Sumowanie szeregów trygonometrycznych za pomocą funkcji analitycznych. trygonometryczne szeregi Fouriera trygonometryczne szeregi Fouriera

Pokażmy, że prawie każdą funkcję okresową można przedstawić jako szereg, którego członkami są proste harmoniczne, wykorzystując tzw. szereg trygonometryczny.

Definicja. Szereg trygonometryczny to szereg funkcjonalny postaci

gdzie są liczby rzeczywiste? ale 0 , jakiś , b n nazywane są współczynnikami szeregu.

Czas wolny serii zapisywany jest w formie dla ujednolicenia otrzymanych później wzorów.

Należy odpowiedzieć na dwa pytania:

1) W jakich warunkach działa funkcja f(x) z okresem 2π można rozszerzyć w szereg (5.2.1)?

2) Jak obliczyć kursy ale 0 ,… jakiś , b n ?

Zacznijmy od drugiego pytania. Niech funkcja f(x) jest ciągła w przedziale i ma okres T=2π. Poniżej przedstawiamy formuły, których będziemy potrzebować.

Dla dowolnej liczby całkowitej , ponieważ funkcja jest parzysta.

Na każdą całość.

(m I n wszystkie liczby)

Na ( m I n liczb całkowitych) każda z całek (III, IV, V) jest przeliczana na sumę całek (I) lub (II). Jeżeli , to we wzorze (IV) otrzymujemy:

Równość (V) jest udowodniona podobnie.

Załóżmy teraz, że funkcja okazała się taka, że ​​znaleziono dla niej rozwinięcie w zbieżny szereg Fouriera, czyli

(Zauważ, że suma jest nad indeksem n).

Jeśli szereg jest zbieżny, oznaczamy jego sumę S(x).

Integracja termiczna (uprawniona ze względu na założenie zbieżności szeregu) w zakresie od do daje

ponieważ wszystkie wyrazy oprócz pierwszego są równe zeru (relacje I, II). Stąd znajdujemy

Mnożenie (5.2.2) przez ( m=1,2,…) i całkując człon po członie w zakresie od do , znajdujemy współczynnik jakiś.

Po prawej stronie równości wszystkie wyrazy są równe zeru, z wyjątkiem jednego m=n(relacje IV, V), stąd otrzymujemy

Mnożenie (5.2.2) przez ( m\u003d 1,2, ...) i całkując wyraz po wyrazie w zakresie od do , podobnie znajdujemy współczynnik b n

Wartości - określone wzorami (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) nazywane są współczynnikami Fouriera, a szereg trygonometryczny (5.2.2) jest szeregiem Fouriera dla danej funkcji f(x).

Tak więc otrzymaliśmy dekompozycję funkcji f(x) w serii Fouriera

Wróćmy do pierwszego pytania i dowiedzmy się, jakie właściwości powinna mieć funkcja f(x), tak aby skonstruowany szereg Fouriera był zbieżny, a suma szeregu byłaby dokładnie równa f(x).

Definicja. Funkcja f(x) nazywana jest odcinkowo ciągłą, jeśli jest ciągły lub ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju.

Definicja. Funkcja f(x), podany na przedziale nazywa się odcinkowo monotoniczny, jeśli odcinek można podzielić punktami na skończoną liczbę przedziałów, w każdym z których funkcja zmienia się jednostajnie (rosnąc lub malejąc).

Rozważymy funkcje f(x), mając okres T=2π. Takie funkcje nazywają się 2π- okresowe.

Sformułujmy twierdzenie przedstawiające warunek dostateczny rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera.

