Ang lahat ng mga formula sa paksa ay scalar na produkto ng mga vector. Paano hanapin ang scalar product ng mga vectors. Kahulugan ng scalar product ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate
Produktong scaler mga vectors (mula rito ay tinutukoy bilang SP). Mahal na mga kaibigan! Kasama sa pagsusulit sa matematika ang isang pangkat ng mga problema sa paglutas ng mga vector. Napag-isipan na namin ang ilang mga problema. Maaari mong makita ang mga ito sa kategoryang "Mga Vector". Sa pangkalahatan, ang teorya ng mga vector ay hindi kumplikado, ang pangunahing bagay ay patuloy na pag-aralan ito. Ang mga kalkulasyon at pagpapatakbo na may mga vector sa kurso sa matematika ng paaralan ay simple, ang mga formula ay hindi kumplikado. Tingnan mo. Sa artikulong ito susuriin namin ang mga problema sa SP ng mga vectors (kasama sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri). Ngayon ay "immersion" sa teorya:
H Upang mahanap ang mga coordinate ng isang vector, kailangan mong ibawas mula sa mga coordinate ng dulo nitoang kaukulang mga coordinate ng pinagmulan nito
At higit pa:
*Ang haba ng vector (modulus) ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
Dapat tandaan ang mga formula na ito!!!
Ipakita natin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:
Malinaw na maaari itong mag-iba mula 0 hanggang 180 0(o sa mga radian mula 0 hanggang Pi).
Maaari tayong gumuhit ng ilang konklusyon tungkol sa tanda ng scalar product. Ang mga haba ng mga vector ay may positibong halaga, ito ay halata. Nangangahulugan ito na ang tanda ng produktong scalar ay nakasalalay sa halaga ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors.
Mga posibleng kaso:
1. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay talamak (mula 0 0 hanggang 90 0), kung gayon ang cosine ng anggulo ay magkakaroon ng positibong halaga.
2. Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo (mula 90 0 hanggang 180 0), kung gayon ang cosine ng anggulo ay magkakaroon ng negatibong halaga.
*Sa zero degrees, iyon ay, kapag ang mga vector ay may parehong direksyon, ang cosine ay katumbas ng isa at, nang naaayon, ang resulta ay magiging positibo.
Sa 180 o, iyon ay, kapag ang mga vector ay may magkasalungat na direksyon, ang cosine ay katumbas ng minus one,at naaayon ang resulta ay magiging negatibo.
Ngayon ang MAHALAGANG PUNTO!
Sa 90 o, iyon ay, kapag ang mga vector ay patayo sa isa't isa, ang cosine ay katumbas ng zero, at samakatuwid ang SP ay katumbas ng zero. Ang katotohanang ito (kinahinatnan, konklusyon) ay ginagamit sa paglutas ng maraming problema kung saan natin pinag-uusapan Kaugnay na posisyon vectors, kabilang ang mga problemang kasama sa bukas na bangko ng mga gawain sa matematika.
Bumuo tayo ng pahayag: ang scalar product ay katumbas ng zero kung at kung ang mga vectors na ito ay nasa perpendicular lines.
Kaya, ang mga formula para sa SP vectors:
Kung ang mga coordinate ng mga vectors o ang mga coordinate ng mga punto ng kanilang mga simula at dulo ay kilala, pagkatapos ay maaari naming palaging mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors:
Isaalang-alang natin ang mga gawain:
27724 Hanapin ang scalar product ng mga vectors a at b.
Mahahanap natin ang scalar product ng mga vector gamit ang isa sa dalawang formula:
Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi alam, ngunit madali nating mahahanap ang mga coordinate ng mga vector at pagkatapos ay gamitin ang unang formula. Dahil ang mga pinagmulan ng parehong mga vector ay nag-tutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, ang mga coordinate ng mga vectors na ito ay katumbas ng mga coordinate ng kanilang mga dulo, iyon ay
Paano mahanap ang mga coordinate ng isang vector ay inilarawan sa.
Kinakalkula namin:
Sagot: 40
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector at gamitin ang formula:
Upang mahanap ang mga coordinate ng isang vector, kinakailangan upang ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula nito mula sa mga coordinate ng dulo ng vector, na nangangahulugang
Kinakalkula namin ang scalar product:
Sagot: 40
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Hayaang magkaroon ng anyo ang mga coordinate ng mga vector:
Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ginagamit namin ang formula para sa scalar product ng mga vectors:
Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector:
Kaya naman:
Ang mga coordinate ng mga vector na ito ay pantay:
Ipalit natin ang mga ito sa formula:
Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay 45 degrees.
Sagot: 45
Sa kaso ng problema sa eroplano, ang scalar product ng mga vectors a = (a x; a y) at b = (b x; b y) ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:
a b = a x b x + a y b y
Formula para sa scalar na produkto ng mga vector para sa mga spatial na problema
Sa kaso ng spatial na problema, ang scalar product ng mga vectors a = (a x; a y; a z) at b = (b x; b y; b z) ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:
a b = a x b x + a y b y + a z b z
Formula para sa scalar product ng n-dimensional vectors
Sa kaso ng isang n-dimensional na espasyo, ang scalar product ng mga vectors a = (a 1; a 2; ...; a n) at b = (b 1; b 2; ...; b n) ay matatagpuan gamit ang ang sumusunod na formula:
a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n
Mga katangian ng scalar product ng mga vectors
1. Ang scalar product ng isang vector na may sarili nito ay palaging mas malaki sa o katumbas ng zero:
2. Ang scalar product ng isang vector sa sarili nito ay katumbas ng zero kung at kung ang vector ay katumbas ng zero vector:
a · a = 0<=>a = 0
3. Ang scalar product ng isang vector kasama ang sarili nito ay katumbas ng square ng modulus nito:
4. Ang operasyon ng scalar multiplication ay communicative:
5. Kung ang scalar product ng dalawang di-zero na vector ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga vector na ito ay orthogonal:
a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b
6. (αa) b = α(a b)
7. Ang operasyon ng scalar multiplication ay distributive:
(a + b) c = a c + b c
Mga halimbawa ng mga problema para sa pagkalkula ng scalar product ng mga vectors
Mga halimbawa ng pagkalkula ng scalar product ng mga vectors para sa mga problema sa eroplano
Hanapin ang scalar product ng mga vectors a = (1; 2) at b = (4; 8).
Solusyon: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Hanapin ang scalar product ng mga vectors a at b kung ang kanilang mga haba |a| = 3, |b| = 6, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay 60˚.
Solusyon: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Hanapin ang scalar product ng mga vectors p = a + 3b at q = 5a - 3 b kung ang kanilang mga haba |a| = 3, |b| = 2, at ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b ay 60˚.
Solusyon:
p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =
5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Isang halimbawa ng pagkalkula ng scalar product ng mga vectors para sa mga spatial na problema
Hanapin ang scalar product ng mga vectors a = (1; 2; -5) at b = (4; 8; 1).
Solusyon: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Isang halimbawa ng pagkalkula ng produkto ng tuldok para sa mga n-dimensional na vector
Hanapin ang scalar product ng mga vectors a = (1; 2; -5; 2) at b = (4; 8; 1; -2).
Solusyon: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
13. Tinatawag ang cross product ng vectors at vector ikatlong vector , tinukoy bilang mga sumusunod:
2) patayo, patayo. (1"")
3) ang mga vector ay nakatuon sa parehong paraan bilang batayan ng buong espasyo (positibo o negatibo).
Italaga: .
Pisikal na kahulugan produkto ng vector
— sandali ng puwersa na may kaugnayan sa punto O; - radius - vector ng punto ng aplikasyon ng puwersa, pagkatapos
Bukod dito, kung ililipat natin ito sa point O, kung gayon ang triple ay dapat na nakatuon bilang isang batayan na vector.
1. Kahulugan at pinakasimpleng katangian. Kumuha tayo ng mga di-zero na vectors a at b at i-plot ang mga ito mula sa isang di-makatwirang punto O: OA = a at OB = b. Ang magnitude ng anggulong AOB ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b at tinutukoy (a,b). Kung ang hindi bababa sa isa sa dalawang vector ay zero, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay, ayon sa kahulugan, ay itinuturing na tama. Tandaan na sa pamamagitan ng kahulugan ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi bababa sa 0 at hindi hihigit sa . Bukod dito, ang anggulo sa pagitan ng dalawang di-zero na vector ay katumbas ng 0 kung at kung ang mga vector na ito ay co-directional at katumbas ng kung at kung sila ay nasa magkasalungat na direksyon.
Suriin natin na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay hindi nakasalalay sa pagpili ng punto O. Ito ay malinaw kung ang mga vector ay collinear. Kung hindi, ipagpaliban namin mula sa isang di-makatwirang punto O 1 mga vector O 1 A 1 = a at O 1 SA 1 = b at tandaan na ang mga tatsulok na AOB at A 1 TUNGKOL SA 1 SA 1 pantay sa tatlong panig, dahil |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 SA 1 | = |b|, |AB| = |A 1 SA 1 | = |b–a|. Samakatuwid, ang mga anggulo ng AOB at A 1 TUNGKOL SA 1 SA 1 ay pantay-pantay.
Ngayon ay maaari nating ibigay ang pangunahing punto sa talatang ito
(5.1) Kahulugan. Ang scalar product ng dalawang vectors a at b (denote ab) ay ang numero 6 , katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector. Sa madaling sabi:
ab = |a||b|cos (a,b).
Ang operasyon ng paghahanap ng scalar product ay tinatawag na scalar vector multiplication. Ang scalar product na aa ng isang vector kasama ang sarili nito ay tinatawag na scalar square ng vector na ito at tinutukoy ng isang 2 .
(5.2) Ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba nito.
Kung |a| 0, pagkatapos (a,a) = 0, mula sa kung saan a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Kung a = 0, pagkatapos ay a 2 = |a| 2 = 0.
(5.3) Cauchy inequality. Ang modulus ng scalar product ng dalawang vectors ay hindi lalampas sa product ng moduli ng mga salik: |ab| |a||b|. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay ay makakamit kung at kung ang mga vectors a at b ay collinear.
Sa pamamagitan ng kahulugan |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)| |a||b. Pinatutunayan nito ang mismong hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy. Ngayon pansinin natin. na para sa mga di-zero na vectors a at b pagkakapantay-pantay dito ay makakamit kung at kung |cos (a,b)| = 1, ibig sabihin. sa (a,b) = 0 o (a,b) = . Ang huli ay katumbas ng katotohanan na ang mga vectors a at b ay co-directed o oppositely directed, i.e. collinear. Kung ang isa sa mga vectors a at b ay zero, kung gayon ang mga ito ay collinear at |ab| = |a||b| = 0.
2. Mga pangunahing katangian ng scalar multiplication. Kabilang dito ang mga sumusunod:
(SU1) ab = ba (commutativity);
(SU2) (xa)b = x(ab) (associativity);
(SU3) a(b+c) = ab + ac (distributivity).
Ang commutativity dito ay halata, dahil ab = bа. Ang pagkakaugnay sa x = 0 ay halata din. Kung x > 0, kung gayon
(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
para sa (xa,b) = (a,b) (mula sa co-direction ng mga vectors xa at a - Fig. 21). Kung x< 0, pagkatapos
(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),
para sa (xa,b) = – (a,b) (mula sa kabaligtaran ng direksyon ng mga vectors xa at a - Fig. 22). Kaya, napatunayan din ang pakikisama.
Ang patunayan ang distributivity ay mas mahirap. Para dito kailangan natin ng ganyan
(5.4) Lemma. Hayaan ang a ay isang nonzero vector na kahanay sa linya l, at b isang arbitrary vector. Pagkatapos ay ang orthogonal projectionb" ng vector b sa tuwid na linya l ay katumbas ng 
.
1)
<
/2. Pagkatapos ay ang mga vectors a at 
co-directed (Fig. 23) at
b"
=
=
=
.
2) > /2. Pagkatapos ay ang mga vectors a atb" ay magkasalungat na nakadirekta (Fig. 24) at
b"
=
–
=
–
=
.
3)
=
/2. Pagkataposb"
=
0 at ab
=
0, mula saanb"
=
=
0.
Ngayon patunayan namin ang distributivity (SU3). Ito ay malinaw kung ang vector a ay zero. Hayaan ang a
0. Pagkatapos ay gumuhit kami ng tuwid na linya l
||
a, at tukuyin ngb"Atc" orthogonal projection ng mga vectors b at c papunta dito, at sa pamamagitan ngd" ay ang orthogonal projection ng vector d = b+c papunta dito. Sa pamamagitan ng Theorem 3.5d"
=
b"+
c"Ang paglalapat ng Lemma 5.4 sa huling pagkakapantay-pantay, makukuha natin ang pagkakapantay-pantay 
=
. Scalarly multiply ito sa pamamagitan ng a, nakita namin iyon 
2
=
, kung saan ang ad = ab+ac, na siyang kailangang patunayan.
Ang mga katangian ng scalar multiplication ng mga vectors na napatunayan namin ay katulad ng mga kaukulang katangian ng multiplication ng mga numero. Ngunit hindi lahat ng katangian ng pagpaparami ng mga numero ay dinadala sa scalar multiplikasyon ng mga vector. Narito ang mga karaniwang halimbawa:
1
2) Kung ab = ac, hindi ito nangangahulugan na b = c, kahit na ang vector a ay hindi zero. Halimbawa: ang b at c ay dalawang magkaibang vector na magkapareho ang haba, na bumubuo ng pantay na mga anggulo na may vector a (Larawan 25).
3) Hindi totoo na ang a(bc) = (ab)c ay palaging totoo: kung dahil lamang sa bisa ng naturang pagkakapantay-pantay para sa bc, ab 0 ay nagpapahiwatig ng collinearity ng mga vectors a at c.
3. Orthogonality ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag na orthogonal kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tama. Ang orthogonality ng mga vectors ay ipinahiwatig ng icon .
Kapag natukoy namin ang anggulo sa pagitan ng mga vector, sumang-ayon kaming isaalang-alang ang anggulo sa pagitan ng zero vector at anumang iba pang vector na tama. Samakatuwid, ang zero vector ay orthogonal sa alinman. Ang kasunduang ito ay nagpapahintulot sa amin na patunayan iyon
(5.5) Pagsubok para sa orthogonality ng dalawang vectors. Ang dalawang vector ay orthogonal kung at kung ang kanilang dot product ay 0.
Hayaan ang a at b na maging mga di-makatwirang vector. Kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay zero, kung gayon ang mga ito ay orthogonal, at ang kanilang scalar product ay katumbas ng 0. Kaya, sa kasong ito ang theorem ay totoo. Ipagpalagay natin ngayon na ang parehong mga vector na ito ay hindi zero. Sa pamamagitan ng kahulugan ab = |a||b|cos (a,b). Dahil, ayon sa aming palagay, ang mga numero |a| at |b| ay hindi katumbas ng 0, pagkatapos ay ab = 0 cos (a,b) = 0 (a,b) = /2, na siyang kailangang patunayan.
Ang pagkakapantay-pantay na ab = 0 ay kadalasang ginagamit upang matukoy ang orthogonality ng mga vector.
(5.6) Corollary. Kung ang vector a ay orthogonal sa bawat isa sa mga vectors a 1 , …, A P , pagkatapos ito ay orthogonal sa anumang linear na kumbinasyon ng mga ito.
Ito ay sapat na upang tandaan na mula sa pagkakapantay-pantay aa 1 = ... = aa P Ang = 0 ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ahh 1 ) + … + x P (ahh P ) = 0.
Mula sa Corollary 5.6 madali nating makuha ang pamantayan ng paaralan para sa perpendicularity ng isang linya at isang eroplano. Sa katunayan, hayaan ang ilang linya MN na patayo sa dalawang intersecting na linya AB at AC. Pagkatapos ang vector MN ay orthogonal sa mga vectors AB at AC. Kunin natin ang anumang tuwid na linyang DE sa eroplano ng ABC. Ang vector DE ay coplanar sa mga non-collinear na vector na AB at AC, at samakatuwid ay lumalawak sa kanila. Ngunit pagkatapos ay orthogonal din ito sa vector MN, iyon ay, ang mga linya ng MN at DE ay patayo. Lumalabas na ang tuwid na linyang MN ay patayo sa anumang tuwid na linya mula sa eroplano ng ABC, na siyang kailangang patunayan.
