Măsoară mingea. Muzica multidimensionala a sferelor perelman. Câteva aplicații utile din alte surse
În urmă cu ceva timp, pe site-ul de pretipărire arXiv.org au apărut simultan două lucrări, dedicate problemei celei mai apropiate ambalări a bilelor în spațiile de dimensiunile 8 și 24. Până acum, rezultate similare au fost cunoscute doar pentru dimensiunile 1, 2, și 3 (și nu totul este atât de simplu aici, dar mai multe despre asta mai jos). Descoperirea - și vorbim despre o adevărată descoperire revoluționară - a fost posibilă datorită muncii Marinei Vyazovskaya, o matematiciană de origine ucraineană care lucrează acum în Germania. Povestea acestei realizări o vom spune în zece nuvele.
1.
În secolul al XVI-lea, faimosul figur de curte și poet Sir Walter Raleigh a trăit în Anglia. Era celebru, în primul rând, pentru faptul că, odată, și-a aruncat mantia scumpă în fața reginei într-o băltoacă pentru ca Majestatea Sa să nu-și murdărească picioarele. Dar nu de aceea ne interesează.
Sir Walter Raleigh avea o pasiune - îi plăcea foarte mult să jefuiască nave spaniole și să caute El Dorado. Și apoi, într-o zi, Raleigh a văzut o grămadă de ghiule stivuite pe navă. Și m-am gândit (așa s-a întâmplat cu curtenii britanici), spun ei, ar fi bine dacă ai putea afla câte miezuri sunt într-o grămadă fără a le număra. Beneficiile unor astfel de cunoștințe, mai ales dacă îți place să jefuiești flota spaniolă, sunt evidente.
Walter Raleigh
Raleigh însuși nu era foarte bun la matematică, așa că i-a dat această problemă asistentului său Thomas Harriot. El, la rândul său, era puternic în matematică (Harriot, apropo, este inventatorul semnelor „>” și „<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Pentru comentarii, a apelat la celebrul matematician al timpului său, Johannes Kepler - la acea vreme asistentul lui Tycho Brahe. Kepler nu a dat un răspuns, dar și-a amintit problema. În 1611, a publicat un mic pamflet în care a discutat patru întrebări: de ce albinele au faguri hexagonali, de ce petalele de flori sunt cel mai adesea grupate în cinci? Kepler probabil a vrut să spună doarrozacee - aprox. N+1), de ce boabele de rodie au formă de dodecaedre (deși neregulate) și de ce, în cele din urmă, fulgii de zăpadă au formă de hexagoane.
Johannes Kepler
Pamfletul a fost conceput ca un cadou, deci a fost mai mult o lectură filozofică și distractivă decât o adevărată lucrare științifică. Kepler a asociat răspunsul la prima întrebare cu două condiții - nu ar trebui să existe goluri între celule, iar suma suprafețelor celulare ar trebui să fie minimă. Autorul a conectat a doua întrebare cu numerele Fibonacci, iar conversația despre fulgi de nea l-a determinat pe Kepler să raționeze despre simetriile atomice.
A treia întrebare a dat naștere ipotezei că ambalare închisă hexagonală(este in poza de mai jos) este cel mai dens (ceea ce inseamna ca este si mai jos in sens matematic). Desigur, Kepler nu a considerat necesar să se refere la Harriot. Prin urmare, această afirmație se numește ipoteza Kepler. Legea lui Stigler - alias principiul lui Arnold - în acțiune.
Da, la 7 ani de la publicarea acestui pamflet, Sir Walter Raleigh a fost decapitat. Cu toate acestea, acest lucru nu a avut nimic de-a face cu problema ambalajului dens.
2.
După standardele moderne, sarcina pe care Harriot a rezolvat-o nu a fost dificilă. Prin urmare, o vom analiza mai detaliat. Și, în același timp, vom înțelege mai bine cum funcționează împachetarea închisă hexagonală.
Deci, condiția principală este ca o grămadă de miezuri să nu se rostogolească în timpul tanajului. Deci, așezați miezurile într-un rând pe punte. În rândul următor punem miezurile astfel încât bilele să fie așezate în fantele dintre sferele primului rând. Dacă există n bile în primul rând, atunci sunt n - 1 în al doilea (pentru că există un spațiu mai puțin între bile decât bilele în sine). Următorul rând va fi cu un miez mai puțin. Și așa mai departe, până când obținem un triunghi ca acesta (dacă te uiți la aspectul de sus):
Cei care își amintesc ce este o progresie aritmetică vor calcula cu ușurință că, dacă au fost n bile în primul rând, atunci există n (n + 1)/2 bile într-un astfel de triunghi. Când sunt privite de sus, există adâncituri convenabile între bile. Acolo vom adăuga al doilea strat de bile. Acest lucru va avea ca rezultat un triunghi organizat ca primul, doar cu o minge mai puțin pe lateral. Așa că mai punem n(n - 1)/2 bile în grămadă.
Continuăm să întindem straturi până când obținem un strat dintr-o bilă. Avem o piramidă triunghiulară de nuclee. Pentru a afla câte nuclee are, trebuie să adunați numărul de nuclee din fiecare strat. Dacă primul strat a fost cu latura n, atunci obținem n straturi, care în total vor da n(n + 1)(n + 2)/6. Cititorul curios va observa că acesta este exact coeficientul binom al lui C 3 n + 2 . Această coincidență combinatorie nu este lipsită de motiv, dar nu vom aprofunda în ea.
Apropo, pe lângă această sarcină, Harriot a putut determina aproximativ ce cotă ocupă nucleele într-un container suficient de mare, dacă luăm forma acestuia din urmă pentru un cub. S-a dovedit că proporția este π/(3√2) ≈ 0,74048.
3.
Ce înseamnă cuvântul cel mai densîn enunțul problemei? Raleigh, Harriot și chiar Kepler însuși nu au dat un răspuns exact la acest lucru. Cel mai dens într-un sens rezonabil era implicat. Cu toate acestea, această formulare nu este potrivită pentru matematică. Trebuie clarificat.
Să coborâm mai întâi dimensiunea de mai jos și să vedem cum funcționează totul în avion. Pentru cazul bidimensional, problema se transformă în următoarea: să se dea un set infinit de cercuri care nu se intersectează în partea interioară (dar, eventual, atingând - adică având un punct comun pe graniță) cercuri pe avionul. Să desenăm un pătrat. Calculăm suma ariilor pieselor de cerc care au căzut în interiorul pătratului. Să luăm raportul dintre această sumă și aria pătratului și vom crește latura pătratului, uitându-ne la schimbarea raportului.
Obținem o funcție fa), Unde A- latura unui pătrat. Dacă avem noroc, atunci această funcție cu creștere argumentul se va apropia asimptotic de un anumit număr. Acest număr se numește densitatea ambalajului dat. Este important ca funcția în sine să poată da la un moment dat o valoare mai mare decât densitatea. Într-adevăr, dacă pătratul este mic, atunci se potrivește în întregime în cerc și raportul sigur este 1. Dar ne interesează densitatea în medie, adică informal vorbind, „pentru un pătrat cu o latură suficient de mare”.
Printre toate astfel de densități, se poate găsi maximul. Ea, precum și ambalajul care o implementează, vor fi numite cele mai dense.
„Cel mai dens ambalaj nu este neapărat unic (în sensul asimptotic). Există infinit de multe împachetari cele mai dense în spațiul tridimensional și chiar și Kepler știa acest lucru”, spune Oleg Musin de la Universitatea din Texas din Brownsville.
După ce am definit conceptul de împachetare cea mai densă, este ușor de înțeles că o astfel de definiție poate fi extinsă cu ușurință la un spațiu de dimensiune arbitrară n. Într-adevăr, să înlocuim cercurile cu bile de dimensiunea corespunzătoare, adică seturi de puncte, distanța de la care până la unul fix (numit centru) nu depășește o anumită valoare, numită raza bilei. Din nou, haideți să le aranjam astfel încât oricare două în cel mai bun caz să se atingă, în cel mai rău caz - să nu aibă deloc puncte comune. Definim aceeași funcție ca în cazul precedent luând volumul unui cub n-dimensional și suma volumelor bilelor n-dimensionale corespunzătoare.
4.
Așadar, am înțeles că conjectura lui Kepler este problema celei mai apropiate ambalări de bile tridimensionale în spațiul tridimensional. Și ce zici de avion (de când am început cu el)? Sau chiar drept? Cu o linie dreaptă, totul este simplu: o minge pe o linie dreaptă este un segment. O linie dreaptă poate fi acoperită complet de segmente identice care se intersectează la capete. Cu această acoperire, funcția fa) este constantă și egală cu 1.
În avion, totul s-a dovedit a fi ceva mai complicat. Deci, să începem cu un set de puncte din avion. Spunem că această mulțime de puncte formează o rețea dacă putem găsi o pereche de vectori v și w astfel încât toate punctele să fie obținute ca N*v + M*w, unde N și M sunt numere întregi. În mod similar, o rețea poate fi definită într-un spațiu de dimensiuni arbitrar mari - sunt necesari doar mai mulți vectori.
Rețelele sunt importante din multe motive (de exemplu, este la locurile rețelei în care atomii preferă să fie localizați atunci când vine vorba de materiale solide), dar pentru matematicieni sunt bune pentru că sunt foarte convenabile de lucrat cu ele. Prin urmare, din toate ambalajele, se distinge separat o clasă în care centrele bilelor sunt situate la nodurile rețelei. Dacă ne limităm la acest caz, atunci există doar cinci tipuri de rețele pe plan. Cea mai densă împachetare a acestora este obținută într-un mod în care punctele sunt aranjate la vârfurile hexagoanelor obișnuite - ca fagurii la albine sau atomii din grafen. Acest fapt a fost dovedit de Lagrange în 1773. Mai precis: Lagrange nu era interesat de ambalaje dense, ci era interesat de formele pătratice. Deja în secolul al XX-lea a devenit clar că din rezultatele sale proforme rezultă un rezultat privind densitatea de împachetare pentru rețelele bidimensionale.
