Transformări identice. Conversia expresiilor. Teoria detaliată (2020) Expresia și transformările lor identice

Operația aritmetică care se efectuează ultima dată la calcularea valorii expresiei este cea „principală”.

Adică, dacă înlocuiți unele (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este multiplicarea, atunci avem un produs (expresia este factorizată).

Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi anulată).

Pentru a rezolva singur soluția, luați câteva exemple:

Exemple:

soluţii:

1. Sper că nu te-ai grăbit să te tai imediat? Încă nu era suficient să „tăiați” unități de acest fel:

Prima acțiune ar trebui să fie luată în considerare:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație foarte familiară: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm / scădem numeratorii.

Să ne amintim:

Răspunsuri:

1. Denumitori și sunt reciproc primi, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM al acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în incorecte și apoi - conform schemei obișnuite:

Este o altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Denumitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca la fracțiile numerice obișnuite: găsim numitorul comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm / scăzem numeratorii:

acum în numărător puteți aduce unele similare, dacă există, și descompune în factori:

Incearca-l tu insuti:

Răspunsuri:

b) Denumitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

· În primul rând, determinăm factorii comuni;

· Apoi scrieți toți factorii comuni o dată;

· Și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori care nu sunt comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori primi:

Să subliniem factorii comuni:

Acum să scriem factorii comuni o dată și să le adăugăm pe toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt arătați exact în același mod:

· Descompunem numitorii în factori;

· Determinăm factori comuni (identici);

· Scrieți o dată toți factorii comuni;

· Îi înmulțim cu toți ceilalți factori, neobișnuiți.

Deci, în ordine:

1) descompunem numitorii în factori:

2) determinăm factorii comuni (identici):

3) scriem toți factorii comuni o dată și îi înmulțim cu toți ceilalți factori (nestresați):

Deci, numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua cu:

Apropo, există un singur truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori la numitori, numai toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum faceți fracțiile același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adăugat) din numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că acest lucru nu este adevărat!

Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu. Ce ai învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracțiile la un numitor comun, utilizați doar multiplicarea!

Dar ce trebuie să înmulțiți pentru a obține?

Aici și înmulțiți-vă. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi descompuse în factori vor fi numite „factori elementari”.

De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: este factorizat.

Ce părere aveți despre expresie? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul "").

Deci, factorii elementari în care extindeți expresia cu litere sunt analogi cu factorii primi în care extindeți numerele. Și ne vom ocupa de ele în același mod.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun la putere (vă amintiți de ce?).

Factorul este elementar și nu este comun pentru ei, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu să fie înmulțită cu acesta:

Alt exemplu:

Decizie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să vă gândiți cum să le factorizați în factori? Amândoi reprezintă:

Amenda! Apoi:

Alt exemplu:

Decizie:

Ca de obicei, luați în calcul numitorii. În primul numitor, îl punem pur și simplu în afara parantezelor; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți atent, atunci sunt atât de asemănătoare ... Și adevărul:

Deci, să scriem:

Adică, s-a dovedit astfel: în interiorul parantezei, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat în opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înțeles? Să verificăm acum.

Sarcini pentru o soluție independentă:

Răspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă unul - diferența dintre cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracțiuni nu este formula „pătratului sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel :.

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul primului și ultimului și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii în expansiunea diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori din numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Ca rezultat, acesta (semnul dinaintea fracției) nu s-a schimbat.

Scrieți primul numitor în numitorul comun, apoi adăugați la el toți factorii care nu au fost încă înscriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă există mai multe fracții). Adică, se dovedește așa:

Hmm ... Cu fracțiuni, este clar ce să facem. Dar ce zici de deuce?

Este simplu: știi cum să adaugi fracții, nu? Înseamnă că trebuie să facem deuce să devină o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de divizare (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nimic nu este mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracțiune:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, cel mai greu a trecut acum. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura pentru calcularea unei expresii numerice? Amintiți-vă numărând semnificația acestei expresii:

L-ai numărat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este calcularea gradului.

Al doilea este multiplicarea și împărțirea. Dacă există mai multe multiplicări și diviziuni în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în cele din urmă, facem adunare și scădere. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în neregulă!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, calculați mai întâi expresia din fiecare dintre paranteze și apoi înmulțiți-le sau împărțiți-le.

Ce se întâmplă dacă există mai multe paranteze în paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Și atunci când evaluezi o expresie, care este primul lucru de făcut? Așa este, calculați parantezele. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi orice altceva.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o execut acum):

Bine, totul este simplu.

Dar nu este același lucru cu o expresie cu litere?

Nu, este la fel! Doar, în loc de operații aritmetice, trebuie să faceți operații algebrice, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similar, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență este efectul factorizării polinoamelor (pe care le folosim adesea atunci când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să puneți factorul comun în afara parantezelor.

De obicei, scopul nostru este să prezentăm o expresie sub forma unei opere sau a unui anumit anume.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) În primul rând, simplificăm expresia între paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să îl prezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificăm această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (vă mai amintiți ce înseamnă asta?).

2) Obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ceea ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

Asta e. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi încercați să o rezolvați singur și abia apoi să vedeți soluția.

Decizie:

În primul rând, să definim ordinea acțiunilor.

Mai întâi, adăugăm fracțiile între paranteze, obținem una în loc de două fracții.

Apoi vom împărți fracțiile. Ei bine, adăugați rezultatul cu ultima fracție.

Voi enumera acțiunile în mod schematic:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă în roșu:

1. Dacă există altele similare, acestea trebuie aduse imediat. În orice moment am avea aceleași, este de dorit să le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru reducerea fracțiilor: de îndată ce există posibilitatea de a reduce, trebuie utilizat. Excepția este fracțiile pe care le adăugați sau le scădeți: dacă au acum aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și am promis chiar de la început:

Răspunsuri:

Soluții (concise):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci ați însușit subiectul.

Acum, înainte de a învăța!

TRANSFORMAREA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Operații de bază de simplificare:

• Aducerea similară: pentru a adăuga (aduce) astfel de termeni, trebuie să le adăugați coeficienții și să atribuiți partea literei.
• factorizarea:luând în considerare factorul comun, aplicația etc.
• Reducerea fracțiunii: numeratorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțiți sau împărțiți cu același număr diferit de zero, ceea ce nu modifică valoarea fracției.
  1) numărător și numitor factor în afara
  2) dacă există factori comuni în numărător și numitor, aceștia pot fi barierați.

  IMPORTANT: Numai multiplicatorii pot fi reduși!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Conversiile de identitate reprezintă munca pe care o facem cu expresii numerice și literale, precum și expresii care conțin variabile. Realizăm toate aceste transformări pentru a aduce expresia originală într-o formă care va fi convenabilă pentru rezolvarea problemei. Vom lua în considerare principalele tipuri de transformări identice în acest subiect.

Conversia identică a unei expresii. Ce este?

Pentru prima dată ne întâlnim cu conceptul de transformat identic, suntem în lecții de algebră în clasa a 7-a. În același timp, ne cunoaștem mai întâi conceptul de expresii identice egale. Să ne ocupăm de concepte și definiții pentru a face subiectul mai ușor de înțeles.

Definiția 1

Conversia identică a unei expresii - acestea sunt acțiuni efectuate cu scopul de a înlocui expresia originală cu o expresie care va fi identică egală cu originalul.

Această definiție este adesea utilizată într-o formă prescurtată, care omite cuvântul „identic”. Se presupune că, în orice caz, efectuăm transformarea expresiei în așa fel încât să obținem o expresie identică cu cea originală și acest lucru nu trebuie subliniat separat.

Vom ilustra această definiție exemple.

Exemplul 1

Dacă înlocuim expresia x + 3 - 2 la o expresie identică x + 1, atunci vom realiza transformarea identică a expresiei x + 3 - 2.

Exemplul 2

Înlocuirea expresiei 2 la 6 cu expresia a 3 Este aceeași transformare, în timp ce înlocuiește expresia x pe expresie x 2 nu este o transformare identică, deoarece expresiile X și x 2 nu sunt identice identice.

Vă atragem atenția asupra formei expresiilor de scriere atunci când efectuați transformări identice. De obicei, exprimăm expresia originală și expresia rezultată ca egalitate. Deci, scrierea x + 1 + 2 \u003d x + 3 înseamnă că expresia x + 1 + 2 a fost redusă la forma x + 3.

Execuția secvențială a acțiunilor ne conduce la un lanț de egalități, care reprezintă mai multe transformări identice situate la rând. Deci, înțelegem notația x + 1 + 2 \u003d x + 3 \u003d 3 + x ca o implementare secvențială a două transformări: mai întâi, expresia x + 1 + 2 a fost adusă la forma x + 3, iar ea - la forma 3 + x.

Transformări identice și ODU

O serie de expresii pe care începem să le învățăm în clasa a 8-a nu au sens pentru toate valorile variabilelor. Efectuarea transformărilor identice în aceste cazuri necesită să fim atenți la gama de valori admisibile ale variabilelor (ADV). Efectuarea unor transformări identice poate lăsa ODZ neschimbat sau îl poate restrânge.

Exemplul 3

Când sări de la expresie a + (- b) la expresie a - b interval variabil A și b rămâne la fel.

