Formule de turnare Arctg. Trigonometrie. Funcții trigonometrice inverse. Grafice cu funcție trigonometrică inversă

Definiție și notație

Arcsine (y \u003d arcsin x) este funcția de sinus invers (x \u003d păcat y -1 ≤ x ≤ 1 iar setul de valori -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
sin (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

Arcsine este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției Arcsine

Graficul funcției y \u003d arcsin x

Graficul arcsinic este obținut din graficul sinusoidal prin schimbarea axelor abscisei și ordonate. Pentru a elimina ambiguitatea, gama de valori este limitată de intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește principala valoare a arcsinei.

Arccosine, arccos

Definiție și notație

Arccosine (y \u003d arccos x) este funcția inversă cosinusului (x \u003d pentru că). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1 și multe semnificații 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Arccosine este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției Arccosine

Graficul funcției y \u003d arccos x

Graficul arccosine se obține din graficul cosinusului prin schimbarea axelor de abscisă și ordonată. Pentru a elimina ambiguitatea, gama de valori este limitată de intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește principala valoare a arccosinei.

Paritate

Funcția arcsine este ciudată:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Funcția de cosinus invers nu este pară sau impar:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Proprietăți - extrema, crește, scade

Funcțiile de sinus invers și cosinus invers sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsine și arcsine sunt prezentate în tabel.

	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama de valori
Măriți, micșorați	crește monoton	scade monoton
Înalte
Minimele
Zero, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Puncte de intersecție cu axa y, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Masă arcsine și arccosine

Acest tabel prezintă valorile arcurilor și arcurilor, în grade și radiani, pentru unele valori ale argumentului.

X	arcsin x		arccos x
	grindină.	bucuros.	grindină.	bucuros.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la și

la și

la sau

la și

la și

la

la

la

la

Expresii logaritmice, numere complexe

Vezi si: Formule derivate

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

Derivate

;
.
Vezi Derivate Arcsine și Arccosine Derivatives \u003e\u003e\u003e

Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad. Este determinat de formulele:
;
;
.

A se vedea Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinei și arccosinei \u003e\u003e\u003e

Integrale

Înlocuirea x \u003d păcat t... Ne integrăm pe părți, ținând cont de faptul că -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Să exprimăm cosinusul invers în termeni de arc:
.

Extinderea seriei

Pentru | x |< 1 are loc următoarea descompunere:
;
.

Funcții inverse

Inversul la arcsino și arccosine sunt sinus și, respectiv, cosinus.

Următoarele formule sunt valabile în întregul domeniu:
sin (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsine și arcsine:
arcsin (sin x) \u003d x la
arccos (cos x) \u003d x la.

Referințe:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor tehnice, "Lan", 2009.

Vezi si:

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt funcții trigonometrice inverse.

Funcția y \u003d arcsin (x)

Arsinusul unui număr α este un număr α din intervalul [-π / 2; π / 2], al cărui sinus este egal cu α.
Graficul funcțional
Funcția y \u003d sin\u2061 (x) pe segmentul [-π / 2; π / 2] este strict crescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict crescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y \u003d sin\u2061 (x), unde x ∈ [-π / 2; π / 2], se numește arcsinus și este notată cu y \u003d arcsin (x), unde x ∈ [-1; 1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definiție al arcului este segmentul [-1; 1], iar setul de valori este segmentul [-π / 2; π / 2].
Rețineți că graficul funcției y \u003d arcsin (x), unde x ∈ [-1; 1]. Este simetric cu graficul funcției y \u003d sin (\u2061x), unde x ∈ [-π / 2; π / 2], relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate primul și al treilea trimestru.

Gama de funcții y \u003d arcsin (x).

Exemplul nr. 1.

Găsiți arcsin (1/2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arcsin (x) aparține intervalului [-π / 2; π / 2], este potrivită doar valoarea π / 6. În consecință, arcsin (1/2) \u003d π / 6.
Răspuns: π / 6

Exemplul nr. 2.
Găsiți arcsin (- (√3) / 2)?

Deoarece intervalul de valori arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2], este potrivită doar valoarea -π / 3. Prin urmare, arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

Funcția y \u003d arccos (x)

Cosinusul invers al unui număr α este un număr α dintr-un interval al cărui cosinus este egal cu α.

Graficul funcțional

Funcția y \u003d cos (\u2061x) pe un segment este strict descrescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y \u003d cos\u2061x, unde x ∈, se numește cosinus invers și este notat cu y \u003d arccos (x), unde х ∈ [-1; 1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul definiției arccozinei este segmentul [-1; 1], iar setul de valori este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y \u003d arccos (x), unde х ∈ [-1; 1], este simetric cu graficul funcției y \u003d cos (\u2061x), unde х ∈, relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate din primul și al treilea trimestru.

Domeniul funcției y \u003d arccos (x).

Exemplul nr. 3.

Găsiți arccos (1/2)?

Deoarece intervalul de valori este arccos (x) х∈, numai valoarea π / 3 este potrivită; prin urmare, arccos (1/2) \u003d π / 3.
Exemplul nr. 4.
Găsiți arccos (- (√2) / 2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arccos (x) aparține intervalului, numai valoarea 3π / 4 este potrivită; prin urmare, arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

Răspuns: 3π / 4

Funcția y \u003d arctan (x)

Arctangenta unui număr α este un număr α din intervalul [-π / 2; π / 2], a cărui tangentă este egală cu α.

Graficul funcțional

Funcția tangentă este continuă și crește strict pe interval (-π / 2; π / 2); prin urmare, are o funcție inversă, care este continuă și strict în creștere.
Funcția inversă pentru funcția y \u003d tg\u2061 (x), unde х∈ (-π / 2; π / 2); se numește arctangent și se notează cu y \u003d arctan (x), unde х∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul definiției arctangentei este intervalul (-∞; + ∞), iar setul de valori este intervalul
(-π / 2; π / 2).
Rețineți că graficul funcției y \u003d arctan (x), unde х∈R, este simetric cu graficul funcției y \u003d tg\u2061x, unde х ∈ (-π / 2; π / 2), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate din primul și al treilea trimestru.

Gama de funcții y \u003d arctan (x).

Exemplul nr. 5?

Găsiți arctan ((√3) / 3).

Deoarece intervalul de valori arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), este potrivită doar valoarea π / 6. Prin urmare, arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
Exemplul nr. 6.
Găsiți arctg (-1)?

Deoarece intervalul de valori arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), este potrivită doar valoarea -π / 4. Prin urmare, arctg (-1) \u003d - π / 4.

Funcția y \u003d arcctg (x)

Arcotangenta unui număr α este un număr α din intervalul (0; π), a cărui cotangentă este egală cu α.

Graficul funcțional

Pe intervalul (0; π), funcția cotangentă este strict descrescătoare; în plus, este continuu în fiecare punct al acestui interval; prin urmare, pe intervalul (0; π), această funcție are o funcție inversă, care este strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y \u003d ctg (x), unde х ∈ (0; π), se numește cotangentă arc și este notată cu y \u003d arcctg (x), unde х∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul definiției arcului cotangent este R, iar setul de valori este intervalul (0; π). Graficul funcției y \u003d arcctg (x), unde х∈R este simetric cu graficul funcției y \u003d ctg (x) х∈ (0 ; π), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate din primul și al treilea trimestru.

Gama de funcții y \u003d arcctg (x).

Exemplul # 7.
Găsiți arcctg ((√3) / 3)?

Deoarece intervalul de valori este arcctg (x) х ∈ (0; π), numai π / 3 este potrivit; prin urmare, arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

Exemplul # 8.
Găsiți arcctg (- (√3) / 3)?

Deoarece intervalul de valori este arcctg (x) х∈ (0; π), numai valoarea 2π / 3 este potrivită; prin urmare, arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

Redactori: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

În această lecție vom analiza caracteristicile funcții inverse și repetă funcții trigonometrice inverse... Proprietățile tuturor funcțiilor trigonometrice inverse principale vor fi luate în considerare separat: arcsine, arccosine, arctangent și arccotangent.

Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini LA 7 și C1.

Pregătirea examenului la matematică

Experiment

Lecția 9. Funcții trigonometrice inverse.

Teorie

Rezumatul lecției

Să ne amintim când întâlnim un astfel de concept ca funcție inversă. De exemplu, luați în considerare funcția de pătrat. Să presupunem că avem o cameră pătrată cu laturile de 2 metri și vrem să îi calculăm aria. Pentru a face acest lucru, folosind formula pentru aria pătratului, ridicăm două la pătrat și, ca rezultat, obținem 4 m 2. Acum să ne imaginăm problema inversă: cunoaștem aria unei camere pătrate și vrem să găsim lungimile laturilor sale. Dacă știm că zona este încă aceeași de 4 m 2, atunci efectuăm acțiunea inversă la pătrat - extragerea aritmeticii rădăcină pătrată, care ne va da o valoare de 2 m.

Astfel, pentru funcția de a pătrat un număr, funcția inversă este de a extrage rădăcina pătrată aritmetică.

