Paano malutas ang mga kumplikadong halimbawa na may mga ugat. Paano malutas ang mga halimbawa na may mga ugat. Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na expression

Katotohanan 1.
\(\bullet\) Kunin natin ang ilang di-negatibong numero \(a\) (iyon ay, \(a\geqslant 0\) ). Pagkatapos (aritmetika) parisukat na ugat mula sa numerong \(a\) ay tinatawag na tulad ng isang hindi-negatibong numero \(b\) , kapag naka-squad makuha namin ang numero \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(katulad ng )\quad a=b^2\] Mula sa kahulugan ay sinusundan iyon \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ang mga paghihigpit na ito ay isang mahalagang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang square root at dapat tandaan!
Tandaan na ang anumang numero kapag naka-squad ay nagbibigay ng hindi negatibong resulta. Ibig sabihin, \(100^2=10000\geqslant 0\) at \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ano ang katumbas ng \(\sqrt(25)\)? Alam namin na \(5^2=25\) at \((-5)^2=25\) . Dahil sa depinisyon ay kailangan nating maghanap ng hindi negatibong numero, kung gayon ang \(-5\) ay hindi angkop, samakatuwid, \(\sqrt(25)=5\) (dahil \(25=5^2\) ).
Ang paghahanap ng halaga ng \(\sqrt a\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng numero \(a\) , at ang numerong \(a\) ay tinatawag na radical expression.
\(\bullet\) Batay sa kahulugan, expression \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), atbp. walang saysay.

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na pagkalkula, magiging kapaki-pakinabang na matutunan ang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero mula \(1\) hanggang \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 at \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 at \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 at \quad17^2=289\\ 8^2=64 at \quad18^2=324\\ 9^2=81 at \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Katotohanan 3.
Anong mga operasyon ang maaari mong gawin sa mga square root?
\(\bullet\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga square root ay HINDI PANTAY sa square root ng kabuuan o pagkakaiba, ibig sabihin \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , sa simula ay dapat mong hanapin ang mga halaga ng \(\sqrt(25)\) at \(\ sqrt(49)\ ) at pagkatapos ay tiklupin ang mga ito. Kaya naman, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kung ang mga halaga \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) ay hindi matagpuan kapag nagdaragdag ng \(\sqrt a+\sqrt b\), kung gayon ang gayong expression ay hindi na babaguhin pa at nananatiling ganito. Halimbawa, sa kabuuan na \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) makikita natin ang \(\sqrt(49)\) ay \(7\) , ngunit ang \(\sqrt 2\) ay hindi maaaring mabago sa any way, Kaya naman \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sa kasamaang palad, ang expression na ito ay hindi maaaring pasimplehin pa\(\bullet\) Ang produkto/quotient ng square roots ay katumbas ng square root ng product/quotient, iyon ay \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sa kondisyon na ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ay may katuturan)
Halimbawa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Gamit ang mga katangiang ito, madaling mahanap ang mga square root ng malalaking numero sa pamamagitan ng factoring sa kanila.
Tingnan natin ang isang halimbawa. Hanapin natin ang \(\sqrt(44100)\) . Dahil \(44100:100=441\) , pagkatapos \(44100=100\cdot 441\) . Ayon sa criterion ng divisibility, ang numerong \(441\) ay nahahati sa \(9\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at nahahati sa 9), samakatuwid, \(441:9=49\), ibig sabihin, \(441=9\ cdot 49\) .
Kaya nakuha namin: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ipakita natin kung paano maglagay ng mga numero sa ilalim ng square root sign gamit ang halimbawa ng expression na \(5\sqrt2\) (maikling notasyon para sa expression na \(5\cdot \sqrt2\)). Dahil \(5=\sqrt(25)\) , pagkatapos \ Tandaan din na, halimbawa,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bakit ganon? Ipaliwanag natin gamit ang halimbawa 1). Tulad ng naiintindihan mo na, hindi namin maaring baguhin ang numerong \(\sqrt2\). Isipin natin na ang \(\sqrt2\) ay ilang numero \(a\) . Alinsunod dito, ang expression na \(\sqrt2+3\sqrt2\) ay hindi hihigit sa \(a+3a\) (isang numero \(a\) kasama ang tatlo pa sa parehong mga numero \(a\)). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na mga numero \(a\) , iyon ay, \(4\sqrt2\) .

