Sine, cosine, tangent at cotangent - lahat ng kailangan mong malaman sa Unified State Examination sa matematika (2020). Equation sin x = a Paano kalkulahin ang mga sine
Kung gagawa tayo ng unit circle na ang sentro nito sa pinanggalingan, at magtakda ng arbitrary na halaga para sa argumento x 0 at bilangin mula sa axis baka sulok x 0, pagkatapos ang anggulong ito sa bilog ng yunit ay tumutugma sa isang tiyak na punto A(Larawan 1) at ang projection nito sa axis Oh magkakaroon ng punto M. Haba ng seksyon OM katumbas ng ganap na halaga ng abscissa ng punto A. Ibinigay na halaga ng argumento x 0 nakamapang halaga ng function y=cos x 0 parang abscissa dots A. Alinsunod dito, punto SA(x 0 ;sa 0) nabibilang sa graph ng function sa=cos X(Larawan 2). Kung ang punto A ay nasa kanan ng axis OU, Ang kasalukuyang sine ay magiging positibo, ngunit kung sa kaliwa ito ay magiging negatibo. Pero anyway, period A hindi makaalis sa bilog. Samakatuwid, ang cosine ay nasa saklaw mula -1 hanggang 1:
–1 = cos x = 1.
Karagdagang pag-ikot sa anumang anggulo, maramihang 2 p, returns point A sa parehong lugar. Samakatuwid ang pag-andar y = cos xp:
kasi( x+ 2p) = cos x.
Kung kukuha tayo ng dalawang halaga ng argumento, katumbas ng ganap na halaga, ngunit kabaligtaran sa tanda, x At- x, hanapin ang mga kaukulang punto sa bilog Isang x At A -x. Gaya ng makikita sa Fig. 3 ang kanilang projection sa axis Oh ay ang parehong punto M. kaya lang
cos(– x) = cos ( x),
mga. ang cosine ay isang pantay na function, f(–x) = f(x).
Nangangahulugan ito na maaari nating tuklasin ang mga katangian ng function y=cos X sa segment , at pagkatapos ay isaalang-alang ang parity at periodicity nito.
Sa X= 0 puntos A namamalagi sa axis Oh, ang abscissa nito ay 1, at samakatuwid ay cos 0 = 1. Sa pagtaas X tuldok A gumagalaw sa paligid ng bilog pataas at sa kaliwa, ang projection nito, natural, ay nasa kaliwa lamang, at sa x = p Ang /2 cosine ay nagiging katumbas ng 0. Point A sa sandaling ito ito ay tumataas sa pinakamataas na taas nito, at pagkatapos ay patuloy na lumipat sa kaliwa, ngunit pababa na. Bumababa ang abscissa nito hanggang sa maabot nito ang pinakamaliit na halaga na katumbas ng –1 at X= p. Kaya, sa pagitan ang function sa=cos X bumababa ang monotonically mula 1 hanggang -1 (Fig. 4, 5).
Mula sa parity ng cosine ay sumusunod na sa pagitan [– p, 0] monotonically tumataas ang function mula -1 hanggang 1, na kumukuha ng zero value sa x =–p/2. Kung kukuha ka ng ilang mga panahon, makakakuha ka ng kulot na kurba (Larawan 6).
Kaya ang function y=cos x tumatagal ng mga zero na halaga sa mga punto X= p/2 + kp, saan k – anumang integer. Ang mga maximum na katumbas ng 1 ay nakakamit sa mga puntos X= 2kp, ibig sabihin. sa mga hakbang ng 2 p, at mga minimum na katumbas ng –1 sa mga puntos X= p + 2kp.
Function y = sin x.
Sa sulok ng bilog ng unit x 0 ay tumutugma sa isang tuldok A(Larawan 7), at ang projection nito sa axis OU magkakaroon ng punto N.Z halaga ng function y 0 = kasalanan x 0 tinukoy bilang ordinate ng isang punto A. Dot SA(sulok x 0 ,sa 0) nabibilang sa graph ng function y= kasalanan x(Larawan 8). Ito ay malinaw na ang function y = kasalanan x periodic, ang period nito ay 2 p:
kasalanan( x+ 2p) = kasalanan ( x).
Para sa dalawang halaga ng argumento, X at-, projection ng kanilang mga kaukulang punto Isang x At A -x bawat axis OU matatagpuan simetriko na may kaugnayan sa punto TUNGKOL SA. kaya lang
kasalanan(– x) = –kasalanan ( x),
mga. Ang sine ay isang kakaibang function, f(– x) = –f( x) (Larawan 9).
Kung ang punto A paikutin kamag-anak sa isang punto TUNGKOL SA sa isang anggulo p/2 counterclockwise (sa madaling salita, kung ang anggulo X Dagdagan ng p/2), kung gayon ang ordinate nito sa bagong posisyon ay magiging katumbas ng abscissa sa luma. Ibig sabihin
kasalanan( x+ p/2) = cos x.
Kung hindi, ang sine ay isang cosine na "huli" ng p/2, dahil ang anumang halaga ng cosine ay "uulitin" sa sine kapag ang argument ay tumaas ng p/2. At upang makabuo ng sine graph, sapat na upang ilipat ang cosine graph sa pamamagitan ng p/2 sa kanan (Larawan 10). Ang isang napakahalagang katangian ng sine ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay
Ang geometric na kahulugan ng pagkakapantay-pantay ay makikita mula sa Fig. 11. Dito X - ito ay kalahating arko AB, tulad ng sa X - kalahati ng kaukulang chord. Ito ay malinaw na habang ang mga puntos ay papalapit A At SA ang haba ng chord ay lalong lumalapit sa haba ng arko. Mula sa parehong figure, madaling makuha ang hindi pagkakapantay-pantay
|kasalanan x| x|, totoo para sa alinman X.
Tinatawag ng mga mathematician ang formula (*) bilang isang kahanga-hangang limitasyon. Mula rito, lalo na, sinusundan nito ang kasalanang iyon X» X sa maliit X.
Mga pag-andar sa= tg x, y=ctg X. Ang iba pang dalawang trigonometric function, tangent at cotangent, ay pinakamadaling tukuyin bilang mga ratio ng sine at cosine na alam na natin:
Tulad ng sine at cosine, ang tangent at cotangent ay pana-panahong pag-andar, ngunit ang kanilang mga panahon ay pantay p, ibig sabihin. ang mga ito ay kalahati ng laki ng sine at cosine. Ang dahilan para dito ay malinaw: kung ang sine at cosine ay parehong nagbabago ng mga palatandaan, kung gayon ang kanilang ratio ay hindi magbabago.
