CARACTERISTICI DE împrăștiere

Din caracteristicile poziției - așteptare matematică, mediană, mod - să trecem la caracteristicile răspândirii unei variabile aleatoare X. dispersie D(X)= a 2 , abaterea standard a și coeficientul de variație v. Definiția și proprietățile varianței pentru variabile aleatoare discrete au fost luate în considerare în capitolul anterior. Pentru variabile aleatoare continue

Abaterea standard este valoarea nenegativă a rădăcinii pătrate a varianței:

Coeficientul de variație este raportul dintre abaterea standard și așteptarea matematică:

Coeficient de variație – aplicat când M(X)> O - măsoară răspândirea în unități relative, în timp ce abaterea standard - în absolut.

Exemplul 6. Pentru o variabilă aleatoare distribuită uniform X găsiți varianța, abaterea standard și coeficientul de variație. Dispersia este:

Substituție variabilă face posibilă scrierea:

Unde din = f - aU2.

Prin urmare, abaterea standard este iar coeficientul de variație este:

TRANSFORMĂRILE VALORILOR ALEATORII

Pentru fiecare variabilă aleatoare X definiți încă trei cantități - centrate Y, normalizat Vși dat U. Variabilă aleatoare centrată Y este diferența dintre variabila aleatoare dată Xși așteptările sale matematice M(X), acestea. Y=X - M(X). Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare centrate Y este egală cu 0, iar varianța este varianța variabilei aleatoare date:

functie de distributie Fy(x) variabilă aleatoare centrată Y legate de funcţia de distribuţie F(x) a variabilei aleatoare originale X raport:

Pentru densitățile acestor variabile aleatoare, egalitatea

Variabilă aleatorie normalizată V este raportul variabilei aleatoare date X la abaterea sa standard a, i.e. V = XIo. Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare normalizate V exprimate prin caracteristici X Asa de:

unde v este coeficientul de variație al variabilei aleatoare originale X. Pentru funcția de distribuție Fv(x) si densitate fv(x) variabilă aleatoare normalizată V avem:

Unde F(x)- funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare originale X; repara) este densitatea sa de probabilitate.

Variabilă aleatoare redusă U este o variabilă aleatoare centrată și normalizată:

Pentru o variabilă aleatoare redusă

Variabilele aleatoare normalizate, centrate și reduse sunt utilizate în mod constant atât în cercetarea teoretică, cât și în algoritmi, produse software, documentație de reglementare și tehnică și instructivă și metodologică. În special, pentru că egalitățile M(U) = 0, D(lf) = 1 fac posibilă simplificarea fundamentarii metodelor, formulărilor de teoreme și formulelor de calcul.

Se folosesc transformări ale variabilelor aleatoare și un plan mai general. Deci, dacă U = aX + b, Unde darȘi b sunt niște numere, atunci

Exemplul 7. Dacă dar= 1/G, b = -M(X)/G, atunci Y este o variabilă aleatoare redusă, iar formulele (8) sunt transformate în formule (7).

Cu fiecare variabilă aleatoare X se poate conecta multimea variabilelor aleatoare Y date prin formula Y = Oh + b la diverse a > 0 și b. Acest set se numește familia de forfecare, generat de o variabilă aleatoare X. Funcții de distribuție Fy(x) constituie o familie de distribuții scale-shift generate de funcția de distribuție F(x).În loc de Y= aX + b notație folosită frecvent

Număr din se numește parametrul de schimbare și numărul d- parametrul de scară. Formula (9) arată că X- rezultatul măsurării unei anumite valori - merge la K - rezultatul măsurării aceleiași valori, dacă începutul măsurării este mutat într-un punct din,și apoi folosiți noua unitate de măsură, în d ori mai mare decât cea veche.

Pentru familia scale-shift (9), distribuția X numit standard. În metodele probabilistic-statistice de luare a deciziilor și alte cercetări aplicate, se utilizează distribuția normală standard, distribuția standard Weibull-Gnedenko, distribuția standard gamma.

distribuție etc. (vezi mai jos).

