Ano ang mangyayari sa mga exponent kapag nagpaparami ng mga numero. Mga katangian ng mga degree: formulations, proofs, mga halimbawa. Degree na may negatibong base
Ang konsepto ng isang degree sa matematika ay ipinakilala kasing aga ng ika-7 baitang sa isang aralin sa algebra. At sa hinaharap, sa buong kurso ng pag-aaral ng matematika, ang konseptong ito ay aktibong ginagamit sa iba't ibang anyo nito. Ang mga degree ay isang medyo mahirap na paksa, na nangangailangan ng pagsasaulo ng mga halaga at ang kakayahang magbilang nang tama at mabilis. Para sa mas mabilis at mas mahusay na trabaho sa mga degree sa matematika, nakabuo sila ng mga katangian ng isang degree. Tumutulong sila upang mabawasan ang malalaking kalkulasyon, upang mai-convert ang isang malaking halimbawa sa isang solong numero sa ilang lawak. Walang napakaraming mga pag-aari, at lahat ng mga ito ay madaling matandaan at ilapat sa pagsasanay. Samakatuwid, tinatalakay ng artikulo ang mga pangunahing katangian ng degree, pati na rin kung saan inilalapat ang mga ito.
mga katangian ng degree
Isasaalang-alang namin ang 12 mga katangian ng isang degree, kabilang ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, at magbibigay kami ng isang halimbawa para sa bawat ari-arian. Ang bawat isa sa mga pag-aari na ito ay makakatulong sa iyong malutas ang mga problema sa mga degree na mas mabilis, pati na rin i-save ka mula sa maraming mga error sa computational.
1st property.
Maraming tao ang madalas na nakakalimutan ang tungkol sa property na ito, nagkakamali, na kumakatawan sa isang numero sa zero degree bilang zero.
2nd property.
3rd property.
Dapat tandaan na ang ari-arian na ito ay magagamit lamang kapag nagpaparami ng mga numero, hindi ito gumagana sa kabuuan! At hindi natin dapat kalimutan na ito at ang mga sumusunod na katangian ay nalalapat lamang sa mga kapangyarihan na may parehong base.
ika-4 na ari-arian.
Kung ang numero sa denominator ay itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, pagkatapos kapag ang pagbabawas, ang antas ng denominator ay kinuha sa mga bracket upang palitan ng tama ang sign sa karagdagang mga kalkulasyon.
Gumagana lang ang property kapag naghahati, hindi kapag nagbabawas!
5th property.
ika-6 na ari-arian.
Ang property na ito ay maaari ding ilapat nang baligtad. Ang isang yunit na hinati sa isang numero sa ilang antas ay ang numerong iyon sa isang negatibong kapangyarihan.
ika-7 ari-arian.
Hindi maaaring ilapat ang property na ito sa kabuuan at pagkakaiba! Kapag nagtataas ng kabuuan o pagkakaiba sa isang kapangyarihan, mga pinaikling pormula ng pagpaparami ang ginagamit, hindi ang mga katangian ng kapangyarihan.
ika-8 ari-arian.
ika-9 na ari-arian.
Gumagana ang property na ito para sa anumang fractional degree na may numerator na katumbas ng isa, magiging pareho ang formula, ang degree lang ng root ang magbabago depende sa denominator ng degree.
Gayundin, ang property na ito ay kadalasang ginagamit sa reverse order. Ang ugat ng anumang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring ilarawan bilang numerong iyon sa kapangyarihan ng isa na hinati sa kapangyarihan ng ugat. Ang pag-aari na ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa mga kaso kung saan ang ugat ng numero ay hindi nakuha.
ika-10 ari-arian.
Gumagana ang property na ito hindi lamang sa square root at sa pangalawang degree. Kung ang antas ng ugat at ang antas kung saan nakataas ang ugat na ito ay pareho, kung gayon ang sagot ay magiging isang radikal na pagpapahayag.
ika-11 ari-arian.
Kailangan mong makita ang ari-arian na ito sa oras kapag nilulutas ito upang mailigtas ang iyong sarili mula sa malalaking kalkulasyon.
ika-12 ari-arian.
Ang bawat isa sa mga katangiang ito ay makakatagpo sa iyo ng higit sa isang beses sa mga gawain, maaari itong ibigay sa dalisay nitong anyo, o maaaring mangailangan ito ng ilang pagbabago at paggamit ng iba pang mga formula. Samakatuwid, para sa tamang solusyon, hindi sapat na malaman lamang ang mga katangian, kailangan mong magsanay at ikonekta ang natitirang kaalaman sa matematika.
Application ng mga degree at ang kanilang mga katangian
Ang mga ito ay aktibong ginagamit sa algebra at geometry. Ang mga degree sa matematika ay may hiwalay, mahalagang lugar. Sa kanilang tulong, ang mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas, gayundin ang mga kapangyarihan ay kadalasang nagpapalubha sa mga equation at mga halimbawa na nauugnay sa ibang mga seksyon ng matematika. Tumutulong ang mga exponent upang maiwasan ang malaki at mahabang mga kalkulasyon, mas madaling bawasan at kalkulahin ang mga exponent. Ngunit upang gumana sa malalaking kapangyarihan, o sa mga kapangyarihan ng malalaking numero, kailangan mong malaman hindi lamang ang mga katangian ng antas, ngunit mahusay din na magtrabaho kasama ang mga base, magagawang mabulok ang mga ito upang gawing mas madali ang iyong gawain. Para sa kaginhawahan, dapat mo ring malaman ang kahulugan ng mga numero na nakataas sa isang kapangyarihan. Bawasan nito ang iyong oras sa paglutas sa pamamagitan ng pag-aalis ng pangangailangan para sa mahabang kalkulasyon.
Ang konsepto ng degree ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa logarithms. Dahil ang logarithm, sa esensya, ay ang kapangyarihan ng isang numero.
Ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay isa pang halimbawa ng paggamit ng mga kapangyarihan. Hindi nila maaaring gamitin ang mga katangian ng mga degree, ang mga ito ay nabubulok ayon sa mga espesyal na patakaran, ngunit sa bawat pinaikling formula ng multiplikasyon mayroong walang paltos na mga degree.
Aktibong ginagamit din ang mga degree sa physics at computer science. Ang lahat ng mga pagsasalin sa sistema ng SI ay ginawa gamit ang mga degree, at sa hinaharap, kapag nilutas ang mga problema, ang mga katangian ng degree ay inilalapat. Sa computer science, ang mga kapangyarihan ng dalawa ay aktibong ginagamit, para sa kaginhawahan ng pagbibilang at pagpapasimple ng pang-unawa ng mga numero. Ang mga karagdagang kalkulasyon sa mga conversion ng mga yunit ng pagsukat o pagkalkula ng mga problema, tulad ng sa pisika, ay nagaganap gamit ang mga katangian ng antas.
Ang mga degree ay lubhang kapaki-pakinabang din sa astronomy, kung saan bihira mong mahanap ang paggamit ng mga katangian ng isang degree, ngunit ang mga degree mismo ay aktibong ginagamit upang paikliin ang pag-record ng iba't ibang dami at distansya.
Ginagamit din ang mga degree sa pang-araw-araw na buhay, kapag kinakalkula ang mga lugar, volume, distansya.
Sa tulong ng mga degree, napakalaki at napakaliit na mga halaga ay nakasulat sa anumang larangan ng agham.
exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay
Ang mga katangian ng degree ay sumasakop sa isang espesyal na lugar nang tumpak sa mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga gawaing ito ay karaniwan, kapwa sa kurso sa paaralan at sa mga pagsusulit. Ang lahat ng mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga katangian ng antas. Ang hindi alam ay palaging nasa antas mismo, samakatuwid, alam ang lahat ng mga katangian, hindi magiging mahirap na lutasin ang gayong equation o hindi pagkakapantay-pantay.
Pagdaragdag at pagbabawas ng mga kapangyarihan
Malinaw, ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.
Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .
Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.
Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.
Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .
Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.
Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.
O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Pagpaparami ng kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.
Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.
O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .
Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng sum antas ng mga termino.
Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.
Kaya, a n .a m = a m+n .
Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan hangga't ang kapangyarihan ng n ay;
At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;
Kaya, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.
Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay − negatibo.
1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin
Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.
Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay itinaas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.
Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Dibisyon ng mga kapangyarihan
Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.
Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .
Ang pagsulat ng 5 na hinati ng 3 ay parang $\frac $. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.
Kapag hinahati ang mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..
Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac = y$.
At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac = a^n$.
O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ito ay kinakailangan upang makabisado ang pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan
1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac $ Sagot: $\frac $.
2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac$. Sagot: $\frac $ o 2x.
3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .
4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.
5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.
6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).
7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .
8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.
mga katangian ng degree
Ipinapaalala namin sa iyo na sa araling ito ay naiintindihan namin mga katangian ng degree na may mga natural na tagapagpahiwatig at zero. Tatalakayin sa mga aralin para sa ika-8 baitang ang mga antas na may mga rational indicator at ang kanilang mga katangian.
Ang isang exponent na may natural na exponent ay may ilang mahahalagang katangian na nagbibigay-daan sa iyong pasimplehin ang mga kalkulasyon sa mga halimbawa ng exponent.
Ari-arian #1
Produkto ng mga kapangyarihan
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay idinagdag.
a m a n \u003d a m + n, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.
Ang pag-aari na ito ng mga kapangyarihan ay nakakaapekto rin sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan.
- Pasimplehin ang expression.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Ipakita bilang isang degree.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Ipakita bilang isang degree.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - Isulat ang quotient bilang isang kapangyarihan
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Kalkulahin.
Pakitandaan na sa ipinahiwatig na ari-arian ito ay tungkol lamang sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.. Hindi ito naaangkop sa kanilang karagdagan.
Hindi mo maaaring palitan ang kabuuan (3 3 + 3 2) ng 3 5 . Ito ay maliwanag kung
kalkulahin ang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 at 3 5 = 243
Ari-arian #2
Mga pribadong degree
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling hindi nagbabago, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Halimbawa. Lutasin ang equation. Ginagamit namin ang pag-aari ng bahagyang degree.
3 8: t = 3 4
Sagot: t = 3 4 = 81
Gamit ang mga katangian No. 1 at No. 2, madali mong pasimplehin ang mga expression at magsagawa ng mga kalkulasyon.
Halimbawa. Pasimplehin ang expression.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression gamit ang mga katangian ng degree.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Pakitandaan na ang property 2 ay nakipag-deal lamang sa dibisyon ng mga kapangyarihan na may parehong mga base.
Hindi mo maaaring palitan ang pagkakaiba (4 3 −4 2) ng 4 1 . Maiintindihan ito kung kalkulahin mo ang (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, at 4 1 = 4
Ari-arian #3
Exponentiation
Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ng kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago, at ang mga exponent ay pinarami.
(a n) m \u003d a n m, kung saan ang "a" ay anumang numero, at "m", "n" ay anumang natural na mga numero.
Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang quotient ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Samakatuwid, tatalakayin natin ang paksa ng pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan nang mas detalyado sa susunod na pahina.
Paano paramihin ang kapangyarihan
Paano paramihin ang kapangyarihan? Aling mga kapangyarihan ang maaaring paramihin at alin ang hindi? Paano mo i-multiply ang isang numero sa isang kapangyarihan?
Sa algebra, mahahanap mo ang produkto ng mga kapangyarihan sa dalawang kaso:
1) kung ang mga degree ay may parehong batayan;
2) kung ang mga degree ay may parehong mga tagapagpahiwatig.
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay dapat manatiling pareho, at ang mga exponent ay dapat idagdag:
Kapag nagpaparami ng mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig, ang kabuuang tagapagpahiwatig ay maaaring alisin sa mga bracket:
Isaalang-alang kung paano paramihin ang mga kapangyarihan, na may mga partikular na halimbawa.
Ang yunit sa exponent ay hindi nakasulat, ngunit kapag pinarami ang mga degree, isinasaalang-alang nila:
Kapag nagpaparami, ang bilang ng mga degree ay maaaring anuman. Dapat tandaan na hindi mo maaaring isulat ang multiplication sign bago ang titik:
Sa mga expression, ang exponentiation ay unang ginanap.
Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa pamamagitan ng isang kapangyarihan, kailangan mo munang magsagawa ng exponentiation, at pagkatapos lamang - multiplikasyon:
Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base
Ang video tutorial na ito ay magagamit sa pamamagitan ng subscription
May subscription ka na ba? Pumasok
Sa araling ito, matututunan natin kung paano i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong base. Una, naaalala natin ang kahulugan ng antas at bumalangkas ng teorama sa bisa ng pagkakapantay-pantay . Pagkatapos ay nagbibigay kami ng mga halimbawa ng aplikasyon nito sa mga tiyak na numero at patunayan ito. Ilalapat din natin ang theorem upang malutas ang iba't ibang mga problema.
Paksa: Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito
Aralin: Pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base (formula)
1. Mga pangunahing kahulugan
Mga pangunahing kahulugan:
n- exponent,
— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.
2. Pahayag ng Theorem 1
Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Sa madaling salita: kung a- kahit anong numero; n at k natural na mga numero, pagkatapos ay:
Kaya ang panuntunan 1:
3. Pagpapaliwanag ng mga gawain
Konklusyon: kinumpirma ng mga espesyal na kaso ang kawastuhan ng Theorem No. 1. Patunayan natin ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa alinman a at anumang natural n at k.
4. Katibayan ng Theorem 1
Binigyan ng numero a- anumang; numero n at k- natural. Patunayan:
Ang patunay ay batay sa kahulugan ng antas.
5. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang Theorem 1
Halimbawa 1: Ipakita bilang isang degree.
Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 1.
g) 
6. Paglalahat ng Theorem 1
Narito ang isang generalization:
7. Solusyon ng mga halimbawa gamit ang generalization ng Theorem 1
8. Paglutas ng iba't ibang problema gamit ang Theorem 1
Halimbawa 2: Kalkulahin (maaari mong gamitin ang talahanayan ng mga pangunahing degree).
a) 
(ayon sa talahanayan)
b) 
Halimbawa 3: Sumulat bilang isang kapangyarihan na may base 2.
a) 
Halimbawa 4: Tukuyin ang tanda ng numero:
, isang - negatibo dahil ang exponent sa -13 ay kakaiba.
Halimbawa 5: Palitan ang ( ) ng power na may base r:
Mayroon kaming, iyon ay.
9. Pagbubuod
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. Ika-6 na edisyon. M.: Enlightenment. 2010
1. School Assistant (Source).
1. Ipahayag bilang isang degree:
a B C D E) 
3. Sumulat bilang isang kapangyarihan na may base 2:
4. Tukuyin ang tanda ng numero:
a) 
5. Palitan ang ( ) ng kapangyarihan ng isang numero na may base r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong exponent
Sa araling ito, pag-aaralan natin ang multiplikasyon ng mga kapangyarihan na may parehong exponent. Una, alalahanin natin ang mga pangunahing kahulugan at teorema tungkol sa pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan at pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan. Pagkatapos ay bumalangkas at nagpapatunay kami ng mga theorems sa multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent. At pagkatapos ay sa kanilang tulong malulutas namin ang isang bilang ng mga tipikal na problema.
Paalala ng mga pangunahing kahulugan at teorema
Dito a- base ng degree
— n-ika-kapangyarihan ng isang numero.
Teorama 1. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, ang base ay nananatiling hindi nagbabago.
Teorama 2. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k, ganyan n > k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay ibinabawas, at ang base ay nananatiling hindi nagbabago.
Teorama 3. Para sa anumang numero a at anumang natural n at k ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Ang lahat ng mga theorems sa itaas ay tungkol sa mga kapangyarihan na may pareho bakuran, isasaalang-alang ng araling ito ang mga degree na may pareho mga tagapagpahiwatig.
Mga halimbawa para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent
Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:
Isulat natin ang mga expression para sa pagtukoy ng antas.
Konklusyon: Mula sa mga halimbawa, makikita mo iyon 
, ngunit kailangan pa rin itong patunayan. Binubalangkas namin ang teorama at patunayan ito sa pangkalahatang kaso, iyon ay, para sa anuman a at b at anumang natural n.
