Jaka jest metoda wyboru pełnego kwadratu. Rozkładanie wielomianów na czynniki. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Połączenie metod. Metoda konwersji sztucznego licznika

Jak już zauważyłem, w rachunku całkowym nie ma wygodnego wzoru na całkowanie ułamka. I dlatego pojawia się smutna tendencja: im bardziej „spiętrzony” ułamek, tym trudniej znaleźć z niego całkę. W związku z tym musisz uciekać się do różnych sztuczek, o których ci teraz opowiem. Przeszkoleni czytelnicy mogą od razu skorzystać z spis treści:

• Metoda sprowadzenia pod znak różniczkowy dla najprostszych ułamków

Metoda konwersji sztucznego licznika

Przykład 1

Nawiasem mówiąc, rozważaną całkę można również rozwiązać poprzez zmianę metody zmiennej, oznaczającej, ale rozwiązanie będzie pisane znacznie dłużej.

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną. Sprawdzać.

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Należy zauważyć, że metoda zastępowania zmiennej nie będzie już działać tutaj.

Uwaga, ważne! Przykłady nr 1, 2 są typowe i powszechne.... W szczególności takie całki często powstają w trakcie rozwiązywania innych całek, w szczególności przy całkowaniu funkcji niewymiernych (pierwiastków).

Rozważana technika sprawdza się również w przypadku jeśli najwyższy stopień licznika jest większy niż najwyższy stopień mianownika.

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną. Sprawdzać.

Zaczynamy wybierać licznik.

Algorytm wyboru licznika wygląda mniej więcej tak:

1) W liczniku muszę uporządkować, ale tam. Co robić? Umieszczam to w nawiasach i mnożę przez:.

2) Teraz próbuję otworzyć te nawiasy, co się dzieje? ... Hmm… lepiej, ale początkowo nie ma dwóch w liczniku. Co robić? Musisz pomnożyć przez:

3) Ponownie rozwiń nawiasy:. A oto pierwszy sukces! Okazało się, że ten właściwy! Problem w tym, że pojawił się dodatkowy termin. Co robić? Aby wyrażenie się nie zmieniło, muszę dodać to samo do mojej konstrukcji:
... Życie stało się łatwiejsze. Czy nie jest możliwe ponowne zorganizowanie się w liczniku?

4) Możesz. Próbować: ... Rozwiń nawiasy drugiego terminu:
... Przepraszam, ale właściwie miałem poprzedni krok, nie. Co robić? Drugi wyraz należy pomnożyć przez:

5) Ponownie dla weryfikacji rozszerzam nawiasy w drugim semestrze:
... Teraz jest w porządku: uzyskany z końcowej konstrukcji punktu 3! Ale znowu jest małe „ale”, pojawiło się dodatkowe określenie, co oznacza, że ​​muszę dodać do mojego wyrażenia:

Jeśli wszystko jest zrobione poprawnie, to gdy rozwiniemy wszystkie nawiasy, powinniśmy otrzymać oryginalny licznik całki. Sprawdzamy:
Dobry.

Zatem:

Gotowy. W ostatnim semestrze zastosowałem metodę sprowadzenia funkcji pod różniczkę.

Jeśli znajdziemy pochodną odpowiedzi i sprowadzimy wyrażenie do wspólnego mianownika, otrzymamy dokładnie oryginalną całkę. Rozważana metoda rozkładu na sumę jest niczym innym, jak odwrotnym działaniem prowadzącym do sprowadzenia wyrażenia do wspólnego mianownika.

Algorytm wyboru licznika w takich przykładach najlepiej wykonać na szkicu. Przy pewnych umiejętnościach zadziała psychicznie. Pamiętam rekordowy czas, kiedy wykonałem fit na 11 stopień, a rozbudowa licznika zajęła prawie dwie linie Verda.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną. Sprawdzać.

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”.

Metoda sprowadzenia pod znak różniczkowy dla najprostszych ułamków

Przechodzimy do rozważenia kolejnego rodzaju ułamków.
,,, (współczynniki i nie są równe zeru).

W rzeczywistości kilka przypadków z arcus sinus i arcus tangens poślizgnęło się już na lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej... Takie przykłady rozwiązuje metoda sprowadzenia funkcji pod znak różniczki i dalszego całkowania za pomocą tabeli. Oto kilka bardziej typowych przykładów z długimi i wysokimi logarytmami:

Przykład 5

Przykład 6

Tutaj wskazane jest pobranie tabeli całek i prześledzenie według jakich wzorów i Jak przeprowadzana jest transformacja. Notatka, jak i dlaczego kwadraty są wyróżnione w tych przykładach. W szczególności w przykładzie 6 najpierw musisz przedstawić mianownik w formularzu , a następnie umieść go pod znakiem różnicy. A wszystko to trzeba zrobić, aby użyć standardowej formuły tabeli .

Ale co oglądać, spróbuj samodzielnie rozwiązać przykłady ## 7,8, zwłaszcza, że ​​są dość krótkie:

Przykład 7

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Jeśli Ty też możesz sprawdzić te przykłady, to wielki szacunek – Twoje umiejętności różnicowania są najlepsze.

Metoda pełnego kwadratu wyboru

Całki formularza, (współczynniki i nie są równe zero) są rozwiązane metoda pełnego kwadratu wyboru, który był już omówiony na lekcji Transformacje geometryczne grafów.

W rzeczywistości takie całki sprowadzają się do jednej z czterech całek tabelarycznych, które właśnie rozważaliśmy. Osiąga się to za pomocą znanych formuł skróconego mnożenia:

W tym kierunku stosuje się formuły, czyli ideą metody jest sztuczne organizowanie wyrażeń w mianowniku, a następnie przekształcanie ich odpowiednio do obu.

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

To najprostszy przykład, gdzie z terminem - współczynnik jednostkowy(nie jakaś liczba lub minus).