Twierdzenie Dirichleta(zaakceptuj bez dowodu) . Jeśli 2π-funkcja okresowa f(x) na odcinku jest odcinkowo ciągła i odcinkowo monotoniczna, to szereg Fouriera odpowiadający funkcji zbiega się na tym odcinku i jednocześnie:

1. W punktach ciągłości funkcji suma szeregu pokrywa się z samą funkcją S(x)=f(x);

2. W każdym punkcie x 0 przerwanie funkcji f(x) suma serii to ,

tych. średnia arytmetyczna granic funkcji po lewej i prawej stronie punktu x 0 ;

3. W punktach (na końcach odcinka) suma szeregu Fouriera wynosi ,

tych. średnia arytmetyczna wartości granicznych funkcji na końcach odcinka, gdy argument zmierza do tych punktów z wnętrza przedziału.

Uwaga: jeśli funkcja f(x) o okresie 2π jest ciągła i różniczkowalna w całym przedziale, a jej wartości na końcach przedziału są równe, czyli ze względu na okresowość funkcja ta jest ciągła na całej osi rzeczywistej i dla dowolnych x suma jego szeregu Fouriera jest taka sama jak f(x).

Tak więc, jeśli funkcja całkowalna na przedziale f(x) spełnia warunki twierdzenia Dirichleta, to równość zachodzi na przedziale (rozwinięcie w szereg Fouriera):

Współczynniki obliczane są według wzorów (5.2.3) - (5.2.5).

Większość funkcji występujących w matematyce i jej zastosowaniach spełnia warunki Dirichleta.

Szeregi Fouriera, podobnie jak szeregi potęgowe, służą do przybliżonego obliczania wartości funkcji. Jeśli rozszerzenie funkcji f(x) w szereg trygonometryczny, wtedy zawsze można użyć przybliżonej równości , zastępując tę ​​funkcję sumą kilku harmonicznych, tj. suma częściowa (2 n+1) termin szeregu Fouriera.

Szeregi trygonometryczne są szeroko stosowane w elektrotechnice, przy ich pomocy rozwiązują wiele problemów fizyki matematycznej.

Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie 2π, podanym na przedziale (-π; π).

Rozwiązanie. Znajdź współczynniki szeregu Fouriera:

Otrzymaliśmy rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera

W punktach ciągłości suma szeregu Fouriera jest równa wartości funkcji f(x)=S(x), w punkcie x=0 S(x)=1/2, w punktach x=π,2π,… S(x)=1/2.

Przypomnijmy, że w rzeczywistej analizie szereg trygonometryczny jest szeregiem w cosinusach i sinusach wielu łuków, tj. wiersz formularza

Trochę historii. Początkowy okres teorii takich szeregów przypisuje się połowie XVIII wieku w związku z problemem drgań struny, kiedy to poszukiwano pożądanej funkcji jako sumy szeregów (14.1). Pytanie o możliwość takiej reprezentacji wywołało wśród matematyków gorącą dyskusję, która trwała kilkadziesiąt lat. Spory związane z treścią pojęcia funkcji. W tamtym czasie funkcje były zwykle kojarzone z ich przypisaniem analitycznym, ale tutaj konieczne stało się przedstawienie funkcji obok (14.1), której wykres jest raczej arbitralną krzywą. Ale znaczenie tych sporów jest większe. W rzeczywistości podnieśli pytania związane z wieloma fundamentalnie ważnymi ideami analizy matematycznej.

A w przyszłości, podobnie jak w tym początkowym okresie, teoria szeregów trygonometrycznych służyła jako źródło nowych pomysłów. W związku z nimi powstała np. teoria mnogości i teoria funkcji zmiennej rzeczywistej.

W tym końcowym rozdziale rozważymy materiał, który ponownie łączy rzeczywistą i złożoną analizę, ale jest w niewielkim stopniu odzwierciedlony w podręcznikach dotyczących TFCT. W trakcie analizy wyszli z określonej funkcji i rozszerzyli ją na szereg trygonometryczny Fouriera. Tutaj rozważamy problem odwrotny: dla danego szeregu trygonometrycznego ustal jego zbieżność i sumę. W tym celu Euler i Lagrange z powodzeniem wykorzystali funkcje analityczne. Podobno Euler po raz pierwszy (1744) uzyskał równouprawnienie

Poniżej podążamy śladami Eulera, ograniczając się tylko do szczególnych przypadków szeregów (14.1), czyli szeregów trygonometrycznych

Komentarz. Zasadniczo zostanie użyty następujący fakt: jeśli ciąg dodatnich współczynników PI monotonicznie dąży do zera, to szeregi te zbiegają się jednostajnie na dowolnym przedziale domkniętym nie zawierającym punktów postaci 2lx (do gZ). W szczególności na przedziale (0,2n -) wystąpi zbieżność punktowa. Zobacz o tym w pracy, s. 429-430.

