Kapag mayroon ang quadratic equation. Square root: mga formula ng pagkalkula. Ang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation. Mga quadratic equation. Diskriminasyon Solusyon, mga halimbawa

Basta. Sa pamamagitan ng mga formula at malinaw, simpleng panuntunan. Sa unang yugto

kinakailangan upang dalhin ang ibinigay na equation sa isang karaniwang form, ibig sabihin tumingin:

Kung ang equation ay naibigay sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang hakbang. Ang pinakamahalagang bagay ay tama

matukoy ang lahat ng mga coefficients, at, b at c.

Formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Ang isang expression sa ilalim ng root sign ay tinawag nagtatangi ... Tulad ng nakikita mo, upang makahanap ng x, kami

gamitin a, b at c lamang. Yung. mga coefficients mula sa quadratic equation... Maingat na palitan lamang

ibig sabihin a, b at c sa pormulang ito at bilangin. Kapalit ng sa pamamagitan ng kanilang palatandaan!

Halimbawa, sa equation:

at =1; b = 3; c = -4.

Kahalili ang mga halaga at isulat:

Halos malulutas ang halimbawa:

Ito ang sagot

Ang pinakakaraniwang mga pagkakamali ay ang pagkalito na may kahulugan na mga palatandaan. a, bat mula sa... Sa halip, na may kapalit

negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito nakakatipid ang isang detalyadong notasyon ng formula

may tiyak na mga numero. Kung mayroon kang mga problema sa computational, gawin ito!

Ipagpalagay na kailangan mong malutas ang halimbawang ito:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Maipinta namin nang detalyado ang lahat, maingat, nang walang nawawala sa anumang mga palatandaan at braket:

Ang mga quadratic equation ay madalas na mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ngayon, pansinin ang mga pinakamahusay na kasanayan na dramatikong makakabawas ng mga pagkakamali.

Unang pagtanggap... Huwag maging tamad dati solusyon ng quadratic equation dalhin ito sa karaniwang form.

Anong ibig sabihin nito?

Sabihin nating, pagkatapos ng anumang mga pagbabago, nakuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na ihahalo mo ang mga posibilidad. a, b at c.

Buuin nang tama ang halimbawa. Una, ang X ay parisukat, pagkatapos ay walang parisukat, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:

Tanggalin ang minus. Paano? Kailangan mong i-multiply ang buong equation ng -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang diskriminante at kumpletuhin ang halimbawa.

Gawin mo mag-isa. Dapat kang magkaroon ng mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ng pagtanggap. Suriin ang mga ugat! Ni teorya ni Vieta.

Upang malutas ang ibinigay na mga quadratic equation, ibig sabihin kung ang koepisyent

x 2 + bx + c \u003d 0,

tapos x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Para sa isang kumpletong quadratic equation kung saan isang ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

hatiin ang buong equation ng at:

→ →

kung saan x 1 at x 2 - ang mga ugat ng equation.

Pangatlo ang pagtanggap... Kung ang iyong equation ay naglalaman ng mga fragment coefficients, tanggalin ang mga praksyon! Paramihan

karaniwang equation ng denominator.

Paglabas Praktikal na payo:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang form, itayo ito tama.

2. Kung mayroong isang negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, tinatanggal namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng kabuuan

mga equation ni -1.

3. Kung ang mga coefficients ay praksyonal, tinatanggal namin ang mga praksyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation ng kaukulang

kadahilanan

4. Kung ang x na parisukat ay dalisay, ang koepisyent ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng

Inaasahan kong, pagkatapos ng pag-aaral ng artikulong ito, malalaman mo kung paano makahanap ng mga ugat ng isang kumpletong quadratic equation.

Sa tulong ng diskriminante, ang kumpletong mga quadratic equation lamang ang nalulutas, ang iba pang mga pamamaraan ay ginagamit upang malutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation, na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation".

Anong mga quadratic equation ang tinawag na kumpleto? ito mga equation ng form ax 2 + b x + c \u003d 0kung saan ang mga coefficients a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang buong quadratic equation, kailangan mong kalkulahin ang diskriminanteng D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Depende sa kung anong halaga ang mayroon ang diskriminante, isusulat namin ang sagot.

Kung ang diskriminante ay negatibo (D< 0),то корней нет.

Kung ang diskriminante ay zero, pagkatapos x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang diskriminante ay isang positibong numero (D\u003e 0),

pagkatapos x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, at x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Halimbawa. Malutas ang equation x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Sagot: 2.

Malutas ang Equation 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Sagot: walang ugat.

Malutas ang Equation 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; 1.

Kaya, ipapakita namin ang solusyon ng kumpletong mga quadratic equation ng circuit sa Larawan 1.

Ang anumang kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang mga formula na ito. Kailangan mo lamang maging maingat upang matiyak na ang equation ay isinulat bilang isang karaniwang polynomial

at x 2 + bx + c, kung hindi man, maaari kang magkamali. Halimbawa, sa pagsulat ng equation x + 3 + 2x 2 \u003d 0, maaari mong maling mapagpasya iyon

a \u003d 1, b \u003d 3 at c \u003d 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 at pagkatapos ang equation ay may dalawang mga ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon sa Halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi nakasulat bilang isang polynomial ng karaniwang form, una ang kumpletong quadratic equation ay dapat na nakasulat bilang isang polynomial ng karaniwang form (sa unang lugar ay dapat na ang monomial na may pinakamalaking exponent, iyon ay at x 2 , pagkatapos ay may mas kaunti – bxat pagkatapos ay isang libreng kasapi mula sa

Kapag nalulutas ang isang nabawasan na quadratic equation at isang quadratic equation na may pantay na coefficient sa pangalawang term, maaari ding magamit ang iba pang mga formula. Alamin din natin ang mga formula na ito. Kung sa buong quadratic equation na may pangalawang term na ang koepisyent ay pantay (b \u003d 2k), maaaring malutas ang equation gamit ang mga pormula na ipinakita sa diagram sa Larawan 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na nabawasan kung ang koepisyent sa x 2 ay katumbas ng isa at ang equation ay kumukuha ng form x 2 + px + q \u003d 0... Ang nasabing isang equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng lahat ng mga coefficients ng equation ng koepisyent atnakatayo sa x 2 .

Ipinapakita ng Larawan 3 ang isang pamamaraan para sa paglutas ng nabawasan na parisukat
mga equation Tingnan natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng mga pormula na tinalakay sa artikulong ito.

Halimbawa. Malutas ang equation

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Solusyunan natin ang equation na ito gamit ang mga pormula na ipinakita sa diagram sa Larawan 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3

Mapapansin na ang coefficient sa x sa equation na ito ay isang pantay na numero, iyon ay, b \u003d 6 o b \u003d 2k, kung saan k \u003d 3. Pagkatapos ay susubukan naming malutas ang equation ayon sa mga pormula na ipinakita sa diagram ng figure D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3... Napansin na ang lahat ng mga coefficients sa quadratic equation na ito ay nahahati sa 3 at ginagawa ang dibisyon, nakukuha namin ang pinababang quadratic equation x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Malutas ang equation na ito gamit ang mga formula para sa nabawasan na quadratic
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Sagot: -1 - √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nalulutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakatanggap kami ng parehong sagot. Samakatuwid, na mahusay na pinagkadalubhasaan ang mga pormula na ipinakita sa diagram sa Larawan 1, palagi mong malulutas ang anumang kumpletong quadratic equation.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.

Ang pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng Mga Equation", ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.

Isaalang-alang natin nang detalyado ang lahat: ang kakanyahan at pagsulat ng quadratic equation, magtatakda kami ng mga nauugnay na term, susuriin namin ang pamamaraan para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong mga equation, makikilala natin ang pormula ng mga ugat at ang diskriminante, magtataguyod kami ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficients, at syempre magbibigay kami ng isang visual na solusyon ng mga praktikal na halimbawa.

Quadratic equation, mga uri nito

Kahulugan 1

Quadratic equation Ay isang equation na nakasulat bilang isang x 2 + b x + c \u003d 0kung saan x - variable, a, b at c - ilang mga numero, habang aay hindi zero.

Kadalasan, ang mga quadratic equation ay tinatawag ding mga equation na pangalawang degree, dahil sa kakanyahan ang isang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.

Narito ang isang halimbawa upang ilarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, atbp. Ay mga quadratic equation.

