.

Przykład 1

Wyraź jako iloczyn $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Suma kostek

Wyprowadzamy wzór na sumę sześcianów $a^3+b^3$.

Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:

Wyjmijmy $\left(a+b\right)$ z nawiasów:

W sumie otrzymujemy:

Oznacza to, że suma sześcianów dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich sumy przez niepełny kwadrat ich różnicy.

Przykład 2

Wyraź jako produkt $(8x)^3+y^3$

To wyrażenie można przepisać w następującej formie:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Wykorzystując wzór różnicy kwadratów otrzymujemy:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Różnica kostek

Wyprowadzamy wzór na różnicę sześcianów $a^3-b^3$.

Aby to zrobić, użyjemy tej samej zasady, co powyżej.

Dodajmy do naszego wyrażenia i odejmijmy od niego jednomiany $a^2b\ i\ (ab)^2$:

Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:

Wyjmijmy $\left(a-b\right)$ z nawiasów:

W sumie otrzymujemy:

Oznacza to, że różnica sześcianów dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy przez niepełny kwadrat ich sumy.

Przykład 3

Wyraź jako iloczyn $(8x)^3-y^3$

To wyrażenie można przepisać w następującej formie:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Wykorzystując wzór różnicy kwadratów otrzymujemy:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Przykładowe zadania wykorzystujące wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów

Przykład 4

Zwielokrotniać.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Rozwiązanie:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Stosując wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Zapiszmy to wyrażenie w postaci:

Zastosujmy wzór kostek kostek:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Zapiszmy to wyrażenie w postaci:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Zastosujmy wzór kostek kostek:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\prawo)\]

Formuły lub reguły mnożenia zredukowanego są używane w arytmetyce, a dokładniej w algebrze, aby przyspieszyć proces obliczania dużych wyrażeń algebraicznych. Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.

Użycie tych wzorów zapewnia dość szybkie rozwiązanie różnych problemów matematycznych, a także pomaga uprościć wyrażenia. Reguły przekształceń algebraicznych pozwalają na wykonanie pewnych manipulacji wyrażeniami, po których można uzyskać wyrażenie po lewej stronie równości, czyli po prawej stronie, lub przekształcić prawą stronę równości (aby uzyskać wyrażenie na lewa strona po znaku równości).

Wygodnie jest znać formuły używane do skróconego mnożenia przez pamięć, ponieważ są one często używane do rozwiązywania problemów i równań. Główne formuły zawarte na tej liście i ich nazwy są wymienione poniżej.

suma kwadratowa

Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego i drugiego wyrazu oraz kwadratu drugiego. W formie wyrażenia reguła ta jest zapisana w następujący sposób: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kwadrat różnicy

Aby obliczyć kwadrat różnicy, musisz obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby przez drugą (wziętą z przeciwnym znakiem) i kwadratu drugiej liczby. W formie wyrażenia ta zasada wygląda następująco: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Różnica kwadratów

Wzór na różnicę dwóch liczb do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy. W formie wyrażenia ta zasada wygląda następująco: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

kostka sumy

Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, musisz obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego, potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego do kwadratu i sześcian drugiego terminu. W formie wyrażenia ta zasada wygląda następująco: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma kostek

Zgodnie ze wzorem jest to iloczyn sumy tych wyrazów i ich niepełnego kwadratu różnicy. W formie wyrażenia ta zasada wygląda następująco: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która powstaje przez dodanie dwóch sześcianów. Znane są tylko wielkości ich boków.

Jeśli wartości boków są małe, obliczenia są łatwe.

Jeśli długości boków są wyrażone w niewygodnych liczbach, w takim przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.

kostka różnicy

Wyrażenie na różnicę sześcienną brzmi tak: jako suma trzeciej potęgi pierwszego wyrazu potroić iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potroić iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego i sześcian ujemny drugiego terminu. W postaci wyrażenia matematycznego sześcian różnicy wygląda następująco: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Różnica kostek

Wzór na różnicę sześcianów różni się od sumy sześcianów tylko jednym znakiem. Zatem różnica sześcianów jest formułą równą iloczynowi różnicy tych liczb przez ich niepełny kwadrat sumy. W formularzu różnica sześcianów wygląda następująco: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu żółtej figury wolumetrycznej, która jest jednocześnie sześcianem, od objętości niebieskiego sześcianu. Znany jest tylko rozmiar boku małej i dużej kostki.