Mai exact, în acest exemplu, nu am avut probleme cu calcularea părții camerei, deoarece înțelegem că acesta este un număr pozitiv. Totuși, dacă ne îndepărtăm de acest caz și luăm în considerare problema într-un mod mai general: „Calculați un număr al cărui pătrat este patru”, ne vom confrunta cu o problemă - există două astfel de numere. Acestea sunt 2 și -2 pentru că este, de asemenea, egal cu patru. Se pare că problema inversă în cazul general este rezolvată ambiguu, iar acțiunea de determinare a numărului care a pătrat ne-a dat numărul pe care îl știm? are două rezultate. Este convenabil să îl afișați pe grafic:

Și aceasta înseamnă că nu putem numi o astfel de lege a corespondenței numerelor o funcție, deoarece pentru o funcție corespunde o valoare a argumentului strict una valoarea funcției.

Pentru a introduce cu exactitate funcția inversă pătratului, a fost propus conceptul de rădăcină pătrată aritmetică, care dă doar valori non-negative. Acestea. pentru o funcție se ia în considerare funcția inversă.

În mod similar, există funcții inverse funcțiilor trigonometrice, acestea sunt numite funcții trigonometrice inverse... Fiecare dintre funcțiile pe care le-am considerat are propriul său invers, acestea sunt numite: arcsine, arccosine, arctangent și arccotangent.

Aceste funcții rezolvă problema calculării unghiurilor din valoarea cunoscută a funcției trigonometrice. De exemplu, folosind un tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice de bază, puteți calcula sinusul cărui unghi este. Găsim această valoare în linia sinusurilor și determinăm cărui unghi îi corespunde. Primul lucru la care vreau să răspund este că acesta este un unghi sau, dar dacă mai aveți un tabel de valori, veți observa imediat un alt concurent pentru un răspuns - acesta este un unghi sau. Și dacă ne amintim perioada sinusului, atunci înțelegem că unghiurile la care sinusul este egal sunt infinite. Și un astfel de set de valori ale unghiului corespunzătoare unei valori date a funcției trigonometrice va fi observat pentru cosinuzi, tangenți și cotangenți, deoarece toate au periodicitate.

Acestea. ne confruntăm cu aceeași problemă pe care am avut-o pentru calcularea valorii argumentului din valoarea funcției pentru acțiunea pătrată. Și în acest caz, pentru funcțiile trigonometrice inverse, a fost introdusă o restricție asupra intervalului de valori pe care le dau atunci când se calculează. Această proprietate a unor astfel de funcții inverse se numește îngustând raza de acțiune, și este necesar ca acestea să fie numite funcții.

Pentru fiecare dintre funcțiile trigonometrice inverse, gama de unghiuri pe care le returnează este diferită și le vom considera separat. De exemplu, arcsine returnează valori ale unghiului în intervalul de la la.

Abilitatea de a lucra cu funcții trigonometrice inverse ne va fi utilă atunci când rezolvăm ecuații trigonometrice.

Vom indica acum proprietățile de bază ale fiecărei funcții trigonometrice inverse. Dacă doriți să aflați mai multe despre ele, consultați capitolul „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice” din programul clasei a X-a.

Luați în considerare proprietățile funcției arcsine și construiți graficul acesteia.

Definiție.Arcsinusul unui numărx

Principalele proprietăți ale arcsinei:

1) la,

2) la.

Proprietățile de bază ale funcției arcsine:

1 Domeniul de aplicare ;

2) Gama de valori ;

3) Funcția este ciudată. Este de dorit să ne amintim această formulă separat, deoarece este util pentru transformări. De asemenea, rețineți că ciudățenia implică simetria graficului funcțional în raport cu originea;

Să trasăm funcția:

Rețineți că niciuna dintre secțiunile grafului funcțional nu se repetă, ceea ce înseamnă că arcsinusul nu este o funcție periodică, spre deosebire de sinus. Același lucru se va aplica tuturor celorlalte funcții de arc.

Luați în considerare proprietățile funcției cosinusului invers și construiți graficul acestuia.

Definiție.Numărul Arccosinex se numește valoarea unghiului y pentru care. Mai mult, ca o limitare a valorilor sinusului, dar ca o gamă selectată de unghiuri.

Principalele proprietăți ale arccosinei:

1) la,

2) la.

Proprietățile de bază ale funcției cosinusului invers:

1 Domeniul de aplicare ;

2) Gama de valori;

3) Funcția nu este nici pară, nici impar, adică vedere generala ... De asemenea, este de dorit să ne amintim această formulă, ne va fi utilă mai târziu;

4) Funcția scade monoton.