„În 1831, Ludwig Sieber a scris o carte despre formele pătratice ternare. În această carte, a fost înaintată o presupunere care este echivalentă cu conjectura Kepler pentru împachetarea rețelei. Sieber însuși a putut să demonstreze doar o formă slabă a ipotezei sale și să o testeze pentru un număr mare de exemple. Această carte a fost revizuită de marele Carl Friedrich Gauss. În această recenzie, Gauss oferă o dovadă cu adevărat uimitoare care se potrivește în 40 de linii. Aceasta, așa cum spunem acum, este o dovadă „olimpiadei” care este de înțeles pentru un elev de liceu. Mulți matematicieni au încercat să găsească un sens ascuns în demonstrația lui Gauss, dar până acum nimeni nu a reușit”, spune Oleg Musin.
Ce se întâmplă, totuși, dacă starea de plasă este abandonată? Aici lucrurile devin puțin mai complicate. Prima încercare cu drepturi depline de a trata acest caz a fost făcută de matematicianul norvegian Axel Thue. Dacă te uiți la pagina dedicată marții de pe Wikipedia, atunci nu vom găsi acolo nimic despre ambalaj strâns. Acest lucru este de înțeles - Thue a publicat două lucrări, care amintesc mai mult de eseuri decât de lucrări normale de matematică, în care, după cum i se părea, a rezolvat complet problema ambalării dense. Singura problemă a fost că nimeni, în afară de Thue însuși, nu a fost convins de raționamentul său.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Problema a fost în cele din urmă rezolvată de matematicianul maghiar Laszlo Fejes Toth în 1940. S-a dovedit, de altfel, că aranjarea cercurilor pe plan, realizând cea mai densă ambalare, este unică.
5.
Strâns legată de problema de ambalare apropiată este problema numărului de contact. Să luăm din nou în considerare un cerc pe un plan. Câte cercuri de aceeași rază pot fi aranjate în jurul lui, astfel încât să atingă toate cele centrale? Răspunsul este șase. Într-adevăr, să ne uităm la două cercuri vecine care sunt în contact cu cel central. Să ne uităm la distanța de la centrul cercului central până la centrele acestor două. Este egal 2R, Unde R este raza cercului. Distanța dintre centrele cercurilor adiacente nu depășește 2R. Calculând unghiul din centrul cercului central conform teoremei cosinusului, obținem că nu este mai mic de 60 de grade. Suma tuturor unghiurilor centrale ar trebui să dea 360 de grade, ceea ce înseamnă că nu pot exista mai mult de astfel de unghiuri 6. Și știm locația cercurilor cu șase unghiuri.
Numărul rezultat se numește numărul de contact al avionului. O întrebare similară poate fi pusă pentru spații de orice dimensiune. Simplitatea soluției din avion să nu inducă în eroare cititorul - problema numerelor de contact, dacă este mai simplă decât problema ambalării dense, nu este mult. Dar s-au obținut mai multe rezultate în această direcție.
Pentru spațiul tridimensional, numărul de contact a devenit subiectul unei dispute publice între Isaac Newton însuși și James Gregory în 1694. Primul credea că numărul de contact ar trebui să fie 12, iar al doilea - acel 13. Chestia este că nu este dificil să aranjați 12 bile în jurul celei centrale - centrele unor astfel de bile se află la vârfurile unui icosaedru obișnuit ( are doar 12 dintre ele). Dar aceste mingi nu se ating! La prima vedere, se pare că pot fi mutate astfel încât încă una, a 13-a minge, să se târască prin ele. Acest lucru este aproape adevărat: dacă bilele sunt ușor depărtate, făcând distanța dintre centrele lor și centrul centrului. 2R, doar daca 2.06R, atunci se vor potrivi deja 13 bile. Dar pentru atingerea mingii, Gregory a greșit - acest fapt a fost dovedit de van der Waarden și Schütte în 1953.
Pentru dimensiunea 4, această problemă a fost rezolvată de Oleg Mușin în 2003. Acolo, numărul de contact s-a dovedit a fi 24.
6.
Pe lângă aceste dimensiuni 1, 2, 3 și 4, numerele de contact sunt cunoscute și în dimensiunile 8 și 24. De ce aceste dimensiuni? Cert este că pentru ei există rețele foarte interesante numite E8 și zăbrelele Leech.
Deci, ne-am dat deja seama ce este o zăbrele. O caracteristică importantă a unei rețele pentru matematică este simetria acesteia. Prin simetrie, desigur, înțelegem nu senzații subiective (și cine, de exemplu, va prezenta această rețea în dimensiuni de patru?), Ci numărul de tipuri diferite de mișcări ale spațiului care traduc această rețea în sine. Să explicăm cu un exemplu.
Să luăm aceeași rețea hexagonală care realizează cea mai densă împachetare pe plan. Este ușor de înțeles că rețeaua se transformă în sine dacă este deplasată de vectorii v și w care erau în definiție. Dar, în plus, rețeaua poate fi rotită în jurul centrului hexagonului. Și există 6 astfel de rotații: 0, 60, 120, 180, 240, 300 de grade. În plus, rețeaua poate fi afișată simetric față de orice axă de simetrie a hexagonului compus. Un mic exercițiu arată că, fără a număra turele, obținem 12 transformări. În alte zăbrele, sunt mai puține astfel de transformări, așa că spunem că sunt mai puțin simetrice.
Acum, E8 și zăbrelele Leach sunt zăbrele incredibil de simetrice. E8 este situat într-un spațiu cu 8 dimensiuni. Această zăbrele a fost inventată de matematicienii ruși Korkin și Zolotarev în 1877. Este format din vectori, toate coordonatele cărora sunt numere întregi, iar suma lor este pară. O astfel de rețea, minus schimburi, are 696.729.600 de transformări. Grila Leach există în douăzeci și patru de dimensiuni. Este format din vectori cu coordonate întregi și condiția - suma coordonatelor minus orice coordonată înmulțită cu 4 este divizibilă cu 8. Are doar un număr colosal de simetrii - 8.315.553.613.086.720.000 de bucăți.
Deci, în spațiul de 8 și 24 de dimensiuni, bilele situate la vârfurile acestor rețele ating 240 și, respectiv, 19650 de bile. În mod surprinzător, acesta este exact ceea ce sunt numerele de contact (vezi punctul 5) pentru spațiile de dimensiunea corespunzătoare.
7.
Acum să revenim la cazul tridimensional și la ipoteza lui Kepler (cea despre care am vorbit chiar la început). Această sarcină s-a dovedit a fi de multe ori mai dificilă decât predecesorii ei.
Să începem cu faptul că există infinit de împachetari cu aceeași densitate ca și cea hexagonală densă. Am început să o așezăm, pornind de la bilele așezate la nodurile rețelei hexagonale. Dar o puteți face diferit: de exemplu, la primul nivel, pliați bilele într-un pătrat, adică astfel încât vârfurile bilelor să fie situate la nodurile unei rețele deja pătrate. În acest caz, fiecare minge atinge patru vecini. Al doilea strat, ca și în cazul celui hexagonal, va fi așezat de sus în golurile dintre bilele primului strat. Un astfel de pachet se numește ambalare cubică centrată pe față. Apropo, acesta este singurul cel mai dens pachet de zăbrele din spațiu.
La prima vedere, se pare că această garnitură ar trebui să fie mai proastă, deoarece golurile dintre cele patru bile din primul strat sunt mult mai mari (după senzații) decât golurile din garnitura densă hexagonală. Dar, când punem al doilea rând, bilele - tocmai pentru că golurile sunt mai mari - se scufundă mai adânc. Ca rezultat, după cum se dovedește, densitatea este aceeași ca înainte. De fapt, desigur, truc este că o astfel de împachetare se obține dacă se privește hexagonalul dintr-un unghi diferit.
Se pare că în spațiul tridimensional nu există rețele unice atât de frumoase precum, de exemplu, hexagonale pe un plan sau E8 în spațiul cu 8 dimensiuni. La prima vedere, este complet de neînțeles cum să cauți cel mai dens ambalaj în spațiul tridimensional.
8.
Rezolvarea ipotezei lui Kepler s-a născut în mai multe etape.
Mai întâi, Feiesz Toth, același maghiar care a rezolvat problema împachetării dense pe un avion, a exprimat următoarea presupunere: pentru a înțelege dacă împachetarea este densă sau nu, este suficient să luăm în considerare grupuri finite de bile. După cum am aflat, spre deosebire de avion, dacă mingea centrală atinge 12 vecini, atunci există decalaje între ei. Prin urmare, Feyesh Toth a propus să studieze grupurile formate dintr-o bilă centrală, vecinii ei și vecinii vecinilor.
Chestia este că această presupunere a fost făcută în anii 60 ai secolului trecut. Iar problema minimizării volumului unui astfel de cluster este, de fapt, o problemă de optimizare neliniară pentru o funcție de aproximativ 150 de variabile (fiecare bilă are un centru, este dată de trei coordonate). În linii mari, o astfel de funcție trebuie să găsească un minim în anumite condiții suplimentare. Pe de o parte, sarcina a devenit finită, dar, pe de altă parte, este complet insuportabilă din punct de vedere computațional pentru o persoană. Dar Feyesh Tot nu a fost supărat și a spus că foarte curând computerele vor avea puterea de calcul necesară. Ei vor ajuta.
Matematicienilor le-a plăcut foarte mult ipoteza lui Fejes Toth și au început să lucreze activ în această direcție. Până la începutul anilor 1990, estimările pentru densitatea maximă de împachetare a sferelor în spațiul tridimensional scădeau treptat. Ideea a fost că, la un moment dat, estimarea va fi egală cu densitatea împachetării cubice centrate pe față și, prin urmare, conjectura lui Kepler va fi dovedită. În acest timp, matematicianul Thomas Hales a publicat primele lucrări despre ambalare. Pentru muncă, a ales un obiect numit stele Delaunay (în onoarea matematicianului sovietic Boris Delaunay). A fost un pas îndrăzneț - în acel moment eficiența unor astfel de obiecte pentru studierea problemei de ambalare era îndoielnică.