Jeśli wartości boków są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w znaczących liczbach, to warto skorzystać z formuły „Różnica sześcianów” (lub „Różnica sześcianu”), która znacznie uprości obliczenia.

Skrócone formuły mnożenia (FSU) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybsze wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy główne formuły skróconego mnożenia, pogrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych formuł, a także omówimy zasady dowodzenia skróconych formuł mnożenia.

Po raz pierwszy temat FSU poruszany jest w ramach kursu „Algebra” dla 7 klasy. Poniżej 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory mnożenia

1. suma kwadratów: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. wzór kwadratu różnicy: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. sumaryczna formuła kostki: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. wzór kostki różnicy: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. wzór różnicy kwadratów: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. wzór różnicy sześcianów: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla ułatwienia użytkowania lepiej jest nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Podsumowujemy je w tabeli i podajemy poniżej, zakreślając je pudełkiem.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę kwadratów wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Szósty i siódmy wzór to odpowiednio pomnożenie sumy i różnicy wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana również skróconymi tożsamościami mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Przy rozwiązywaniu praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory mnożenia z przearanżowanymi częściami lewą i prawą. Jest to szczególnie wygodne przy rozkładaniu na czynniki wielomianu.

Dodatkowe skrócone wzory mnożenia

Nie ograniczymy się do 7-klasowego kursu algebry i dodamy jeszcze kilka wzorów do naszej tabeli FSU.

Najpierw rozważ dwumianowy wzór Newtona.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianowymi, które znajdują się w linii numer n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się według wzoru:

Cnk = n ! k! · (n - k) ! = n (n-1) (n-2). . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy i sumy jest szczególnym przypadkiem wzoru dwumianowego Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli w sumie jest więcej niż dwa wyrazy, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

1 + 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może się przydać, jest wzór na różnicę n-tej potęgi dwóch wyrazów.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Formuła ta jest zwykle podzielona na dwie formuły - odpowiednio dla stopni parzystych i nieparzystych.

Dla parzystych wykładników 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla nieparzystych wykładników 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Zgadłeś, że wzory na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów są szczególnymi przypadkami tego wzoru, odpowiednio dla n = 2 i n = 3. Dla różnicy sześcianów b jest również zastępowane przez - b .

Jak czytać skrócone wzory mnożenia?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdej formuły, ale najpierw zajmiemy się zasadą czytania formuł. Najłatwiej to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie kwadratu pierwszego wyrażenia, dwukrotności iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie inne formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, trzykrotności iloczynu kwadratu pierwszego i drugiego wyrażenia oraz trzykrotności iloczynu kwadratu drugiego wyrażenia i pierwsze wyrażenie.

Przechodzimy do czytania wzoru na różnicę sześcianów a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia i drugiego plus trzy razy kwadrat drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąta formuła a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 są dla wygody nazywane odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Mając to na uwadze, wzory na sumę i różnicę kostek brzmią następująco:

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i niepełnego kwadratu ich różnicy.

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. Na podstawie właściwości mnożenia przeprowadzimy mnożenie części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Aby wznieść wyrażenie do drugiej potęgi, wyrażenie musi zostać pomnożone przez siebie.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozwińmy nawiasy:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formuła została sprawdzona. Inne FSO są podobnie udowadniane.

Przykłady zastosowania FSO

Celem stosowania skróconych formuł mnożenia jest szybkie i zwięzłe mnożenie i potęgowanie wyrażeń. To jednak nie cały zakres działania FSO. Są szeroko stosowane w wyrażeniach redukujących, redukujących ułamki, rozkładając na czynniki wielomiany. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSO

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Zastosuj wzór sumy kwadratów i uzyskaj:

9 lat - (1 + 3 lat) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSO

Zmniejsz ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Zauważamy, że wyrażenie w liczniku to różnica sześcianów, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Redukujemy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczać wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy do kwadratu liczbę 79. Zamiast uciążliwych obliczeń piszemy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że skomplikowane obliczenia zostały wykonane szybko przy użyciu tylko skróconych wzorów mnożenia i tabliczki mnożenia.

Kolejnym ważnym punktem jest wybór kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekonwertować na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter