Ce este un tabel de funcții. Construirea graficelor de funcții. Funcția de putere cu exponent pozitiv chiar

1. Funcția fracțională liniară și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. În mod similar funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca un coeficient de două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. funcția de vizualizare

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția liniar-fracțională este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți y = 1/x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă se apropie de jos. Liniile abordate de ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.

Exemplul 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Soluţie.

Să selectăm partea întreagă: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întindere de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasare cu 2 segmente de unitate în sus.

Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în același mod, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole deplasate de-a lungul axelor de coordonate în diferite moduri și întinse de-a lungul axei Oy.

Pentru a reprezenta graficul unei funcții liniar-fracționale arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.

Exemplul 2

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluţie.

Funcția nu este definită, pentru x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3

Trasează funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluţie.

Selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare de 1 unitate la stânga, un afișaj simetric față de Ox și o deplasare de 2 unităţi de intervale în sus de-a lungul axei Oy.

Domeniul definiției D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.

Răspuns: figura 1.

2. Funcția fracțională-rațională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y = P(x) / Q(x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complicat și uneori poate fi dificil să îl construiți exact. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.

Fie fracția proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

În mod evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea funcțiilor raționale fracționale

Luați în considerare mai multe moduri de a reprezenta o funcție fracțională-rațională.

Exemplul 4

Trasează funcția y = 1/x 2 .

Soluţie.

Folosim graficul funcției y \u003d x 2 pentru a reprezenta graficul y \u003d 1 / x 2 și folosim metoda de „împărțire” a graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este egală. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 5

Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Soluţie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: figura 3.

Exemplul 6

Trasează funcția y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Soluţie.

Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa y. Înainte de a trasa, transformăm din nou expresia prin evidențierea părții întregi:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Rețineți că selecția părții întregi în formula unei funcții fracționale-raționale este una dintre principalele la trasarea graficelor.

Dacă x → ​​±∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 7

Luați în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea sa cea mai mare, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Este evident că curba noastră nu poate „urca” foarte sus, de vreme ce numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Deci presupunerea noastră este greșită. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să aflați pentru care cea mai mare A ecuația A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A \u003d 1/2.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să construiți grafice de funcții?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Funcțiile elementare de bază, proprietățile lor inerente și graficele corespunzătoare sunt unul dintre bazele cunoștințelor matematice, similare ca importanță cu tabla înmulțirii. Funcțiile elementare sunt baza, suportul pentru studiul tuturor problemelor teoretice.

Articolul de mai jos oferă material cheie pe tema funcțiilor elementare de bază. Vom introduce termeni, le vom da definiții; Să studiem în detaliu fiecare tip de funcții elementare și să le analizăm proprietățile.

Se disting următoarele tipuri de funcții elementare de bază:

Definiția 1

• funcție constantă (constant);
• rădăcina gradului al n-lea;
• funcția de putere;
• functie exponentiala;
• funcția logaritmică;
• funcții trigonometrice;
• funcţii trigonometrice fraterne.

O funcție constantă este definită prin formula: y = C (C este un număr real) și are, de asemenea, un nume: constantă. Această funcție determină dacă orice valoare reală a variabilei independente x corespunde aceleiași valori a variabilei y – valoarea C .

Graficul unei constante este o dreaptă care este paralelă cu axa x și trece printr-un punct având coordonatele (0, C). Pentru claritate, prezentăm grafice ale funcțiilor constante y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (marcate cu negru, roșu și, respectiv, albastru în desen).

Definiția 2

Această funcție elementară este definită prin formula y = x n (n este un număr natural mai mare decât unu).

Să luăm în considerare două variante ale funcției.

1. Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par

Pentru claritate, indicăm desenul, care arată graficele unor astfel de funcții: y = x , y = x 4 și y = x 8 . Aceste funcții sunt codate pe culori: negru, roșu și, respectiv, albastru.

O vedere similară a graficelor funcției de un grad par pentru alte valori ale indicatorului.

Definiția 3

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr par

• domeniul de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale nenegative [ 0 , + ∞) ;
• când x = 0, funcția y = x n are o valoare egală cu zero;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici par, nici impar);
• interval: [ 0 , + ∞) ;
• această funcție y = x n cu exponenți pari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
• funcția are o convexitate cu direcție ascendentă pe întregul domeniu de definiție;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• graficul funcției pentru n par trece prin punctele (0 ; 0) și (1 ; 1) .

1. Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr impar

O astfel de funcție este definită pe întregul set de numere reale. Pentru claritate, luați în considerare graficele funcțiilor y = x 3 , y = x 5 și x 9 . În desen, acestea sunt indicate prin culori: culorile negru, roșu și albastru ale curbelor, respectiv.

Alte valori impare ale exponentului rădăcinii funcției y = x n vor da un grafic de formă similară.

Definiția 4

Proprietăți ale funcției rădăcină de gradul al n-lea, n este un număr impar

• domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale;
• această funcție este impară;
• intervalul de valori este mulțimea tuturor numerelor reale;
• funcția y = x n cu exponenți impari ai rădăcinii crește pe întregul domeniu de definiție;
• funcția are concavitate pe intervalul (- ∞ ; 0 ] și convexitate pe intervalul [ 0 , + ∞) ;
• punctul de inflexiune are coordonatele (0 ; 0) ;
• nu există asimptote;
• graficul funcției pentru n impar trece prin punctele (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) și (1 ; 1) .

Funcția de putere

Definiția 5

Funcția de putere este definită de formula y = x a .

Tipul de grafice și proprietățile funcției depind de valoarea exponentului.

• când o funcție de putere are un exponent întreg a, atunci forma graficului funcției de putere și proprietățile acesteia depind de dacă exponentul este par sau impar și, de asemenea, ce semn are exponentul. Să luăm în considerare toate aceste cazuri speciale mai detaliat mai jos;
• exponentul poate fi fracționar sau irațional - în funcție de aceasta, variază și tipul de grafice și proprietățile funcției. Vom analiza cazuri speciale prin stabilirea mai multor condiții: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• o funcție de putere poate avea un exponent zero, vom analiza și acest caz mai detaliat mai jos.

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este un număr pozitiv impar, de exemplu, a = 1 , 3 , 5 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y = x (culoarea neagră a graficului), y = x 3 (culoarea albastră a graficului), y = x 5 (culoarea roșie a graficului), y = x 7 (graficul verde). Când a = 1 , obținem o funcție liniară y = x .

Definiția 6

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este un pozitiv impar

• funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) (excluzând funcția liniară);
• punctul de inflexiune are coordonate (0 ; 0) (excluzând funcția liniară);
• nu există asimptote;
• funcția puncte de trecere: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Să analizăm funcția de putere y = x a când a este un număr pozitiv par, de exemplu, a = 2 , 4 , 6 ...

Pentru claritate, indicăm graficele unor astfel de funcții de putere: y \u003d x 2 (culoarea neagră a graficului), y = x 4 (culoarea albastră a graficului), y = x 8 (culoarea roșie a graficului). Când a = 2, obținem o funcție pătratică al cărei grafic este o parabolă pătratică.

Definiția 7

Proprietățile unei funcții de putere atunci când exponentul este chiar pozitiv:

• domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• descrescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice cu funcții exponențiale y = x a când a este un număr negativ impar: y = x - 9 (culoarea neagră a graficului); y = x - 5 (culoarea albastră a diagramei); y = x - 3 (culoarea roșie a diagramei); y = x - 1 (graficul verde). Când a \u003d - 1, obținem o proporționalitate inversă, al cărei grafic este o hiperbolă.

Definiția 8

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este impar negativ:

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

• interval: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funcția este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este descrescătoare pentru x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funcția este convexă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• funcția puncte de trecere: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de putere y = x a când a este un număr negativ par: y = x - 8 (diagrama cu negru); y = x - 4 (culoarea albastră a graficului); y = x - 2 (culoarea roșie a graficului).