Pahayag at patunay ng Theorem 4
Para sa anumang mga numero a at b at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Patunay Teorama 4 .
Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree:
So napatunayan na natin yan .
Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong exponent, sapat na upang i-multiply ang mga base, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.
Pahayag at patunay ng Theorem 5
Bumubuo kami ng isang theorem para sa paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga exponent.
Para sa anumang numero a at b() at anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Patunay Teorama 5 .
Isulat natin at ayon sa kahulugan ng degree:
Pahayag ng theorems sa mga salita
Kaya napatunayan na natin yan.
Upang hatiin ang mga degree na may parehong mga exponent sa bawat isa, sapat na upang hatiin ang isang base sa isa pa, at iwanan ang exponent na hindi nagbabago.
Solusyon sa mga karaniwang problema gamit ang Theorem 4
Halimbawa 1: Ipahayag bilang produkto ng mga kapangyarihan.
Upang malutas ang mga sumusunod na halimbawa, ginagamit namin ang Theorem 4.
Upang malutas ang sumusunod na halimbawa, alalahanin ang mga formula:
Paglalahat ng Teorama 4
Paglalahat ng Theorem 4:
Paglutas ng mga Halimbawa Gamit ang Generalized Theorem 4
Patuloy na paglutas ng mga karaniwang problema
Halimbawa 2: Sumulat bilang isang antas ng produkto.
Halimbawa 3: Sumulat bilang isang kapangyarihan na may exponent na 2.
Mga Halimbawa ng Pagkalkula
Halimbawa 4: Kalkulahin sa pinaka makatwirang paraan.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. at iba pa.Algebra 7 .M .: Edukasyon. 2006
2. Katulong sa paaralan (Pinagmulan).
1. Ipakita bilang isang produkto ng mga kapangyarihan:
a) ; b); sa) ; G);
2. Isulat bilang antas ng produkto:
3. Sumulat sa anyo ng isang degree na may indicator na 2:
4. Kalkulahin sa pinakanakapangangatwiran na paraan.
Aralin sa matematika sa paksang "Pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan"
Mga Seksyon: Mathematics
Layunin ng pedagogical:
Mga gawain:
Mga yunit ng aktibidad ng doktrina: pagpapasiya ng antas na may natural na tagapagpahiwatig; mga bahagi ng degree; kahulugan ng pribado; nag-uugnay na batas ng pagpaparami.
I. Organisasyon ng isang pagpapakita ng pagkabisado ng mga umiiral na kaalaman ng mga mag-aaral. (hakbang 1)
a) Pag-update ng kaalaman:
2) Bumuo ng isang kahulugan ng antas na may natural na tagapagpahiwatig.
a n \u003d a a a a ... a (n beses)
b k \u003d b b b b a ... b (k beses) Pangatwiranan ang iyong sagot.
II. Organisasyon ng self-assessment ng trainee ayon sa antas ng pagkakaroon ng may-katuturang karanasan. (hakbang 2)
Pagsusuri para sa pagsusuri sa sarili: (indibidwal na gawain sa dalawang bersyon.)
A1) Ipahayag ang produkto 7 7 7 7 x x x bilang kapangyarihan:
A2) Ipahayag bilang produkto ang degree (-3) 3 x 2
A3) Kalkulahin: -2 3 2 + 4 5 3
Pinipili ko ang bilang ng mga gawain sa pagsusulit alinsunod sa paghahanda ng antas ng klase.
Para sa pagsusulit, nagbibigay ako ng isang susi para sa pagsusuri sa sarili. Pamantayan: pass-fail.
III. Pang-edukasyon at praktikal na gawain (hakbang 3) + hakbang 4. (ang mga mag-aaral mismo ang bubuo ng mga katangian)
Sa kurso ng paglutas ng mga problema 1) at 2), ang mga mag-aaral ay nagmumungkahi ng isang solusyon, at ako, bilang isang guro, ay nag-organisa ng isang klase upang makahanap ng isang paraan upang pasimplehin ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong mga base.
Guro: makabuo ng isang paraan upang gawing simple ang mga kapangyarihan kapag nagpaparami sa parehong base.
May lalabas na entry sa cluster:
Nabuo ang tema ng aralin. Pagpaparami ng kapangyarihan.
Guro: bumuo ng isang panuntunan para sa paghahati ng mga degree na may parehong mga base.
Pangangatwiran: anong aksyon ang sumusuri sa dibisyon? a 5: a 3 = ? na a 2 a 3 = a 5
Bumalik ako sa scheme - isang cluster at pandagdag sa entry - ..kapag hinahati, ibawas at idagdag ang paksa ng aralin. ...at paghahati ng mga digri.
IV. Komunikasyon sa mga mag-aaral ng mga limitasyon ng kaalaman (bilang minimum at bilang maximum).
Guro: ang gawain ng pinakamababa para sa aralin ngayon ay matutunan kung paano ilapat ang mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan, at ang pinakamataas: upang ilapat ang multiplikasyon at paghahati nang magkasama.
Isulat sa pisara : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Organisasyon ng pag-aaral ng bagong materyal. (hakbang 5)
a) Ayon sa aklat-aralin: Blg. 403 (a, c, e) mga gawain na may iba't ibang salita
Hindi. 404 (a, e, f) independiyenteng trabaho, pagkatapos ay nag-aayos ako ng mutual check, binigay ko ang mga susi.
b) Para sa anong halaga ng m pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay? isang 16 a m \u003d isang 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Gawain: makabuo ng mga katulad na halimbawa para sa paghahati.
c) No. 417(a), No. 418 (a) Mga bitag para sa mga mag-aaral: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Pagbubuod ng natutunan, pagsasagawa ng diagnostic na gawain (na naghihikayat sa mga mag-aaral, hindi sa mga guro, na pag-aralan ang paksang ito) (hakbang 6)
gawaing diagnostic.
Pagsusulit(ilagay ang mga susi sa likod ng pagsubok).
Mga opsyon sa gawain: ipakita bilang isang degree ang quotient x 15: x 3; kinakatawan bilang kapangyarihan ang produkto (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kung saan ang m ay ang pagkakapantay-pantay a 16 a m = a 32 totoo; hanapin ang halaga ng expression na h 0: h 2 na may h = 0.2; kalkulahin ang halaga ng expression (5 2 5 0): 5 2 .
Buod ng aralin. Pagninilay. Hinahati ko ang klase sa dalawang grupo.
Hanapin ang mga argumento ng pangkat I: pabor sa kaalaman sa mga katangian ng antas, at pangkat II - mga argumento na magsasabi na magagawa mo nang walang mga pag-aari. Nakikinig kami sa lahat ng mga sagot, gumuhit ng mga konklusyon. Sa kasunod na mga aralin, maaari kang mag-alok ng istatistikal na data at pangalanan ang rubric na "Hindi ito kasya sa aking ulo!"
VII. Takdang aralin.
Sanggunian sa kasaysayan. Anong mga numero ang tinatawag na mga numero ng Fermat.
P.19. #403, #408, #417
Mga Ginamit na Aklat:
Mga katangian ng mga degree, formulations, proofs, mga halimbawa.
Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.
Pag-navigate sa pahina.
Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan ng isang n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng isang . Batay sa kahulugang ito, at paggamit real number multiplication properties, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:
- kung a>0 , pagkatapos ay a n >0 para sa anumang natural n ;
- kung a=0 , pagkatapos ay a n =0 ;
- kung a 2 m >0 , kung a 2 m−1 n ;
- kung ang m at n ay mga natural na bilang na m>n , kung gayon para sa 0m n , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay totoo.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a n n at a−n>b−n ;
- kung ang m at n ay mga integer, at m>n , kung gayon para sa 0m n , at para sa a>1, ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay nasiyahan.
Agad naming tandaan na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n na may pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n = a m a n .
Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.
Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.
Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan ng form a m a n ay maaaring isulat bilang produkto 
. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang 
, at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent m+n , iyon ay, a m+n . Kinukumpleto nito ang patunay.
Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kumuha tayo ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 ·2 3 at 2 5 . Sa pagsasagawa ng exponentiation, mayroon tayong 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 at 2 5 =2 2 2 2 2=32 , dahil nakakakuha tayo ng pantay na halaga, kung gayon ang equality 2 2 2 3 = 2 5 ay totoo, at kinukumpirma nito ang pangunahing katangian ng degree.
Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ay totoo.
Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Maaari kang magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na tagapagpahiwatig - ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon m>n , ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.
Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kundisyon sa pahayag. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n =0, at kapag nakilala natin ang dibisyon, nagkasundo tayo na imposibleng hatiin ng zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa m>n, ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging alinman sa zero (na mangyayari kapag m−n) o isang negatibong numero (na nangyayari kapag m m−n a n =a (m−n) + n = a m Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m−n a n = a m at mula sa kaugnayan ng multiplikasyon sa paghahati ay sumusunod na ang isang m−n ay isang bahagyang kapangyarihan ng a m at a n Ito ay nagpapatunay ng pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base.
Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na digri n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga digri a n at b n , ibig sabihin, (a b) n =a n b n .
Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo 
. Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng pagpaparami, ay maaaring muling isulat bilang 
, na katumbas ng a n b n .
Narito ang isang halimbawa: 
.
Ang pag-aari na ito ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang natural na degree na ari-arian n ng produkto ng k factor ay isinusulat bilang (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong salik sa kapangyarihan ng 7, mayroon kaming .
Ang susunod na ari-arian ay likas na ari-arian: ang quotient ng mga tunay na numero a at b , b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n .
Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , at mula sa pagkakapantay-pantay (a:b) n b n =a n sumusunod na ang (a:b) n ay isang quotient ng a n hanggang b n .
Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: 
.
Ngayon boses natin pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na numero a at anumang natural na bilang na m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng a na may exponent m·n , iyon ay, (a m) n =a m·n .
Halimbawa, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Ang patunay ng power property sa isang degree ay ang sumusunod na chain of equalities: 
.
Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa degree sa loob ng degree sa loob ng degree, at iba pa. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay 
. Para sa higit na kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa na may mga tiyak na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.
Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa paghahambing na katangian ng zero at kapangyarihan na may natural na exponent.
Una, bigyang-katwiran natin na a n >0 para sa alinmang a>0 .
Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a ang antas ng a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 at 
.
Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n na may a=0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0 .
Lumipat tayo sa mga negatibong batayan.
Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 m , kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos 
. Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga negatibong numero, ang bawat isa sa mga produkto ng form na a ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong a at a, na nangangahulugan na ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din. 
at degree a 2 m . Narito ang mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .
Sa wakas, kapag ang base ng a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon 
. Ang lahat ng mga produkto a·a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numerong ito ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Sa bisa ng katangiang ito, ang (−5) 3 17 n n ay produkto ng kaliwa at kanang bahagi ng n tunay na hindi pagkakapantay-pantay a mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay, ang hindi pagkakapantay-pantay na pinatutunayan ay nasa anyong a n n . Halimbawa, dahil sa ari-arian na ito, ang mga hindi pagkakapantay-pantay 3 7 7 at 
.
Ito ay nananatiling patunayan ang pinakahuli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent. Buuin natin ito. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base, mas mababa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na higit sa isa, ang antas na ang tagapagpahiwatig ay mas malaki ay mas malaki. Bumaling tayo sa patunay ng ari-arian na ito.
Patunayan natin na para sa m>n at 0m n . Upang gawin ito, isinusulat namin ang pagkakaiba a m − a n at ihambing ito sa zero. Ang nakasulat na pagkakaiba pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay magkakaroon ng anyong a n ·(a m−n −1) . Ang resultang produkto ay negatibo bilang produkto ng isang positibong numero a n at isang negatibong numero a m−n −1 (a n ay positibo bilang isang natural na kapangyarihan ng isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay negatibo, dahil m−n >0 dahil sa paunang kondisyon m>n , kung saan sumusunod na para sa 0m−n ito ay mas mababa sa isa). Samakatuwid, a m − a n m n , na dapat patunayan. Halimbawa, ibinibigay namin ang tamang hindi pagkakapantay-pantay.
Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1, ang isang m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang antas ng a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1, ang antas ng isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Samakatuwid, a m − a n >0 at a m >a n , na dapat patunayan. Ang katangiang ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2 .
Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents
Dahil ang mga positibong integer ay mga natural na numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong katugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.
Tinukoy namin ang isang degree na may negatibong integer exponent, pati na rin isang degree na may zero exponent, upang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa kapwa para sa mga zero exponents at para sa mga negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga degree ay nonzero.
Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may mga integer exponent:
Para sa a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay wasto din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.
Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer na exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power property ay may hawak para sa parehong positive integers at nonpositive integers. Upang gawin ito, kailangan nating ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) at (a −p) −q =a (−p) (−q) . Gawin natin.
Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p=0 , kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at a 0 q =a 0 =1 , kung saan (a 0) q =a 0 q . Katulad nito, kung q=0 , kung gayon (a p) 0 =1 at a p 0 =a 0 =1 , kung saan (a p) 0 =a p 0 . Kung parehong p=0 at q=0 , kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0 0 =a 0 =1 , kung saan (a 0) 0 =a 0 0 .
Patunayan natin ngayon na (a −p) q =a (−p) q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent , kung gayon 
. Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami 
. Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng anyong a −(p q) , na, sa bisa ng mga tuntunin sa pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q .
Ganun din 
.
At 
.
Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, mapapatunayan ng isa ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.
Sa penultimate ng mga katangiang isinulat, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n , na totoo para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a . Sinusulat at binabago namin ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito: 
. Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a n n , samakatuwid, b n − a n >0 . Ang produktong a n ·b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n − a n at a n b n . Kaya naman, saan a −n >b −n , na dapat patunayan.
Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.
Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents
Tinukoy namin ang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga degree na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga degree na may integer exponents. Namely:
- ari-arian ng produkto ng mga kapangyarihan na may parehong base
para sa a>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 ; - pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan
para sa a>0 ; - ari-arian ng fractional na produkto
para sa a>0 at b>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 at (o) b≥0 ; - quotient property sa isang fractional power
para sa a>0 at b>0 , at kung , pagkatapos ay para sa a≥0 at b>0 ; - degree na ari-arian sa degree
para sa a>0 , at kung at , pagkatapos ay para sa a≥0 ; - ang pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa pantay na rational exponents: para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p ;
- ang pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan sa mga rational exponents at pantay na base: para sa mga rational na numero p at q, p>q para sa 0p q, at para sa a>0, ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- para sa anumang positibong numero a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p ;
- para sa mga hindi makatwirang numero p at q , p>q para sa 0p q , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .
Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa mga katangian ng arithmetic root ng nth degree, at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Bigyan natin ng patunay.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent at , pagkatapos 
. Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming 
, at ang exponent ng degree na nakuha ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.
Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan: 
Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo: 
Bumaling tayo sa patunay ng susunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p p ay wasto, at para sa p p >b p . Isinulat namin ang rational number p bilang m/n , kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Ang mga kundisyon p 0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m 0, ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at am m . Mula sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa pamamagitan ng pag-aari ng mga ugat, mayroon tayong , at dahil ang a at b ay mga positibong numero, kung gayon, batay sa kahulugan ng antas na may fractional exponent, ang resultang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang , iyon ay, a p p .
Katulad nito, kapag m m >b m , kung saan , iyon ay, at a p >b p .
Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p>q para sa 0p q , at para sa a>0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, makuha natin ang mga ordinaryong fraction at , kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod sa panuntunan para sa paghahambing ng mga ordinaryong fraction na may parehong denominator. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponents, para sa 0m 1 m 2 , at para sa a>1, ang hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat, ayon sa pagkakabanggit, bilang 
at 
. At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito iginuhit natin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0p q , at para sa a>0, ang hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .
Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent
Mula sa kung paano tinukoy ang isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0 , b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:
Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.
- Algebra - ika-10 baitang. Trigonometric equation Aralin at presentasyon sa paksa: "Solusyon ng pinakasimpleng trigonometriko equation" Karagdagang materyales Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mga mungkahi! Lahat ng materyales […]
- Ang isang kumpetisyon para sa posisyon ng "SELLER - CONSULTANT" ay binuksan: Mga Responsibilidad: pagbebenta ng mga mobile phone at accessories para sa serbisyo ng mobile na komunikasyon para sa Beeline, Tele2, MTS subscriber na koneksyon ng mga plano ng taripa at serbisyo ng Beeline at Tele2, MTS [...]
- Isang parallelepiped ng formula Ang parallelepiped ay isang polyhedron na may 6 na mukha, na ang bawat isa ay parallelogram. Ang cuboid ay isang cuboid na ang bawat mukha ay parihaba. Ang anumang parallelepiped ay nailalarawan sa pamamagitan ng 3 [...]
- Society for the Protection of Consumer Rights Astana Upang makakuha ng pin-code para ma-access ang dokumentong ito sa aming website, magpadala ng SMS message na may text zan sa numerong Mga Subscriber ng mga operator ng GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) sa pamamagitan ng pagpapadala ng SMS sa kwarto, […]
- PAGBABAY NG Н AT НН SA IBA'T IBANG BAHAGI NG PANANALITA 2. Pangalanan ang mga pagbubukod sa mga tuntuning ito. 3. Paano makilala ang isang verbal adjective na may suffix -n- mula sa isang participle na may [...]
- Magpatibay ng batas sa Kin's Homesteads Magpatibay ng pederal na batas sa walang bayad na paglalaan ng isang kapirasong lupa sa bawat mamamayan ng Russian Federation o isang pamilya ng mga mamamayan na gustong bumuo ng Kin's Homestead dito sa mga sumusunod na termino: 1. Ang lupa ay inilaan para sa […]
- INSPEKSIYON NG GOSTEKHNADZOR NG BRYANSK REGION Resibo ng pagbabayad ng tungkulin ng estado (I-download-12.2 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga indibidwal (I-download-12 kb) Mga aplikasyon para sa pagpaparehistro para sa mga legal na entity (I-download-11.4 kb) 1. Kapag nagrerehistro ng bagong sasakyan : 1.aplikasyon 2.pasaporte […]
- Matagal na kaming hindi nakakalaro ng 1x1 tournaments. At oras na para ipagpatuloy ang tradisyong ito. Hanggang sa makapag-ayos kami ng hiwalay na hagdan at mga paligsahan para sa 1v1 na mga manlalaro, iminumungkahi naming gamitin ang iyong mga profile ng koponan sa website. Magbawas o magdagdag ng mga puntos para sa mga laro sa mga laban [...]
Kanina napag-usapan na natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero. Ito ay may ilang mga katangian na kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga problema: ito ay sila at lahat ng posibleng exponent na aming susuriin sa artikulong ito. Ipapakita rin namin sa pamamagitan ng mga halimbawa kung paano ito mapapatunayan at mailalapat nang tama sa pagsasanay.
Alalahanin natin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent na nabalangkas na natin kanina: ito ang produkto ng ika-n na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Kailangan din nating tandaan kung paano tama ang pagpaparami ng mga tunay na numero. Ang lahat ng ito ay makakatulong sa amin na bumalangkas ng mga sumusunod na katangian para sa isang degree na may natural na tagapagpahiwatig:
Kahulugan 1
1. Ang pangunahing katangian ng degree: a m a n = a m + n
Maaaring gawing pangkalahatan sa: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Ang quotient property para sa mga kapangyarihan na may parehong base: a m: a n = a m − n
3. Pag-aari ng antas ng produkto: (a b) n = a n b n
Ang pagkakapantay-pantay ay maaaring palawigin sa: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Pag-aari ng natural na antas: (a: b) n = a n: b n
5. Itinataas namin ang kapangyarihan sa kapangyarihan: (a m) n = a m n ,
Maaaring gawing pangkalahatan sa: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. Ihambing ang antas sa zero:
- kung a > 0, kung gayon para sa anumang natural na n, ang isang n ay mas malaki sa zero;
- na may katumbas na 0, ang isang n ay magiging katumbas din ng zero;
- para sa< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- para sa< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Pagkakapantay-pantay a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Magiging totoo ang hindi pagkakapantay-pantay na a m > a n sa kondisyon na ang m at n ay natural na mga numero, ang m ay mas malaki sa n at ang a ay mas malaki sa zero at hindi bababa sa isa.
Bilang resulta, nakakuha kami ng ilang pagkakapantay-pantay; kung matutugunan mo ang lahat ng mga kundisyong nakasaad sa itaas, magkapareho ang mga ito. Para sa bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay, halimbawa, para sa pangunahing ari-arian, maaari mong palitan ang kanan at kaliwang bahagi: a m · a n = a m + n - kapareho ng a m + n = a m · a n . Sa form na ito, madalas itong ginagamit kapag pinasimple ang mga expression.
1. Magsimula tayo sa pangunahing katangian ng degree: ang pagkakapantay-pantay a m · a n = a m + n ay magiging totoo para sa anumang natural na m at n at real a . Paano patunayan ang pahayag na ito?
Ang pangunahing kahulugan ng mga kapangyarihan na may natural na mga exponent ay magbibigay-daan sa amin na i-convert ang pagkakapantay-pantay sa isang produkto ng mga kadahilanan. Makakakuha tayo ng entry na ganito:
Maaari itong paikliin sa 
(tandaan ang mga pangunahing katangian ng multiplikasyon). Bilang resulta, nakuha namin ang antas ng numero a na may natural na exponent m + n. Kaya, a m + n , na nangangahulugan na ang pangunahing pag-aari ng degree ay napatunayan.
Kumuha tayo ng konkretong halimbawa para patunayan ito.
Halimbawa 1
Kaya mayroon kaming dalawang kapangyarihan na may base 2. Ang kanilang mga likas na tagapagpahiwatig ay 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit. Nakuha namin ang pagkakapantay-pantay: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Kalkulahin natin ang mga halaga upang suriin ang kawastuhan ng pagkakapantay-pantay na ito.
Isagawa natin ang mga kinakailangang operasyong matematika: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 at 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Bilang resulta, nakuha namin ang: 2 2 2 3 = 2 5 . Ang ari-arian ay napatunayan na.
Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, maaari nating gawing pangkalahatan ang ari-arian sa pamamagitan ng pagbabalangkas nito sa anyo ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan, kung saan ang mga exponent ay mga natural na numero, at ang mga base ay pareho. Kung tinutukoy natin ang bilang ng mga natural na numero n 1, n 2, atbp. sa pamamagitan ng letrang k, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Halimbawa 2
2. Susunod, kailangan nating patunayan ang sumusunod na ari-arian, na tinatawag na quotient property at likas sa mga kapangyarihan na may parehong mga batayan: ito ang pagkakapantay-pantay a m: a n = a m − n , na wasto para sa anumang natural na m at n (at m ay mas malaki kaysa sa n)) at anumang non-zero real a .
Upang magsimula, ipaliwanag natin kung ano ang eksaktong kahulugan ng mga kondisyon na binanggit sa pagbabalangkas. Kung kukuha tayo ng katumbas ng zero, sa huli ay makakakuha tayo ng dibisyon ng zero, na hindi magagawa (pagkatapos ng lahat, 0 n = 0). Ang kondisyon na ang bilang na m ay dapat na mas malaki kaysa sa n ay kinakailangan upang manatili tayo sa loob ng mga natural na exponent: sa pamamagitan ng pagbabawas ng n mula sa m, makakakuha tayo ng natural na numero. Kung hindi matugunan ang kundisyon, makakakuha tayo ng negatibong numero o zero, at muli ay lalampas tayo sa pag-aaral ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig.
Ngayon ay maaari tayong magpatuloy sa patunay. Mula sa naunang pinag-aralan, naaalala natin ang mga pangunahing katangian ng mga fraction at bumalangkas ng pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
Mula rito ay mahihinuha natin: a m − n a n = a m
Alalahanin ang koneksyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami. Ito ay sumusunod mula dito na ang a m − n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n . Ito ang patunay ng second degree property.
Halimbawa 3
Palitan ang mga partikular na numero para sa kalinawan sa mga indicator, at tukuyin ang base ng degree π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Susunod, susuriin natin ang katangian ng antas ng produkto: (a b) n = a n b n para sa anumang real a at b at natural n .
Ayon sa pangunahing kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, maaari nating baguhin ang pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod:
Ang pag-alala sa mga katangian ng pagpaparami, isinusulat namin: 
. Ang ibig sabihin nito ay pareho ng a n · b n .
Halimbawa 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Kung mayroon kaming tatlo o higit pang mga salik, ang property na ito ay nalalapat din sa kasong ito. Ipinakilala namin ang notasyon k para sa bilang ng mga kadahilanan at isulat:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
Halimbawa 5
Sa mga partikular na numero, nakukuha natin ang sumusunod na tamang pagkakapantay-pantay: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Pagkatapos nito, susubukan naming patunayan ang quotient property: (a: b) n = a n: b n para sa anumang real a at b kung ang b ay hindi katumbas ng 0 at n ay isang natural na numero.
Para sa patunay, maaari nating gamitin ang dating degree na ari-arian. Kung (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , at (a: b) n b n = a n , pagkatapos ay sumusunod na ang (a: b) n ay isang quotient ng paghahati ng a n sa b n .
Halimbawa 6
Bilangin natin ang halimbawa: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Halimbawa 7
Magsimula tayo kaagad sa isang halimbawa: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
At ngayon ay bumubuo kami ng isang hanay ng mga pagkakapantay-pantay na magpapatunay sa amin ng kawastuhan ng pagkakapantay-pantay: 
Kung mayroon tayong mga degree ng degree sa halimbawa, ang property na ito ay totoo rin para sa kanila. Kung mayroon tayong anumang mga natural na numero p, q, r, s, kung gayon ito ay magiging totoo:
a p q y s = a p q y s
Halimbawa 8
Magdagdag tayo ng mga detalye: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Ang isa pang katangian ng mga degree na may natural na exponent na kailangan nating patunayan ay ang paghahambing na ari-arian.
Una, ihambing natin ang exponent sa zero. Bakit ang a n > 0 sa kondisyon na ang a ay mas malaki sa 0?
Kung i-multiply natin ang isang positibong numero sa isa pa, makakakuha din tayo ng positibong numero. Alam ang katotohanang ito, maaari nating sabihin na hindi ito nakasalalay sa bilang ng mga kadahilanan - ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay isang positibong numero. At ano ang isang degree, kung hindi ang resulta ng pagpaparami ng mga numero? Pagkatapos para sa anumang kapangyarihan na may positibong base at isang natural na exponent, ito ay magiging totoo.
Halimbawa 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 at 34 9 13 51 > 0
Malinaw din na ang isang kapangyarihan na may base na katumbas ng zero ay zero mismo. Sa anumang kapangyarihan na itaas natin ang zero, mananatili itong zero.
Halimbawa 10
0 3 = 0 at 0 762 = 0
Kung ang base ng degree ay isang negatibong numero, kung gayon ang patunay ay medyo mas kumplikado, dahil ang konsepto ng even / odd exponent ay nagiging mahalaga. Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay pantay at tukuyin ito ng 2 · m , kung saan ang m ay isang natural na numero.
Tandaan natin kung paano tama ang pagpaparami ng mga negatibong numero: ang produkto a · a ay katumbas ng produkto ng mga module, at, samakatuwid, ito ay magiging isang positibong numero. Pagkatapos 
at ang digri a 2 · m ay positibo rin.
Halimbawa 11
Halimbawa, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 at - 2 9 6 > 0
Paano kung ang exponent na may negatibong base ay isang kakaibang numero? Tukuyin natin ito 2 · m − 1 .
Pagkatapos 
Lahat ng mga produkto a · a , ayon sa mga katangian ng multiplikasyon, ay positibo, at gayundin ang kanilang produkto. Ngunit kung i-multiply natin ito sa natitirang bilang na a , ang huling resulta ay magiging negatibo.
Pagkatapos ay makukuha natin ang: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Paano ito patunayan?
isang n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Halimbawa 12
Halimbawa, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Ito ay nananatiling para sa amin upang patunayan ang huling pag-aari: kung mayroon kaming dalawang degree, ang mga base nito ay pareho at positibo, at ang mga exponent ay natural na mga numero, kung gayon ang isa sa mga ito ay mas malaki, ang exponent na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na higit sa isa, ang antas na ang tagapagpahiwatig ay mas malaki ay mas malaki.
Patunayan natin ang mga pahayag na ito.
Una kailangan nating tiyakin na ang isang m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Kinukuha namin ang isang n mula sa mga bracket, pagkatapos kung saan ang aming pagkakaiba ay magkakaroon ng form na a n · (am − n − 1) . Magiging negatibo ang resulta nito (dahil ang resulta ng pagpaparami ng positibong numero sa negatibong numero ay negatibo). Sa katunayan, ayon sa mga paunang kondisyon, m − n > 0, pagkatapos ay ang a m − n − 1 ay negatibo, at ang unang kadahilanan ay positibo, tulad ng anumang likas na kapangyarihan na may positibong base.
Ito pala ay isang m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Ito ay nananatiling patunayan ang pangalawang bahagi ng pahayag na binalangkas sa itaas: a m > a ay totoo para sa m > n at a > 1 . Ipinapahiwatig namin ang pagkakaiba at kumukuha ng isang n mula sa mga bracket: (a m - n - 1) Ang kapangyarihan ng isang n na may mas malaki kaysa sa isa ay magbibigay ng positibong resulta; at ang pagkakaiba mismo ay magiging positibo din dahil sa mga paunang kondisyon, at para sa isang > 1 ang antas ng isang m - n ay mas malaki kaysa sa isa. Lumalabas na a m − a n > 0 at a m > a n , na kailangan naming patunayan.
Halimbawa 13
Halimbawa na may mga partikular na numero: 3 7 > 3 2
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga integer exponent
Para sa mga degree na may mga positibong integer exponent, ang mga katangian ay magiging magkatulad, dahil ang mga positibong integer ay natural, na nangangahulugan na ang lahat ng mga pagkakapantay-pantay na napatunayan sa itaas ay wasto din para sa kanila. Angkop din ang mga ito para sa mga kaso kung saan ang mga exponent ay negatibo o katumbas ng zero (sa kondisyon na ang base ng degree mismo ay hindi zero).
Kaya, ang mga katangian ng mga kapangyarihan ay pareho para sa anumang mga base a at b (sa kondisyon na ang mga numerong ito ay totoo at hindi katumbas ng 0) at anumang mga exponent na m at n (sa kondisyon na ang mga ito ay integer). Isinulat namin ang mga ito nang maikli sa anyo ng mga formula:
Kahulugan 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = isang m n
6. isang n< b n и a − n >b − n na may positive integer n , positive a at b , a< b
7. isang m< a n , при условии целых m и n , m >n at 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Kung ang base ng degree ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga entry na a m at a n ay may katuturan lamang sa kaso ng natural at positibong m at n. Bilang resulta, nalaman namin na ang mga pormulasyon sa itaas ay angkop din para sa mga kaso na may antas na may zero base, kung ang lahat ng iba pang kundisyon ay natutugunan.
Ang mga patunay ng mga katangiang ito sa kasong ito ay simple. Kakailanganin nating tandaan kung ano ang isang degree na may natural at integer exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero.
Suriin natin ang property ng degree sa degree at patunayan na ito ay totoo para sa parehong positive integer at non-positive integer. Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay ng mga pagkakapantay-pantay (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) at (a − p) − q = a (− p) (−q)
Mga kondisyon: p = 0 o natural na numero; q - pareho.
Kung ang mga halaga ng p at q ay mas malaki kaysa sa 0, pagkatapos ay makukuha natin ang (a p) q = a p · q . Napatunayan na natin ang isang katulad na pagkakapantay-pantay dati. Kung p = 0 kung gayon:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Samakatuwid, (a 0) q = a 0 q
Para sa q = 0 lahat ay eksaktong pareho:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Resulta: (a p) 0 = a p 0 .
Kung ang parehong mga tagapagpahiwatig ay zero, kung gayon (a 0) 0 = 1 0 = 1 at isang 0 0 = a 0 = 1, kung gayon (a 0) 0 = a 0 0 .
Alalahanin ang ari-arian ng quotient sa kapangyarihan na napatunayan sa itaas at isulat:
1 a p q = 1 q a p q
Kung 1 p = 1 1 … 1 = 1 at a p q = a p q , pagkatapos ay 1 q a p q = 1 a p q
Maaari nating baguhin ang notasyong ito sa bisa ng mga pangunahing tuntunin ng multiplikasyon sa isang (− p) · q .
Gayundin: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
AT (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Ang natitirang mga katangian ng antas ay maaaring patunayan sa katulad na paraan sa pamamagitan ng pagbabago ng mga umiiral na hindi pagkakapantay-pantay. Hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga mahihirap na punto.
Patunay ng penultimate property: alalahanin na ang a − n > b − n ay totoo para sa anumang negatibong integer na halaga ng n at anumang positibong a at b, sa kondisyon na ang a ay mas mababa sa b .
Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mabago tulad ng sumusunod:
1 a n > 1 b n
Isinulat namin ang kanan at kaliwang bahagi bilang pagkakaiba at ginagawa ang mga kinakailangang pagbabago:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
Alalahanin na sa kondisyong a ay mas mababa sa b , kung gayon, ayon sa kahulugan ng isang degree na may natural na exponent: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
Ang a n · b n ay nagiging positibong numero dahil positibo ang mga salik nito. Bilang resulta, mayroon tayong fraction b n - a n a n · b n , na sa huli ay nagbibigay din ng positibong resulta. Kaya naman 1 a n > 1 b n kung saan a − n > b − n , na kailangan nating patunayan.
Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponent ay napatunayang katulad ng pag-aari ng mga degree na may mga natural na exponent.
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga rational exponent
Sa mga nakaraang artikulo, tinalakay namin kung ano ang isang degree na may rational (fractional) exponent. Ang kanilang mga pag-aari ay pareho sa mga degree na may mga integer exponent. Sumulat tayo:
Kahulugan 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 para sa a > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 (mga kapangyarihan ng ari-arian ng produkto na may parehong base).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 kung a > 0 (quotient property).
3. a b m n = a m n b m n para sa a > 0 at b > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa ≥ 0 at (o) b ≥ 0 (pag-aari ng produkto sa fractional degree).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n para sa a > 0 at b > 0, at kung m n > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 at b > 0 (pag-aari ng isang quotient sa isang fractional degree).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 para sa isang > 0, at kung m 1 n 1 > 0 at m 2 n 2 > 0, pagkatapos ay para sa isang ≥ 0 (degree na ari-arian sa degrees).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; kung p< 0 - a p >b p (ang pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may pantay na rational exponents).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q sa 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
Upang patunayan ang mga probisyong ito, kailangan nating tandaan kung ano ang isang degree na may fractional exponent, ano ang mga katangian ng arithmetic root ng nth degree, at ano ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent. Tingnan natin ang bawat ari-arian.
Ayon sa kung ano ang antas na may fractional exponent, nakukuha natin ang:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 at a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, samakatuwid, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
Ang mga katangian ng ugat ay magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga pagkakapantay-pantay:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
Mula dito nakukuha natin ang: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Ibahin natin:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Ang exponent ay maaaring isulat bilang:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Ito ang patunay. Ang pangalawang pag-aari ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan. Isulat natin ang kadena ng pagkakapantay-pantay:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Mga patunay ng natitirang pagkakapantay-pantay:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Susunod na pag-aari: patunayan natin na para sa anumang mga halaga ng a at b na mas malaki kaysa sa 0 , kung ang a ay mas mababa sa b , ang isang p ay isasagawa< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Katawanin natin ang isang rational number p bilang m n . Sa kasong ito, ang m ay isang integer, ang n ay isang natural na numero. Pagkatapos ang mga kondisyon p< 0 и p >0 ay mapapalawig sa m< 0 и m >0 . Para sa m > 0 at a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Ginagamit namin ang pag-aari ng mga ugat at nagmula: a m n< b m n
Isinasaalang-alang ang pagiging positibo ng mga halaga a at b, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay bilang isang m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Sa parehong paraan, para sa m< 0 имеем a a m >b m , nakakakuha tayo ng a m n > b m n so a m n > b m n at a p > b p .
Ito ay nananatiling para sa amin upang patunayan ang huling pag-aari. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p > q para sa 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ay magiging totoo a p > a q .
Ang mga rational na numerong p at q ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator at makakuha ng mga praksiyon m 1 n at m 2 n
Dito ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Kung p > q, pagkatapos ay m 1 > m 2 (isinasaalang-alang ang panuntunan para sa paghahambing ng mga fraction). Pagkatapos sa 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – hindi pagkakapantay-pantay a 1 m > a 2 m .
Maaari silang muling isulat sa sumusunod na anyo:
isang m 1 n< a m 2 n a m 1 n >isang m 2 n
Pagkatapos ay maaari kang gumawa ng mga pagbabago at makakuha bilang isang resulta:
isang m 1 n< a m 2 n a m 1 n >isang m 2 n
Upang ibuod: para sa p > q at 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Mga pangunahing katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent
Ang lahat ng mga pag-aari na inilarawan sa itaas na isang degree na may mga rational exponents ay maaaring palawigin sa ganoong antas. Ito ay sumusunod sa mismong kahulugan nito, na ibinigay namin sa isa sa mga naunang artikulo. Sa madaling sabi, bumalangkas tayo sa mga katangiang ito (mga kundisyon: a > 0 , b > 0 , ang mga indicator na p at q ay mga hindi makatwirang numero):
Kahulugan 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , pagkatapos ay a p > a q .
Kaya, ang lahat ng kapangyarihan na ang mga exponents na p at q ay tunay na mga numero, sa kondisyon na ang a > 0, ay may parehong mga katangian.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:
Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay ipinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.
Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.
Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.
Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!
Bumalik tayo sa halimbawa:
At muli ang formula:
buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.
positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.
Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:
Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?
Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:
Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.
Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:
Ulitin natin ang panuntunan:
Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.
Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).
Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, malinaw ito. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.
Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:
Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:
Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:
Kaya, bumalangkas tayo ng panuntunan:
Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).
Ibuod natin:
I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.
II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .
III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .
Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:
Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:
Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:
Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!
Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.
Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?
Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.
Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:
Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:
Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":
Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?
Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.
Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.
Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .
Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .
Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:
Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.
wala!
Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!
At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.
Paano naman ang expression?
Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.
Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.
At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.
O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).
Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.
Kaya kung:
- - natural na numero;
- ay isang integer;
Mga halimbawa:
Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:
5 mga halimbawa ng pagsasanay
Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay
1. Huwag kalimutan ang tungkol sa karaniwang mga katangian ng mga degree:
2. . Dito naaalala natin na nakalimutan nating matutunan ang talahanayan ng mga degree:
pagkatapos ng lahat - ito o. Ang solusyon ay awtomatikong matatagpuan: .
Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.
Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa
Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).
Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.
Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;
...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;
...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.
Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.
Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.
KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))
Halimbawa:
Magpasya para sa iyong sarili:
Pagsusuri ng mga solusyon:
1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:
Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:
Sa kasong ito,
Lumalabas na:
Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:
Sagot: 16
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:
ADVANCED LEVEL
Kahulugan ng degree
Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:
- — base ng degree;
- - exponent.
Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)
Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:
Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)
Kung ang exponent ay positibong integer numero:
paninigas sa zero na kapangyarihan:
Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.
Kung ang exponent ay negatibong integer numero:
(dahil imposibleng hatiin).
Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.
Mga halimbawa:
Degree na may rational exponent
- - natural na numero;
- ay isang integer;
Mga halimbawa:
Mga katangian ng degree
Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.
Tingnan natin: ano ang at?
A-priory:
Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:
Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:
Q.E.D.
Halimbawa : Pasimplehin ang expression.
Desisyon : .
Halimbawa : Pasimplehin ang expression.
Desisyon : Mahalagang tandaan na sa ating tuntunin kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:
Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!
Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.
Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:
Ayusin natin ito tulad nito:
Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:
Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!
Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.
Power na may negatibong base.
Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .
Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?
Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?
Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.
Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.
At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong buuin ang mga simpleng panuntunang ito:
- kahit degree, - numero positibo.
- Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
- Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
- Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.
Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.
Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).
Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.
At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:
Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa isa't isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:
Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.
Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:
Mga solusyon :
Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!
Nakukuha namin:
Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.
Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:
Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!
Bumalik tayo sa halimbawa:
At muli ang formula:
Kaya ngayon ang huling tuntunin:
Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:
Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:
Halimbawa:
Degree na may hindi makatwirang exponent
Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).
Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer na negatibong tagapagpahiwatig - para bang ang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng kanyang sarili, ngunit hinati.
Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.
Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.
Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)
Halimbawa:
Magpasya para sa iyong sarili:
| 1) | 2) | 3) |
Mga sagot:
- Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
- Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
- Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:
BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA
Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:
Degree na may integer exponent
degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).
Degree na may rational exponent
degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.
Degree na may hindi makatwirang exponent
exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.
Mga katangian ng degree
Mga tampok ng degree.
- Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
- Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
- Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
- Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
- Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.
NGAYON MAY SALITA KA NA...
Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.
Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.
Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.
Sumulat sa mga komento.
At good luck sa iyong mga pagsusulit!
Isa sa mga pangunahing katangian sa algebra, at sa katunayan sa lahat ng matematika, ay isang degree. Siyempre, sa ika-21 siglo, ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isagawa sa isang online na calculator, ngunit mas mahusay na matutunan kung paano gawin ito sa iyong sarili para sa pagbuo ng mga talino.
Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang pinakamahalagang isyu tungkol sa kahulugang ito. Lalo na, mauunawaan natin kung ano ito sa pangkalahatan at kung ano ang mga pangunahing pag-andar nito, kung anong mga katangian ang umiiral sa matematika.
Tingnan natin ang mga halimbawa kung ano ang hitsura ng pagkalkula, ano ang mga pangunahing formula. Susuriin namin ang mga pangunahing uri ng mga dami at kung paano sila naiiba sa iba pang mga pag-andar.
Mauunawaan namin kung paano lutasin ang iba't ibang mga problema gamit ang halagang ito. Ipapakita namin kasama ng mga halimbawa kung paano itaas sa zero degree, hindi makatwiran, negatibo, atbp.
Online na calculator ng exponentiation
Ano ang antas ng isang numero
Ano ang ibig sabihin ng expression na "itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan"?
Ang antas n ng isang numero a ay ang produkto ng mga kadahilanan ng magnitude isang n beses sa isang hilera.
Sa matematika, ganito ang hitsura:
a n = a * a * a * …a n .
Halimbawa:
- 2 3 = 2 sa ikatlong hakbang. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 sa hakbang. dalawa = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 sa hakbang. apat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 sa 5 hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 sa 4 na hakbang. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Nasa ibaba ang isang talahanayan ng mga parisukat at cube mula 1 hanggang 10.
Talaan ng mga digri mula 1 hanggang 10
Nasa ibaba ang mga resulta ng pagpapataas ng mga natural na numero sa mga positibong kapangyarihan - "mula 1 hanggang 100".
| Ch-lo | ika-2 baitang | ika-3 baitang |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Mga katangian ng degree
Ano ang katangian ng gayong mathematical function? Tingnan natin ang mga pangunahing katangian.
Itinatag ng mga siyentipiko ang mga sumusunod mga palatandaan na katangian ng lahat ng antas:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m =(a) (b*m) .
Suriin natin gamit ang mga halimbawa:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sa kabilang banda 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Katulad nito: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kung hindi 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. Paano kung iba? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Tulad ng nakikita mo, gumagana ang mga patakaran.
Ngunit kung paano maging na may karagdagan at pagbabawas? Simple lang ang lahat. Isinasagawa ang unang exponentiation, at pagkatapos lamang ang pagdaragdag at pagbabawas.
Tingnan natin ang mga halimbawa:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Ngunit sa kasong ito, kailangan mo munang kalkulahin ang karagdagan, dahil may mga aksyon sa mga bracket: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Paano gumawa mga kalkulasyon sa mas kumplikadong mga kaso? Ang pagkakasunud-sunod ay pareho:
- kung may mga bracket, kailangan mong magsimula sa kanila;
- pagkatapos exponentiation;
- pagkatapos ay magsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami, paghahati;
- pagkatapos ng karagdagan, pagbabawas.
May mga partikular na katangian na hindi katangian ng lahat ng antas:
- Ang ugat ng nth degree mula sa numero a hanggang sa degree m ay isusulat bilang: a m / n .
- Kapag tinataas ang isang fraction sa isang kapangyarihan: ang numerator at ang denominator nito ay napapailalim sa pamamaraang ito.
- Kapag tinataas ang produkto ng iba't ibang numero sa isang kapangyarihan, ang expression ay tumutugma sa produkto ng mga numerong ito sa isang ibinigay na kapangyarihan. Iyon ay: (a * b) n = a n * b n .
- Kapag itinaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang 1 sa isang numero sa parehong hakbang, ngunit may sign na "+".
- Kung ang denominator ng isang fraction ay nasa negatibong kapangyarihan, ang expression na ito ay magiging katumbas ng produkto ng numerator at denominator sa isang positibong kapangyarihan.
- Anumang numero sa kapangyarihan ng 0 = 1, at sa hakbang. 1 = sa kanyang sarili.
Ang mga patakarang ito ay mahalaga sa mga indibidwal na kaso, isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba.
Degree na may negatibong exponent
Ano ang gagawin sa isang negatibong antas, iyon ay, kapag ang tagapagpahiwatig ay negatibo?
Batay sa mga katangian 4 at 5(tingnan ang punto sa itaas) iyon pala:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
At kabaliktaran:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
Paano kung ito ay isang fraction?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25/9.
Degree na may natural na tagapagpahiwatig
Ito ay nauunawaan bilang isang degree na may mga exponent na katumbas ng mga integer.
Bagay na dapat alalahanin:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…atbp.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…atbp.
Gayundin, kung (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…kung gayon ang resulta ay magkakaroon ng tandang “+”. Kung ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay kabaligtaran.
Ang mga pangkalahatang katangian, at lahat ng partikular na tampok na inilarawan sa itaas, ay katangian din ng mga ito.
Fractional degree
Ang view na ito ay maaaring isulat bilang isang scheme: A m / n. Ito ay binabasa bilang: ang ugat ng ika-n degree ng bilang A sa kapangyarihan ng m.
Sa isang fractional indicator, magagawa mo ang anumang bagay: bawasan, mabulok sa mga bahagi, itaas sa ibang antas, atbp.
Degree na may hindi makatwirang exponent
Hayaan ang α ay isang hindi makatwirang numero at А ˃ 0.
Upang maunawaan ang kakanyahan ng antas na may tulad na tagapagpahiwatig, Tingnan natin ang iba't ibang posibleng kaso:
- A \u003d 1. Ang resulta ay magiging katumbas ng 1. Dahil mayroong isang axiom - 1 ay katumbas ng isa sa lahat ng kapangyarihan;
Ang А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 ay mga rational na numero;
- 0˂А˂1.
Sa kasong ito, vice versa: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 sa ilalim ng parehong mga kondisyon tulad ng sa ikalawang talata.
Halimbawa, ang exponent ay ang numerong π. Ito ay makatuwiran.
r 1 - sa kasong ito ito ay katumbas ng 3;
r 2 - ay magiging katumbas ng 4.
Pagkatapos, para sa A = 1, 1 π = 1.
A = 2, pagkatapos ay 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, pagkatapos ay (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Ang ganitong mga antas ay nailalarawan sa pamamagitan ng lahat ng mga pagpapatakbo ng matematika at mga partikular na katangian na inilarawan sa itaas.
Konklusyon
Ibuod natin - para saan ang mga halagang ito, ano ang mga pakinabang ng naturang mga pag-andar? Siyempre, una sa lahat, pinapasimple nila ang buhay ng mga mathematician at programmer kapag nilulutas ang mga halimbawa, dahil pinapayagan nila ang pagliit ng mga kalkulasyon, pagbabawas ng mga algorithm, pag-systematize ng data, at marami pa.
Saan pa maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito? Sa anumang specialty sa pagtatrabaho: gamot, pharmacology, dentistry, construction, teknolohiya, engineering, disenyo, atbp.