Exemplul 4

Treceți de la expresia x la expresie x 2 x conduce la o îngustare a intervalului de valori admisibile ale variabilei x de la mulțimea tuturor numerelor reale la mulțimea tuturor numerelor reale, din care a fost exclus zero.

Exemplul 5

Conversia identică a unei expresii x 2 xexpresia x conduce la extinderea gamei de valori admisibile a variabilei x de la mulțimea tuturor numerelor reale cu excepția zero la mulțimea tuturor numerelor reale.

Reducerea sau extinderea gamei de valori admise a variabilelor atunci când se efectuează transformări identice este importantă atunci când se rezolvă probleme, deoarece poate afecta precizia calculelor și poate duce la erori.

Transformări identitare de bază

Să vedem acum ce transformări identice sunt și cum sunt realizate. Să identificăm acele tipuri de transformări identice cu care trebuie să ne ocupăm cel mai des, în grupul principal.

În plus față de transformările identice de bază, există o serie de transformări care se referă la expresii de un anumit tip. Pentru fracțiuni, acestea sunt metode de reducere și reducere la un nou numitor. Pentru expresiile cu rădăcini și puteri, toate acțiunile care sunt efectuate pe baza proprietăților rădăcinilor și puterilor. Pentru expresiile logaritmice, acțiuni care se efectuează pe baza proprietăților logaritmilor. Pentru expresii trigonometrice toate acțiunile folosind formule trigonometrice... Toate aceste transformări private sunt detaliate în subiecte separate care pot fi găsite în resursa noastră. În acest sens, nu ne vom opri asupra lor în acest articol.

Să trecem la analiza transformărilor identice de bază.

Permutarea termenilor, a factorilor

Să începem prin rearanjarea termenilor. Ne confruntăm cu această transformare identică cel mai adesea. Și următoarea afirmație poate fi considerată regula principală aici: în orice sumă, permutarea termenilor în locuri nu afectează rezultatul.

Această regulă se bazează pe proprietățile de deplasare și combinație ale adunării. Aceste proprietăți ne permit să rearanjăm termenii în locuri și să obținem expresii identice cu cele originale. De aceea permutarea termenilor în locuri în sumă este transformarea identității.

Exemplul 6

Avem suma a trei termeni 3 + 5 + 7. Dacă schimbăm termenii 3 și 5, atunci expresia ia forma 5 + 3 + 7. Există mai multe opțiuni pentru rearanjarea termenilor în acest caz. Toate acestea duc la obținerea unor expresii identice cu cea originală.

Nu numai numerele, ci și expresiile pot acționa ca termeni în sumă. Acestea, la fel ca numerele, pot fi rearanjate pe alocuri fără a afecta rezultatul final al calculelor.

Exemplul 7

În suma a trei termeni 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 și - 12 a de forma 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · termenii a pot fi rearanjați, de exemplu, după cum urmează (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3. La rândul său, puteți rearanja termenii din numitorul fracției 1 a + b, iar fracția va lua forma 1 b + a. Și expresia de sub semnul rădăcină a 2 + 2 a + 5 este, de asemenea, o sumă în care termenii pot fi schimbați.

În același mod ca și termenii, în expresiile originale puteți schimba multiplicatorii și puteți obține ecuații identice corecte. Această acțiune este guvernată de următoarea regulă:

Definiția 2

Într-un produs, rearanjarea factorilor în anumite locuri nu afectează rezultatul calculelor.

Această regulă se bazează pe proprietățile de deplasare și combinație ale multiplicării, care confirmă corectitudinea transformării identice.

Exemplul 8

Compoziţie 3 5 7 permutarea factorilor poate fi reprezentată într-una din următoarele forme: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 sau 3 7 5.

Exemplul 9

Permutând factorii din produsul x + 1 x 2 - x + 1 x se obține x 2 - x + 1 x x + 1

Paranteze extinse

Parantezele pot conține expresii numerice și variabile. Aceste expresii pot fi convertite în expresii identice egale în care nu vor exista deloc paranteze sau vor fi mai puține dintre ele decât în \u200b\u200bexpresiile originale. Acest mod de conversie a expresiilor se numește expansiune paranteză.

Exemplul 10

Să efectuăm acțiuni cu paranteze într-o expresie a formularului 3 + x - 1 x pentru a obține o expresie corectă identic 3 + x - 1 x.

Expresia 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x poate fi convertită la expresia identică egală fără paranteze 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Am detaliat regulile pentru conversia expresiilor cu paranteze în subiectul „Extinderea parantezelor”, care este postat în resursa noastră.

