Sformułuj definicję kuli i kuli jej elementów. Kula, piłka, segment i sektor. Wzory i właściwości kuli. Sieczna, cięciwa, sieczna płaszczyzna kuli i ich własności

Wielu z nas uwielbia grać w piłkę nożną, a przynajmniej prawie wszyscy słyszeli o tej słynnej grze sportowej. Wszyscy wiedzą, że w piłkę nożną gra się piłką.

Jeśli zapytasz przechodnia, jaki kształt geometryczny ma ta piłka, to niektórzy powiedzą, że ma kształt kuli, a inni, że ma kształt kuli. Więc który jest właściwy? A jaka jest różnica między kulą a kulą?

Ważny!

Piłka jest ciałem kosmicznym. Wewnątrz kula jest czymś wypełniona. Dlatego kula może znaleźć objętość.

Przykłady kuli z życia: arbuz i stalowa kula.

Kula i kula, podobnie jak koło i koło, mają środek, promień i średnicę.

Ważny!

Kula to powierzchnia kuli. Możesz znaleźć powierzchnię kuli.

Przykłady kuli w życiu: piłka do siatkówki i piłka do tenisa stołowego.

Jak znaleźć obszar kuli

Pamiętać!

Formuła powierzchni kuli: S=4 π R 2

Aby znaleźć obszar kuli, musisz pamiętać, jaka jest potęga liczby. Znając definicję stopnia, wzór na obszar kuli możemy napisać w następujący sposób.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Konsoliduj zdobytą wiedzę i rozwiązać problem dla obszaru kuli.

Zubareva 6. klasa. Numer 692(a)

Zadanie:

• Oblicz powierzchnię kuli, jeśli jej promień wynosi 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Ważny!

Drodzy rodzice!

W ostatecznym obliczeniu promienia nie jest konieczne zmuszanie dziecka do obliczenia pierwiastka sześciennego. Uczniowie klas 6 jeszcze nie zdali i nie znają definicji korzeni w matematyce.

W klasie VI, rozwiązując taki problem, zastosuj metodę liczenia.

Zapytaj ucznia, jaka liczba, pomnożona 3 razy przez samą siebie, da jeden.

Kula i kula są odpowiednikami koła i koła w przestrzeni trójwymiarowej. Warto opowiedzieć o każdej z tych figur, podkreślając podobieństwa i różnice, a także formuły tkwiące w tych figurach.

Większość konstrukcji geometrycznych jest wykonywana na płaszczyźnie, ale w liceum zaczynają studiować figury trójwymiarowe. Przestrzeń dwuwymiarowa ma tylko dwie cechy: długość i szerokość. Wysokość jest dodawana w regionach 3D. W klasie 6 matematyki badane są indywidualne figury 3D.

Na płaszczyźnie figura została scharakteryzowana przez pole i obwód. W obiektach trójwymiarowych dodaje się do nich objętość.

Ryż. 1. Przestrzeń trójwymiarowa.

Ponadto istnieje szereg specyficznych właściwości kształtów 3D. Mogą się one przecinać linią prostą i płaszczyzną, mogą występować sieczne płaszczyzny, które przybierają postać innych figur.

Wykorzystanie kształtów 3D do komponowania zadań znacznie je komplikuje, ale jednocześnie czyni je znacznie ciekawszymi. Podajemy definicje kuli i kuli, po czym postaramy się podkreślić różnice między tymi figurami.

Piłka

Kula i kula są odpowiednikiem koła i koła na płaszczyźnie. Piłka to figura uzyskana przez obrócenie półokręgu wokół jednego punktu.

Piłka ma powierzchnię: $S=4pir^2$

Promień to odcinek linii, który łączy środek kuli z dowolnymi punktami na jej powierzchni.