Kahulugan 2

Ang mga bilang a, b at c Ang mga coefficients ba ng quadratic equation isang x 2 + b x + c \u003d 0, habang ang coefficient a ay tinawag na una, o nakatatanda, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o ang coefficient sa x, at c tinawag na isang libreng kasapi.

Halimbawa, sa isang quadratic equation 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 ang pinakamataas na coefficient ay 6, ang pangalawang coefficient ay − 2 at ang libreng term ay − 11 ... Bigyang pansin natin ang katunayan na kapag ang mga coefficients bat / o c ay negatibo, pagkatapos ay isang maikling notasyon ng form ang ginamit 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, ngunit hindi 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Lilinawin din natin ang aspektong ito: kung ang mga coefficients a at / o b ay pantay 1 o − 1 , kung gayon hindi sila maaaring tumagal ng tahasang pakikilahok sa pag-record ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagtatala ng ipinahiwatig na mga coefficients ng bilang. Halimbawa, sa isang quadratic equation y 2 - y + 7 \u003d 0 ang pinakamataas na coefficient ay 1, at ang pangalawang coefficient ay − 1 .

Nabawasan at hindi pinababang mga quadratic equation

Ayon sa halaga ng unang coefficient, ang mga quadratic equation ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawasan.

Kahulugan 3

Nabawasan ang quadratic equation Ay isang quadratic equation, kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1. Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Narito ang mga halimbawa: quadratic equation x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 ay nabawasan, sa bawat isa sa mga nangungunang koepisyent ay 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - hindi pinababang quadratic equation, kung saan ang unang koepisyent ay naiiba mula sa 1 .

Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring mabago sa isang nabawasan na equation sa pamamagitan ng paghati sa parehong bahagi ng unang koepisyent (katumbas na pagbabago). Ang transformed equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat tulad ng ibinigay na unreduced equation, o wala rin itong ugat.

Ang pagsasaalang-alang sa isang tukoy na halimbawa ay magpapahintulot sa amin na malinaw na maipakita ang pagpapatupad ng paglipat mula sa isang hindi pinababang quadratic equation sa isang nabawasan.

Halimbawa 1

Ang equation ay 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Kinakailangan na i-convert ang orihinal na equation sa nabawasan na form.

Desisyon

Ayon sa scheme sa itaas, hinahati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng nangungunang coefficient 6. Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 at karagdagang: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Samakatuwid: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Sa gayon, nakuha ang isang equation na katumbas ng ibinigay.

Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Kumpleto at hindi kumpleto ang mga quadratic equation

Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito, tinukoy namin iyon isang ≠ 0... Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation isang x 2 + b x + c \u003d 0 ay tiyak na parisukat, dahil para sa a \u003d 0 ito ay mahalagang nai-convert sa linear equation b x + c \u003d 0.

Sa kaso kapag ang mga coefficients b at ckatumbas ng zero (kung saan posible, kapwa magkahiwalay at magkakasama), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpleto ang quadratic equation Ay tulad ng isang quadratic equation isang x 2 + b x + c \u003d 0,kung saan hindi bababa sa isa sa mga coefficients bat c(o pareho) ay zero.

Buong quadratic equation - isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga coefficients ng bilang ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng mga quadratic equation ay binibigyan nang eksakto tulad ng mga pangalan.

Para sa b \u003d 0, kumukuha ng form ang quadratic equation isang x 2 + 0 x + c \u003d 0na kapareho ng isang x 2 + c \u003d 0... Kailan c \u003d 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang isang x 2 + b x + 0 \u003d 0na katumbas ng isang x 2 + b x \u003d 0... Kailan b \u003d 0 at c \u003d 0 ang equation ay nagiging isang x 2 \u003d 0... Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba mula sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang panig ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable x, o isang libreng term, o pareho. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ang nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 at - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 ay mga buong quadratic equation; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - hindi kumpleto ang mga quadratic equation.

Paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation

Ginagawa ng kahulugan sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong mga quadratic equation:

• isang x 2 \u003d 0, ang nasabing isang equation ay tumutugma sa mga coefficients b \u003d 0 at c \u003d 0;
• isang x 2 + c \u003d 0 sa b \u003d 0;
• isang x 2 + b x \u003d 0 sa c \u003d 0.

Isaalang-alang nang sunud-sunod ang solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng equation a x 2 \u003d 0

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang equation na ito ay tumutugma sa mga coefficients b at ckatumbas ng zero. Ang equation isang x 2 \u003d 0 posible na ibahin ang anyo sa isang katumbas na equation x 2 \u003d 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation ng numero ahindi katumbas ng zero. Ito ay isang malinaw na katotohanan na ang ugat ng equation x 2 \u003d 0 zero ito dahil 0 2 = 0 ... Ang equation na ito ay walang ibang mga ugat, na maaaring ipaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p,hindi katumbas ng zero, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo p 2\u003e 0, kung saan sinusunod ito para sa p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p 2 \u003d 0ay hindi makakamit.

Kahulugan 5

Kaya, para sa isang hindi kumpletong quadratic equation na isang x 2 \u003d 0, mayroong isang natatanging ugat x \u003d 0.

Halimbawa 2

Halimbawa, malutas natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation - 3 x 2 \u003d 0... Ito ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0, ang ugat lamang nito ay x \u003d 0, pagkatapos ang orihinal na equation ay mayroon ding isang solong ugat - zero.

Sa madaling sabi, gawing pormal ang solusyon tulad ng sumusunod:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusyon sa equation a x 2 + c \u003d 0

Ang susunod na hakbang ay ang solusyon ng hindi kumpletong mga quadratic equation, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form isang x 2 + c \u003d 0... Binabago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng term mula sa isang gilid ng equation sa isa pa, binabago ang sign sa kabaligtaran at pinaghahati ang magkabilang panig ng equation ng isang numero na hindi katumbas ng zero:

• dalhin c sa kanan, na nagbibigay ng equation isang x 2 \u003d - c;
• hinati natin ang magkabilang panig ng equation ng a, nakukuha natin bilang isang resulta x \u003d - c a.

Ang aming mga pagbabago ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang nagresultang equation ay katumbas din sa orihinal na isa, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a at cang halaga ng ekspresyon - c a nakasalalay: maaari itong magkaroon ng isang minus sign (halimbawa, kung a \u003d 1 at c \u003d 2, pagkatapos - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a \u003d - 2 at c \u003d 6, pagkatapos - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); hindi ito katumbas ng zero sapagkat c ≠ 0... Tukuyin natin nang mas detalyado sa mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kung kailan - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p ang pagkakapantay-pantay p 2 \u003d - c a ay hindi maaaring maging totoo.

Ang lahat ay magkakaiba kung Madaling maunawaan na ang bilang - - c a ay ang ugat din ng equation x 2 \u003d - c a: sa katunayan, - - c a 2 \u003d - c a.

Ang equation ay walang ibang mga ugat. Maaari nating maipakita ito gamit ang magkasalungat na pamamaraan. Upang magsimula sa, tinukoy namin ang notasyon para sa mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 at - x 1... Gawin nating palagay na ang equation x 2 \u003d - c a ay mayroon ding ugat x 2na naiiba sa mga ugat x 1 at - x 1... Alam namin na sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation sa halip na x ang mga ugat nito, binago ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa bilang.

Para kay x 1 at - x 1 nagsusulat kami: x 1 2 \u003d - c a, at para sa x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Batay sa mga pag-aari ng mga pagkakapantay-pantay sa bilang, binabawas namin ang isang totoong pagkakapantay-pantay mula sa iba pang term sa pamamagitan ng term, na magbibigay sa amin: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Ginagamit namin ang mga katangian ng mga pagkilos sa mga numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Alam na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa sinabi ay sumusunod ito x 1 - x 2 \u003d 0 at / o x 1 + x 2 \u003d 0alin ang pareho x 2 \u003d x 1 at / o x 2 \u003d - x 1... Isang malinaw na kontradiksyon ang lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x 2 naiiba mula sa x 1 at - x 1... Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang ibang mga ugat, maliban sa x \u003d - c a at x \u003d - - c a.

Buod namin ang lahat ng pangangatuwiran sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpleto ang quadratic equation isang x 2 + c \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d - c a, na:

• ay walang mga ugat para sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x \u003d - c a at x \u003d - - c a para - c a\u003e 0.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation isang x 2 + c \u003d 0.

Halimbawa 3

Ibinibigay ang parisukat na equation 9 x 2 + 7 \u003d 0.Kinakailangan upang mahanap ang solusyon nito.

Desisyon

Inililipat namin ang libreng term sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ang equation ay kumukuha ng form 9 x 2 \u003d - 7.
Hinahati namin ang magkabilang panig ng nagresultang equation ng 9 , nakarating kami sa x 2 \u003d - 7 9. Sa kanang bahagi, nakikita namin ang isang numero na may isang minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 \u003d 0 ay walang mga ugat.

Sagot: ang equation 9 x 2 + 7 \u003d 0walang ugat.

Halimbawa 4

Kinakailangan upang malutas ang equation - x 2 + 36 \u003d 0.

Desisyon

Ilipat ang 36 sa kanang bahagi: - x 2 \u003d - 36.
Hatiin natin ang parehong bahagi sa − 1 , nakukuha natin x 2 \u003d 36... Sa kanang bahagi ay isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon x \u003d 36 o x \u003d - 36.
I-extract ang ugat at isulat ang pangwakas na resulta: hindi kumpleto ang quadratic equation - x 2 + 36 \u003d 0 may dalawang ugat x \u003d 6 o x \u003d - 6.

Sagot: x \u003d 6 o x \u003d - 6.

Solusyon ng equation a x 2 + b x \u003d 0

Pag-aralan natin ang pangatlong uri ng hindi kumpletong mga quadratic equation, kailan c \u003d 0... Upang makahanap ng isang solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation isang x 2 + b x \u003d 0, ginagamit namin ang pamamaraang pang-factor. Isinasaalang-alang namin ang polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, inilalabas ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket x... Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) \u003d 0... At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng isang hanay ng mga equation x \u003d 0 at isang x + b \u003d 0... Ang equation isang x + b \u003d 0 guhit, at ang ugat nito ay: x \u003d - b a.

Kahulugan 7

Kaya ang hindi kumpletong quadratic equation isang x 2 + b x \u003d 0 magkakaroon ng dalawang ugat x \u003d 0 at x \u003d - b a.

Ayusin natin ang materyal sa isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangan upang makahanap ng isang solusyon sa equation 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Desisyon

Ilabas mo x braket at kunin ang equation x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x \u003d 0 at 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Ngayon ay dapat mong malutas ang nagresultang linear equation: 2 3 x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Maikli naming isinulat ang solusyon sa equation tulad ng sumusunod:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o x \u003d 3 3 7

Sagot: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Discriminant, ang pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Upang makahanap ng isang solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x \u003d - b ± D 2 a, kung saan D \u003d b 2 - 4 a c - ang tinatawag na discriminant ng quadratic equation.

Ang notasyon x \u003d - b ± D 2 · a mahalagang kahulugan na x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Hindi ito magiging labis upang maunawaan kung paano nagmula ang ipinahiwatig na pormula at kung paano ito mailalapat.

Paggaling ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Harapin natin ang gawain ng paglutas ng isang quadratic equation isang x 2 + b x + c \u003d 0... Isagawa natin ang isang bilang ng mga katumbas na pagbabago:

• hatiin ang magkabilang panig ng equation ng bilang a, maliban sa zero, nakukuha namin ang nabawasan na quadratic equation: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng nagresultang equation:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng form: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• ngayon posible na ilipat ang huling dalawang mga termino sa kanang bahagi sa pamamagitan ng pagbabago ng pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos na makuha namin ang: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• sa wakas, binago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Sa gayon, nakarating kami sa equation x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, na katumbas ng orihinal na equation isang x 2 + b x + c \u003d 0.

Sinuri namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (solusyon ng hindi kumpletong mga quadratic equation). Ang nakuhang karanasan ay ginagawang posible na gumuhit ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• para sa b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 ang equation ay mayroong form x + b 2 a 2 \u003d 0, pagkatapos x + b 2 a \u003d 0.

Samakatuwid, ang nag-iisang ugat x \u003d - b 2 · a ay halata;

• para sa b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 magiging totoo ito: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 o x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, na kapareho ng x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, ibig sabihin ang equation ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa pag-sign ng expression na b 2 - 4 a c 4 · Isang 2 nakasulat sa kanang bahagi. At ang pag-sign ng expression na ito ay itinakda sa pamamagitan ng pag-sign ng numerator, (denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 - 4 a c... Ang ekspresyong ito b 2 - 4 a c ang pangalan ay ibinigay - ang diskriminante ng parisukat na equation at ang titik D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng diskriminante - sa pamamagitan ng halaga at pag-sign, natapos kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng totoong mga ugat, at, kung gayon, ano ang bilang ng mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Isinulat namin ito muli gamit ang notasyon para sa diskriminante: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Bumalangkas ulit tayo sa mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa D< 0 ang equation ay walang totoong mga ugat;
• sa D \u003d 0 ang equation ay may isang solong ugat x \u003d - b 2 · a;
• sa D\u003e 0 ang equation ay may dalawang mga ugat: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Ang mga ugat na ito, batay sa mga katangian ng mga radical, ay maaaring isulat bilang: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. At kapag binuksan namin ang mga module at binabawasan ang mga praksyon sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatuwiran ay ang paghango ng formula para sa mga ugat ng quadratic equation:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, ang nagtatangi D kinakalkula ng formula D \u003d b 2 - 4 a c.

Ginagawang posible ang mga pormulang ito, kapag ang diskriminante ay mas malaki sa zero, upang matukoy ang parehong tunay na mga ugat. Kapag ang diskriminante ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kung ang diskriminante ay negatibo, sinusubukan na gamitin ang square root formula, haharapin namin ang pangangailangan na kunin ang square root ng isang negatibong numero, na magdadala sa amin lampas sa mga totoong numero. Sa isang negatibong diskriminasyon, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng totoong mga ugat, ngunit posible ang isang pares ng mga kumplikadong pinag-ugnay na ugat, na natutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation na gumagamit ng mga root formula

Posibleng malutas ang quadratic equation sa pamamagitan ng agarang paggamit ng root formula, ngunit karaniwang ginagawa ito kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, karaniwang nilalayon na maghanap hindi para sa kumplikado, ngunit para sa totoong mga ugat ng isang quadratic equation. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, tukuyin muna ang diskriminante at tiyaking hindi ito negatibo (kung hindi man, tatapusin natin na ang equation ay walang totoong mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang makalkula ang mga halaga ng mga ugat

Ang pagdadahilan sa itaas ay ginagawang posible na bumuo ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Kahulugan 10

Upang malutas ang isang quadratic equation isang x 2 + b x + c \u003d 0, Kailangan iyon:

• ayon sa pormula D \u003d b 2 - 4 a c hanapin ang halaga ng diskriminante;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D \u003d 0, hanapin ang tanging ugat ng equation ng formula x \u003d - b 2 · a;
• para sa D\u003e 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation ng formula x \u003d - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang diskriminante ay zero, maaari mong gamitin ang formula x \u003d - b ± D 2 · a, bibigyan nito ang parehong resulta bilang formula x \u003d - b 2 · a.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Magbigay tayo ng isang solusyon ng mga halimbawa para sa iba't ibang mga halaga ng diskriminante.

Halimbawa 6

Kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Desisyon

Isulat natin ang mga bilang ng mga coefficients ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at c \u003d - 6... Susunod, kumikilos kami ayon sa algorithm, ibig sabihin simulan nating kalkulahin ang diskriminante, kung saan pinapalitan natin ang mga coefficients a, b at c sa diskriminasyon na formula: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Kaya, nakuha namin ang D\u003e 0, na nangangahulugang ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, kapalit ng kaukulang mga halaga, nakuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pasimplehin natin ang nagresultang ekspresyon sa pamamagitan ng pagkuha ng salik sa labas ng root sign at pagkatapos ay bawasan ang maliit na bahagi:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 o x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 o x \u003d - 1 - 7

Sagot: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Halimbawa 7

Kinakailangan upang malutas ang quadratic equation - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Desisyon

Tukuyin natin ang diskriminante: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Sa halagang ito ng diskriminante, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng pormula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Sagot: x \u003d 3, 5.

Halimbawa 8

Kinakailangan upang malutas ang equation 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Desisyon

Ang mga numerong coefficient ng equation na ito ay: a \u003d 5, b \u003d 6 at c \u003d 2. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang makita ang diskriminante: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Ang kinakalkula na diskriminante ay negatibo, kaya't ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na mga ugat.