Gruparea de termeni, factori

În cazurile în care avem de-a face cu trei sau mai mulți termeni, putem recurge la o astfel de formă de transformări identice ca gruparea de termeni. Această metodă de transformări înseamnă combinarea mai multor termeni într-un grup prin rearanjarea lor și încadrarea lor între paranteze.

În timpul grupării, termenii sunt schimbați astfel încât termenii care trebuie grupați să apară unul lângă altul în expresie. Ele pot fi apoi închise între paranteze.

Exemplul 11

Să luăm expresia 5 + 7 + 1 ... Dacă grupăm primul termen cu cel de-al treilea, obținem (5 + 1) + 7 .

Gruparea factorilor se realizează în mod similar cu gruparea termenilor.

Exemplul 12

În lucru 2 3 4 5 putem grupa primul factor cu al treilea și al doilea cu al patrulea și ajungem la expresie (2 4) (3 5)... Și dacă am grupa primul, al doilea și al patrulea factor, am obține expresia (2 3 5) 4.

Termenii și factorii care sunt grupați pot fi reprezentați atât prin numere prime, cât și prin expresii. Regulile de grupare au fost discutate în detaliu la tema „Gruparea termenilor și factorilor”.

Înlocuirea diferențelor cu sume, produse parțiale și invers

Înlocuirea diferențelor cu sume a devenit posibilă datorită cunoașterii noastre cu numere opuse. Acum scăzând dintr-un număr A numerele b poate fi privit ca un adaos la număr A numerele - b... egalitate a - b \u003d a + (- b)poate fi considerat corect și pe baza acestuia pentru a înlocui diferențele cu sume.

Exemplul 13

Să luăm expresia 4 + 3 − 2 , în care diferența de numere 3 − 2 putem scrie ca sumă 3 + (− 2) ... Primim 4 + 3 + (− 2) .

Exemplul 14

Toate diferențele de exprimare 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 poate fi înlocuit cu sume precum 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).

Putem merge la sume din orice diferență. În mod similar, putem face înlocuirea inversă.

Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea prin reciprocul divizorului este posibilă prin conceptul de numere reciproce. Această transformare poate fi scrisă prin egalitate a: b \u003d a (b - 1).

Această regulă a stat la baza regulii de împărțire a fracțiilor obișnuite.

Exemplul 15

Privat 1 2: 3 5 poate fi înlocuit cu un produs de formă 1 2 5 3.

La fel, prin analogie, diviziunea poate fi înlocuită cu înmulțirea.

Exemplul 16

În cazul expresiei 1 + 5: x: (x + 3)înlocuiți diviziunea cu x poate fi multiplicat cu 1 x... Împărțire după x + 3 putem înlocui prin înmulțire cu 1 x + 3... Transformarea ne permite să obținem o expresie identică cu originalul: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Înlocuirea înmulțirii prin împărțire se efectuează conform schemei a b \u003d a: (b - 1).

Exemplul 17

În expresia 5 x x 2 + 1 - 3, înmulțirea poate fi înlocuită cu împărțirea ca 5: x 2 + 1 x - 3.

Efectuarea de acțiuni asupra numerelor

Efectuarea acțiunilor cu numere respectă regula de ordine a acțiunilor. În primul rând, acțiunile sunt efectuate cu puteri ale numerelor și rădăcini ale numerelor. După aceea, înlocuim logaritmii, funcțiile trigonometrice și alte funcții cu valorile lor. Apoi sunt efectuate acțiunile dintre paranteze. Și apoi toate celelalte acțiuni pot fi efectuate de la stânga la dreapta. Este important să ne amintim că multiplicarea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere.

Operațiile cu numere vă permit să convertiți expresia originală la aceeași valoare egală cu aceasta.

Exemplul 18

Rescrieți expresia 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, efectuând toate acțiunile posibile cu numerele.

Decizie

În primul rând, să fim atenți la grad 2 3 și rădăcina 4 și calculați valorile lor: 2 3 = 8 și 4 \u003d 2 2 \u003d 2.

Înlocuiți valorile obținute în expresia originală și obțineți: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).

Acum, să efectuăm acțiunile între paranteze: 8 − 1 = 7 ... Și treceți la expresia 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).

Rămâne să realizăm înmulțirea numerelor 3 și 7 ... Obținem: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).

Răspuns: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x \u003d 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Acțiunile asupra numerelor pot fi precedate de alte tipuri de transformări identice, cum ar fi gruparea numerelor sau extinderea parantezelor.

Exemplul 19

Să luăm expresia 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

Decizie

Primul pas este înlocuirea coeficientului dintre paranteze 6: 3 asupra valorii sale 2 ... Obținem: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.

Să extindem parantezele: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.