Definiția 9

Proprietățile funcției de putere atunci când exponentul este chiar negativ:

• domeniu de definiție: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Când x \u003d 0, obținem o discontinuitate de al doilea fel, deoarece lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ pentru a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Astfel, linia dreaptă x = 0 este o asimptotă verticală;

• funcția este pare deoarece y (- x) = y (x) ;
• funcția este crescătoare pentru x ∈ (- ∞ ; 0) și descrescătoare pentru x ∈ 0 ; +∞ ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptota orizontală este o linie dreaptă y = 0 deoarece:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 când a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• funcția puncte de trecere: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Încă de la început, atenție la următorul aspect: în cazul în care a este o fracție pozitivă cu numitor impar, unii autori iau intervalul - ∞ ca domeniu de definiție al acestei funcții de putere; + ∞ , stipulând că exponentul a este o fracție ireductibilă. În prezent, autorii multor publicații educaționale despre algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere, unde exponentul este o fracție cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Mai departe, vom adera la o astfel de poziție: luăm setul [ 0 ; +∞). Recomandare pentru elevi: aflați punctul de vedere al profesorului în acest moment pentru a evita neînțelegerile.

Deci, să aruncăm o privire la funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional cu condiția ca 0< a < 1 .

Să ilustrăm cu grafice funcțiile de putere y = x a când a = 11 12 (diagrama cu negru); a = 5 7 (culoarea roșie a graficului); a = 1 3 (culoarea albastră a diagramei); a = 2 5 (culoarea verde a graficului).

Alte valori ale exponentului a (presupunând 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definiția 10

Proprietățile funcției de putere la 0< a < 1:

• interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcția are convexitate pentru x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;

Să analizăm funcția de putere y = x a când exponentul este un număr rațional sau irațional neîntreg cu condiția ca a > 1 .

Ilustram graficele functiei putere y \u003d x a în condiții date folosind următoarele funcții ca exemplu: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (negru, roșu, albastru, verde grafice, respectiv).

Alte valori ale exponentului a cu condiția a > 1 vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 11

Proprietățile funcției de putere pentru a > 1:

• domeniu de definire: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• interval: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcţia este crescătoare pentru x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funcția este concavă pentru x ∈ (0 ; + ∞) (când 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• funcția puncte de trecere: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Vă atragem atenția! Când a este o fracție negativă cu numitor impar, în lucrările unor autori există opinia că domeniul de definiție în acest caz este intervalul - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) cu condiția ca exponentul a să fie o fracție ireductibilă. În prezent, autorii materialelor educaționale despre algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Mai mult, aderăm doar la o astfel de vedere: luăm mulțimea (0 ; + ∞) ca domeniu al funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari. Sugestie pentru elevi: clarificați viziunea profesorului în acest moment pentru a evita dezacordul.

Continuăm subiectul și analizăm funcția de putere y = x a cu condiția: - 1< a < 0 .

Iată un desen de grafice ale următoarelor funcții: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linii negre, roșii, albastre, verzi, respectiv ).

Definiția 12

Proprietățile funcției de putere la - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• interval: y ∈ 0 ; +∞ ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• nu există puncte de inflexiune;

Desenul de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (culorile curbelor, respectiv, negru, roșu, albastru, verde).

Definiția 13

Proprietățile funcției de putere pentru a< - 1:

• domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ când a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcția este descrescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
• funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptotă orizontală - linie dreaptă y = 0 ;
• punct de trecere a funcției: (1 ; 1) .

Când a \u003d 0 și x ≠ 0, obținem funcția y \u003d x 0 \u003d 1, care determină linia din care este exclus punctul (0; 1) (am convenit că expresia 0 0 nu va fi dată orice valoare).

Funcția exponențială are forma y = a x , unde a > 0 și a ≠ 1 , iar graficul acestei funcții arată diferit în funcție de valoarea bazei a . Să luăm în considerare cazurile speciale.

Mai întâi, să analizăm situația în care baza funcției exponențiale are o valoare de la zero la unu (0< a < 1) . Un exemplu ilustrativ sunt graficele funcțiilor pentru a = 1 2 (culoarea albastră a curbei) și a = 5 6 (culoarea roșie a curbei).

Graficele funcției exponențiale vor avea o formă similară pentru alte valori ale bazei, cu condiția ca 0< a < 1 .

Definiția 14

Proprietățile unei funcții exponențiale când baza este mai mică de unu:

• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• o funcție exponențială a cărei bază este mai mică de unu este în scădere pe întregul domeniu de definiție;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptota orizontală este dreapta y = 0 cu variabila x tinde spre + ∞ ;

Acum luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale este mai mare decât unu (a > 1).