Patrzymy na mianownik, tutaj cała sprawa oczywiście sprowadza się do sprawy. Zacznijmy przeliczać mianownik:

Oczywiście musisz dodać 4. Aby wyrażenie się nie zmieniło - te same cztery i odejmij:

Teraz możesz zastosować formułę:

Po zakończeniu konwersji ZAWSZE wskazane jest wykonanie ruchu wstecznego: wszystko jest w porządku, nie ma błędów.

Ostateczny projekt omawianego przykładu powinien wyglądać mniej więcej tak:

Gotowy. Podsumowując „swobodną” funkcję zespoloną pod znakiem różniczkowym: w zasadzie można ją pominąć

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną:

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”, odpowiedź znajduje się na końcu samouczka.

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Co zrobić, gdy przed nim jest minus? W takim przypadku należy wyjąć minus z nawiasów i ułożyć terminy w takiej kolejności, jakiej potrzebujemy:. Stały(„Dwa” w tym przypadku) nie dotykać!

Teraz dodaj jeden w nawiasach. Analizując wyrażenie dochodzimy do wniosku, że trzeba być jednym za nawiasem – dodaj:

Tutaj otrzymaliśmy formułę, stosujemy:

ZAWSZE sprawdzamy projekt:
, który wymagał weryfikacji.

Przykład wykończenia wygląda tak:

Skomplikowanie zadania

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Tutaj, wraz z terminem, nie jest to już współczynnik jednostkowy, ale „pięć”.

(1) Jeśli zostanie znaleziona stała dla, to natychmiast usuwamy ją z nawiasów.

(2) Ogólnie rzecz biorąc, zawsze lepiej jest wziąć tę stałą poza całkę, aby nie przeszkadzała ci pod stopami.

(3) Oczywiście wszystko zostanie zredukowane do formuły. Konieczne jest zrozumienie tego terminu, a mianowicie uzyskanie „dwójki”

(4) Tak. Dodajemy więc do wyrażenia i odejmujemy ten sam ułamek.

(5) Teraz wybierz cały kwadrat. W ogólnym przypadku również trzeba obliczyć, ale tutaj mamy wzór na długi logarytm i nie ma sensu wykonywać akcji, dlaczego - stanie się jasne nieco poniżej.

(6) Właściwie możesz zastosować formułę , tylko zamiast „x” mamy, co nie neguje ważności całki tabelarycznej. Ściśle mówiąc, pominięto jeden krok - przed całkowaniem funkcję należało umieścić pod znakiem różniczki: ale, jak już wielokrotnie zauważyłem, jest to często zaniedbywane.

(7) W odpowiedzi pod korzeniem pożądane jest rozwinięcie wszystkich nawiasów z powrotem:

Twardy? Nie jest to jeszcze najtrudniejsza część rachunku całkowego. Chociaż rozważane przykłady są nie tyle skomplikowane, ile wymagają dobrych technik obliczeniowych.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną:

To jest przykład rozwiązania „zrób to sam”. Odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

W mianowniku są całki z pierwiastkami, które za pomocą zamiany sprowadzają się do całek rozważanego typu, można o nich przeczytać w artykule Całki zespolone, ale jest przeznaczony dla wysoko wykwalifikowanych studentów.

Dodanie licznika pod znakiem różniczkowym

To już ostatnia część lekcji, jednak całki tego typu są dość powszechne! Jeśli zmęczenie się nagromadziło, może lepiej przeczytać jutro? ;)

Całki, które rozważymy, są podobne do całek z poprzedniego rozdziału, mają postać: lub (współczynniki i nie są równe zeru).

Oznacza to, że w liczniku mamy funkcję liniową. Jak rozwiązać takie całki?

W tej lekcji przypomnimy sobie wszystkie poprzednio badane metody rozkładania wielomianu na czynniki i rozważymy przykłady ich zastosowania, ponadto przestudiujemy nową metodę - metodę przydzielania pełnego kwadratu i nauczymy się go zastosować do rozwiązywania różne problemy.

Temat:Rozkładanie wielomianów na czynniki

Lekcja:Rozkładanie wielomianów na czynniki. Pełnokwadratowa metoda selekcji. Połączenie metod

Przypomnijmy główne metody rozkładania wielomianu na czynniki, które były badane wcześniej:

Sposób wyjęcia z nawiasów współczynnika wspólnego, czyli takiego, który występuje we wszystkich terminach wielomianu. Rozważmy przykład:

Przypomnij sobie, że jednomian jest iloczynem stopni i liczb. W naszym przykładzie oba elementy mają wspólne, identyczne elementy.

Wyjmijmy więc wspólny czynnik z nawiasów:

;

Przypomnijmy, że mnożąc brany współczynnik przez nawias, można sprawdzić poprawność zgłoszenia.

Metoda grupowania. Nie zawsze jest możliwe usunięcie wspólnego czynnika z wielomianu. W tym przypadku konieczne jest podzielenie jej członków na grupy, aby w każdej grupie można było wyliczyć wspólny czynnik i spróbować podzielić tak, aby po usunięciu czynników w grupach pojawił się wspólny czynnik dla całości wyrażenie, a ekspansja może być kontynuowana. Rozważmy przykład:

Pogrupujmy pierwszy wyraz z czwartym, drugi z piątym, a trzeci z szóstym:

Wyjmijmy wspólne czynniki w grupach:

Wyrażenie ma wspólny czynnik. Wyjmijmy to:

Stosowanie skróconych wzorów mnożenia. Rozważmy przykład:

;

Zapiszmy szczegółowo wyrażenie:

Oczywiście mamy przed sobą wzór na kwadrat różnicy, ponieważ jest suma kwadratów dwóch wyrażeń i odejmuje się ich podwojony iloczyn. Zwińmy według wzoru:

Dziś poznamy inną metodę - metodę wyboru pełnego kwadratu. Opiera się na wzorach na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Przypomnijmy je:

Wzór na kwadrat sumy (różnicy);

Osobliwością tych formuł jest to, że zawierają kwadraty dwóch wyrażeń i ich podwojony iloczyn. Rozważmy przykład:

Napiszmy wyrażenie:

Więc pierwsze wyrażenie jest takie, a drugie tak.