Sa kaso kung ang gawain ay upang ipahiwatig ang kumplikadong mga ugat, inilalapat namin ang formula para sa mga ugat, na gumaganap ng mga pagkilos na may mga kumplikadong numero:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 o x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i o x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Sagot: walang wastong mga ugat; ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Sa kurikulum ng paaralan, walang pamantayang kinakailangan upang maghanap ng mga kumplikadong pinagmulan, samakatuwid, kung sa panahon ng solusyon ang diskriminante ay tinutukoy bilang negatibo, ang sagot ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.

Root formula para sa pangalawang coefficients

Ang root formula x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) ay ginagawang posible upang makakuha ng isa pang pormula, mas siksik, na pinapayagan ang isa na makahanap ng mga solusyon ng mga quadratic equation na may pantay na coefficient sa x (o may isang coefficient ng form 2 n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 \u003d 2 7 ln 5). Ipakita natin sa kung paano nagmula ang formula na ito.

Ipagpalagay na nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang solusyon sa quadratic equation a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Kumikilos kami ayon sa algorithm: natutukoy namin ang diskriminasyon D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), at pagkatapos ay ginagamit ang root formula:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - isang ca.

Hayaan ang ekspresyong n 2 - a · c na maaaring itukoy bilang D 1 (kung minsan ito ay sinasabihan ng D "). Pagkatapos ang pormula para sa mga ugat ng isinasaalang-alang na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay kukuha ng form:

x \u003d - n ± D 1 a, kung saan ang D 1 \u003d n 2 - a · c.

Madali itong makita na D \u003d 4 · D 1, o D 1 \u003d D 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay isang-kapat ng diskriminasyon. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay pareho sa pag-sign ng D, na nangangahulugang ang pag-sign ng D 1 ay maaari ring magsilbing isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang kuwadradong equation.

Kahulugan 11

Kaya, upang makahanap ng isang solusyon sa quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n, kinakailangan:

• hanapin ang D 1 \u003d n 2 - a · c;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kapag D 1 \u003d 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation ng formula x \u003d - n a;
• para sa D 1\u003e 0 tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng pormula x \u003d - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangan upang malutas ang equation ng quadratic 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Desisyon

Ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation ay maaaring kinatawan bilang 2 · (- 3). Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, kung saan ang isang \u003d 5, n \u003d - 3 at c \u003d - 32.

Kinakalkula namin ang ika-apat na bahagi ng diskriminante: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Ang nagresultang halaga ay positibo, na nangangahulugang ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinutukoy namin ang mga ito sa pamamagitan ng kaukulang formula ng ugat:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 o x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2

Posibleng magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot: x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2.

Pinapasimple ang Mga Quadratic Equation

Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang equadradr equation na 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay ginaganap sa pamamagitan ng pagpaparami o paghati sa parehong bahagi nito ng isang tiyak na bilang. Halimbawa, sa itaas ipinakita namin ang isang pinasimple na notasyon ng equation na 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng parehong bahagi nito ng 100.

Posible ang gayong pagbabagong-anyo kapag ang mga coefficients ng quadratic equation ay hindi mga numero ng pagkopya. Pagkatapos ay karaniwang hatiin ang magkabilang panig ng equation ng pinakadakilang karaniwang tagahati ganap na halaga coefficients nito.

Bilang isang halimbawa, ginagamit namin ang kuwadradong equation 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Tukuyin ang GCD ng ganap na mga halaga ng mga coefficients nito: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Hatiin natin ang magkabilang panig ng orihinal na quadratic equation ng 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Sa pamamagitan ng pag-multiply ng magkabilang panig ng quadratic equation, karaniwang tinatanggal mo ang mga praksyonal na koepisyent. Sa kasong ito, dumami sa pinakamaliit na karaniwang maramihang mga denominator ng mga coefficients nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation na 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng LCM (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay maisusulat ito sa isang mas simpleng form x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Sa wakas, tandaan namin na halos palagi naming tinatanggal ang minus sa unang koepisyent ng quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng bawat term ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) ng parehong bahagi ng - 1. Halimbawa, mula sa equation ng quadratic - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa isang pinasimple na bersyon nito 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficients

Ang kilalang formula para sa mga ugat ng mga equation ng quadratic x \u003d - b ± D 2 · ay nagpapahiwatig ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga coefficients ng numero nito. Batay sa pormula na ito, nagagawa naming tukuyin ang iba pang mga dependencies sa pagitan ng mga ugat at coefficients.

Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga formula ng teorema ng Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.

Sa partikular, para sa naibigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang coefficient na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term. Halimbawa, sa pamamagitan ng anyo ng quadratic equation 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0, posible na agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3, at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Maaari ka ring makahanap ng isang bilang ng iba pang mga relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng kuwadradong equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang kuwadradong equation ay maaaring ipahiwatig sa mga tuntunin ng mga koepisyente:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang paksang ito ay maaaring mukhang nakakatakot sa una dahil sa maraming mahirap na mga pormula. Hindi lamang ang mga quadratic equation mismo ay may mahabang rekord, kundi pati na ang mga ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng diskriminasyon. Mayroong tatlong mga bagong formula sa kabuuan. Hindi madaling matandaan. Posible lamang ito pagkatapos ng madalas na solusyon ng mga naturang equation. Pagkatapos ang lahat ng mga pormula ay maaalala ng kanilang sarili.

Pangkalahatang pagtingin sa quadratic equation

Dito, iminungkahi ang kanilang tahasang pagrekord, kapag ang pinakamataas na degree ay naitala muna, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod. Mayroong madalas na mga sitwasyon kung wala ang pagkakasunud-sunod. Pagkatapos ito ay mas mahusay na muling isulat ang equation sa pagbawas ng pagkakasunud-sunod ng degree ng variable.

Ipakilala natin ang notasyon. Ipinapakita ang mga ito sa talahanayan sa ibaba.

Kung tatanggapin namin ang mga pagtatalaga na ito, ang lahat ng mga quadratic equation ay nabawasan sa sumusunod na tala.

Bukod dito, ang koepisyent isang ≠ 0. Hayaan ang pormula na ito ay ipinapahiwatig ng numero uno.

Kapag ibinigay ang equation, hindi malinaw kung gaano ang mga ugat na magkakaroon ng sagot. Dahil ang isa sa tatlong mga pagpipilian ay palaging posible:

• ang solusyon ay magkakaroon ng dalawang ugat;
• ang sagot ay isang numero;
• ang ekwasyon ay walang mga ugat.

At hanggang sa magawa ang desisyon sa dulo, mahirap maunawaan kung alin sa mga pagpipilian ang mahuhulog sa isang partikular na kaso.

Mga uri ng talaan ng mga quadratic equation

Ang mga gawain ay maaaring maglaman ng kanilang iba't ibang mga talaan. Hindi sila palaging magiging hitsura ng isang pangkalahatang quadratic equation. Minsan magkukulang ito ng ilang mga term. Ang nakasulat sa itaas ay isang kumpletong equation. Kung aalisin mo ang pangalawa o pangatlong termino dito, nakakakuha ka ng kakaiba. Ang mga talaang ito ay tinatawag ding mga quadratic equation, na hindi kumpleto lamang.

Bukod dito, ang mga term lamang kung saan ang mga coefficients na "b" at "c" ay maaaring mawala. Ang bilang na "a" ay hindi maaaring maging pantay sa zero sa ilalim ng anumang mga pangyayari. Dahil sa kasong ito, ang formula ay nagiging isang linear equation. Ang mga formula para sa isang hindi kumpletong anyo ng mga equation ay ang mga sumusunod:

Kaya, mayroon lamang dalawang uri, bukod sa kumpleto, mayroon ding hindi kumpletong mga quadratic equation. Hayaang ang unang pormula ay ang bilang dalawa at ang pangalawang numero ng tatlo.

Diskriminant at dependence ng bilang ng mga ugat sa halaga nito

Kailangan mong malaman ang numerong ito upang makalkula ang mga ugat ng equation. Maaari itong laging kalkulahin, anuman ang formula para sa quadratic equation. Upang makalkula ang diskriminante, kailangan mong gamitin ang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa ibaba, na magkakaroon ng bilang apat.

Matapos mapalitan ang mga halaga ng koepisyente sa formula na ito, makakakuha ka ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan. Kung ang sagot ay oo, kung gayon ang sagot sa equation ay magiging dalawang magkakaibang ugat. Kung ang numero ay negatibo, ang mga ugat ng quadratic equation ay wala. Kung ito ay katumbas ng zero, ang sagot ay magiging isa.

Paano nalulutas ang isang kumpletong quadratic equation?

Sa katunayan, nagsimula na ang pagsasaalang-alang sa isyung ito. Dahil kailangan mo munang hanapin ang diskriminante. Matapos malaman na mayroong mga ugat ng quadratic equation, at ang kanilang bilang ay kilala, kailangan mong gamitin ang mga formula para sa mga variable. Kung mayroong dalawang mga ugat, kailangan mong ilapat ang formula na ito.

Dahil naglalaman ito ng tanda na "±", magkakaroon ng dalawang halaga. Ang parisukat na expression ng ugat ay ang diskriminante. Samakatuwid, ang formula ay maaaring muling isulat sa ibang paraan.

Formula bilang limang. Ang parehong tala ay nagpapakita na kung ang diskriminasyon ay zero, kung gayon ang parehong mga ugat ay kukuha ng parehong mga halaga.

Kung ang solusyon ng mga kuwadrong equation ay hindi pa nagtrabaho, mas mahusay na isulat ang mga halaga ng lahat ng koepisyent bago ilapat ang diskriminasyon at variable na mga formula. Sa paglaon ang sandaling ito ay hindi magiging sanhi ng mga paghihirap. Ngunit sa umpisa pa lang, may pagkalito.

Paano nalulutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation?

Ang lahat ay mas simple dito. Mayroong kahit na hindi kinakailangan para sa karagdagang mga formula. At hindi mo kakailanganin ang mga naitala na para sa diskriminante at hindi alam.

Una, isaalang-alang ang hindi kumpletong equation na bilang dalawa. Sa pagkakapantay-pantay na ito, dapat na kunin ang hindi kilalang halaga sa labas ng bracket at lutasin ang linear equation, na nananatili sa mga bracket. Ang sagot ay magkakaroon ng dalawang mga ugat. Ang una ay kinakailangang katumbas ng zero, dahil mayroong isang kadahilanan na binubuo ng variable mismo. Ang pangalawa ay nakuha kapag nilulutas ang isang linear equation.

Ang hindi kumpletong equation number three ay nalulutas sa pamamagitan ng paglilipat ng numero mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan. Pagkatapos ay kailangan mong hatiin sa pamamagitan ng koepisyent na nakaharap sa hindi alam. Ang lahat ng natitira ay upang kunin ang square root at tandaan na isulat ito nang dalawang beses sa kabaligtaran na mga palatandaan.

Ang mga sumusunod ay ilang mga hakbang upang matulungan kang malaman kung paano malutas ang lahat ng mga uri ng pagkakapantay-pantay na nagiging mga quadratic equation. Tutulungan nila ang mag-aaral upang maiwasan ang mga pag-iwas sa pagkakamali. Ang mga pagkukulang na ito ay ang dahilan para sa mahinang mga marka kapag nag-aaral ng isang malawak na paksa " Mga quadratic equation (Ika-8 baitang) ". Kasunod nito, ang mga pagkilos na ito ay hindi kinakailangan na patuloy na isinasagawa. Dahil lilitaw ang isang matatag na kasanayan.

• Una, kailangan mong isulat ang equation sa karaniwang form. Iyon ay, una ang term na may pinakamataas na antas ng variable, at pagkatapos - nang walang degree at huling - isang numero lamang.

• Kung ang isang minus ay lilitaw sa harap ng koepisyent na "a", pagkatapos ay maaari itong gawing komplikado ang gawain para sa isang nagsisimula upang pag-aralan ang mga quadratic equation. Mas mabuting mawala na ito. Para sa hangaring ito, ang lahat ng pagkakapantay-pantay ay dapat na i-multiply ng "-1". Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga term ay magbabago ng kanilang pag-sign sa kabaligtaran.

• Sa parehong paraan, inirerekumenda na mapupuksa ang mga praksiyon. Paramihin lamang ang equation ng naaangkop na kadahilanan upang kanselahin ang mga denominator.

Mga halimbawa ng

Kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na quadratic equation:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Ang unang equation: x 2 - 7x \u003d 0. Ito ay hindi kumpleto, samakatuwid ito ay lutasin tulad ng inilarawan para sa numero ng dalawa.

Matapos iwanan ang mga braket, lumalabas na: x (x - 7) \u003d 0.

Kinukuha ng unang ugat ang halaga: x 1 \u003d 0. Ang pangalawa ay matatagpuan mula sa linear equation: x - 7 \u003d 0. Madaling makita ang x 2 \u003d 7.

Pangalawang equation: 5x 2 + 30 \u003d 0. Muli na hindi kumpleto. Ito lamang ang nalulutas tulad ng inilarawan para sa pangatlong pormula.

Matapos ilipat ang 30 sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay: 5x 2 \u003d 30. Ngayon ay kailangan mong hatiin sa 5. Ito ay lumabas: x 2 \u003d 6. Ang mga sagot ay magiging mga numero: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Ang pangatlong equation: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Pagkatapos nito, ang solusyon ng quadratic equation ay magsisimula sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito sa karaniwang pagtingin: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ngayon ay oras na upang gamitin ang pangalawa kapaki-pakinabang na payo at i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng minus isa. Ito ay lumiliko x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Ayon sa ika-apat na pormula, kailangan mong kalkulahin ang discriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Ito ay isang positibong numero. Mula sa sinabi sa itaas, lumalabas na ang equation ay may dalawang ugat. Kailangan silang kalkulahin gamit ang ikalimang pormula. Lumalabas na x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Pagkatapos x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ang ika-apat na equation x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ay binago sa ito: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ang diskriminante nito ay katumbas ng halagang ito: -23. Dahil negatibo ang bilang na ito, ang sagot sa gawaing ito ay ang sumusunod na entry: "Walang mga ugat."

Ang ikalimang equation na 12x + x 2 + 36 \u003d 0 ay dapat muling isulat bilang mga sumusunod: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. Matapos ilapat ang formula para sa diskriminante, nakuha ang bilang na zero. Nangangahulugan ito na magkakaroon ito ng isang ugat, katulad ng: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Ang pang-anim na equation (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) ay nangangailangan ng mga pagbabago, na binubuo sa katotohanang kailangan mong magdala ng mga katulad na termino, bago buksan ang mga braket. Bilang kapalit ng una, magkakaroon ng tulad ng isang expression: x 2 + 2x + 1. Matapos ang pagkakapantay-pantay, lilitaw ang talaang ito: x 2 + 3x + 2. Matapos mabibilang ang mga nasabing termino, kukuha ng form ang equation: x 2 - x \u003d 0. Ito ay naging kumpleto ... Ang isang bagay na katulad nito ay naisaalang-alang nang medyo mas mataas. Ang mga ugat nito ay ang mga bilang na 0 at 1.

Patuloy kaming nag-aaral ng paksang " paglutas ng mga equation". Nakasalubong na namin ang mga magkakatulad na mga equation at nagpapatuloy upang makilala quadratic equation.

Una, susuriin namin kung ano ang isang quadratic equation, kung paano ito nakasulat sa pangkalahatang anyo, at nagbibigay ng mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin nang detalyado kung paano ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic ay nalutas. Pagkatapos ay nagpapatuloy kami sa paglutas ng kumpletong mga equation, makuha ang formula para sa mga ugat, pamilyar sa diskriminante ng quadratic equation at isaalang-alang ang mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa. Sa wakas, subaybayan natin ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficients.

Pag-navigate ng pahina.

Ano ang isang Quadratic Equation? Ang kanilang mga uri

Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang isang kuwadradong equation. Samakatuwid, makatuwiran na simulan ang pag-uusap tungkol sa mga equation ng quadratic na may kahulugan ng isang equation ng quadratic, pati na rin ang mga kahulugan na nauugnay dito. Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng mga quadratic equation: nabawasan at hindi nabawasan, pati na rin ang kumpleto at hindi kumpletong mga equation.

Kahulugan at halimbawa ng mga equation ng kuwadratik

Kahulugan

Quadratic equation Ay isang equation ng form isang x 2 + b x + c \u003d 0 , kung saan ang x ay isang variable, a, b at c ay ilang mga numero, at ang a ay nonzero.