Katotohanan 4.
\(\bullet\) Madalas nilang sinasabi na "hindi mo ma-extract ang ugat" kapag hindi mo maalis ang sign na \(\sqrt () \ \) ng ugat (radical) kapag hinahanap ang halaga ng isang numero . Halimbawa, maaari mong kunin ang ugat ng numero \(16\) dahil \(16=4^2\) , samakatuwid \(\sqrt(16)=4\) . Ngunit imposibleng kunin ang ugat ng numerong \(3\), iyon ay, upang mahanap ang \(\sqrt3\), dahil walang numero na ibibigay ng squared \(3\) .
Ang mga naturang numero (o mga expression na may ganitong mga numero) ay hindi makatwiran. Halimbawa, mga numero \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) at iba pa. ay hindi makatwiran.
Hindi rin makatwiran ang mga numerong \(\pi\) (ang numerong "pi", humigit-kumulang katumbas ng \(3.14\)), \(e\) (ang numerong ito ay tinatawag na numero ng Euler, ito ay tinatayang katumbas ng \(2.7 \)) atbp.
\(\bullet\) Pakitandaan na ang anumang numero ay magiging makatwiran o hindi makatwiran. At sama-sama ang lahat ng rational at lahat ng irrational na numero ay bumubuo ng isang set na tinatawag isang hanay ng mga tunay na numero. Ang set na ito ay tinutukoy ng titik \(\mathbb(R)\) .
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga numero na kasalukuyang alam natin ay tinatawag na tunay na mga numero.

Katotohanan 5.
\(\bullet\) Ang modulus ng isang tunay na numero \(a\) ay isang di-negatibong numero \(|a|\) na katumbas ng distansya mula sa puntong \(a\) hanggang \(0\) sa totoong linya. Halimbawa, ang \(|3|\) at \(|-3|\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntong \(3\) at \(-3\) hanggang \(0\) ay ang pareho at katumbas ng \(3 \) .
\(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon \(|a|=a\) .
Halimbawa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, kung gayon \(|a|=-a\) .
Halimbawa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sinasabi nila na para sa mga negatibong numero ang modulus ay "kumakain" ng minus, habang ang mga positibong numero, pati na rin ang numerong \(0\), ay hindi nababago ng modulus.
PERO Nalalapat lang ang panuntunang ito sa mga numero. Kung sa ilalim ng iyong modulus sign ay mayroong hindi alam na \(x\) (o iba pang hindi alam), halimbawa, \(|x|\) , na hindi natin alam kung ito ay positibo, zero o negatibo, pagkatapos ay alisin ng modulus hindi natin kaya. Sa kasong ito, ang expression na ito ay nananatiling pareho: \(|x|\) . \(\bullet\) Ang mga sumusunod na formula ay mayroong: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\malaki((\sqrt(a))^2=a)), \text( ibinigay ) a\geqslant 0\] Kadalasan ang sumusunod na pagkakamali ay nagagawa: sinasabi nila na ang \(\sqrt(a^2)\) at \((\sqrt a)^2\) ay iisa at pareho. Ito ay totoo lamang kung ang \(a\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, ito ay mali. Ito ay sapat na upang isaalang-alang ang halimbawang ito. Kunin natin sa halip na \(a\) ang numero \(-1\) . Pagkatapos \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ngunit ang expression na \((\sqrt (-1))^2\) ay wala sa lahat (pagkatapos ng lahat, imposibleng gamitin ang root sign ilagay ang mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang \(\sqrt(a^2)\) ay hindi katumbas ng \((\sqrt a)^2\) ! Halimbawa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dahil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dahil \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pagkatapos ay \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ang expression na \(2n\) ay nagsasaad ng kahit na numero)
Iyon ay, kapag kinuha ang ugat ng isang numero na sa ilang antas, ang antas na ito ay hinahati.
Halimbawa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tandaan na kung hindi ibinibigay ang module, lumalabas na ang ugat ng numero ay katumbas ng \(-25\ ); ngunit natatandaan namin, na sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat ay hindi ito maaaring mangyari: kapag kumukuha ng ugat, dapat tayong palaging makakuha ng positibong numero o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (dahil ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano ihambing ang dalawang square roots?
\(\bullet\) Para sa square roots ito ay totoo: kung \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aHalimbawa:
1) ihambing ang \(\sqrt(50)\) at \(6\sqrt2\) . Una, ibahin natin ang pangalawang expression sa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kaya, mula noong \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng anong mga integer ay matatagpuan ang \(\sqrt(50)\)?
Dahil \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , at \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Ihambing natin ang \(\sqrt 2-1\) at \(0.5\) . Ipagpalagay natin na \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((magdagdag ng isa sa magkabilang panig))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pag-squaring sa magkabilang panig))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Nakikita natin na nakakuha tayo ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang aming palagay ay mali at \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makakaapekto sa tanda nito. Ang pag-multiply/paghahati sa magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero ay hindi rin makakaapekto sa tanda nito, ngunit ang pag-multiply/paghahati sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Maaari mong parisukat ang magkabilang panig ng isang equation/hindi pagkakapantay-pantay LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa maaari mong parisukat ang magkabilang panig, sa hindi pagkakapantay-pantay \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Dapat tandaan na \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\] Ang pag-alam sa tinatayang kahulugan ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kapag naghahambing ng mga numero! \(\bullet\) Upang ma-extract ang ugat (kung maaari itong makuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy kung aling "daan-daan" ito matatagpuan, pagkatapos - sa pagitan ng " sampu", at pagkatapos ay tukuyin ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin natin \(\sqrt(28224)\) . Alam namin na \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), atbp. Tandaan na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(10\,000\) at \(40\,000\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(100\) at \(200\) .
Ngayon, alamin natin kung aling "sampu" ang matatagpuan sa aming numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \(120\) at \(130\)). Mula rin sa talahanayan ng mga parisukat alam natin na \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atbp., pagkatapos ay \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kaya nakikita natin na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(160^2\) at \(170^2\) . Samakatuwid, ang numerong \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(160\) at \(170\) .
Subukan nating matukoy ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga single-digit na numero, kapag naka-squad, ibigay ang \(4\) sa dulo? Ito ay ang \(2^2\) at \(8^2\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin natin ang \(162^2\) at \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Samakatuwid, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Upang sapat na malutas ang Unified State Exam sa matematika, kailangan mo munang pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala sa iyo sa maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang tingin, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Unified State Exam sa matematika ay ipinakita sa isang madali at naiintindihan na paraan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng pagsasanay ay sa katunayan isang mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa Unified State Exam sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika hindi lamang para sa mga kumukuha ng Unified State Exam?

1. Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman sa mundo sa kanilang paligid. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
2. Dahil ito ay nagpapaunlad ng katalinuhan. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa Unified State Exam sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang problema, natututo ang isang tao na mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang may kakayahan at malinaw. Nagkakaroon siya ng kakayahang mag-analisa, mag-generalize, at gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at presentasyon ng mga materyal na pang-edukasyon.

Mga operasyong may kapangyarihan at ugat. Degree na may negatibo ,

zero at fractional tagapagpahiwatig. Tungkol sa mga ekspresyong walang kahulugan.

Mga operasyon na may mga degree.

1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay nagdaragdag:

isang m · a n = a m + n .

2. Kapag naghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay ibabawas .

3. Ang antas ng produkto ng dalawa o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Ang antas ng ratio (fraction) ay katumbas ng ratio ng mga degree ng dibidendo (numerator) at divisor (denominator):

(a/b ) n = a n / b n .

5. Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang kanilang mga exponents ay pinarami:

(isang m ) n = a m n .

Ang lahat ng mga formula sa itaas ay binabasa at isinasagawa sa parehong direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

HALIMBAWA (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Mga operasyon na may mga ugat. Sa lahat ng mga formula sa ibaba, ang simbolo ibig sabihin ugat ng aritmetika(positibo ang radikal na pagpapahayag).

1. Ang ugat ng produkto ng ilang mga kadahilanan ay katumbas ng produkto ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng isang ratio ay katumbas ng ratio ng mga ugat ng dibidendo at ang divisor:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas sa kapangyarihang ito radikal na numero:

4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa m itaas sa m ang ika-kapangyarihan ay isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa m kunin ang ugat ng isang beses at sa parehong oras m ika kapangyarihan ng isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Pagpapalawak ng konsepto ng degree. Sa ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga degree na may mga natural na exponent; ngunit mga aksyon na may degrees at ugat ay maaari ding humantong sa negatibo, sero At fractional mga tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga exponent na ito ay nangangailangan ng karagdagang kahulugan.

Isang degree na may negatibong exponent. Kapangyarihan ng ilang bilang c ang isang negatibong (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa pamamagitan ng kapangyarihan ng parehong numero na may exponent na katumbas ng absolute valuenegatibong tagapagpahiwatig:

T ngayon ang formula isang m: isang n= isang m - n maaaring gamitin hindi lamang para sam, higit sa n, ngunit kasama rin m, mas mababa sa n .

HALIMBAWA a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Kung gusto natin ang formulaisang m : isang n= isang m - nay patas noongm = n, kailangan natin ng kahulugan ng degree zero.

Isang degree na may zero index. Ang kapangyarihan ng anumang hindi-zero na numero na may exponent zero ay 1.

MGA HALIMBAWA. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero at sa kapangyarihan m/n , kailangan mong kunin ang ugat nth kapangyarihan ng m -ika-kapangyarihan ng numerong ito A :

Tungkol sa mga ekspresyong walang kahulugan. Mayroong ilang mga ganoong expression. kahit anong numero.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin na ang expression na ito ay katumbas ng ilang numero x, pagkatapos ay ayon sa kahulugan ng operasyon ng paghahati na mayroon tayo: 0 = 0 · x. Ngunit ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangyayari kapag anumang numero x, na kung ano ang kailangang patunayan.

Kaso 3.

0 0 - kahit anong numero.

Talaga,

Solusyon. Isaalang-alang natin ang tatlong pangunahing kaso:

1) x = 0 – hindi natutugunan ng halagang ito ang equation na ito

(Bakit?).

