Właściwości funkcji potęgowych. Funkcja wykładnicza - własności, wykresy, wzory. Mianownik wykładnika ułamkowego jest nieparzysty

Funkcje y = ax, y = ax 2, y = a / x - są szczególnymi postaciami funkcji potęgowej dla n = 1, n = 2, n = -1 .

Jeśli n liczba ułamkowa P/ Q z parzystym mianownikiem Q i nieparzysty licznik r, to wartość może mieć dwa znaki, a wykres ma jeszcze jedną część na dole osi odciętej x, i jest symetryczny do góry.

Widzimy wykres dwuwartościowej funkcji y = ± 2x 1/2, tj. reprezentowana przez parabolę z osią poziomą.

Wykresy funkcji y = xn w n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... Te wykresy przechodzą przez punkt (1; 1).

Kiedy n = -1 dostajemy hiperbola... Na n < - 1 wykres funkcji potęgowej znajduje się najpierw nad hiperbolą, tj. pomiędzy x = 0 oraz x = 1, a następnie poniżej (dla x> 1). Jeśli n> -1 wykres jest odwrócony. Wartości ujemne x i wartości ułamkowe n są podobne dla pozytywnych n.

Wszystkie wykresy zbliżają się bez ograniczeń do osi odciętej X, i do osi rzędnych w bez dotykania ich. Ze względu na podobieństwo do hiperboli, wykresy te nazywane są hiperbolami. n ten zamówienie.

1. Funkcja potęgowa, jej własności i wykres;

2. Transformacje:

Transfer równoległy;

Symetria wokół osi współrzędnych;

Symetria o pochodzeniu;

Symetria względem prostej y = x;

Rozciąganie i zmniejszanie wzdłuż osi współrzędnych.

3. Funkcja wykładnicza, jej własności i wykres, podobne przekształcenia;

4. Funkcja logarytmiczna, jej własności i wykres;

5. Funkcja trygonometryczna, jej własności i wykres, podobne przekształcenia (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funkcja: y = x \ n - jej własności i wykres.

Funkcja potęgowa, jej właściwości i wykres

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Wszystkie te funkcje są szczególnymi przypadkami funkcji potęgowej, czyli funkcji y = x p, gdzie p jest określoną liczbą rzeczywistą.
Własności i wykres funkcji potęgowej zależą zasadniczo od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, a w szczególności od jakich wartości x oraz P ma sens stopień x p... Przejdźmy do podobnego rozpatrzenia różnych przypadków, w zależności od
wykładnik potęgowy P.

1. Wskaźnik p = 2n- parzysta liczba naturalna.

y = x 2n, gdzie n- liczba naturalna, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste, czyli zbiór R;
• zbiór wartości jest liczbami nieujemnymi, tj. y jest większe lub równe 0;
• funkcjonować y = x 2n nawet odkąd x 2n = (-x) 2n
• funkcja maleje w przedziale x< 0 i rosnący w przedziale x> 0.

Wykres funkcji y = x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = x 4.

2. Wskaźnik p = 2n - 1- nieparzysta liczba naturalna

W takim przypadku funkcja zasilania y = x 2n-1, gdzie jest liczbą naturalną, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R;
• zestaw wartości - zestaw R;
• funkcjonować y = x 2n-1 dziwne, ponieważ (- x) 2n-1= x 2n-1;
• funkcja rośnie wzdłuż całej osi rzeczywistej.

Wykres funkcji y = x 2n-1 y = x 3.

3. Wskaźnik p = -2n, gdzie n - Liczba naturalna.

W takim przypadku funkcja zasilania y = x -2n = 1 / x 2n ma następujące właściwości:

• zbiór wartości - liczby dodatnie y> 0;
• funkcja y = 1 / x 2n nawet odkąd 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• funkcja rośnie w przedziale x0.

Funkcja i wykres = 1 / x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = 1 / x 2.

4. Wskaźnik p = - (2n-1), gdzie n- Liczba naturalna.
W takim przypadku funkcja zasilania y = x - (2n-1) ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R, z wyjątkiem x = 0;
• zestaw wartości - zestaw R, z wyjątkiem y = 0;
• funkcjonować y = x - (2n-1) dziwne, ponieważ (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• funkcja maleje w interwałach x< 0 oraz x> 0.

Wykres funkcji y = x - (2n-1) ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = 1 / x 3.

Czy znasz funkcje? y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Wszystkie te funkcje są szczególnymi przypadkami funkcji potęgowej, czyli funkcji y = x p, gdzie p jest określoną liczbą rzeczywistą.
Własności i wykres funkcji potęgowej zależą zasadniczo od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, a w szczególności od jakich wartości x oraz P ma sens stopień x P... Przejdźmy do podobnego rozpatrzenia różnych przypadków, w zależności od
wykładnik potęgowy P.

1. Wskaźnik p = 2n jest parzystą liczbą naturalną.

y = x 2n, gdzie n- liczba naturalna, ma następujące

nieruchomości:

• dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste, czyli zbiór R;
• zbiór wartości jest liczbami nieujemnymi, tj. y jest większe lub równe 0;
• funkcjonować y = x 2n nawet odkąd x 2n=(- x) 2n
• funkcja maleje w przedziale x<0 i rosnący w przedziale x> 0.

Wykres funkcji y = x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = x 4.

2. Wskaźnik p = 2n-1- nieparzysta liczba naturalna
W takim przypadku funkcja zasilania y = x 2n-1, gdzie jest liczbą naturalną, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R;
• zestaw wartości - zestaw R;
• funkcjonować y = x 2n-1 dziwne, ponieważ (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funkcja rośnie wzdłuż całej osi rzeczywistej.

Wykres funkcji y = x 2n-1 ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = x 3 .

3. Wskaźnik p = -2n, gdzie n - Liczba naturalna.

W takim przypadku funkcja zasilania y = x -2n = 1 / x 2n ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R, z wyjątkiem x = 0;
• zbiór wartości - liczby dodatnie y> 0;
• funkcja y = 1 / x 2n nawet odkąd 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• funkcja rośnie na przedziale x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funkcja i wykres = 1 / x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = 1 / x 2.

Czy znasz funkcje? y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Wszystkie te funkcje są szczególnymi przypadkami funkcji potęgowej, czyli funkcji y = x p, gdzie p jest określoną liczbą rzeczywistą.
Własności i wykres funkcji potęgowej zależą zasadniczo od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, a w szczególności od jakich wartości x oraz P ma sens stopień x P... Przejdźmy do podobnego rozpatrzenia różnych przypadków, w zależności od
wykładnik potęgowy P.

1. Wskaźnik p = 2n jest parzystą liczbą naturalną.

y = x 2n, gdzie n- liczba naturalna, ma następujące

nieruchomości:

• dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste, czyli zbiór R;
• zbiór wartości jest liczbami nieujemnymi, tj. y jest większe lub równe 0;
• funkcjonować y = x 2n nawet odkąd x 2n=(- x) 2n
• funkcja maleje w przedziale x<0 i rosnący w przedziale x> 0.

Wykres funkcji y = x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = x 4.

2. Wskaźnik p = 2n-1- nieparzysta liczba naturalna
W takim przypadku funkcja zasilania y = x 2n-1, gdzie jest liczbą naturalną, ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R;
• zestaw wartości - zestaw R;
• funkcjonować y = x 2n-1 dziwne, ponieważ (- x) 2n-1=x 2n-1;
• funkcja rośnie wzdłuż całej osi rzeczywistej.

Wykres funkcji y = x 2n-1 ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = x 3 .

3. Wskaźnik p = -2n, gdzie n - Liczba naturalna.

W takim przypadku funkcja zasilania y = x -2n = 1 / x 2n ma następujące właściwości:

• dziedzina definicji - zbiór R, z wyjątkiem x = 0;
• zbiór wartości - liczby dodatnie y> 0;
• funkcja y = 1 / x 2n nawet odkąd 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• funkcja rośnie na przedziale x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Funkcja i wykres = 1 / x 2n ma taką samą postać jak np. wykres funkcji y = 1 / x 2.

Klasa 10

FUNKCJA ZASILANIA

Wykładniczy nazywafunkcja podana przez formułęgdzie, P – jakaś liczba rzeczywista.

i ... Wskaźnikjest parzystą liczbą naturalną. Następnie funkcja zasilania! gdzien

D ( tak )= (−; +).

2) Zakres wartości funkcji to zbiór liczb nieujemnych, jeżeli:

zbiór liczb niedodatnich, jeżeli:

3) ) . Stąd funkcjaOy .

4) Jeżeli, to funkcja maleje, gdyx (-; 0] i wzrasta przyx i maleje przyx }