Pomysł Eulera na zsumowanie szeregu (14.4), (14.5) jest taki, że przy użyciu podstawienia z = ja przejdź do serii mocy

Jeśli wewnątrz okręgu jednostkowego można wyraźnie znaleźć jego sumę, to problem zwykle rozwiązuje się poprzez oddzielenie od niego części rzeczywistej i urojonej. Podkreślamy, że stosując metodę Eulera należy sprawdzić zbieżność szeregu (14.4), (14.5).

Spójrzmy na kilka przykładów. W wielu przypadkach szereg geometryczny będzie przydatny

jak również szeregi otrzymane z niego przez różniczkowanie lub całkowanie termin po termie. Na przykład,

Przykład 14.1. Znajdź sumę szeregu

Rozwiązanie. Wprowadzamy podobną serię z cosinusami

Obie serie zbiegają się wszędzie, ponieważ zdominowany przez szereg geometryczny 1 + r + r 2+.... Zakładając z = były, dostajemy

Tutaj ułamek sprowadza się do postaci

gdzie otrzymujemy odpowiedź na pytanie problemu:

Po drodze ustanowiliśmy równość (14.2): Przykład 14.2. Sumuj wiersze

Rozwiązanie. Zgodnie z powyższą uwagą, oba szeregi są zbieżne na określonym przedziale i służą jako szeregi Fouriera dla funkcji, które definiują f(x) 9 g(x). Jakie są te funkcje? Aby odpowiedzieć na pytanie, zgodnie z metodą Eulera składamy szeregi (14,6) ze współczynnikami PI= -. Zgadzać się-

ale równość (14,7) otrzymujemy

Pomijając szczegóły (czytelnik powinien je odtworzyć), zwracamy uwagę, że wyrażenie pod znakiem logarytmu można przedstawić jako

Moduł tego wyrażenia jest równy -, a argumentem (dokładniej jego główną wartością jest

• 2 sin-

wartość) jest równa Dlatego In ^ = -ln(2sin

Przykład 14.3. Na -l suma wierszy

Rozwiązanie. Obie serie zbiegają się wszędzie, ponieważ są zdominowane przez zbieżne

obok wspólnego członka -! . Wiersz (14,6)

n(n +1)

bezpośrednio

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns da znaną ilość. Na tej podstawie przedstawiamy to w formie

równość

Tutaj wyrażenie w nawiasach to ln(l + z), a wyrażenie w nawiasach kwadratowych to ^ ^ + ** ^--. W konsekwencji,

= (1 + -) ln (1 + z). Ale już

powinien być umieszczony tutaj z = eLX i wykonaj te same czynności, co w poprzednim przykładzie. Pomijając szczegóły zwracamy uwagę, że

Pozostaje otworzyć nawiasy i napisać odpowiedź. Pozostawiamy to czytelnikowi.

Zadania do rozdziału 14

Oblicz sumy kolejnych wierszy.

• 1.3.1. a) z = 0 i z-- 2;
• b) z = l I z=-1;
• w) z = ja i z= -I.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) oo.
• 2.1.1. Łuk paraboli, r = w 2 biegnące od punktu (1;1) do punktu (1;- 1) iz powrotem.
• 2.1.2. Segment z początkiem ale, koniec b.
• 2.1.3. Skorygowana ścieżka Jordana na ryc. 19.