2) kailan x> 0 nakukuha namin: x/x = 1, ibig sabihin. 1 = 1, ibig sabihin

Ano x- kahit anong numero; ngunit isinasaalang-alang na sa

Sa kaso natin x> 0, ang sagot ayx > 0 ;

3) kailan x < 0 получаем: – x/x= 1, ibig sabihin, e . –1 = 1, samakatuwid,

Sa kasong ito walang solusyon.

kaya, x > 0.

Sa simula ng aralin, susuriin natin ang mga pangunahing katangian ng square roots, at pagkatapos ay titingnan ang ilang kumplikadong halimbawa ng pagpapasimple ng mga expression na naglalaman ng square roots.

Paksa:Function. Mga katangian ng square root

Aralin:Pag-convert at pagpapasimple ng mas kumplikadong mga expression na may mga ugat

1. Suriin ang mga katangian ng square roots

Ulitin natin sandali ang teorya at alalahanin ang mga pangunahing katangian ng square roots.

Mga katangian ng square roots:

1. samakatuwid,;

3. ;

4. .

2. Mga halimbawa para sa pagpapasimple ng mga expression na may mga ugat

Lumipat tayo sa mga halimbawa ng paggamit ng mga katangiang ito.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Upang pasimplehin, ang bilang na 120 ay dapat i-factor sa mga pangunahing kadahilanan:

Ipapakita namin ang parisukat ng kabuuan gamit ang naaangkop na formula:

Halimbawa 2: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Isaalang-alang natin na ang expression na ito ay hindi makatwiran para sa lahat ng posibleng mga halaga ng variable, dahil ang expression na ito ay naglalaman ng mga square root at fraction, na humahantong sa isang "pagpapaliit" ng saklaw ng mga pinahihintulutang halaga. ODZ: ().

Dalhin natin ang expression sa mga bracket sa common denominator at isulat ang numerator ng huling fraction bilang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa.

Sagot. sa.

Halimbawa 3: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Makikita na ang pangalawang numerator bracket ay may hindi maginhawang hitsura at kailangang pasimplehin; subukan nating i-factor ito gamit ang paraan ng pagpapangkat.

Upang makakuha ng isang karaniwang salik, pinasimple namin ang mga ugat sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga ito. Palitan natin ang resultang expression sa orihinal na fraction:

Pagkatapos bawasan ang fraction, inilalapat namin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat.

3. Isang halimbawa ng pag-alis ng irrationality

Halimbawa 4. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality (ugat) sa denominator: a) ; b) .

Solusyon. a) Upang maalis ang irrationality sa denominator, ang karaniwang paraan ng pagpaparami ng parehong numerator at denominator ng isang fraction sa conjugate factor sa denominator ay ginagamit (ang parehong expression, ngunit may kabaligtaran na tanda). Ginagawa ito upang makadagdag sa denominator ng fraction sa pagkakaiba ng mga parisukat, na nagpapahintulot sa iyo na mapupuksa ang mga ugat sa denominator. Gawin natin ito sa ating kaso:

b) magsagawa ng mga katulad na aksyon:

Sagot.; .

4. Halimbawa para sa patunay at pagkakakilanlan ng isang kumpletong parisukat sa isang kumplikadong radikal

Halimbawa 5. Patunayan ang pagkakapantay-pantay .

Patunay. Gamitin natin ang kahulugan ng isang square root, kung saan sumusunod na ang parisukat ng kanang-kamay na expression ay dapat na katumbas ng radical expression:

. Buksan natin ang mga bracket gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan:

, nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay.

Napatunayan.

Halimbawa 6. Pasimplehin ang expression.

Solusyon. Ang ekspresyong ito ay karaniwang tinatawag na kumplikadong radikal (ugat sa ilalim ng ugat). Sa halimbawang ito, kailangan mong malaman kung paano ihiwalay ang isang kumpletong parisukat mula sa radikal na expression. Upang gawin ito, tandaan na sa dalawang termino, ito ay isang kandidato para sa papel ng dobleng produkto sa formula para sa squared difference (pagkakaiba, dahil may minus). Isulat natin ito sa anyo ng sumusunod na produkto: , pagkatapos ay 1 ang sinasabing isa sa mga tuntunin ng isang kumpletong parisukat, at 1 ang sinasabing pangalawa.

Ipalit natin ang ekspresyong ito sa ilalim ng ugat.

Ang artikulong ito ay isang koleksyon ng detalyadong impormasyon na nauugnay sa paksa ng mga katangian ng mga ugat. Isinasaalang-alang ang paksa, magsisimula tayo sa mga katangian, pag-aralan ang lahat ng mga pormulasyon at magbigay ng ebidensya. Upang pagsama-samahin ang paksa, isasaalang-alang namin ang mga katangian ng ika-n degree.

Mga katangian ng mga ugat

Pag-uusapan natin ang tungkol sa mga ari-arian.