4. Orthonormal na mga base. (5.7) Kahulugan. Ang isang batayan ng isang vector space ay tinatawag na orthonormal kung, una, ang lahat ng mga vector nito ay may haba ng yunit at, pangalawa, alinman sa dalawa sa mga vectors nito ay orthogonal.
Ang mga vector ng isang orthonormal na batayan sa tatlong-dimensional na espasyo ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang i, j at k, at sa vector plane ng mga letrang i at j. Isinasaalang-alang ang tanda ng orthogonality ng dalawang vectors at ang pagkakapantay-pantay ng scalar square ng isang vector sa square ng haba nito, ang mga kondisyon para sa orthonormality ng batayan (i,j,k) ng space V 3 maaaring isulat ng ganito:
(5.8)i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,
at ang batayan (i,j) ng vector plane - tulad nito:
(5.9)i 2 = j 2 = 1, ij = 0.
Hayaang may orthonormal na batayan ang mga vector a at b (i,j,k) ng espasyo V 3 mga coordinate (a 1 , A 2 , A 3 ) at (b 1 b 2 ,b 3 ) ayon sa pagkakabanggit. Pagkataposab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . Ito ay kung paano namin makuha ang formula para sa scalar product ng mga vectors a(a 1 ,A 2 ,A 3 ) at b(b 1 ,b 2 ,b 3 ), na ibinigay ng kanilang mga coordinate sa orthonormal na batayan ng espasyo V 3 :
(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Para sa mga vectors a(a 1 ,A 2 ) at b(b 1 ,b 2 ), na ibinigay ng kanilang mga coordinate sa isang orthonormal na batayan sa vector plane, mayroon itong anyo
(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .
I-substitute natin ang b = a sa formula (5.10). Lumalabas na sa orthonormal na batayan a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Dahil a 2 = |a| 2 , nakukuha namin ang sumusunod na formula para sa paghahanap ng haba ng vector a(a 1 ,A 2 ,A 3 ), na ibinigay ng mga coordinate nito sa orthonormal na batayan ng espasyo V 3 :
(5.12) |a| = 
.
Sa vector plane, dahil sa (5.11), kinukuha nito ang anyo
(5.13) |a| = 
.
Ang pagpapalit ng b = i, b = j, b = k sa formula (5.10), makakakuha tayo ng tatlong mas kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay:
(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .
Ang pagiging simple ng mga formula ng coordinate para sa paghahanap ng produkto ng scalar ng mga vector at ang haba ng vector ay ang pangunahing bentahe ng mga orthonormal na base. Para sa mga di-orthonormal na base, ang mga formula na ito, sa pangkalahatan, ay mali, at ang kanilang paggamit sa kasong ito ay isang malaking pagkakamali.
5. Mga cosine ng direksyon. Isaalang-alang natin ang orthonormal na batayan (i,j,k) ng espasyo V 3 vector a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Pagkataposai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a,i).Sa kabilang banda, ai = a 1 ayon sa formula 5.14. Lumalabas na
(5.15) a 1 = |a|cos (a,i).
at, katulad din,
A 2 = |a|cos (a,j), at 3 = |a|cos (a,k).
Kung ang vector a ay unit, ang tatlong pagkakapantay-pantay na ito ay nasa isang partikular na simpleng anyo:
(5.16) A 1 =cos (a,i),A 2 =cos (a,j),A 3 =cos (a,k).
Ang mga cosine ng mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang vector na may mga vector ng isang orthonormal na batayan ay tinatawag na mga direksyon cosine ng vector na ito sa batayan na ito. Tulad ng ipinapakita ng mga formula 5.16, ang mga coordinate ng isang unit vector sa isang orthonormal na batayan ay katumbas ng mga direksyon na cosine.
Mula 5.15 sumusunod na a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2 (a,i)+cos 2 (a,j) +cos 2 (a,k)). Sa kabilang banda, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Lumalabas na
(5.17) ang kabuuan ng mga parisukat ng mga cosiine ng direksyon ng isang di-zero na vector ay katumbas ng 1.
Ang katotohanang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa paglutas ng ilang mga problema.
