Jak określić średnią arytmetyczną. Jaka jest średnia arytmetyczna liczb. Średnia arytmetyczna ma szereg właściwości, które pełniej ujawniają jej istotę i upraszczają obliczenia.

Najpopularniejszym rodzajem średniej jest średnia arytmetyczna.

prosta średnia arytmetyczna

Prosta średnia arytmetyczna to średni termin określający, jaka całkowita objętość danego atrybutu w danych jest równomiernie rozłożona na wszystkie jednostki zawarte w tej populacji. Zatem średnia roczna produkcja na pracownika to taka wartość wielkości produkcji, jaka przypadałaby na każdego pracownika, gdyby cała wielkość produkcji była równomiernie rozłożona na wszystkich pracowników organizacji. Prostą wartość średnią arytmetyczną oblicza się ze wzoru:

prosta średnia arytmetyczna— równy stosunkowi sumy poszczególnych wartości cechy do liczby cech w agregacie

Przykład 1. Zespół 6 pracowników otrzymuje miesięcznie 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tys. rubli.

Znajdź średnią pensję
Rozwiązanie: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tysiąca rubli.

Arytmetyczna średnia ważona

Jeśli objętość zbioru danych jest duża i reprezentuje szereg rozkładów, obliczana jest średnia ważona arytmetyczna. W ten sposób określa się średnią ważoną cenę na jednostkę produkcji: całkowity koszt produkcji (suma produktów jej ilości i ceny jednostki produkcji) dzieli się przez całkowitą ilość produkcji.

Przedstawiamy to w postaci następującej formuły:

Ważona średnia arytmetyczna- jest równa stosunkowi (suma iloczynów wartości atrybutu do częstości powtarzania tego atrybutu) do (suma częstości wszystkich atrybutów).Wykorzystywana jest, gdy warianty badanej populacji występują nierówne kilka razy.

Przykład 2. Znajdź średnie zarobki pracowników sklepów miesięcznie

Średnie wynagrodzenie można uzyskać, dzieląc łączne wynagrodzenie przez całkowitą liczbę pracowników:

Odpowiedź: 3,35 tysiąca rubli.

Średnia arytmetyczna dla szeregu przedziałowego

Przy obliczaniu średniej arytmetycznej dla szeregu zmienności przedziałowej najpierw wyznacza się średnią dla każdego przedziału jako połowę sumy górnej i dolnej granicy, a następnie średnią całego szeregu. W przypadku przedziałów otwartych o wartości dolnego lub górnego przedziału decyduje wartość przedziałów z nimi sąsiadujących.

Średnie obliczone z szeregów interwałowych są przybliżone.

Przykład 3. Określ średni wiek uczniów na wydziale wieczorowym.

Średnie obliczone z szeregów interwałowych są przybliżone. Stopień ich aproksymacji zależy od stopnia, w jakim rzeczywisty rozkład jednostek ludności w przedziale zbliża się do jednorodności.

Przy obliczaniu średnich jako wagi można stosować nie tylko wartości bezwzględne, ale także względne (częstotliwość):

Średnia arytmetyczna ma szereg właściwości, które pełniej ujawniają jej istotę i upraszczają obliczenia:

1. Iloczyn średniej i sumy częstotliwości jest zawsze równy sumie iloczynów wariantu i częstotliwości, tj.

2. Średnia arytmetyczna sumy różnych wartości jest równa sumie średnich arytmetycznych tych wartości:

3. Suma algebraiczna odchyleń poszczególnych wartości atrybutu od średniej wynosi zero.

Temat średniej arytmetycznej i geometrycznej jest zawarty w programie matematyki dla klas 6-7. Ponieważ akapit jest dość prosty do zrozumienia, szybko mija, a pod koniec roku szkolnego uczniowie o nim zapominają. Ale do zdania egzaminu potrzebna jest wiedza z podstawowych statystyk, a także do międzynarodowych egzaminów SAT. A w życiu codziennym rozwinięte myślenie analityczne nigdy nie boli.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną i geometryczną liczb

Załóżmy, że istnieje szereg liczb: 11, 4 i 3. Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez liczbę podanych liczb. Oznacza to, że w przypadku liczb 11, 4, 3 odpowiedzią będzie 6. Jak uzyskać 6?

Rozwiązanie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Mianownik musi zawierać liczbę równą liczbie liczb, których średnia ma być znaleziona. Suma jest podzielna przez 3, ponieważ istnieją trzy wyrazy.

Teraz musimy zająć się średnią geometryczną. Załóżmy, że istnieje szereg liczb: 4, 2 i 8.