Să ilustrăm acest caz special cu graficul funcțiilor exponențiale y = 3 2 x (culoarea albastră a curbei) și y = e x (culoarea roșie a graficului).

Alte valori ale bazei, mai mari decât unu, vor oferi o vedere similară a graficului funcției exponențiale.

Definiția 15

Proprietățile funcției exponențiale când baza este mai mare decât unu:

• domeniul de definiție este întregul set de numere reale;
• interval: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• o funcţie exponenţială a cărei bază este mai mare decât unu este crescătoare pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funcţia este concavă pentru x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• asimptotă orizontală - dreaptă y = 0 cu variabila x tinde spre - ∞ ;
• punct de trecere a funcției: (0 ; 1) .

Funcția logaritmică are forma y = log a (x) , unde a > 0 , a ≠ 1 .

O astfel de funcție este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului: pentru x ∈ 0 ; +∞ .

Graficul funcției logaritmice are o formă diferită, în funcție de valoarea bazei a.

Luați în considerare mai întâi situația când 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Alte valori ale bazei, nu mai mari de unu, vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 16

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mică de unu:

• domeniul de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre + ∞;
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• logaritmică
• funcția este concavă pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;

Acum să analizăm un caz special când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu: a > 1 . În desenul de mai jos, există grafice ale funcțiilor logaritmice y = log 3 2 x și y = ln x (culorile albastru și, respectiv, roșu ale graficelor).

Alte valori ale bazei mai mari decât unu vor oferi o vedere similară a graficului.

Definiția 17

Proprietățile unei funcții logaritmice când baza este mai mare decât unu:

• domeniu de definire: x ∈ 0 ; +∞ . Deoarece x tinde spre zero din dreapta, valorile funcției tind spre - ∞;
• interval: y ∈ - ∞ ; + ∞ (întregul set de numere reale);
• această funcție este o funcție de formă generală (nu este nici impar, nici par);
• funcția logaritmică este crescătoare pentru x ∈ 0; +∞ ;
• funcția are convexitate pentru x ∈ 0; +∞ ;
• nu există puncte de inflexiune;
• nu există asimptote;
• punct de trecere a funcției: (1 ; 0) .

Funcțiile trigonometrice sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Să analizăm proprietățile fiecăruia dintre ele și graficele corespunzătoare.

În general, toate funcțiile trigonometrice sunt caracterizate de proprietatea periodicității, adică. când valorile funcțiilor se repetă pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei f (x + T) = f (x) (T este perioada). Astfel, elementul „perioada cea mai mică pozitivă” este adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice. În plus, vom indica astfel de valori ale argumentului pentru care funcția corespunzătoare dispare.

1. Funcția sinus: y = sin(x)

Graficul acestei funcții se numește undă sinusoidală.

Definiția 18

Proprietățile funcției sinus:

• domeniu de definiție: întreaga mulțime de numere reale x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funcția dispare când x = π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• funcția este crescătoare pentru x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• funcţia sinus are maxime locale în punctele π 2 + 2 π · k ; 1 și minime locale în punctele - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• funcția sinus este concavă când x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• nu există asimptote.

1. functia cosinus: y=cos(x)

Graficul acestei funcții se numește undă cosinus.

Definiția 19

Proprietățile funcției cosinus:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d 2 π;
• interval: y ∈ - 1 ; 1;
• această funcție este pară, deoarece y (- x) = y (x) ;
• funcția este crescătoare pentru x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z și descrescătoare pentru x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• funcţia cosinus are maxime locale în punctele 2 π · k ; 1 , k ∈ Z și minime locale în punctele π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• funcția cosinus este concavă când x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z și convex când x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• nu există asimptote.

1. Funcția tangentă: y = t g (x)

Graficul acestei funcții se numește tangentoid.

Definiția 20

Proprietățile funcției tangente:

• domeniu de definiție: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• Comportamentul funcției tangente la limita domeniului de definiție lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Astfel, dreptele x = π 2 + π · k k ∈ Z sunt asimptote verticale;
• funcția dispare când x = π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este în creştere la - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• funcţia tangentă este concavă pentru x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z și convex pentru x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funcția cotangentă: y = c t g (x)

Graficul acestei funcții se numește cotangentoid. .