Dahil ang denominator ng tangent ay naglalaman ng isang cosine, ang tangent ay hindi tinukoy sa mga punto kung saan ang cosine ay 0 - kapag X= p/2 +kp. Sa lahat ng iba pang mga punto ito ay tumataas nang monotonically. Direkta X= p/2 + kp para sa tangent ay vertical asymptotes. Sa mga punto kp ang padaplis at slope ay 0 at 1, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 12).
Ang cotangent ay hindi tinukoy kung saan ang sine ay 0 (kapag x = kp). Sa iba pang mga punto ay bumababa ito ng monotonically, at mga tuwid na linya x = kp – vertical asymptotes nito. Sa mga punto x = p/2 +kp ang cotangent ay nagiging 0, at ang slope sa mga puntong ito ay katumbas ng –1 (Fig. 13).
Parity at periodicity.
Tinatawag ang isang function kahit na f(–x) = f(x). Ang cosine at secant function ay even, at ang sine, tangent, cotangent at cosecant function ay kakaiba:
| kasalanan (–α) = – kasalanan α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Ang mga katangian ng parity ay sumusunod mula sa simetrya ng mga puntos P a at R- a (Larawan 14) na may kaugnayan sa axis X. Sa gayong simetrya, ang ordinate ng punto ay nagbabago ng sign (( X;sa) pumupunta sa ( X; –u)). Ang lahat ng mga function - periodic, sine, cosine, secant at cosecant ay may periodic na 2 p, at tangent at cotangent - p:
| kasalanan (α + 2 kπ) = kasalanan α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | higaan(α+ kπ) = cotg α |
| seg (α + 2 kπ) = seg α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Ang periodicity ng sine at cosine ay sumusunod mula sa katotohanan na ang lahat ng mga puntos P a+2 kp, Saan k= 0, ±1, ±2,…, nag-tutugma, at ang periodicity ng tangent at cotangent ay dahil sa katotohanan na ang mga puntos P a+ kp halili na nahuhulog sa dalawang magkatapat na punto ng bilog, na nagbibigay ng parehong punto sa tangent axis.
Ang mga pangunahing katangian ng mga function ng trigonometriko ay maaaring ibuod sa isang talahanayan:
| Function | Domain | Maramihang kahulugan | Pagkakapantay-pantay | Mga lugar ng monotony ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| kasalanan x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | kakaiba | nagdaragdag sa x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), bumababa sa x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | kahit | Tumataas nang may x O((2 k – 1) p, 2kp), bumababa sa x O(2 kp, (2k + 1) p) |
| tg x | x № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | kakaiba | nagdaragdag sa x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | kakaiba | bumababa sa x TUNGKOL SA ( kp, (k + 1) p) |
| sec x | x № p/2 + p k | (–Ґ , –1] AT [+1, +Ґ ) | kahit | Tumataas nang may x O(2 kp, (2k + 1) p), bumababa sa x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] AT [+1, +Ґ ) | kakaiba | nagdaragdag sa x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), bumababa sa x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Mga formula ng pagbabawas.
Ayon sa mga formula na ito, ang halaga ng trigonometric function ng argument a, kung saan p/2 a p , ay maaaring bawasan sa halaga ng argument function a , kung saan 0 a p /2, alinman sa pareho o pantulong dito.
| Pangangatwiran b |  -a |
+ a | p-a | p+ a | + a | + a | 2p-a |
| kasalanan b | kasi a | kasi a | kasalanan a | – kasalanan a | – dahil a | – dahil a | – kasalanan a |
| dahil b | kasalanan a | – kasalanan a | – dahil a | – dahil a | – kasalanan a | kasalanan a | kasi a |
Samakatuwid, sa mga talahanayan ng mga function ng trigonometriko, ang mga halaga ay ibinibigay lamang para sa mga talamak na anggulo, at sapat na upang limitahan ang ating sarili, halimbawa, sa sine at tangent. Ipinapakita lang ng talahanayan ang mga pinakakaraniwang ginagamit na formula para sa sine at cosine. Mula sa mga ito ay madaling makakuha ng mga formula para sa tangent at cotangent. Kapag nag-cast ng isang function mula sa isang argumento ng form kp/2 ± a, kung saan k– isang integer, sa isang function ng argument a:
1) ang pangalan ng function ay nai-save kung k kahit na, at mga pagbabago sa "complementary" kung k kakaiba;
2) ang tanda sa kanang bahagi ay tumutugma sa tanda ng reducible function sa punto kp/2 ± a kung anggulo a ay talamak.
Halimbawa, kapag nag-cast ng ctg (a – p/2) tinitiyak namin na ang isang - p/2 sa 0 a p /2 ay nasa ikaapat na kuwadrante, kung saan negatibo ang cotangent, at, ayon sa panuntunan 1, binago namin ang pangalan ng function: ctg (a – p/2) = –tg a .
Mga formula ng karagdagan.
Mga formula para sa maraming anggulo.
Ang mga formula na ito ay direktang hinango mula sa mga formula ng karagdagan:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
kasalanan 3a = 3 kasalanan a – 4 kasalanan 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Ang formula para sa cos 3a ay ginamit ni François Viète noong nilulutas ang cubic equation. Siya ang unang nakahanap ng mga expression para sa cos n a at kasalanan n a, na kalaunan ay nakuha sa mas simpleng paraan mula sa formula ni Moivre.
Kung papalitan mo ang a ng /2 sa mga formula ng dobleng argumento, maaari silang ma-convert sa mga formula ng kalahating anggulo:
Pangkalahatang mga formula ng pagpapalit.
Gamit ang mga formula na ito, ang isang expression na kinasasangkutan ng iba't ibang trigonometriko function ng parehong argumento ay maaaring muling isulat bilang isang makatwirang pagpapahayag ng isang solong function tg (a /2), maaari itong maging kapaki-pakinabang kapag nilulutas ang ilang mga equation:
 |
|
 |
 |
Mga formula para sa pag-convert ng mga kabuuan sa mga produkto at mga produkto sa mga kabuuan.
Bago ang pagdating ng mga computer, ang mga formula na ito ay ginamit upang gawing simple ang mga kalkulasyon. Ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang mga logarithmic table, at kalaunan - isang slide rule, dahil Ang mga logarithm ay pinakaangkop para sa pagpaparami ng mga numero, kaya ang lahat ng mga orihinal na expression ay dinala sa isang form na maginhawa para sa logarithmization, i.e. upang gumana, halimbawa:
2 kasalanan a kasalanan b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 kasalanan a cos b= kasalanan ( a–b) + kasalanan ( a+b).
Ang mga formula para sa tangent at cotangent function ay maaaring makuha mula sa itaas.
Mga formula ng pagbabawas ng degree.
Mula sa maramihang mga formula ng argumento ang mga sumusunod na formula ay hinango:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| kasalanan 3 a = (3 kasalanan a – kasalanan 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Gamit ang mga formula na ito, ang mga equation ng trigonometriko ay maaaring bawasan sa mga equation ng mas mababang degree. Sa parehong paraan, maaari tayong makakuha ng mga formula ng pagbabawas para sa mas mataas na kapangyarihan ng sine at cosine.
| Mga derivative at integral ng trigonometriko function | |
| (kasalanan x)` = cos x; | (cos x)` = –kasalanan x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t kasalanan x dx= –cos x + C; | t cos x dx= kasalanan x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|kasalanan x| + C; |
Ang bawat trigonometriko function sa bawat punto ng domain ng kahulugan nito ay tuloy-tuloy at walang katapusan na naiba. Bukod dito, ang mga derivatives ng trigonometriko function ay trigonometric function, at kapag isinama, trigonometriko function o ang kanilang logarithms ay nakuha din. Ang mga integral ng mga makatwirang kumbinasyon ng mga trigonometriko na pag-andar ay palaging mga pangunahing pag-andar.
Representasyon ng mga function ng trigonometriko sa anyo ng serye ng kapangyarihan at walang katapusang mga produkto.
Ang lahat ng trigonometric function ay maaaring palawakin sa power series. Sa kasong ito, ang mga function ay kasalanan x bcos x ay ipinakita sa mga hilera. convergent para sa lahat ng mga halaga x:
Maaaring gamitin ang mga seryeng ito upang makakuha ng tinatayang mga ekspresyon para sa kasalanan x at cos x sa maliliit na halaga x:
sa | x| p/2;
sa 0 x| p
(B n – Mga numero ng Bernoulli).
mga function ng kasalanan x at cos x ay maaaring kinakatawan sa anyo ng walang katapusang mga produkto:
Trigonometric system 1, cos x, kasalanan x, dahil 2 x, kasalanan 2 x,¼,cos nx, kasalanan nx, ¼, mga form sa segment [– p, p] isang orthogonal system ng mga function, na ginagawang posible na kumatawan sa mga function sa anyo ng trigonometric series.
ay tinukoy bilang analytic na mga pagpapatuloy ng kaukulang trigonometriko function ng tunay na argumento sa kumplikadong eroplano. Oo, kasalanan z at cos z maaaring tukuyin gamit ang serye para sa kasalanan x at cos x, kung sa halip x ilagay z:
Ang mga seryeng ito ay nagtatagpo sa buong eroplano, kaya kasalanan z at cos z- buong pag-andar.
Ang tangent at cotangent ay tinutukoy ng mga formula:
tg function z at ctg z- mga pag-andar ng meromorphic. tg pole z at sec z– simple (1st order) at matatagpuan sa mga punto z = p/2 + pn, mga poste ctg z at cosec z– simple din at matatagpuan sa mga punto z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Ang lahat ng mga formula na wasto para sa trigonometriko function ng isang tunay na argumento ay wasto din para sa isang kumplikado. Sa partikular,
kasalanan(– z) = –kasalanan z,
cos(– z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
mga. kahit at kakaiba ang pagkakapare-pareho ay pinapanatili. Ang mga formula ay nai-save din
kasalanan( z + 2p) = kasalanan z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
mga. napapanatili din ang periodicity, at ang mga panahon ay kapareho ng para sa mga function ng isang tunay na argumento.
Ang mga function na trigonometric ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isang exponential function ng isang puro haka-haka na argumento:
pabalik, e iz ipinahayag sa mga tuntunin ng cos z at kasalanan z ayon sa formula:
e iz=cos z + i kasalanan z
Ang mga formula na ito ay tinatawag na mga formula ni Euler. Binuo sila ni Leonhard Euler noong 1743.
Ang mga function ng trigonometric ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng mga hyperbolic function:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
kung saan ang sh, ch at ika ay hyperbolic sine, cosine at tangent.
Trigonometric function ng kumplikadong argumento z = x + iy, Saan x At y– tunay na mga numero, maaaring ipahayag sa pamamagitan ng trigonometric at hyperbolic function ng mga tunay na argumento, halimbawa:
kasalanan( x + iy) = kasalanan x ch y + i cos x sh y;
kasi( x + iy) = cos x ch y + i kasalanan x sh y.
Ang sine at cosine ng isang kumplikadong argumento ay maaaring tumagal ng mga tunay na halaga na higit sa 1 sa ganap na halaga. Halimbawa:
Kung ang isang hindi kilalang anggulo ay pumapasok sa isang equation bilang isang argumento ng trigonometriko function, kung gayon ang equation ay tinatawag na trigonometric. Ang ganitong mga equation ay karaniwan na ang kanilang mga pamamaraan ang mga solusyon ay napaka detalyado at maingat na binuo. SA Gamit ang iba't ibang mga diskarte at formula, ang mga trigonometrikong equation ay binabawasan sa mga equation ng form f(x)=a, Saan f– alinman sa pinakasimpleng trigonometric function: sine, cosine, tangent o cotangent. Pagkatapos ay ipahayag ang argumento x ang function na ito sa pamamagitan ng alam nitong halaga A.
Dahil ang trigonometriko function ay panaka-nakang, pareho A mula sa hanay ng mga halaga mayroong walang katapusang maraming mga halaga ng argumento, at ang mga solusyon sa equation ay hindi maaaring isulat bilang isang solong function ng A. Samakatuwid, sa domain ng kahulugan ng bawat isa sa mga pangunahing trigonometric function, ang isang seksyon ay pinili kung saan kinukuha ang lahat ng mga halaga nito, bawat isa nang isang beses lamang, at ang function na kabaligtaran dito ay matatagpuan sa seksyong ito. Ang ganitong mga function ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagdaragdag ng prefix arc (arc) sa pangalan ng orihinal na function, at tinatawag na inverse trigonometric function o simpleng arc function.
Inverse trigonometriko function.
Para sa kasalanan X, cos X, tg X at ctg X maaaring tukuyin ang mga inverse function. Ang mga ito ay tinukoy nang naaayon sa pamamagitan ng arcsin X(basahin ang "arcsine" x"), arcos x, arctan x at arcctg x. Sa pamamagitan ng kahulugan, arcsin X may ganyang numero y, Ano
kasalanan sa = X.
Katulad din para sa iba pang mga inverse trigonometric function. Ngunit ang kahulugan na ito ay naghihirap mula sa ilang mga kamalian.
Kung sumasalamin ka sa kasalanan X, cos X, tg X at ctg X kamag-anak sa bisector ng una at ikatlong quadrant ng coordinate plane, pagkatapos ay ang mga function, dahil sa kanilang periodicity, ay nagiging hindi maliwanag: isang walang katapusang bilang ng mga anggulo ay tumutugma sa parehong sine (cosine, tangent, cotangent).
Upang mapupuksa ang kalabuan, isang seksyon ng curve na may lapad ng p, sa kasong ito, kinakailangan na ang isa-sa-isang sulat ay mapanatili sa pagitan ng argumento at ng halaga ng function. Pinipili ang mga lugar na malapit sa pinanggalingan ng mga coordinate. Para sa sine in Bilang isang "one-to-one interval" kinuha namin ang segment [– p/2, p/2], kung saan ang sine monotonically ay tumataas mula -1 hanggang 1, para sa cosine - ang segment, para sa tangent at cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ang mga pagitan (– p/2, p/2) at (0, p). Ang bawat kurba sa pagitan ay makikita na may kaugnayan sa bisector at ngayon ay maaaring matukoy ang mga inverse trigonometric function. Halimbawa, hayaang maibigay ang halaga ng argumento x 0 , tulad na 0 Ј x 0 Ј 1. Pagkatapos ang halaga ng function y 0 = arcsin x 0 magkakaroon lamang ng isang kahulugan sa 0 , ganyan- p/2 Ј sa 0 Ј p/2 at x 0 = kasalanan y 0 .
Kaya, ang arcsine ay isang function ng arcsin A, tinukoy sa pagitan [–1, 1] at katumbas ng bawat isa A sa ganoong halaga, - p/2 a p /2 na kasalanan a = A. Ito ay napaka-maginhawa upang katawanin ito gamit ang isang bilog na yunit (Larawan 15). Kailan | isang| 1 sa isang bilog mayroong dalawang puntos na may ordinate a, simetriko tungkol sa axis u. Ang isa sa kanila ay tumutugma sa anggulo a= arcsin A, at ang isa ay ang kanto p - a. SA isinasaalang-alang ang periodicity ng sine, paglutas ng equation na kasalanan x= A ay nakasulat tulad ng sumusunod:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
saan n= 0, ±1, ±2,...
Ang iba pang mga simpleng trigonometric equation ay maaaring malutas sa parehong paraan:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
saan P= 0, ±1, ±2,... (Larawan 16);
tg X = a;
x= arctan a + p n,
saan n = 0, ±1, ±2,... (Larawan 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + p n,
saan n = 0, ±1, ±2,... (Larawan 18).
Mga pangunahing katangian ng inverse trigonometriko function:
arcsin X(Larawan 19): domain ng kahulugan – segment [–1, 1]; saklaw – [– p/2, p/2], monotonically pagtaas ng function;
arccos X(Larawan 20): domain ng kahulugan – segment [–1, 1]; hanay ng mga halaga – ; monotonically nagpapababa ng function;
arctg X(Larawan 21): domain ng kahulugan – lahat ng tunay na numero; hanay ng mga halaga – pagitan (– p/2, p/2); monotonically pagtaas ng function; tuwid sa= –p/2 at y = p /2 – pahalang na asymptotes;
arcctg X(Larawan 22): domain ng kahulugan – lahat ng tunay na numero; hanay ng mga halaga – pagitan (0, p); monotonically nagpapababa ng function; tuwid y= 0 at y = p- pahalang na asymptotes.
kasi trigonometriko function ng complex argument sin z at cos z(hindi tulad ng mga function ng tunay na argumento) kunin ang lahat ng mga kumplikadong halaga, pagkatapos ay ang mga equation ay nagkakasala z = a at cos z = a may mga solusyon para sa anumang kumplikado isang x At y ay tunay na mga numero, nalalapat ang mga hindi pagkakapantay-pantay
½| e\e y–e-y| ≤|kasalanan z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
kung saan sa y® Ґ asymptotic formula ang sumusunod (pare-parehong may kinalaman sa x)
|kasalanan z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Ang mga function na trigonometric ay unang lumitaw na may kaugnayan sa pananaliksik sa astronomy at geometry. Ang mga ratio ng mga segment sa isang tatsulok at isang bilog, na mahalagang trigonometriko function, ay matatagpuan na sa ika-3 siglo. BC e. sa mga gawa ng mga mathematician ng Sinaunang Greece – Euclid, Archimedes, Apollonius ng Perga at iba pa, gayunpaman, ang mga relasyon na ito ay hindi isang independiyenteng bagay ng pag-aaral, kaya hindi nila pinag-aralan ang mga function ng trigonometriko. Ang mga ito sa una ay isinasaalang-alang bilang mga segment at sa form na ito ay ginamit ni Aristarchus (huling ika-4 - ika-2 kalahati ng ika-3 siglo BC), Hipparchus (ika-2 siglo BC), Menelaus (1st siglo AD). ) at Ptolemy (ika-2 siglo AD) noong paglutas ng spherical triangles. Pinagsama-sama ni Ptolemy ang unang talahanayan ng mga chord para sa mga talamak na anggulo bawat 30" na may katumpakan na 10 –6. Ito ang unang talahanayan ng mga sine. Bilang ratio, ang function na sin a ay matatagpuan na sa Aryabhata (katapusan ng ika-5 siglo). Ang mga function na tg a at ctg a ay matatagpuan sa al- Battani (ika-2 kalahati ng ika-9 - unang bahagi ng ika-10 siglo) at Abul-Vefa (ika-10 siglo), na gumagamit din ng sec a at cosec a... Alam na ni Aryabhata ang formula ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, pati na rin ang mga formula para sa sin at cos ng kalahating anggulo, sa tulong ng kung saan nagtayo ako ng mga talahanayan ng mga sine para sa mga anggulo sa pamamagitan ng 3°45"; batay sa mga kilalang halaga ng trigonometric function para sa pinakasimpleng argumento. Bhaskara (ika-12 siglo) ay nagbigay ng isang paraan para sa pagbuo ng mga talahanayan sa mga tuntunin ng 1 gamit ang mga formula ng karagdagan. Ang mga pormula para sa pag-convert ng kabuuan at pagkakaiba ng trigonometric function ng iba't ibang argumento sa isang produkto ay hinango nina Regiomontanus (ika-15 siglo) at J. Napier kaugnay ng pag-imbento ng huli ng logarithms (1614). Nagbigay si Regiomontan ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine sa mga tuntunin ng 1". Ang pagpapalawak ng mga function ng trigonometriko sa serye ng kapangyarihan ay nakuha ni I. Newton (1669). Ang teorya ng mga function ng trigonometriko ay dinala sa modernong anyo nito ni L. Euler ( 18th century). Siya ang nagmamay-ari ng kanilang kahulugan para sa tunay at kumplikadong mga argumento, tinatanggap na ngayon ang simbolismo, na nagtatatag ng mga koneksyon sa exponential function at ang orthogonality ng sistema ng mga sine at cosine.