• 2.1.4. łuk paraboli y = x 2 z początkiem (-1;0), końcem (1;1).
• 2.1.5. Koło dg 2 + (w - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Półpłaszczyzna Rez > .
• 2.2.2. Okrąg otwarty C x ""^) 2 + T 2
• 2.2.3. Wnętrze paraboli 2 lata = 1 - x 2 .
• 2.2.4. Błędne koło (d: - 2) 2 + o 2
• 2.2.5. Pojawienie się paraboli 2x \u003d - y 2.

3.1.a).Jeśli w=u + iv, następnie I= -r- -v = -^-^ Stąd

l: 2 + (1-.g) 2.t 2 + (1-d:) 2

Początek współrzędnych należy wyłączyć z tego okręgu, ponieważ (m, v) 9* (0; 0) V* e R, ton I= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Wyeliminować x,y z równości x + y \u003d l i \u003d x 2 - y, v = 2 xy. Odpowiedź: parabola 2v = l-i 2 .
• 3.2. Prosta l: = i (l^O) przechodzi w okrąg
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 z punktem przebicia (r/, v) = (0; 0). Zastosuj to za pomocą
• 2a 2 lata

a = 1, a = 2.

• 3.4. W przypadkach a), b) użyj „znaku nieistnienia limitu”. W przypadku c) limit istnieje i wynosi 2.
• 3.5. Nie jest. Rozważ granice funkcji w dwóch ciągach ze wspólnymi terminami odpowiednio

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) nigdzie ns różniczkowalny; b) wszędzie różniczkowalny.
• 4.2. a) ma pochodną we wszystkich punktach prostej y = x, w każdym z

ich w = 2x; nigdzie nie jest holomorficzny;

• b) jest holomorficzny w C(0), a / = - J.
• 4.3. holomorficzny w C, W=3z 2 .
• 4.4. Z równości / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 wynika z tego, że w,v nie jest

St St

zależą od zmiennej „t. Warunki Cauchy'ego-Riemanna implikują, że te funkcje są również niezależne od y.

4.5. Rozważmy na przykład sprawę Re F z) = ja(x, y) = stały. OD

używając warunków Cauchy'ego-Riemanna, wywnioskuj z tego, że Im/(z) = v(x 9 lat) = stały.

• 5.1. a) ponieważ J=--=- =-* 0(z * -/) i zgodnie ze stanem problemu
• (l-/z) 2 (z+/) 2

argument pochodnej jest równy zero, wtedy jej część urojona wynosi zero, a część rzeczywista jest dodatnia. Stąd czerpiemy odpowiedź: prosto w = -X-1 (X * 0).

b) koło z + i=j2.

• 5.3. Sprawdź, czy funkcja nie przyjmuje wartości zerowej, a jej pochodna istnieje wszędzie i jest równa podanej funkcji.
• 6.1. Na podstawie definicji tangensa jako stosunku sinusa do cosinusa udowodnij, że tg(z + n^-tgz z prawidłowymi wartościami argumentów. Zostawiać T jakiś inny okres tg(z + T) = tgz. Stąd i z poprzedniej równości wywnioskuj, że sin(/r- T)= 0, skąd wynika, że T wiele do .
• 6.2. Użyj równości (6.6).
• 6.3. Pierwsza formuła nie jest poprawna, ponieważ nie zawsze arg(zH ,) = argz + argvv (weźmy na przykład z = -1, w = -1). Druga formuła też jest błędna. Rozważmy na przykład przypadek z = 2.
• 6.4. Od równości a = e 01 "0 wywnioskować, że tutaj prawa strona ma postać |i|« , e ca(a^a+2 jak)? sli p r i kilka innych liczb całkowitych do 19 do 2

wyrażenie w nawiasach miałoby to samo znaczenie, wtedy mieliby

co jest sprzeczne z irracjonalnością ale .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) kąt - i w
• b) sektor o obiegu zamkniętym | w2, | argvr|
• 7.2. W obu przypadkach okrąg o promieniu 1 wyśrodkowany na początku.
• 7.3. Poruszamy się wzdłuż granicy półokręgu tak, aby jego wnętrze pozostało po lewej stronie. Używamy notacji z = x + yi, w = u + vi. Lokalizacja włączona