Średnia geometryczna jest iloczynem wszystkich podanych liczb, które są pod pierwiastkami o stopniu równym liczbie podanych liczb, czyli w przypadku liczb 4, 2 i 8 odpowiedź to 4. Oto jak to się stało :

Rozwiązanie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

W obu opcjach uzyskano całe odpowiedzi, jako przykład wzięto liczby specjalne. Nie zawsze tak jest. W większości przypadków odpowiedź musi być zaokrąglona lub pozostawiona u nasady. Na przykład dla liczb 11, 7 i 20 średnia arytmetyczna wynosi 12,67, a średnia geometryczna 1540. A dla liczb 6 i 5 odpowiedzi wyniosą odpowiednio 5,5 i √30.

Czy może się zdarzyć, że średnia arytmetyczna zrówna się ze średnią geometryczną?

Oczywiście, że tak. Ale tylko w dwóch przypadkach. Jeśli istnieje szereg liczb składający się tylko z jedynek lub zer. Warto również zauważyć, że odpowiedź nie zależy od ich liczby.

Dowód z jednostkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (średnia arytmetyczna).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (średnia geometryczna).

Dowód z zerami: (0 + 0) / 2=0 (średnia arytmetyczna).

√(0 × 0) = 0 (średnia geometryczna).

Nie ma innej opcji i nie może być.

Nie tylko w różnych naukach matematycznych, ale także w życiu codziennym zdarzają się przypadki, gdy trzeba obliczyć średnią czegoś. Na przykład średni koszt ogórków na rynku, średni wzrost dziecka, średni koszt pobytu w hotelu itp.

Wszystko to było od dawna przemyślane. nazwa naukowa- "przeciętny". Wskaźnik ten jest aktywnie wykorzystywany w statystykach do podsumowania wyników. Na przykład średni wiek posiadania dzieci, średni wiek śmierci mężczyzn i kobiet, średnia pensja w regionie iw całej Rosji.

Na przykład, uchwalając ustawę o podniesieniu wieku emerytalnego, władze właśnie wyszły ze średniego wieku zgonu w naszym kraju.

Zastanówmy się, co to za wskaźnik.

Średnia arytmetyczna to średnia wszystkich dostępnych wartości. Aby to obliczyć, należy zsumować wszystkie liczby biorące udział w operacji, a następnie podzielić przez ich całkowitą liczbę.

Na przykład w 2017 r. dzieci w różnym wieku otrzymały pełne wykształcenie średnie: 16, 17 i 18 lat. Średnia arytmetyczna zostanie obliczona jako suma wszystkich grup wiekowych podzielona przez trzy. W sumie średni wiek dziecka, które ukończyło klasę 11, wynosił 17 lat.

Ten przykład pokazuje prymitywne obliczenia na przykładzie trójki dzieci. W rzeczywistości musisz podsumować wszystkie dostępne dane. Oznacza to, że jeśli mówimy o pięciorgu dzieci, to sumujemy ich wiek, na przykład 17 + 17 + 18 + 16 + 17 i dzielimy wynik przez pięć.

Podobnie każda średnia arytmetyczna jest obliczana dla dowolnej operacji. To znaczy, jeśli na przykład musisz obliczyć średni wiek matek, które urodziły swoje pierwsze dziecko w 2017 roku, to najpierw musisz zsumować wszystkie wskaźniki wieku, a następnie podzielić przez całkowitą liczbę rodziców.

To znaczy ogólnie wzór można przedstawić w następujący sposób:

Średnia arytmetyczna = ( suma wszystkich dostępnych wartości)/całkowita liczba wartości zaangażowanych w operację.

Tak więc obliczenia są dość proste, nawet dla dzieci w wieku szkolnym. Trudności mogą powstać tylko z powodu dużej liczby respondentów biorących udział w operacji.

Ważne jest, aby zrozumieć, że średnia to nie tylko liczba. Ma szczególne znaczenie fizyczne, które od wielu lat jest stosowane w praktyce w świecie rzeczywistym.

Błędem byłoby używanie średniej arytmetycznej tylko na papierze, w zeszycie lub w programach komputerowych. W przeciwnym razie możesz uzyskać wiele bezsensownych i po prostu nierealistycznych wartości.

W rzeczywistości jest kilka środkowych. Jednak w każdym przypadku tylko jeden z nich jest poprawny. W każdej z operacji musisz używać tylko takiej średniej, jaka jest potrzebna, w przeciwnym razie zostanie popełniony ogromny błąd.

Jakie rodzaje średnich stosuje się w praktyce? Najpopularniejszyśrednie to:

1. Przeciętny;
2. Średnia geometryczna;
3. Średnia harmoniczna.

Te wartości najczęściej używane zarówno w życiu codziennym, jak iw nauce. Najczęściej obliczany jest oczywiście pierwszy wskaźnik.