Wzór na objętość dla kuli$V=(4pir^3\over3)$

Objętość pokazuje, ile miejsca zajmuje postać. Aby zrozumieć, czym jest objętość, musisz wyobrazić sobie pustą figurę. Wtedy objętość to ilość wody, którą można wlać do tej liczby

Kulę, jak każdą inną trójwymiarową figurę, można przeciąć samolotem. Sieczna płaszczyzna kuli to okrąg, którego środek można znaleźć, upuszczając prostopadłą ze środka kuli na okrąg.

Ryż. 2. Sekcja piłki.

Kula to figura będąca zbiorem punktów w przestrzeni równoodległych od środka kuli. Kula:

• Ma takie same wzory na objętość i powierzchnię jak kula.
• Płaszczyzna cięcia kuli to okrąg
• Środek siecznego koła znajduje się w taki sam sposób jak w przypadku kuli

Ryż. 3. Kula.

Jaka jest różnica

Wtedy pojawia się pytanie, jaka jest różnica między piłką a sferą, poza definicją? Faktem jest, że różnice między piłką a sferą są znacznie bardziej zamazane niż różnice między kołem a kołem. Kula ma również objętość i powierzchnię.

Być może, poza definicją, różnica polega na tym, że objętość kuli nigdy nie znajduje się w problemach. Z reguły szukają objętości piłki. Nie oznacza to, że kula nie ma objętości. Jest to figura trójwymiarowa, więc ma objętość.

Analogię można po prostu narysować za pomocą koła, które nie ma pola. Nie jest to reguła, ale tradycja, o której należy pamiętać: w geometrii sformułowanie objętości kuli nie jest mile widziane.

Kolejna różnica, którą można uznać za mniej lub bardziej znaczącą: płaszczyzna cięcia kuli: okrąg, który nie ma przestrzeni wewnętrznej, ale ma długość. Płaszczyzna przekroju kuli: Okrąg, który ma powierzchnię i nie ma obwodu. Dlatego warto być ostrożnym w sformułowaniu problemu, aby nie było błędów spowodowanych takimi drobiazgami.

Czego się nauczyliśmy?

Dowiedzieliśmy się, czym są kula i kula. Rozmawialiśmy o ich podobieństwach i różnicach. Dowiedzieliśmy się, że nie ma prawie żadnych różnic między tymi liczbami. Uznaliśmy, że nie jest konieczne podawanie takiego sformułowania, jak objętość kuli.

Quiz tematyczny

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.7. Łącznie otrzymane oceny: 105.

Definicja.

Kula (powierzchnia kuli) to zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej, które znajdują się w tej samej odległości od pojedynczego punktu, zwany środek kuli(O).

Kulę można opisać jako trójwymiarową figurę utworzoną przez obrócenie koła wokół jej średnicy o 180° lub półkola wokół jej średnicy o 360°.

Definicja.

Piłka to zbiór wszystkich punktów w przestrzeni trójwymiarowej, których odległość nie przekracza określonej odległości do punktu zwanego środek kuli(O) (zbiór wszystkich punktów przestrzeni trójwymiarowej ograniczonych sferą).

Kulę można opisać jako figurę trójwymiarową, która powstaje poprzez obrócenie koła wokół jej średnicy o 180 ° lub półkola wokół jej średnicy o 360 °.

Definicja. Promień kuli (kulki)(R) to odległość od środka kuli (piłki) O do dowolnego punktu kuli (powierzchni kuli).

Definicja. Średnica kuli (kulki)(D) to odcinek łączący dwa punkty kuli (powierzchnia kuli) i przechodzący przez jej środek.

Formuła. Objętość piłki:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formuła. Powierzchnia kuli przez promień lub średnicę:

S = 4π R 2 = π D 2

Równanie sferyczne

1. Równanie sfery o promieniu R i środku w początku kartezjańskiego układu współrzędnych:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Równanie sfery o promieniu R i środku w punkcie o współrzędnych (x 0 , y 0 , z 0) w kartezjańskim układzie współrzędnych:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definicja. diametralnie przeciwstawne punkty to dowolne dwa punkty na powierzchni kuli (kuli), które są połączone średnicą.