Aby skomponować wzór na kwadrat sumy lub różnicy, nie wystarczy iloczyn podwójny wyrażeń. Należy go dodać i odjąć:

Zwińmy cały kwadrat sumy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie:

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów, pamiętajmy, że różnica między kwadratami dwóch wyrażeń to iloczyn i suma przez ich różnicę:

Tak więc metoda ta polega przede wszystkim na tym, że konieczne jest zidentyfikowanie wyrażeń a i b, które znajdują się w kwadracie, czyli określenie, które kwadraty wyrażeń znajdują się w tym przykładzie. Następnie musisz sprawdzić obecność podwojonego iloczynu, a jeśli go tam nie ma, dodaj go i odejmij, znaczenie przykładu nie zmieni się od tego, ale wielomian można podzielić na czynniki za pomocą wzorów na kwadrat suma lub różnica i różnica kwadratów, jeśli istnieje taka możliwość.

Przejdźmy do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1 - faktoryzacja:

Znajdźmy wyrażenia do kwadratu:

Napiszmy jaki powinien być ich podwojony produkt:

Dodaj i odejmij dwukrotnie iloczyn:

Zwińmy cały kwadrat sumy i podajmy podobne:

Zapiszmy wzór na różnicę kwadratów:

Przykład 2 — Rozwiąż równanie:

;

Po lewej stronie równania znajduje się trójmian. Musimy to rozłożyć na czynniki. Używamy wzoru na kwadrat różnicy:

Mamy kwadrat pierwszego wyrażenia i podwojony iloczyn, brakuje kwadratu drugiego wyrażenia, dodajemy i odejmujemy:

Złóżmy pełny kwadrat i podajmy podobne terminy:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

Mamy więc równanie

Wiemy, że iloczyn wynosi zero tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników ma wartość zero. Na tej podstawie układamy równania:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Rozwiążmy drugie równanie:

Odpowiedź: lub

;

Postępujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie - zaznaczamy kwadrat różnicy.

Definicja

Wyrażenia postaci 2 x 2 + 3 x + 5 nazywane są trójmianem kwadratowym. W ogólnym przypadku trójmian kwadratowy jest wyrażeniem postaci a x 2 + b x + c, gdzie a, b, c a, b, c są liczbami arbitralnymi, a a ≠ 0.

Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - 4 x + 5. Zapiszmy to w takiej formie: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Dodaj 2 2 do tego wyrażenia i odejmij 2 2, otrzymujemy: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Zauważ, że x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, więc x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... Przeprowadzona przez nas transformacja nazywa się „Wybór pełnego kwadratu z trójmianu kwadratowego”.

Uzupełnij kwadrat z trójmianu kwadratowego 9 x 2 + 3 x + 1.

Zauważ, że 9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x`. Następnie „9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1”. Dodaj i odejmij do otrzymanego wyrażenia `(1/2) ^ 2`, otrzymujemy

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

Pokażmy, w jaki sposób metoda oddzielenia pełnego kwadratu od trójmianu kwadratowego jest używana do rozkładania trójmianu kwadratowego na czynniki.

Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki 4 x 2 - 12 x + 5.

Przydziel cały kwadrat z trójmianu kwadratowego: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Teraz stosujemy wzór a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), otrzymujemy: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Teraz zauważ, że 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

Dodajmy wyraz 2 2 do wyrażenia 9 x 2 - 12 x, otrzymamy:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów, mamy:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Rozłóż na czynniki kwadrat potrójnego wyrazu 3 x 2 - 14 x - 5.

Nie możemy przedstawić wyrażenia 3 x 2 jako kwadrat jakiegoś wyrażenia, ponieważ nie uczyliśmy się tego jeszcze w szkole. Zrobimy to później i już w zadaniu 4 będziemy badać pierwiastki kwadratowe. Pokażmy, jak można dokonać faktoryzacji danego trójmianu kwadratowego:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14/3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3) ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7/3-8/3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

Pokażmy, w jaki sposób metoda wyboru pełnego kwadratu służy do znajdowania największych lub najmniejszych wartości trójmianu kwadratowego.
Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - x + 3. Wybierz cały kwadrat:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. Zauważ, że dla `x = 1/2`, wartość trójmianu kwadratowego wynosi `11/4`, a dla `x!=1/2`, do wartości `11/4` dodawana jest liczba dodatnia, więc otrzymujemy liczbę większą niż `11/4`. Zatem najmniejszą wartością trójmianu kwadratowego jest `11/4` i otrzymuje się ją z `x = 1/2`.

Znajdź największy trójmian kwadratowy - 16 2 + 8 x + 6.

Uzupełnij kwadrat z trójmianu kwadratowego: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

Przy `x = 1/4`, wartość trójmianu kwadratowego wynosi 7, a przy `x!=1/4`, od liczby 7 odejmowana jest liczba dodatnia, czyli otrzymujemy liczbę mniejszą niż 7. Tak więc liczba 7 jest największą wartością trójmianu kwadratowego i jest uzyskiwana, gdy `x = 1/4`.

Rozkład na czynniki licznik i mianownik ułamka `(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)` i anuluj ten ułamek.

Zauważ, że mianownik ułamka to x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Wydzielmy licznik ułamka metodą wydzielenia pełnego kwadratu z trójmianu kwadratowego. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

Ułamek ten został sprowadzony do postaci `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` po redukcji o (x - 3) otrzymujemy` (x + 5) / (x-3 ) `.

Rozkład wielomianu na czynniki x 4 - 13 x 2 + 36.

Zastosujmy do tego wielomianu metodę pełnego wyboru kwadratów. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

Umiejętność wykonania tej procedury jest niezwykle potrzebna w wielu tematach matematyki związanych z trójmian kwadratowytopór 2 + bx + C ... Najpopularniejszy:

1) Rysowanie parabol tak= topór 2 + bx+ C;

2) Rozwiązywanie wielu zadań dla trójmianu kwadratowego (równania i nierówności kwadratowe, problemy z parametrami itp.);

3) Praca z niektórymi funkcjami zawierającymi trójmian kwadratowy, a także praca z krzywymi drugiego rzędu (dla studentów).

Krótko mówiąc, użyteczna rzecz! Aplikujesz do pierwszej piątki? Więc opanuj to!)

Co to znaczy wybrać cały kwadrat z dwumianu w trójmianie kwadratowym?

Zadanie to oznacza, że ​​pierwotny trójmian kwadratowy musi zostać przekształcony za pomocą tej postaci:

Numer a co zostało, co jest dobre - To samo... Czynnik w kwadracie x. Dlatego jest to wskazane jedna litera... Prawo pomnożone przez kwadrat nawiasów. W nawiasach znajduje się sam dwumian, o którym mowa w tym temacie. Suma czystego x i liczby m... Tak, proszę dokładnie o uwagę czysty x! To jest ważne.

Ale litery m oraz n po prawej - trochę Nowy liczby. Jaki będzie rezultat naszych przemian. Mogą być pozytywne, negatywne, całe, ułamkowe - wszelkiego rodzaju! Zobaczysz na poniższych przykładach. Te liczby zależą ze współczynnikówa, borazC... Mają swoje własne, ogólne formuły. Dość nieporęczne, z ułamkami. Dlatego nie dam ich tu i teraz. Dlaczego twoje jasne umysły potrzebują dodatkowych śmieci? Tak, i to nie jest interesujące. Pracujmy kreatywnie.)

Co musisz wiedzieć i rozumieć?

Przede wszystkim musisz wiedzieć na pamięć. Co najmniej dwóch z nich - kwadrat sumy oraz kwadrat różnicy.

Te:

Bez tej pary formuł - nigdzie. Nie tylko w tej lekcji, ale w prawie całej innej matematyce w ogóle. Czy podpowiedź jest jasna?)

Jednak same mechanicznie wyuczone formuły nie wystarczą tutaj. Nadal musisz kompetentnie umieć zastosować te formuły... I nie tyle bezpośrednio, od lewej do prawej, ale na odwrót, z prawej do lewej... Te. być w stanie rozszyfrować kwadrat sumy/różnicy przez pierwotny trójmian kwadratowy... Oznacza to, że powinieneś łatwo, automatycznie rozpoznać równości typu:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Nie możesz się też obejść bez tej przydatnej umiejętności... Więc jeśli masz problemy z tymi prostymi rzeczami, zamknij tę stronę. Jest dla ciebie za wcześnie.) Najpierw skorzystaj z powyższego linku. Ona jest dla Ciebie!

Och, długo zajmujesz się tym tematem? W porządku! Następnie czytaj dalej.)

Więc:

Jak wybrać pełny kwadrat dwumianu w trójmianie kwadratowym?

Zacznijmy oczywiście od prostego.

Poziom 1. Współczynnik przy x2 równa się 1

To najprostsza sytuacja wymagająca minimum dodatkowych przekształceń.

Na przykład, biorąc pod uwagę trójmian kwadratowy:

NS 2 + 4x + 6

Na zewnątrz wyrażenie jest bardzo podobne do kwadratu sumy. Wiemy, że kwadrat sumy zawiera czyste kwadraty pierwszego i drugiego wyrażenia ( a 2 oraz b 2 ), a także podwojony produkt 2 ab te właśnie wyrażenia.

Cóż, mamy już kwadrat pierwszego wyrażenia w czystej postaci. to NS 2 ... Właściwie na tym właśnie polega prostota przykładów tego poziomu. Musisz uzyskać kwadrat drugiego wyrażenia b 2 ... Te. odnaleźć b... I posłuży jako wskazówka wyrażenie z x w pierwszym stopniu, tj. 4x... W końcu 4x można przedstawić jako podwójny produkt x za dwójkę. Lubię to:

4 x = 2 ́ X 2

Więc jeśli 2 ab= 2x· 2 oraz a= x, następnie b=2 ... Możesz pisać:

NS 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Więc nas Chcę. Ale! Matematyka Chcę esencji oryginalnego wyrazu z naszych działań się nie zmieniła... Tak to działa. Dodaliśmy do podwojonego produktu 2 2 zmieniając w ten sposób oryginalne wyrażenie. Aby więc nie urazić matematyki, jest to 2 2 właśnie tam i na wynos... Lubię to:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Prawie wszystko. Pozostaje tylko dodać 6, zgodnie z pierwotną trójką. Szóstka nigdzie nie poszła! Piszemy:

= NS 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

Teraz pierwsze trzy wyrazy dają czyste (lub - pełny) kwadrat dwumianowy x+2 ... Lub (x+2) 2 ... Właśnie to staramy się osiągnąć.) Nawet nie będę leniwy i wstawię nawiasy:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

Nawiasy nie zmieniają istoty wypowiedzi, ale wyraźnie sugerują co, jak i dlaczego. Pozostaje złożyć te trzy wyrazy w pełny kwadrat zgodnie ze wzorem, policzyć pozostały ogon w liczbach -2 2 +6 (to będzie 2) i napisz:

NS 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

Wszystko. My wyróżniony kwadrat nawiasów (x+2) 2 z oryginalnego trójmianu kwadratowego NS 2 + 4x + 6... Zamienił to w sumę pełny dwumian kwadratowy (x+2) 2 i pewna stała liczba (dwa). A teraz w zwięzłej formie opiszę cały łańcuch naszych przemian. Dla jasności.

I to wszystko.) Na tym polega cała procedura wyboru pełnego kwadratu.