După doar 8 ani de muncă asiduă, în 1998, Hales a finalizat demonstrarea conjecturii Kepler. El a redus demonstrația la o enumerare combinatorie finită a diferitelor structuri precum stelele Delaunay. Pentru fiecare astfel de structură combinatorie, a fost necesar să se maximizeze densitatea. Deoarece computerul funcționează în mod normal doar cu numere întregi (pur și simplu pentru că în matematică numerele sunt cel mai adesea fracții infinite), pentru fiecare caz Delaunay a construit automat o aproximare de sus folosind calcule raționale simbolice (numerele raționale, până la urmă, dacă nu le traduci în zecimală). fracții, doar câteva numere întregi). Cu această aproximare, a obținut o estimare superioară pentru densitatea maximă. Ca urmare, toate estimările s-au dovedit a fi mai mici decât cea dată de împachetarea cubică centrată pe față.
Mulți matematicieni au fost însă confuzi de situația în care a fost construit un computer pentru a construi o aproximare. Pentru a demonstra că nu a avut erori în partea computerizată a dovezii, Hales s-a ocupat de formalizare și verificare, deși și cu ajutorul unui computer. Această lucrare, la care a lucrat o echipă internațională destul de mare, a fost finalizată în august 2014. Nu s-au găsit erori în dovadă.
9.
Dovezile pentru dimensiunile 8 și 24 nu necesită computer și sunt ceva mai simple. Cu ceva timp în urmă s-au obținut estimări foarte bune pentru estimarea densității maxime de împachetare în aceste dimensiuni. Acest lucru a fost făcut de matematicienii Kohn și Elkies în 2003. Apropo, această estimare (se mai numește și granița Kohn-Elkies) cu câțiva ani înainte de Kohn și Elkies înșiși a fost găsită de matematicianul rus Dmitri Gorbaciov din Tula. Cu toate acestea, a publicat această lucrare în rusă și într-un jurnal Tula. Cohn și Elkies nu știau despre această lucrare și, când li s-a spus, ei, apropo, s-au referit la ea.
„Granița Kohn-Elkies a apărut pe baza lucrării lui Jean Frederic Delsarte și a minunaților noștri matematicieni Grigory Kabatyansky și Vladimir Levenshtein. Estimarea asimptotică (în ceea ce privește dimensiunea spațiului) pentru densitatea împachetărilor de bile în spațiul n-dimensional, obținută de Kabatyansky și Levenshtein, a fost „ținută” din 1978. Apropo, acesta este Levenshtein și, în mod independent, americanii Odlyzhko și Sloan au rezolvat problema numerelor de contact în dimensiunile 8 și 24 în 1979. Au folosit direct metoda Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein”, spune Oleg Musin.
Estimările Kohn și Elkies sunt de fapt corecte pentru toate ambalajele, dar în dimensiunile 8 și 24 oferă o aproximare foarte bună. De exemplu, estimarea matematicianului este doar cu aproximativ 0,0001 la sută mai mare decât densitatea E8 în opt dimensiuni. Prin urmare, a apărut sarcina de a îmbunătăți această estimare - la urma urmei, soluția, s-ar părea, este deja în apropiere. Mai mult, în 2012, același Dmitri Gorbaciov a aplicat (și a câștigat) pentru un grant de la Fundația Dynasty. În cerere, el a declarat în mod explicit că a plănuit să demonstreze densitatea de ambalare a lui E8 în spațiu cu opt dimensiuni.
Ei spun că un alt matematician, Andrei Bondarenko, l-a determinat pe Gorbaciov să facă o afirmație atât de îndrăzneață, de fapt, un mentor, unul dintre supraveghetorii științifici ai Marinei Vyazovskaya, cel care a rezolvat problema pentru spațiul cu 8 dimensiuni (și a fost coautor pentru spațiu cu 24 de dimensiuni). Bondarenko îi mulțumește la sfârșitul lucrării sale revoluționare. Deci, Bondarenko și Gorbaciov au eșuat, dar Vyazovskaya a reușit. De ce?
Marina Vyazovskaya
Universitatea Humboldt din Berlin
Estimarea Kohn-Elkies leagă densitatea de împachetare cu o proprietate a unei funcții dintr-o mulțime adecvată. În linii mari, se construiește o estimare pentru fiecare astfel de funcție. Adică, sarcina principală este să găsim o funcție potrivită, astfel încât estimarea rezultată să se dovedească a fi ceea ce avem nevoie. Deci, ingredientul cheie în construcția Vyazovskaya sunt formele modulare. Le-am menționat deja în legătură cu demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat, pentru care . Acesta este un obiect destul de simetric care apare constant în diferite ramuri ale matematicii. Acest set de instrumente a făcut posibilă găsirea funcției dorite.
În spațiul de 24 de dimensiuni, estimarea a fost obținută în același mod. Această lucrare are mai mulți autori, dar se bazează pe aceeași realizare a lui Vyazovskaya (deși, desigur, ușor adaptată). Apropo, un alt fapt remarcabil este dovedit în lucrare: zăbrelele Leach implementează o ambalare periodică unică, cea mai densă. Adică, toate celelalte ambalaje periodice au o densitate mai mică decât aceasta. Potrivit lui Oleg Musin, un rezultat similar pentru ambalajele periodice poate fi adevărat în dimensiunile 4 și 8.
10.
Din punct de vedere al aplicațiilor, problema împachetării dense în spații cu dimensiuni mari este, în primul rând, problema codării optime cu corectarea erorilor.
Imaginează-ți că Alice și Bob încearcă să comunice folosind semnale radio. Alice spune că îi va trimite lui Bob un semnal format din 24 de frecvențe diferite. Bob va măsura amplitudinea fiecărei frecvențe. Ca urmare, el va obține un set de 24 de amplitudini. Ei, desigur, stabilesc un punct în spațiul cu 24 de dimensiuni - la urma urmei, sunt 24 dintre ei. Bob și Alice iau, să zicem, un dicționar Dahl și atribuie fiecărui cuvânt propriul set de 24 de amplitudini. Se pare că am codificat cuvintele din dicționarul lui Dahl cu puncte de spațiu cu 24 de dimensiuni.
Într-o lume ideală, nu mai este nevoie de nimic. Dar canalele reale de transmisie a datelor adaugă zgomot, ceea ce înseamnă că în timpul decodării, Bob poate obține un set de amplitudini care nu se potrivesc cu niciunul dintre cuvinte. Dar apoi se poate uita la cuvântul cel mai apropiat de versiunea descifrată. Dacă există unul, atunci probabil că este. Pentru a putea face intotdeauna acest lucru, este necesar ca punctele spatiului sa fie situate cat mai indepartate. Adică, de exemplu, dacă nivelul de zgomot este de așa natură încât este introdusă o distorsiune care schimbă rezultatul cu un vector de lungime de cel mult unu, atunci două puncte de cod trebuie să fie exact la cel puțin două distanțe. Apoi, chiar și cu distorsiuni, rezultatul lui Bob va fi întotdeauna aproape de un singur cuvânt - cel de care este nevoie.
În același timp, nici nu vreau să umflem foarte multe cuvinte - avem o gamă destul de limitată în care putem transmite informații. Să spunem că ar fi ciudat (și nu foarte eficient) dacă Alice și Bob ar începe să comunice prin radiografii. Prin urmare, în mod ideal, distanța dintre cuvintele cod adiacente ar trebui să fie exact două. Și asta înseamnă că cuvintele sunt situate la vârfurile bilelor cu raza 1, dens împachetate într-un spațiu de 24 de dimensiuni.
Am realizat recent un simplu ray tracer pentru scene 3D. A fost scris în JavaScript și nu a fost foarte rapid. Pentru distracție, am scris un raytracer în C și i-am dat un mod de randare 4D - în acest mod poate proiecta o scenă 4D pe un ecran plat. Sub tăietură veți găsi câteva videoclipuri, câteva imagini și un cod ray tracer.
De ce să scrieți un program separat pentru a desena o scenă 4D? Puteți lua un ray tracer obișnuit, puneți o scenă 4D pe el și obțineți o imagine interesantă, dar această imagine nu va fi deloc o proiecție a întregii scene pe ecran. Problema este că scena are 4 dimensiuni, iar ecranul este doar 2, iar când trasorul de raze trage raze prin ecran, acesta acoperă doar un subspațiu tridimensional și doar o secțiune tridimensională a unei scene cu patru dimensiuni va să fie vizibil pe ecran. O analogie simplă: încercați să proiectați o scenă 3D pe un segment 1D.
Se pare că un observator tridimensional cu viziune bidimensională nu poate vedea întreaga scenă cu patru dimensiuni - în cel mai bun caz, va vedea doar o mică parte. Este logic să presupunem că este mai convenabil să privim o scenă 4-dimensională cu viziune 3-dimensională: un anumit observator 4-dimensional se uită la un obiect și se formează o proiecție tridimensională pe analogul său tridimensional al retină. Programul meu va urmări această proiecție 3D. Cu alte cuvinte, trazatorul meu de raze descrie ceea ce vede un observator 4D cu viziunea sa 3D.
Caracteristici ale vederii 3D
Imaginează-ți că te uiți la un cerc de hârtie care se află chiar în fața ochilor tăi - în acest caz, vei vedea un cerc. Dacă puneți acest cerc pe masă, veți vedea o elipsă. Dacă te uiți la acest cerc de la distanță, va părea mai mic. În mod similar, pentru vederea tridimensională: o minge cu patru dimensiuni va apărea observatorului ca un elipsoid tridimensional. Mai jos sunt câteva exemple. Pe primul se rotesc 4 cilindri identici reciproc perpendiculari. Pe al doilea, cadrul unui cub 4-dimensional se rotește.
