Găsiți așteptarea matematică a numărului de rateuri. Probabilitatea și statistica sunt fapte de bază. Formule de bază pentru așteptările matematice

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.

Să ne amintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Cert este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.

In medie

Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.

Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.

Dispersia

În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.

Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.

Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?

Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.

Sarcină

Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.

Valorea estimata

Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptarea matematică este rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea rezultată, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.

Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice cantitate din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.

Încă un exemplu

Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.

Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.

Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.

Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.

În cele din urmă, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.

Deviere

Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați rădăcina pătrată a varianței.

Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătrată direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.

Software

După cum se poate vedea din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.

De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

In cele din urma

Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.

Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.

După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet o variabilă aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la informații mai puține. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.

Așteptările matematice sunt una dintre caracteristicile numerice importante.

Așteptările matematice sunt aproximativ egale cu valoarea medie a unei variabile aleatorii.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.

Dacă o variabilă aleatoare este caracterizată printr-o serie finită de distribuție:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	p 1	p 2	p 3	…	r p

apoi așteptarea matematică M(X) este determinată de formula:

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue sunt determinate de egalitatea:

unde este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X.

Exemplul 4.7. Găsiți așteptarea matematică a numărului de puncte care cad atunci când este aruncat un zar.

Soluţie:

Valoare aleatoare X ia valorile 1, 2, 3, 4, 5, 6. Să facem legea distribuției sale:

X
R

Atunci așteptarea matematică este:

Proprietățile așteptărilor matematice:

1. Așteptările matematice ale unei constante sunt egale cu constanta însăși:

M(S)=S.

2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:

M(CX) = CM(X).

3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(XY) = M(X)M(Y).

Exemplul 4.8. Variabile aleatoare independente XȘi Y sunt date de următoarele legi de distribuție:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare XY.

Soluţie.

Să găsim așteptările matematice pentru fiecare dintre aceste mărimi:

variabile aleatoare XȘi Y independent, deci așteptările matematice dorite:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Consecinţă. Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.

4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M(X + Y) = M(X) + M(Y).

Consecinţă. Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.

Exemplul 4.9. Se trag 3 lovituri cu probabilități de lovire a țintei egale cu p 1 = 0,4; p2= 0,3 și p 3= 0,6. Aflați așteptările matematice ale numărului total de rezultate.

Soluţie.

Numărul de lovituri la prima lovitură este o variabilă aleatorie X 1, care poate lua doar două valori: 1 (lovitură) cu probabilitate p 1= 0,4 și 0 (rată) cu probabilitate q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Așteptarea matematică a numărului de lovituri în prima lovitură este egală cu probabilitatea de a lovi:

În mod similar, găsim așteptările matematice ale numărului de lovituri în a doua și a treia lovitură:

M(X 2)= 0,3 și M (X 3) \u003d 0,6.

Numărul total de lovituri este, de asemenea, o variabilă aleatorie constând din suma loviturilor din fiecare dintre cele trei lovituri:

X \u003d X 1 + X 2 + X 3.

Așteptările matematice dorite X găsim prin teorema matematicii, așteptarea sumei.

Variabilă aleatorie se numește o variabilă care, în urma fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretȘi continuu.

Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatoare.

Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:

a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).

d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).

1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.

O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matrice)$

cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$.

2. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.

Proprietăți de așteptare$M\stânga(X\dreapta)$:

1. $M\left(X\right)$ este între cele mai mici și cele mai mari valori ale variabilei aleatoare $X$.
2. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine, adică. $M\left(C\right)=C$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$

Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.

Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.

Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.

Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupe de studenți, scorul mediu la examen în teoria probabilității s-a dovedit a fi 4, dar într-un grup toată lumea s-a dovedit a fi studenți buni, iar în celălalt grup - doar studenți C și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.

Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2).\ $$

În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.

Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:

1. Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
2. Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
3. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie, cu condiția ca acesta să fie pătrat, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
4. Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
5. Varianta diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, adică. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.

Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$

Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.

Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.

Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.

4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.

Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.

funcția de distribuție variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă ​​$x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$

Proprietățile funcției de distribuție:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.

Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$

Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Dacă 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$

Conceptul de așteptare matematică poate fi luat în considerare folosind exemplul aruncării unui zar. La fiecare aruncare, punctele pierdute sunt înregistrate. Valorile naturale în intervalul 1 - 6 sunt folosite pentru a le exprima.

După un anumit număr de aruncări, folosind calcule simple, puteți găsi media aritmetică a punctelor căzute.