Definiția 21

Proprietățile funcției cotangente:

• domeniu de definiție: x ∈ (π k ; π + π k) , unde k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);

Comportarea funcției cotangente la limita domeniului de definiție lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Astfel, dreptele x = π k k ∈ Z sunt asimptote verticale;

• cea mai mică perioadă pozitivă: T \u003d π;
• funcția dispare când x = π 2 + π k pentru k ∈ Z (Z este mulțimea numerelor întregi);
• interval: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcţia este descrescătoare pentru x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• funcția cotangentă este concavă pentru x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z și convexă pentru x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• punctele de inflexiune au coordonatele π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• nu există asimptote oblice și orizontale.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Adesea, datorită prezenței prefixului „arc” în nume, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. .

1. Funcția arcsinus: y = a r c sin (x)

Definiția 22

Proprietățile funcției arcsinus:

• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcția arcsinus este concavă pentru x ∈ 0; 1 și convexitatea pentru x ∈ - 1 ; 0;
• punctele de inflexiune au coordonatele (0 ; 0) , este si zeroul functiei;
• nu există asimptote.

1. Funcția arccosin: y = a r c cos (x)

Definiția 23

Proprietățile funcției arccosin:

• domeniu de definire: x ∈ - 1 ; 1;
• interval: y ∈ 0 ; π;
• această funcție este de formă generală (nici par, nici impar);
• funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
• funcţia arccosinus este concavă pentru x ∈ - 1 ; 0 și convexitatea pentru x ∈ 0 ; 1;
• punctele de inflexiune au coordonatele 0 ; π2;
• nu există asimptote.

1. Funcția arctangentă: y = a r c t g (x)

Definiția 24

Proprietățile funcției arctangente:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• interval: y ∈ - π 2 ; π2;
• această funcție este impară deoarece y (- x) = - y (x) ;
• funcția este în creștere pe întregul domeniu de definire;
• funcția arctangentă este concavă pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] și convexă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• punctul de inflexiune are coordonatele (0; 0), este si zero al functiei;
• Asimptotele orizontale sunt drepte y = - π 2 pentru x → - ∞ și y = π 2 pentru x → + ∞ (asimptotele din figură sunt linii verzi).

1. Funcția cotangentă a arcului: y = a r c c t g (x)

Definiția 25

Proprietățile funcției arc cotangent:

• domeniu de definire: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• interval: y ∈ (0 ; π) ;
• această funcție este de tip general;
• funcția este în scădere pe întregul domeniu de definire;
• funcţia arc cotangentă este concavă pentru x ∈ [ 0 ; + ∞) și convexitatea pentru x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• punctul de inflexiune are coordonatele 0 ; π2;
• Asimptotele orizontale sunt drepte y = π la x → - ∞ (linia verde în desen) și y = 0 la x → + ∞.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și dovezi. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

• comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții);
• par si impar;
• intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi articolul funcția convexitate, direcție convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
• asimptote oblice și orizontale;
• puncte singulare de funcții;
• proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: ​​funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

• Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
• Funcția constantă este pară.
• Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
• O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
• Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
• Nu există asimptotă.
• Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale acestor funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul completității, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcția de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv egal.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu un exponent negativ egal.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționali sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dvs. asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreg a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , ele sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o linie dreaptă din care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale, unde și ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din intervalul .

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Să începem cu cazul când .

De exemplu, prezentăm graficele funcției logaritmice pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, care nu depășesc unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu ().

Să arătăm grafice ale funcțiilor logaritmice - linie albastră, - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mare de unu.

Funcții trigonometrice, proprietățile lor și grafice.

Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sunt funcții elementare de bază. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcțiile trigonometrice au conceptul periodicitate(recurența valorilor funcției pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei , unde T este perioada), prin urmare, un element a fost adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice „cea mai mică perioadă pozitivă”. De asemenea, pentru fiecare funcție trigonometrică, vom indica valorile argumentului la care dispare funcția corespunzătoare.

Acum să ne ocupăm de toate funcțiile trigonometrice în ordine.

Funcția sinus y = sin(x) .