Să trecem la reflecții. Când te uiți la o minge cu o suprafață reflectorizante (un decor de Crăciun, de exemplu), reflexia este ca și cum ar fi desenată pe suprafața sferei. Tot pentru viziunea 3D: te uiți la o minge 4D și reflexiile sunt desenate ca pe suprafața ei. Abia acum suprafața unei mingi cu 4 dimensiuni este tridimensională, așa că atunci când ne uităm la o proiecție tridimensională a mingii, reflexiile vor fi în interior, nu la suprafață. Dacă facem ca trasorul de raze să emită un fascicul și găsim cea mai apropiată intersecție cu proiecția 3D a mingii, atunci vom vedea un cerc negru - suprafața proiecției 3D va fi neagră (așa rezultă din formulele Fresnel). Arata cam asa:
Pentru viziunea 3D, aceasta nu este o problemă, deoarece pentru ea este vizibilă întreaga bila 3D și punctele interne sunt vizibile la fel ca și cele de la suprafață, dar trebuie să transmit cumva acest efect pe un ecran plat, așa că am făcut un suplimentar modul raytracer atunci când consideră că obiectele tridimensionale sunt ca fumurie: fasciculul trece prin ele și pierde treptat energie. Se dovedește așa:
Același lucru este valabil și pentru umbre: nu cad la suprafață, ci în interiorul proiecțiilor 3D. Se dovedește că în interiorul unei bile tridimensionale - o proiecție a unei bile 4-dimensionale - poate exista o zonă întunecată sub forma unei proiecții a unui cub 4-dimensional, dacă acest cub aruncă o umbră asupra bilei. Nu mi-am dat seama cum să transmit acest efect pe un ecran plat.
Optimizări
Raytracing o scenă 4D este mai dificilă decât una 3D: în cazul 4D, trebuie să găsiți culorile unei zone 3D, nu a uneia plane. Dacă scrieți un ray tracer „pe frunte”, viteza acestuia va fi extrem de mică. Există câteva optimizări simple care pot reduce timpul de randare pentru o imagine de 1000x1000 la câteva secunde.
Primul lucru care vă atrage atenția când vă uitați la astfel de imagini este o grămadă de pixeli negri. Dacă înfățișați zona în care fasciculul de urmărire a razei lovește cel puțin un obiect, va arăta astfel:
Puteți vedea că aproximativ 70% sunt pixeli negri și că zona albă este conectată (este conectată deoarece scena 4D este conectată). Puteți calcula culorile pixelilor din ordine, dar ghiciți un pixel alb și faceți o umplere din el. Acest lucru va urmări doar pixelii albi + câțiva pixeli negri care reprezintă marginea de 1 pixel a zonei albe.
A doua optimizare se obține din faptul că figurile - bile și cilindri - sunt convexe. Aceasta înseamnă că pentru oricare două puncte dintr-o astfel de figură, segmentul care le conectează se află, de asemenea, în întregime în interiorul figurii. Dacă raza intersectează un obiect convex, în timp ce punctul A se află în interiorul obiectului, iar punctul B este în exterior, atunci restul razei din partea B nu va intersecta obiectul.
Încă câteva exemple
Aici cubul se rotește în jurul centrului. Mingea nu atinge cubul, dar pe o proiecție 3D se pot intersecta.
În acest videoclip, cubul este staționar, iar un observator cu 4 dimensiuni zboară prin cub. Acel cub tridimensional care pare mai mare este mai aproape de observator, iar cel care este mai mic este mai departe.
Mai jos este rotația clasică în planurile axelor 1-2 și 3-4. O astfel de rotație este dată de produsul a două matrice Givens.
Cum funcționează ray tracer-ul meu
Codul este scris în ANSI C 99. Îl puteți descărca. Am testat pe ICC+Windows și GCC+Ubuntu.
Programul acceptă un fișier text cu o descriere a scenei ca intrare.
Scenă = ( obiecte = -- listă de obiecte din scenă ( grup -- grup de obiecte poate avea o transformare afină atribuită ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), lumini = -- listă de lumini ( light((0.2, 0,1, 0,4, 0,7), 1), lumină((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0,1 -- raza cilindrului axiscyl1 = cilindru ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, material = (culoare = (1, 0, 0))) axiscyl2 = cilindru ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, material = (culoare = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = cilindru ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, material = (culoare = (0) , 0, 1)) ) axiscyl4 = cilindru ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, material = (culoare = (1, 1, 0)) )
După aceea, analizează această descriere și creează o scenă în reprezentarea sa internă. În funcție de dimensiunea spațiului, redă scena și obține fie o imagine cu patru dimensiuni ca mai sus în exemple, fie una obișnuită tridimensională. Pentru a transforma un trasator de raze 4D într-un urmăritor de raze 3D, trebuie să modificați parametrul vec_dim de la 4 la 3 în fișierul vector.h.De asemenea, îl puteți seta în parametrii liniei de comandă pentru compilator. Compilarea la GCC:
cd /acasă/ nume de utilizator/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Run test:
/Acasă/ nume de utilizator/rt/rt cube4d.scenă cube4d.bmp
Dacă compilați raytracer-ul cu vec_dim = 3, atunci va produce un cub obișnuit pentru scena cube3d.scene .
Cum a fost realizat videoclipul
Pentru a face acest lucru, am scris un script Lua care a calculat matricea de rotație pentru fiecare cadru și l-am atașat la scena de referință.
Axe = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- axa 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- axa 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- axa 3 (0, 0) , -0,358, 0,933) -- axa 4 ) scena = ( obiecte = ( grup ( axe = axe, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), )
Obiectul de grup, pe lângă lista de obiecte, are doi parametri de transformare afine: axe și origine. Prin schimbarea axelor, puteți roti toate obiectele din grup.
Scriptul a numit apoi raytracerul compilat. Când toate cadrele au fost randate, scenariul a numit mencoder și a colectat videoclipuri din imagini individuale. Videoclipul a fost realizat în așa fel încât să poată fi pus pe repetare automată - adică. Sfârșitul videoclipului este același cu începutul. Scriptul rulează astfel:
Luajit animate.lua
Și în sfârșit, în această arhivă există 4 fișiere avi 1000 × 1000. Toate sunt ciclice - o puteți pune pe repetare automată și obțineți o animație normală.
Etichete:
- ray tracer
- spațiu cu patru dimensiuni
Chiar și când eram student în primul an, m-am certat aprins cu unul dintre colegii mei de clasă. El a spus că un cub cu patru dimensiuni nu poate fi reprezentat sub nicio formă și am asigurat că poate fi reprezentat destul de clar. Apoi am făcut chiar și o proiecție a unui hipercub în spațiul nostru tridimensional din agrafe... Dar să vorbim despre totul în ordine.
Ce este un hipercub și spațiu cu patru dimensiuni
Există trei dimensiuni în spațiul nostru obișnuit. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că trei linii reciproc perpendiculare pot fi indicate în el. Adică, pentru orice linie, puteți găsi o a doua linie perpendiculară pe prima, iar pentru o pereche, puteți găsi o a treia linie perpendiculară pe primele două. Nu se va mai putea găsi a patra dreaptă perpendiculară pe cele trei existente.
Spațiu 4D diferă de a noastră doar prin faptul că are încă o direcție suplimentară. Dacă aveți deja trei linii reciproc perpendiculare, atunci o puteți găsi pe a patra, astfel încât să fie perpendiculară pe toate trei.
hipercub este doar un cub în patru dimensiuni.
Este posibil să ne imaginăm un spațiu cu patru dimensiuni și un hipercub?
Această întrebare este asemănătoare cu întrebarea: „Este posibil să ne imaginăm Cina cea de Taină privind pictura cu același nume (1495-1498) de Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Pe de o parte, desigur, nu vă veți imagina ce a văzut Iisus (stă cu fața către privitor), mai ales că nu veți simți mirosul grădinii în afara ferestrei și gustul mâncării de pe masă, nu veți auzi păsările. cântând... Nu veți obține o imagine completă a ceea ce s-a întâmplat în acea seară, dar nu se poate spune că nu veți învăța nimic nou și că poza nu prezintă niciun interes.
Situația este similară cu întrebarea hipercubului. Este imposibil să-l imaginezi pe deplin, dar te poți apropia de a înțelege ce este.
Construirea unui hipercub
cub 0-dimensional
Să începem de la început - cu un cub 0-dimensional. Acest cub conține 0 fețe reciproc perpendiculare, adică este doar un punct.
cub unidimensional
În spațiul unidimensional, avem o singură direcție. Deplasăm punctul în această direcție și obținem un segment.
Acesta este un cub unidimensional.
cub bidimensional
Avem o a doua dimensiune, ne deplasăm cubul (segmentul) unidimensional în direcția celei de-a doua dimensiuni și obținem un pătrat.
Este un cub în două dimensiuni.
cub tridimensional
Odată cu apariția celei de-a treia dimensiuni, facem același lucru: deplasăm pătratul și obținem cubul tridimensional obișnuit.
cub 4-dimensional (hipercub)
Acum avem o a patra dimensiune. Adică avem la dispoziție o direcție perpendiculară pe toate cele trei anterioare. Să-l folosim în același mod. Cubul 4D va arăta așa.
Desigur, cuburile tridimensionale și patrudimensionale nu pot fi reprezentate pe un plan de ecran bidimensional. Ceea ce am desenat sunt proiecții. Vom vorbi despre proiecții puțin mai târziu, dar deocamdată, câteva fapte și cifre simple.
Numărul de vârfuri, muchii, fețe
Rețineți că fața hipercubului este cubul nostru 3D obișnuit. Dacă te uiți cu atenție la desenul hipercubului, poți găsi de fapt opt cuburi.
Proiecții și viziune a unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni
Câteva cuvinte despre viziune
Trăim într-o lume tridimensională, dar o vedem ca fiind bidimensională. Acest lucru se datorează faptului că retina ochilor noștri este situată într-un plan care are doar două dimensiuni. De aceea suntem capabili să percepem imagini bidimensionale și să le găsim similare cu realitatea.
(Desigur, datorită acomodării, ochiul poate estima distanța până la un obiect, dar acesta este deja un efect secundar asociat cu optica încorporată în ochiul nostru.)