Upang malutas ang ilang mga problema, ang isang talahanayan ng mga trigonometric na pagkakakilanlan ay magiging kapaki-pakinabang, na gagawing mas madali ang pagbabago ng mga function:Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan
Ang quotient ng paghahati ng sine ng isang anggulo alpha sa cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng tangent ng anggulong ito (Formula 1). Tingnan din ang patunay ng kawastuhan ng pagbabago ng pinakasimpleng pagkakakilanlan ng trigonometriko.
Ang quotient ng paghahati ng cosine ng isang anggulo alpha sa sine ng parehong anggulo ay katumbas ng cotangent ng parehong anggulo (Formula 2)
Ang secant ng isang anggulo ay katumbas ng isang hinati sa cosine ng parehong anggulo (Formula 3)
Ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng isa (Formula 4). tingnan din ang patunay ng kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine.
Ang kabuuan ng isa at ang tangent ng isang anggulo ay katumbas ng ratio ng isa sa parisukat ng cosine ng anggulong ito (Formula 5)
Ang isa kasama ang cotangent ng isang anggulo ay katumbas ng quotient ng isa na hinati ng sine square ng anggulong ito (Formula 6)
Ang produkto ng tangent at cotangent ng parehong anggulo ay katumbas ng isa (Formula 7).
Pag-convert ng mga negatibong anggulo ng trigonometriko function (kahit at kakaiba)
Upang maalis ang negatibong halaga ng sukat ng antas ng isang anggulo kapag kinakalkula ang sine, cosine o tangent, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na pagbabagong trigonometric (mga pagkakakilanlan) batay sa mga prinsipyo ng kahit o kakaibang mga function ng trigonometriko.
Tulad ng nakikita, cosine at ang secant ay kahit function, Ang sine, tangent at cotangent ay mga kakaibang function.
Ang sine ng isang negatibong anggulo ay katumbas ng negatibong halaga ng sine ng parehong positibong anggulo (minus sine alpha).
Ang cosine minus alpha ay magbibigay ng parehong halaga sa cosine ng alpha angle.
Ang tangent minus alpha ay katumbas ng minus tangent alpha.
Mga formula para sa pagbabawas ng mga dobleng anggulo (sine, cosine, tangent at cotangent ng dobleng anggulo)
Kung kailangan mong hatiin ang isang anggulo sa kalahati, o vice versa, lumipat mula sa isang dobleng anggulo patungo sa isang solong anggulo, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na trigonometric na pagkakakilanlan:
Dobleng Anggulo ng Conversion (sine ng isang dobleng anggulo, cosine ng isang dobleng anggulo at padaplis ng isang dobleng anggulo) sa solong nangyayari ayon sa mga sumusunod na patakaran:
Sine ng dobleng anggulo katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine at ang cosine ng isang anggulo
Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng parisukat ng cosine ng isang solong anggulo at ang parisukat ng sine ng anggulong ito
Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng dalawang beses ang parisukat ng cosine ng isang solong anggulo minus isa
Cosine ng dobleng anggulo katumbas ng isang minus double sine squared solong anggulo
Tangent ng dobleng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay dalawang beses ang tangent ng isang solong anggulo, at ang denominator ay katumbas ng isang minus ang tangent squared ng isang solong anggulo.
Cotangent ng dobleng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang parisukat ng cotangent ng isang solong anggulo minus isa, at ang denominator ay katumbas ng dalawang beses ang cotangent ng isang solong anggulo
Mga formula para sa unibersal na trigonometric substitution
Ang mga formula ng conversion sa ibaba ay maaaring maging kapaki-pakinabang kapag kailangan mong hatiin ang argumento ng isang trigonometric function (sin α, cos α, tan α) sa dalawa at bawasan ang expression sa halaga ng kalahating anggulo. Mula sa halaga ng α nakukuha natin ang α/2.Ang mga formula na ito ay tinatawag mga formula ng unibersal na trigonometric substitution. Ang kanilang halaga ay nakasalalay sa katotohanan na sa kanilang tulong ang isang trigonometriko expression ay nabawasan sa pagpapahayag ng tangent ng kalahating anggulo, anuman ang trigonometriko function (sin cos tan ctg) ay orihinal sa expression. Pagkatapos nito, ang equation na may tangent ng kalahating anggulo ay mas madaling malutas.
Mga pagkakakilanlan ng trigonometric para sa mga pagbabagong kalahating anggulo
Ang mga sumusunod ay ang mga formula para sa trigonometric conversion ng kalahating anggulo sa buong halaga nito.Ang halaga ng argumento ng trigonometric function na α/2 ay binabawasan sa halaga ng argumento ng trigonometric function na α.
Trigonometric formula para sa pagdaragdag ng mga anggulo
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
kasalanan (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
kasalanan (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangent at cotangent ng kabuuan ng mga anggulo Maaaring ma-convert ang alpha at beta gamit ang mga sumusunod na panuntunan para sa pag-convert ng mga trigonometric function:
Tangent ng kabuuan ng mga anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang kabuuan ng tangent ng una at padaplis ng pangalawang anggulo, at ang denominator ay isang minus ang produkto ng tangent ng unang anggulo at ang padaplis ng pangalawang anggulo.
