Ce se întâmplă cu exponenții la înmulțirea numerelor. Proprietățile gradelor: formulări, dovezi, exemple. Grad cu o bază negativă

Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o oarecare măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

proprietăți de grad

Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietățile puterilor cu aceeași bază, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.

a 4-a proprietate.

Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.

De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.

Cu ajutorul diplomelor, valorile foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.

ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradului ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursul școlar, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.

Adunarea și scăderea puterilor

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie modificate în consecință.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

Asa de, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau plasându-le sub forma unei fracții.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

proprietăți de grad

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea #3
Exponentiație

Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Cum să înmulți puterile

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi produsul puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceeași bază;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza trebuie să rămână aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul total poate fi scos din paranteze:

Luați în considerare cum să multiplicați puterile, cu exemple specifice.

Unitatea din exponent nu este scrisă, dar la înmulțirea gradelor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, numărul de grade poate fi oricare. Trebuie amintit că nu puteți scrie semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea este efectuată mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi - înmulțirea:

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Ai deja un abonament? A intra

În această lecție, vom învăța cum să înmulțim puteri cu aceeași bază. În primul rând, amintim definiția gradului și formulăm o teoremă asupra validității egalității . Apoi dăm exemple de aplicare a acesteia la anumite numere și o demonstrăm. De asemenea, vom aplica teorema pentru a rezolva diverse probleme.

Subiect: Grad cu un indicator natural și proprietățile acestuia

Lecția: Înmulțirea puterilor cu aceleași baze (formulă)

1. Definiții de bază

Definitii de baza:

n- exponent,

— n-a-a putere a unui număr.

2. Enunțul teoremei 1

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

Cu alte cuvinte: dacă A- orice număr; nși k numere naturale, atunci:

De aici regula 1:

3. Explicarea sarcinilor

Concluzie: cazuri speciale au confirmat corectitudinea teoremei nr. 1. Să o demonstrăm în cazul general, adică pentru orice Ași orice natural nși k.

4. Demonstrarea teoremei 1

Dat un număr A- orice; numerele nși k- natural. Dovedi:

Dovada se bazează pe definiția gradului.

5. Rezolvarea exemplelor folosind teorema 1

Exemplul 1: Prezentă ca diplomă.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 1.

g)

6. Generalizarea teoremei 1

Iată o generalizare:

7. Rezolvarea exemplelor folosind o generalizare a teoremei 1

8. Rezolvarea diverselor probleme folosind teorema 1

Exemplul 2: Calculați (puteți folosi tabelul de grade de bază).

A) (conform tabelului)

b)

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu baza 2.

A)

Exemplul 4: Determinați semnul numărului:

, A - negativ deoarece exponentul la -13 este impar.

Exemplul 5:Înlocuiți ( ) cu o putere cu o bază r:

Avem, adică.

9. Rezumând

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al. Algebra 7. Ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010

1. Asistent școlar (Sursa).

1. Exprimați ca grad:

a B C D E)

3. Scrie ca putere cu baza 2:

4. Determinați semnul numărului:

A)

5. Înlocuiți ( ) cu o putere a unui număr cu o bază r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți

În această lecție, vom studia înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți. Mai întâi, să ne amintim definițiile și teoremele de bază despre înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze și ridicarea unei puteri la o putere. Apoi formulăm și demonstrăm teoreme privind înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți. Și apoi, cu ajutorul lor, vom rezolva o serie de probleme tipice.

Reamintire a definițiilor și teoremelor de bază

Aici A- baza gradului

— n-a-a putere a unui număr.

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții, baza rămâne neschimbată.

Teorema 2. Pentru orice număr Ași orice natural nși k, astfel încât n > k egalitatea este adevărată:

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții sunt scăzuți, iar baza rămâne neschimbată.

Teorema 3. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

Toate teoremele de mai sus au fost despre puteri cu aceleași temeiuri, această lecție va lua în considerare grade cu același indicatori.

Exemple de înmulțire a puterilor cu aceiași exponenți

Luați în considerare următoarele exemple:

Să scriem expresiile pentru determinarea gradului.

Concluzie: Din exemple, puteți vedea asta , dar acest lucru trebuie încă dovedit. Formulăm teorema și o demonstrăm în cazul general, adică pentru oricare Ași bși orice natural n.

Afirmația și demonstrarea teoremei 4

Pentru orice numere Ași bși orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 4 .

Prin definiția gradului:

Așa că am dovedit asta .

Pentru a multiplica puteri cu același exponent, este suficient să înmulțiți bazele și să lăsați exponentul neschimbat.

Afirmația și demonstrarea teoremei 5

Formulăm o teoremă pentru împărțirea puterilor cu aceiași exponenți.

Pentru orice număr Ași b() și orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 5 .

Să scriem și prin definiția gradului:

Enunțarea teoremelor în cuvinte

Deci am dovedit că.

Pentru a împărți grade cu aceiași exponenți unul în celălalt, este suficient să împărțiți o bază la alta și să lăsați exponentul neschimbat.

Rezolvarea problemelor tipice folosind teorema 4

Exemplul 1: Exprimați-vă ca un produs al puterilor.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 4.

Pentru a rezolva următorul exemplu, amintiți-vă formulele:

Generalizarea teoremei 4

Generalizarea teoremei 4:

Rezolvarea exemplelor folosind teorema generalizată 4

Continuarea rezolvării problemelor tipice

Exemplul 2: Scrieți ca grad de produs.

