Produkto ng tuldok ng mga vector. Ang mga talaan ay may label na "produkto ng tuldok ng mga vector" Mga elemento ng analitikong geometry sa kalawakan

24. Pasimplehin natin ang pagpapaandar na ito. Sa pamamagitan ng teorya ni Vieta, nakita namin ang mga ugat ng square trinomial x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , x 2 \u003d 3 ), pinalawak namin ang denominator ng maliit na bahagi sa mga linear factor (x-3) (x + 2) at kanselahin ang maliit na bahagi ng (x-3)... Hanapin ang antiderivative H (x) ang nagresultang pagpapaandar 1 / (x + 2).

25. Kaya't 126 na manlalaro ang maglalaro 63 mga laro, kung saan 63 mga kalahok ay kwalipikado bilang nagwagi sa ikalawang pag-ikot. Sa kabuuan, 63 + 1 \u003d 64 na kalahok ang lalaban sa ikalawang pag-ikot. Maglalaro sila 32 mga laro, kaya't 32 pang mga nagwagi na maglalaro 16 mga laro. 16 na mananalo ang maglalaro 8 games, 8 mananalo ang maglalaro 4 mga laro. Maglalaro ang apat na nanalo 2 mga laro, at sa wakas, ang dalawang nanalo ay kailangang maglaro huling laro... Nagbibilang kami ng mga tugma: 63+32+16+8+4+2+1=126.

Nais mo ba ng mas mahusay na mga kasanayan sa computer?

Pinapayagan ka ng serbisyo sa pag-publish ng Sl slideshoware na i-convert ang mga pagtatanghal ng Power Point, mga dokumento ng teksto, mga PDF file (50 MB) sa format na flash. Sa mga gawaing pang-edukasyon, maaaring magamit ang serbisyong ito kapwa para sa paglikha ng isang portfolio ng mga mag-aaral at guro, at para sa karaniwang pagpapakita ng mga presentasyon, disenyo ng gawaing proyekto.

Basahin ang mga bagong artikulo

Kung ikaw ay isang guro, siyempre nagtaka ka: anong mga aklat ang kailangan mong basahin upang ang trabaho ay magdala ng kasiyahan at kasiyahan? Walang duda na ngayon maaari kang makahanap ng maraming impormasyon sa isyung ito sa Internet. Ngunit ang gayong pagkakaiba-iba ay napakahirap maintindihan. At ang pag-alam kung aling mga libro ang talagang magiging iyong mga katulong ay kukuha ng maraming oras. Sa artikulong ito, malalaman mo ang tungkol sa aling mga aklat na dapat basahin ng bawat guro.

Ang kalinawan ng materyal ay nag-uudyok sa mga bata sa elementarya na lutasin ang problemang pang-edukasyon at mapanatili ang interes sa paksa. Samakatuwid, ang isa sa pinakamabisang pamamaraan ng pagtuturo ay ang paggamit ng mga flashcards. Maaaring magamit ang mga kard kapag nagtuturo ng anumang paksa, kabilang ang mga aktibidad sa libangan at sa mga ekstrakurikular na aktibidad. Halimbawa, ang parehong mga kard na may gulay at prutas ay angkop para sa pagtuturo ng pagbibilang sa mga aralin sa matematika, at para sa pag-aaral ng paksa ng mga ligaw at hardin na halaman sa mga aralin ng buong mundo.

Produkto ng tuldok a  b dalawang mga nonzero vector a at b ay isang bilang na katumbas ng produkto ng haba ng mga vector na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila. Kung hindi bababa sa isa sa mga vector na ito ay katumbas ng zero, ang scalar na produkto ay katumbas ng zero. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, mayroon tayo

kung saan ang  ay ang anggulo sa pagitan ng mga vector a at b .

Produkto ng tuldok ng mga vector a , b ipinahiwatig din ng mga simbolo ab .

Ang tanda ng produkto ng tuldok ay natutukoy ng halaga value:

kung 0    tapos a  b  0,

kung    , kung gayon a  b  0.

Ang dot na produkto ay tinukoy para sa dalawang mga vector lamang.

Ang mga operasyon sa mga vector sa coordinate form

Hayaan ang coordinate system Oohibinigay na mga vector a = (x 1 ; y 1) = x 1 ako + y 1 j at b = (x 2 ; y 2) = x 2 ako + y 2 j .