Să desenăm un grafic al funcției sinus, se numește „sinusoid”.

Proprietățile funcției sinus y = sinx .

Funcția cosinus y = cos(x) .

Graficul funcției cosinus (se numește „cosinus”) arată astfel:

Proprietățile funcției cosinus y = cosx .

Funcția tangentă y = tg(x) .

Graficul funcției tangente (se numește „tangentoid”) arată astfel:

Proprietățile funcției tangentă y = tgx .

Funcția cotangentă y = ctg(x) .

Să desenăm un grafic al funcției cotangente (se numește „cotangentoid”):

Proprietățile funcției cotangente y = ctgx .

Funcții trigonometrice inverse, proprietățile și graficele lor.

Funcțiile trigonometrice inverse (arcsin, arccosinus, arctangent și arccotangent) sunt funcțiile elementare de bază. Adesea, din cauza prefixului „arc”, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcția arcsin y = arcsin(x) .

Să diagramăm funcția arcsinus:

Proprietățile funcției arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra și începuturile analizei: Proc. pentru 10-11 celule. institutii de invatamant.
• Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară.
• Novoselov S.I. Algebră și funcții elementare.
• Tumanov S.I. Algebră elementară. Un ghid pentru auto-educare.

Funcțiile și graficele lor sunt unul dintre cele mai fascinante subiecte din matematica școlară. Păcat că trece... pe lângă lecții și pe lângă studenți. Nu este niciodată suficient timp pentru ea în liceu. Și acele funcții care au loc în clasa a VII-a - o funcție liniară și o parabolă - sunt prea simple și necomplicate pentru a arăta toată varietatea de sarcini interesante.

Capacitatea de a construi grafice de funcții este necesară pentru rezolvarea problemelor cu parametrii la examenul de matematică. Acesta este unul dintre primele subiecte ale cursului de analiză matematică la universitate. Acesta este un subiect atât de important încât noi, la Unified State Exam-Studio, desfășurăm cursuri intensive speciale pentru elevii și profesorii de liceu, la Moscova și online. Și adesea participanții spun: „Este păcat că nu știam asta înainte”.

Dar asta nu este tot. Cu conceptul de funcție începe matematica reală, „adultă”. La urma urmei, adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea, fracțiile și proporțiile - aceasta este încă aritmetică. Transformările expresiei sunt algebră. Și matematica este o știință nu numai despre numere, ci și despre relațiile cantităților. Limbajul funcțiilor și graficelor este de înțeles pentru un fizician, un biolog și un economist. Și după cum a spus Galileo Galilei: „Cartea naturii este scrisă în limbajul matematicii”.

Mai precis, Galileo Galilei spunea aceasta: „Matematica este alfabetul prin care Domnul a desenat Universul”.

Subiecte de revizuit:

1. Reprezentați grafic funcția

O provocare familiară! Asemenea întâlnite în variantele OGE în matematică. Acolo erau considerați dificili. Dar nu este nimic complicat aici.

Să simplificăm formula funcției:

Graficul funcției - linie dreaptă cu un punct perforat

2. Reprezentați grafic funcția

Să selectăm partea întreagă din formula funcției:

Graficul funcției este o hiperbolă deplasată cu 3 la dreapta în x și 2 în sus în y și întinsă de 10 ori în comparație cu graficul funcției

Selecția părții întregi este o tehnică utilă utilizată în rezolvarea inegalităților, trasarea graficelor și estimarea numerelor întregi în probleme cu numere și proprietățile acestora. Îl vei întâlni și în primul an, când trebuie să iei integrale.

3. Reprezentați grafic funcția

Se obține din graficul funcției prin întinderea de 2 ori, răsturnarea verticală și deplasarea 1 în sus pe verticală

4. Reprezentați grafic funcția

Principalul lucru este succesiunea corectă a acțiunilor. Să scriem formula funcției într-o formă mai convenabilă:

Acționăm în ordine:

1) Deplasați graficul funcției y=sinx la stânga;

2) strângeți de 2 ori pe orizontală,

3) se întinde de 3 ori pe verticală,

4) deplasați-vă cu 1 în sus

Acum vom construi mai multe grafice ale funcțiilor raționale fracționale. Pentru a înțelege mai bine cum facem acest lucru, citiți articolul „Comportamentul funcției la infinit. Asimptote”.