(5.18) Problema. Ang dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay bumubuo ng mga anggulo na 60 kasama ang dalawang gilid nito na umuusbong mula sa parehong vertex. . Anong anggulo ang nabuo sa ikatlong gilid na lumalabas mula sa tuktok na ito?
Isaalang-alang ang isang orthonormal na batayan ng espasyo V 3
, na ang mga vector ay inilalarawan ng mga gilid ng isang parallelepiped na umaabot mula sa isang naibigay na vertex. Dahil ang diagonal vector ay bumubuo ng mga anggulo ng 60 na may dalawang vectors ng batayan na ito
, ang mga parisukat ng dalawa sa tatlong direksyon na cosine ay katumbas ng cos 2
60
= 1/4. Samakatuwid, ang parisukat ng ikatlong cosine ay katumbas ng 1/2, at ang cosine na ito mismo ay katumbas ng 1/ 
. Nangangahulugan ito na ang kinakailangang anggulo ay 45
.
Anggulo sa pagitan ng mga vector
Isaalang-alang ang dalawang ibinigay na vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$. Ibawas natin ang mga vector na $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ at $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ mula sa isang arbitraryong napiling punto na $O$, pagkatapos ay ang anggulo na $AOB$ ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).
Larawan 1.
Tandaan dito na kung ang mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ ay codirectional o isa sa mga ito ay ang zero vector, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay $0^0$.
Notasyon: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$
Ang konsepto ng tuldok na produkto ng mga vectors
Sa matematika, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Ang produkto ng tuldok ay maaaring maging zero sa dalawang kaso:
Kung ang isa sa mga vector ay isang zero vector (Mula noon ang haba nito ay zero).
Kung ang mga vector ay magkaparehong patayo (iyon ay, $cos(90)^0=0$).
Tandaan din na ang scalar product ay mas malaki sa zero kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito ay acute (dahil $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , at mas mababa sa zero kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay malabo (mula noong $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )
May kaugnayan sa konsepto ng isang scalar product ay ang konsepto ng isang scalar square.
Kahulugan 2
Ang scalar square ng isang vector $\overrightarrow(a)$ ay ang scalar product ng vector na ito sa sarili nito.
Nalaman namin na ang scalar square ay katumbas ng
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]
Kinakalkula ang produkto ng tuldok mula sa mga coordinate ng vector
Bilang karagdagan sa karaniwang paraan ng paghahanap ng halaga ng scalar na produkto, na sumusunod mula sa kahulugan, mayroong isa pang paraan.
Isaalang-alang natin ito.
Hayaang ang mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ ay may mga coordinate na $\left(a_1,b_1\right)$ at $\left(a_2,b_2\right)$, ayon sa pagkakabanggit.
Teorama 1
Ang scalar product ng mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang coordinate.
Sa matematika ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]
Patunay.
Ang teorama ay napatunayan.
Ang theorem na ito ay may ilang mga kahihinatnan:
Corollary 1: Ang mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ ay patayo kung at kung $a_1a_2+b_1b_2=0$ lang
Corollary 2: Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay katumbas ng $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$
Mga katangian ng scalar product ng mga vectors
Para sa anumang tatlong vector at isang tunay na numero $k$ ang sumusunod ay totoo:
$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$
Ang property na ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang scalar square (Definition 2).
Batas sa paglalakbay:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.
Ang property na ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng scalar product (Definition 1).
Batas sa pamamahagi:
$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(bilangin)
Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon tayong:
\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]
Batas ng kumbinasyon:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(bilangin)
Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon tayong:
\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]
Isang halimbawa ng problema para sa pagkalkula ng scalar product ng mga vectors
Halimbawa 1
Hanapin ang scalar product ng mga vector na $\overrightarrow(a)$ at $\overrightarrow(b)$ kung $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ at $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.
Solusyon.
Gamit ang Definition 1, nakukuha natin
Para sa $(30)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]
Para sa $(45)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]
Para sa $(90)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]
Para sa $(135)^0:$
\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ kanan)=-3\sqrt(2)\]
Kung sa problema ang parehong mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang pilak na pinggan," kung gayon ang kalagayan ng problema at ang solusyon nito ay ganito ang hitsura:
Halimbawa 1. Ibinibigay ang mga vector. Hanapin ang scalar product ng mga vectors kung ang kanilang mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:
Ang isa pang kahulugan ay wasto din, ganap na katumbas ng kahulugan 1.