1. Ari-arian pinarami ang mga numero a At b, na kinakatawan bilang pagkakapantay-pantay na a · b = a · b. Maaari itong katawanin sa anyo ng mga kadahilanan, positibo o katumbas ng zero a 1 , a 2 , … , a k bilang isang 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. mula sa quotient a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, maaari rin itong isulat sa ganitong anyong a b = a b;
3. Ari-arian mula sa kapangyarihan ng isang numero a na may even exponent na 2 m = a m para sa anumang numero a, halimbawa, ang ari-arian mula sa parisukat ng isang numero a 2 = a.

Sa alinman sa mga ipinakitang equation, maaari mong palitan ang mga bahagi bago at pagkatapos ng dash sign, halimbawa, ang pagkakapantay-pantay na a · b = a · b ay binago bilang a · b = a · b. Ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay ay kadalasang ginagamit upang gawing simple ang mga kumplikadong equation.

Ang patunay ng mga unang katangian ay batay sa kahulugan ng square root at ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may natural na exponent. Upang bigyang-katwiran ang ikatlong pag-aari, kinakailangang sumangguni sa kahulugan ng modulus ng isang numero.

Una sa lahat, kinakailangang patunayan ang mga katangian ng square root a · b = a · b. Ayon sa kahulugan, kinakailangang isaalang-alang na ang a b ay isang numero, positibo o katumbas ng zero, na magiging katumbas ng a b sa panahon ng pagtatayo sa isang parisukat. Ang halaga ng expression na a · b ay positibo o katumbas ng zero bilang produkto ng mga di-negatibong numero. Ang pag-aari ng mga kapangyarihan ng mga multiplied na numero ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa pagkakapantay-pantay sa anyo (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Sa kahulugan ng square root, a 2 = a at b 2 = b, pagkatapos ay a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Sa katulad na paraan mapapatunayan ng isa iyon mula sa produkto k mga multiplier a 1 , a 2 , … , a k ay magiging katumbas ng produkto ng square roots ng mga salik na ito. Sa katunayan, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Tingnan natin ang ilang halimbawa upang palakasin ang paksa.

Halimbawa 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 at 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Kinakailangang patunayan ang ari-arian ng arithmetic square root ng quotient: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Ang property ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay na a: b 2 = a 2: b 2, at a 2: b 2 = a: b, habang ang a: b ay isang positibong numero o katumbas ng zero. Ang ekspresyong ito ay magiging patunay.

Halimbawa, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 at 30.121 = 30.121.

Isaalang-alang natin ang pag-aari ng square root ng square ng isang numero. Maaari itong isulat bilang isang pagkakapantay-pantay bilang isang 2 = a Upang patunayan ang pag-aari na ito, kinakailangang isaalang-alang nang detalyado ang ilang pagkakapantay-pantay para sa isang ≥ 0 at sa a< 0 .

Malinaw, para sa isang ≥ 0 ang pagkakapantay-pantay a 2 = a ay totoo. Sa a< 0 ang pagkakapantay-pantay a 2 = - a ay magiging totoo. Sa katunayan, sa kasong ito − a > 0 at (− a) 2 = a 2 . Maaari nating tapusin, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 2

5 2 = 5 = 5 at - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.

Ang napatunayang ari-arian ay makakatulong upang bigyang-katwiran ang isang 2 m = a m, kung saan a- totoo, at m-natural na numero. Sa katunayan, ang pag-aari ng pagtataas ng kapangyarihan ay nagpapahintulot sa amin na palitan ang kapangyarihan isang 2 m pagpapahayag (a m) 2, pagkatapos ay isang 2 m = (a m) 2 = isang m.

Halimbawa 3

3 8 = 3 4 = 3 4 at (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Mga katangian ng nth root

Una, kailangan nating isaalang-alang ang mga pangunahing katangian ng nth roots:

1. Ari-arian mula sa produkto ng mga numero a At b, na positibo o katumbas ng zero, ay maaaring ipahayag bilang pagkakapantay-pantay a · b n = a n · b n , valid ang property na ito para sa produkto k numero a 1 , a 2 , … , a k bilang isang 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. mula sa isang fractional na numero ay may ari-arian a b n = a n b n , kung saan a ay anumang tunay na numero na positibo o katumbas ng zero, at b– positibong tunay na numero;
3. Para sa anumang a at kahit na mga tagapagpahiwatig n = 2 m a 2 · m 2 · m = a ay totoo, at para sa kakaiba n = 2 m − 1 ang pagkakapantay-pantay a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a hold.
4. Pag-aari ng pagkuha mula sa a m n = a n m , kung saan a– anumang numero, positibo o katumbas ng zero, n At m ay mga natural na numero, ang ari-arian na ito ay maaari ding katawanin sa anyo. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Para sa anumang di-negatibong a at arbitrary n At m, na natural, maaari din nating tukuyin ang patas na pagkakapantay-pantay a m n · m = a n ;
6. Pag-aari ng degree n mula sa kapangyarihan ng isang numero a, na positibo o katumbas ng zero, sa natural na kapangyarihan m, tinukoy ng pagkakapantay-pantay a m n = a n m ;
7. Paghahambing ng ari-arian na may parehong exponents: para sa anumang positibong numero a At b ganyan a< b , ang hindi pagkakapantay-pantay a n< b n ;
8. Paghahambing ng ari-arian na may parehong mga numero sa ilalim ng ugat: kung m At n – natural na mga numero na m > n, pagkatapos ay sa 0 < a < 1 ang hindi pagkakapantay-pantay a m > a n ay totoo, at kailan a > 1 nagsagawa ng m< a n .