Ochii unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni trebuie să aibă o retină tridimensională. O astfel de creatură poate vedea imediat o figură tridimensională complet: toate fețele și interiorul ei. (În același mod, putem vedea o figură bidimensională, toate fețele și interiorul ei.)
Astfel, cu ajutorul organelor noastre de vedere, nu suntem capabili să percepem un cub cu patru dimensiuni în același mod în care l-ar percepe un locuitor al unui spațiu cu patru dimensiuni. Vai. Rămâne doar să ne bazăm pe ochiul minții și pe fantezia, care, din fericire, nu au limitări fizice.
Cu toate acestea, când înfățișez un hipercub pe un plan, trebuie pur și simplu să-l proiectez într-un spațiu bidimensional. Țineți cont de acest lucru atunci când studiați desenele.
Intersecții de margine
Desigur, marginile hipercubului nu se intersectează. Intersecțiile apar doar în cifre. Cu toate acestea, acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză, deoarece marginile unui cub obișnuit din figuri se intersectează și ele.
Lungimea coastelor
Este demn de remarcat faptul că toate fețele și marginile unui cub cu patru dimensiuni sunt egale. În figură, ele nu sunt egale doar pentru că sunt situate la unghiuri diferite față de direcția de vedere. Cu toate acestea, este posibil să desfășori hipercubul astfel încât toate proiecțiile să aibă aceeași lungime.
Apropo, opt cuburi sunt clar vizibile în această figură, care sunt fețele hipercubului.
Hypercube înăuntru gol
Este greu de crezut, dar între cuburile care delimitau hipercubul, există ceva spațiu (un fragment de spațiu cu patru dimensiuni).
Pentru a înțelege mai bine acest lucru, să luăm în considerare o proiecție 2D a unui cub 3D obișnuit (l-am făcut intenționat oarecum schițat).
Este posibil să ghicim din asta că există ceva spațiu în interiorul cubului? Da, dar numai cu imaginație. Ochiul nu vede acest spațiu.
Acest lucru se datorează faptului că marginile situate în a treia dimensiune (care nu poate fi reprezentată într-un desen plat) s-au transformat acum în segmente situate în planul desenului. Nu mai oferă volum.
Pătratele care delimitau spațiul cubului s-au suprapus. Dar vă puteți imagina că în figura originală (cubul tridimensional) aceste pătrate erau situate în planuri diferite și nu unul peste altul în același plan, așa cum s-a dovedit în figură.
Același lucru este valabil și pentru hipercub. Fețele-cub ale hipercubului nu se suprapun de fapt, așa cum ni se pare pe proiecție, ci sunt situate în spațiu cu patru dimensiuni.
Alezoare
Deci, un rezident al spațiului cu patru dimensiuni poate vedea un obiect tridimensional simultan din toate părțile. Putem vedea un cub tridimensional din toate părțile în același timp? Cu ochiul, nu. Dar oamenii au venit cu o modalitate de a reprezenta toate fețele unui cub tridimensional în același timp pe un desen plat. O astfel de imagine se numește măturare.
Desfășurarea unui cub 3D
Probabil că toată lumea știe cum se formează desfășurarea unui cub tridimensional. Acest proces este prezentat în animație.
Pentru claritate, marginile fețelor cubului sunt translucide.
Trebuie remarcat faptul că suntem capabili să percepem această imagine bidimensională doar datorită imaginației. Dacă luăm în considerare fazele derulării dintr-un punct de vedere pur bidimensional, atunci procesul va părea ciudat și deloc vizual.
Se pare că apariția treptată a mai întâi contururile pătratelor distorsionate și apoi răspândirea lor la locul lor odată cu adoptarea simultană a formei necesare.
Dacă priviți un cub care se desfășoară în direcția uneia dintre fețele sale (din acest punct de vedere, cubul arată ca un pătrat), atunci procesul de formare a unei dezvoltări este și mai puțin clar. Totul arată ca și cum ar fi târât din pătrate din pătratul inițial (nu un cub desfășurat).
Dar nu vizual mătura numai pentru ochiul.
Cum să înțelegem spațiul 4-dimensional?
Doar datorită imaginației, multe informații pot fi culese din ea.
Desfășurarea unui cub 4D
Este pur și simplu imposibil să faci procesul animat de desfășurare a hipercubului cel puțin oarecum vizual. Dar acest proces poate fi imaginat. (Pentru a face acest lucru, trebuie să îl priviți prin ochii unei ființe cu patru dimensiuni.)
Răspândirea arată așa.
Toate cele opt cuburi care delimitează hipercubul sunt vizibile aici.
Fețele sunt vopsite cu aceleași culori, care ar trebui să fie aliniate la pliere. Fețele pentru care cele pereche nu sunt vizibile sunt lăsate gri. După pliere, fața de sus a cubului de sus ar trebui să se alinieze cu fața de jos a cubului de jos. (În mod similar, dezvoltarea unui cub tridimensional este prăbușită.)
Vă rugăm să rețineți că după pliere, toate fețele celor opt cuburi vor intra în contact, închizând hipercubul. Și, în sfârșit, în timp ce reprezintă procesul de pliere, nu uitați că la pliere, cuburile nu sunt suprapuse, ci se înfășoară în jurul unei anumite zone (hipercubice) cu patru dimensiuni.
Salvador Dali (1904-1989) a descris crucificarea de multe ori, iar crucile apar în atât de multe dintre picturile sale. Tabloul Răstignirea (1954) folosește un hipercub.
Spațiu-timp și spațiu euclidian cu patru dimensiuni
Sper că ai reușit să-ți imaginezi hipercubul. Dar ați reușit să vă apropiați de înțelegerea modului în care funcționează spațiul-timp cu patru dimensiuni în care trăim? Vai, nu chiar.
Aici am vorbit despre spațiul euclidian cu patru dimensiuni, dar spațiu-timp are proprietăți foarte diferite. În special, la orice rotație, segmentele rămân întotdeauna înclinate față de axa timpului, fie la un unghi mai mic de 45 de grade, fie la un unghi mai mare de 45 de grade.
Am dedicat o serie de note proprietăților spațiu-timpului.
imagine 3D
Lumea este tridimensională. Imaginea sa este bidimensională. O sarcină importantă a picturii și acum a fotografiei este de a transmite tridimensionalitatea spațiului. Romanii stăpâneau deja unele tehnici, apoi au fost uitați și au început să revină la pictura clasică odată cu Renașterea.
Principala tehnică de creare a spațiului tridimensional în pictură este perspectiva. Șine de cale ferată, care se îndepărtează de privitor, înguste vizual. În pictură, șinele pot fi îngustate fizic. În fotografie, perspectiva apare automat: camera va fotografia șinele la fel de înguste pe cât le vede ochiul. Totuși, nu-l lăsa aproape să se închidă: nu va mai arăta ca o perspectivă, ci o figură ciudată; între șine, părțile laterale ale străzii, malurile râului, trebuie menținut un decalaj vizibil.
Este important să înțelegem că perspectiva liniară este cel mai primitiv și mai realist mod de a transmite lumea.
Post navigare
Nu întâmplător apariția ei este asociată cu decorul de teatru (Florensky, Reverse Perspective). Convenționalitatea, ușurința de transfer a unei scene de teatru de mică adâncime este foarte potrivită pentru fotografie, lipsită de o varietate de tehnici disponibile în pictură.
Există perspective care sunt mult mai interesante decât liniare. În lucrările maeștrilor chinezi există o perspectivă plutitoare, când obiectele sunt înfățișate simultan de jos, deasupra și în față. Nu a fost o greșeală tehnică a artiștilor incompetenți: legendarul autor al acestei tehnici, Guo Xi, a scris că o astfel de afișare permite să realizezi lumea în totalitatea ei. Tehnica picturii icoanelor rusești este similară, în care privitorul poate vedea fața și spatele personajului în același timp. O metodă interesantă de pictură a icoanelor, întâlnită și în rândul artiștilor vest-europeni, a fost perspectiva inversă, în care obiectele îndepărtate, dimpotrivă, sunt mai mari decât cele apropiate, subliniindu-le importanța. Abia în zilele noastre s-a stabilit că o astfel de perspectivă este corectă: spre deosebire de obiectele îndepărtate, primul plan este într-adevăr perceput în perspectivă inversă (Rauschenbach). Folosind Photoshop, puteți obține perspectivă inversă prin mărirea obiectelor de fundal. Pentru un spectator obișnuit cu legile fotografiei, o astfel de imagine va părea ciudat.
Introducerea colțului clădirii în cadru, de la care pereții diverg în ambele direcții, creează o aparență de perspectivă izometrică. Creierul înțelege că pereții sunt în unghi drept și așează restul imaginii în consecință. O astfel de perspectivă este mai dinamică decât cea frontală și mai naturală pentru prim-plan. Doar introduceți colțurile de capăt ale obiectelor și clădirilor apropiate în cadru.
Datorită extinderii, perspectiva izometrică este majoră, ceea ce rareori este potrivit pentru un portret clasic. Perspectiva liniară, datorită îngustării, transmite mai bine emoții minore.
În faza de fotografiere, fotograful are la dispoziție o serie de instrumente pentru a sublinia perspectiva. Obiectele de lățime egală (pisă, stradă, coloane, brazde) care merg în depărtare, prin îngustarea și chiar pur și simplu îndepărtarea lor, indică privitorului tridimensionalitatea spațiului. Efectul este mai puternic când fotografiați dintr-un unghi mic pentru a crește distorsiunea perspectivei. Acest lucru este suficient pentru fotografierea peisajului, dar cu o adâncime mică a imaginii de fotografiere interioară, efectul este greu de observat. Poate fi îmbunătățit puțin în post-procesare prin îngustarea vârfului imaginii (Transform Perspective). Cu toate acestea, chiar și într-un peisaj, o perspectivă hipertrofiată poate părea interesantă.
Adâncimea poate fi explicită în sensul imaginii: clădirile sunt separate de o stradă sau de un râu. Diagonala accentuează tridimensionalitatea; ca un pod peste un râu.