Kahulugan 2. Ang scalar product ng mga vector ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vector na ito at ang projection ng isa pang vector sa axis na tinutukoy ng una sa mga vectors na ito. Formula ayon sa kahulugan 2:
Lutasin natin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang teoretikal na punto.
Kahulugan ng scalar product ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate
Ang parehong numero ay maaaring makuha kung ang mga vectors na pinarami ay binibigyan ng kanilang mga coordinate.
Kahulugan 3. Ang tuldok na produkto ng mga vector ay isang numero na katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga katumbas na coordinate.
Sa ibabaw
Kung ang dalawang vector at nasa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa Cartesian rectangular coordinate
kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas ng kabuuan ng pairwise na mga produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate:
.
Halimbawa 2. Hanapin ang numerical value ng projection ng vector sa axis na kahanay ng vector.
Solusyon. Nahanap namin ang scalar product ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga coordinate:
Ngayon ay kailangan nating i-equate ang resultang scalar product sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa isang axis na parallel sa vector (alinsunod sa formula).
Hanapin ang haba ng vector bilang Kuwadrado na ugat mula sa kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:
.
Lumilikha kami ng isang equation at lutasin ito:
Sagot. Ang kinakailangang numerical value ay minus 8.
Sa kalawakan
Kung ang dalawang vector at nasa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong Cartesian rectangular coordinate
,
kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas din ng kabuuan ng pairwise na produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate, mayroon na lamang tatlong coordinate:
.
Ang gawain ng paghahanap ng produktong scalar gamit ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay pagkatapos pag-aralan ang mga katangian ng produktong scalar. Dahil sa problema kakailanganin mong matukoy kung anong anggulo ang nabuo ng mga multiplied na vector.
Mga katangian ng scalar product ng mga vectors
Algebraic na katangian
1. (commutative na ari-arian: ang pagbabalikwas sa mga lugar ng pinarami ng mga vector ay hindi nagbabago sa halaga ng kanilang scalar product).
2. 
(nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang numerical factor: ang scalar product ng isang vector na pinarami ng isang tiyak na factor at isa pang vector ay katumbas ng scalar product ng mga vector na ito na pinarami ng parehong factor).
3. 
(distributive property na nauugnay sa kabuuan ng mga vectors: ang scalar product ng kabuuan ng dalawang vector ng ikatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga scalar na produkto ng unang vector ng ikatlong vector at ang pangalawang vector ng ikatlong vector).
4. (scalar square ng vector na mas malaki sa zero), kung ay isang nonzero vector, at , kung ay isang zero vector.
Mga katangian ng geometriko
Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, nahawakan na natin ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.
Sa figure sa itaas maaari mong makita ang dalawang vectors na dinadala sa isang karaniwang pinagmulan. At ang unang bagay na kailangan mong bigyang-pansin ay mayroong dalawang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito - φ 1 At φ 2 . Alin sa mga anggulong ito ang lumilitaw sa mga kahulugan at katangian ng scalar product ng mga vectors? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga cosine ng mga anggulong ito ay pantay. Kasama sa kahulugan ng isang tuldok na produkto ang cosine ng anggulo, at hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit ang mga katangian ay isinasaalang-alang lamang ang isang anggulo. At ito ang isa sa dalawang anggulo na hindi lalampas π , ibig sabihin, 180 degrees. Sa figure ang anggulong ito ay ipinahiwatig bilang φ 1 .
1. Dalawang vector ang tinatawag orthogonal At ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay tuwid (90 degrees o π /2 ), kung ang scalar product ng mga vector na ito ay zero :
.
Ang orthogonality sa vector algebra ay ang perpendicularity ng dalawang vectors.
2. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degrees, o, na pareho - mas mababa π dot product ay positibo .
3. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo mahinang anggulo (mula 90 hanggang 180 degrees, o, ano ang pareho - higit pa π /2) kung at kung sila lamang dot product ay negatibo .
Halimbawa 3. Ang mga coordinate ay ibinibigay ng mga vectors:
.