w= 0, -1 x 1 mamy i =--e [-1,1]" v = 0. Rozważmy drugi odcinek granicy - półokrąg z=e tytg. W tej sekcji wyrażenie

jest konwertowany do postaci w=u=-- ,/* -. Pomiędzy. Zgodnie z (8.6), pożądana całka jest równa

b). Równanie dolnego półkola ma postać z(t) = e", t e[l, 2n). Według wzoru (8.8) całka jest równa

• 8.2. ale). Podziel żądaną całkę na sumę całek po odcinku O A i wzdłuż odcinka AB. Ich równania to odpowiednio z= / + //,/ z i

z = t + i,te. Odpowiedź: - + - i.

• b). Równanie krzywej całkowania można zapisać jako z = e", t € . Wtedy Vz ma dwie różne wartości, a mianowicie

.1 .t+2/r

e 2 , e 2. Z warunków problemu wynika, że ​​mówimy o głównej wartości pierwiastka: Vz, tj. o pierwszym z nich. Wtedy całka to

8.3. W rozwiązaniu problemu rysunek celowo nie jest podany, ale czytelnik powinien go uzupełnić. Wykorzystywane jest równanie odcinka prostej łączącej dwa dane punkty i, /> e C (ale - Początek, b - koniec): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Podzielmy pożądaną całkę na cztery:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. Na segmencie AB mamy z- (1 -1) ? 1 +1 /, więc całka na tym odcinku, zgodnie z (8.8), jest równa

Postępując w podobny sposób, stwierdzamy

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. Zrób zastępstwo z = z0 + re 11,0 t/g.
• 9.3 Funkcja f(z)=J jest holomorficzny w niektórych po prostu połączonych z-a

obszar D zawierający Г i ns zawierający ale. Według twierdzenia o całce zastosowanego do /),/], pożądana całka jest równa zeru.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. W przypadku a) punkty osobliwe ±2/ leżą wewnątrz danego okręgu, więc całka jest równa

• b). Punkty osobliwe ±3/ również leżą wewnątrz okręgu. Rozwiązanie jest podobne. Odpowiedź: 0.
• 10.1. Zaprezentuj funkcję jako /(z) = -----użyj
• 3 1 + -

seria geometryczna 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Rozróżnij wyraz po wyrazie szereg geometryczny.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Odpowiedź: z .
• 11.1. Użyj rozszerzenia potęgi wykładnika i sinusa. W przypadku a) zamówienie wynosi 3, w przypadku b) jest to 2.
• 11.2. Aż do oczywistej zmiany zmiennej równanie może być:

reprezentować w postaci /(z) = /(-^z). Bez utraty ogólności możemy założyć, że

promień zbieżności szeregu Taylora funkcji wyśrodkowanej w punkcie 0 jest większy niż jeden. Mamy:

Wartości funkcji są takie same na zbiorze dyskretnym z punktem granicznym należącym do okręgu zbieżności. Według twierdzenia o jednoznaczności /(z) = stały.

11.3. Załóżmy, że istnieje pożądana funkcja analityczna /(z). Porównajmy jego wartości z funkcją (z) = z2 na planie MI,

składający się z kropek z n = - (n = 2,3,...). Ich znaczenia są takie same, a ponieważ mi

ma punkt graniczny należący do danego okręgu, to według twierdzenia o jednoznaczności /(z) = z 2 dla wszystkich argumentów danego okręgu. Ale to jest sprzeczne z warunkiem /(1) = 0. Odpowiedź: ns nie istnieje.

• 11.4. Tak, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Nie ma sprzeczności, ponieważ punkt graniczny wartości jednostkowych nie leży w dziedzinie funkcji.
• - 1 1
• 12.1. a) 0 ; b) 2

  12.2. ale). Przedstaw funkcję w formularzu i rozwiń nawiasy.