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu un exponent de 2.

Exemple de calcul

Exemplul 4: Calculați în cel mai rațional mod.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. si altele.Algebra 7 .M .: Educatie. 2006

2. Asistent școlar (Sursa).

1. Prezentă ca produs al puterilor:

A) ; b) ; în); G) ;

2. Notați ca gradul produsului:

3. Scrieți sub forma unui grad cu indicatorul 2:

4. Calculați în cel mai rațional mod.

Lecție de matematică pe tema „Înmulțirea și împărțirea puterilor”

Secțiuni: Matematică

Scopul pedagogic:

elevul va învăța să distingă între proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu un exponent natural; aplica aceste proprietati in cazul acelorasi baze;

studentul va avea ocazia să poată efectua transformări de grade cu baze diferite și să poată efectua transformări în sarcini combinate.

Sarcini:

organizează munca elevilor prin repetarea materialului studiat anterior;

asigura nivelul de reproducere prin efectuarea de exercitii de diverse tipuri;

organizează autoevaluarea elevilor prin testare.

Unitățile de activitate ale doctrinei: determinarea gradului cu un indicator natural; componente ale gradului; definiția privat; legea asociativă a înmulțirii.

I. Organizarea unei demonstraţii de însuşire a cunoştinţelor existente de către elevi. (pasul 1)

a) Actualizarea cunoștințelor:

2) Formulați o definiție a gradului cu un indicator natural.

a n \u003d a a a a ... a (n ori)

b k \u003d b b b b a ... b (de k ori) Justificați-vă răspunsul.

II. Organizarea autoevaluării stagiarului după gradul de deținere a experienței relevante. (pasul 2)

Test pentru autoexaminare: (lucrare individuală în două versiuni.)

A1) Exprimați produsul 7 7 7 7 x x x ca putere:

A2) Exprimați ca produs gradul (-3) 3 x 2

A3) Calculați: -2 3 2 + 4 5 3

Selectez numărul de sarcini din test în conformitate cu pregătirea nivelului clasei.

Pentru test, dau o cheie pentru autotestare. Criterii: trece-nu.

III. Sarcină educațională și practică (pasul 3) + pasul 4. (elevii înșiși vor formula proprietățile)

calculați: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Simplificați: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

În cursul rezolvării problemelor 1) și 2), elevii propun o soluție, iar eu, ca profesor, organizez o clasă pentru a găsi o modalitate de simplificare a puterilor la înmulțirea cu aceleași baze.

Profesor: găsiți o modalitate de a simplifica puterile atunci când înmulțiți cu aceeași bază.

Pe cluster apare o intrare:

Se formulează tema lecției. Înmulțirea puterilor.

Profesor: veniți cu o regulă pentru împărțirea gradelor cu aceleași baze.

Raționament: ce acțiune verifică diviziunea? a 5: a 3 = ? că a 2 a 3 = a 5

Revin la schema - un grup și suplimentez intrarea - ..la împărțire, scădeți și adăugați subiectul lecției. ...și împărțirea gradelor.

IV. Comunicarea către studenți a limitelor cunoștințelor (ca minim și maxim).

Profesor: sarcina minimului pentru lecția de astăzi este să înveți cum să aplici proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceleași baze, iar maximul: să aplici înmulțirea și împărțirea împreună.

Scrie pe tabla : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organizarea studiului de material nou. (pasul 5)

a) Conform manualului: Nr. 403 (a, c, e) sarcini cu redactare diferită

Nr 404 (a, e, f) muncă independentă, apoi organizez o verificare reciprocă, dau cheile.

b) Pentru ce valoare a lui m este valabilă egalitatea? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Sarcină: veniți cu exemple similare pentru împărțire.

c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Capcane pentru elevi: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Rezumarea a ceea ce s-a învățat, efectuarea lucrărilor de diagnosticare (care încurajează studenții, nu profesorii, să studieze acest subiect) (pasul 6)

munca de diagnosticare.

Test(așezați cheile pe spatele testului).

Opțiuni de sarcină: prezentați ca grad coeficientul x 15: x 3; reprezintă ca putere produsul (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pentru care m este egalitatea a 16 a m = a 32 adevărat; aflați valoarea expresiei h 0: h 2 cu h = 0,2; se calculează valoarea expresiei (5 2 5 0) : 5 2 .

Rezumatul lecției. Reflecţie.Împărțim clasa în două grupe.

Găsiți argumentele grupei I: în favoarea cunoașterii proprietăților gradului, iar grupa II - argumente care vor spune că vă puteți descurca fără proprietăți. Ascultăm toate răspunsurile, tragem concluzii. În lecțiile ulterioare, puteți oferi date statistice și puteți denumi rubrica „Nu se potrivește în capul meu!”

O persoană obișnuită mănâncă 32 10 2 kg de castraveți în timpul vieții.

Viespa este capabilă să efectueze un zbor non-stop de 3,2 10 2 km.

Când sticla crapă, fisura se propagă cu o viteză de aproximativ 5 10 3 km/h.

O broasca mananca peste 3 tone de tantari in timpul vietii. Folosind gradul, scrieți în kg.

Cel mai prolific este peștele oceanic - luna (Mola mola), care depune până la 300.000.000 de ouă cu un diametru de aproximativ 1,3 mm într-o singură depunere. Scrieți acest număr folosind o diplomă.

VII. Teme pentru acasă.

Referință istorică. Ce numere se numesc numere Fermat.

