Objętość czworościanu jest pochodną wzoru. Objętość czworościanu. Obliczanie objętości czworościanu, jeśli znane są współrzędne jego wierzchołków

Z podstawowego wzoru na objętość czworościanu

gdzie S to obszar każdej twarzy, oraz h- wysokość obniżoną na nim można wyprowadzić szereg formuł wyrażających objętość poprzez różne elementy czworościanu. Podajemy te wzory na czworościan ABCD.

(2) ,

gdzie ∠ ( OGŁOSZENIE,ABC) to kąt między krawędzią OGŁOSZENIE i płaszczyzna twarzy ABC;

(3) ,

gdzie ∠ ( ABC,ABD) to kąt między twarzami ABC I ABD;

gdzie | AB,Płyta CD| - odległość między przeciwległymi żebrami AB I Płyta CD, ∠ (AB,Płyta CD) to kąt między tymi krawędziami.

Wzory (2)–(4) mogą służyć do znajdowania kątów między liniami i płaszczyznami; szczególnie przydatna jest formuła (4), za pomocą której można obliczyć odległość między liniami skośnymi AB I Płyta CD.

Wzory (2) i (3) są podobne do wzoru S = (1/2)ab grzech C dla obszaru trójkąta. Formuła S = rp podobna formuła

gdzie r to promień wpisanego kuli czworościanu, Σ to jego całkowita powierzchnia (suma pól wszystkich ścian). Jest też piękna formuła łącząca objętość czworościanu z promieniem r jego opisany zakres ( Formuła Crelle):

gdzie Δ jest polem trójkąta, którego boki są liczbowo równe iloczynom przeciwległych krawędzi ( AB× Płyta CD, AC× BD,OGŁOSZENIE× pne). Ze wzoru (2) i twierdzenia cosinus dla kątów trójściennych (patrz Trygonometria sferyczna) można wyprowadzić wzór podobny do wzoru Herona na trójkąty.

Rozważ dowolny trójkąt ABC i punkt D, który nie leży w płaszczyźnie tego trójkąta. Połącz ten punkt segmentami z wierzchołkami trójkąta ABC. W rezultacie otrzymujemy trójkąty ADC , CDB , ABD . Powierzchnia ograniczona czterema trójkątami ABC, ADC, CDB i ABD nazywana jest czworościanem i jest oznaczona jako DABC.
Trójkąty tworzące czworościan nazywane są jego twarzami.
Boki tych trójkątów nazywane są krawędziami czworościanu. A ich wierzchołki są wierzchołkami czworościanu

Czworościan ma 4 twarze, 6 żeber I 4 szczyty.
Dwie krawędzie, które nie mają wspólnego wierzchołka, nazywane są przeciwnie.
Często dla wygody nazywa się jedną z twarzy czworościanu podstawa, a pozostałe trzy twarze to ściany boczne.

Tak więc czworościan jest najprostszym wielościanem, którego ściany są czterema trójkątami.

Ale prawdą jest również, że każda arbitralna trójkątna piramida jest czworościanem. Wtedy prawdą jest również, że nazywa się czworościan piramida z trójkątem u podstawy.

Wysokość czworościanu nazywany segmentem, który łączy wierzchołek z punktem znajdującym się na przeciwległej ścianie i prostopadłym do niego.
Mediana czworościanu nazywany segmentem, który łączy wierzchołek z punktem przecięcia median przeciwnej ściany.
Czworościan bimedialny nazywa się segmentem, który łączy punkty środkowe przecinających się krawędzi czworościanu.

Ponieważ czworościan jest piramidą o trójkątnej podstawie, objętość dowolnego czworościanu można obliczyć za pomocą wzoru

• S to obszar każdej twarzy,
• h- wysokość obniżona na tej twarzy

Czworościan regularny - specjalny rodzaj czworościanu

Nazywa się czworościan, w którym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi prawidłowy.
Właściwości czworościanu foremnego:

• Wszystkie krawędzie są równe.
• Wszystkie kąty płaskie czworościanu foremnego wynoszą 60°
• Ponieważ każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech regularnych trójkątów, suma kątów płaszczyzny na każdym wierzchołku wynosi 180 °
• Każdy wierzchołek czworościanu foremnego jest rzutowany na ortocentrum przeciwległej ściany (do punktu przecięcia wysokości trójkąta).

Daj nam czworościan foremny ABCD o krawędziach równych a . DH to jego wysokość.
Zróbmy dodatkowe konstrukcje BM - wysokość trójkąta ABC i DM - wysokość trójkąta ACD .
Wysokość BM równa się BM i równa się
Rozważmy trójkąt BDM , gdzie DH , czyli wysokość czworościanu, jest jednocześnie wysokością tego trójkąta.
Wysokość trójkąta opuszczonego na bok MB można znaleźć za pomocą wzoru

, gdzie
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Zastąp te wartości formułą wzrostu. Dostwać


Wyjmijmy 1/2a. Dostwać

Zastosuj różnicę wzorów kwadratów

Po kilku drobnych przekształceniach otrzymujemy


Objętość dowolnego czworościanu można obliczyć za pomocą wzoru
,
gdzie ,

Zastępując te wartości, otrzymujemy

Zatem wzór objętości dla czworościanu foremnego to

gdzie a–krawędź czworościanu

Obliczanie objętości czworościanu, jeśli znane są współrzędne jego wierzchołków

Podaj nam współrzędne wierzchołków czworościanu

Narysuj wektory z wierzchołka , , .
Aby znaleźć współrzędne każdego z tych wektorów, odejmij odpowiednią współrzędną początkową od współrzędnej końcowej. Dostwać