Przy okazji, jakie są tutaj liczby m oraz n? Tak. Każdy z nich jest równy dwóm: m=2, n=2 ... Tak właśnie się stało podczas selekcji.

Inny przykład:

Wybierz cały kwadrat dwumianu:

NS 2 -6x + 8

I znowu pierwszy rzut oka – na termin z x. Przekształcamy 6x w iloczyn podwójny x i trójek. Przed podwojeniem - minus. Dlatego wybieramy kwadrat różnicy... Dodajemy (aby uzyskać pełny kwadrat) i od razu odejmujemy (aby skompensować) trzy w kwadracie, tj. 9. Cóż, nie zapominajmy o ósemce. Otrzymujemy:

Tutaj m=-3 oraz n=-1 ... Oba są negatywne.

Czy rozumiesz zasadę? Potem przyszła kolej na mistrza i ogólny algorytm... Wszystko jest takie samo, ale przez litery... Tak więc przed nami jest trójmian kwadratowy x 2 + bx+ C (a=1) ... Co my robimy:

bx b /2 :

b z.

Czy to jasne? Pierwsze dwa przykłady były bardzo proste, z liczbami całkowitymi. Do znajomości. Gorzej, gdy w procesie przemian wychodzą frakcje. Najważniejsze, żeby się nie bać! A żeby się nie bać, trzeba znać działania z ułamkami, tak ...) Ale tutaj jest piąty poziom, prawda? Komplikujemy zadanie.

Załóżmy, że podano następujący trzy terminy:

NS 2 + x + 1

Jak zorganizować kwadrat sumy w tej trójce? Nie ma problemu! Podobny... Pracujemy punkt po punkcie.

1. Patrzymy na wyraz z x w pierwszym stopniu ( bx) i zamień go w iloczyn podwójny x przezb /2 .

Nasz termin X to po prostu X. Więc co? Jak możemy zmienić samotnego X w? podwójny produkt? To jest bardzo proste! Bezpośrednio zgodnie z instrukcją. Lubię to:

Numer b w oryginale trzyletnim - 1. To jest, b/2 okazuje się, że jest ułamkowy. Połowa. 1/2. No dobrze. Już nie mały.)

2. Dodaj do podwojonego iloczynu i natychmiast odejmij kwadrat liczby b/ 2. Dodajemy - do uzupełnienia do pełnego kwadratu. Zabieramy - za odszkodowaniem. Na sam koniec dodaj darmowy termin z.

Kontynuujemy:

3. Pierwsze trzy wyrazy są składane do kwadratu sumy / różnicy zgodnie z odpowiednią formułą. Wyrażenie pozostające na zewnątrz jest starannie wyliczane w liczbach.

Oddziel pierwsze trzy terminy nawiasami. Oczywiście nie musisz go rozdzielać. Odbywa się to wyłącznie dla wygody i przejrzystości naszych przemian. Teraz wyraźnie widać, że cały kwadrat sumy znajduje się w nawiasie (x+1/2) 2 ... A wszystko, co zostało poza kwadratem sumy (jeśli policzysz) daje +3/4. Zakończ prosto:

Odpowiedź:

Tutaj m=1/2 , a n=3/4 ... Liczby ułamkowe. Zdarza się. Taki trzyosobowy został złapany ...

Taka jest technologia. Zrozumiany? Czy mogę przejść na wyższy poziom?)

Poziom 2. Współczynnik przy x 2 nie jest równy 1 - co robić?

To jest bardziej ogólny przypadek w porównaniu do przypadku a = 1... Oczywiście ilość obliczeń rośnie. To denerwuje, tak ... Ale ogólny przebieg rozwiązania generalnie pozostaje taka sama. Dodawany jest tylko jeden nowy krok. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Na razie rozważ nieszkodliwy przypadek, bez ułamków i innych pułapek. Na przykład:

2 x 2 -4 x+6

W środku jest minus. Dlatego dopasujemy różnicę do kwadratu. Ale współczynnik w kwadracie x wynosi dwa. I łatwiej z nim pracować. Z czystym x. Co robić? I wyjmijmy te dwa z nawiasów! Aby nie przeszkadzać. Mamy prawo! Otrzymujemy:

2(x 2 -2 x+3)

Lubię to. Teraz trójka w nawiasach - już z czysty x do kwadratu! Zgodnie z wymaganiami algorytmu poziomu 1. A teraz można już pracować z tym nowym trójmianem według starego sprawdzonego schematu. Więc działamy. Zapiszmy to osobno i przekształćmy:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Połowa bitwy się skończyła. Pozostaje wstawić wynikowe wyrażenie do nawiasów i rozwinąć je z powrotem. Okaże się:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Gotowy!

Odpowiedź:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Naprawiamy w głowie:

Jeśli współczynnik w kwadracie x nie jest równy jeden, to usuwamy ten współczynnik z nawiasów. Gdy trójskładnik pozostaje w nawiasach, pracujemy zgodnie ze zwykłym algorytmem dla a= 1. Po wybraniu w nim pełnego kwadratu wklejamy wynik na miejscu i otwieramy zewnętrzne nawiasy z powrotem.

A jeśli współczynniki b i c nie są całkowicie podzielne przez a? To najczęstszy i jednocześnie najgorszy przypadek. Potem tylko ułamki, tak... Nie ma nic do zrobienia. Na przykład:

3 x 2 +2 x-5

Wszystko jest takie samo, wysyłamy trójkę poza nawiasy, otrzymujemy:

Niestety ani dwa, ani pięć nie są całkowicie podzielone przez trzy, więc współczynniki nowej (zredukowanej) trójki wynoszą - frakcyjny... Cóż, w porządku. Pracujemy bezpośrednio z ułamkami: dwa zamień trzecie z x na podwojony iloczyn x on jeden po trzecie, dodaj kwadrat jednej trzeciej (tj. 1/9), odejmij go, odejmij 5/3 ...