P.19. #403, #408, #417

Cărți folosite:

Manual „Algebra-7”, autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și alții.

Material didactic pentru clasa a VII-a, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvovich, S.B. Suvorov.

Enciclopedia de matematică.

Jurnalul „Quantum”.

Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple.

După ce gradul numărului este determinat, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol, vom oferi proprietățile de bază ale gradului unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradului și, de asemenea, vom arăta cum aceste proprietăți sunt aplicate atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea unui n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a . Pe baza acestei definiții și folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n , generalizarea lui a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze a m:a n =a m−n ;

proprietatea gradului produsului (a b) n =a n b n , extensia sa (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

proprietatea câtului în natură (a:b) n =a n:b n ;

exponențiația (a m) n =a m n , generalizarea ei (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

compararea gradului cu zero:

• dacă a>0, atunci a n >0 pentru orice n natural;
• dacă a=0, atunci a n =0;
• dacă a 2 m >0 , dacă a 2 m−1 n ;
• dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, iar părțile lor din dreapta și din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m a n = a m + n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n = a m a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unui grad cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m a n poate fi scris ca produs . Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este puterea lui a cu exponent natural m+n , adică a m+n . Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, conform proprietății principale a gradului, putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Să verificăm validitatea acestuia, pentru care calculăm valorile expresiilor 2 2 ·2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiația, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 și 2 5 =2 2 2 2 2=32 , deoarece obținem valori egale, atunci egalitatea 2 2 2 3 = 2 5 este adevărat și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea principală a unui grad bazată pe proprietățile înmulțirii poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe grade cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k este adevărată.

De exemplu, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Puteți trece la următoarea proprietate a grade cu un indicator natural - proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n , egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a da dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că este imposibil să împărțim la zero. Se introduce condiția m>n pentru a nu depăși exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n, exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă când m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă când m m−n a n =a (m−n) + n = a m Din egalitatea obținută a m−n a n = a m și din relația de înmulțire cu împărțire rezultă că a m−n este o putere parțială a a m și a n Aceasta dovedește proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze.

Să luăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, proprietatea considerată a gradului corespunde egalității π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Acum luați în considerare proprietatea gradului de produs: gradul natural n al produsului a oricăror două numere reale a și b este egal cu produsul gradelor a n și b n , adică (a b) n =a n b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural, avem . Ultimul produs, bazat pe proprietățile înmulțirii, poate fi rescris ca , care este egal cu a n b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la gradul de produs a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea naturală a gradului n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Pentru claritate, arătăm această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7, avem .

Următoarea proprietate este proprietate naturală: câtul numerelor reale a și b , b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n , adică (a:b) n =a n:b n .

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Deci (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , iar din egalitatea (a:b) n b n =a n rezultă că (a:b) n este un coeficient de a n la b n .

Să scriem această proprietate folosind exemplul unor numere specifice: .

Acum hai să ne dăm voce proprietatea de exponentiare: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea lui a cu exponent m·n , adică (a m) n =a m·n .

De exemplu, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dovada proprietății puterii într-un grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea considerată poate fi extinsă la grad în grad în grad și așa mai departe. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, să dăm un exemplu cu numere specifice: ((((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Începem prin a demonstra proprietatea de comparație a zero și a puterii cu un exponent natural.

Mai întâi, să justificăm că a n >0 pentru orice a>0 .

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii ne permit să afirmăm că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea lui a cu exponent natural n este, prin definiție, produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a gradul lui n este un număr pozitiv. În virtutea proprietății dovedite 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice n natural cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0 .

Să trecem la baze negative.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, notăm-l ca 2 m , unde m este un număr natural. Apoi . Conform regulii înmulțirii numerelor negative, fiecare dintre produsele formei a a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv. iar gradul a 2 m . Iată exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza lui a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. În virtutea acestei proprietăți, (−5) 3 17 n n este produsul părților din stânga și din dreapta ale n inegalități adevărate a proprietăți ale inegalităților, inegalitatea fiind demonstrată este de forma a n n . De exemplu, datorită acestei proprietăți, inegalitățile 3 7 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre cele două grade cu indicatori naturali și aceleași baze pozitive, mai puțin de unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul al cărui indicator este mai mare este mai mare. Ne întoarcem la dovada acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0m n . Pentru a face acest lucru, scriem diferența a m − a n și o comparăm cu zero. Diferența scrisă după scoaterea a n din paranteze va lua forma a n ·(a m−n −1) . Produsul rezultat este negativ ca produsul dintre un număr pozitiv a n și un număr negativ a m−n −1 (a n este pozitiv ca putere naturală a unui număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este negativă, deoarece m−n >0 datorita conditiei initiale m>n , de unde rezulta ca pentru 0m−n este mai mica decat unu). Prin urmare, a m − a n m n , care trebuia demonstrat. De exemplu, dăm inegalitatea corectă.

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1, a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul lui n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1, gradul unui m−n este mai mare decât unu . Prin urmare, a m − a n >0 și a m >a n , ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2 .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, astfel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali exprimate prin egalități rămân valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele gradelor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate proprietățile gradelor cu exponenți întregi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a n n și a−n>b−n ;
• dacă m și n sunt numere întregi, și m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>1, inegalitatea a m >a n este satisfăcută.

Pentru a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Nu este greu de demonstrat fiecare dintre aceste proprietăți, pentru aceasta este suficient să folosim definițiile gradului cu exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea puterii este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) și (a −p) −q =a (−p) (−q) . S-o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost demonstrată în subsecțiunea anterioară. Dacă p=0 , atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0 q =a 0 =1 , de unde (a 0) q =a 0 q . În mod similar, dacă q=0 , atunci (a p) 0 =1 și a p 0 =a 0 =1 , de unde (a p) 0 =a p 0 . Dacă ambele p=0 și q=0 , atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0 0 =a 0 =1 , de unde (a 0) 0 =a 0 0 .

Să demonstrăm acum că (a −p) q =a (−p) q . Prin definiția unui grad cu un exponent întreg negativ , atunci . După proprietatea coeficientului în grad, avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie este, prin definiție, o putere de forma a −(p q) , care, în virtutea regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p) q .

În mod similar .

Și .

Prin același principiu, se pot demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu exponent întreg, scrise sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile scrise, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a −n >b −n , care este adevărată pentru orice întreg negativ −n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a . Scriem și transformăm diferența dintre părțile din stânga și din dreapta acestei inegalități: . Deoarece prin condiția a n n , prin urmare, b n − a n >0 . Produsul a n ·b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca un cât de numere pozitive b n − a n și a n b n . De unde a −n >b −n , care trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în același mod ca proprietatea analogă a gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit gradul cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, grade cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și grade cu exponenți întregi. Și anume:

1. proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
2. proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze pentru a>0;
3. proprietatea produsului fracționat pentru a>0 și b>0 și dacă și , atunci pentru a≥0 și (sau) b≥0;
4. proprietatea coeficientului la o putere fracționară pentru a>0 și b>0 și dacă , atunci pentru a≥0 și b>0;
5. grad proprietate în grad pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
6. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali: pentru orice numere pozitive a și b, a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali și baze egale: pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar, pe proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să dăm dovada.

Prin definiția gradului cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea gradului cu exponent întreg, obținem , de unde, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar exponentul gradului obținut poate fi convertit astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari se demonstrează exact în același mod:


Restul egalităților sunt dovedite prin principii similare:


Ne întoarcem la dovada următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p . Scriem numărul rațional p ca m/n , unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condițiile p 0 în acest caz vor fi echivalente cu condițiile m 0, respectiv. Pentru m>0 și am m . Din această inegalitate, prin proprietatea rădăcinilor, avem , iar întrucât a și b sunt numere pozitive, atunci, pe baza definiției gradului cu exponent fracționar, inegalitatea rezultată poate fi rescrisă ca , adică a p p .

În mod similar, când m m >b m , de unde , adică și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, să obținem fracțiile obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din regula de comparare a fracțiilor ordinare cu aceiași numitori. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali, pentru 0m 1 m 2 , iar pentru a>1, inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în ceea ce privește proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise, respectiv, ca și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalitățile și, respectiv. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0p q , iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b , a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

• Algebră - clasa a X-a. Ecuații trigonometrice Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice” Materiale suplimentare Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentarii, feedback, sugestii! Toate materialele […]
• A fost deschis un concurs pentru postul de „VÂNZĂTOR – CONSULTANT”: Responsabilități: vânzarea de telefoane mobile și accesorii pentru serviciul de comunicații mobile pentru abonații Beeline, Tele2, MTS conectarea planurilor tarifare și a serviciilor Beeline și Tele2, MTS […]
• Un paralelipiped cu formula Un paralelipiped este un poliedru cu 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un paralelogram. Un cuboid este un cuboid a cărui față este un dreptunghi. Orice paralelipiped este caracterizat de 3 […]
• Societatea pentru Protecția Drepturilor Consumatorului Astana Pentru a obține un cod PIN pentru a accesa acest document pe site-ul nostru, trimiteți un mesaj SMS cu textul zan la numărul Abonaților operatorilor GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) prin trimiterea unui SMS în cameră, […]
• ORTOGRAFIA Н ȘI НН ÎN DIFERITE PĂRȚI DE VORBA 2. Numiți excepțiile de la aceste reguli. 3. Cum să distingem un adjectiv verbal cu sufixul -n- de un participiu cu […]
• Adoptarea unei legi cu privire la gospodăria rudelor Adoptarea unei legi federale privind alocarea gratuită a unui teren către fiecare cetățean al Federației Ruse sau o familie de cetățeni care dorește să dezvolte o gospodărie a rudelor în următoarele condiții: 1. Terenul este alocate pentru […]
• INSPECȚIA GOSTEKHNADZOR AL REGIUNII BRYANSK Chitanța plății taxei de stat (Descărcare-12,2 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane fizice (Descărcare-12 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane juridice (Descărcare-11,4 kb) 1. La înmatricularea unei mașini noi: 1.cerere 2.pașaport […]
• Nu am mai jucat turnee 1x1 de mult timp. Și este timpul să reluăm această tradiție. Până când vom putea organiza o scară separată și turnee pentru jucătorii 1v1, vă sugerăm să folosiți profilurile echipei dvs. de pe site. Scădeți sau adăugați puncte pentru jocurile din meciuri […]

Mai devreme am vorbit deja despre ce este o putere a unui număr. Are anumite proprietăți care sunt utile în rezolvarea problemelor: ei și toți exponenții posibili îi vom analiza în acest articol. De asemenea, vom demonstra prin exemple cum pot fi dovedite și aplicate corect în practică.

Să ne amintim conceptul de grad cu exponent natural, pe care l-am formulat deja mai devreme: acesta este produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. De asemenea, trebuie să ne amintim cum să înmulțim corect numerele reale. Toate acestea ne vor ajuta să formulăm următoarele proprietăți pentru un grad cu un indicator natural:

Definiția 1

1. Proprietatea principală a gradului: a m a n = a m + n

Poate fi generalizat la: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Proprietatea coeficientului pentru puteri care au aceeași bază: a m: a n = a m − n

3. Proprietatea gradului de produs: (a b) n = a n b n

Egalitatea poate fi extinsă la: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Proprietatea unui grad natural: (a: b) n = a n: b n

5. Ridicam puterea la putere: (a m) n = a m n ,

Poate fi generalizat la: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Comparați gradul cu zero:

• dacă a > 0, atunci pentru orice n natural, a n va fi mai mare decât zero;
• cu a egal cu 0, a n va fi de asemenea egal cu zero;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• Pentru o< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Egalitatea a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Inegalitatea a m > a n va fi adevărată cu condiția ca m și n să fie numere naturale, m este mai mare decât n și a este mai mare decât zero și nu mai mic decât unu.

Drept urmare, am obținut mai multe egalități; daca indepliniti toate conditiile indicate mai sus, atunci acestea vor fi identice. Pentru fiecare dintre egalități, de exemplu, pentru proprietatea principală, puteți schimba părțile din dreapta și din stânga: a m · a n = a m + n - la fel ca a m + n = a m · a n . În această formă, este adesea folosit la simplificarea expresiilor.

1. Să începem cu proprietatea principală a gradului: egalitatea a m · a n = a m + n va fi adevărată pentru orice m natural și n și real a . Cum să dovedesc această afirmație?

Definiția de bază a puterilor cu exponenți naturali ne va permite să transformăm egalitatea într-un produs de factori. Vom primi o intrare ca aceasta:

Acesta poate fi scurtat la (amintiți-vă proprietățile de bază ale înmulțirii). Ca rezultat, am obținut gradul numărului a cu exponent natural m + n. Astfel, a m + n , ceea ce înseamnă că proprietatea principală a gradului este dovedită.

Să luăm un exemplu concret pentru a demonstra acest lucru.

Exemplul 1

Deci avem două puteri cu baza 2. Indicatorii lor naturali sunt 2, respectiv 3. Obținem egalitatea: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Să calculăm valorile pentru a verifica corectitudinea acestei egalități.

Să efectuăm operațiile matematice necesare: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 și 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Ca rezultat, am obținut: 2 2 2 3 = 2 5 . Proprietatea a fost dovedită.

Datorită proprietăților înmulțirii, putem generaliza proprietatea formulând-o sub forma a trei sau mai multe puteri, pentru care exponenții sunt numere naturale, iar bazele sunt aceleași. Dacă notăm numărul de numere naturale n 1, n 2 etc. cu litera k, obținem egalitatea corectă:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Exemplul 2

2. În continuare, trebuie să demonstrăm următoarea proprietate, care se numește proprietatea coeficientului și este inerentă puterilor cu aceleași baze: aceasta este egalitatea a m: a n = a m − n , care este valabilă pentru orice m și n natural (și m este mai mare decât n)) și orice real diferit de zero a .

Pentru început, să explicăm care este sensul exact al condițiilor care sunt menționate în formulare. Dacă luăm un egal cu zero, atunci în final vom obține o împărțire la zero, ceea ce nu se poate face (la urma urmei, 0 n = 0). Condiția ca numărul m să fie mai mare decât n este necesară pentru a ne rămâne în cadrul exponenților naturali: scăzând n din m, obținem un număr natural. Dacă condiția nu este îndeplinită, vom obține un număr negativ sau zero și, din nou, vom trece dincolo de studiul grade cu indicatori naturali.

Acum putem trece la dovadă. Din cele studiate anterior, amintim proprietățile de bază ale fracțiilor și formulăm egalitatea după cum urmează:

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

Din ea putem deduce: a m − n a n = a m

Amintiți-vă legătura dintre împărțire și înmulțire. Din aceasta rezultă că a m − n este un coeficient de puteri a m și a n . Aceasta este dovada proprietății de gradul doi.

Exemplul 3

Înlocuiți numere specifice pentru claritate în indicatori și notați baza gradului π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. În continuare, vom analiza proprietatea gradului produsului: (a · b) n = a n · b n pentru orice a și b real și n natural .

Conform definiției de bază a unui grad cu exponent natural, putem reformula egalitatea după cum urmează:

Reamintindu-ne proprietatile inmultirii, scriem: . Înseamnă la fel ca a n · b n .

Exemplul 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Dacă avem trei sau mai mulți factori, atunci această proprietate se aplică și în acest caz. Introducem notatia k pentru numarul de factori si scriem:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

Exemplul 5

Cu numere specifice, obținem următoarea egalitate corectă: (2 (- 2 , 3) ​​​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​​​7 a

4. După aceea, vom încerca să demonstrăm proprietatea coeficientului: (a: b) n = a n: b n pentru orice a și b real dacă b nu este egal cu 0 și n este un număr natural.

Pentru demonstrație, putem folosi proprietatea gradului anterior. Dacă (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n și (a: b) n b n = a n , atunci rezultă că (a: b) n este un coeficient de împărțire a a n la b n .

Exemplul 6

Să numărăm exemplul: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Exemplul 7

Să începem imediat cu un exemplu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Și acum formulăm un lanț de egalități care ne vor dovedi corectitudinea egalității:

Dacă avem grade de grade în exemplu, atunci această proprietate este adevărată și pentru ei. Dacă avem numere naturale p, q, r, s, atunci va fi adevărat:

a p q y s = a p q y s

Exemplul 8

Să adăugăm detalii: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. O altă proprietate a gradelor cu exponent natural pe care trebuie să o dovedim este proprietatea de comparație.

Mai întâi, să comparăm exponentul cu zero. De ce a n > 0 cu condiția ca a să fie mai mare decât 0?

Dacă înmulțim un număr pozitiv cu altul, vom obține și un număr pozitiv. Cunoscând acest fapt, putem spune că acesta nu depinde de numărul de factori - rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive este un număr pozitiv. Și ce este un grad, dacă nu rezultatul înmulțirii numerelor? Atunci pentru orice putere un n cu o bază pozitivă și un exponent natural, acest lucru va fi adevărat.

Exemplul 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 și 34 9 13 51 > 0

De asemenea, este evident că o putere cu o bază egală cu zero este ea însăși zero. La orice putere vom ridica zero, așa va rămâne.

Exemplul 10

0 3 = 0 și 0 762 = 0

Dacă baza gradului este un număr negativ, atunci demonstrația este puțin mai complicată, deoarece conceptul de exponent par / impar devine important. Să începem cu cazul în care exponentul este par și să-l notăm cu 2 · m , unde m este un număr natural.

Să ne amintim cum să înmulțim corect numerele negative: produsul a · a este egal cu produsul modulelor și, prin urmare, va fi un număr pozitiv. Apoi iar gradul a 2 · m sunt de asemenea pozitive.

Exemplul 11

De exemplu, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 și - 2 9 6 > 0

Ce se întâmplă dacă exponentul cu bază negativă este un număr impar? Să-l notăm 2 · m − 1 .

Apoi

Toate produsele a · a , conform proprietăților înmulțirii, sunt pozitive, la fel și produsul lor. Dar dacă o înmulțim cu singurul număr rămas a , atunci rezultatul final va fi negativ.

Atunci obținem: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Cum să demonstrez asta?

un n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Exemplul 12

De exemplu, inegalitățile sunt adevărate: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Rămâne să demonstrăm ultima proprietate: dacă avem două grade, ale căror baze sunt aceleași și pozitive, iar exponenții sunt numere naturale, atunci unul dintre ele este mai mare, al cărui exponent este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul al cărui indicator este mai mare este mai mare.

Să demonstrăm aceste afirmații.

Mai întâi trebuie să ne asigurăm că un m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Scoatem un n din paranteze, după care diferența noastră va lua forma a n · (am − n − 1) . Rezultatul acestuia va fi negativ (deoarece rezultatul înmulțirii unui număr pozitiv cu unul negativ este negativ). Într-adevăr, conform condițiilor inițiale, m − n > 0, atunci a m − n − 1 este negativ, iar primul factor este pozitiv, ca orice putere naturală cu bază pozitivă.

S-a dovedit că a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Rămâne de demonstrat a doua parte a afirmației formulate mai sus: a m > a este adevărat pentru m > n și a > 1 . Indicăm diferența și scoatem un n din paranteze: (a m - n - 1) Puterea unui n cu un mai mare de unu va da un rezultat pozitiv; iar diferența în sine se va dovedi pozitivă din cauza condițiilor inițiale, iar pentru a > 1 gradul a m − n este mai mare decât unu. Rezultă că a m − a n > 0 și a m > a n , ceea ce trebuia să demonstrăm.

Exemplul 13

Exemplu cu numere specifice: 3 7 > 3 2

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți întregi

Pentru grade cu exponenți întregi pozitivi, proprietățile vor fi similare, deoarece numerele întregi pozitive sunt naturale, ceea ce înseamnă că toate egalitățile dovedite mai sus sunt valabile și pentru ele. Sunt potrivite și pentru cazurile în care exponenții sunt negativi sau egali cu zero (cu condiția ca baza gradului în sine să fie diferită de zero).

Astfel, proprietățile puterilor sunt aceleași pentru orice baze a și b (cu condiția ca aceste numere să fie reale și nu egale cu 0) și orice exponenți m și n (cu condiția ca acestea să fie numere întregi). Le scriem pe scurt sub formă de formule:

Definiția 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n cu întreg pozitiv n , pozitiv a și b , a< b

7 dimineata< a n , при условии целых m и n , m >n și 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Dacă baza gradului este egală cu zero, atunci intrările a m și a n au sens numai în cazul m și n natural și pozitiv. Ca urmare, constatăm că formulările de mai sus sunt potrivite și pentru cazurile cu un grad cu o bază zero, dacă sunt îndeplinite toate celelalte condiții.

Dovezile acestor proprietăți în acest caz sunt simple. Va trebui să ne amintim ce este un grad cu un exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale.

Să analizăm proprietatea gradului în grad și să demonstrăm că este adevărată atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Începem prin a demonstra egalitățile (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) și (a − p) − q = a (− p) (−q)

Condiții: p = 0 sau număr natural; q - la fel.

Dacă valorile lui p și q sunt mai mari decât 0, atunci obținem (a p) q = a p · q . Am demonstrat deja o egalitate similară înainte. Dacă p = 0 atunci:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Prin urmare, (a 0) q = a 0 q

Pentru q = 0 totul este exact la fel:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Rezultat: (a p) 0 = a p 0 .

Dacă ambii indicatori sunt zero, atunci (a 0) 0 = 1 0 = 1 și a 0 0 = a 0 = 1, atunci (a 0) 0 = a 0 0 .

Amintiți-vă proprietatea coeficientului în puterea demonstrată mai sus și scrieți:

1 a p q = 1 q a p q

Dacă 1 p = 1 1 … 1 = 1 și a p q = a p q , atunci 1 q a p q = 1 a p q

Putem transforma această notație în virtutea regulilor de înmulțire de bază în a (− p) · q .

De asemenea: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

ȘI (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Proprietățile rămase ale gradului pot fi demonstrate în mod similar prin transformarea inegalităților existente. Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, vom indica doar punctele dificile.

Dovada penultimei proprietăți: reamintim că a - n > b - n este adevărată pentru orice valori întregi negative ale lui n și orice a și b pozitive, cu condiția ca a să fie mai mic decât b.

Atunci inegalitatea poate fi transformată după cum urmează:

1 a n > 1 b n

Scriem părțile din dreapta și din stânga ca diferență și efectuăm transformările necesare:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Reamintim că în condiția a este mai mică decât b , atunci, conform definiției unui grad cu exponent natural: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ajunge să fie un număr pozitiv deoarece factorii săi sunt pozitivi. Ca rezultat, avem o fracție b n - a n a n · b n , care în final dă și un rezultat pozitiv. De aici 1 a n > 1 b n de unde a − n > b − n , ceea ce a trebuit să dovedim.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în mod similar cu proprietatea gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile de bază ale gradelor cu exponenți raționali

În articolele anterioare, am discutat despre ce este un grad cu un exponent rațional (fracțional). Proprietățile lor sunt aceleași cu cele ale gradelor cu exponenți întregi. Hai să scriem:

Definiția 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (puteri de proprietate a produsului cu aceeași bază).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 dacă a > 0 (proprietatea coeficientului).

3. a b m n = a m n b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 și (sau) b ≥ 0 (proprietatea produsului în grad fracționar).

4. a: b m n \u003d a m n: b m n pentru a > 0 și b > 0, iar dacă m n > 0, atunci pentru a ≥ 0 și b > 0 (proprietatea unui coeficient într-un grad fracționar).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 pentru a > 0, iar dacă m 1 n 1 > 0 și m 2 n 2 > 0, atunci pentru a ≥ 0 (proprietatea gradului în grade).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; dacă p< 0 - a p >b p (proprietatea de a compara grade cu exponenți raționali egali).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q la 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Pentru a demonstra aceste prevederi, trebuie să ne amintim ce este un grad cu un exponent fracționar, care sunt proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și care sunt proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Să aruncăm o privire la fiecare proprietate.

În funcție de ce este un grad cu exponent fracționar, obținem:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 și a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, prin urmare, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Proprietățile rădăcinii ne vor permite să obținem egalități:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Din aceasta obținem: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Să transformăm:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Exponentul poate fi scris astfel:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Aceasta este dovada. A doua proprietate este dovedită exact în același mod. Să scriem lanțul de egalități:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Dovezi ale egalităților rămase:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Următoarea proprietate: să demonstrăm că pentru orice valori ale lui a și b mai mari decât 0, dacă a este mai mică decât b, se va executa a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Să reprezentăm un număr rațional p ca m n . În acest caz, m este un număr întreg, n este un număr natural. Apoi condițiile p< 0 и p >0 va fi extins la m< 0 и m >0 . Pentru m > 0 și a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Folosim proprietatea rădăcinilor și derivăm: a m n< b m n

Ținând cont de pozitivitatea valorilor a și b, rescriem inegalitatea ca a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

În același mod, pentru m< 0 имеем a a m >b m , obținem a m n > b m n deci a m n > b m n și a p > b p .

Rămâne să dovedim ultima proprietate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p > q pentru 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ar fi adevărat a p > a q .

Numerele raționale p și q pot fi reduse la un numitor comun și obțin fracțiile m 1 n și m 2 n

Aici m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. Dacă p > q, atunci m 1 > m 2 (ținând cont de regula de comparare a fracțiilor). Apoi la 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – inegalitatea a 1 m > a 2 m .

Ele pot fi rescrise în următoarea formă:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Apoi puteți face transformări și obțineți ca rezultat:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Pentru a rezuma: pentru p > q și 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Proprietățile de bază ale grade cu exponenți iraționali

Toate proprietățile descrise mai sus pe care le posedă un grad cu exponenți raționali pot fi extinse până la un asemenea grad. Aceasta rezultă din însăși definiția sa, pe care am dat-o într-unul din articolele anterioare. Să formulăm pe scurt aceste proprietăți (condiții: a > 0 , b > 0 , indicatorii p și q sunt numere iraționale):

Definiția 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , apoi a p > a q .

Astfel, toate puterile ai căror exponenți p și q sunt numere reale, cu condiția ca a > 0, au aceleași proprietăți.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

1. Nu uitați de proprietățile obișnuite ale gradelor:

2. . Aici ne amintim că am uitat să învățăm tabelul de grade:

la urma urmei – asta sau. Soluția se găsește automat: .

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum se face asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de greu de imaginat un grad cu un exponent irațional (la fel cum este greu de imaginat un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Una dintre principalele caracteristici în algebră, și într-adevăr în toată matematica, este o diplomă. Desigur, în secolul 21, toate calculele pot fi efectuate pe un calculator online, dar este mai bine să înveți cum să o faci singur pentru dezvoltarea creierului.

În acest articol, vom lua în considerare cele mai importante aspecte legate de această definiție. Și anume, vom înțelege ce este în general și care sunt principalele sale funcții, ce proprietăți există în matematică.

Să ne uităm la exemple despre cum arată calculul, care sunt formulele de bază. Vom analiza principalele tipuri de cantități și modul în care acestea diferă de alte funcții.

Vom înțelege cum să rezolvăm diverse probleme folosind această valoare. Vom arăta cu exemple cum să ridici la un grad zero, irațional, negativ etc.

Calculator de exponențiere online

Care este gradul unui număr

Ce înseamnă expresia „ridică un număr la o putere”?

Gradul n al unui număr a este produsul factorilor de mărime de n ori la rând.

Matematic arata asa:

a n = a * a * a * …a n .

De exemplu:

• 2 3 = 2 în a treia etapă. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 în pas. doi = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 în pas. patru = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 în 5 pași. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 în pași 4. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Mai jos este un tabel cu pătrate și cuburi de la 1 la 10.

Tabelul gradelor de la 1 la 10

Mai jos sunt rezultatele ridicării numerelor naturale la puteri pozitive - „de la 1 la 100”.

Ch-lo	clasa a II-a	clasa a 3-a
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Proprietăți de grad

Care este caracteristica unei astfel de funcții matematice? Să ne uităm la proprietățile de bază.

Oamenii de știință au stabilit următoarele semne caracteristice tuturor gradelor:

• a n * a m = (a) (n+m);
• a n: a m = (a) (n-m);
• (a b) m =(a) (b*m) .

Să verificăm cu exemple:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Pe de altă parte 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

În mod similar: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Altfel 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ce se întâmplă dacă este diferit? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

După cum puteți vedea, regulile funcționează.

Dar cum să fii cu adunare și scădere? Totul este simplu. Se efectuează prima exponențiere și abia apoi adunarea și scăderea.

Să ne uităm la exemple:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Dar în acest caz, mai întâi trebuie să calculați adunarea, deoarece există acțiuni între paranteze: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Cum se produc calcule în cazuri mai complexe? Ordinea este aceeași:

• dacă există paranteze, trebuie să începeți cu ele;
• apoi exponentiarea;
• apoi efectuați operații de înmulțire, împărțire;
• după adunare, scădere.

Există proprietăți specifice care nu sunt caracteristice tuturor gradelor:

1. Rădăcina gradului al n-lea de la numărul a până la gradul m se va scrie astfel: a m / n .
2. La ridicarea unei fracții la o putere: atât numărătorul, cât și numitorul acesteia sunt supuse acestei proceduri.
3. Când se ridică produsul diferitelor numere la o putere, expresia va corespunde produsului dintre aceste numere la o putere dată. Adică: (a * b) n = a n * b n .
4. Când ridicați un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți 1 la un număr de aceeași putere, dar cu semnul „+”.
5. Dacă numitorul unei fracții este într-o putere negativă, atunci această expresie va fi egală cu produsul numărătorului și numitorul într-o putere pozitivă.
6. Orice număr la puterea lui 0 = 1 și la pas. 1 = pentru sine.

Aceste reguli sunt importante în cazuri individuale, le vom analiza mai detaliat mai jos.

Gradul cu exponent negativ

Ce să faci cu un grad negativ, adică atunci când indicatorul este negativ?

Pe baza proprietăților 4 și 5(vezi punctul de mai sus) se dovedește:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Si invers:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Dacă este o fracție?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad cu un indicator natural

Este înțeles ca un grad cu exponenți egali cu numere întregi.

Lucruri de amintit:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...etc.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... etc.

De asemenea, dacă (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... atunci rezultatul va fi cu semnul „+”. Dacă un număr negativ este ridicat la o putere impară, atunci invers.

Proprietățile generale și toate caracteristicile specifice descrise mai sus sunt, de asemenea, caracteristice acestora.

Gradul fracționat

Această vedere poate fi scrisă ca o schemă: A m / n. Se citește astfel: rădăcina gradului al n-lea al numărului A la puterea lui m.

Cu un indicator fracțional, puteți face orice: reduceți, descompuneți în părți, ridicați la un alt grad etc.

Gradul cu exponent irațional

Fie α un număr irațional și А ˃ 0.

Pentru a înțelege esența gradului cu un astfel de indicator, Să ne uităm la diferite cazuri posibile:

• A \u003d 1. Rezultatul va fi egal cu 1. Deoarece există o axiomă - 1 este egal cu unul în toate puterile;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 sunt numere raționale;

• 0˂А˂1.

În acest caz, invers: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 în aceleași condiții ca la al doilea paragraf.

De exemplu, exponentul este numărul π. Este rațional.

r 1 - în acest caz este egal cu 3;

r 2 - va fi egal cu 4.

Atunci, pentru A = 1, 1 π = 1.

A = 2, apoi 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, apoi (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Astfel de grade sunt caracterizate de toate operațiile matematice și proprietățile specifice descrise mai sus.

Concluzie

Să rezumam - pentru ce sunt aceste valori, care sunt avantajele unor astfel de funcții? Desigur, în primul rând, simplifică viața matematicienilor și programatorilor atunci când rezolvă exemple, deoarece permit reducerea la minimum a calculelor, reducerea algoritmilor, sistematizarea datelor și multe altele.

Unde mai pot fi utile aceste cunoștințe? În orice specialitate de lucru: medicină, farmacologie, stomatologie, construcții, tehnologie, inginerie, proiectare etc.