Często ten wskaźnik jest stosowany i obliczany nieprawidłowo w rzeczywistych warunkach. Dlaczego tak się dzieje? W rzeczywistości podstawą średniej arytmetycznej jest zastosowanie prawa wielkich liczb. Ponadto stosuje się również założenie, zgodnie z którym standardowo określa się wartość początkową.

Oznacza to, że wokół przedstawionych w wielu wartościach istnieje najczęstsze odchylenie na dowolną stronę. Tj. Duży czy mały. Na przykład w serii liczb 8,8,9,8,9,8,8 odchylenie będzie w dół, ponieważ ósemek jest więcej. A w seriach: 17.17, 20,20,20,20,20 odchylenie przeciwnie będzie w górę, ponieważ w tym przypadku jest jeszcze więcej „dwudziestek”.

Jednak w większości przypadków takie odchylenia są niewielkie i zwykle równe pod względem prawdopodobieństwa. Istotą problemu jest to, że w biznesie, podobnie jak w prawdziwym życiu, normalność dystrybucji w praktyce można znaleźć niezwykle rzadko.

Czyli np. czas obsługi jednego klienta, czas, w jakim klient ma otrzymać tę usługę, kwota na jaką zawrze umowę, udział w rynku, wzrost dochodów itp., to te wskaźniki, które są nie równomiernie i normalnie. W niektórych przypadkach niepożądane jest ich uśrednianie za pomocą średniej arytmetycznej. Bo to byłoby złe.

W praktyce normalność rozkładu często można znaleźć w obecności duża liczba wartości od setek do tysięcy. Na przykład liczba wezwań do wsparcia technicznego dużej firmy może być rozłożona normalnie, zarówno na papierze, jak i faktycznie.

Jednak sama ilość nie wystarczy, ponieważ w każdej konkretnej sytuacji trzeba monitorować i poprawna dystrybucja. Tylko w ten sposób będzie można na końcu poprawnie obliczyć wartość średniej arytmetycznej.

Pytanie, jak znaleźć średnią arytmetyczną, pojawia się wśród osób w różnym wieku, a nie tylko wśród studentów. Czasami pilnie potrzebujemy znaleźć średnią arytmetyczną, ale nie pamiętamy, jak to zrobić. Następnie gorączkowo przeglądamy szkolne podręczniki do matematyki, próbując znaleźć potrzebne nam informacje. Ale to bardzo proste!

Aby znaleźć średnią arytmetyczną kilku liczb, dodaj je razem. Następnie uzyskaną kwotę należy podzielić przez liczbę terminów.

Aby było to bardziej zrozumiałe, wymyślmy razem, jak znaleźć średnią arytmetyczną liczb, korzystając z przykładu: 78, 115, 121 i 224. Najpierw musimy dodać te liczby: 78+115+121+224=538. Teraz otrzymana kwota, czyli 538 należy podzielić przez liczbę terminów: 538:4=134,5. Tak więc średnia arytmetyczna tych liczb wynosi 134,5.

Średnia arytmetyczna kilku liczb: znajdź w Excelu

Znalezienie średniej arytmetycznej jest bardzo łatwe w programie Excel. Ten program pozwala uniknąć długich obliczeń i odpowiednio błędów. Aby znaleźć średnią arytmetyczną kilku liczb, wpisz je w jednej kolumnie. Następnie wybierz tę kolumnę i wybierz ikonę sumy (?) oraz kartę średniej z paska narzędzi szybkiego dostępu. Średnia arytmetyczna tych liczb pojawi się na dole podświetlonej kolumny.

Średnia arytmetyczna - wskaźnik statystyczny pokazujący średnią wartość danej tablicy danych. Taki wskaźnik liczony jest jako ułamek, którego licznikiem jest suma wszystkich wartości tablicy, a mianownikiem ich liczba. Średnia arytmetyczna jest ważnym współczynnikiem używanym w obliczeniach gospodarstw domowych.

Znaczenie współczynnika

Średnia arytmetyczna jest podstawowym wskaźnikiem do porównywania danych i obliczania wartości dopuszczalnej. Na przykład puszka piwa od konkretnego producenta jest sprzedawana w różnych sklepach. Ale w jednym sklepie kosztuje 67 rubli, w innym - 70 rubli, w trzecim - 65 rubli, aw ostatnim - 62 rubli. Istnieje dość duża rozpiętość cen, więc kupujący będzie zainteresowany średnim kosztem puszki, aby kupując produkt mógł porównać swoje koszty. Średnio puszka piwa w mieście ma cenę:

Średnia cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubli.

Znając średnią cenę łatwo określić, gdzie opłaca się kupować towar, a gdzie trzeba będzie przepłacać.