Sabihin natin kaagad na ang mga kuwadrong kuwadradong madalas na tinatawag na mga equation ng pangalawang degree. Ito ay sapagkat ang quadratic equation ay equation ng algebraic ikalawang antas.

Ang tunog na kahulugan ay nagbibigay-daan sa amin upang magbigay ng mga halimbawa ng mga equation ng kuwadratik. Kaya 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 \u003d 0, atbp. Ay mga quadratic equation.

Kahulugan

Numero a, b at c ang tinawag mga coefficients ng quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, at ang koepisyent a ay tinatawag na una, o ang pinakamataas, o ang koepisyent sa x 2, b ay ang pangalawang koepisyent, o ang koepisyent sa x, at c ang libreng term.

Halimbawa, kumuha tayo ng isang quadratic equation ng form 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, narito ang nangungunang koepisyent ay 5, ang pangalawang coefficient ay −2, at ang intercept ay −3. Tandaan na kapag ang mga coefficients b at / o c ay negatibo, tulad ng halimbawa na ibinigay lamang, pagkatapos ang maikling form ng quadratic equation ay 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, hindi 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Dapat pansinin na kapag ang mga coefficients a at / o b ay katumbas ng 1 o −1, kung gayon ang mga ito ay karaniwang hindi malinaw na naroroon sa quadratic equation, na kung saan ay dahil sa mga kakaibang pagsulat ng nasabing. Halimbawa, sa isang quadratic equation na y 2 −y + 3 \u003d 0, ang nangungunang koepisyent ay isa, at ang coefficient sa y ay −1.

Nabawasan at hindi pinababang mga quadratic equation

Ang nabawasan at hindi nabawasang mga quadratic equation ay nakikilala depende sa halaga ng nangungunang koepisyent. Bigyan natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan

Ang isang quadratic equation kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1 ang tinawag nabawasan ang quadratic equation... Kung hindi man ang quadratic equation ay hindi pinag-aralan.

Ayon kay ang kahulugan na ito, quadratic equation x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, atbp. - naibigay, sa bawat isa sa kanila ang unang koepisyent ay katumbas ng isa. At 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, atbp. - mga unreduced quadratic equation, ang kanilang nangungunang coefficient ay naiiba sa 1.

Mula sa anumang hindi nabawasan na kuwadrong equation sa pamamagitan ng paghati sa parehong mga bahagi ng nangungunang koepisyent, maaari kang pumunta sa nabawasan. Ang aksyon na ito ay isang katumbas na pagbabago, iyon ay, ang nabawasan na quadratic equation na nakuha sa ganitong paraan ay may parehong mga ugat tulad ng orihinal na unreduced quadratic equation, o, tulad nito, ay walang mga ugat.

Suriin natin sa pamamagitan ng halimbawa kung paano isinasagawa ang paglipat mula sa isang unreduced quadratic equation sa isang nabawasan na isa.

Halimbawa.

Mula sa equation 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0, pumunta sa kaukulang nabawasan na quadratic equation.

Desisyon.

Sapat na upang maisagawa namin ang paghahati ng magkabilang panig ng orihinal na equation ng nangungunang coefficient 3, ito ay nonzero, kaya maaari nating maisagawa ang aksyon na ito. Mayroon kaming (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, na pareho, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0, at higit pa (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, kung saan. Kaya nakuha namin ang nabawasan na kuwadradong equation, na katumbas ng orihinal na isa.

Sagot:

Kumpleto at hindi kumpleto ang mga quadratic equation

Ang kahulugan ng isang quadratic equation ay naglalaman ng kundisyong ≠ 0. Ang kondisyong ito ay kinakailangan upang ang equation na isang x 2 + b x + c \u003d 0 ay eksaktong eksaktong quadratic, dahil sa a \u003d 0 talagang nagiging isang linear equation ng form b x + c \u003d 0.

Tulad ng para sa mga koepisyent b at c, maaari silang maging pantay sa zero, pareho nang magkahiwalay at magkasama. Sa mga kasong ito, ang equation ng quadratic ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan

Ang quadratic equation na isang x 2 + b x + c \u003d 0 ay tinawag hindi kumpletokung hindi bababa sa isa sa mga koepisyent b, c ay katumbas ng zero.

Sa pagliko nito

Kahulugan

Buong quadratic equation Ay isang equation kung saan ang lahat ng coefficient ay nonzero.

Ang mga pangalang ito ay hindi binibigyan ng pagkakataon. Ito ay magiging malinaw mula sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang.

Kung ang coefficient b ay katumbas ng zero, kung gayon ang quadratic equation ay kumukuha ng form na x 2 + 0 x + c \u003d 0, at ito ay katumbas ng equation a x 2 + c \u003d 0. Kung c \u003d 0, iyon ay, ang quadratic equation ay may form na x 2 + b x + 0 \u003d 0, kung gayon maaari itong muling maisulat bilang isang x 2 + b x \u003d 0. At sa b \u003d 0 at c \u003d 0, nakukuha namin ang quadratic equation na isang x 2 \u003d 0. Ang mga nagresultang equation ay naiiba mula sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang panig ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable x, o isang libreng term, o pareho. Samakatuwid ang kanilang pangalan - hindi kumpleto ang mga quadratic equation.

Kaya ang mga equation x 2 + x + 1 \u003d 0 at −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 ay mga halimbawa ng kumpletong quadratic equation, at x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0.5 x Ang 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 ay hindi kumpleto na mga quadratic equation.

Paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation

Mula sa impormasyon sa nakaraang talata nasusunod na mayroong tatlong uri ng hindi kumpletong mga quadratic equation:

• isang x 2 \u003d 0, ang coefficients b \u003d 0 at c \u003d 0 ay tumutugma dito;
• isang x 2 + c \u003d 0 kapag b \u003d 0;
• at isang x 2 + b x \u003d 0 kapag c \u003d 0.

Pag-aralan natin sa pagkakasunud-sunod kung paano nalulutas ang mga hindi kumpleto na quadratic equation ng bawat isa sa mga ganitong uri.

isang x 2 \u003d 0

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic kung saan ang mga coefficients b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, na may mga equation ng form a · x 2 \u003d 0. Ang equation a · x 2 \u003d 0 ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito ng isang nonzero na numero a. Malinaw na, ang ugat ng equation x 2 \u003d 0 ay zero, dahil 0 2 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang ibang mga ugat, na ipinaliwanag, sa katunayan, para sa anumang di-zero na numero p, ang hindi pagkakapantay-pantay na p 2\u003e 0 na humahawak, kung saan sinusundan ito para sa p 0 na ang pagkakapantay-pantay p 2 \u003d 0 ay hindi nakakamit.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation na a · x 2 \u003d 0 ay may isang solong ugat x \u003d 0.

Bilang isang halimbawa, bigyan natin ang solusyon sa hindi kumpletong quadratic equation −4 · x 2 \u003d 0. Ang equation x 2 \u003d 0 ay katumbas nito, ang tanging ugat nito ay x \u003d 0, samakatuwid, ang orihinal na equation ay may natatanging root zero.

Ang isang maikling solusyon sa kasong ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

isang x 2 + c \u003d 0

Ngayon isasaalang-alang natin kung paano hindi kumpleto ang mga equation ng quadratic, kung saan ang koepisyent b ay zero, at c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a · x 2 + c \u003d 0. Alam namin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang gilid ng equation sa isa pa na may kabaligtaran na pag-sign, pati na rin ang paghahati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang nonzero na numero, magbigay ng isang katumbas na equation. Samakatuwid, maaari nating isagawa ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c \u003d 0:

• ilipat ang c sa kanan, na nagbibigay sa equation ng isang x 2 \u003d −c,
• at hatiin ang parehong bahagi ng a, nakukuha natin.

Ang nagreresultang equation ay nagbibigay-daan sa amin upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito. Nakasalalay sa mga halaga ng a at c, ang halaga ng ekspresyon ay maaaring maging negatibo (halimbawa, kung ang isang \u003d 1 at c \u003d 2, pagkatapos) o positibo, (halimbawa, kung ang isang \u003d −2 at c \u003d 6, kung gayon), hindi ito katumbas ng zero , dahil sa kondisyon c ≠ 0. Suriin natin nang hiwalay ang mga kaso at.

Kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod mula sa ang katunayan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero. Sinusundan mula rito na kailan, kung gayon para sa anumang bilang p ang pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring maging totoo.