Sunt folosite și alte transformări ale variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru o variabilă aleatoare pozitivă X considera Y = IgX, Unde IgX- logaritmul zecimal al unui număr X. Lanț de egalități

raportează funcțiile de distribuție XȘi Y.

Mai sus ne-am familiarizat cu legile distribuției variabilelor aleatoare. Fiecare lege de distribuție descrie în mod exhaustiv proprietățile probabilităților unei variabile aleatoare și face posibilă calcularea probabilităților oricăror evenimente asociate cu o variabilă aleatoare. Cu toate acestea, în multe chestiuni de practică nu este nevoie de o descriere atât de completă și adesea este suficient să se indice doar parametri numerici individuali care caracterizează trăsăturile esențiale ale distribuției. De exemplu, media, în jurul căreia sunt împrăștiate valorile unei variabile aleatoare, este un număr care caracterizează amploarea acestei răspândiri. Aceste numere sunt menite să exprime într-o formă concisă cele mai semnificative caracteristici ale distribuției și sunt numite caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii.

Dintre caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare, ele au în vedere în primul rând caracteristicile care fixează poziția unei variabile aleatoare pe axa numerelor, adică. o valoare medie a unei variabile aleatoare în jurul căreia sunt grupate valorile posibile ale acesteia. Dintre caracteristicile poziției în teoria probabilităților, cel mai mare rol îl joacă valorea estimata, care uneori este numită pur și simplu valoarea medie a variabilei aleatoare.

Să presupunem că SW? discret ia valorile x ( , x 2 ,..., x p cu probabilităţi R j, p 2 ,...y Ptv acestea. dat de seria de distribuţie

Este posibil ca în aceste experimente valoarea x x observat N( ori, valoare x 2 - N 2 ori,..., valoare x n - N n o singura data. În același timp + N 2 +... + N n =N.

Media aritmetică a rezultatelor observației

Dacă N mare, adică N- „O, atunci

descriind centrul de distribuție. Valoarea medie a unei variabile aleatoare obținută în acest mod va fi numită așteptare matematică. Să dăm o formulare verbală a definiției.

Definiție 3.8. așteptări matematice (MO) discret SV% este un număr egal cu suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori (notația M;):

Acum luați în considerare cazul în care numărul de valori posibile ale CV-ului discret este numărabil, adică avem RR

Formula pentru așteptarea matematică rămâne aceeași, doar în limita superioară a sumei P este înlocuit cu oo, adică

În acest caz, obținem deja o serie care poate diverge, adică. CV-ul corespunzător ^ poate să nu aibă o așteptare matematică.

Exemplul 3.8. CB?, dat de seria de distribuție

Să găsim MO a acestui SW.

Soluţie. Prin definitie. acestea. Mt, nu exista.

Astfel, în cazul unui număr numărabil de valori SW, obținem următoarea definiție.

Definiție 3.9. așteptări matematice, sau valoarea medie, SW discret, având un număr numărabil de valori, se numește număr egal cu suma unei serii de produse a tuturor valorilor sale posibile și a probabilităților corespunzătoare, cu condiția ca această serie să convergă absolut, adică.

Dacă această serie diverge sau converge condiționat, atunci spunem că CV ^ nu are așteptări matematice.

Să trecem de la SW discret la continuu cu densitatea p(x).

Definiția 3.10. așteptări matematice, sau valoarea medie, SW continuu numit număr egal cu

cu condiţia ca această integrală să convergă absolut.

Dacă această integrală diverge sau converge în mod condiționat, atunci ei spun că CB? continuă nu are așteptări matematice.

Observația 3.8. Dacă toate valorile posibile ale variabilei aleatoare J;

aparțin numai intervalului ( dar; b) apoi

Așteptările matematice nu sunt singura caracteristică de poziție folosită în teoria probabilității. Uneori sunt folosite cum ar fi modul și mediana.