Ogólnie rzecz biorąc, masz pomysł!

Podejmij decyzję, co już tam jest. Powinieneś skończyć z:

I jeszcze jedna grabie. Wielu uczniów śmiało radzi sobie z pozytywnymi współczynnikami całkowitymi, a nawet ułamkowymi, ale trzyma się ujemnych. Na przykład:

- x 2 +2 x-3

Co zrobić z minusem wcześniejx 2 ? We wzorze na kwadrat sumy/różnicy każdy plus jest potrzebny... Bez wątpienia! Wszystkie takie same... Wyciągamy ten minus z nawiasów. Te. minus jeden... Lubię to:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

I wszystkie przypadki. I z trójką w nawiasach - znowu wzdłuż toru radełkowanego.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Razem, biorąc pod uwagę minus:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

To wszystko. Co? Nie wiesz, jak umieścić minus w nawiasach? Cóż, to jest pytanie do algebry elementarnej siódmej klasy, a nie do trójmianów kwadratowych ...

Pamiętaj: praca z ujemnym współczynnikiem a jest z natury tym samym, co praca z pozytywami. Usuwamy negatyw a poza nawiasami, a następnie - zgodnie ze wszystkimi zasadami.

Dlaczego musisz mieć możliwość wybrania pełnego kwadratu?

Pierwszą przydatną rzeczą jest szybkie i bezbłędne rysowanie parabol!

Na przykład takie zadanie:

Wykreśl funkcję:tak=- x 2 +2 x+3

Co my zrobimy? Budować punktami? Oczywiście jest to możliwe. Małymi krokami wzdłuż długiej drogi. Całkiem głupie i nieciekawe...

Przede wszystkim przypomnę, że budując każdy parabole, zawsze przedstawiamy jej standardowy zestaw pytań. Jest ich dwóch. Mianowicie:

1) Gdzie są skierowane gałęzie paraboli?

2) W którym momencie jest szczyt?

Dzięki kierunkowi gałęzi wszystko jest jasne bezpośrednio z oryginalnego wyrazu. Oddziały będą kierowane droga w dół, ponieważ współczynnik przedx 2 - negatywny. Minus jeden. Minus przed x kwadrat zawsze odwraca parabolę.

Ale przy lokalizacji szczytu wszystko nie jest takie oczywiste. Istnieje oczywiście ogólna formuła obliczania jej odciętej za pomocą współczynników a oraz b.

Ten:

Ale nie wszyscy pamiętają tę formułę, och, nie wszyscy… A 50% tych, którzy pamiętają, potyka się nagle i mamrocze w banalnej arytmetyce (zwykle przy liczeniu partii). Szkoda, prawda?)

Teraz dowiesz się, jak znaleźć współrzędne wierzchołka dowolnej paraboli. w pamięci w minutę! Zarówno x, jak i igrek. Za jednym zamachem i bez żadnych formuł. Jak? Wybierając pełny kwadrat!

Wybierzmy więc pełny kwadrat w naszym wyrażeniu. Otrzymujemy:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Kto jest dobrze zorientowany w ogólnych informacjach o funkcjach i dobrze opanował temat ” przekształcenia wykresu funkcji ", łatwo zorientuje się, że naszą pożądaną parabolę otrzymujemy ze zwykłej paraboli tak= x 2 przy użyciu trzech przekształceń. Ono:

1) Zmiana kierunku gałęzi.

Wskazuje na to znak minus przed kwadratem nawiasów ( a = -1). To było tak= x 2 , stało się tak=- x 2 .

Konwersja: F ( x ) -> - F ( x ) .

2) Przekład równoległy paraboli y = - x 2 w x o 1 jednostkę W PRAWO.

Tak wygląda harmonogram pośredni y = - (x-1 ) 2 .

Konwersja: - F ( x ) -> - F ( x + m ) (m = -1).

Dlaczego przesunięcie w prawo, a nie w lewo, chociaż w nawiasach jest minus? To jest teoria przekształceń grafów. To osobny temat.

I w końcu,

3) Transfer równoległy parabole y = - ( x -1) 2 przez grę o 4 jednostki UP.

To jest ostateczna parabola y = - (x-1) 2 +4 .

Konwersja: - F ( x + m ) -> - F ( x + m )+ n (n = + 4)

A teraz patrzymy na nasz łańcuch transformacji i myślimy: gdzie porusza się wierzchołek paraboli?tak= x 2 ? Był w punkcie (0; 0), po pierwszej transformacji wierzchołek nigdzie się nie przesunął (parabola właśnie się obróciła), po drugiej - przesunął się o x w dół o +1, a po trzeciej - przez grę o +4. Całkowity wierzchołek trafił w punkt (1; 4) ... To cały sekret!

Obraz będzie wyglądał następująco:

Właściwie z tego powodu tak uporczywie zwracałem uwagę na liczby m oraz n uzyskane w procesie wyboru kompletnego kwadratu. Nie zgadłeś dlaczego? Tak. Chodzi o to, że punkt o współrzędnych (- m ; n ) Jest zawsze wierzchołek paraboli tak = a ( x + m ) 2 + n ... Po prostu patrzymy na liczby w przekształconej trójce i w pamięci podajemy poprawną odpowiedź, gdzie jest góra. Wygodne, prawda?)

Rysowanie parabol to pierwsza rzecz, która może się przydać. Przejdźmy do drugiego.

Drugą przydatną rzeczą jest rozwiązywanie równań kwadratowych i nierówności.

Tak tak! Wybór pełnego kwadratu w wielu przypadkach okazuje się być znacznie szybciej i wydajniej tradycyjne metody rozwiązywania takich zadań. Wątpliwość? Proszę! Oto zadanie dla Ciebie:

Rozwiąż nierówności:

x 2 +4 x+5 > 0

Nauczyli? Tak! To klasyczne kwadratowa nierówność ... Wszystkie takie nierówności są rozwiązywane przy użyciu standardowego algorytmu. Do tego potrzebujemy:

1) Utwórz równanie postaci standardowej z nierówności i rozwiąż je, znajdź pierwiastki.