1. Ang bawat coordinate ng kabuuan ng dalawa (o higit pa) na mga vector ay katumbas ng kabuuan ng mga kaukulang koordinasyon ng mga vector-buod, ibig sabihin a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Ang bawat coordinate ng pagkakaiba ng dalawang mga vector ay katumbas ng pagkakaiba ng mga kaukulang koordinasyon ng mga vector na ito, ibig sabihin a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Ang bawat coordinate ng produkto ng isang vector at isang numero  ay katumbas ng produkto ng kaukulang coordinate ng vector na ito sa pamamagitan ng , iyon ay,  at = ( x 1 ;  sa 1).

4. Ang scalar na produkto ng dalawang mga vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate ng mga vector na ito, ibig sabihin. a  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Kinahinatnan. Ang haba ng vector at = (x; y) ay katumbas ng parisukat na ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito, ibig sabihin

=
(5)

Halimbawa 4. Ibinigay na mga vector
b = 3ako – j .

Kailangan:

1. Hanapin

2. Hanapin ang produkto ng tuldok ng mga vector mula sa , d .

3. Hanapin ang haba ng vector mula sa .

Desisyon

1. Sa pamamagitan ng pag-aari 3, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector 2 at , –at , 3b , 2b : 2at = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –at = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

Sa pamamagitan ng mga pag-aari 2, 1, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector mula sa , d : mula sa = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Sa pamamagitan ng pag-aari 4 cd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Sa pamamagitan ng corollary sa pag-aari 4 | mula sa | =
=
.

Pagsubok 3 . Tukuyin ang mga coordinate ng vector at + b , kung ang at = (–3; 4), b = = (5; –2):

Pagsubok 4. Tukuyin ang mga coordinate ng vector at – b , kung ang at = (2; –1), b = = (3; –4):

Pagsubok 5 . Maghanap ng mga coordinate ng vector 3 at , kung ang at = (2; –1):

Pagsubok 6 . Maghanap ng produkto ng tuldok a , b mga vector at = (1; –4), b = (–2; 3):

Pagsubok 7 . Hanapin ang haba ng isang vector at = (–12; 5):

3)
;

Mga sagot upang subukan ang mga gawain

1.3. Mga elemento ng analytical geometry sa kalawakan

Ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa kalawakan ay binubuo ng tatlong magkatapat na mga koordinasyon ng palakol, na tumatawid sa parehong punto (pinagmulan 0) at pagkakaroon ng isang direksyon, pati na rin ang isang yunit ng sukat sa bawat axis (Larawan 17).

Larawan 17

Posisyon ng point M sa eroplano ay natatanging natukoy ng tatlong mga numero - ang mga coordinate nito M(x t ; sa t ; z t), saan x t - abscissa, sa t - italaga, z t - applicate.

Ang bawat isa sa kanila ay nagbibigay ng isang distansya mula sa isang punto M sa isa sa mga coordinate na eroplano na may isang pag-sign na isinasaalang-alang sa aling bahagi ng eroplano na ito ang punto ay matatagpuan: kung ito ay kinuha sa direksyon ng positibo o negatibong direksyon ng pangatlong axis.

Tatlong mga eroplano ng coordinate na hinati ang puwang sa 8 bahagi (octants).

Distansya sa pagitan ng dalawang puntos A(x AT ; sa AT ; z AT) at B(x SA ; sa SA ; z SA) ay kinakalkula ng formula

Naibigay na puntos A(x 1 ; sa 1 ; z 1) at B(x 2 ; sa 2 ; z 2). Pagkatapos ang mga coordinate ng point MULA SA(x; sa; z) paghahati ng segment
na may kaugnayan sa, ay ipinahayag ng mga sumusunod na formula:

Halimbawa 1 . Maghanap ng distansya AB, kung ang AT(3; 2; –10) at SA(–1; 4; –5).

Desisyon

Distansya AB kinakalkula ng formula

Ang hanay ng lahat ng mga puntos na ang mga coordinate ay nasiyahan ang equation na may tatlong mga variable na bumubuo sa isang tiyak na ibabaw.

Ang hanay ng mga puntos, ang mga koordinasyon kung saan nasiyahan ang dalawang mga equation, ay bumubuo ng isang tiyak na linya - ang linya ng intersection ng kaukulang dalawang ibabaw.

Ang anumang equation ng unang degree ay kumakatawan sa isang eroplano, at, sa kabaligtaran, ang anumang eroplano ay maaaring kinatawan ng mga equation ng unang degree.

Mga pagpipilian A, B, Ang C ay ang mga coordinate ng normal na vector patayo sa eroplano, ibig sabihin n = (A; B; C).

Ang equation ng eroplano sa mga segment na pinutol sa mga palakol: a - kasama ang axis ОX, b - kasama ang axis OY, mula sa - kasama ang axis ОZ:

Hayaan ang dalawang eroplano na ibigay A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Kalagayan ng parallelism ng mga eroplano:
.

Kalagayan ng perpendicularity ng mga eroplano:

Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay natutukoy ng sumusunod na pormula:

.

Hayaan ang eroplano na dumaan sa mga puntos M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Pagkatapos ang equation nito ay may form:

Distansya mula sa punto M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) sa eroplano Palakol + Ni + Cz + D \u003d 0 ay natagpuan sa pamamagitan ng formula

.

Pagsubok 1. Plane
napupunta sa punto:

1) A(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Pagsubok 2 . Equation ng eroplano ОXY sumusunod:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Halimbawa 2 . Isulat ang equation ng eroplano na parallel sa eroplano ОXY at pagdaan sa punto (2; –5; 3).

Desisyon

Dahil ang eroplano ay parallel sa eroplano ОXY, ang equation nito ay mayroong form Cz + D \u003d 0 (vector  = (0; 0; MULA SA)  OHY).

Dahil ang eroplano ay dumaan sa punto (2; –5; 3), pagkatapos C  3 + D \u003d 0 o bilang D = –3C.

Kaya, CZ – 3C \u003d 0. Dahil MULA SA ≠ 0, kung gayon z – 3 = 0.

Sagot: z – 3 = 0.

Pagsubok 3 . Ang equation ng eroplano na dumadaan sa pinagmulan at patayo sa vector (3; –1; –4) ay may form:

1)

2)

3)

4)

Pagsubok 4 . Ang halaga ng linya ay pinutol kasama ang axis OY eroplano
ay katumbas ng:

Halimbawa 3 . Isulat ang equation ng eroplano:

1. Parehong eroplano
at pagdaan sa punto A(2; 0; –1).

2. Perendendong eroplano
at pagdaan sa punto B(0; 2; 0).

Desisyon

Hahanapin ang mga equation equation sa form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Dahil ang mga eroplano ay parallel, kung gayon
Mula rito A= 3t,B= –t,C= 2tkung saan tR... Hayaan t\u003d 1. Kung ganon A = 3, B = –1, C \u003d 2. Samakatuwid, ang equation ay kumukuha ng form
Mga coordinate ng point ATkabilang sa eroplano gawing totoong pagkakapantay-pantay ang equation. Samakatuwid, 32 - 10 + 2 (–1) + D\u003d 0. Saan nagmula D= 4.

Sagot:

2. Dahil ang mga eroplano ay patayo, pagkatapos ang 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Dahil mayroong tatlong mga variable, at ang equation ay iisa, ang dalawang variable ay kumukuha ng di-makatwirang mga halaga nang sabay-sabay na hindi katumbas ng zero. Hayaan A = 1, B \u003d 3. Kung ganon C\u003d 0. Kinukuha ng equation ang form
D= –6.

Sagot:

Pagsubok 5 . Pumili ng eroplano kahilera sa eroplano x – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Pagsubok 6 . Pumili ng eroplano patayo sa eroplano x– 2y+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Pagsubok 7 . Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano 3 x + y – z - 1 \u003d 0 at x – 4y – – 5z Ang + 3 \u003d 0 ay natutukoy ng pormula:

1)

2)

3)

Pagsubok 8 . Distansya mula sa point (3; 1; –1) hanggang sa eroplano 3 x – y + 5z Ang + 1 \u003d 0 ay natutukoy ng pormula:

1)

2)