Să grupăm factorii numerici din produs, precum și termenii care sunt numere: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Să efectuăm acțiunile între paranteze: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 \u003d 12 + 16 x y 3

Răspuns: 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 12 + 16 x y 3

Dacă lucrăm cu expresii numerice, atunci scopul muncii noastre va fi să găsim semnificația expresiei. Dacă transformăm expresiile cu variabile, atunci scopul acțiunilor noastre va fi să simplificăm expresia.

Factorizarea factorului comun

În cazurile în care termenii din expresie au același factor, atunci putem scoate acest factor comun din paranteze. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să reprezentăm expresia originală ca produs al factorului comun și expresia dintre paranteze, care constă din termenii originali fără factorul comun.

Exemplul 20

Numeric 2 7 + 2 3 putem scoate factorul comun 2 paranteze și obțineți o expresie corectă identică a formularului 2 (7 + 3).

Vă puteți reîmprospăta memoria regulilor pentru plasarea factorului comun în afara parantezelor din secțiunea corespunzătoare a resursei noastre. Materialul discută în detaliu regulile pentru plasarea factorului comun în afara parantezelor și oferă numeroase exemple.

Reducerea termenilor similari

Acum să trecem la sumele care conțin termeni similari. Există două opțiuni posibile: sumele care conțin aceiași termeni și sumele, ale căror termeni diferă printr-un coeficient numeric. Acțiunile cu sume care conțin astfel de termeni se numesc reducerea acestor termeni. Se desfășoară după cum urmează: scoatem partea literei generale în afara parantezelor și calculăm suma coeficienților numerici dintre paranteze.

Exemplul 21

Luați în considerare expresia 1 + 4 x - 2 x... Putem pune partea literală a lui x în afara parantezelor și să obținem expresia 1 + x (4 - 2)... Să calculăm valoarea expresiei dintre paranteze și să obținem suma formei 1 + x · 2.

Înlocuirea numerelor și expresiilor cu expresii identice egale

Numerele și expresiile din care este compusă expresia originală pot fi înlocuite cu expresii identice egale. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie identică egală cu aceasta.

Exemplul 22 Exemplul 23

Luați în considerare expresia 1 + a 5, în care putem înlocui gradul unui 5 cu un produs identic egal, de exemplu, al formei a a 4... Acest lucru ne va da expresia 1 + a a 4.

Transformarea efectuată este artificială. Are sens doar în pregătirea pentru alte transformări.

Exemplul 24

Luați în considerare transformarea sumei 4 x 3 + 2 x 2... Aici termenul 4 x 3 ne putem imagina ca o lucrare 2 x 2 2 x... Ca urmare, expresia originală ia forma 2 x 2 2 x + 2 x 2... Acum putem selecta factorul comun 2 x 2 și puneți-l în afara parantezelor: 2 x 2 (2 x + 1).

Adăugați și scădeți același număr

Adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp este o tehnică artificială pentru transformarea expresiilor.

Exemplul 25

Luați în considerare expresia x 2 + 2 x... Putem adăuga sau scădea una din aceasta, ceea ce ne va permite să efectuăm ulterior o altă transformare identică - pentru a selecta pătratul binomului: x 2 + 2 x \u003d x 2 + 2 x + 1 - 1 \u003d (x + 1) 2 - 1.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

„Identități. Transformare identică a expresiilor ”.

Obiectivele lecției

Educational:

familiarizarea și consolidarea în primul rând a conceptelor de „expresii identice egale”, „identitate”, „transformări identice”;

ia în considerare modalitățile de dovedire a identităților, ajută la dezvoltarea abilităților pentru dovedirea identităților;

să verifice asimilarea materialului trecut de către elevi, să-și formeze abilitățile de a aplica învățatul pentru percepția noului.

în curs de dezvoltare : dezvolta gândirea, vorbirea elevilor.

Educational : pentru a educa diligența, acuratețea, corectitudinea înregistrării soluției exercițiilor.

Tipul lecției: învățarea de materiale noi

echipament : Tablă multimedia, tablă albă, manual, registru de lucru.

P lahn lecţie

Moment organizatoric (vizați elevii către lecție)

Verificarea temelor (corectarea erorilor)

Exerciții orale

Studierea materialului nou (Cunoașterea și consolidarea primară a conceptelor de „identitate”, „transformări identice”).

Exerciții de antrenament (Formarea conceptelor de „identitate”, „transformări identice”).

Rezumând rezultatele lecției (Rezumați informațiile teoretice obținute în lecție).

Mesaj pentru teme (Explicați conținutul temelor)

În timpul orelor

I. Momentul organizatoric.

Verificarea temelor.

Întrebări despre teme.

Analiza soluției la tablă.

Este nevoie de matematică
Nu poți trăi fără ea
Învățăm, învățăm, prieteni,
Ce ne amintim de dimineață?

