Kinakalkula namin ang kabuuan ng mga anggulo at ang lugar ng isang paralelogram: mga katangian at palatandaan. Paano mahahanap ang lugar ng isang paralelogram? Paano makalkula ang lugar ng isang paralelogram

Geometric na lugar- isang numerical na katangian ng isang geometric na figure na nagpapakita ng laki ng figure na ito (bahagi ng ibabaw na bounded ng isang closed contour ng figure na ito). Ang laki ng lugar ay ipinahayag ng bilang ng mga parisukat na yunit na nakapaloob dito.

Mga formula ng lugar ng tatsulok

1. Triangle area formula para sa gilid at taas
   Lugar ng isang tatsulok katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng isang gilid ng isang tatsulok at ang haba ng altitude na iginuhit sa panig na ito
   
2. Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na ibinigay ng tatlong panig at ang radius ng circumscribed na bilog
   
3. Ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na ibinigay ng tatlong panig at ang radius ng isang nakasulat na bilog
   Lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng kalahating perimeter ng tatsulok at ang radius ng inscribed na bilog.
   
kung saan ang S ay ang lugar ng tatsulok,
- ang haba ng mga gilid ng tatsulok,
- ang taas ng tatsulok,
- ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at,
- radius ng inscribed na bilog,
R - radius ng circumscribed na bilog,

Mga formula ng square area

1. Ang formula para sa lugar ng isang parisukat na ibinigay ang haba ng isang gilid
   parisukat na lugar ay katumbas ng parisukat ng haba ng gilid nito.
2. Ang formula para sa lugar ng isang parisukat na ibinigay ang haba ng dayagonal
   parisukat na lugar katumbas ng kalahati ng parisukat ng haba ng dayagonal nito.
   

   S=	1	2
   	2

kung saan ang S ay ang lugar ng parisukat,
ay ang haba ng gilid ng parisukat,
ay ang haba ng dayagonal ng parisukat.

Pormula ng parihaba na lugar

Parihaba na lugar ay katumbas ng produkto ng mga haba ng dalawang magkatabing panig nito

kung saan ang S ay ang lugar ng parihaba,
ay ang mga haba ng mga gilid ng parihaba.

Mga formula para sa lugar ng isang paralelogram

1. Parallelogram area formula para sa haba at taas ng gilid
   Lugar ng paralelogram
2. Ang formula para sa lugar ng isang paralelogram na ibinigay ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila
   Lugar ng paralelogram ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga panig nito na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan nila.
   

   a b sinα

kung saan ang S ay ang lugar ng paralelogram,
ay ang mga haba ng mga gilid ng paralelogram,
ay ang taas ng paralelogram,
ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid ng paralelogram.

Mga formula para sa lugar ng isang rhombus

1. Rhombus area formula na binibigyan ng haba at taas ng gilid
   Lugar ng rhombus ay katumbas ng produkto ng haba ng gilid nito at ang haba ng taas na ibinaba sa panig na ito.
2. Ang formula para sa lugar ng isang rhombus na ibinigay ang haba ng gilid at anggulo
   Lugar ng rhombus ay katumbas ng produkto ng parisukat ng haba ng gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga gilid ng rhombus.
3. Ang formula para sa lugar ng isang rhombus mula sa mga haba ng mga diagonal nito
   Lugar ng rhombus ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng mga dayagonal nito.
kung saan ang S ay ang lugar ng rhombus,
- haba ng gilid ng rhombus,
- ang haba ng taas ng rhombus,
- ang anggulo sa pagitan ng mga gilid ng rhombus,
1, 2 - ang haba ng mga diagonal.

Mga formula ng lugar ng trapezium

1. Ang formula ng Heron para sa isang trapezoid

   Kung saan ang S ay ang lugar ng trapezoid,
   - ang haba ng mga base ng trapezoid,
   - ang haba ng mga gilid ng trapezoid,
   

Tulad ng sa Euclidean geometry, ang punto at ang tuwid na linya ay ang mga pangunahing elemento ng teorya ng mga eroplano, kaya ang parallelogram ay isa sa mga pangunahing figure ng convex quadrilaterals. Mula dito, tulad ng mga thread mula sa isang bola, dumaloy ang mga konsepto ng "rectangle", "square", "rhombus" at iba pang mga geometric na dami.

Sa pakikipag-ugnayan sa

Kahulugan ng paralelogram

matambok may apat na gilid, na binubuo ng mga segment, ang bawat pares nito ay parallel, ay kilala sa geometry bilang parallelogram.

Ang hitsura ng isang klasikong paralelogram ay isang quadrilateral ABCD. Ang mga gilid ay tinatawag na mga base (AB, BC, CD at AD), ang patayo na iginuhit mula sa anumang vertex hanggang sa tapat na bahagi ng vertex na ito ay tinatawag na taas (BE at BF), ang mga linyang AC at BD ay ang mga dayagonal.

Pansin! Ang parisukat, rhombus at parihaba ay mga espesyal na kaso ng paralelogram.

Mga gilid at anggulo: mga tampok ng ratio

Mga pangunahing katangian, sa pangkalahatan, paunang natukoy ng pagtatalaga mismo, sila ay pinatunayan ng teorama. Ang mga katangiang ito ay ang mga sumusunod:

1. Ang mga gilid na magkasalungat ay magkapareho sa mga pares.
2. Ang mga anggulo na magkasalungat sa isa't isa ay pantay sa pares.

Patunay: isaalang-alang ang ∆ABC at ∆ADC, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng quadrilateral ABCD sa linyang AC. ∠BCA=∠CAD at ∠BAC=∠ACD, dahil karaniwan sa kanila ang AC (mga patayong anggulo para sa BC||AD at AB||CD, ayon sa pagkakabanggit). Ito ay sumusunod mula dito: ∆ABC = ∆ADC (ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Ang mga segment na AB at BC sa ∆ABC ay tumutugma nang pares sa mga linyang CD at AD sa ∆ADC, na nangangahulugang magkapareho sila: AB = CD, BC = AD. Kaya, ang ∠B ay tumutugma sa ∠D at sila ay pantay. Dahil ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, na magkapareho din sa mga pares, pagkatapos ay ∠A = ∠C. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mga katangian ng mga diagonal ng figure

Pangunahing tampok ang mga parallelogram na linyang ito: hinahati sila ng punto ng intersection.

Patunay: hayaan ang m. E ang intersection point ng diagonal AC at BD ng figure ABCD. Bumubuo sila ng dalawang magkatapat na tatsulok - ∆ABE at ∆CDE.

AB=CD dahil magkatapat sila. Ayon sa mga linya at secants, ∠ABE = ∠CDE at ∠BAE = ∠DCE.

Ayon sa pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay, ∆ABE = ∆CDE. Nangangahulugan ito na ang mga elementong ∆ABE at ∆CDE ay: AE = CE, BE = DE at, bukod dito, ang mga ito ay katapat na bahagi ng AC at BD. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mga tampok ng katabing sulok

Sa katabing panig, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°, dahil nakahiga sila sa parehong gilid ng magkatulad na mga linya at ang secant. Para sa quadrilateral ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Mga katangian ng bisector:

1. , bumaba sa isang gilid, ay patayo;
2. ang magkasalungat na mga vertices ay may parallel bisectors;
3. ang tatsulok na nakuha sa pamamagitan ng pagguhit ng bisector ay magiging isosceles.

Pagtukoy sa mga katangian ng isang paralelogram sa pamamagitan ng theorem

Ang mga tampok ng figure na ito ay sumusunod mula sa pangunahing teorama nito, na nagbabasa ng mga sumusunod: quadrilateral ay itinuturing na paralelogram sa kaganapan na ang mga diagonal nito ay magsalubong, at ang puntong ito ay naghahati sa kanila sa pantay na mga segment.

Patunay: Hayaang mag-intersect ang mga linyang AC at BD ng quadrilateral ABCD sa t. E. Dahil ∠AED = ∠BEC, at AE+CE=AC BE+DE=BD, pagkatapos ay ∆AED = ∆BEC (sa pamamagitan ng unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Ibig sabihin, ∠EAD = ∠ECB. Sila rin ang panloob na mga anggulo ng pagtawid ng secant AC para sa mga linyang AD at BC. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan ng paralelismo - AD || BC. Ang isang katulad na katangian ng mga linya BC at CD ay hinango din. Ang teorama ay napatunayan.

Pagkalkula ng lugar ng isang figure

Ang lugar ng figure na ito matatagpuan sa maraming paraan isa sa pinakasimpleng: pagpaparami ng taas at base kung saan ito iginuhit.

Patunay: Gumuhit ng mga perpendicular BE at CF mula sa mga vertice B at C. Ang ∆ABE at ∆DCF ay pantay dahil AB = CD at BE = CF. Ang ABCD ay katumbas ng rectangle EBCF, dahil binubuo rin sila ng mga proporsyonal na figure: S ABE at S EBCD, pati na rin ang S DCF at S EBCD. Ito ay sumusunod na ang lugar ng geometric figure na ito ay kapareho ng sa isang parihaba:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Upang matukoy ang pangkalahatang formula para sa lugar ng isang paralelogram, tinutukoy namin ang taas bilang hb, at sa gilid b. Ayon sa pagkakabanggit:

Iba pang mga paraan upang mahanap ang lugar

Mga kalkulasyon ng lugar sa pamamagitan ng mga gilid ng paralelogram at ang anggulo, na kanilang nabuo, ay ang pangalawang kilalang paraan.

,

Spr-ma - lugar;

a at b ang mga gilid nito

α - anggulo sa pagitan ng mga segment a at b.

Ang pamamaraang ito ay halos batay sa una, ngunit kung sakaling hindi ito kilala. palaging pinuputol ang isang tamang tatsulok na ang mga parameter ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga trigonometric na pagkakakilanlan, ibig sabihin. Ang pagbabago ng ratio, nakukuha namin . Sa equation ng unang paraan, pinapalitan namin ang taas ng produktong ito at kumuha ng patunay ng bisa ng formula na ito.

Sa pamamagitan ng mga diagonal ng isang paralelogram at isang anggulo, na nilikha nila kapag nagsalubong sila, maaari mo ring mahanap ang lugar.

Patunay: Ang AC at BD na nagsasalubong ay bumubuo ng apat na tatsulok: ABE, BEC, CDE at AED. Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng lugar ng quadrilateral na ito.

Ang lugar ng bawat isa sa mga ∆ ay matatagpuan mula sa expression , kung saan a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dahil , pagkatapos ay isang solong halaga ng sine ang ginagamit sa mga kalkulasyon. Yan ay . Dahil ang AE+CE=AC= d 1 at BE+DE=BD= d 2 , ang formula ng lugar ay bumababa sa:

.

Application sa vector algebra

Ang mga tampok ng mga bumubuo ng bahagi ng quadrangle na ito ay natagpuan ang aplikasyon sa vector algebra, katulad ng: ang pagdaragdag ng dalawang vectors. Ang paralelogram na tuntunin ay nagsasaad na kung bibigyan ng mga vectorsAtHindiay collinear, kung gayon ang kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng dayagonal ng figure na ito, ang mga base nito ay tumutugma sa mga vectors na ito.

Patunay: mula sa isang arbitraryong piniling simula - iyon ay, tungkol sa. - bumuo kami ng mga vectors at . Susunod, bumuo kami ng parallelogram OASV, kung saan ang mga segment na OA at OB ay mga gilid. Kaya, ang OS ay namamalagi sa vector o kabuuan.

Mga formula para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang paralelogram

Ang mga pagkakakilanlan ay ibinibigay sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

1. a at b, α - mga gilid at ang anggulo sa pagitan nila;
2. d 1 at d 2 , γ - diagonal at sa punto ng kanilang intersection;
3. h a at h b - mga taas na ibinaba sa mga gilid a at b;

Parameter	Formula
Paghahanap ng mga panig
kasama ang mga diagonal at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila
pahilis at patagilid
sa pamamagitan ng taas at tapat ng vertex
Paghahanap ng haba ng mga diagonal
sa mga gilid at ang laki ng tuktok sa pagitan nila
kasama ang mga gilid at isa sa mga diagonal	 Konklusyon Ang parallelogram, bilang isa sa mga pangunahing figure ng geometry, ay ginagamit sa buhay, halimbawa, sa konstruksyon kapag kinakalkula ang lugar ng site o iba pang mga sukat. Samakatuwid, ang kaalaman tungkol sa mga natatanging tampok at pamamaraan para sa pagkalkula ng iba't ibang mga parameter nito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa anumang oras sa buhay.

Bago natin matutunan kung paano hanapin ang lugar ng parallelogram, kailangan nating tandaan kung ano ang parallelogram at kung ano ang tinatawag na taas nito. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkapares na magkatulad (nakahiga sa magkatulad na linya). Ang patayo na iginuhit mula sa isang di-makatwirang punto sa kabilang panig sa linya na naglalaman ng panig na ito ay tinatawag na taas ng paralelogram.

Ang parisukat, parihaba at rhombus ay mga espesyal na kaso ng paralelogram.

Ang lugar ng isang paralelogram ay tinutukoy bilang (S).

Mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang paralelogram

S=a*h, kung saan ang a ay ang base, ang h ay ang taas na iginuhit sa base.

S=a*b*sinα, kung saan ang a at b ang mga base, at ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga base a at b.

S \u003d p * r, kung saan ang p ay ang semi-perimeter, ang r ay ang radius ng bilog na nakasulat sa parallelogram.

Ang lugar ng parallelogram na nabuo ng mga vectors a at b ay katumbas ng modulus ng produkto ng ibinigay na mga vectors, lalo na:

Isaalang-alang ang halimbawa No. 1: Ang isang parallelogram ay ibinigay, ang gilid nito ay 7 cm, at ang taas ay 3 cm. Paano mahanap ang lugar ng parallelogram, kailangan namin ng isang formula para sa paglutas.

Kaya S = 7x3. S=21. Sagot: 21 cm 2.

Isaalang-alang ang halimbawa No. 2: Ang mga base ay 6 at 7 cm, at ang anggulo sa pagitan ng mga base ay 60 degrees. Paano mahahanap ang lugar ng isang paralelogram? Formula na ginamit upang malutas:

Kaya, una naming mahanap ang sine ng anggulo. Sine 60 \u003d 0.5, ayon sa pagkakabanggit S \u003d 6 * 7 * 0.5 \u003d 21 Sagot: 21 cm 2.

Umaasa ako na ang mga halimbawang ito ay makakatulong sa iyo sa paglutas ng mga problema. At tandaan, ang pangunahing bagay ay kaalaman sa mga formula at pagkaasikaso

Ano ang paralelogram? Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkaparehas na magkatulad.

1. Ang lugar ng isang paralelogram ay kinakalkula ng formula:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

saan:
a ay ang gilid ng paralelogram,
h a ay ang taas na iginuhit sa panig na ito.

2. Kung ang mga haba ng dalawang magkatabing gilid ng parallelogram at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, kung gayon ang lugar ng parallelogram ay kinakalkula ng formula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Kung ang mga diagonal ng parallelogram ay ibinigay at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, kung gayon ang lugar ng parallelogram ay kinakalkula ng formula:

\[ \MALAKING S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Mga katangian ng paralelogram

Sa isang paralelogram, ang magkabilang panig ay pantay: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Sa isang paralelogram, ang magkasalungat na mga anggulo ay: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Ang mga diagonal ng parallelogram sa punto ng intersection ay hinati \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Ang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isang panig ay 180 o:

\(\anggulo A + \anggulo B = 180^(o) \), \(\anggulo B + \anggulo C = 180^(o)\)

\(\anggulo C + \anggulo D = 180^(o) \), \(\anggulo D + \anggulo A = 180^(o)\)

Ang mga diagonal at gilid ng isang paralelogram ay nauugnay sa sumusunod na relasyon:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Sa isang paralelogram, ang anggulo sa pagitan ng mga taas ay katumbas ng matinding anggulo nito: \(\angle K B H =\angle A \) .

Ang mga bisector ng mga anggulo na katabi ng isang gilid ng paralelogram ay magkaparehong patayo.

Ang mga bisector ng dalawang magkasalungat na anggulo ng isang paralelogram ay parallel.

Mga tampok ng paralelogram

Ang quadrilateral ay isang paralelogram kung:

\(AB = CD \) at \(AB || CD \)

\(AB = CD \) at \(BC = AD \)

\(AO = OC \) at \(BO = OD \)

\(\angle A = \angle C \) at \(\angle B = \angle D \)

Naka-disable ang Javascript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito, bilang karagdagan sa pangunahing katangian paralelogram at ang kaukulang mga formula, maaari mong tandaan at ilapat ang mga sumusunod:

1. Ang bisector ng panloob na anggulo ng isang paralelogram ay pinuputol ang isang isosceles triangle mula dito
2. Ang mga bisector ng mga panloob na anggulo na katabi ng isa sa mga gilid ng isang paralelogram ay magkaparehong patayo
3. Mga bisector na nagmumula sa magkasalungat na panloob na mga anggulo ng parallelogram, parallel sa isa't isa o nakahiga sa isang tuwid na linya
4. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga panig nito
5. Ang lugar ng isang paralelogram ay kalahati ng produkto ng mga diagonal na beses ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

Isaalang-alang natin ang mga gawain sa solusyon kung saan ginagamit ang mga katangiang ito.

Gawain 1.

Ang bisector ng anggulo C ng parallelogram ABCD ay nag-intersect sa side AD sa point M at ang pagpapatuloy ng side AB na lampas sa point A sa point E. Hanapin ang perimeter ng parallelogram kung AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Solusyon.

1. Triangle CMD isosceles. (Property 1). Samakatuwid, CD = MD = 3 cm.

2. Ang Triangle EAM ay isosceles.
Samakatuwid, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimeter ABCD = 20 cm.

Sagot. 20 cm

Gawain 2.

Ang mga dayagonal ay iginuhit sa isang matambok na may apat na gilid na ABCD. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles ABD, ACD, BCD ay pantay. Patunayan na ang ibinigay na quadrilateral ay isang paralelogram.

Solusyon.

1. Hayaan ang BE ang taas ng tatsulok na ABD, CF ang taas ng tatsulok na ACD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base AD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. BE = CF.

2. BE, CF ay patayo sa AD. Ang mga punto B at C ay matatagpuan sa parehong gilid ng linya AD. BE = CF. Samakatuwid, ang linyang BC || AD. (*)

3. Hayaang AL ang altitude ng triangle ACD, BK ang altitude ng triangle BCD. Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang mga lugar ng mga tatsulok ay pantay at mayroon silang isang karaniwang base CD, kung gayon ang taas ng mga tatsulok na ito ay pantay. AL = BK.

4. Ang AL at BK ay patayo sa CD. Ang mga puntos B at A ay matatagpuan sa parehong gilid ng tuwid na linya ng CD. AL = BK. Samakatuwid, ang linyang AB || CD (**)

5. Ang mga kondisyon (*), (**) ay nagpapahiwatig na ang ABCD ay isang paralelogram.

Sagot. Napatunayan. Ang ABCD ay isang paralelogram.

Gawain 3.

Sa mga gilid ng BC at CD ng parallelogram ABCD, ang mga puntong M at H ay minarkahan, ayon sa pagkakabanggit, upang ang mga segment na BM at HD ay magsalubong sa puntong O;<ВМD = 95 о,

Solusyon.

1. Sa tatsulok na DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Sa isang kanang tatsulok na DHC
(

Pagkatapos<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Dahil sa isang kanang tatsulok, ang binti na nasa tapat ng isang anggulo ng 30 o ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse).

Ngunit ang CD = AB. Pagkatapos AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Sagot: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Gawain 4.

Ang isa sa mga diagonal ng isang parallelogram na may haba na 4√6 ay gumagawa ng isang anggulo na 60° sa base, at ang pangalawang diagonal ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may parehong base. Hanapin ang pangalawang dayagonal.

Solusyon.

1. AO = 2√6.

2. Ilapat ang sine theorem sa tatsulok na AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Sagot: 12.

Gawain 5.

Para sa isang paralelogram na may mga gilid na 5√2 at 7√2, ang mas maliit na anggulo sa pagitan ng mga diagonal ay katumbas ng mas maliit na anggulo ng paralelogram. Hanapin ang kabuuan ng mga haba ng mga diagonal.

Solusyon.

Hayaang ang d 1, d 2 ay ang mga diagonal ng parallelogram, at ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal at ang mas maliit na anggulo ng parallelogram ay φ.

1. Magbilang tayo ng dalawang magkaibang
paraan ng lugar nito.

S ABCD \u003d AB AD kasalanan A \u003d 5√2 7√2 kasalanan f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD kasalanan AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 kasalanan f.

Nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f o

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Gamit ang ratio sa pagitan ng mga gilid at diagonal ng paralelogram, isinulat namin ang pagkakapantay-pantay

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Gumawa tayo ng sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

I-multiply ang pangalawang equation ng system sa pamamagitan ng 2 at idagdag ito sa una.

Nakukuha natin ang (d 1 + d 2) 2 = 576. Samakatuwid Id 1 + d 2 I = 24.

Dahil ang d 1, ang d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng parallelogram, kung gayon ang d 1 + d 2 = 24.

Sagot: 24.

Gawain 6.

Ang mga gilid ng paralelogram ay 4 at 6. Ang matinding anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ay 45 o. Hanapin ang lugar ng paralelogram.

Solusyon.

1. Mula sa tatsulok na AOB, gamit ang cosine theorem, isinusulat namin ang relasyon sa pagitan ng gilid ng parallelogram at ng mga diagonal.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Katulad nito, isinusulat namin ang kaugnayan para sa tatsulok na AOD.

Isinasaalang-alang namin iyon<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Nakukuha natin ang equation d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. May sistema tayo
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Ang pagbabawas ng una mula sa pangalawang equation, makakakuha tayo ng 2d 1 d 2 √2 = 80 o

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Tandaan: Sa ito at sa nakaraang problema, hindi na kailangang ganap na lutasin ang sistema, nakikita na sa problemang ito kailangan namin ang produkto ng mga diagonal upang makalkula ang lugar.

Sagot: 10.

Gawain 7.

Ang lugar ng parallelogram ay 96 at ang mga gilid nito ay 8 at 15. Hanapin ang parisukat ng mas maliit na dayagonal.

Solusyon.

1. S ABCD \u003d AB AD kasalanan VAD. Gumawa tayo ng pagpapalit sa formula.

Nakukuha natin ang 96 = 8 15 sin VAD. Kaya kasalanan VAD = 4/5.

2. Maghanap ng cos BAD. kasalanan 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Ayon sa kondisyon ng problema, makikita natin ang haba ng mas maliit na dayagonal. Ang diagonal BD ay magiging mas maliit kung ang angle BAD ay talamak. Tapos cos BAD = 3/5.

3. Mula sa tatsulok na ABD, gamit ang cosine theorem, nakita natin ang parisukat ng dayagonal na BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Sagot: 145.

May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang isang problema sa geometry?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.