Să trasăm funcția:

Luați în considerare proprietățile funcției arctangente și construiți graficul ei

Definiție.Arctangenta număruluix se numește valoarea unghiului y pentru care. Mai mult, din moment ce nu există restricții asupra valorilor tangente, ci ca interval de unghiuri selectat.

Principalele proprietăți ale arctangentului:

1) la,

2) la.

Principalele proprietăți ale funcției arctangente:

1) Domeniul de definire;

2) Gama de valori ;

3) Funcția este ciudată ... Această formulă este utilă, precum și cele similare. Ca și în cazul arcsinei, ciudățenia implică simetria graficului funcțional în raport cu originea;

4) Funcția crește monoton.

Să trasăm funcția:

Lecțiile 32-33. Funcții trigonometrice inverse

09.07.2015 8936 0

Scop: ia în considerare funcțiile trigonometrice inverse, utilizarea lor pentru a scrie soluții de ecuații trigonometrice.

I. Comunicarea subiectului și scopul lecțiilor

II. Învățarea de materiale noi

1. Funcții trigonometrice inverse

Să începem discuția noastră despre acest subiect cu următorul exemplu.

Exemplul 1

Să rezolvăm ecuația:a) sin x \u003d 1/2; b) sin x \u003d a.

a) Pe ordonată, amânăm valoarea 1/2 și trasăm unghiurilex 1 și x2, pentru carepăcat x \u003d 1/2. Mai mult, x1 + x2 \u003d π, de unde x2 \u003d π -x 1 ... Conform tabelului valorilor funcțiilor trigonometrice, găsim valoarea x1 \u003d π / 6, atunciSă luăm în considerare periodicitatea funcției sinus și să notăm soluțiile acestei ecuații:unde k ∈ Z.

b) Evident, algoritmul pentru rezolvarea ecuațieipăcat x \u003d a este la fel ca în paragraful anterior. Desigur, acum valoarea a este reprezentată de-a lungul ordonatei. Devine necesar să se desemneze cumva unghiul x1. Am convenit să denotăm un astfel de unghi prin simbolarcsin și. Apoi soluțiile acestei ecuații pot fi scrise în formăAceste două formule pot fi combinate într-una singură:în care

Restul funcțiilor trigonometrice inverse sunt introduse în mod similar.

Este foarte adesea necesar să se determine valoarea unui unghi din valoarea cunoscută a funcției sale trigonometrice. O astfel de problemă este multivalorizată - există nenumărate unghiuri, ale căror funcții trigonometrice sunt egale cu aceeași valoare. Prin urmare, pornind de la monotonicitatea funcțiilor trigonometrice, sunt introduse următoarele funcții trigonometrice inverse pentru a determina în mod unic unghiurile.

Arcsine de numărul a (arcsin , al cărui sinus este egal cu a, adică

Numărul de Arccosinea (arccos a) este un astfel de unghi a dintr-un interval al cărui cosinus este egal cu a, adică

Arc tangent al unui număra (arctg a) - un astfel de unghi a din intervala cărei tangentă este egală cu a, adicătg a \u003d a.

Arccotangent al număruluia (arcctg a) este un unghi a din intervalul (0; π), a cărui cotangentă este egală cu a, adicăctg a \u003d a.

Exemplul 2

Sa gasim:

Luând în considerare definițiile funcțiilor trigonometrice inverse, obținem:

Exemplul 3

Să calculăm

Fie unghiul a \u003d arcsin 3/5, apoi prin definițiesin a \u003d 3/5 și ... Prin urmare, este necesar să găsimcos și. Folosind main identitate trigonometrică, primim:S-a luat în considerare faptul că cos a ≥ 0. Deci,

Proprietățile funcției	Funcţie
	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d arctan x	y \u003d arcctg x
Domeniu	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
Gama de valori	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y ∈	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
Paritate	Ciudat	Nici par, nici ciudat	Ciudat	Nici par, nici ciudat
Funcții zerouri (y \u003d 0)	Pentru x \u003d 0	Pentru x \u003d 1	Pentru x \u003d 0	y ≠ 0
Intervalele de constanță	y\u003e 0 pentru x ∈ (0; 1], la< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 pentru x ∈ [-1; 1)	y\u003e 0 pentru х ∈ (0; + ∞), la< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 pentru x ∈ (-∞; + ∞)
Monoton	Crescând	Scade	Crescând	Scade
Relația cu funcția trigonometrică	sin y \u003d x	cos y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
Programa

Iată câteva exemple mai tipice legate de definițiile și proprietățile de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse.