Ang pagsubok na ito ay maaaring magamit sa silid-aralan ng intermediate, pangkalahatan o pangwakas na kontrol ng kaalaman ng mga mag-aaral. Upang gumana nang tama ang pagsubok, dapat kang magtakda ng isang mababang antas ng seguridad (service-macro-security)

I-download:

Pag-preview:

Upang magamit ang preview ng mga pagtatanghal, lumikha ng iyong sarili ng isang Google account (account) at mag-log in dito: https://accounts.google.com

Mga slide na kapsyon:

Pagpipilian 1 Opsyon 2 Gumamit kami ng isang template para sa paglikha ng mga pagsubok sa PowerPoint MCOU "Pogorel sekundaryong paaralan" MM Koscheev

Resulta ng pagsubok Tamang: 14 Mga Mali: 0 Marcos: 5 Oras: 3 min. 29 sec ayusin mo pa rin

Pagpipilian 1 b) 360 ° a) 180 ° c) 246 ° d) 274 ° e) 454 °

Pagpipilian 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 e) 1

Pagpipilian 1 e) 5 d) 0 a) 7

Ang pagpipiliang 1 b) mapurol e) ay hindi umiiral, dahil ang kanilang mga pinagmulan ay hindi kasabay c) 0 ° d) talamak a) tuwid

Pagpipilian 1 b) 10.5 e) para sa hindi a) -10.5

Pagpipilian 1 a) -10.5 b) 10.5 e) sa anumang pagkakataon

Pagpipilian 1 e) 0 b) imposibleng matukoy ang a) -6 d) 4 c) 6

Pagpipilian 1 b) 28 e) imposibleng matukoy a) 70 d) -45.5 c) 91

Opsyon 1 9. Ang dalawang panig ng tatsulok ay 16 at 5, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 120 °. Alin sa mga tinukoy na agwat ay kabilang sa haba ng ikatlong bahagi? d) e) (19; 31] a) (0; 7] b) (7; 11] c) a) (0; 7] b) (7; 11] d)

Pagpipilian 1 13. Ang radius ng bilog na umikot tungkol sa tatsulok na ABC ay 0.5. Hanapin ang ratio ng sine ng anggulo B sa haba ng AC side. e) 1 c) 1, 3 a) 0.5 d) 2

Pagpipilian 1 14. Sa isang tatsulok na ABC, ang haba ng mga panig ng BC at AB ay 5 at 7, ayon sa pagkakabanggit, at

Pagpipilian 2 c) 360 ° a) 180 ° b) 246 ° d) 274 ° e) 454 °

Pagpipilian 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

Pagpipilian 2 a) 10 d) 17 e) 15

Ang Opsyon 2 c) ay katumbas ng 0 ° e) wala, dahil ang kanilang mga pinagmulan ay hindi magkasabay c) mapurol d) talamak a) tuwid

Pagpipilian 2 b) 10.5 e) para sa hindi a) -10.5

Pagpipilian 2 a) - 10.5 e) para sa hindi c) 10.5

Pagpipilian 2 d) 0 b) imposibleng matukoy ang a) -6 e) 4 c) 6

Opsyon 2 a) 70 e) imposibleng matukoy b) 28 d) -45.5 c) 91

Pagpipilian 2 9. Ang dalawang panig ng tatsulok ay 12 at 7, at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 °. Alin sa mga tinukoy na agwat ay kabilang sa haba ng ikatlong bahagi? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7] b) c) e) (19; 31] c)

Pagpipilian 2 13. Ang radius ng bilog na umikot tungkol sa tatsulok na ABC ay katumbas ng 2. Hanapin ang ratio ng sine ng anggulo B sa haba ng AC side. a) 0.25 c) 1, 3 e) 1 d) 2

Opsyon 2 14. Sa isang tatsulok na ABC, ang haba ng mga gilid ng AC at AB ay 9 at 7, ayon sa pagkakabanggit, at

Mga susi sa pagsubok: "Produkto ng tuldok ng mga vector. Mga teorama ng tatsulok ”. Pagpipilian 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. b c e b c a e b d a c c e d 2 pagpipilian 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a a d Panitikan L.I. Zvavich, E, V. Sinusuri ng Potoskuev Geometry ang Baitang 9 sa aklat na L.S. Atanasyan et al. M .: "Exam" publishing house 2013 - 128 p.