Ang mga pagkakapantay-pantay na ibinigay sa itaas ay wasto kung ang mga bahagi bago at pagkatapos ng pantay na tanda ay ipinagpapalit. Maaari din silang gamitin sa form na ito. Madalas itong ginagamit kapag pinasimple o binabago ang mga expression.

Ang patunay ng mga katangian sa itaas ng isang ugat ay batay sa kahulugan, mga katangian ng antas at ang kahulugan ng modulus ng isang numero. Ang mga katangiang ito ay dapat patunayan. Ngunit lahat ay nasa ayos.

1. Una sa lahat, patunayan natin ang mga katangian ng nth root ng produkto a · b n = a n · b n . Para sa a At b , alin ay positibo o katumbas ng zero , ang halaga a n · b n ay positibo rin o katumbas ng zero, dahil ito ay resulta ng pagpaparami ng mga hindi negatibong numero. Ang pag-aari ng isang produkto sa natural na kapangyarihan ay nagpapahintulot sa atin na isulat ang pagkakapantay-pantay a n · b n n = a n n · b n n . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat n-th degree a n n = a at b n n = b , samakatuwid, a n · b n n = a · b . Ang resultang pagkakapantay-pantay ay kung ano mismo ang kailangang patunayan.

Ang ari-arian na ito ay maaaring patunayan nang katulad para sa produkto k multiplier: para sa mga di-negatibong numero a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Narito ang mga halimbawa ng paggamit ng root property n-ika-kapangyarihan mula sa produkto: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 at 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Patunayan natin ang pag-aari ng ugat ng quotient a b n = a n b n . Sa isang ≥ 0 At b > 0 ang kundisyon a n b n ≥ 0 ay nasiyahan, at a n b n n = a n n b n n = a b .

Ipakita natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 4

8 27 3 = 8 3 27 3 at 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Para sa susunod na hakbang ito ay kinakailangan upang patunayan ang mga katangian ng nth degree mula sa numero hanggang sa degree n. Isipin natin ito bilang pagkakapantay-pantay a 2 m 2 m = a at isang 2 m - 1 2 m - 1 = a para sa anumang tunay a at natural m. Sa isang ≥ 0 nakakakuha tayo ng a = a at isang 2 m = a 2 m, na nagpapatunay ng pagkakapantay-pantay a 2 m 2 m = a, at ang pagkakapantay-pantay ng a 2 m - 1 2 m - 1 = a ay halata. Sa a< 0 nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, a = - a at isang 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Ang huling pagbabago ng isang numero ay may bisa ayon sa kapangyarihan ng ari-arian. Ito ang tiyak na nagpapatunay sa pagkakapantay-pantay na a 2 m 2 m = a, at isang 2 m - 1 2 m - 1 = a ay magiging totoo, dahil ang kakaibang antas ay isinasaalang-alang - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 para sa anumang numero c , positibo o katumbas ng zero.

Upang pagsama-samahin ang impormasyong natanggap, isaalang-alang natin ang ilang halimbawa gamit ang property:

Halimbawa 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 at (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Patunayan natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay a m n = a n m . Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang mga numero bago at pagkatapos ng equal sign a n · m = a m n . Ito ay nangangahulugan na ang entry ay tama. Para sa a, na positibo o katumbas ng zero , ng anyong a m n ay isang numerong positibo o katumbas ng zero. Bumaling tayo sa pag-aari ng pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan at ang kahulugan nito. Sa kanilang tulong, maaari mong ibahin ang anyo ng mga pagkakapantay-pantay sa anyong a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Pinatutunayan nito ang pag-aari ng ugat ng ugat na isinasaalang-alang.

Ang iba pang mga pag-aari ay napatunayang katulad. Talaga, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Halimbawa, 7 3 5 = 7 5 3 at 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24.

1. Patunayan natin ang sumusunod na katangian a m n · m = a n . Upang gawin ito, kinakailangang ipakita na ang isang n ay isang numero, positibo o katumbas ng zero. Kapag nakataas sa kapangyarihan n m ay katumbas ng isang m. Kung ang bilang a ay positibo o katumbas ng zero, kung gayon n-ika degree mula sa gitna a ay isang positibong numero o katumbas ng zero. Sa kasong ito, a n · m n = a n n m , na siyang kailangang patunayan.