Pe lângă eliminarea oricăreia dintre valorile intervalului, această valoare va fi aleatorie.

Și dacă mărești de mai multe ori numărul aruncărilor? Cu un număr mare de aruncări, valoarea medie aritmetică a punctelor se va apropia de un anumit număr, care în teoria probabilității a primit denumirea de așteptare matematică.

Deci, așteptarea matematică este înțeleasă ca valoarea medie a unei variabile aleatoare. Acest indicator poate fi prezentat și ca o sumă ponderată a valorilor probabile.

Acest concept are mai multe sinonime:

• valoarea medie;
• valoarea medie;
• indicator central de tendință;
• primul moment.

Cu alte cuvinte, nu este altceva decât un număr în jurul căruia sunt distribuite valorile unei variabile aleatorii.

În diverse sfere ale activității umane, abordările pentru înțelegerea așteptărilor matematice vor fi oarecum diferite.

Poate fi privit ca:

• beneficiul mediu primit în urma adoptării unei decizii, în cazul în care o astfel de decizie este considerată din punct de vedere al teoriei numerelor mari;
• suma posibilă de câștig sau pierdere (teoria jocurilor de noroc), calculată în medie pentru fiecare dintre pariuri. În argo, ele sună ca „avantajul jucătorului” (pozitiv pentru jucător) sau „avantaj de cazinou” (negativ pentru jucător);
• procentul din profitul primit din câștiguri.

Așteptările matematice nu sunt obligatorii pentru absolut toate variabilele aleatoare. Este absent pentru cei care au o discrepanță în suma sau integrala corespunzătoare.

Proprietăți de așteptare

Ca orice parametru statistic, așteptarea matematică are următoarele proprietăți:

Formule de bază pentru așteptările matematice

Calculul așteptării matematice poate fi efectuat atât pentru variabile aleatoare caracterizate atât prin continuitate (formula A) cât și prin discretitate (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, unde xi sunt valorile variabilei aleatoare, pi sunt probabilitățile:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, unde f(x) este o densitate de probabilitate dată.

Exemple de calcul a așteptărilor matematice

Exemplul A.

Este posibil să aflați înălțimea medie a gnomilor din basmul despre Albă ca Zăpada. Se știe că fiecare dintre cei 7 gnomi avea o anumită înălțime: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 și 0,81 m.

Algoritmul de calcul este destul de simplu:

• găsiți suma tuturor valorilor indicatorului de creștere (variabilă aleatorie):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Suma rezultată este împărțită la numărul de gnomi:
  6,31:7=0,90.

Astfel, înălțimea medie a gnomilor într-un basm este de 90 cm. Cu alte cuvinte, aceasta este așteptarea matematică a creșterii gnomilor.

Formula de lucru - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementarea practică a așteptărilor matematice

La calculul unui indicator statistic al așteptării matematice se recurge în diverse domenii de activitate practică. În primul rând, vorbim despre sfera comercială. Într-adevăr, introducerea acestui indicator de către Huygens este legată de determinarea șanselor care pot fi favorabile, sau, dimpotrivă, nefavorabile, pentru un anumit eveniment.

Acest parametru este utilizat pe scară largă pentru evaluarea riscurilor, mai ales când vine vorba de investiții financiare.
Deci, în afaceri, calculul așteptărilor matematice acționează ca o metodă de evaluare a riscului la calcularea prețurilor.

De asemenea, acest indicator poate fi utilizat la calcularea eficacității anumitor măsuri, de exemplu, privind protecția muncii. Datorită acesteia, puteți calcula probabilitatea de apariție a unui eveniment.

Un alt domeniu de aplicare a acestui parametru este managementul. Poate fi calculat și în timpul controlului calității produsului. De exemplu, folosind mat. așteptări, puteți calcula numărul posibil de piese defecte de fabricație.

Așteptarea matematică este indispensabilă și în timpul prelucrării statistice a rezultatelor obținute în cursul cercetării științifice. De asemenea, vă permite să calculați probabilitatea unui rezultat dorit sau nedorit al unui experiment sau studiu, în funcție de nivelul de realizare a obiectivului. La urma urmei, realizarea sa poate fi asociată cu câștig și profit, iar nerealizarea sa - ca o pierdere sau pierdere.

Utilizarea așteptărilor matematice în Forex

Aplicarea practică a acestui parametru statistic este posibilă atunci când se efectuează tranzacții pe piața valutară. Poate fi folosit pentru a analiza succesul tranzacțiilor comerciale. Mai mult, o creștere a valorii așteptărilor indică o creștere a succesului acestora.