Exemplul 4

Găsiți domeniul funcției

Pentru ca funcția y să fie definită, inegalitateacare este echivalent cu sistemul inegalitățilorSoluția la prima inegalitate este intervalul x∈ (-∞; + ∞), al doilea -Acest decalaj și este o soluție la sistemul de inegalități și, prin urmare, domeniul de definire a funcției

Exemplul 5

Găsiți zona de schimbare a funcției

Luați în considerare comportamentul funcțieiz \u003d 2x - x2 (vezi figura).

Se vede că z ∈ (-∞; 1]. Având în vedere că argumentulz funcția arc cotangentă variază în limitele specificate, din datele din tabelul pe care îl obținemDeci zona schimbării

Exemplul 6

Să dovedim că funcția y \u003darctg x este ciudat. LasaApoi tan a \u003d -x sau x \u003d - tan a \u003d tan (- a) și Prin urmare, - a \u003d arctan x sau a \u003d - arctan x. Astfel, vedem astaadică y (x) este o funcție ciudată.

Exemplul 7

Să exprimăm în termenii tuturor funcțiilor trigonometrice inverse

Lasa Este evident că Atunci De când

Să introducem un unghi La fel de apoi

Prin urmare, în mod similar și

Asa de,

Exemplul 8

Să trasăm funcția y \u003dcos (arcsin x).

Notăm a \u003d arcsin x, atunci Vom lua în considerare faptul că x \u003d sin a și y \u003d cos a, adică x 2 + y2 \u003d 1 și restricții pentru x (x∈ [-1; 1]) și y (y ≥ 0). Apoi graficul funcției y \u003dcos (arcsin x) este un semicerc.

Exemplul 9

Să trasăm funcția y \u003darccos (cos x).

Deoarece funcția cos x modificări pe segmentul [-1; 1], atunci funcția y este definită pe întreaga axă numerică și se modifică pe segment. Vom reține că y \u003darccos (cos x) \u003d x pe segment; funcția y este pară și periodică cu o perioadă de 2π. Luând în considerare faptul că aceste proprietăți sunt posedate de funcțiecos x, acum este ușor de trasat.

Să observăm câteva egalități utile:

Exemplul 10

Găsiți cele mai mici și mai mari valori ale funcțieiDenotăm apoi Obținem funcția Această funcție are un minim la punctul respectivz \u003d π / 4 și este egal cu Cea mai mare valoare a funcției este atinsă la punctul respectivz \u003d -π / 2 și este egal cu Astfel, și

Exemplul 11

Să rezolvăm ecuația

Să ținem cont de asta Atunci ecuația are forma: sau de unde Prin definiția arctangentului, obținem:

2. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice

În mod similar cu exemplul 1, puteți obține soluții la cele mai simple ecuații trigonometrice.

Ecuația	Decizie
tgx \u003d a
ctg x \u003d a

Exemplul 12

Să rezolvăm ecuația

Deoarece funcția sinus este impar, scriem ecuația în formăSoluții la această ecuație:unde găsim

Exemplul 13

Să rezolvăm ecuația

Folosind formula de mai sus, scriem soluțiile ecuației:si gaseste

Rețineți că, în cazuri particulare (a \u003d 0; ± 1), atunci când rezolvați ecuațiilesin x \u003d a și cos x \u003d și este mai ușor și mai convenabil să folosiți nu formule generale, ci să scrieți soluții pe baza cercului unitar:

pentru ecuația sin х \u003d 1 soluții

pentru ecuația sin х \u003d 0 soluții х \u003d π k;

pentru ecuația sin x \u003d -1 soluții

pentru ecuația cos x \u003d 1 soluții x \u003d 2πk;

pentru ecuația cos x \u003d 0 soluții

pentru ecuația cos x \u003d -1 soluții

Exemplul 14

Să rezolvăm ecuația

Deoarece în acest exemplu există un caz special al ecuației, atunci folosind formula corespunzătoare scriem soluția:unde vom găsi

III. Întrebări de testare (sondaj frontal)

1. Dați o definiție și enumerați principalele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice inverse.

2. Dă graficele funcțiilor trigonometrice inverse.

3. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

IV. Temă în clasă

§ 15, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 7 (a); 8 (a); 12 (b); 13 (a); 15 (c); 16 (a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nr. 4 (a, b); 7 (a); 8 (b); 16 (a, b); 18 (a); 19 (c, d);

§ 17, nr. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Temele

§ 15, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12 (a); 13 (b); 15 (d); 16 (b); 18 (c, d); 19 (d); 22;

§ 16, nr. 4 (c, d); 7 (b); 8 (a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nr. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

Vi. Sarcini creative

1. Găsiți domeniul funcției:

Răspunsuri:

2. Găsiți gama de valori a funcției:

Răspunsuri:

3. Complotați funcția:

Vii. Rezumând lecțiile