Kung, kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kung naalala mo ang tungkol sa, kung gayon ang ugat ng equation ay agad na maging halata, ito ay isang numero, mula pa. Madaling hulaan na ang numero ay ang ugat din ng equation, sa katunayan ,. Ang ekwasyong ito ay walang ibang mga ugat, na maipakita, halimbawa, sa pamamagitan ng pagkakasalungatan. Gawin natin.

Ipagpalagay natin ang mga ugat ng ekwasyon na ipinahayag lamang bilang x 1 at −x 1. Ipagpalagay na ang equation ay may isa pang ugat x 2 na naiiba sa ipinahiwatig na ugat x 1 at −x 1. Alam na ang pagpapalit ng mga ugat nito sa equation sa halip na x ay ginagawang isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang ang equation. Para sa x 1 at −x 1 mayroon tayo, at para sa x 2 mayroon tayo. Pinapayagan kami ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na bilang na magsagawa ng pang-matagalang pagbabawas ng totoong mga pagkakapantay-pantay na bilang, kaya't ang pagbabawas ng mga kaukulang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagbibigay sa x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Ang mga katangian ng mga aksyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa iyo upang muling isulat ang nagresultang pagkakapantay-pantay bilang (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Alam namin na ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, sumusunod ito mula sa nakuha na pagkakapantay-pantay na x 1 - x 2 \u003d 0 at / o x 1 + x 2 \u003d 0, na pareho, x 2 \u003d x 1 at / o x 2 \u003d −x 1. Ito ay kung paano tayo nagkaroon ng isang pagkakasalungatan, dahil sa simula ay sinabi nating ang ugat ng ekwasyon x 2 ay naiiba sa x 1 at −x 1. Pinatunayan nito na ang equation ay walang mga ugat maliban sa at.

Ibuod natin ang impormasyon ng item na ito. Ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c \u003d 0 ay katumbas ng equation na

• walang ugat kung,
• may dalawang ugat at, kung.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation ng form a · x 2 + c \u003d 0.

Magsimula tayo sa quadratic equation 9 x 2 + 7 \u003d 0. Matapos mailipat ang libreng term sa kanang bahagi ng equation, kukuha ito ng form na 9 · x 2 \u003d −7. Paghahati sa magkabilang panig ng nagresultang equation ng 9, nakarating kami. Dahil may isang negatibong numero sa kanang bahagi, ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ay walang mga ugat.

Malutas ang isa pang hindi kumpleto na quadratic equation na −x 2 + 9 \u003d 0. Ilipat ang siyam sa kanan: −x 2 \u003d −9. Ngayon hatiin namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng −1, nakakakuha tayo ng x 2 \u003d 9. Sa kanang bahagi ay may positibong numero, kung saan tinapos namin iyon o. Pagkatapos ay isusulat namin ang pangwakas na sagot: ang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 + 9 \u003d 0 ay may dalawang mga ugat x \u003d 3 o x \u003d −3.

isang x 2 + b x \u003d 0

Nananatili itong makitungo sa solusyon ng huling uri ng hindi kumpletong mga quadratic equation para sa c \u003d 0. Hindi kumpleto ang mga quadratic equation ng form na isang x 2 + b x \u003d 0 ay nagbibigay-daan sa iyo upang malutas pamamaraang pag-factor... Malinaw, maaari nating, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng ekwasyon, kung saan sapat na upang saliksikin ang karaniwang kadahilanan x. Pinapayagan kaming pumasa mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa isang katumbas na equation ng form x · (a · x + b) \u003d 0. At ang equation na ito ay katumbas ng isang kumbinasyon ng dalawang mga equation x \u003d 0 at isang x + b \u003d 0, ang huli kung saan ay linear at may ugat x \u003d −b / a.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation ng isang x 2 + b x \u003d 0 ay may dalawang ugat x \u003d 0 at x \u003d −b / a.

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang solusyon sa isang tukoy na halimbawa.

Halimbawa.

Malutas ang equation.

Desisyon.

Ang paglipat ng x sa labas ng mga panaklong ay nagbibigay ng equation. Ito ay katumbas ng dalawang equation x \u003d 0 at. Nalulutas namin ang nagresultang linear equation :, at pagkatapos na hatiin ang halo-halong numero sa pamamagitan ng isang ordinaryong bahagi, nahanap namin. Samakatuwid, ang mga ugat ng orihinal na equation ay x \u003d 0 at.

Matapos makuha ang kinakailangang kasanayan, ang mga solusyon sa naturang mga equation ay maaaring nakasulat nang maikling:

Sagot:

x \u003d 0 ,.

Discriminant, ang pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Mayroong root formula para sa paglutas ng mga quadratic equation. Sumulat tayo quadratic formula:, saan D \u003d b 2 −4 a c - tinawag quadratic discriminant... Ang notasyon ay mahalagang nangangahulugan na.

Kapaki-pakinabang na malaman kung paano nakuha ang root formula, at kung paano ito inilalapat sa paghahanap ng mga ugat ng mga quadratic equation. Alamin natin ito.

Paggaling ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Ipagpalagay kailangan nating malutas ang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabagong-anyo:

• Maaari nating hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng isang nonzero na bilang a, bilang isang resulta makuha namin ang nabawasan na quadratic equation.
• Ngayon pumili ng isang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi:. Pagkatapos nito, kukuha ng equation ang form.
• Sa yugtong ito, posible na isagawa ang paglipat ng huling dalawang mga termino sa kanang bahagi na may kabaligtaran na pag-sign, mayroon kami.
• At binabago rin namin ang expression sa kanang bahagi:.

Bilang isang resulta, nakarating kami sa isang equation na katumbas ng orihinal na quadratic equation na x 2 + b x + c \u003d 0.

Nalutas na namin ang mga equation na katulad sa form sa mga nakaraang talata nang sinuri namin ang mga ito. Pinapayagan kaming gumuhit ng mga sumusunod na konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay walang totoong mga solusyon;
• kung, kung gayon ang equation ay may form, samakatuwid, kung saan ang tanging ugat nito ay makikita;
• kung, pagkatapos o, alin ang pareho o, iyon ay, ang equation ay may dalawang mga ugat.

Kaya, ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation, at samakatuwid ang orihinal na quadratic equation, ay nakasalalay sa pag-sign ng expression sa kanang bahagi. Kaugnay nito, ang palatandaan ng ekspresyong ito ay natutukoy ng pag-sign ng numerator, dahil ang denominator na 4 · a 2 ay laging positibo, iyon ay, ang tanda ng ekspresyong b 2 −4 · a · c. Ang expression na ito b 2 −4 a c ay tinawag ang diskriminante ng quadratic equation at minarkahan ng liham D... Mula dito, ang kakanyahan ng diskriminante ay malinaw - sa pamamagitan ng halaga at pag-sign, natapos kung ang quadratic equation ay may totoong mga ugat, at kung gayon, ano ang kanilang numero - isa o dalawa.

Pagbabalik sa equation, muling isulat namin ito gamit ang discriminant na notasyon:. At gumagawa kami ng mga konklusyon:

• kung D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kung D \u003d 0, kung gayon ang ekwasyong ito ay may iisang ugat;
• sa wakas, kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang mga ugat o, na, sa bisa nito, maaaring muling isulat bilang o, at pagkatapos ng pagpapalawak at pagbawas ng mga praksyon sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin.

Kaya nagmula kami ng mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, mayroon silang form, kung saan ang diskriminanteng D ay kinakalkula ng pormulang D \u003d b 2 −4 · a · c.

Sa kanilang tulong, na may positibong diskriminasyon, maaari mong kalkulahin ang parehong totoong ugat ng equation ng quadratic. Kung ang discriminant ay pantay sa zero, ang parehong mga formula ay nagbibigay ng parehong halaga ng ugat na naaayon sa isang natatanging solusyon sa quadratic equation. At sa isang negatibong diskriminante, kapag sinusubukan na gamitin ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, nahaharap kami sa pagkuha ng parisukat na ugat ng isang negatibong numero, na magdadala sa amin sa labas ng kahon at kurikulum sa paaralan... Sa negatibong diskriminasyon, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat, ngunit may isang pares kumplikadong pagkakaugnay mga ugat, na maaaring matagpuan gamit ang parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation na gumagamit ng mga root formula

Sa pagsasagawa, kapag nalulutas ang mga quadratic equation, maaari mong agad na magamit ang root formula, kung saan maaari mong kalkulahin ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit pa tungkol sa paghahanap ng mga kumplikadong mga ugat.