Upang mapagsama-sama ang kaalamang natamo, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

1. Patunayan natin ang sumusunod na ari-arian – ang ari-arian ng ugat ng kapangyarihan ng anyong a m n = a n m . Ito ay malinaw na kapag isang ≥ 0 ang degree a n m ay isang hindi negatibong numero. Bukod dito, sa kanya n ang kapangyarihan ay katumbas ng isang m, talaga, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng degree na isinasaalang-alang.

Halimbawa, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Ito ay kinakailangan upang patunayan na para sa anumang positibong numero a at b ang kundisyon ay nasiyahan a< b . Isaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Samakatuwid, ang isang n< b n при a< b .

Halimbawa, bigyan natin ng 12 4< 15 2 3 4 .

1. Isaalang-alang ang pag-aari ng ugat n-ika-degree. Kinakailangang isaalang-alang muna ang unang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa m > n At 0 < a < 1 totoo a m > a n . Ipagpalagay natin na ang a m ≤ a n. Ang mga katangian ay magbibigay-daan sa iyo na pasimplehin ang expression sa a n m · n ≤ a m m · n . Pagkatapos, ayon sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent, ang hindi pagkakapantay-pantay a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n hold, iyon ay, isang n ≤ isang m. Ang nakuhang halaga sa m > n At 0 < a < 1 ay hindi tumutugma sa mga katangiang ibinigay sa itaas.

Sa parehong paraan mapapatunayan na kapag m > n At a > 1 totoo ang kundisyon a m< a n .

Upang pagsamahin ang mga katangian sa itaas, isaalang-alang natin ang ilang partikular na halimbawa. Tingnan natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga tiyak na numero.

Halimbawa 6

0, 7 3 > 0, 7 5 at 12 > 12 7.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kadalasan, kapag nilulutas ang mga problema, nahaharap tayo sa malalaking numero kung saan kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat. Maraming mga mag-aaral ang nagpasiya na ito ay isang pagkakamali at nagsimulang muling lutasin ang buong halimbawa. Sa anumang pagkakataon dapat mong gawin ito! Mayroong dalawang dahilan para dito:

1. Ang mga ugat ng malalaking numero ay lumilitaw sa mga problema. Lalo na sa mga text;
2. Mayroong isang algorithm kung saan ang mga ugat na ito ay kinakalkula nang halos pasalita.

Isasaalang-alang namin ang algorithm na ito ngayon. Marahil ang ilang mga bagay ay tila hindi maintindihan sa iyo. Ngunit kung bibigyan mo ng pansin ang araling ito, makakatanggap ka ng isang malakas na sandata laban sa parisukat na ugat.

Kaya, ang algorithm:

1. Limitahan ang kinakailangang ugat sa itaas at ibaba sa mga numero na multiple ng 10. Kaya, babawasan namin ang hanay ng paghahanap sa 10 numero;
2. Mula sa 10 numerong ito, alisin ang mga tiyak na hindi maaaring maging ugat. Bilang resulta, 1-2 numero ang mananatili;
3. Kuwadrado ang 1-2 numerong ito. Ang isa na ang parisukat ay katumbas ng orihinal na numero ang magiging ugat.

Bago isagawa ang algorithm na ito, tingnan natin ang bawat indibidwal na hakbang.

Limitasyon ng ugat

Una sa lahat, kailangan nating malaman sa pagitan ng kung aling mga numero ang matatagpuan sa ating ugat. Lubhang kanais-nais na ang mga numero ay multiple ng sampu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Kumuha kami ng isang serye ng mga numero:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ano ang sinasabi sa atin ng mga numerong ito? Simple lang: nakakakuha tayo ng mga hangganan. Kunin, halimbawa, ang bilang na 1296. Ito ay nasa pagitan ng 900 at 1600. Samakatuwid, ang ugat nito ay hindi maaaring mas mababa sa 30 at mas malaki sa 40:

[Caption para sa larawan]

Ang parehong bagay ay nalalapat sa anumang iba pang numero kung saan maaari mong mahanap ang square root. Halimbawa, 3364:

[Caption para sa larawan]

Kaya, sa halip na isang hindi maintindihan na numero, nakakakuha kami ng isang napaka-espesipikong hanay kung saan namamalagi ang orihinal na ugat. Upang higit pang paliitin ang lugar ng paghahanap, magpatuloy sa pangalawang hakbang.

Tinatanggal ang malinaw na hindi kinakailangang mga numero

Kaya, mayroon kaming 10 numero - mga kandidato para sa ugat. Nakuha namin ang mga ito nang napakabilis, nang walang kumplikadong pag-iisip at pagpaparami sa isang hanay. Oras na para magpatuloy.