Notatka. Jest to część lekcji z problemami z geometrii (sekcja geometrii brył, problemy dotyczące piramidy). Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. W zadaniach zamiast symbolu „pierwiastek kwadratowy” używana jest funkcja sqrt (), w której sqrt jest symbolem pierwiastka kwadratowego, a wyrażenie radykalne jest wskazane w nawiasach.W przypadku prostych wyrażeń radykalnych można użyć znaku „√”. czworościan foremny jest regularną trójkątną piramidą, w której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

W przypadku czworościanu foremnego wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach i wszystkie kąty trójścienne na wierzchołkach są równe

Czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi.

Podstawowe wzory na czworościan foremny podano w tabeli.

Gdzie:
S - Pole powierzchni czworościanu foremnego
V - objętość
h - wysokość obniżona do podstawy
r - promień okręgu wpisanego w czworościan
R - promień okręgu opisanego
a - długość żebra

Praktyczne przykłady

Zadanie.
Znajdź pole powierzchni trójkątnej piramidy z każdą krawędzią równą √3

Rozwiązanie.
Ponieważ wszystkie krawędzie trójkątnej piramidy są równe, to prawda. Powierzchnia regularnej trójkątnej piramidy wynosi S = a 2 3.
Następnie
S = 3√3

Odpowiedź: 3√3

Zadanie.
Wszystkie krawędzie regularnej trójkątnej piramidy mają 4 cm Znajdź objętość piramidy

Rozwiązanie.
Ponieważ w regularnej piramidzie trójkątnej wysokość piramidy jest rzutowana na środek podstawy, który jest jednocześnie środkiem koła opisanego

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Zatem wysokość piramidy OM można znaleźć z prawego trójkąta AOM

AO2 + OM2 = AM2
OM2 = AM2 - AO2
OM2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM2 = 16 - 16/3
OM = (32/3)
OM = 4√2 / √3

Objętość piramidy określa wzór V = 1/3 Sh
W takim przypadku obszar podstawy znajdujemy według wzoru S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Odpowiedź: 16√2/3 cm

Definicja czworościanu

Czworościan- najprostszy korpus wielościenny, którego ściany i podstawa są trójkątami.

Kalkulator online

Czworościan ma cztery ściany, z których każda składa się z trzech boków. Czworościan ma cztery wierzchołki, każdy z trzema krawędziami.

To ciało dzieli się na kilka typów. Poniżej znajduje się ich klasyfikacja.

1. Izoedryczny czworościan- wszystkie jego twarze to te same trójkąty;
2. Czworościan ortocentryczny- wszystkie wysokości narysowane od każdego wierzchołka do przeciwległej ściany mają taką samą długość;
3. Czworościan prostokątny- krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 90 stopni;
4. rama;
5. Procentowy;
6. skoncentrowany.

Wzory objętości czworościanu

Objętość danego ciała można znaleźć na kilka sposobów. Przeanalizujmy je bardziej szczegółowo.

Poprzez mieszany produkt wektorów

Jeśli czworościan zbudowany jest na trzech wektorach o współrzędnych:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a tak​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b tak​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C x​ , C tak​ , C z​ ) ,

wtedy objętość tego czworościanu jest iloczynem mieszanym tych wektorów, czyli takim wyznacznikiem:

Objętość czworościanu przez wyznacznik

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ C x​ ​ a tak​ b tak​ C tak​ ​ a z​ b z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Zadanie 1

Znane są współrzędne czterech wierzchołków ośmiościanu. A (1 , 4 , 9) A (1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7,12,1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Znajdź jego objętość.

Rozwiązanie

A (1 , 4 , 9) A (1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7,12,1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Pierwszym krokiem jest określenie współrzędnych wektorów, na których zbudowane jest dane ciało.
Aby to zrobić, musisz znaleźć każdą współrzędną wektora, odejmując odpowiednie współrzędne dwóch punktów. Na przykład współrzędne wektora A B → \overrightarrow(AB) B, czyli wektor skierowany od punktu A A do momentu B B b, są to różnice odpowiednich współrzędnych punktów B B b I A A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

KP → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(KP)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Teraz znajdujemy iloczyn mieszany tych wektorów, w tym celu tworzymy wyznacznik trzeciego rzędu, zakładając, że A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= C.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ Cx​ ​ atak​ btak​ Ctak​ ​ az​ bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Oznacza to, że objętość czworościanu wynosi:

$V=61\cdot |$

Odpowiedź

$44.8\text{cm3 .}$

Wzór na objętość czworościanu izoedrycznego wzdłuż jego boku

Ten wzór jest ważny tylko przy obliczaniu objętości czworościanu izoedrycznego, czyli czworościanu, w którym wszystkie ściany są identycznymi trójkątami regularnymi.

Objętość czworościanu izoedrycznego

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aa to długość krawędzi czworościanu.

Zadanie 2

Znajdź objętość czworościanu, jeśli jego bok jest równy $11\text{cm.}$

Rozwiązanie

$a=11$

Zastąpić aa we wzorze na objętość czworościanu:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Odpowiedź

$156.8\text{cm3 .}$