2) Narysuj oś X i zaznacz pierwiastki równania kropkami.

3) Naszkicuj parabolę, używając oryginalnego wyrażenia.

4) Zdefiniuj obszary +/- na rysunku. Wybierz wymagane obszary zgodnie z początkową nierównością i zapisz odpowiedź.

Właściwie cały ten proces jest denerwujący, tak…) A co więcej, nie zawsze ratuje cię przed błędami w niestandardowych sytuacjach, takich jak ten przykład. Wypróbujmy najpierw szablon?

Tak więc realizujemy pierwszy punkt. Równanie tworzymy z nierówności:

x 2 +4 x+5 = 0

Standardowe równanie kwadratowe, bez sztuczek. My decydujemy! Rozważamy wyróżnik:

D = b 2 -4 AC = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Właśnie te czasy! A wyróżnik jest negatywny! Równanie nie ma korzeni! A na osi nie ma co rysować... Co robić?

W tym miejscu niektórzy mogą dojść do wniosku, że pierwotna nierówność również nie ma rozwiązań... To fatalne złudzenie, tak… Ale wybierając pełny kwadrat, poprawną odpowiedź na tę nierówność można udzielić w pół minuty! Wątpliwość? Cóż, możesz śledzić czas.

Tak więc w naszym wyrażeniu wybieramy pełny kwadrat. Otrzymujemy:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Pierwotna nierówność zaczęła wyglądać tak:

(x+2) 2 +1 > 0

A teraz, bez decydowania lub przekształcania czegokolwiek, po prostu włączamy elementarną logikę i rozpracowujemy to: jeśli kwadrat jakiegoś wyrażenia (oczywiście wartość nieujemny!) dodaj jeszcze jeden, jaką liczbę otrzymamy w końcu? Tak! Rygorystycznie pozytywny!

Spójrzmy teraz na nierówność:

(x+2) 2 +1 > 0

Tłumaczymy zapis z języka matematycznego na rosyjski: przy którym x jest ściśle pozytywny wyrażenie będzie surowe jeszcze zadrapanie? Nie zgadłeś? Tak! Z jakimkolwiek!

Oto odpowiedź: x - dowolna liczba.

Wróćmy teraz do algorytmu. Jednak zrozumienie istoty i proste zapamiętywanie na pamięć to różne rzeczy.)

Istotą algorytmu jest to, że tworzymy parabolę z lewej strony standardowej nierówności i patrzymy, gdzie jest nad osią X, a gdzie jest poniżej. Te. gdzie lewa strona jest dodatnia, gdzie ujemna.

Jeśli zrobimy parabolę z naszej lewej strony:

y =x 2 +4 x+5

I narysujemy jego wykres, wtedy to zobaczymy wszystko cała parabola przechodzi powyżej osi X. Obraz będzie wyglądał tak:

Parabola jest krzywa, tak... Dlatego jest schematyczna. Ale jednocześnie wszystko, czego potrzebujemy, jest widoczne na zdjęciu. Parabola nie ma punktów przecięcia z osią X, nie ma wartości zerowych dla gracza. I oczywiście nie ma też wartości ujemnych. Co pokazuje zacienienie całej osi X jako całości. Nawiasem mówiąc, nie narysowałem tutaj osi Y i współrzędnych wierzchołka. Porównaj współrzędne wierzchołka paraboli (-2; 1) i nasze przekształcone wyrażenie!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Jak ci się podoba? Tak! W naszym przypadku m=2 oraz n=1 ... Dlatego wierzchołek paraboli ma współrzędne: (- m; n) = (-2; 1) ... Wszystko jest logiczne.)

Kolejne zadanie:

Rozwiązać równanie:

x 2 +4 x+3 = 0

Proste równanie kwadratowe. Możesz rozwiązać staromodny sposób. Możesz przejść. Jak sobie życzysz. Matematyka nie ma nic przeciwko.)

Otrzymujemy korzenie: x 1 =-3 x 2 =-1

A jeśli ani w jedną, ani w drugą stronę... nie pamiętasz? Cóż, dwójka lśni dla ciebie polubownie, ale... Niech tak będzie, uratuję cię! Pokażę wam, jak można rozwiązać niektóre równania kwadratowe tylko metodami siódmej klasy. Ponownie wybierz pełny kwadrat!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

A teraz opisujemy wynikowe wyrażenie jako ... różnica kwadratów! Tak, tak, jest jedna w siódmej klasie:

a 2 -b 2 = (a-b) (a + b)

W roli a wsporniki wystają(x+2) i w roli b- jeden. Otrzymujemy:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Wstawiamy to rozwinięcie do równania zamiast trójmianu kwadratowego:

(x+1)(x+3)=0

Pozostaje dowiedzieć się, że iloczyn czynników wynosi zero wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek z nich wynosi zero. Więc przyrównujemy (w umyśle!) Każdy nawias do zera.

Otrzymujemy: x 1 =-3 x 2 =-1

To wszystko. Te same dwa korzenie. Taka jest sprytna sztuczka. Oprócz wyróżnika.)

Nawiasem mówiąc, o wyróżniku i ogólnym wzorze na pierwiastki równania kwadratowego:

W mojej lekcji pominięto wyprowadzenie tego nieporęcznego wzoru. Jako niepotrzebne. Ale tutaj on należy.) Chcesz wiedzieć jak ten wzór jest uzyskiwany? Skąd pochodzi określenie dyskryminujące i dlaczego dokładnie?b 2 -4ac, a nie inaczej? Jednak pełne zrozumienie istoty tego, co się dzieje, jest o wiele bardziej przydatne niż bezmyślne pisanie jakichkolwiek liter i symboli, prawda?)