Definiția 3.11. Modă CB ^ (desemnare Mot,) valoarea sa cea mai probabilă se numește, i.e. unul pentru care probabilitatea pi sau densitatea de probabilitate p(x) atinge cea mai mare valoare.

Definiția 3.12. Median SV?, (denumire întâlnit) se numeste o astfel de valoare pentru care P(t> Met) = P(? > întâlnit) = 1/2.

Geometric, pentru un SV continuu, mediana este abscisa punctului respectiv de pe axă Oh, pentru care zonele din stânga și din dreapta acesteia sunt aceleași și egale cu 1/2.

Exemplul 3.9. SWt,are un număr de distribuție

Să găsim așteptarea matematică, modul și mediana SW

Soluţie. Mb,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Eu(?) nu există.

Exemplul 3.10. Continuu CB % are densitate

Să găsim așteptarea matematică, mediana și modul.

Soluţie.

p(x) atinge un maxim, atunci Evident, mediana este și ea egală, deoarece zonele din dreapta și din stânga dreptei care trece prin punct sunt egale.

Pe lângă caracteristicile poziției în teoria probabilității, sunt utilizate și o serie de caracteristici numerice în diverse scopuri. Printre acestea, momentele - inițiale și centrale - au o importanță deosebită.

Definiția 3.13. Momentul inițial al ordinului k SW?, se numește așteptare matematică k-a gradul acestei valori: =M(t > k).

Din definițiile așteptărilor matematice pentru variabile aleatoare discrete și continue rezultă că

Observația 3.9. Evident, momentul inițial de ordinul I este așteptarea matematică.

Înainte de a defini momentul central, introducem un nou concept de variabilă aleatoare centrată.

Definiția 3.14. Centrat CV este abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice, adică

Este ușor să verifici asta

Centrarea unei variabile aleatoare, evident, echivalează cu transferul originii în punctul M;. Se numesc momentele unei variabile aleatoare centrate punctele centrale.

Definiția 3.15. Momentul central al ordinului k SW % se numește așteptare matematică k-a grade ale unei variabile aleatoare centrate:

Din definiţia aşteptării matematice rezultă că

Evident, pentru orice variabilă aleatorie ^ momentul central de ordinul 1 este egal cu zero: cu x= M(? 0) = 0.

De o importanță deosebită pentru practică este al doilea punct central de la 2. Se numește dispersie.

Definiția 3.16. dispersie CB?, se numește așteptarea matematică a pătratului valorii centrate corespunzătoare (notație D?)

Pentru a calcula varianța, următoarele formule pot fi obținute direct din definiție:

Transformând formula (3.4), putem obține următoarea formulă de calcul D.L.

Dispersia SW este o caracteristică împrăștiere, răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptării sale matematice.

Varianta are dimensiunea pătratului unei variabile aleatoare, ceea ce nu este întotdeauna convenabil. Prin urmare, pentru claritate, ca caracteristică a dispersiei, este convenabil să se utilizeze un număr a cărui dimensiune coincide cu cea a unei variabile aleatorii. Pentru a face acest lucru, luați rădăcina pătrată a dispersiei. Valoarea rezultată este numită deviație standard variabilă aleatorie. O vom nota ca a: a = l / w.

Pentru un CB nenegativ?, uneori este folosit ca caracteristică coeficientul de variație, egal cu raportul dintre abaterea standard și așteptările matematice:

Cunoscând așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare, vă puteți face o idee aproximativă asupra intervalului de valori posibile ale acesteia. În multe cazuri, putem presupune că valorile variabilei aleatoare % depășesc doar ocazional intervalul M; ± Pentru. Această regulă pentru distribuția normală, pe care o vom justifica mai târziu, se numește regula trei sigma.

Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Din definiția așteptării și varianței matematice, urmează câteva proprietăți simple și destul de evidente ale acestor caracteristici numerice.