Gayunpaman, sa kurso ng algebra sa paaralan, karaniwang hindi namin sinasabi ang tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa totoong mga ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong unang hanapin ang diskriminante bago gamitin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, tiyakin na ito ay hindi negatibo (kung hindi man, maaari nating tapusin na ang equation ay walang totoong mga ugat), at pagkatapos lamang kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Pinapayagan kaming magsulat ng pangangatuwiran sa itaas quadratic equation solver... Upang malutas ang quadratic equation na isang x 2 + b x + c \u003d 0, kailangan mo:

• sa pamamagitan ng discriminant formula D \u003d b 2 b4 · a · c kalkulahin ang halaga nito;
• tapusin na ang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat kung ang diskriminante ay negatibo;
• kalkulahin ang tanging ugat ng equation ng formula kung D \u003d 0;
• hanapin ang dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang diskriminante ay positibo.

Narito tandaan lamang natin na kung ang diskriminasyon ay pantay sa zero, maaari ring magamit ang pormula, magbibigay ito ng parehong halaga bilang.

Maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa ng paggamit ng algorithm para sa paglutas ng mga equation ng quadratic.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Isaalang-alang ang mga solusyon sa tatlong mga quadratic equation na may positibo, negatibo at zero na diskriminasyon. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa kanilang solusyon, sa pamamagitan ng pagkakatulad posible upang malutas ang anumang iba pang mga parisukat na equation. Magsimula na tayo

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Desisyon.

Sa kasong ito, mayroon kaming mga sumusunod na coefficients ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at c \u003d −6. Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang diskriminante, para dito pinalitan namin ang ipinahiwatig na a, b at c sa diskriminasyon na formula, mayroon kaming D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Dahil sa 28\u003e 0, iyon ay, ang discriminant ay higit sa zero, ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Natagpuan namin ang mga ito sa pamamagitan ng root formula, nakukuha namin, dito maaari mong gawing simple ang mga expression na nakuha sa pamamagitan ng paggawa paglalagay ng katotohanan sa palatandaan ng ugat sa kasunod na pagbawas ng bahagi:

Sagot:

Lumipat tayo sa susunod na tipikal na halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation na −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Desisyon.

Magsisimula kami sa pamamagitan ng paghahanap ng diskriminasyon: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay may isang solong ugat, na nakita namin bilang, iyon ay,

Sagot:

x \u003d 3.5.

Nananatili itong isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation na may negatibong diskriminasyon.

Halimbawa.

Malutas ang equation 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Desisyon.

Narito ang mga coefficients ng quadratic equation: a \u003d 5, b \u003d 6 at c \u003d 2. Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa diskriminasyon na formula, mayroon kaming D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Ang diskriminante ay negatibo, samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay walang tunay na mga ugat.

Kung kailangan mong magpahiwatig ng mga kumplikadong ugat, ilalapat namin ang kilalang pormula para sa mga ugat ng quadratic equation, at gumanap kumplikadong pagpapatakbo ng bilang:

Sagot:

walang totoong mga ugat, ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod:.

Muli, tandaan namin na kung ang diskriminante ng quadratic equation ay negatibo, kung gayon sa paaralan kadalasang isusulat nila agad ang sagot kung saan ipinapahiwatig nila na walang totoong mga ugat, at hindi matatagpuan ang mga kumplikadong ugat.

Root formula para sa pangalawang coefficients

Ang pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, kung saan ang D \u003d b 2 −4 a ln5 \u003d 2 7 ln5). Ilabas natin ito.

Sabihin nating kailangan nating malutas ang isang quadratic equation ng form a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Alamin natin ang mga ugat nito gamit ang pormula na alam natin. Upang gawin ito, kalkulahin ang discriminant D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

Tukuyin natin ang ekspresyong n 2 −a · c bilang D 1 (kung minsan ito ay sinasabihan ng D "). Pagkatapos ang pormula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay kumukuha ng form , kung saan ang D 1 \u003d n 2 - a · c.

Madaling makita ang D \u003d 4 · D 1, o D 1 \u003d D / 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay ang ikaapat na bahagi ng diskriminasyon. Malinaw na ang tanda ng D 1 ay kapareho ng pag-sign ng D. Iyon ay, ang pag-sign ng D 1 ay isang tagapagpahiwatig din ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kaya, upang malutas ang equation ng quadratic na may pangalawang koepisyent 2 n, kailangan mo

• Kalkulahin ang D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Kung D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kung D 1 \u003d 0, pagkatapos ay kalkulahin ang tanging ugat ng equation sa pamamagitan ng formula;
• Kung ang D 1\u003e 0, pagkatapos ay hanapin ang dalawang tunay na mga ugat ng pormula.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang halimbawa gamit ang root formula na nakuha sa talatang ito.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation na 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Desisyon.

Ang pangalawang koepisyent ng equation na ito ay maaaring kinatawan bilang 2 · (−3). Iyon ay, maaari mong muling isulat ang orihinal na quadratic equation sa form 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, dito a \u003d 5, n \u003d −3 at c \u003d −32, at kalkulahin ang ika-apat na bahagi ng diskriminasyon: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Dahil positibo ang halaga nito, ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin sila gamit ang katumbas na root formula:

Tandaan na posible na gamitin ang karaniwang pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito, mas maraming gawain sa computational ang kailangang gawin.

Sagot:

Pinapasimple ang Mga Quadratic Equation

Minsan, bago simulan ang pagkalkula ng mga ugat ng isang parisukat na equation ng mga formula, hindi nasasaktan na itanong ang tanong: "Posible bang gawing simple ang anyo ng equation na ito"? Sumang-ayon na sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, magiging mas madali upang malutas ang equation ng quadratic 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 kaysa sa 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0.

Karaniwan, ang isang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa parehong bahagi nito ng ilang bilang. Halimbawa, sa nakaraang talata, pinasimple namin ang equation na 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100.

Isinasagawa ang isang katulad na pagbabago na may mga quadratic equation, ang mga coefficients na hindi. Sa kasong ito, ang magkabilang panig ng equation ay karaniwang nahahati sa pamamagitan ng ganap na mga halaga ng mga coefficients nito. Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. ang ganap na mga halaga ng mga coefficients nito: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Ang paghati sa magkabilang panig ng orihinal na quadratic equation ng 6, nakarating kami sa katumbas na quadratic equation 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

At ang pagpaparami ng magkabilang panig ng isang quadratic equation ay karaniwang ginagawa upang mapupuksa ang mga praksyonal na koepisyent. Sa kasong ito, ang pagpaparami ay isinasagawa ng mga denominator ng mga koepisyentidad. Halimbawa, kung ang magkabilang panig ng isang quadratic equation ay pinarami ng LCM (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay kukuha ito sa isang mas simpleng form x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Sa pagtatapos ng puntong ito, tandaan natin na halos palaging mapupuksa ang minus sa nangungunang koepisyent ng quadratic equation, binabago ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino, na tumutugma sa pagpaparami (o paghati) sa parehong mga bahagi ng −1. Halimbawa, karaniwang mula sa quadratic equation na −2x2 −3x + 7 \u003d 0 ang isa ay papunta sa solusyon 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficients ng isang quadratic equation

Ang pormula para sa mga ugat ng isang kuwadradong equation ay nagpapahiwatig ng mga ugat ng isang equation sa mga tuntunin ng coefficients nito. Batay sa root formula, maaari kang makakuha ng iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at mga coefficients.

Ang pinakatanyag at naaangkop na mga formula ay mula sa teorema ng Vieta ng form at. Sa partikular, para sa ibinigay na kuwadradong equation, ang kabuuan ng mga ugat ay pantay sa pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term. Halimbawa, sa pamamagitan ng form ng kuwadradong equation 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, masasabi nating agad na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7/3, at ang produkto ng mga ugat ay 22/3.

Gamit ang nakasulat na mga formula, makakakuha ka ng maraming iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at mga coefficients ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga coefficients nito:.

Listahan ng mga sanggunian.

• Algebra: pag-aaral. para sa 8 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2008 .-- 271 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. Ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - Ika-11 ed., Tinanggal. - M.: Mnemosina, 2009 .-- 215 p.: May sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.