  • b). Zamień terminy, użyj standardowych rozszerzeń cosinusa i sinusa.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) punkty 0, ± 1 są prostymi biegunami;
  • b) z = 0 - punkt usuwalny;
  • c) z = 0 jest zasadniczo pojedynczym punktem.
  • 13.1. ale). Punkty a = 1, a = 2 są biegunami całki. Reszta w odniesieniu do pierwszego (prostego) bieguna jest znaleziona zgodnie z (13.2), jest równa 1. Reszta w odniesieniu do drugiego bieguna jest znaleziona według wzoru (13.3) z rzędem wielokrotności u = 2 i jest równy -1. Suma reszt wynosi zero, więc całka wynosi zero według podstawowego twierdzenia o resztach.
  • b). Wewnątrz prostokąta o wskazanych wierzchołkach znajdują się trzy

  proste słupy 1,-1,/. Suma reszt w nich jest równa --, a całka równa się

  w). Wśród Polaków 2 Trki (kGZ) całki, tylko dwa leżą wewnątrz danego okręgu. To 0 i 2 i oba są proste, reszty w nich są równe w 1. Odpowiedź: 4z7.

  pomnóż to przez 2/r/. Pomijając szczegóły wskazujemy odpowiedź: / = -i .

  13.2. ale). Postawmy e"=z, więc e"idt =dz , dt= - . Ho

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefal zostanie zredukowany do postaci

  

  Tutaj mianownik jest faktoryzowany (z-z,)(z-z 2), gdzie z, = 3 - 2 V2 / leży wewnątrz okręgu w , a z,=3 + 2V2 / leży powyżej. Pozostaje znaleźć resztę w odniesieniu do prostego bieguna z, korzystając ze wzoru (13.2) i

  b) . Zakładając, jak wyżej, e" = z sprowadzamy intefal do postaci

  

  Funkcja subintefalna ma trzy proste bieguny (które?). Pozostawiając czytelnikowi obliczenie w nich pozostałości, wskazujemy odpowiedź: I= .

  • w) . Funkcja podcałkowa jest równa 2(1--=-), pożądana całka
  • 1 + cos T

  równa się 2(^-1- h-dt). Oznacz całkę w nawiasie przez /.

  Stosując równość cos "/ = - (1 + cos2f) otrzymujemy, że / = [- cit .

  Analogicznie do przypadków a), b) dokonaj podstawienia e 2,t = z, zmniejsz całkę do postaci

  

  gdzie krzywa całkowania jest tym samym okręgiem jednostkowym. Dalsze argumenty są takie same jak w przypadku a). Odpowiedź: pierwotna, poszukiwana całka jest równa /r(2-n/2).

  13.3. ale). Rozważ pomocniczą całkę zespoloną

  /(/?)= f f(z)dz, gdzie f(z) = - p-, G (I) - kontur złożony z

  półkola y(R): | z |= r> 1, Imz > 0 i wszystkie średnice (zrób rysunek). Podzielmy tę całkę na dwie części - według przedziału [-/?,/?] i według y(R).

  do.

  Wewnątrz obwodu leżą tylko proste bieguny z 0 \u003d e 4, z, = mi 4 (rys. 186). W odniesieniu do ich pozostałości stwierdzamy:

  Pozostaje sprawdzić, czy całka przewyższa y(R) dąży do zera, ponieważ r. Z nierówności |g + A|>||i|-|/>|| i z oszacowania całki dla ze y(R) wynika, że

W wielu przypadkach, badając współczynniki szeregów postaci (C) lub można ustalić, że szeregi te są zbieżne (być może z wyjątkiem pojedynczych punktów) i są dla ich sum szeregami Fouriera (patrz na przykład poprzedni nr ), ale we wszystkich tych przypadkach naturalnie pojawia się pytanie

jak znaleźć sumy tych szeregów, a ściślej, jak wyrazić je w postaci końcowej w terminach funkcji elementarnych, jeśli w ogóle w takiej formie są wyrażone. Nawet Euler (a także Lagrange) z powodzeniem wykorzystał funkcje analityczne zmiennej zespolonej do zsumowania szeregów trygonometrycznych w ostatecznej postaci. Idea metody Eulera jest następująca.