Podstawowe własności kuli i kuli

1. Wszystkie punkty kuli są jednakowo oddalone od środka.

2. Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem.

3. Dowolny odcinek kuli przez płaszczyznę jest kołem.

4. Kula ma największą objętość spośród wszystkich figur przestrzennych o tej samej powierzchni.

5. Poprzez dowolne dwa diametralnie przeciwne punkty możesz narysować wiele dużych okręgów dla kuli lub okręgów dla kuli.

6. Poprzez dowolne dwa punkty, z wyjątkiem punktów diametralnie przeciwnych, można narysować tylko jedno duże koło dla kuli lub duże koło dla kuli.

7. Jakiekolwiek dwa duże okręgi jednej kuli przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez środek kuli, a okręgi przecinają się w dwóch diametralnie przeciwnych punktach.

8. Jeżeli odległość między środkami dowolnych dwóch kulek jest mniejsza niż suma ich promieni i większa niż moduł różnicy między ich promieniami, wówczas takie kulki przecinać, a w płaszczyźnie przecięcia powstaje okrąg.

Sieczna, cięciwa, sieczna płaszczyzna kuli i ich własności

Definicja. Seansa sfer to linia prosta, która przecina sferę w dwóch punktach. Punkty przecięcia nazywają się punkty przebicia powierzchni lub punkty wejścia i wyjścia na powierzchni.

Definicja. Cięciwa kuli (piłka) to odcinek łączący dwa punkty kuli (powierzchnia kuli).

Definicja. płaszczyzna cięcia jest płaszczyzną przecinającą sferę.

Definicja. Płaszczyzna średnicowa- jest to sieczna płaszczyzna przechodząca przez środek kuli lub kuli, odpowiednio kształtuje się przekrój wielkie koło I duże koło. Wielkie koło i wielkie koło mają środek, który pokrywa się ze środkiem kuli (kula).

Każdy akord przechodzący przez środek kuli (kulki) jest średnicą.

Akord to odcinek siecznej linii.

Odległość d od środka kuli do siecznej jest zawsze mniejsza niż promień kuli:

D< R

Odległość m między płaszczyzną cięcia a środkiem kuli jest zawsze mniejsza niż promień R:

m< R

Przekrój płaszczyzny tnącej na sferze zawsze będzie mniejsze koło, a na piłce będzie sekcja małe kółko. Małe koło i małe koło mają swoje środki, które nie pokrywają się ze środkiem kuli (kula). Promień r takiego okręgu można znaleźć wzorem:

r \u003d √ R 2 - m2,

Gdzie R jest promieniem kuli (kulki), m jest odległością od środka kuli do płaszczyzny cięcia.

Definicja. Półkula (półkula)- jest to połowa kuli (kulki), która powstaje, gdy jest przecięta płaszczyzną średnicy.

Styczna, styczna płaszczyzna do kuli i ich własności

Definicja. Styczna do sfery to linia prosta, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie.

Definicja. Płaszczyzna styczna do sfery to płaszczyzna, która dotyka kuli tylko w jednym punkcie.

Linia styczna (płaszczyzna) jest zawsze prostopadła do promienia kuli narysowanej do punktu kontaktu

Odległość od środka kuli do linii stycznej (płaszczyzny) jest równa promieniowi kuli.

Definicja. segment kulkowy- jest to część piłki, która jest odcinana od piłki przez płaszczyznę tnącą. Kręgosłup segmentu zadzwoń do kręgu, który powstał w miejscu sekcji. wysokość segmentu h to długość prostopadłej poprowadzonej od środka podstawy segmentu do powierzchni segmentu.

Formuła. Powierzchnia zewnętrzna segmentu kuli o wysokości h pod względem promienia kuli R:

S = 2π Rh