5. Reprezentați grafic funcția

Domeniul de aplicare:

Zerourile funcției: și

Linia dreaptă x = 0 (axa y) este asimptota verticală a funcției. Asimptotă- o linie dreaptă, de care graficul unei funcții se apropie la infinit, dar nu o intersectează și nu se contopește cu ea (vezi subiectul „Comportarea unei funcții la infinit. Asimptote”)

Există și alte asimptote pentru funcția noastră? Pentru a afla, să vedem cum se comportă funcția când x merge la infinit.

Să deschidem parantezele din formula funcției:

Dacă x merge la infinit, atunci se duce la zero. Linia dreaptă este o asimptotă oblică la graficul funcției.

6. Reprezentați grafic funcția

Aceasta este o funcție rațională fracțională.

Domeniul de aplicare a funcției

Zerourile funcției: puncte - 3, 2, 6.

Intervalele de constanță a semnului funcției vor fi determinate folosind metoda intervalelor.

Asimptote verticale:

Dacă x tinde spre infinit, atunci y tinde spre 1. Prin urmare, este o asimptotă orizontală.

Iată o schiță a graficului:

O altă tehnică interesantă este adăugarea de grafice.

7. Reprezentați grafic funcția

Dacă x tinde spre infinit, atunci graficul funcției se va apropia la infinit de asimptota oblică

Dacă x tinde spre zero, atunci funcția se comportă ca Iată ceea ce vedem pe grafic:

Deci am construit un grafic al sumei funcțiilor. Acum programul de lucru!

8. Reprezentați grafic funcția

Domeniul acestei funcții este numerele pozitive, deoarece este definit doar x pozitiv

Valorile funcției sunt zero la (când logaritmul este zero), precum și în punctele în care, adică la

Când , valoarea (cos x) este egală cu unu. Valoarea funcției în aceste puncte va fi egală cu

9. Reprezentați grafic funcția

Funcția este definită pentru Este par, deoarece este produsul a două funcții impare și Graficul este simetric față de axa y.

Zerourile funcției sunt în punctele în care, adică la

Dacă x merge la infinit, merge la zero. Dar ce se întâmplă dacă x tinde spre zero? La urma urmei, atât x, cât și sin x vor deveni din ce în ce mai mici. Cum se va comporta privatul?

Se dovedește că dacă x tinde spre zero, atunci tinde spre unu. În matematică, această afirmație este numită „Prima limită remarcabilă”.

Dar cum rămâne cu derivatul? Da, în sfârșit am ajuns acolo. Derivata ajută la reprezentarea mai precisă a funcțiilor. Găsiți puncte maxime și minime, precum și valorile funcției în aceste puncte.

10. Reprezentați grafic funcția

Sfera de aplicare a funcției este toate numerele reale, deoarece

Funcția este ciudată. Graficul său este simetric față de origine.

La x=0 valoarea functiei este egala cu zero. Pentru că valorile funcției sunt pozitive, pentru sunt negative.

Dacă x merge la infinit, atunci se duce la zero.

Să găsim derivata funcției
Conform formulei pentru derivata unui cot,

Dacă sau

În acel punct, derivata își schimbă semnul din „minus” în „plus”, - punctul minim al funcției.

În acel punct, derivata își schimbă semnul din „plus” în „minus”, - punctul maxim al funcției.

Să găsim valorile funcției la x=2 și la x=-2.

Este convenabil să construiți grafice de funcții conform unui anumit algoritm sau schemă. Îți amintești că ai studiat-o la școală?

Schema generală pentru construirea unui grafic al unei funcții:

1. Domeniul de aplicare al funcției

2. Gama de valori ale funcției

3. Par - impar (dacă există)

4. Frecvență (dacă există)

5. Zerourile funcției (punctele în care graficul traversează axele de coordonate)

6. Intervale de constanță a unei funcții (adică intervale pe care aceasta este strict pozitivă sau strict negativă).

7. Asimptote (dacă există).

8. Comportarea unei funcţii la infinit

9. Derivata unei functii

10. Intervale de crestere si scadere. Puncte mari și scăzute și valori în aceste puncte.