Kalkulahin ang mga scalar na produkto ng lahat ng mga pares ng ibinigay na mga vector. Anong anggulo (acute, right, obtuse) ang nabubuo ng mga pares ng vectors na ito?
Solusyon. Kakalkulahin namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.
Nakakuha kami ng isang negatibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang mahinang anggulo.
Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.
Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang anggulo.
Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.
.
Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.
Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .
Halimbawa 4. Dahil sa haba ng dalawang vectors at ang anggulo sa pagitan nila:
.
Tukuyin kung anong halaga ng numero ang mga vector at orthogonal (perpendicular).
Solusyon. I-multiply natin ang mga vector gamit ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga polynomial:
Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:
.
Gumawa tayo ng isang equation (ang produkto ay katumbas ng zero), magdagdag ng mga katulad na termino at lutasin ang equation:
Sagot: nakuha namin ang halaga λ = 1.8, kung saan ang mga vector ay orthogonal.
Halimbawa 5. Patunayan na ang vector 
orthogonal (patayo) sa vector
Solusyon. Upang suriin ang orthogonality, pinaparami namin ang mga vector at bilang mga polynomial, na pinapalitan sa halip ang expression na ibinigay sa pahayag ng problema:
.
Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang bawat termino (term) ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawa at idagdag ang mga resultang produkto:
.
Sa resultang resulta, ang fraction ay nababawasan ng. Ang sumusunod na resulta ay nakuha:
Konklusyon: bilang isang resulta ng multiplikasyon nakakuha kami ng zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.
Lutasin ang problema sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon
Halimbawa 6. Ang mga haba ng mga vector at ay ibinibigay, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay π /4 . Tukuyin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.
Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .
Ang representasyon ng matrix ng tuldok na produkto ng mga vector at ang produkto ng mga n-dimensional na vector
Minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa kalinawan upang kumatawan sa dalawang pinarami na mga vector sa anyo ng mga matrice. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang row matrix, at ang pangalawa - bilang isang column matrix:
Pagkatapos ang scalar product ng mga vectors ay magiging ang produkto ng mga matrice na ito :
Ang resulta ay kapareho ng nakuha sa pamamaraang napag-isipan na natin. Nakakuha kami ng isang solong numero, at ang produkto ng isang row matrix sa pamamagitan ng isang column matrix ay isang solong numero din.
Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors sa matrix form. Kaya, ang produkto ng dalawang four-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may apat na elemento sa pamamagitan ng isang column matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang five-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may limang elemento ng isang column matrix din na may limang elemento, at iba pa.
Halimbawa 7. Maghanap ng mga scalar na produkto ng mga pares ng mga vector
,
gamit ang representasyon ng matrix.
Solusyon. Ang unang pares ng mga vector. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang row matrix, at ang pangalawa bilang isang column matrix. Nakikita namin ang scalar product ng mga vector na ito bilang produkto ng isang row matrix at isang column matrix:
Pareho naming kinakatawan ang pangalawang pares at nahanap namin:
Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay kapareho ng para sa parehong mga pares mula sa halimbawa 2.
Anggulo sa pagitan ng dalawang vector
Ang derivation ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maigsi.
Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vector
(1)
V coordinate form, hanapin muna natin ang scalar product ng orts. Ang scalar product ng isang vector na may sarili nitong kahulugan:
Ang ibig sabihin ng nakasulat sa formula sa itaas ay: ang scalar product ng isang vector na may sarili nito ay katumbas ng parisukat ng haba nito. Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat yunit ay magiging katumbas ng isa:
Dahil sa mga vectors
ay pairwise perpendicular, kung gayon ang mga pairwise na produkto ng mga unit vector ay magiging zero:
Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga vector polynomial:
Pinapalitan namin ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga vector ng yunit sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay:
Nakukuha namin ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:
Halimbawa 8. Tatlong puntos ang ibinigay A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).
Hanapin ang anggulo.
Solusyon. Paghahanap ng mga coordinate ng mga vectors:
,
.
Gamit ang formula ng anggulo ng cosine nakukuha natin:
Kaya naman, .
Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .
Halimbawa 9. Dalawang vector ang ibinigay
Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, tuldok na produkto at anggulo sa pagitan nila.
2. Pagkakaiba