Tangent ng pagkakaiba ng anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng tangent ng anggulo na binabawasan at ang padaplis ng anggulo na ibinabawas, at ang denominator ay isa kasama ang produkto ng mga tangent ng mga anggulong ito.
Cotangent ng kabuuan ng mga anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga cotangent ng mga anggulong ito kasama ang isa, at ang denominator ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng cotangent ng pangalawang anggulo at ng cotangent ng unang anggulo.
Cotangent ng pagkakaiba sa anggulo ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay produkto ng mga cotangent ng mga anggulong ito na minus isa, at ang denominator ay katumbas ng kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito.
Ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan na ito ay maginhawang gamitin kapag kailangan mong kalkulahin, halimbawa, ang tangent ng 105 degrees (tg 105). Kung iniisip mo ito bilang tg (45 + 60), maaari mong gamitin ang ibinigay na magkatulad na pagbabagong-anyo ng tangent ng kabuuan ng mga anggulo, at pagkatapos ay palitan lamang ang mga tabulated na halaga ng tangent 45 at tangent 60 degrees.
Mga formula para sa pag-convert ng kabuuan o pagkakaiba ng trigonometriko function
Ang mga ekspresyong kumakatawan sa kabuuan ng anyo na sin α + sin β ay maaaring mabago gamit ang mga sumusunod na formula:
Mga formula ng triple angle - kino-convert ang sin3α cos3α tan3α sa sinα cosα tanα
Minsan kinakailangan na baguhin ang triple na halaga ng isang anggulo upang ang argumento ng trigonometriko function ay maging anggulo α sa halip na 3α.Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang triple angle transformation formula (mga pagkakakilanlan):
Mga formula para sa pag-convert ng mga produkto ng trigonometriko function
Kung may pangangailangan na baguhin ang produkto ng mga sine ng iba't ibang anggulo, cosine ng iba't ibang anggulo, o kahit na ang produkto ng sine at cosine, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na trigonometric na pagkakakilanlan:
Sa kasong ito, ang produkto ng mga function ng sine, cosine o tangent ng iba't ibang anggulo ay mako-convert sa kabuuan o pagkakaiba.
Mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko
Kailangan mong gamitin ang talahanayan ng pagbabawas bilang mga sumusunod. Sa linya pipiliin namin ang function na interesado sa amin. Sa column ay may anggulo. Halimbawa, ang sine ng anggulo (α+90) sa intersection ng unang hilera at ang unang hanay, nalaman natin na sin (α+90) = cos α.
Mag-ehersisyo.
Hanapin ang halaga ng x sa .
Solusyon.
Ang paghahanap ng halaga ng argument ng function kung saan ito ay katumbas ng anumang halaga ay nangangahulugan ng pagtukoy kung aling mga argumento ang halaga ng sine ay magiging eksakto tulad ng ipinahiwatig sa kundisyon.
Sa kasong ito, kailangan nating malaman kung anong mga halaga ang magiging halaga ng sine sa 1/2. Magagawa ito sa maraming paraan.
Halimbawa, gamitin ang , kung saan matutukoy kung anong mga halaga ng x ang function ng sine ay magiging katumbas ng 1/2.
Ang isa pang paraan ay ang paggamit. Ipaalala ko sa iyo na ang mga halaga ng mga sine ay nasa Oy axis.
Ang pinakakaraniwang paraan ay ang paggamit, lalo na kapag nakikitungo sa mga halaga na pamantayan para sa function na ito, tulad ng 1/2.
Sa lahat ng mga kaso, hindi dapat kalimutan ng isa ang tungkol sa isa sa pinakamahalagang katangian ng sine - ang panahon nito.
Hanapin natin ang halagang 1/2 para sa sine sa talahanayan at tingnan kung anong mga argumento ang tumutugma dito. Ang mga argumento na interesado kami ay Pi / 6 at 5Pi / 6.
Isulat natin ang lahat ng mga ugat na nagbibigay-kasiyahan sa ibinigay na equation. Upang gawin ito, isinulat namin ang hindi kilalang argumento x na interesado sa amin at isa sa mga halaga ng argumento na nakuha mula sa talahanayan, iyon ay, Pi / 6. Isinulat namin ito, na isinasaalang-alang ang panahon ng sine. , lahat ng mga halaga ng argumento:
Kunin natin ang pangalawang halaga at sundin ang parehong mga hakbang tulad ng sa nakaraang kaso:
Ang kumpletong solusyon sa orihinal na equation ay: 
At 
q maaaring kunin ang halaga ng anumang integer.
Ang Sine ay isa sa mga pangunahing trigonometric function, ang paggamit nito ay hindi limitado sa geometry lamang. Ang mga talahanayan para sa pagkalkula ng mga function ng trigonometriko, tulad ng mga calculator ng engineering, ay hindi palaging nasa kamay, at kung minsan ay kailangan ang pagkalkula ng sine upang malutas ang iba't ibang mga problema. Sa pangkalahatan, ang pagkalkula ng sine ay makakatulong sa pagsasama-sama ng mga kasanayan sa pagguhit at kaalaman sa mga trigonometrikong pagkakakilanlan.
Mga larong may ruler at lapis
Isang simpleng gawain: kung paano hanapin ang sine ng isang anggulo na iginuhit sa papel? Upang malutas, kakailanganin mo ng isang regular na ruler, isang tatsulok (o compass) at isang lapis. Ang pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang sine ng isang anggulo ay sa pamamagitan ng paghahati sa malayong binti ng isang tatsulok na may tamang anggulo sa mahabang gilid - ang hypotenuse. Kaya, kailangan mo munang kumpletuhin ang talamak na anggulo sa hugis ng isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng isang linya na patayo sa isa sa mga sinag sa isang di-makatwirang distansya mula sa tuktok ng anggulo. Kakailanganin nating mapanatili ang isang anggulo na eksaktong 90°, kung saan kailangan natin ng isang clerical triangle.