Maniwala ka man o hindi, babawasan natin ngayon ang bilang ng mga numero ng kandidato sa dalawa - muli nang walang anumang kumplikadong mga kalkulasyon! Sapat na malaman ang espesyal na tuntunin. Heto na:

Ang huling digit ng parisukat ay nakasalalay lamang sa huling digit orihinal na numero.

Sa madaling salita, tingnan lamang ang huling digit ng parisukat at agad nating mauunawaan kung saan nagtatapos ang orihinal na numero.

Mayroon lamang 10 digit na maaaring dumating sa huling lugar. Subukan nating alamin kung ano ang kanilang nagiging kapag squared. Tingnan ang talahanayan:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ang talahanayan na ito ay isa pang hakbang patungo sa pagkalkula ng ugat. Tulad ng nakikita mo, ang mga numero sa pangalawang linya ay naging simetriko na nauugnay sa lima. Halimbawa:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Tulad ng nakikita mo, ang huling digit ay pareho sa parehong mga kaso. Nangangahulugan ito na, halimbawa, ang ugat ng 3364 ay dapat magtapos sa 2 o 8. Sa kabilang banda, naaalala natin ang paghihigpit mula sa nakaraang talata. Nakukuha namin:

[Caption para sa larawan]

Ang mga pulang parisukat ay nagpapahiwatig na hindi pa natin alam ang figure na ito. Ngunit ang ugat ay nasa saklaw mula 50 hanggang 60, kung saan mayroon lamang dalawang numero na nagtatapos sa 2 at 8:

[Caption para sa larawan]

Iyon lang! Sa lahat ng posibleng ugat, dalawang pagpipilian lang ang iniwan namin! At ito ay nasa pinakamahirap na kaso, dahil ang huling digit ay maaaring 5 o 0. At pagkatapos ay magkakaroon lamang ng isang kandidato para sa mga ugat!

Panghuling kalkulasyon

Kaya, mayroon kaming 2 numero ng kandidato na natitira. Paano mo malalaman kung alin ang ugat? Ang sagot ay malinaw: parisukat ang parehong mga numero. Ang isang parisukat na nagbibigay ng orihinal na numero ang magiging ugat.

Halimbawa, para sa numerong 3364 nakakita kami ng dalawang numero ng kandidato: 52 at 58. I-square natin ang mga ito:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Iyon lang! 58 pala ang ugat! Kasabay nito, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginamit ko ang formula para sa mga parisukat ng kabuuan at pagkakaiba. Salamat dito, hindi ko na kinailangan pang i-multiply ang mga numero sa isang column! Ito ay isa pang antas ng pag-optimize ng pagkalkula, ngunit, siyempre, ito ay ganap na opsyonal :)

Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga ugat

Ang teorya ay, siyempre, mabuti. Ngunit suriin natin ito sa pagsasanay.

[Caption para sa larawan]

Una, alamin natin kung aling mga numero ang nasa 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ngayon tingnan natin ang huling numero. Ito ay katumbas ng 6. Kailan ito nangyayari? Lamang kung ang ugat ay nagtatapos sa 4 o 6. Makakakuha kami ng dalawang numero:

Ang natitira na lang ay i-square ang bawat numero at ihambing ito sa orihinal:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Malaki! Ang unang parisukat ay naging katumbas ng orihinal na numero. Kaya ito ang ugat.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Tingnan natin ang huling digit:

1369 → 9;
33; 37.

Kuwadrado ito:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Narito ang sagot: 37.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

Nililimitahan namin ang bilang:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Tingnan natin ang huling digit:

2704 → 4;
52; 58.

Kuwadrado ito:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Natanggap namin ang sagot: 52. Ang pangalawang numero ay hindi na kailangang i-squad.

Gawain. Kalkulahin ang square root:

[Caption para sa larawan]

Nililimitahan namin ang bilang:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Tingnan natin ang huling digit:

4225 → 5;
65.

Tulad ng nakikita mo, pagkatapos ng pangalawang hakbang ay mayroon na lamang isang opsyon na natitira: 65. Ito ang gustong ugat. Ngunit i-square pa rin natin ito at suriin:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Lahat ay tama. Sinusulat namin ang sagot.

Konklusyon

Naku, walang mas mahusay. Tingnan natin ang mga dahilan. Dalawa sila:

• Sa anumang normal na pagsusulit sa matematika, maging ito man ang State Examination o ang Unified State Exam, ang paggamit ng mga calculator ay ipinagbabawal. At kung magdadala ka ng calculator sa klase, madali kang ma-kick out sa pagsusulit.
• Huwag maging tulad ng mga hangal na Amerikano. Na hindi tulad ng mga ugat - hindi sila maaaring magdagdag ng dalawang pangunahing numero. At kapag nakakakita sila ng mga fraction, sa pangkalahatan ay nagiging hysterical sila.