Średnia arytmetyczna jest stale używana w obliczeniach statystycznych w przypadkach, gdy analizowany jest jednorodny zbiór danych. W powyższym przykładzie jest to cena puszki piwa tej samej marki. Nie możemy jednak porównywać cen piwa różnych producentów ani cen piwa i lemoniady, ponieważ w tym przypadku rozrzut wartości będzie większy, średnia cena będzie rozmyta i zawodna, a sam sens wyliczeń będzie zniekształcony do karykatury „średnia temperatura w szpitalu”. Do obliczania heterogenicznych tablic danych stosuje się arytmetyczną średnią ważoną, gdy każda wartość otrzymuje własny współczynnik ważenia.

Obliczanie średniej arytmetycznej

Wzór na obliczenia jest niezwykle prosty:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

gdzie an jest wartością ilości, n jest całkowitą liczbą wartości.

Do czego może służyć ten wskaźnik? Pierwszym i oczywistym zastosowaniem jest statystyka. Prawie każde badanie statystyczne wykorzystuje średnią arytmetyczną. Może to być średni wiek małżeństwa w Rosji, średnia ocena z przedmiotu dla studenta lub średnie dzienne wydatki na artykuły spożywcze. Jak wspomniano powyżej, bez uwzględnienia wag, obliczenie średnich może dać dziwne lub absurdalne wartości.

Na przykład prezydent Federacji Rosyjskiej oświadczył, że według statystyk średnia pensja Rosjanina wynosi 27 000 rubli. Dla większości ludzi w Rosji ten poziom pensji wydawał się absurdalny. Nic dziwnego, jeśli w obliczeniach uwzględni się z jednej strony dochody oligarchów, szefów przedsiębiorstw przemysłowych, wielkich bankierów, az drugiej pensje nauczycieli, sprzątaczy i sprzedawców. Nawet średnie pensje w jednej specjalności, na przykład księgowej, będą miały poważne różnice w Moskwie, Kostromie i Jekaterynburgu.

Jak obliczyć średnie dla danych heterogenicznych

W sytuacjach płacowych ważne jest, aby wziąć pod uwagę wagę każdej wartości. Oznacza to, że pensje oligarchów i bankierów miałyby wagę np. 0,00001, a pensje sprzedawców 0,12. Są to liczby z sufitu, ale z grubsza ilustrują przewagę oligarchów i sprzedawców w rosyjskim społeczeństwie.

Tak więc, aby obliczyć średnią ze średnich lub średnią wartość w heterogenicznej tablicy danych, wymagane jest użycie arytmetycznej średniej ważonej. W przeciwnym razie otrzymasz średnią pensję w Rosji na poziomie 27 000 rubli. Jeśli chcesz poznać swoją średnią ocenę z matematyki lub średnią liczbę bramek zdobytych przez wybranego hokeistę, to odpowiedni będzie dla Ciebie kalkulator średniej arytmetycznej.

Nasz program to prosty i wygodny kalkulator do obliczania średniej arytmetycznej. Wystarczy wprowadzić wartości parametrów, aby wykonać obliczenia.

Spójrzmy na kilka przykładów

Obliczanie średniej oceny

Wielu nauczycieli stosuje metodę średniej arytmetycznej do określenia rocznej oceny z przedmiotu. Wyobraźmy sobie, że dziecko dostaje następujące ćwierć oceny z matematyki: 3, 3, 5, 4. Jaką ocenę roczną da mu nauczyciel? Skorzystajmy z kalkulatora i obliczmy średnią arytmetyczną. Najpierw wybierz odpowiednią liczbę pól i wprowadź wartości ocen w pojawiających się komórkach:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Nauczyciel zaokrągli wartość na korzyść ucznia, a uczeń otrzyma solidną czwórkę za rok.

Obliczanie zjedzonych słodyczy

Zilustrujmy pewną absurdalność średniej arytmetycznej. Wyobraź sobie, że Masza i Wowa mieli 10 słodyczy. Masza zjadła 8 cukierków, a Wowa tylko 2. Ile cukierków przeciętnie zjadło każde dziecko? Korzystając z kalkulatora łatwo policzyć, że dzieci przeciętnie jadły po 5 słodyczy, co jest całkowicie nieprawdziwe i zdroworozsądkowe. Ten przykład pokazuje, że średnia arytmetyczna jest ważna dla znaczących zbiorów danych.

Wniosek

Obliczanie średniej arytmetycznej jest szeroko stosowane w wielu dziedzinach nauki. Wskaźnik ten jest popularny nie tylko w obliczeniach statystycznych, ale także w fizyce, mechanice, ekonomii, medycynie czy finansach. Skorzystaj z naszych kalkulatorów jako asystenta w rozwiązywaniu problemów ze średnią arytmetyczną.