Ang paggamit ng compass ay medyo mas tumpak, ngunit tatagal ng mas maraming oras. Sa isa sa mga sinag kailangan mong markahan ang 2 puntos sa isang tiyak na distansya, magtakda ng radius sa compass na humigit-kumulang katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto, at gumuhit ng mga kalahating bilog na may mga sentro sa mga puntong ito hanggang sa makuha ang mga intersection ng mga linyang ito. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga intersection point ng aming mga bilog sa isa't isa, nakakakuha kami ng isang mahigpit na patayo sa sinag ng aming anggulo; ang natitira na lang ay palawakin ang linya hanggang sa mag-intersect ito sa isa pang sinag.
Sa resultang tatsulok, kailangan mong gumamit ng ruler upang sukatin ang gilid sa tapat ng sulok at ang mahabang bahagi sa isa sa mga ray. Ang ratio ng unang dimensyon sa pangalawa ay ang nais na halaga ng sine ng matinding anggulo.
Hanapin ang sine para sa isang anggulo na higit sa 90°
Para sa isang mahina anggulo ang gawain ay hindi mas mahirap. Kailangan nating gumuhit ng ray mula sa vertex sa tapat na direksyon gamit ang isang ruler upang bumuo ng isang tuwid na linya na may isa sa mga sinag ng anggulo na interesado tayo. Ang magreresultang talamak na anggulo ay dapat tratuhin tulad ng inilarawan sa itaas; ang mga sine ng mga katabing anggulo na magkakasamang bumubuo ng reverse angle na 180° ay pantay.
Pagkalkula ng sine gamit ang iba pang mga function ng trigonometriko
Gayundin, ang pagkalkula ng sine ay posible kung ang mga halaga ng iba pang mga trigonometric function ng anggulo o hindi bababa sa mga haba ng mga gilid ng tatsulok ay kilala. Tutulungan tayo ng mga trigonometric na pagkakakilanlan dito. Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang cosine ng isang anggulo? Ang unang trigonometric identity, batay sa Pythagorean theorem, ay nagsasaad na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng parehong anggulo ay katumbas ng isa.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang tangent ng isang anggulo? Ang tangent ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa malayong bahagi sa malapit na bahagi o paghahati ng sine sa cosine. Kaya, ang sine ay magiging produkto ng cosine at tangent, at ang parisukat ng sine ay magiging parisukat ng produktong ito. Pinapalitan namin ang squared cosine na may pagkakaiba sa pagitan ng unity at square sine ayon sa unang trigonometric identity at, sa pamamagitan ng mga simpleng manipulasyon, binabawasan namin ang equation sa pagkalkula ng square sine sa pamamagitan ng tangent; nang naaayon, upang kalkulahin ang sine, ikaw ay kailangang kunin ang ugat ng resultang nakuha.
Paano mahahanap ang sine na may kilalang cotangent ng isang anggulo? Ang halaga ng cotangent ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng paghati sa haba ng binti na pinakamalapit sa anggulo sa haba ng malayo, pati na rin sa paghahati ng cosine sa sine, iyon ay, ang cotangent ay isang function na kabaligtaran sa tangent relative. sa numero 1. Upang kalkulahin ang sine, maaari mong kalkulahin ang tangent gamit ang formula tg α = 1 / ctg α at gamitin ang formula sa pangalawang opsyon. Maaari ka ring makakuha ng direktang formula sa pamamagitan ng pagkakatulad sa tangent, na magiging ganito ang hitsura.
Paano mahanap ang sine ng tatlong panig ng isang tatsulok
Mayroong isang pormula para sa paghahanap ng haba ng hindi kilalang panig ng anumang tatsulok, hindi lamang isang tamang tatsulok, mula sa dalawang kilalang panig gamit ang trigonometric function ng cosine ng kabaligtaran na anggulo. Parang ganito siya.
Trigonometry ay isang sangay ng matematikal na agham na nag-aaral ng trigonometriko function at ang kanilang paggamit sa geometry. Ang pag-unlad ng trigonometrya ay nagsimula sa sinaunang Greece. Noong Middle Ages, ang mga siyentipiko mula sa Gitnang Silangan at India ay gumawa ng mahahalagang kontribusyon sa pag-unlad ng agham na ito.
Ang artikulong ito ay nakatuon sa mga pangunahing konsepto at kahulugan ng trigonometrya. Tinatalakay nito ang mga kahulugan ng mga pangunahing trigonometric function: sine, cosine, tangent at cotangent. Ang kanilang kahulugan ay ipinaliwanag at inilalarawan sa konteksto ng geometry.
Sa una, ang mga kahulugan ng trigonometric function na ang argumento ay isang anggulo ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga gilid ng isang right triangle.
Mga kahulugan ng trigonometriko function
Ang sine ng isang anggulo (sin α) ay ang ratio ng binti sa tapat ng anggulong ito sa hypotenuse.
Cosine ng anggulo (cos α) - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Angle tangent (t g α) - ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.
Angle cotangent (c t g α) - ang ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.
Ang mga kahulugan na ito ay ibinigay para sa matinding anggulo ng isang tamang tatsulok!
Magbigay tayo ng isang ilustrasyon.
Sa tatsulok na ABC na may tamang anggulo C, ang sine ng anggulo A ay katumbas ng ratio ng leg BC sa hypotenuse AB.
Ang mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga halaga ng mga function na ito mula sa mga kilalang haba ng mga gilid ng tatsulok.
Mahalagang tandaan!
Ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine ay mula -1 hanggang 1. Sa madaling salita, ang sine at cosine ay kumukuha ng mga halaga mula -1 hanggang 1. Ang hanay ng mga halaga ng tangent at cotangent ay ang buong linya ng numero, ibig sabihin, ang mga function na ito ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga.
Ang mga kahulugang ibinigay sa itaas ay nalalapat sa mga talamak na anggulo. Sa trigonometrya, ipinakilala ang konsepto ng isang anggulo ng pag-ikot, ang halaga nito, hindi katulad ng isang talamak na anggulo, ay hindi limitado sa 0 hanggang 90 degrees. Ang anggulo ng pag-ikot sa mga degree o radian ay ipinahayag ng anumang tunay na numero mula - ∞ hanggang + ∞ .
Sa kontekstong ito, maaari nating tukuyin ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng arbitrary na magnitude. Isipin natin ang isang bilog na yunit na may sentro nito sa pinanggalingan ng Cartesian coordinate system.
Ang paunang puntong A na may mga coordinate (1, 0) ay umiikot sa gitna ng bilog ng yunit sa isang tiyak na anggulo α at papunta sa puntong A 1. Ang kahulugan ay ibinigay sa mga tuntunin ng mga coordinate ng point A 1 (x, y).