Obiectele de o dimensiune cunoscută privitorului din fundal stabilesc scara și, în consecință, formează perspectiva. În fotografia de peisaj, un astfel de subiect poate fi o mașină, dar în fotografia de portret, încercați să vă îndoiți și să vă bagați piciorul sub scaun (departe de cameră), astfel încât, deși rămâne vizibil, să pară mai mic. Puteți chiar să reduceți ușor acest picior în post-procesare.
Ornamentul transmite perspectivă prin reducerea vizuală a elementelor. Un exemplu ar fi plăcile mari pe podea, care marchează linii pe drum.
Există o tehnică a primului plan hipertrofiat. Disproporționat de mare, creează profunzime imaginii. Comparând scara primului plan și a modelului, ochiul ajunge la concluzia că modelul este mult mai departe decât pare. Hipertrofia ar trebui să rămână subtilă, astfel încât imaginea să nu fie percepută ca o eroare. Această tehnică este potrivită nu numai pentru post-procesare, ci și pentru fotografiere: distorsionați proporțiile când fotografiați cu un obiectiv de 35 sau 50 mm. Fotografierea cu un obiectiv cu unghi larg întinde spațiul, sporindu-i tridimensionalitatea datorită încălcării proporțiilor. Efectul este mai puternic dacă fotografiați modelul de la mică distanță, dar aveți grijă la proporțiile grotești: doar autorii de imagini religioase pot înfățișa o persoană mai mare decât o clădire.
Crossover-ul funcționează excelent. Dacă mărul acoperă parțial para, atunci creierul nu se va înșela: mărul este în fața perei. Modelul, care acoperă parțial mobilierul, creează astfel adâncimea interiorului.
Alternarea petelor luminoase și întunecate conferă și profunzime imaginii. Creierul știe din experiență că obiectele din apropiere sunt aproximativ egal luminate, așa că interpretează obiectele iluminate diferit ca fiind la distanțe diferite. Pentru acest efect, petele alternează în direcția axei perspectivei - adânc în imagine, nu peste ea. De exemplu, atunci când fotografiați un model întins departe de cameră într-un cadru întunecat, puneți lumini în apropierea feselor și lângă picioare. Puteți lumina/întuneca zonele în post-procesare.
O succesiune de obiecte din ce în ce mai întunecate este percepută ca fiind în scădere. Umbrind treptat obiectele de-a lungul liniei active, puteți obține un sentiment subtil de perspectivă. În mod similar, adâncimea este transmisă prin atenuarea luminii: treceți o dâră de lumină peste mobilier sau pe podea.
O imagine tridimensională poate fi obținută nu numai datorită luminii, ci și a contrastului de culoare. Această tehnică era cunoscută de pictorii flamanzi, care puneau pete colorate strălucitoare pe naturile lor moarte. Rodia roșie și lămâia galbenă una lângă alta vor arăta tridimensional chiar și în iluminarea frontală plată. Vor ieși în evidență deosebit de bine pe fundalul strugurilor violet: o culoare caldă pe un fundal rece. Suprafețele colorate strălucitoare ies bine din întuneric chiar și cu lumina slabă tipică unei naturi moarte. Contrastul culorilor funcționează mai bine cu culorile primare roșu, galben, albastru, mai degrabă decât cu nuanțe.
Pe un fundal negru, galbenul vine înainte, albastrul se ascunde înapoi. Pe un fundal alb - dimpotrivă. Saturația culorii sporește acest efect. De ce se întâmplă asta? Culoarea galbenă nu este niciodată întunecată, așa că creierul refuză să creadă că un obiect galben poate fi scufundat într-un fundal întunecat, neluminat. Albastrul, pe de altă parte, este întunecat.
Îmbunătățirea perspectivei în post-procesare se reduce la simularea percepției atmosferice: obiectele îndepărtate ni se par mai ușoare, neclare, cu contrast redus în luminozitate, saturație și ton.
Pe lângă distanțe lungi, efectele atmosferice arată în mod natural în ceața dimineții, ceața, barul fumuriu. Luați în considerare vremea: într-o zi înnorată sau la amurg, nu poate exista o diferență semnificativă între prim-plan și fundal.
Cel mai puternic dintre factori este contrastul în luminozitate. În setări, acesta este contrastul obișnuit. Reduceți contrastul obiectelor îndepărtate, creșteți contrastul primului plan - iar imaginea devine bombată. Nu este vorba despre contrastul dintre prim-plan și fundal, ci despre contrastul fundalului, care ar trebui să fie mai mic decât contrastul primului plan. Această metodă este potrivită nu numai pentru peisaje și fotografie de gen, ci și pentru portretele de studio: ridicați contrastul față de față a feței, reduceți contrastul pe păr și pomeți, haine. Filtrele pentru portrete fac ceva similar, estompează pielea subiectului și lăsând ochii și buzele ascuțite.
Ajustarea contrastului este cea mai simplă modalitate de a face postprocesarea 3D a unei imagini. Spre deosebire de alte procese, privitorul va observa cu greu modificările, ceea ce va păstra naturalețea maximă.
Încețoșarea este similară cu reducerea contrastului, dar sunt procese diferite. Imaginea poate avea un contrast scăzut, rămânând în același timp clară. Datorită adâncimii limitate de câmp, estomparea obiectelor îndepărtate rămâne cea mai populară modalitate de a transmite tridimensionalitatea în fotografie și este ușor să o îmbunătățiți prin estomparea fundalului în post-procesare. Prin urmare, mai puține detalii ar trebui plasate în fundal - creierul nu se așteaptă la obiecte distinse în depărtare. Între timp, scăderea contrastului corespunde mai bine percepției naturale: munții îndepărtați sunt văzuți cu contrast scăzut, nu încețoșați, deoarece scanând peisajul, ochiul se reorientează constant, este străin de problema profunzimii câmpului. Prin estomparea fundalului, puteți, în același timp, să clarificați primul plan. În plus, în prim-plan, puteți îmbunătăți liniile imaginii (filtru de trecere înaltă sau claritate). Claritatea ridicată a primului plan explică umflarea caracteristică a imaginii lentilelor de înaltă calitate. Atenție: de dragul unei ușoare creșteri a tridimensionalității, puteți face imaginea prea grea.
Obiectele mai ușoare par mai îndepărtate. Acest lucru se datorează faptului că în natură vedem obiecte îndepărtate prin grosimea aerului care împrăștie lumina; munții îndepărtați par strălucitori. Prin urmare, în fotografia de peisaj, trebuie să fiți atenți la poziția obiectelor luminoase în prim plan.
Luminează obiectele îndepărtate. Cu cât sunt mai departe, cu atât se contopesc mai mult cu luminozitatea și tonul cerului. Vă rugăm să rețineți că obiectele orizontale (pământ, mare) sunt mai bine iluminate decât cele verticale (pereți, copaci), așa că nu exagerați cu luminarea acestora din urmă. În orice caz, obiectele ar trebui să rămână vizibil mai puțin strălucitoare decât cerul.
Ei bine, dacă observați că strălucirea este o altă modalitate de a reduce contrastul în luminozitatea fundalului. Închideți puțin primul plan pentru a spori efectul de umflare.
S-ar părea că în interior este adevărat invers. Dacă pe stradă ochiul este obișnuit cu faptul că distanța este lumină, atunci în cameră lumina este adesea concentrată pe persoană, iar interiorul este scufundat în întuneric; creierul este obișnuit să ilumineze în prim-plan, nu în fundal.
În imaginile interioare cu o adâncime mică a scenei, spre deosebire de imaginile de peisaj, modelul iluminat iese dintr-un fundal întunecat. Există însă și un factor opus: 99% din evoluția sa, omul a observat perspectiva într-o zonă deschisă, iar odată cu apariția camerelor, creierul nu avusese încă timp să se reorganizeze. Vermeer a preferat un fundal deschis pentru portrete, iar acestea sunt cu adevărat convexe. Iluminarea unui fundal vertical, recomandată în fotografie, nu numai că separă modelul de acesta, dar și, prin luminarea fundalului, conferă imaginii o ușoară tridimensionalitate. Aici ne confruntăm cu faptul că creierul analizează locația obiectelor în funcție de mai mulți factori, iar aceștia pot fi în conflict.
Iluminatul studioului arată interesant, în care punctele de lumină se află pe zonele modelului îndepărtate de cameră. De exemplu, pieptul care este mai departe de cameră este evidențiat.
Reduceți saturația culorii pe obiectele îndepărtate: datorită grosimii aerului care ne separă, munții îndepărtați sunt desaturați aproape până la nivelul monocromului și acoperiți cu o ceață albastră. Saturația primului plan poate fi crescută.
Deoarece galbenul este deschis și albastrul și roșu sunt închise, contrastul de culoare este, de asemenea, un contrast de luminozitate.
Desaturarea unui fundal îndepărtat, nu-l lăsa să dispară din vedere. Adesea, dimpotrivă, trebuie să creșteți saturația fundalului pentru a-l scoate în evidență. Acest lucru este mai important decât tridimensionalitatea.
Multe sfaturi pentru fotografia 3D se referă la contrastul temperaturii. De fapt, acest efect este foarte slab, ușor întrerupt de contrastul în luminozitate. În plus, contrastul de temperatură este enervant, izbitor.
Obiectele foarte îndepărtate par mai reci, deoarece lumina caldă portocalie este absorbită de aer. Când fotografiați un model pe plajă cu nave la orizont în fundal, reduceți temperatura de culoare a mării îndepărtate și a navelor în post-procesare. Un model în costum de baie roșu iese din marea albastră, iar un model în lumina galbenă a unui felinar iese din amurgul albăstrui.
Aceasta este tonifierea separată: facem modelul mai cald, fundalul mai rece. Creierul înțelege că nu există temperaturi diferite de culoare în același plan și percepe o astfel de imagine ca fiind tridimensională, în care modelul iese din fundal. Tonuri separate adaugă profunzime peisajelor: faceți primul plan mai cald, fundalul mai rece.
O excepție importantă de la tonificarea split: la răsărit și la apus, fundalul îndepărtat nu este deloc rece, ci cald, cu tonuri de galben și roșu-portocaliu. Soluția evidentă - să folosești un model alb într-un costum de baie mov - nu funcționează pentru că lumina apusului pune o tentă caldă și pe corpul modelului.
Pentru a rezuma, pentru a da o fotografie tridimensională bazată pe efectele atmosferice, este necesar să contrastăm primul plan și fundalul. Principala opoziție este contrastul obișnuit: primul plan este contrastant, fundalul este cu contrast redus. A doua opoziție este în claritate: prim-planul este clar, fundalul este neclar. A treia opoziție este în funcție de luminozitate: primul plan este întunecat, fundalul este deschis. A patra opoziție este prin saturație: culorile primului plan sunt saturate, culorile de fundal sunt desaturate. A cincea opoziție este la temperatură: prim-planul este cald, fundalul este rece.
Acești factori sunt adesea multidirecționali. Galbenul este mai strălucitor decât albastrul, iar obiectele luminoase apar mai departe decât cele întunecate. Ar fi firesc să ne așteptăm ca galbenul să se retragă și albastrul să se apropie de privitor. De fapt, opusul este adevărat: dintr-un fundal rece iese o culoare caldă. Adică, culoarea se dovedește a fi un factor mai puternic decât luminozitatea. Ceea ce, la reflecție, nu este surprinzător: galbenul și roșul se disting clar doar de aproape, iar privitorul nu se așteaptă să le întâlnească la mare distanță.
Concluzie: păstrați fundalul cu contrast scăzut, spălat, ușor, desaturat, albăstrui. Și fiți pregătiți pentru faptul că privitorul, obișnuit cu filmele 3D hipertrofiate, va găsi tridimensionalitatea pe care ați creat-o abia vizibilă sau absentă.
În portrete, cel mai bine este să te bazezi pe efectul de clarobscur dovedit, jocul de lumini și umbre pe fața subiectului, care va face ca imaginea să pară destul de proeminentă. În fotografia de gen, perspectiva oferă cel mai vizibil efect tridimensional. Într-o natură moartă, principalul factor va fi intersecția (suprapunerea) obiectelor.
Nu te lăsa dus de perspectivă; este doar un fundal pentru planul frontal pe care tremură imaginea ta. În pictura modernă, departe de realism, perspectiva nu este ținută la mare cinste.
Descărcați întreaga carte: pdfepubazw3mobifb2lit Cuprins
|
|||||||||||||||||||||
|
În 1904, Henri Poincare a sugerat că orice obiect tridimensional care are anumite proprietăți ale unei sfere tridimensionale poate fi transformat într-o sferă tridimensională. A fost nevoie de 99 de ani pentru a demonstra această ipoteză. (Atenție! O sferă tridimensională nu este ceea ce crezi.) Matematicianul rus Grigory Perelman a demonstrat conjectura Poincaré făcută acum o sută de ani și a finalizat crearea unui catalog de forme ale spațiilor tridimensionale.
Poincaré a sugerat că 3-sfera este unică și nicio altă 3-varietate compactă (varietățile necompacte sunt infinite sau au muchii. În cele ce urmează, sunt luate în considerare numai varietățile compacte) nu are proprietățile care o fac atât de simplă. Mai multe 3-variete mai complexe au granițe care se ridică ca un zid de cărămidă sau conexiuni multiple între unele zone, cum ar fi o potecă forestieră care se bifurcă și se reconectează. Orice obiect tridimensional cu proprietățile unei 3-sfere poate fi transformat în 3-sfera însăși, deci pentru topologi este pur și simplu o copie a acesteia. Dovada lui Perelman ne permite, de asemenea, să răspundem la a treia întrebare și să clasificăm toate cele 3-variete existente.
Aveți nevoie de o cantitate suficientă de imaginație pentru a vă imagina o 3-sfere. Din fericire, are multe în comun cu 2 sfere, un exemplu tipic al căruia este cauciucul unui balon rotund: este bidimensional, deoarece orice punct de pe acesta este dat de doar două coordonate - latitudine și longitudine. Dacă luăm în considerare o secțiune suficient de mică din ea sub o lupă puternică, atunci va părea o bucată dintr-o foaie plată. Pentru o insectă mică care se târăște pe un balon, aceasta va părea a fi o suprafață plană. Dar dacă mucul se mișcă în linie dreaptă suficient de lungă, în cele din urmă se va întoarce la punctul său de plecare. În același mod, am percepe o 3-sfere de dimensiunea Universului nostru ca spațiu tridimensional „obișnuit”. Zburând suficient de departe în orice direcție, în cele din urmă am „încercui lumea” pe ea și ne-am întoarce la punctul de plecare.
După cum probabil ați ghicit, o sferă n-dimensională se numește n-sferă. De exemplu, 1-sferă este familiară tuturor: este doar un cerc.
Matematicienii care demonstrează teoreme despre spațiile de dimensiuni superioare nu trebuie să-și imagineze obiectul de studiu: ei se ocupă de proprietăți abstracte, ghidați de intuiții bazate pe analogii cu mai puține dimensiuni (asemenea analogii trebuie tratate cu prudență și nu luate literal). Vom lua în considerare și 3-sfera pe baza proprietăților obiectelor cu un număr mai mic de dimensiuni.
1. Să începem prin a considera un cerc și cercul său de delimitare. Pentru matematicieni, un cerc este o minge bidimensională, iar un cerc este o sferă unidimensională. Mai mult, o minge de orice dimensiune este un obiect umplut, asemănător cu un pepene verde, iar o sferă este suprafața sa, mai mult ca un balon. Cercul este unidimensional, deoarece poziția unui punct pe el poate fi specificată printr-un singur număr.
2. Din două cercuri, putem construi o sferă bidimensională, transformând unul dintre ele în emisfera nordică, iar celălalt în sud. Rămâne să le lipim, iar 2-sfera este gata.
3. Imaginează-ți o furnică târându-se de la Polul Nord într-un cerc mare format din meridianul zero și al 180-lea (stânga). Dacă îi mapăm calea către două cercuri originale (pe dreapta), vedem că insecta se deplasează în linie dreaptă (1) la marginea cercului nordic (a), apoi traversează granița, lovește punctul corespunzător de pe cerc sudic și continuă să urmeze linia dreaptă (2 și 3). Apoi furnica ajunge din nou la marginea (b), o traversează și se găsește din nou pe cercul nordic, grăbindu-se la punctul de plecare - Polul Nord (4). Rețineți că în timpul unei călătorii în jurul lumii pe sfera 2, direcția de mișcare este inversată atunci când treceți dintr-un cerc în altul.
4. Acum luați în considerare cele 2 sfere ale noastre și volumul pe care îl conține (bila 3D) și faceți același lucru cu ele, așa cum am făcut cu cercul și cercul: luați două copii ale mingii și lipiți limitele lor împreună. Este imposibil, și nu necesar, să arăți clar cum bilele sunt distorsionate în patru dimensiuni și se transformă într-un analog al emisferelor. Este suficient să știm că punctele corespunzătoare de pe suprafețe, adică. 2-sfere sunt interconectate în același mod ca și în cazul cercurilor. Rezultatul unirii a două bile este o sferă de 3 - suprafața unei bile cu patru dimensiuni. (În patru dimensiuni, unde există o sferă de 3 și o bilă, suprafața obiectului este tridimensională.) Să numim una dintre bile emisfera nordică și cealaltă emisfera sudică. Prin analogie cu cercurile, polii sunt acum în centrul bilelor.
5. Imaginați-vă că bilele în cauză sunt zone mari goale de spațiu. Să presupunem că un astronaut pleacă de la Polul Nord pe o rachetă. În timp, ajunge la ecuator (1), care este acum sfera care înconjoară globul nordic. Traversându-l, racheta intră în emisfera sudică și se deplasează în linie dreaptă prin centrul său - Polul Sud - spre partea opusă a ecuatorului (2 și 3). Acolo are loc din nou tranziția către emisfera nordică, iar călătorul se întoarce la Polul Nord, adică. până la punctul de plecare (4). Acesta este scenariul pentru a călători în jurul lumii pe suprafața unei mingi cu 4 dimensiuni! Sfera tridimensională considerată este spațiul la care se face referire în conjectura Poincare. Poate că Universul nostru este doar o 3 sfere.
Raționamentul poate fi extins la cinci dimensiuni și poate construi o 4-sfere, dar este extrem de greu de imaginat. Dacă lipim două n-bile de-a lungul sferelor (n-1) care le înconjoară, obținem o n-sferă care mărginește bila (n+1).
A trecut o jumătate de secol până când conjectura Poincare a declanșat. În anii 60. Secolului 20 matematicienii au dovedit afirmații similare cu acesta pentru sfere de cinci sau mai multe dimensiuni. În fiecare caz, n-sfera este într-adevăr singura și cea mai simplă n-varietate. Destul de ciudat, s-a dovedit a fi mai ușor să obțineți un rezultat pentru sferele multidimensionale decât pentru 3 și 4 sfere. Dovada pentru patru dimensiuni a apărut în 1982. Și doar conjectura originală a lui Poincaré despre cele 3 sfere a rămas neconfirmată.
Pasul decisiv a fost făcut în noiembrie 2002, când Grigory Perelman, un matematician de la Departamentul din Sankt Petersburg al Institutului de Matematică. Steklov, a trimis un articol pe site-ul www.arxiv.org, unde fizicieni și matematicieni din întreaga lume discută rezultatele activităților lor științifice. Topologii au prins imediat legătura dintre munca omului de știință rus și ipoteza Poincaré, deși autorul nu a menționat-o direct.
De fapt, dovada lui Perelman, a cărei corectitudine nimeni nu a putut încă să pună la îndoială, rezolvă o gamă mult mai largă de întrebări decât conjectura actuală a lui Poincare. Procedura de geometrizare propusă de William P. Thurston de la Universitatea Cornell permite o clasificare completă a 3-varietăților bazată pe 3-sfere, care este unică prin simplitatea sa sublimă. Dacă conjectura Poincare ar fi falsă, i.e. dacă ar exista multe spații la fel de simple ca o sferă, atunci clasificarea 3-varietăților ar deveni ceva infinit mai complex. Datorită lui Perelman și Thurston, avem un catalog complet al tuturor formelor de spațiu tridimensional permise de matematică pe care le-ar putea lua Universul nostru (dacă luăm în considerare doar spațiul fără timp).
Pentru a înțelege mai bine conjectura Poincaré și demonstrația lui Perelman, ar trebui să aruncăm o privire mai atentă asupra topologiei. În această ramură a matematicii, forma unui obiect nu contează, ca și cum ar fi făcut din aluat, care poate fi întins, comprimat și îndoit în orice fel. De ce ar trebui să ne gândim la lucruri sau spații dintr-un test imaginar? Faptul este că forma exactă a unui obiect - distanța dintre toate punctele sale - se referă la nivelul structural, care se numește geometrie. Examinând un obiect din test, topologii dezvăluie proprietățile sale fundamentale care nu depind de structura geometrică. Studiul topologiei este ca și cum ați căuta cele mai comune trăsături pe care oamenii le au uitându-se la un „om din plastic” care poate fi transformat într-un anumit individ.
În literatura populară, există adesea o afirmație urâtă că, din punct de vedere al topologiei, o ceașcă nu este diferită de o gogoașă. Faptul este că o cană de aluat poate fi transformată într-o gogoașă prin simpla zdrobire a materialului, adică. nimic nu se lipește sau nu face găuri. Pe de altă parte, pentru a face o gogoașă dintr-o minge, cu siguranță trebuie să faci o gaură în ea sau să o rostogolești într-un cilindru și să orbiti capetele, așa că mingea nu este deloc o gogoașă.
Topologii sunt cei mai interesați de suprafețele unei sfere și ale unei gogoși. Prin urmare, în loc de corpuri solide, ar trebui să ne imaginăm baloane. Topologia lor este încă diferită, deoarece un balon sferic nu poate fi transformat într-un balon inel, care se numește torus. În primul rând, oamenii de știință au decis să descopere câte obiecte cu topologii diferite există și cum pot fi caracterizate. Pentru 2-variete, pe care suntem obișnuiți să le numim suprafețe, răspunsul este elegant și simplu: totul este determinat de numărul de „găuri” sau, echivalent, de numărul de mânere. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea. matematicienii și-au dat seama cum să clasifice suprafețele și au descoperit că cea mai simplă dintre ele era sfera. Desigur, topologii au început să se gândească la 3-variete: este 3-sfera unică în simplitatea ei? Istoria veche a căutării unui răspuns este plină de pași greșiți și dovezi eronate.
Henri Poincaré a abordat cu seriozitate această problemă. A fost unul dintre cei mai puternici doi matematicieni de la începutul secolului al XX-lea. (celălalt era David Hilbert). A fost numit ultimul generalist - a lucrat cu succes în toate secțiunile matematicii pure și aplicate. În plus, Poincare a adus o contribuție uriașă la dezvoltarea mecanicii cerești, a teoriei electromagnetismului, precum și la filosofia științei, despre care a scris mai multe cărți populare.
Poincaré a devenit fondatorul topologiei algebrice și, folosind metodele sale, în 1900 a formulat o caracteristică topologică a unui obiect, numită homotopie. Pentru a determina homotopia unei varietăți, trebuie să scufundați mental o buclă închisă în ea. Apoi ar trebui să aflăm dacă este întotdeauna posibil să contractăm bucla la un punct prin mișcarea acesteia în interiorul colectorului. Pentru un tor, răspunsul va fi negativ: dacă plasați o buclă în jurul circumferinței torului, atunci nu va fi posibil să o contractați până la un punct, deoarece „gaura” gogoșii va interfera. Homotopia este numărul de căi diferite care pot împiedica contractarea buclei.
Pe o sferă n, orice buclă, chiar și răsucită complicat, poate fi întotdeauna desfășurată și trasă la un punct. (O buclă este lăsată să treacă prin ea însăși.) Poincaré a presupus că 3-sfera este singura 3-varietate pe care orice buclă poate fi contractată la un punct. Din păcate, nu a putut niciodată să-și demonstreze conjectura, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de conjectura Poincaré.
Analiza lui Perelman a 3-varietăților este strâns legată de procedura de geometrizare. Geometria se ocupă de forma reală a obiectelor și a varietatilor, nu mai sunt făcute din aluat, ci din ceramică. De exemplu, o ceașcă și un bagel sunt diferite din punct de vedere geometric, deoarece suprafețele lor sunt curbate diferit. Se spune că ceașca și gogoașa sunt două exemple de tor topologic având diferite forme geometrice.
Pentru a înțelege de ce Perelman a folosit geometrizarea, luați în considerare clasificarea 2-varietăților. Fiecărei suprafețe topologice i se atribuie o geometrie unică a cărei curbură este distribuită uniform în întreaga varietate. De exemplu, pentru o sferă, aceasta este o suprafață perfect sferică. O altă geometrie posibilă pentru o sferă topologică este un ou, dar curbura sa nu este distribuită uniform peste tot: capătul ascuțit este mai curbat decât cel contondent.
2-varietățile formează trei tipuri geometrice. Sfera se caracterizează prin curbură pozitivă. Un tor geometrizat este plat și are curbură zero. Toate celelalte 2-variete cu două sau mai multe „găuri” au curbură negativă. Ele corespund unei suprafețe asemănătoare unei șau, care se curbează în sus în față și în spate și în jos spre stânga și dreapta. Această clasificare geometrică (geometrizare) a 2-varietăților a fost dezvoltată de Poincare împreună cu Paul Koebe și Felix Klein, după care este numită sticla Klein.
Există o dorință naturală de a aplica o metodă similară la 3-variete. Este posibil să găsim o astfel de configurație unică pentru fiecare dintre ele, în care curbura să fie distribuită uniform pe întreaga varietate?
S-a dovedit că 3-varietățile sunt mult mai complicate decât omologii lor bidimensionali, iar cele mai multe dintre ele nu pot fi asociate cu o geometrie omogenă. Ele ar trebui să fie împărțite în părți, care corespund uneia dintre cele opt geometrii canonice. Această procedură seamănă cu descompunerea unui număr în factori primi.
Cum se poate geometriza o varietate și să-i dea o curbură uniformă peste tot? Trebuie să luați o geometrie arbitrară cu diferite proeminențe și adâncituri, apoi neteziți toate denivelările. La începutul anilor 90. Secolului 20 Hamilton a început să analizeze 3-varietăți folosind ecuația de curgere Ricci, numită după matematicianul Gregorio Ricci-Curbastro. Este oarecum similară cu ecuația căldurii, care descrie fluxurile de căldură care curg într-un corp încălzit neuniform până când temperatura acestuia devine aceeași peste tot. În același mod, ecuația fluxului Ricci definește o modificare a curburii colectorului, ceea ce duce la alinierea tuturor marginilor și depresiunilor. De exemplu, dacă începeți cu un ou, acesta va deveni treptat sferic.
Perelman a adăugat un nou termen ecuației fluxului Ricci. Această modificare nu a eliminat problema singularității, dar a permis o analiză mult mai profundă. Omul de știință rus a arătat că o operație „chirurgicală” poate fi efectuată pe un colector în formă de gantere: tăiați un tub subțire de ambele părți ale prinderii emergente și închideți tuburile deschise care ies din bile cu capace sferice. Apoi, ar trebui să continuați să schimbați colectorul „operat” în conformitate cu ecuația de curgere Ricci și să aplicați procedura de mai sus la toate ciupiturile care apar. Perelman a mai arătat că trăsăturile în formă de trabuc nu pot apărea. Astfel, orice 3-varietă poate fi redusă la un set de piese cu geometrie uniformă.
Când fluxul Ricci și „chirurgia” sunt aplicate tuturor posibilelor 3-variete, oricare dintre ele, dacă este la fel de simplă ca o 3-sferă (cu alte cuvinte, are aceeași homotopie), se reduce în mod necesar la aceeași geometrie omogenă. , care și 3-sferă. Prin urmare, din punct de vedere topologic, varietatea luată în considerare este 3-sfera. Astfel, 3-sfera este unică.
Valoarea articolelor lui Perelman constă nu numai în demonstrarea conjecturei Poincare, ci și în noi metode de analiză. Oamenii de știință din întreaga lume folosesc deja rezultatele obținute de matematicianul rus în munca lor și aplică metodele dezvoltate de acesta în alte domenii. S-a dovedit că fluxul Ricci este asociat cu așa-numitul grup de renormalizare, care determină modul în care puterea interacțiunilor se modifică în funcție de energia de coliziune a particulelor. De exemplu, la energii joase, puterea interacțiunii electromagnetice este caracterizată de numărul 0,0073 (aproximativ 1/137). Cu toate acestea, când doi electroni se ciocnesc frontal la aproape viteza luminii, această forță se apropie de 0,0078. Matematica care descrie schimbarea forțelor fizice este foarte asemănătoare cu matematica care descrie geometrizarea unei varietăți.
Creșterea energiei de coliziune este echivalentă cu forța de învățare la distanțe mai scurte. Prin urmare, grupul de renormalizare este ca un microscop cu un factor de mărire variabil, care vă permite să explorați procesul la diferite niveluri de detaliu. În mod similar, fluxul Ricci este un microscop pentru a observa varietăți. Proeminențele și depresiunile vizibile la o mărire dispar la alta. Este probabil ca pe scara lungimii Planck (aproximativ 10 -35 m) spațiul în care locuim să arate ca o spumă cu o structură topologică complexă. În plus, ecuațiile relativității generale, care descriu caracteristicile gravitației și structura pe scară largă a universului, sunt strâns legate de ecuația fluxului Ricci. În mod paradoxal, termenul Perelman adăugat expresiei folosite de Hamilton apare în teoria corzilor, care pretinde a fi teoria cuantică a gravitației. Este posibil ca în articolele matematicianului rus, oamenii de știință să găsească informații mult mai utile nu numai despre 3-varietăți abstracte, ci și despre spațiul în care trăim.