II ... Exerciții orale.

Să facem o încălzire.

Rezultatul adaosului. (Cantitate)

Câte numere știi? (Zece)

O sutime din număr. (La sută)

Rezultatul diviziei? (Privat)

Cel mai mic număr natural? (1)

Este posibil la împărțire numere naturale obține zero? (nu)

Care este suma numerelor de la -200 la 200? (0)

Care este cel mai mare întreg negativ. (-1)

Ce număr nu poate fi împărțit la? (0)

Rezultatul multiplicării? (Compoziţie)

Cel mai mare număr din două cifre? (99)

Care este produsul de la -200 la 200? (0)

Rezultatul scăderii. (Diferență)

Câte grame sunt într-un kilogram? (1000)

Proprietatea de deplasare a adunării. (Suma nu se schimbă de la rearanjarea locurilor termenilor)

Proprietatea de călătorie a multiplicării. (Produsul nu se schimbă de la permutarea multiplicatorilor)

Proprietatea combinată a adaosului. (Pentru a adăuga un număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea la primul număr)

Proprietatea de multiplicare a combinației. (pentru a multiplica produsul a două numere cu al treilea număr, puteți înmulți primul număr cu produsul celui de-al doilea și al treilea)

Proprietate de distribuție. (Pentru a înmulți un număr cu suma a două numere, puteți înmulți acel număr cu fiecare termen și puteți adăuga rezultatele)

III ... Învățarea de materiale noi .

Profesor. Găsiți valoarea expresiilor pentru x \u003d 5 și y \u003d 4

3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27

3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27

Am obținut același rezultat. Din proprietatea de distribuție rezultă că, în general, pentru orice valori ale variabilelor, valorile expresiilor 3 (x + y) și 3x + 3y sunt egale.

Luați în considerare acum expresiile 2x + y și 2xy. Pentru x \u003d 1 și y \u003d 2, acestea iau valori egale:

2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4

2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4

Cu toate acestea, puteți specifica valori pentru x și y astfel încât valorile acestor expresii să nu fie egale. De exemplu, dacă x \u003d 3, y \u003d 4, atunci

2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10

2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

Definiție: Două expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valori ale variabilelor sunt numite identice egale.

Expresiile 3 (x + y) și 3x + 3y sunt identice egale, dar expresiile 2x + y și 2xy nu sunt identice egale.

Egalitatea 3 (x + y) și 3x + 3y este adevărată pentru orice valori ale lui x și y. Astfel de egalități se numesc identități.

Definiție: Egalitatea, adevărată pentru orice valori ale variabilelor, se numește identitate.

Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități. Ne-am întâlnit deja cu identități. Identitățile sunt egalități care exprimă proprietățile de bază ale acțiunilor asupra numerelor (elevii comentează fiecare proprietate, pronunțând-o).

a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac

Alte exemple de identități (Elevii comentează fiecare proprietate vorbind.)

a + 0 \u003d a

a * 1 \u003d a

a + (-a) \u003d 0

și * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Definiție: Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică egală se numește transformare a identității sau pur și simplu transformare a expresiei.

Profesor:

Transformările identice ale expresiilor cu variabile se efectuează pe baza proprietăților acțiunilor asupra numerelor.

Transformările identice ale expresiilor sunt utilizate pe scară largă în calcularea valorilor expresiilor și rezolvarea altor probleme. A trebuit deja să efectuați câteva transformări identice, de exemplu, aruncarea unor termeni similari, extinderea parantezelor. Să ne amintim regulile pentru aceste transformări:

Elevi:

Pentru a da astfel de termeni, trebuie să le adăugați coeficienții și să înmulțiți rezultatul cu partea totală a literei;

Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen între paranteze;

Dacă există un semn minus în fața parantezelor, parantezele pot fi omise schimbând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze.

Profesor:

Exemplul 1. Să prezentăm termeni similari

5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Ce regulă am folosit?

Elev:

Am folosit regula reducerii acestor termeni. Această transformare se bazează pe proprietatea de distribuție a multiplicării.

Profesor:

Exemplul 2. Să extindem parantezele din expresia 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Am aplicat regula pentru extinderea parantezelor precedată de un semn plus.

Elev:

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea combinațională a adunării.

Profesor:

Exemplul 3. Să extindem parantezele din expresia a - (4b - s) \u003da – 4 b + c

Am folosit regula deschiderii parantezelor precedată de un semn minus.

Pe ce proprietate se bazează această transformare?

Elev:

Transformarea efectuată se bazează pe proprietatea de distribuție a înmulțirii și proprietatea de combinație a adunării.

IV ... Exerciții de antrenament

(Înainte de a începe, petrecem o educație fizică

Ne-am ridicat repede și am zâmbit.