Protozoareproprietățile așteptării și dispersiei matematice.

1. Așteptarea matematică a unei variabile non-aleatoare din egal cu valoarea lui c: M(s) = s.

Într-adevăr, din moment ce valoarea din ia o singură valoare cu probabilitatea 1, atunci М(с) = din 1 = s.

2. Varianta variabilei nealeatoare c este egală cu zero, adică. D(c) = 0.

Într-adevăr, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. Un multiplicator non-aleatoriu poate fi scos din semnul așteptării: M(c^) = c M(?,).

Să arătăm validitatea acestei proprietăți pe exemplul unui RV discret.

Fie RV dat de seria de distribuție

Apoi

Prin urmare,

Proprietatea este demonstrată în mod similar pentru o variabilă aleatoare continuă.

4. Un multiplicator non-aleatoriu poate fi scos din semnul de varianță pătrat:

Cu cât sunt cunoscute mai multe momente ale unei variabile aleatoare, cu atât avem ideea mai detaliată a legii distribuției.

În teoria probabilităților și aplicațiile sale, se folosesc încă două caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare, bazate pe momentele centrale ale ordinului 3 și 4, coeficientul de asimetrie sau m x .

Pentru variabile aleatoare discrete valorea estimata :

Suma valorilor valorii corespunzătoare cu probabilitatea variabilelor aleatoare.

Modă (Mod) a unei variabile aleatoare X se numește valoarea sa cea mai probabilă.

Pentru o variabilă aleatoare discretă. Pentru o variabilă aleatoare continuă.

Distribuție unimodală

Distribuție multimodală

În general, Mod și valorea estimata nu

Meci.

Median (Med) a unei variabile aleatoare X este o astfel de valoare pentru care probabilitatea ca P(X Med). Orice distribuție Med poate avea doar una.

Med împarte aria de sub curbă în 2 părți egale. În cazul distribuţiei unimodale şi simetrice

Momente.

Cel mai adesea, în practică sunt folosite două tipuri de momente: inițial și central.

Moment de pornire. Al doilea ordin al unei variabile aleatoare discrete X este o sumă de forma:

Pentru o variabilă aleatoare continuă X, momentul inițial de ordin este integrala , este evident că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este primul moment inițial.

Folosind semnul (operatorul) M, momentul inițial al ordinului --lea poate fi reprezentat sub formă de mat. așteptarea puterii-a a unei variabile aleatorii.

Centrat variabila aleatoare a variabilei aleatoare corespunzătoare X este abaterea variabilei aleatoare X de la așteptarea sa matematică:

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare centrate este 0.

Pentru variabile aleatoare discrete avem:

Se numesc momentele unei variabile aleatoare centrate Momente centrale

Moment central al comenzii variabila aleatoare X se numește așteptarea matematică a puterii-a a variabilei aleatoare centrate corespunzătoare.

Pentru variabile aleatoare discrete:

Pentru variabile aleatoare continue:

Relația dintre momentele centrale și inițiale de diverse ordine

Dintre toate momentele, primul moment (matematică. așteptare) și al doilea moment central sunt cel mai adesea folosite ca caracteristici a unei variabile aleatorii.

Al doilea moment central este numit dispersie variabilă aleatorie. Are denumirea:

Prin definitie

Pentru o variabilă aleatoare discretă:

Pentru o variabilă aleatoare continuă:

Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersării (împrăștierii) variabilelor aleatoare X în jurul așteptării sale matematice.

Dispersiaînseamnă împrăștiere. Varianta are dimensiunea pătratului unei variabile aleatoare.

Pentru o caracterizare vizuală a dispersiei, este mai convenabil să folosiți valoarea m y la fel ca și dimensiunea variabilei aleatoare. În acest scop, se ia o rădăcină din dispersie și se obține o valoare numită - abatere standard (RMS) variabila aleatoare X, introducând denumirea: