Valori relative. O valoare relativă este rezultatul împărțirii (comparării) a două valori absolute. Comparația mediilor Ce valori pot fi comparate între ele
Valoare relativă este rezultatul împărțirii (comparării) a două valori absolute. Numătorul fracției este valoarea comparată, iar numitorul este valoarea cu care se compară (baza de comparație). De exemplu, dacă comparăm exporturile Statelor Unite și Rusiei, care în 2005 s-au ridicat la 904,383 și, respectiv, 243,569 miliarde de dolari, atunci valoarea relativă va arăta că valoarea exporturilor SUA este de 3,71 ori (904,383 / 243,569) mai mult decât Exporturile rusești, în timp ce comparația de bază este valoarea exporturilor Rusiei. Valoarea relativă rezultată este exprimată ca coeficient, care arată de câte ori valoarea absolută comparată este mai mare decât valoarea de bază. În acest exemplu, baza de comparație este luată ca una. Dacă baza este luată ca 100, valoarea relativă este exprimată ca la sută (% ), dacă pentru 1000 - in ppm (‰ ). Alegerea unei forme sau alteia a valorii relative depinde de valoarea sa absolută:
- dacă valoarea comparată este mai mare decât baza de comparație de 2 ori sau mai mult, atunci alegeți forma coeficientului (ca în exemplul de mai sus);
- dacă valoarea relativă este aproape de unu, atunci, de regulă, este exprimată ca procent (de exemplu, comparând valorile exporturilor Rusiei în 2006 și 2005, care s-au ridicat la 304,5 și, respectiv, 243,6 miliarde de dolari, putem spune că exporturile în 2006 reprezintă 125% din 2005);
- dacă valoarea relativă este semnificativ mai mică de unu (aproape de zero), aceasta este exprimată în ppm (de exemplu, în 2004 Rusia a exportat în țările CSI un total de 4142 mii de tone de produse petroliere, inclusiv 10,7 mii de tone în Georgia, care este 0,0026 sau 2,6 ‰ din toate exporturile de produse petroliere către ţările CSI).
Există valori relative ale dinamicii, structurii, coordonării, comparației și intensității, pentru concizie la care se face referire în cele ce urmează. indici.
Index dinamic caracterizează schimbarea în timp a oricărui fenomen. Este raportul dintre valorile aceleiași valori absolute în diferite perioade de timp. Acest indice este determinat de formula (2):
unde numerele înseamnă: 1 - perioada de raportare sau analizată, 0 - ultima perioadă sau de bază.
Valoarea de criteriu a indicelui de dinamică este una (sau 100%), adică dacă >1, atunci există o creștere (creștere) a fenomenului în timp; dacă =1 – stabilitate; dacă<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – modificarea indicelui, scăzând din care unitatea (100%), obține rata de schimbare (dinamica) cu valoarea criteriului 0, care este determinată de formula (3):
Dacă T>0, atunci are loc creșterea fenomenului; T=0 - stabilitate, T<0 – спад.
În exemplul de mai sus despre exporturile rusești în 2006 și 2005, indicele de dinamică a fost calculat folosind formula (2): eu D= 304,5/243,6*100% = 125%, care este mai mult decât valoarea criteriului de 100%, ceea ce indică o creștere a exporturilor. Folosind formula (3) obținem rata de schimbare: T= 125% - 100% = 25%, ceea ce arată că exporturile au crescut cu 25%.
Varietăți ale indicelui de dinamică sunt indicii sarcinii planificate și execuției planului, calculate pentru planificarea diferitelor cantități și monitorizarea implementării acestora.
Indexul locurilor de muncă programate este raportul dintre valoarea planificată a caracteristicii și valoarea de bază. Se determină prin formula (4):
Unde X' 1– valoarea planificată; x0 este valoarea de bază a caracteristicii.
De exemplu, administrația vamală a transferat 160 de miliarde de ruble la bugetul federal în 2006 și a planificat să transfere 200 de miliarde de ruble anul viitor, ceea ce înseamnă, conform formulei (4): i pz= 200/160 = 1,25, adică ținta administrației vamale pentru anul 2007 este de 125% față de anul precedent.
Pentru a determina procentul de finalizare a planului, este necesar să se calculeze indicele de execuție a planului, adică raportul dintre valoarea observată a atributului și valoarea planificată (optimă, maximă posibilă) conform formulei (5):
De exemplu, pentru ianuarie-noiembrie 2006, autoritățile vamale plănuiau să transfere 1,955 trilioane de ruble la bugetul federal. ruble, dar a transferat de fapt 2,59 trilioane. frecare, înseamnă prin formula (5): eu VP= 2,59 / 1,955 = 1,325, sau 132,5%, adică sarcina planificată a fost finalizată cu 132,5%.
Indicele de structură (cota) este raportul dintre orice parte a obiectului (mult) și întregul obiect. Se determină prin formula (6):
În exemplul de mai sus despre exportul de produse petroliere către țările CSI, ponderea acestui export către Georgia a fost calculată folosind formula (6): d\u003d 10,7 / 4142 \u003d 0,0026 sau 2,6 ‰ .
Indicele de coordonare- acesta este raportul dintre orice parte a obiectului și o altă parte a acestuia, luată ca bază (bază de comparație). Se determină prin formula (7):
De exemplu, importurile Rusiei în 2006 s-au ridicat la 163,9 miliarde de dolari, apoi, comparându-l cu exporturile (bază de comparație), calculăm indicele de coordonare folosind formula (7): eu K= 163,9/304,5 = 0,538, care arată raportul dintre cele două componente ale cifrei de afaceri din comerțul exterior, adică valoarea importurilor Rusiei în 2006 este de 53,8% din valoarea exporturilor. Schimbând baza de comparație în import, folosind aceeași formulă, obținem: eu K= 304,5/163,9 = 1,858, adică exportul Rusiei în 2006 este de 1,858 ori mai mare decât importurile, sau exporturile reprezintă 185,8% din importuri.
Indicele de comparație- aceasta este o comparație (raport) a diferitelor obiecte în funcție de aceleași caracteristici. Se determină prin formula (8):
Unde DAR, B- obiecte comparate.
În exemplul discutat mai sus, în care au fost comparate exporturile Statelor Unite și Rusiei, indicele de comparație a fost calculat folosind formula (8): este= 904,383/243,569 = 3,71. Schimbând baza de comparație (adică exporturile rusești sunt obiectul A, iar exporturile SUA sunt obiectul B), folosind aceeași formulă, obținem: este= 243,569 / 904,383 = 0,27, adică exporturile rusești reprezintă 27% din exporturile SUA.
Indicele de intensitate- acesta este raportul dintre diferitele caracteristici ale unui obiect unul față de celălalt. Se determină prin formula (9):
Unde X– un atribut al obiectului; Y- un alt semn al aceluiasi obiect
De exemplu, indicatorii producției pe unitatea de timp de lucru, costurile pe unitatea de producție, prețurile unitare etc.
Încă din cele mai vechi timpuri, oamenii au fost serios interesați de întrebarea cum este cel mai convenabil să compare cantitățile exprimate în valori diferite. Și nu este doar curiozitate naturală. Omul celor mai vechi civilizații terestre a acordat acestei chestiuni destul de dificile o semnificație pur aplicată. Măsurarea corectă a terenului, determinarea greutății produsului pe piață, calcularea raportului necesar de mărfuri în troc, determinarea ratei corecte de struguri la recoltarea vinului - acestea sunt doar câteva dintre sarcinile care au apărut adesea în viața deja dificilă. a strămoșilor noștri. Prin urmare, oamenii slab educați și analfabeți, dacă era necesar, pentru a compara valorile, mergeau după sfaturi la tovarășii lor mai experimentați și, deseori, luau mită adecvată pentru un astfel de serviciu și, de altfel, destul de bună.
Ce se poate compara
În zilele noastre, această lecție joacă, de asemenea, un rol semnificativ în procesul de studiere a științelor exacte. Desigur, toată lumea știe că este necesar să se compare valori omogene, adică mere cu mere și sfeclă cu sfeclă. Nimănui nu i-ar trece prin cap să încerce să exprime grade Celsius în kilometri sau kilograme în decibeli, dar lungimea boa constrictor la papagali știm încă din copilărie (pentru cei care nu-și amintesc: într-un boa constrictor sunt 38 de papagali) . Deși și papagalii sunt diferiți și, de fapt, lungimea boa constrictor va varia în funcție de subspecia papagalului, dar acestea sunt detaliile pe care vom încerca să le aflăm.
Dimensiuni
Când sarcina spune: „Comparați valorile cantităților”, este necesar să aduceți aceleași cantități la același numitor, adică să le exprimați în aceleași valori pentru ușurință de comparare. Este clar că multora dintre noi nu va fi greu să comparăm valoarea exprimată în kilograme cu valoarea exprimată în cenți sau în tone. Există însă mărimi omogene care pot fi exprimate în diferite dimensiuni și, mai mult, în diferite sisteme de măsurare. Încercați, de exemplu, să comparați vâscozitățile cinematice și să determinați care fluid este mai vâscos în centistokes și metri pătrați pe secundă. Nu funcționează? Și nu va funcționa. Pentru a face acest lucru, trebuie să reflectați ambele valori în aceleași valori și deja prin valoarea numerică pentru a determina care dintre ele este superioară adversarului.
Sistem de măsurare
Pentru a înțelege ce mărimi pot fi comparate, să încercăm să reamintim sistemele de măsurare existente. Pentru a optimiza și accelera procesele de reglementare în 1875, șaptesprezece țări (inclusiv Rusia, SUA, Germania etc.) au semnat o convenție metrică și au definit sistemul metric de măsuri. Pentru a dezvolta și consolida standardele metrului și kilogramului, a fost înființat Comitetul Internațional pentru Greutăți și Măsuri, iar Biroul Internațional de Greutăți și Măsuri a fost înființat la Paris. Acest sistem a evoluat în cele din urmă în Sistemul Internațional de Unități, SI. În prezent, acest sistem este adoptat de majoritatea țărilor din domeniul calculelor tehnice, inclusiv de acele țări în care cele naționale sunt utilizate în mod tradițional în viața de zi cu zi (de exemplu, SUA și Anglia).
GHS
Cu toate acestea, în paralel cu standardul general acceptat de standarde, s-a dezvoltat un alt sistem CGS, mai puțin convenabil (centimetru-gram-secundă). A fost propusă în 1832 de către fizicianul german Gauss, iar în 1874 modernizată de Maxwell și Thompson, în principal în domeniul electrodinamicii. În 1889, a fost propus un sistem ISS (metru-kilogram-secundă) mai convenabil. Compararea obiectelor după mărimea valorilor de referință ale metrului și kilogramului este mult mai convenabilă pentru ingineri decât utilizarea derivatelor lor (centi-, mili-, deci- etc.). Cu toate acestea, nici acest concept nu a găsit un răspuns de masă în inimile celor cărora le-a fost destinat. Peste tot în lume, a fost dezvoltat și utilizat în mod activ, prin urmare, calculele în CGS au fost efectuate din ce în ce mai puțin, iar după 1960, odată cu introducerea sistemului SI, CGS a căzut practic în neutilizare. În prezent, GHS este de fapt folosit în practică doar în calcule în mecanică teoretică și astrofizică, iar apoi din cauza formei mai simple de scriere a legilor electromagnetismului.
Instrucțiuni pas cu pas
Să analizăm un exemplu în detaliu. Să presupunem că problema este: "Comparați valorile de 25 de tone și 19570 kg. Care dintre valori este mai mare?" Primul lucru de făcut este să stabilim în ce cantități am dat valori. Deci, prima valoare este dată în tone, iar a doua - în kilograme. La al doilea pas, verificăm dacă compilatorii problemei încearcă să ne inducă în eroare încercând să ne obligă să comparăm cantități eterogene. Există și astfel de sarcini de capcană, mai ales la testele rapide, unde se acordă 20-30 de secunde pentru a răspunde la fiecare întrebare. După cum putem vedea, valorile sunt omogene: atât în kilograme, cât și în tone, măsurăm masa și greutatea corpului, așa că al doilea test a fost trecut cu un rezultat pozitiv. Al treilea pas, traducem kilogramele în tone sau, dimpotrivă, tonele în kilograme pentru o comparație ușoară. În prima versiune se obțin 25 și 19,57 de tone, iar în a doua: 25.000 și 19.570 de kilograme. Și acum puteți compara mărimile acestor valori cu liniște sufletească. După cum se vede clar, prima valoare (25 de tone) în ambele cazuri este mai mare decât a doua (19.570 kg).
Capcane
După cum am menționat mai sus, testele moderne conțin o mulțime de sarcini de înșelăciune. Acestea nu sunt neapărat sarcini pe care le-am analizat, o întrebare cu aspect destul de inofensiv se poate dovedi a fi o capcană, mai ales una în care se sugerează un răspuns complet logic. Cu toate acestea, înșelăciunea, de regulă, constă în detalii sau într-o mică nuanță pe care compilatorii sarcinii încearcă să le mascheze în toate modurile posibile. De exemplu, în loc de întrebarea deja familiară pentru dvs. din problemele analizate cu formularea întrebării: „Comparați valorile acolo unde este posibil” - compilatorii testului vă pot cere pur și simplu să comparați valorile indicate și să alegeți valorile se aseamănă izbitor între ei. De exemplu, kg * m / s 2 și m / s 2. În primul caz, aceasta este forța care acționează asupra obiectului (newtoni), iar în al doilea - accelerația corpului, sau m / s 2 și m / s, unde vi se cere să comparați accelerația cu viteza de corpul, adică cantități absolut eterogene.
Comparații complexe
Cu toate acestea, de foarte multe ori două valori sunt date în sarcini, exprimate nu numai în diferite unități de măsură și în diferite sisteme de calcul, ci și diferite unele de altele în specificul semnificației fizice. De exemplu, enunțul problemei spune: „Comparați valorile vâscozităților dinamice și cinematice și determinați ce lichid este mai vâscos”. În acest caz, valorile sunt indicate în unități SI, adică în m 2 / s, și dinamice - în CGS, adică în echilibru. Cum se procedează în acest caz?
Pentru a rezolva astfel de probleme, puteți folosi instrucțiunile prezentate mai sus cu un mic adaos la el. Noi decidem în care dintre sisteme vom lucra: să fie general acceptat în rândul inginerilor. În al doilea pas, verificăm și dacă aceasta este o capcană? Dar și în acest exemplu, totul este curat. Comparăm două fluide în ceea ce privește frecarea internă (vâscozitate), astfel încât ambele valori sunt omogene. Al treilea pas este convertirea de la echilibru la pascal secundă, adică la unitățile general acceptate ale sistemului SI. În continuare, traducem vâscozitatea cinematică în dinamică, înmulțind-o cu valoarea corespunzătoare a densității lichidului (valoarea tabelului) și comparăm rezultatele obținute.
Din sistem
Există și unități de măsură nesistemice, adică unități care nu sunt incluse în SI, dar conform rezultatelor hotărârilor reunirii Conferinței Generale pentru Greutăți și Măsuri (GCVM), acceptabile pentru partajare cu SI. Este posibil să se compare astfel de cantități între ele numai atunci când sunt reduse la o formă generală în standardul SI. Unitățile non-sistemice includ unități precum minut, oră, zi, litru, electron volt, nod, hectar, bar, angstrom și multe altele.
Mai întâi, luați în considerare problema comparării valorii măsurate în experiment cu constanta a. Valoarea poate fi determinată doar aproximativ prin calcularea mediei peste măsurători. Trebuie să aflăm dacă relația este valabilă. În acest caz, sunt puse două sarcini, directe și inverse:
a) dintr-o valoare cunoscută, găsiți constanta a, care este depășită cu o probabilitate dată
b) găsiți probabilitatea ca , unde a este o constantă dată.
Evident, dacă atunci probabilitatea că este mai mică de 1/2. Acest caz nu prezintă interes și în continuare vom presupune că
Problema se reduce la problemele discutate în Secțiunea 2. Fie X și standardul său să fie definite prin măsurători
Numărul de măsurători va fi considerat nu foarte mic, deci există o variabilă aleatoare cu o distribuție normală. Apoi din criteriul Student (9), ținând cont de simetria distribuției normale, rezultă că pentru o probabilitate aleasă arbitrar, condiția
Să rescriem această expresie în următoarea formă:
unde sunt coeficienții Studenti indicați în tabelul 23. Astfel, se rezolvă problema directă: se găsește o constantă a, care cu probabilitate depășește
Problema inversă se rezolvă folosind cea directă. Să rescriem formulele (23) după cum urmează:
Aceasta înseamnă că trebuie să calculați t din valorile cunoscute ale lui a, să selectați rândul cu datele din tabelul 23 și să găsiți valoarea corespunzătoare din valoarea lui t. Determină probabilitatea dorită
Două variabile aleatorii. Adesea este necesar să se stabilească influența unui factor asupra cantității studiate - de exemplu, dacă (și cât de mult) un anumit aditiv crește rezistența metalului. Pentru a face acest lucru, este necesar să măsurați rezistența metalului inițial și rezistența metalului aliat y și să comparați aceste două mărimi, adică să găsiți
Valorile comparate sunt aleatorii; Astfel, proprietățile unui anumit grad de metal variază de la căldură la căldură, deoarece materiile prime și regimul de topire nu sunt strict aceleași. Să notăm aceste cantități cu . Mărimea efectului studiat este egală și este necesar să se determine dacă condiția este îndeplinită
Astfel, problema s-a redus la compararea unei variabile aleatoare cu o constantă a, discutată mai sus. Problemele de comparație directă și inversă în acest caz sunt formulate după cum urmează:
a) conform rezultatelor măsurătorilor, găsiți constanta a, care depășește cu o probabilitate dată (adică estimați amploarea efectului studiat);
b) determinați probabilitatea ca unde a este mărimea efectului dorit; aceasta înseamnă că este necesar să se determine probabilitatea cu care
Pentru a rezolva aceste probleme, este necesar să se calculeze z și varianța acestei mărimi. Să ne uităm la două moduri de a le găsi.
Măsurătorile independente. Să măsurăm valoarea în experimente și valoarea în experimente independent de primele experimente. Calculăm valorile medii folosind formulele obișnuite:
Aceste medii sunt ele însele variabile aleatoare, iar standardele lor (a nu se confunda cu standardele măsurătorilor unice!) sunt determinate aproximativ de estimări imparțiale:
Deoarece experimentele sunt independente, variabilele aleatoare x și y sunt, de asemenea, independente, astfel încât valorile lor medii sunt scăzute și variațiile lor sunt adăugate:
O estimare puțin mai precisă a varianței este:
Astfel, se găsește și dispersia lui, iar calculele ulterioare se fac folosind formulele (23) sau (24).
Măsurători consistente. O precizie mai mare se obține printr-o altă metodă de prelucrare, atunci când în fiecare dintre experimente se măsoară simultan . De exemplu, după eliberarea jumătății din topitură, se adaugă un aditiv la metalul rămas în cuptor și apoi se compară mostre de metal din fiecare jumătate a topiturii.
În acest caz, în esență, în fiecare experiment, se măsoară imediat valoarea unei variabile aleatoare, care trebuie comparată cu constanta a. Măsurătorile sunt apoi procesate conform formulelor (21)–(24), unde z trebuie înlocuit peste tot.
Varianta pentru măsurători consistente va fi mai mică decât pentru cele independente, deoarece se datorează doar unei părți a factorilor aleatori: acei factori care se modifică constant nu afectează răspândirea diferenței lor. Prin urmare, această metodă permite obținerea unor concluzii mai fiabile.
Exemplu. O ilustrare interesantă a comparării valorilor este determinarea câștigătorului în acele sporturi în care jurizarea se efectuează „cu ochi” - gimnastică, patinaj artistic etc.
Tabelul 24. Scoruri de jurizare
Tabelul 24 prezintă protocolul concursurilor de dresaj de la Jocurile Olimpice din 1972. Se poate observa că răspândirea notelor arbitrilor este mare și nici o singură notă nu poate fi recunoscută ca fiind extrem de eronată și aruncată. La prima vedere, se pare că fiabilitatea determinării câștigătorului este scăzută.
Să calculăm cât de corect este determinat câștigătorul, adică care este probabilitatea evenimentului. Deoarece ambii călăreți au fost marcați de aceiași arbitri, poate fi utilizată metoda de măsurare potrivită. Conform tabelului 24, calculăm prin înlocuirea acestor valori în formula (24) și obținem .
Alegând un rând din tabelul 23, constatăm că această valoare a lui t corespunde. Prin urmare, cu o probabilitate de 90%, medalia de aur a fost acordată corect.
Comparația prin metoda de măsurare independentă va da un scor puțin mai slab, deoarece nu folosește informațiile că notele au fost acordate de aceiași judecători.
Comparația varianțelor. Să fie necesar să se compare două metode experimentale. Evident, tehnica mai precisă este cea în care varianța unei singure măsurători este mai mică (desigur, dacă eroarea sistematică nu crește). Deci, trebuie să stabilim dacă inegalitatea este satisfăcută.
Valori medii
În medicina clinică și practica de sănătate publică întâlnim adesea caracteristici cantitative (înălțimea, numărul de zile de incapacitate de muncă, nivelurile tensiunii arteriale, vizitele la clinică, populația de pe șantier etc.). Valorile cantitative pot fi discrete sau continue. Un exemplu de valoare discretă este numărul de copii dintr-o familie, pulsul; un exemplu de valoare continuă este tensiunea arterială, înălțimea, greutatea (numărul poate fi o fracțiune, transformându-se în următorul)
Se numește fiecare valoare numerică a unității de observație opțiune(X). Dacă construiți toate opțiunile în ordine crescătoare sau descrescătoare și indicați frecvența fiecărei opțiuni (p), atunci puteți obține așa-numita serie de variații.
O serie variațională având o distribuție normală reprezintă grafic un clopot (histogramă, poligon).
Pentru a caracteriza o serie variațională care are o distribuție normală (sau distribuție Gauss-Lyapunov), se folosesc întotdeauna două grupuri de parametri:
1. Parametri care caracterizează tendința principală a seriei: valoarea medie (`x), modul (Mo), mediana (Me).
2. Parametri care caracterizează dispersia seriei: abaterea standard (d), coeficientul de variație (V).
valoarea medie(`x) este o valoare care determină printr-un număr caracteristica cantitativă a unei populații omogene calitativ.
Moda (lună)- varianta cea mai comună a seriei de variații.
Mediană (eu)- o variantă care împarte seria de variații în jumătăți egale.
Deviație standard(d) arată cum, în medie, fiecare opțiune se abate de la medie.
Coeficientul de variație (V) determină variabilitatea seriei de variații în procente și face posibilă aprecierea omogenității calitative a populației studiate. Este recomandabil să folosiți pentru comparație variațiile diferitelor caractere (precum și gradul de variabilitate a unor grupuri foarte diferite, grupuri de indivizi de diferite specii, de exemplu, greutatea nou-născuților și a copiilor de șapte ani).
Limite sau limite(lim) – valoarea minimă și maximă a opțiunii. cel mai simplu mod de a caracteriza o serie variațională, indicați sfera acesteia, valorile minime și maxime ale seriei, adică limitele lui. Cu toate acestea, limitele nu indică modul în care membrii individuali ai populației sunt distribuiți în funcție de trăsătura studiată, prin urmare, sunt utilizate cele două grupuri de parametri de mai sus ai seriei de variații.
Există diferite modificări ale calculului parametrilor seriei variaționale. Alegerea lor depinde de seria de variații în sine și de mijloacele tehnice.
În funcție de modul în care semnul variază - discret sau continuu, într-un interval larg sau îngust, se disting o serie simplă neponderată, ponderată simplă (pentru valori discrete) și o serie de variații de interval (pentru valori continue).
Gruparea serii se realizează cu un număr mare de observații în felul următor:
1. Determinați intervalul seriei scăzând opțiunea minimă din maxim.
2. Numărul rezultat este împărțit la numărul dorit de grupuri (numărul minim este 7, maximul este 15). Așa se definește intervalul.
3. Pornind de la opțiunea minimă, construiți o serie de variații. Limitele intervalelor ar trebui să fie clare, excluzând introducerea aceleiași opțiuni în grupuri diferite.
Calculul parametrilor seriei variaționale se realizează din varianta centrală. Dacă seria este continuă, atunci varianta centrală se calculează ca jumătate din suma variantei inițiale a grupurilor anterioare și ulterioare. Dacă aceasta este o serie discontinuă, atunci varianta centrală se calculează ca jumătate din suma variantei inițiale și finale din grup.
Calculul parametrilor seriei de variații
Algoritm pentru calcularea parametrilor unei serii variaționale simple neponderate:
1. Aranjați opțiunile în ordine crescătoare
2. Însumați toate opțiunile (Sx);
3. Împărțind suma la numărul de observații se obține o medie neponderată;
4. Calculați numărul de serie al medianei (Me);
5. Determinați varianta mediană (Me)
6. Găsiți abaterea (d) a fiecărei opțiuni de la medie (d = x -`x)
7. Patratează abaterea (d 2);
8. Suma d 2 (Sd 2);
9. Calculaţi abaterea standard cu formula: ± ;
10. Determinați coeficientul de variație cu formula: 
.
11. Faceți o concluzie despre rezultate.
Notă:într-o populație statistică omogenă, coeficientul de variație este de 5-10%, 11-20% - variație medie, peste 20% - variație mare.
Exemplu:
În secția de reanimare și terapie intensivă au fost tratați 9 pacienți cu leziuni vasculare ale creierului. Durata tratamentului pentru fiecare pacient în zile: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5.11.
1. Construim o serie de variații (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Calculați opțiunea de sumă: Sx = 72
3. Calculați valoarea medie a seriei de variații: =72/9=8 zile;
4. 
;
5. Me n =5 =8 zile;
| X | d | d2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd2=60 |
9. 
(zile);
10. Coeficientul de variaţie este: ;
Algoritm pentru calcularea parametrilor unei serii simple de variații ponderate:
1. Aranjați opțiunile în ordine crescătoare, indicând frecvența acestora (p);
2. Înmulțiți fiecare opțiune cu frecvența ei (x * p);
3. Suma produse xp (Sxp);
4. Calculați valoarea medie prin formula (`x)= ;
5. Găsiți numărul de serie al medianei;
6. Determinați varianta medianei (Me);
7. Varianta cea mai comună este luată ca modă (Mo);
8. Găsiți abaterile d ale fiecărei opțiuni de la medie (d = x - `x);
9. Patratează abaterile (d 2);
10. Înmulțiți d 2 cu p (d 2 *p);
11. Suma d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Calculați abaterea (e) standard(e) cu formula: ± ;
13. Determinați coeficientul de variație cu formula: .
Exemplu.
Tensiunea arterială sistolică a fost măsurată la fetele în vârstă de 16 ani.
| Tensiunea arterială sistolică, mm Hg X | Numărul de examinați, p | x*p | d | d2 | d2*p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd2p=1860,4 |
mmHg.;
MmHg.
;
Me=108 mm Hg; Mo=108 mmHg
Algoritm pentru calcularea parametrilor unei serii variaționale grupate prin metoda momentelor:
1. Aranjați opțiunile în ordine crescătoare, indicând frecvența acestora (p)
2. Țineți opțiunea de grupare
3. Calculați varianta centrală
4. Varianta cu cea mai mare frecvență este luată ca medie condiționată (A)
5. Calculați abaterea condiționată (a) a fiecărei opțiuni centrale de la media condiționată (A)
6. Înmulțiți a cu p (a * p)
7. Rezumați produsele ar
8. Determinați valoarea intervalului y scăzând opțiunea centrală din precedenta
9. Calculați valoarea medie după formula:
;
10. Pentru a calcula abaterea pătrată condiționată, abaterile condiționate sunt pătrate (a 2)
11. Înmulțiți a 2 * p
12. Însumați produsele a * p 2
13. Calculați abaterea standard cu formula
Exemplu
Date disponibile pentru bărbații cu vârsta cuprinsă între 30-39 de ani
| masa, kg x | Numărul celor chestionați p | Opțiunea de mijloc x s | dar | a 2 | a 2 *p | a*r | Frecvențe acumulate |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| sumă |
- medie aritmetică
; - deviație standard; 
- eroare medie
Evaluarea fiabilității
Evaluarea statistică a fiabilității rezultatelor unui studiu statistic medical constă dintr-un număr de etape - acuratețea rezultatelor depinde de etapele individuale.
În acest caz, există două categorii de erori: 1) erori care nu pot fi luate în considerare în prealabil prin metode matematice (erori de acuratețe, atenție, tipicitate, erori metodologice etc.); 2) erori de reprezentativitate asociate cercetării prin eșantion.
Mărimea erorii de reprezentativitate este determinată atât de mărimea eșantionului, cât și de diversitatea trăsăturii și este exprimată ca eroare medie. Eroarea medie a indicatorului se calculează prin formula:
unde m este eroarea medie a indicatorului;
p este un indicator statistic;
q este reciproca lui p (1-p, 100-p, 1000-p etc.)
n este numărul de observații.
Când numărul de observații este mai mic de 30, se introduce o modificare în formula:
Eroarea valorii medii se calculează prin formulele:
; 
;
unde s este abaterea standard;
n este numărul de observații.
Exemplul 1
289 de persoane au părăsit spitalul, 12 au murit.
Letalitatea va fi:
; ;
Atunci când se efectuează studii repetate, media (M) în 68% din cazuri va fluctua în ±m, adică. gradul de probabilitate (p) cu care obținem astfel de limite de încredere pentru medie este 0,68. Cu toate acestea, acest grad de probabilitate de obicei nu satisface cercetătorii. Cel mai mic grad de probabilitate cu care doresc să obțină anumite limite ale fluctuației mediei (limite de încredere) este 0,95 (95%). În acest caz, limitele de încredere ale mediei trebuie extinse prin înmulțirea erorii (m) cu factorul de încredere (t).
Coeficient de încredere (t) - un număr care arată de câte ori trebuie crescută eroarea valorii medii pentru a afirma cu un număr dat de observații cu gradul de probabilitate dorit (p) că valoarea medie nu va depăși limitele obtinut in acest fel.
La p=0,95 (95%) t=2, i.e. M±tm=M+2m;
La p=0,99 (99%) t=3, i.e. M±tm=M+3m;
Compararea mediilor
Când se compară două medii aritmetice (sau doi indicatori) calculate pentru perioade diferite de timp sau în condiții ușor diferite, se determină semnificația diferenței dintre ele. În acest caz, se aplică următoarea regulă: diferența dintre medii (sau indicatori) este considerată semnificativă dacă diferența aritmetică dintre mediile (sau indicatori) comparate este mai mare de două rădăcini pătrate ale sumei erorilor pătrate ale acestor medii ( sau indicatori), adică .
(pentru medii comparate);
(pentru indicatori comparabili).
Valery Galasyuk- Academician al AES din Ucraina, Director General al firmei de audit COWPERWOOD (Dnepropetrovsk), Membru al Prezidiului Consiliului Uniunii Auditorilor din Ucraina, Membru al Camerei de Audit a Ucrainei, Președinte al Comisiei de Audit a Ucrainei Societatea Evaluatorilor, Vicepreședinte al Consiliului Asociației Contribuabililor din Ucraina, Vicepreședinte al Comisiei de Evaluare a Eficienței activității investiționale a Societății Ucrainene a Analiștilor Financiari, evaluator principal al Societății Ucrainene a Evaluatorilor
Victor Galasyuk– Director al Departamentului de Consultanță în Credit al Societății de Informații și Consultanță „INCON-CENTER” (grup de consultanță „COWPERWOOD”), Master în Economie al Întreprinderii, laureat al concursurilor pentru tineri evaluatori al Societății Ucrainene a Evaluatorilor
Matematica este singura metodă perfectă
lăsându-se condus de nas
Einstein
Treaba mea este să spun adevărul, nu să te fac să crezi în el.
Rousseau
Acest articol este dedicat problemei fundamentale care apare în procesul de comparare numerică a cantităților. Esența acestei probleme constă în faptul că, în anumite condiții, metode diferite de comparare numerică a acelorași cantități stabilesc un grad diferit de inegalitate. Unicitatea acestei probleme constă nu atât în faptul că nu a fost încă rezolvată, deși s-ar părea că procedurile de comparare numerică au fost temeinic studiate și nu ridică întrebări nici măcar în rândul școlarilor, ci în faptul că a nu a fost încă reflectată în mod adecvat în conștiința publică și, mai important, în practică.
După cum știți, puteți compara numeric două valori fie răspunzând la întrebarea „Cât de mult este o valoare mai mare decât cealaltă?”, fie răspunzând la întrebarea „De câte ori este o valoare mai mare decât cealaltă?”. Adică, pentru a compara numeric două mărimi, trebuie fie să scădeți una din cealaltă (), fie să împărțiți una la alta (). În același timp, după cum au arătat studiile, există doar două tipuri inițiale de criterii pentru compararea numerică a cantităților: și , și niciunul dintre ele nu are dreptul exclusiv de a exista.
Sunt posibile doar 13 variante calitativ diferite ale raportului pe axa numerică a valorilor celor două valori comparate X și Y (vezi Fig. 1).
Când se compară două valori X și Y pe baza criteriului de comparație cu orice variantă a raportului lor pe axa numerelor, nu există probleme.Într-adevăr, indiferent de valorile lui X și Y, criteriul de comparație caracterizează în mod unic distanța dintre punctele X și Y pe axa reală.
Cu toate acestea, utilizarea criteriului de comparație a compara valorile lui X și Y în unele cazuri ale relației lor pe axa numerelor poate duce la probleme, deoarece în aceste cazuri valorile valorilor X și Y pot avea un impact semnificativ asupra rezultatelor comparatia. De exemplu, atunci când se compară valorile de 0,0100000001 și 0,0000000001, corespunzătoare opțiunii 5 de pe „Margele lui Galasyuk”, folosind criteriul de comparare se arată că primul număr este mai mare decât al doilea cu 0,01, iar folosind criteriul de comparare arată că primul număr este mai mare decât al doilea de 100 000 001 de ori. Astfel, cu un anumit raport al valorilor comparate pe axa numerică, criteriul de comparare indică grad ușor de inegalitate au comparat valorile X și Y, iar criteriul de comparație se referă la un grad semnificativ al inegalității lor.
Sau, de exemplu, când se compară valorile 1.000.000.000 100 și
1.000.000.000.000, corespunzând aceleiași opțiuni 5 pe margelele lui Galasyuk, utilizarea criteriului de comparație arată că primul număr este mai mare decât al doilea cu 100, iar utilizarea criteriului de comparație arată că primul număr este aproximativ egal cu al doilea, deoarece este mai mare decât al doilea număr doar de 1,0000000001 ori. Astfel, cu un anumit raport al valorilor comparate pe axa numerică, criteriul de comparare indică grad semnificativ de inegalitate au comparat valorile X și Y, iar criteriul de comparație se referă la un grad mic de inegalitatea lor.
Deoarece problema discutată în acest articol apare numai atunci când se utilizează criteriul de comparație, atunci pentru a o studia, luăm în considerare compararea a două cantități mȘi n pe baza criteriului de comparare. Pentru a compara aceste cantități, împărțim m pe n: .
Analiza rezultatelor compararii valorilor mȘi n poate fi efectuat în două etape: în prima etapă, luăm numitorul raportului neschimbat - valoarea n, pe al doilea numărător - valoarea m(vezi fig. 2).
Pentru a efectua prima etapă a analizei, construim un grafic al dependenței raportului de valoare m(vezi Fig. 3), în timp ce trebuie remarcat că atunci când n=0 relația nu este definită.
După cum se vede în Figura 3, dacă n=const, n¹0, atunci pentru |m|→∞ relația | |→∞, iar pentru |m|→0 relația | |→0.
Pentru a implementa a doua etapă a analizei, construim un grafic al dependenței raportului de valoare n(vezi Fig. 4), în timp ce trebuie remarcat că atunci când n=0 relația nu este definită.
După cum se vede în Figura 4, dacă m=const, m¹0, n¹0, atunci pentru |n|→∞ relația | |→0, iar pentru |n|→0 relația | |→∞. Trebuie remarcat faptul că, pe măsură ce valorile lui | n| modificări egale | n| implică schimbări tot mai mici de atitudine | |. Și când se apropie de valorile zero | n| modificări egale | n| implică schimbări tot mai mari de atitudine | |.
Rezumând rezultatele etapelor I și II ale analizei, le prezentăm sub forma următorului tabel, incluzând în acesta și rezultatele analizei comparative pe baza tipului inițial de criterii (vezi Tabelul 1). Situațiile în care X=0 și Y=0 nu sunt luate în considerare aici. Sperăm să le analizăm pe viitor.
tabelul 1
Rezultate generalizate ale analizei de comparare a valorilorXȘiY
pe baza a două tipuri originale de criterii de comparare
(X¹ 0 șiY¹ 0)
|
7. Galasyuk V.V. Câte tipuri inițiale de criterii de rentabilitate ar trebui să existe: unul, două, trei...?//Bursa.-2000.-№3.-p.39-42. 8. Galasyuk V.V. Pe două tipuri inițiale de criterii de rentabilitate//Întrebări de evaluare, Moscova.-2000.-№1.-p.37-40. 9. Poincaré Henri. Despre știință: Per. din franceza-M.-Nauka. Ediția principală de literatură fizică și matematică, 1983.-560 p. 20.10.2002 |