Se întindeau tot mai sus.

Ei bine, îndreaptă-ți umerii,

Ridicați, coborâți.

Virați la dreapta, la stânga,

S-au așezat, s-au ridicat. S-au așezat, s-au ridicat.

Și au fugit pe loc.

(Bravo, ai un loc).

Să desfășurăm o mini-lucrare independentă - corespondență, iar cei care cred că subiectul este bine însușit - decid testarea online.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) +5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25

D) 12x +12

V ... Rezumatul lecției .

Profesorul pune întrebări, iar elevii le răspund după cum doresc.

Care sunt două expresii identice? Dă exemple.

Ce egalitate se numește identitate? Dă un exemplu.

Ce transformări identice cunoașteți?

VI ... Teme pentru acasă ... p. 5, găsiți expresii identice vechi folosind Internetul

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la acesta: https://accounts.google.com

Legături pentru diapozitive:

Identități. Transformări identice ale expresiilor. clasa a 7-a.

Găsiți valoarea expresiilor la x \u003d 5 și y \u003d 4 3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27 3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27 Găsiți valoarea expresiilor la x \u003d 6 și y \u003d 5 3 (x + y) \u003d 3 (6 + 5) \u003d 3 * 11 \u003d 33 3x + 3y \u003d 3 * 6 + 3 * 5 \u003d 33

CONCLUZIE: Am obținut același rezultat. Din proprietatea de distribuție rezultă că, în general, pentru orice valori ale variabilelor, valorile expresiilor 3 (x + y) și 3x + 3y sunt egale. 3 (x + y) \u003d 3x + 3y

Luați în considerare acum expresiile 2x + y și 2xy. pentru x \u003d 1 și y \u003d 2 iau valori egale: 2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4 2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4 pentru x \u003d 3, y \u003d 4 valorile expresiilor sunt diferite 2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10 2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24

CONCLUZIE: Expresiile 3 (x + y) și 3x + 3y sunt identice egale, dar expresiile 2x + y și 2xy nu sunt identice egale. Definiție: Două expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valori ale variabilelor sunt numite identice egale.

Identitate Egalitatea 3 (x + y) și 3x + 3y este adevărată pentru orice valori de x și y. Astfel de egalități se numesc identități. Definiție: Egalitatea, adevărată pentru orice valori ale variabilelor, se numește identitate. Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități. Ne-am întâlnit deja cu identități.

Identitățile sunt egalități care exprimă proprietățile de bază ale acțiunilor asupra numerelor. a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac

Se pot da și alte exemple de identități: a + 0 \u003d a a * 1 \u003d a a + (-a) \u003d 0 a * (- b) \u003d - ab a- b \u003d a + (- b) (-a) * ( -b) \u003d ab Înlocuirea unei expresii cu alta, identică identică cu expresia ei, se numește conversie de identitate sau pur și simplu conversie de expresie.

Pentru a aduce astfel de termeni, trebuie să le adăugați coeficienții și să înmulțiți rezultatul cu partea totală a literei. Exemplul 1. Să dăm termeni similari 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen între paranteze. Exemplul 2. Să extindem parantezele în expresia 2а + (b -3 c) \u003d 2 a + b - 3 c

Dacă există un semn minus în fața parantezelor, parantezele pot fi omise schimbând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze. Exemplul 3. Să extindem parantezele din expresia a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Temele: p. 5, nr. 91, 97, 99 Vă mulțumim pentru lecție!

Pe subiect: evoluții metodologice, prezentări și note

Metodologia de pregătire a elevilor pentru examen în secțiunea „Expresii și transformarea expresiei”

Acest proiect a fost dezvoltat cu scopul de a pregăti elevii pentru examenele de stat din clasa a IX-a și ulterior pentru examenul de stat unificat din clasa a XI-a ....

În cursul studierii algebrei, am întâlnit conceptele de polinom (de exemplu ($ yx $, $ \\ 2x ^ 2-2x $, etc.) și a unei fracții algebrice (de exemplu $ \\ frac (x + 5) (x) $, $ \\ frac (2x ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ \\ frac (xy) (yx) $ etc.) Asemănarea acestor concepte este că atât în \u200b\u200bpolinoame, cât și în fracțiile algebrice există variabile și valori numerice, aritmetice acțiuni: adunare, scădere, înmulțire, creșterea la o putere Diferența dintre aceste concepte este că în polinoame nu există diviziune cu o variabilă, dar în fracțiile algebrice, se poate face diviziune cu o variabilă.

Atât polinoamele, cât și fracțiile algebrice din matematică se numesc expresii algebrice raționale. Dar polinoamele sunt expresii raționale întregi, iar fracțiile algebrice fracțional rațional expresii.