Trzecią przydatną rzeczą jest wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.

No to ruszamy! Bierzemy trójmian kwadratowy w postaci ogólnej topór 2 + bx+ C oraz… zacznij wybierać pełny kwadrat! Tak, prosto przez litery! Była arytmetyka, teraz - algebra.) Najpierw jak zwykle wykonujemy literę a poza nawiasami, a wszystkie inne współczynniki są dzielone przez a:

Lubię to. To jest całkowicie legalna konwersja: a nie równa zeru i możesz przez to dzielić. I znowu pracujemy z nawiasami zgodnie ze zwykłym algorytmem: od terminu z x robimy podwójny iloczyn, dodajemy / odejmujemy kwadrat drugiej liczby ...

Wszystko jest takie samo, ale z literami.) Spróbuj sam to dokończyć! Zdrowy!)

Po wszystkich transformacjach powinieneś otrzymać to:

A dlaczego musimy budować takie stosy z nieszkodliwego trójmianu - pytasz? Nic, teraz będzie ciekawie! A teraz oczywiście utożsamiamy tę rzecz do zera:

Rozwiązujemy jak równanie zwykłe, pracujemy według wszystkich zasad, tylko z literami... Wykonujemy podstawowe:

1) Przesuń duży ułamek w prawo. Podczas przesyłania zmień plus na minus. Aby nie rysować minusa przed samym ułamkiem, po prostu zmienię wszystkie znaki w liczniku. Po lewej stronie licznik był4ac-b 2 , a po przeniesieniu stanie się -( 4ac-b 2 ) , tj. b 2 -4 AC. Coś znajomego, nie sądzisz? Tak! Wyróżnik, on jest najbardziej ...) Będzie tak:

2) Usuwamy kwadrat z nawiasów ze współczynnika. Obie części dzielimy na „ a". Po lewej stronie, przed nawiasami, litera a znika, a po prawej przechodzi w mianownik dużego ułamka, zamieniając go w 4 a 2 .

Okazuje się, że ta równość:

Źle to zrozumiałeś? W takim razie temat „” jest dla Ciebie. Idź tam pilnie!

Następny krok wyodrębnij korzeń... Interesuje nas X, prawda? A X siedzi pod kwadratem… Wydobywamy go oczywiście zgodnie z zasadami ekstrakcji korzeni. Po wyodrębnieniu otrzymujesz to:

Po lewej stronie jest kwadrat sumy znika i ta kwota pozostaje. Co jest wymagane.) Ale po prawej stronie pojawia się mniej więcej... Bo nasza potężna bułka, mimo przerażającego wyglądu, jest tylko jakaś liczba... Liczba ułamkowa. Zależny od współczynnika a, b, C... Jednocześnie pierwiastek licznika tego ułamka nie jest pięknie wyodrębniony, istnieje różnica między tymi dwoma wyrażeniami. A oto korzeń mianownika 4 a 2 całkiem samorozpakowujący się! To będzie łatwe 2 a.

"Podchwytliwe" pytanie do wypełnienia: czy miałem rację, wydobywając korzeń z wyrażenia 4 a2, udziel odpowiedzi tylko 2a? W końcu zasada ekstrakcji pierwiastek kwadratowy zobowiązuje się do umieszczenia znaku modułu, tj.2 |a | !

Zastanów się, dlaczego pominąłem znak modułu. Bardzo pomocne. Podpowiedź: odpowiedź tkwi w znaku mniej więcej przed ułamkiem.)

Zostały już tylko drobiazgi. Wstawiamy czysty X po lewej stronie. Aby to zrobić, przesuń mały ułamek w prawo. Wraz ze zmianą znaku pieprz jest wyraźny. Przypomnę, że znak w ułamku można zmienić w dowolnym miejscu i w dowolny sposób. Chcemy zmienić przed ułamkiem, chcemy go w mianowniku, chcemy go w liczniku. zmienię znak w liczniku... To było + b, stało się – b... Mam nadzieję, że nie ma sprzeciwu?) Po przelewie będzie tak:

Dodaj dwie frakcje o tych samych mianownikach i uzyskaj (w końcu!):

Dobrze? Co mogę powiedzieć? Łał!)

Przydatna czwarta rzecz – uwaga dla studentów!

A teraz płynnie przeniesiemy się ze szkoły na uczelnię. Wierzcie lub nie, ale wybór pełnego kwadratu w matematyce wyższej jest również konieczny!

Na przykład takie zadanie:

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Gdzie zacząć? Bezpośrednia aplikacja nie toczy się. Oszczędza tylko wybór pełnego kwadratu, tak...)

Kto nie wie, jak wybrać cały kwadrat, zawsze będzie trzymał się tego prostego przykładu. A kto wie jak, przydziela i otrzymuje:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

A teraz całka (dla wtajemniczonych) jest brana z jedną pozostałą!

Świetnie, prawda? A to nie tylko całki! Milczę już o geometrii analitycznej, z jej krzywe drugiego rzędu – elipsa, hiperbola, parabola i okrąg.

Na przykład:

Określ rodzaj krzywej podanej równaniem:

x 2 + tak 2 -6 x-8 tak+16 = 0

Bez możliwości wybrania pełnego kwadratu zadanie nie może zostać rozwiązane, tak ... Ale przykład nigdzie nie jest łatwiejszy! Oczywiście dla tych, którzy są w temacie.

Pogrupuj członków za pomocą X i gry w stosy i wybierz pełne kwadraty dla każdej zmiennej. Okaże się:

(x 2 -6x) + (tak 2 -8 tak) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (tak 2 -8 tak+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (tak-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (tak-4) 2 = 3 2

Więc jak? Czy dowiedziałeś się, jakie zwierzę?) Cóż, oczywiście! Okrąg o promieniu jest trójką wyśrodkowaną w punkcie (3; 4).

I to wszystko.) Przydatną rzeczą jest wybór pełnego kwadratu!)