Załóżmy, że dla pewnego zbioru współczynników szereg (C) i zbiegają się do funkcji wszędzie w przedziale, wyłączając tylko pojedyncze punkty. Rozważmy teraz szereg potęgowy o tych samych współczynnikach, ułożony w potęgi zmiennej zespolonej

Na obwodzie okręgu jednostkowego, tj. w , szereg ten zbiega się z założenia, wyłączając poszczególne punkty:

W tym przypadku, zgodnie ze znaną właściwością szeregów potęgowych, szereg (5) z pewnością zbiega się, tj. wewnątrz okręgu jednostkowego, definiując tam pewną funkcję zmiennej zespolonej. Korzystanie ze znanych nam [patrz. § 5 rozdziału XII] rozwinięcia funkcji elementarnych zmiennej zespolonej, często można tę funkcję sprowadzić do nich.Wtedy mamy:

a na podstawie twierdzenia Abela, gdy szereg (6) jest zbieżny, jego suma jest otrzymywana jako granica

Zwykle ta granica jest po prostu równa, co pozwala nam obliczyć funkcję w ostatecznej postaci

Niech na przykład seria

Stwierdzenia udowodnione w poprzednim akapicie prowadzą do wniosku, że oba te szeregi są zbieżne (pierwszy, z wyłączeniem punktów 0 i

służą jako szeregi Fouriera dla funkcji, które definiują, ale co to za funkcje? Aby odpowiedzieć na to pytanie, tworzymy serię

Dzięki podobieństwu z szeregiem logarytmicznym jego sumę można łatwo ustalić:

W konsekwencji,

Teraz prosta kalkulacja daje:

więc moduł tego wyrażenia to , a argument to .

a zatem ostatecznie

Wyniki te są nam znane i zostały nawet kiedyś uzyskane za pomocą „złożonych” rozważań; ale w pierwszym przypadku zaczęliśmy od funkcji i , a w drugim - od funkcji analitycznej.Tutaj po raz pierwszy sam szereg posłużył jako punkt wyjścia. Czytelnik znajdzie dalsze tego rodzaju przykłady w następnym rozdziale.

Podkreślamy raz jeszcze, że trzeba mieć pewność przed zbieżnością i szeregiem (C) i żeby mieć prawo wyznaczania ich sum przy pomocy równości granicznej (7). Samo istnienie granicy po prawej stronie tej równości nie pozwala jeszcze wnioskować, że wspomniane szeregi są zbieżne. Aby pokazać to na przykładzie, rozważ serię

W nauce i technice często mamy do czynienia ze zjawiskami okresowymi, tj. te, które są odtwarzane po pewnym czasie T nazwany okresem. Najprostszą z funkcji okresowych (poza stałą) jest wartość sinusoidalna: jak w(x+ ), drgania harmoniczne, gdzie występuje „częstotliwość” związana z okresem przez stosunek: . Z tak prostych funkcji okresowych można skomponować bardziej złożone. Oczywiście, składowe wielkości sinusoidalne muszą mieć różne częstotliwości, ponieważ dodanie wielkości sinusoidalnych o tej samej częstotliwości daje w wyniku wielkość sinusoidalną o tej samej częstotliwości. Jeśli dodamy kilka wartości formularza

Na przykład odtwarzamy tutaj dodanie trzech wielkości sinusoidalnych: . Rozważ wykres tej funkcji