Puteți obține o întreagă expresie algebrică dintr-o expresie fracțional-rațională utilizând transformarea identică, care în acest caz va fi proprietatea principală a fracției - reducerea fracțiilor. Să verificăm în practică:

Exemplul 1

Efectuați transformarea: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $

Decizie: Această ecuație fracțional-rațională poate fi transformată utilizând proprietatea de bază a reducerii fracționare, adică împărțind numărătorul și numitorul la același număr sau expresie, altul decât $ 0 $.

Această fracțiune nu poate fi anulată imediat, este necesar să transformați numeratorul.

Transformăm expresia în numeratorul fracției, pentru aceasta folosim formula pentru pătratul diferenței: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ 2 $

Fracțiunea arată

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ left (x-2 \\ right) (x-2)) (x-2) \\]

Acum vedem că există un factor comun în numărător și în numitor - aceasta este expresia $ x-2 $, prin care vom anula fracția

\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ left (x-2 \\ right) (x-2)) (x-2) \u003d x-2 \\]

După reducere, am obținut că expresia rațională fracționată originală $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ a devenit un polinom $ x-2 $, adică întreg rațional.

Acum să fim atenți la faptul că expresiile $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ și $ x-2 \\ $ pot fi considerate identice nu pentru toate valorile variabilei, deoarece pentru ca expresia fracțional-rațională să existe și a fost posibil să se reducă cu polinomul $ x-2 $, numitorul fracției nu ar trebui să fie egal cu 0 $ $ (precum și factorul prin care reducem. În acest exemplu, numitorul și factorul coincid, dar nu este întotdeauna cazul).

Valorile variabilei la care va exista fracția algebrică se numesc valorile admisibile ale variabilei.

Punem o condiție pe numitorul fracției: $ x-2 ≠ 0 $, apoi $ x ≠ 2 $.

Prin urmare, expresiile $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ și $ x-2 $ sunt identice pentru toate valorile variabilei, cu excepția $ 2 $.

Definiția 1

În mod identic expresiile sunt acelea care sunt egale pentru toate valorile admisibile ale variabilei.

Transformarea identică este orice înlocuire a expresiei originale cu o identică egală cu aceasta. Astfel de transformări includ efectuarea de acțiuni: adunare, scădere, multiplicare, plasarea unui factor comun în afara parantezei, reducerea fracțiilor algebrice la un numitor comun, reducerea fracțiilor algebrice, reducerea termenilor similari etc. Trebuie avut în vedere faptul că o serie de transformări, cum ar fi reducerea, reducerea unor astfel de termeni, pot modifica valorile admise ale variabilei.

Tehnici folosite pentru a dovedi identități

Aduceți partea stângă a identității la dreapta sau invers folosind transformările identității

Reduceți ambele părți la aceeași expresie folosind transformări identice

Mutați expresiile dintr-o parte a expresiei în alta și demonstrați că diferența rezultată este de $ 0 $

Care dintre metodele de mai sus să se utilizeze pentru a dovedi o identitate dată depinde de identitatea originală.

Exemplul 2

Dovediți identitatea $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Decizie: Pentru a demonstra această identitate, folosim prima dintre metodele de mai sus, și anume, transformăm partea stângă a identității în egalitatea ei cu dreapta.

Luați în considerare partea stângă a identității: $ \\ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - este diferența a două polinoame. Primul polinom este pătratul sumei a trei termeni. Pentru a păstra suma mai multor termeni, folosim formula:

\\ [((a + b + c)) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \\]

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțim numărul cu un polinom. Amintiți-vă că pentru aceasta trebuie să înmulțim factorul comun din afara parantezelor cu fiecare termen al polinomului dintre paranteze. Apoi obținem:

$ 2 (ab + ac + bc) \u003d 2ab + 2ac + 2bc $

Revenind la polinomul original, va lua forma:

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $

Rețineți că înainte de paranteză există un semn „-”, ceea ce înseamnă că atunci când parantezele sunt deschise, toate caracterele care erau în paranteză sunt inversate.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $

Având în vedere termeni similari, obținem că monomiile $ 2ab $, $ 2ac $, $ \\ 2bc $ și $ -2ab $, $ - 2ac $, $ -2bc $ se anihilează reciproc, adică suma lor este egală cu 0 $ $.

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Deci, prin intermediul unor transformări identice, am obținut expresia identică în partea stângă a identității originale

$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $

Rețineți că expresia rezultată arată că identitatea originală este adevărată.

Rețineți că în identitatea originală, toate valorile variabilei sunt admisibile, ceea ce înseamnă că am dovedit identitatea folosind transformări identice și este adevărat pentru toate valorile admisibile ale variabilei.