Sine (sin) ng anggulo ng pag-ikot
Ang sine ng rotation angle α ay ang ordinate ng point A 1 (x, y). kasalanan α = y
Cosine (cos) ng anggulo ng pag-ikot
Ang cosine ng anggulo ng pag-ikot α ay ang abscissa ng punto A 1 (x, y). cos α = x
Tangent (tg) ng anggulo ng pag-ikot
Ang tangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng ordinate ng point A 1 (x, y) sa abscissa nito. t g α = y x
Cotangent (ctg) ng anggulo ng pag-ikot
Ang cotangent ng anggulo ng pag-ikot α ay ang ratio ng abscissa ng punto A 1 (x, y) sa ordinate nito. c t g α = x y
Ang sine at cosine ay tinukoy para sa anumang anggulo ng pag-ikot. Ito ay lohikal, dahil ang abscissa at ordinate ng isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay maaaring matukoy sa anumang anggulo. Iba ang sitwasyon sa tangent at cotangent. Ang tangent ay hindi natukoy kapag ang isang punto pagkatapos ng pag-ikot ay napupunta sa isang puntong may zero abscissa (0, 1) at (0, - 1). Sa ganitong mga kaso, ang expression para sa tangent t g α = y x ay walang katuturan, dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang sitwasyon ay katulad sa cotangent. Ang pagkakaiba ay ang cotangent ay hindi tinukoy sa mga kaso kung saan ang ordinate ng isang punto ay napupunta sa zero.
Mahalagang tandaan!
Ang sinus at cosine ay tinukoy para sa anumang mga anggulo α.
Tinutukoy ang tangent para sa lahat ng anggulo maliban sa α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Tinutukoy ang cotangent para sa lahat ng mga anggulo maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, huwag sabihin ang "sine ng anggulo ng pag-ikot α". Ang mga salitang "anggulo ng pag-ikot" ay tinanggal lamang, na nagpapahiwatig na malinaw na sa konteksto ang tinatalakay.
Numero
Paano ang kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero, at hindi ang anggulo ng pag-ikot?
Sine, cosine, tangent, cotangent ng isang numero
Sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero t ay isang numero na ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng sine, cosine, tangent at cotangent in t radian.
Halimbawa, ang sine ng numerong 10 π ay katumbas ng sine ng anggulo ng pag-ikot ng 10 π rad.
May isa pang diskarte sa pagtukoy ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang numero. Tingnan natin ito nang maigi.
Anumang tunay na numero t ang isang punto sa bilog ng yunit ay nauugnay sa sentro sa pinagmulan ng hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga coordinate ng puntong ito.
Ang panimulang punto sa bilog ay punto A na may mga coordinate (1, 0).
Positibong numero t
Negatibong numero t tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto kung ito ay gumagalaw sa bilog na pakaliwa at dadaan sa landas t.
Ngayon na ang koneksyon sa pagitan ng isang numero at isang punto sa isang bilog ay naitatag na, nagpapatuloy tayo sa kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent.
Sine (kasalanan) ng t
Sine ng isang numero t- ordinate ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. kasalanan t = y
Cosine (cos) ng t
Cosine ng isang numero t- abscissa ng punto ng bilog na yunit na naaayon sa numero t. cos t = x
Padaplis (tg) ng t
Tangent ng isang numero t- ang ratio ng ordinate sa abscissa ng isang punto sa bilog ng yunit na naaayon sa numero t. t g t = y x = sin t cos t
Ang pinakabagong mga kahulugan ay alinsunod sa at hindi sumasalungat sa kahulugan na ibinigay sa simula ng talatang ito. Ituro ang bilog na katumbas ng numero t, ay tumutugma sa punto kung saan pupunta ang panimulang punto pagkatapos lumiko sa isang anggulo t radian.
Trigonometric function ng angular at numeric na argumento
Ang bawat halaga ng anggulo α ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine at cosine ng anggulong ito. Tulad ng lahat ng mga anggulo α maliban sa α = 90 ° + 180 ° k, ang k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng tangent. Ang Cotangent, gaya ng nakasaad sa itaas, ay tinukoy para sa lahat ng α maliban sa α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Masasabi nating ang sin α, cos α, t g α, c t g α ay mga function ng anggulo alpha, o mga function ng angular argument.
Katulad nito, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga function ng isang numerical argument. Bawat totoong numero t tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine o cosine ng isang numero t. Lahat ng numero maliban sa π 2 + π · k, k ∈ Z, ay tumutugma sa isang padaplis na halaga. Ang Cotangent, katulad, ay tinukoy para sa lahat ng mga numero maliban sa π · k, k ∈ Z.
Mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya
Sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing trigonometric function.
Karaniwang malinaw sa konteksto kung aling argumento ng trigonometriko function (angular argumento o numeric argument) ang ating pinag-uusapan.
Bumalik tayo sa mga kahulugang ibinigay sa pinakasimula at ang anggulo ng alpha, na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees. Ang mga trigonometric na kahulugan ng sine, cosine, tangent, at cotangent ay ganap na pare-pareho sa mga geometric na kahulugan na ibinigay ng mga aspect ratio ng isang right triangle. Ipakita natin.
Kumuha tayo ng unit circle na may sentro sa isang rectangular Cartesian coordinate system. Iikot natin ang panimulang punto A (1, 0) sa isang anggulo na hanggang 90 degrees at gumuhit ng patayo sa abscissa axis mula sa nagresultang punto A 1 (x, y). Sa nagresultang tamang tatsulok, ang anggulo A 1 O H ay katumbas ng anggulo ng pag-ikot α, ang haba ng binti O H ay katumbas ng abscissa ng punto A 1 (x, y). Ang haba ng binti sa tapat ng anggulo ay katumbas ng ordinate ng point A 1 (x, y), at ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng isa, dahil ito ang radius ng unit circle.
Alinsunod sa kahulugan mula sa geometry, ang sine ng anggulo α ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Nangangahulugan ito na ang pagtukoy sa sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok sa pamamagitan ng aspect ratio ay katumbas ng pagtukoy sa sine ng anggulo ng pag-ikot α, na may alpha na nakahiga sa hanay mula 0 hanggang 90 degrees.
Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga kahulugan ay maaaring ipakita para sa cosine, tangent at cotangent.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