Ten wykres znacznie różni się od fali sinusoidalnej. Jest to jeszcze bardziej prawdziwe w przypadku sumy nieskończonego szeregu złożonego z wyrazów tego typu. Zadajmy pytanie: czy dla danej funkcji okresowej okresu jest możliwe? T reprezentować jako sumę skończonego lub przynajmniej nieskończonego zbioru wielkości sinusoidalnych? Okazuje się, że w odniesieniu do dużej klasy funkcji na to pytanie można odpowiedzieć twierdząco, ale tylko wtedy, gdy uwzględnimy dokładnie cały nieskończony ciąg takich terminów. Geometrycznie oznacza to, że wykres funkcji okresowej uzyskuje się przez nałożenie szeregu sinusoid. Jeśli przyjmiemy każdą wartość sinusoidalną jako pewien harmoniczny ruch oscylacyjny, to możemy powiedzieć, że jest to złożona oscylacja charakteryzująca się funkcją lub po prostu jej harmonicznymi (pierwsza, druga itd.). Nazywa się proces dekompozycji funkcji okresowej na harmoniczne analiza harmoniczna.

Należy zauważyć, że takie rozszerzenia często okazują się przydatne w badaniu funkcji, które są zdefiniowane tylko w pewnym skończonym przedziale i nie są generowane przez żadne zjawiska oscylacyjne.

Definicja. Seria trygonometryczna to seria o postaci:

Lub (1).

Liczby rzeczywiste nazywane są współczynnikami szeregu trygonometrycznego. Tę serię można również napisać tak:

Jeżeli szereg typu przedstawionego powyżej jest zbieżny, to jego sumą jest funkcja okresowa z okresem 2p.

Definicja. Współczynniki Fouriera szeregu trygonometrycznego nazywają się: (2)

(3)

(4)

Definicja. Blisko Fouriera dla funkcji f(x) nazywana jest szeregiem trygonometrycznym, którego współczynniki są współczynnikami Fouriera.

Jeżeli szereg Fouriera funkcji f(x) zbiega się z nim we wszystkich punktach ciągłości, wtedy mówimy, że funkcja f(x) rozwija się w serii Fouriera.

Twierdzenie.(Twierdzenie Dirichleta) Jeśli funkcja ma okres 2p i jest ciągła na odcinku lub ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, odcinek można podzielić na skończoną liczbę odcinków tak, aby funkcja była monotoniczna wewnątrz każdego z nich, to szereg Fouriera dla funkcji jest zbieżny dla wszystkich wartości x, a w punktach ciągłości funkcji jej suma S(x) jest równy , a w punktach nieciągłości jego suma jest równa , tj. średnia arytmetyczna wartości granicznych po lewej i prawej stronie.

W tym przypadku szereg Fouriera funkcji f(x) zbiega się jednostajnie na dowolnym przedziale, który należy do przedziału ciągłości funkcji.

Funkcja spełniająca warunki tego twierdzenia nazywana jest odcinkowo gładką na przedziale .

Rozważmy przykłady rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera.

Przykład 1. Rozwiń funkcję w szeregu Fouriera f(x)=1-x, który ma kropkę 2p i podane na segmencie .

Rozwiązanie. Wykreślmy tę funkcję

Funkcja ta jest ciągła na odcinku , czyli na odcinku o długości okresu, dlatego może być rozszerzona na szereg Fouriera, który zbiega się z nim w każdym punkcie tego odcinka. Korzystając ze wzoru (2), znajdujemy współczynnik tego szeregu: .

Stosujemy formułę całkowania przez części i znajdujemy i wykorzystujemy odpowiednio wzory (3) i (4):

Podstawiając współczynniki do wzoru (1) otrzymujemy lub .

Ta równość zachodzi we wszystkich punktach, z wyjątkiem punktów i (punktów klejenia wykresów). W każdym z tych punktów suma szeregu jest równa średniej arytmetycznej jego wartości granicznych po prawej i lewej stronie, to znaczy.

Przedstawmy algorytm rozszerzania funkcji w serii Fouriera.

Ogólna procedura rozwiązania postawionego problemu jest następująca.