De asemenea, este important de reținut că așteptarea matematică nu trebuie considerată ca fiind singurul parametru statistic utilizat pentru a analiza performanța unui comerciant. Utilizarea mai multor parametri statistici împreună cu valoarea medie mărește uneori acuratețea analizei.

Acest parametru sa dovedit bine în monitorizarea observațiilor conturilor de tranzacționare. Datorită lui, se realizează o evaluare rapidă a lucrărilor efectuate pe contul de depozit. În cazurile în care activitatea comerciantului este de succes și acesta evită pierderile, nu se recomandă utilizarea doar a calculului așteptării matematice. În aceste cazuri, riscurile nu sunt luate în considerare, ceea ce reduce eficacitatea analizei.

Studiile efectuate asupra tacticii comercianților indică faptul că:

• cele mai eficiente sunt tacticile bazate pe intrări aleatorii;
• cele mai puțin eficiente sunt tacticile bazate pe intrări structurate.

Pentru a obține rezultate pozitive, este la fel de important:

• tactici de gestionare a banilor;
• strategii de ieșire.

Folosind un astfel de indicator precum așteptarea matematică, putem presupune care va fi profitul sau pierderea atunci când investim 1 dolar. Se știe că acest indicator, calculat pentru toate jocurile practicate în cazinou, este în favoarea instituției. Acesta este ceea ce vă permite să faceți bani. În cazul unei serii lungi de jocuri, probabilitatea de a pierde bani de către client crește semnificativ.

Jocurile jucătorilor profesioniști sunt limitate la perioade mici de timp, ceea ce crește șansele de câștig și reduce riscul de a pierde. Același model se observă și în efectuarea operațiunilor de investiții.

Un investitor poate câștiga o sumă semnificativă cu o așteptare pozitivă și un număr mare de tranzacții într-o perioadă scurtă de timp.

Așteptarea poate fi considerată ca diferența dintre procentul profitului (PW) înmulțit cu profitul mediu (AW) și probabilitatea pierderii (PL) înmulțit cu pierderea medie (AL).

Ca exemplu, luați în considerare următoarele: poziție - 12,5 mii de dolari, portofoliu - 100 mii de dolari, risc pe depozit - 1%. Rentabilitatea tranzacțiilor este de 40% din cazuri cu un profit mediu de 20%. În cazul unei pierderi, pierderea medie este de 5%. Calcularea așteptărilor matematice pentru o tranzacție dă o valoare de 625 USD.

Așteptarea matematică este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora:

Exemplu.

X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5

Rezolvare: așteptarea matematică este egală cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale lui X și probabilitățile acestora:

M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.

Pentru a calcula așteptările matematice, este convenabil să efectuați calcule în Excel (mai ales când există multe date), vă sugerăm să utilizați un șablon gata făcut ().

Un exemplu pentru o soluție independentă (puteți folosi un calculator).
Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X dată de legea distribuției:

X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4

Așteptările matematice au următoarele proprietăți.

Proprietatea 1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi: М(С)=С.

Proprietatea 2. Din semnul așteptării poate fi scos un factor constant: М(СХ)=СМ(Х).

Proprietatea 3. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor matematice ale factorilor: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)

Proprietatea 4. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).

Problema 189. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice X și Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Rezolvare: Folosind proprietățile așteptării matematice (așteptările matematice ale sumei este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor; factorul constant poate fi scos din semnul așteptării), obținem M(Z)=M (X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Folosind proprietățile așteptării matematice, demonstrați că: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) așteptarea matematică a abaterii X-M(X) este zero.

191. Variabila aleatoare discretă X ia trei valori posibile: x1= 4 Cu probabilitatea p1 = 0,5; x3 = 6 Cu probabilitatea P2 = 0,3 și x3 cu probabilitatea p3. Aflați: x3 și p3, știind că M(X)=8.

192. O listă de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete X este dată: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, așteptările matematice ale acestei cantități și pătratul ei sunt, de asemenea, cunoscute: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Găsiți probabilitățile p1, p2, p3 corespunzătoare valorilor posibile xi

194. Un lot de 10 părți conține trei părți nestandard. Două articole au fost selectate la întâmplare. Găsiți așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete X - numărul de părți non-standard dintre două dintre cele selectate.

196. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete X-număr de astfel de aruncări de cinci zaruri, în fiecare dintre acestea un punct va apărea pe două zaruri, dacă numărul total de aruncări este douăzeci.

Așteptarea matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare: