Kalkulahin ang derivative sa puntong x0. Hanapin ang halaga ng hinango ng pag-andar sa puntong x0. Katumbas ng tangent sa grap ng pag-andar

Halimbawa 1

Sanggunian: Ang mga sumusunod na paraan upang magpahiwatig ng isang function ay katumbas: Sa ilang mga gawain, ito ay maginhawa upang italaga ang pagpapaandar bilang "laro", at sa ilan bilang "ff mula sa x".

Una, nahanap namin ang derivative:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang hinango ng isang function sa isang punto

, , buong pag-aaral ng pag-andar at iba pa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang hinango ng isang function sa isang punto. Una, hahanapin natin ang derivative:

Well, iyon ay isang ganap na naiibang bagay. Kinakalkula natin ang halaga ng derivative sa puntong:

Kung hindi mo maintindihan kung paano natagpuan ang pinagmulan, bumalik sa unang dalawang aralin ng paksa. Kung nahihirapan ka (hindi pagkakaunawaan) sa arctangent at mga kahulugan nito, kinakailangan pag-aralan ang materyal sa pagtuturo Mga graphic at katangian ng elementarya na pag-andar - ang pinakahuling talata. Dahil may mga sapat pang arctangents para sa edad ng mag-aaral.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang hinango ng isang function sa isang punto.

Katumbas ng tangent sa grap ng pag-andar

Upang pagsamahin ang nakaraang seksyon, isaalang-alang ang problema sa paghahanap ng mga padaplis function na graphics sa puntong ito. Natugunan namin ang gawaing ito sa paaralan, at natagpuan din ito sa kurso ng mas mataas na matematika.

Isaalang-alang natin ang isang "demo" na pinakasimpleng halimbawa.

Isulat ang equation ng tangent sa grap ng pag-andar sa punto kasama ang abscissa. Magbibigay agad ako ng isang handa na grapikong solusyon sa problema (sa pagsasagawa, hindi ito kinakailangan sa karamihan ng mga kaso):

Ang isang mahigpit na kahulugan ng isang padaplis ay ibinigay ni kahulugan ng derivative ng isang function, ngunit sa ngayon ay makakamit natin ang teknikal na bahagi ng tanong. Tiyak na halos lahat ng intuitively ay nauunawaan kung ano ang isang padaplis. Kung upang ipaliwanag ang "sa mga daliri", kung gayon ang pag-andar ng padrino sa grap ay diretsona may kinalaman sa graph ng pagpapaandar sa ang nag-iisapunto. Bukod dito, ang lahat ng mga kalapit na puntos ng tuwid na linya ay matatagpuan malapit sa maaari sa grap ng pag-andar.

Sa aming kaso: sa, ang tangent (standard notation) ay hawakan ang graph ng pag-andar sa isang punto.

At ang aming gawain ay upang mahanap ang equation ng linya.

Pinagmulan ng isang function sa isang punto

Paano mahahanap ang derivative ng isang function sa isang punto? Dalawang malinaw na mga punto ng takdang-aralin na ito ay sumusunod mula sa mga salitang:

1) Kailangang hanapin ang hinalaw.

2) Kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng hinango sa isang naibigay na punto.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang hinango ng isang function sa isang punto

Tulong: Ang mga sumusunod na paraan upang magpahiwatig ng isang function ay katumbas:


Sa ilang mga gawain, ito ay maginhawa upang italaga ang pagpapaandar bilang "laro", at sa ilan bilang "ff mula sa x".

Una, nahanap namin ang derivative:

Inaasahan ko na maraming nasanay na sa paghahanap ng mga nasabing derivatives sa pasalita.

Sa ikalawang hakbang, kinakalkula namin ang halaga ng derivative sa puntong:

Isang maliit na halimbawa ng pag-init para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang hinango ng isang function sa isang punto

Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Ang pangangailangan upang mahanap ang derivative sa isang punto ay lumitaw sa mga sumusunod na problema: ang pagtatayo ng isang padaplis sa graph ng isang function (sa susunod na talata), pag-aaral ng sobrang pagpapaandar , pagsubok ng inflection , buong pag-aaral ng pag-andar at iba pa.

Ngunit ang tungkulin na pinag-uusapan ay matatagpuan sa mga pagsusuri at sa kanyang sarili. At, bilang isang panuntunan, sa mga naturang kaso, ang pagpapaandar ay binibigyan ng kumplikado. Kaugnay nito, isaalang-alang ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang derivative ng isang function sa puntong.
Una, hahanapin natin ang derivative:

Ang derivative, sa prinsipyo, ay natagpuan, at ang kinakailangang halaga ay maaaring mapalitan. Ngunit hindi ko nais na gawin ito. Ang expression ay napakahaba, at ang halaga ng "X" ay fractional. Samakatuwid, sinisikap naming gawing simple hangga't maaari. Sa kasong ito, subukan nating dalhin ang huling tatlong term sa isang karaniwang denominador: sa puntong.

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself.

Paano mahahanap ang halaga ng hinango ng pagpapaandar F (x) sa puntong Xo? Paano malutas ito sa pangkalahatan?

Kung ang pormula ay ibinibigay, pagkatapos hanapin ang derivative at kapalit ng X-zero sa halip na X. Kalkulahin
Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa b-8 PAGGAMIT, grap, pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang tangent ng anggulo (talamak o obtuse), na bumubuo ng isang padaplis na may X-axis (gamit ang kaisipan na konstruksyon ng isang tamang-anggulo na tatsulok at pagtukoy ng tangent ng anggulo)

Timur adilkhodzhaev

Una, kailangan mong magpasya sa pag-sign. Kung ang punto x0 ay nasa ibabang bahagi ng eroplano ng coordinate, kung gayon ang pag-sign sa sagot ay magiging minus, at kung ito ay mas mataas, pagkatapos +.
Pangalawa, kailangan mong malaman kung ano ang mga tanges sa isang hugis-parihaba na parihaba. At ito ang ratio ng kabaligtaran (binti) sa katabing bahagi (din ang binti). Mayroong karaniwang ilang mga itim na marka sa pagpipinta. Mula sa mga marka na ginagawa mo kanang tatsulok at nakakita ka ng mga tanges.

Paano mahahanap ang halaga ng hinango ng pag-andar f x sa puntong x0?

walang tiyak na tanong na isinagawa - 3 taon na ang nakalilipas

Sa pangkalahatan, upang mahanap ang halaga ng hinango ng isang function na may paggalang sa ilang variable sa anumang punto, kailangan mong pag-iba-ibahin ang ibinigay na function na may paggalang sa variable na ito. Sa iyong kaso, sa pamamagitan ng variable X. Sa nagresultang expression, sa halip ng X, ilagay ang halaga ng x sa puntong kailangan mo upang mahanap ang halaga ng derivative, i.e. sa iyong kaso, palitan ang zero X at kalkulahin ang nagresultang expression.

Well, at ang iyong pagnanais na maunawaan ang isyung ito, sa palagay ko, walang alinlangan na nararapat +, na inilagay ko ng isang malinaw na budhi.

Ang pagbabalangkas na ito ng problema sa paghahanap ng derivative ay madalas na posisyong upang ayusin ang materyal sa geometric na kahulugan ng derivative. Ang isang graph ng isang tiyak na pag-andar ay iminungkahi, ganap na di-makatwiran at hindi ibinibigay ng isang equation, at kinakailangan na hanapin ang halaga ng derivative (hindi ang derivative mismo, tandaan!) Sa tinukoy na punto X0. Para sa mga ito, ang isang padaplis na linya sa isang naibigay na pag-andar ay itinayo at ang punto ng intersection nito kasama ang mga axes ng coordinate. Pagkatapos ang equation ng tangent line na ito ay iginuhit sa form y \u003d kx + b.

Sa ekwasyong ito, ang koepisyent na k at ang magiging halaga ng hinango. nananatili lamang ito upang mahanap ang halaga ng koepisyent b. Upang gawin ito, nahanap namin ang halaga ng y sa x \u003d o, hayaan itong maging 3 - ito ang halaga ng koepisyent b. Pinalitan namin ang mga halaga ng X0 at Y0 sa orihinal na equation at natagpuan ang k - ang aming halaga ng mga hinango sa puntong ito.

Ang problemang B9 ay nagbibigay ng isang graph ng isang function o hinango, kung saan nais mong matukoy ang isa sa mga sumusunod na dami:

1. Ang halaga ng mga hinango sa ilang mga punto x 0,
2. Mataas o mababang puntos (matinding puntos),
3. Ang mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng pag-andar (agwat ng monotonicity).

Ang mga function at derivatives na ipinakita sa problemang ito ay palaging tuloy-tuloy, na lubos na pinadali ang solusyon. Sa kabila ng katotohanan na ang gawain ay kabilang sa seksyon ng pagsusuri sa matematika, ito ay lubos na nasa loob ng kapangyarihan ng kahit na ang pinakamahina na mga mag-aaral, dahil walang malalim na kaalaman sa teoretikal na kinakailangan dito.

May mga simple at unibersal na algorithm para sa paghahanap ng halaga ng mga dermatibo, mga puntos ng pang-ibabaw, at mga agwat ng monotonic - ang lahat ng ito ay tatalakayin sa ibaba.

Maingat na basahin ang pahayag ng problema B9 upang maiwasan ang mga hangal na pagkakamali: kung minsan ay nakatagpo ka sa halip na mahaba ang mga teksto, ngunit may ilang mga mahahalagang kondisyon na nakakaapekto sa kurso ng solusyon.

Kinakalkula ang halaga ng hinango. Dalawang paraan ng point

Kung sa problema ang graph ng pag-andar f (x) ay ibinibigay, tangent sa graph na ito sa ilang punto x 0, at kinakailangan na hanapin ang halaga ng derivative sa puntong ito, ang sumusunod na algorithm ay inilalapat:

1. Maghanap ng dalawang "sapat na" puntos sa tangent graph: ang kanilang mga coordinate ay dapat na integer. Iminungkahi natin ang mga puntong ito sa pamamagitan ng A (x 1; y 1) at B (x 2; y 2). Isulat nang tama ang mga coordinate - ito ang susi sa solusyon, at ang anumang pagkakamali dito ay humantong sa maling sagot.
2. Alam ang mga coordinate, madaling kalkulahin ang pagdaragdag ng argumento Δx \u003d x 2 - x 1 at ang pagdaragdag ng pagpapaandar Δy \u003d y 2 - y 1.
3. Sa wakas, nahanap namin ang halaga ng derivative D \u003d Δy / Δx. Sa madaling salita, kailangan mong hatiin ang pagdaragdag ng pag-andar sa pamamagitan ng pagdaragdag ng argumento - at ito ang magiging sagot.

Tandaan muli: ang mga puntos na A at B ay dapat na hahanapin nang eksakto sa linya ng padaplis, at hindi sa graph ng pagpapaandar f (x), tulad ng madalas na kaso. Ang linya ng padaplis ay kinakailangang maglaman ng hindi bababa sa dalawang tulad na mga puntos - kung hindi man ang problema ay hindi nakasulat nang tama.

Isaalang-alang ang mga puntos A (−3; 2) at B (−1; 6) at hanapin ang mga pagdaragdag:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; \u003dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hanapin ang halaga ng hinango: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng pag-andar y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng hinango ng pagpapaandar f (x) sa puntong x 0.

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 3) at B (3; 0), hanapin ang mga pagdaragdag:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; \u003dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Ngayon nahanap namin ang halaga ng hinango: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng pag-andar y \u003d f (x) at ang tangent dito sa puntong may abscissa x 0. Hanapin ang halaga ng hinango ng pagpapaandar f (x) sa puntong x 0.

Isaalang-alang ang mga puntos A (0; 2) at B (5; 2) at hanapin ang mga pagdaragdag:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Ito ay nananatili upang mahanap ang halaga ng mga hinango: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

Mula sa huling halimbawa, maaari kaming magbalangkas ng isang patakaran: kung ang padaplis ay kahanay sa axis ng OX, ang derivative ng pag-andar sa punto ng tangency ay zero. Sa kasong ito, hindi mo na kailangang mabilang kahit ano - tingnan lamang ang tsart.

Kinakalkula ang pinakamataas at pinakamababang puntos

Minsan, sa halip na isang graph ng isang function, ang problema ng B9 ay nagbibigay ng isang graph ng derivative at kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum na punto ng pag-andar. Sa sitwasyong ito, ang pamamaraan ng dalawang punto ay walang silbi, ngunit mayroong isa pa, kahit na mas simple na algorithm. Una, tukuyin natin ang terminolohiya:

1. Ang point x 0 ay tinatawag na maximum point ng function f (x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak: f (x 0) ≥ f (x).
2. Ang point x 0 ay tinatawag na minimum point ng function f (x) kung sa ilang kapitbahayan ng puntong ito ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak: f (x 0) ≤ f (x).

Upang mahanap ang pinakamataas at pinakamababang puntos sa grap ng derivative, sapat na upang maisagawa ang mga sumusunod na hakbang:

1. I-redraw ang graph ng derivative, tinatanggal ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Ipinapakita ng kasanayan na ang hindi kinakailangang data ay pumipigil sa solusyon. Samakatuwid, minarkahan namin ang mga zero ng derivative sa coordinate axis - iyon lang.
2. Alamin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung para sa ilang mga punto x 0 malalaman na f '(x 0) ≠ 0, pagkatapos ay dalawang pagpipilian lamang ang posible: f' (x 0) ≥ 0 o f '(x 0) ≤ 0. Ang tanda ng deribatibo ay madaling matukoy mula sa paunang pagguhit: kung ang graph ng derivative ay namamalagi sa itaas ng axis ng OX, kung gayon f '(x) And 0. At kabaliktaran, kung ang graph ng derivative ay nasa ilalim ng OX axis, pagkatapos ay f' (x) ≤ 0.
3. Suriin muli ang mga zero at palatandaan ng derivative. Kung saan ang pag-sign ay nagbabago mula sa minus hanggang plus, mayroong isang minimum point. Sa kabaligtaran, kung ang pag-sign ng derivative pagbabago mula sa plus sa minus, ito ang maximum na punto. Ang pagbilang ay palaging isinasagawa mula kaliwa hanggang kanan.

Ang pamamaraan na ito ay gumagana lamang para sa patuloy na pag-andar - walang iba pa sa problema B9.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function f (x), na tinukoy sa agwat [−5; lima]. Hanapin ang pinakamababang punto ng pag-andar f (x) sa segment na ito.

Alisin natin ang mga hindi kinakailangang impormasyon - iiwan lang natin ang mga hangganan [−5; 5] at mga zero ng derivative x \u003d −3 at x \u003d 2.5. Tandaan din ang mga palatandaan:

Malinaw na, sa puntong x \u003d −3 ang pag-sign ng mga nagbago ng derivative mula sa minus hanggang dagdagan. Ito ang pinakamababang punto.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function f (x), na tinukoy sa segment [−3; 7]. Hanapin ang maximum na punto ng pag-andar f (x) sa segment na ito.

I-redraw natin ang graph, iiwan lamang ang mga hangganan [−3; 7] at ang mga zero ng derivative x \u003d −1,7 at x \u003d 5. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa nagreresultang graph. Meron kami:

Malinaw na, sa puntong x \u003d 5 ang pag-sign ng mga nagbabago na nagbago mula sa plus sa minus - ito ang maximum na punto.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function f (x) na tinukoy sa segment [−6; 4]. Hanapin ang bilang ng mga pinakamataas na puntos ng pag-andar f (x), kabilang sa segment [−4; 3].

Sumusunod ito mula sa pahayag ng problema na ito ay sapat na upang isaalang-alang lamang ang bahagi ng grap na nakagapos ng segment [−4; 3]. Samakatuwid, nagtatayo kami ng isang bagong tsart kung saan minarkahan lamang namin ang mga hangganan [−4; 3] at mga zero ng derivative sa loob nito. Lalo na, puntos x \u003d −3.5 at x \u003d 2. Nakukuha namin:

Ang graph na ito ay may lamang isang maximum na point x \u003d 2. Doon na ang pag-sign ng mga derivative na pagbabago mula sa plus sa minus.

Ang isang mabilis na tala sa mga puntos na may mga non-integer coordinate. Halimbawa, sa huling problema ang point ay isinasaalang-alang x \u003d −3.5, ngunit maaari mo ring pati na rin kunin ang x \u003d −3.4. Kung ang problema ay nabalangkas nang tama, ang mga naturang pagbabago ay hindi dapat makaapekto sa sagot, dahil ang mga punto ng "walang nakapirming tahanan" ay hindi direktang kasangkot sa paglutas ng problema. Siyempre, ang trick na ito ay hindi gagana sa mga puntos ng integer.

Ang paghahanap ng mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng mga pag-andar

Sa ganoong problema, tulad ng maximum at pinakamababang puntos, iminungkahi na hanapin ang mga rehiyon kung saan ang pagpapaandar mismo ay tataas o bumababa mula sa dermatikong grapiko. Una, tukuyin natin kung ano ang pagtaas at pagbaba:

1. Ang isang function f (x) ay tinatawag na pagtaas sa isang segment kung para sa anumang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Sa madaling salita, mas malaki ang halaga ng argumento, mas malaki ang halaga ng pag-andar.
2. Ang isang function f (x) ay tinatawag na bumababa sa isang segment kung para sa anumang dalawang puntos x 1 at x 2 mula sa segment na ito ang sumusunod na pahayag ay totoo: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Ang mga iyon. mas malaki ang halaga ng argumento, mas maliit ang halaga ng pag-andar.

Gumawa tayo ng sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba:

1. Para sa isang tuluy-tuloy na pag-andar f (x) upang madagdagan sa isang segment, sapat na ang derivative nito sa loob ng segment ay positibo, i.e. f '(x) ≥ 0.
2. Para sa isang tuluy-tuloy na pag-andar f (x) upang bumaba sa isang segment, sapat na ang negatibo sa loob ng segment ay negatibo, i.e. f '(x) ≤ 0.

Tanggapin natin ang mga pahayag na ito na walang katibayan. Sa gayon, nakakakuha kami ng isang pamamaraan para sa paghahanap ng mga agwat ng pagtaas at pagbaba, na sa maraming mga paraan na katulad ng algorithm para sa pagkalkula ng mga puntos na pang-upo:

1. Alisin ang lahat ng hindi kinakailangang impormasyon. Sa orihinal na balangkas ng pinagmulan, lalo na kami ay interesado sa mga zero ng pag-andar, kaya iiwan lang natin sila.
2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative sa pagitan ng mga zero. Kung saan ang f '(x) ≥ 0, tataas ang pagpapaandar, at kung saan bumababa ang f' (x) ≤ 0. Kung ang mga problema ay may mga paghihigpit sa variable x, bukod pa rito minarkahan namin ang mga ito sa bagong grap.
3. Ngayon alam natin ang pag-uugali ng pag-andar at pagpilit, nananatili itong makalkula ang halaga na kinakailangan sa problema.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function f (x), na tinukoy sa segment [−3; 7.5]. Hanapin ang mga agwat ng pagbawas ng pag-andar f (x). Sa iyong sagot, ipahiwatig ang kabuuan ng mga integers na kasama sa mga pagitan.

Tulad ng dati, muling pag-redraw ang graph at markahan ang mga hangganan [−3; 7.5], pati na rin ang mga zero ng derivative x \u003d −1.5 at x \u003d 5.3. Pagkatapos ay minarkahan namin ang mga palatandaan ng derivative. Meron kami:

Dahil ang derivative ay negatibo sa agwat (- 1.5), ito ang agwat ng pagbawas ng pag-andar. Ito ay nananatiling upang magbilang ng lahat ng mga integer na nasa loob ng agwat na ito:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Isang gawain. Ipinapakita ng figure ang graph ng derivative ng function f (x), na tinukoy sa agwat [−10; 4]. Hanapin ang mga agwat ng pagtaas ng pag-andar f (x). Sa sagot, ipahiwatig ang haba ng pinakamahabang sa kanila.

Tanggalin natin ang mga hindi kinakailangang impormasyon. Iwanan lamang ang mga hangganan [−10; 4] at mga zero ng derivative, na sa pagkakataong ito ay naging apat: x \u003d −8, x \u003d −6, x \u003d −3 at x \u003d 2. Pansinin ang mga palatandaan ng derivative at makuha ang sumusunod na larawan:

Kami ay interesado sa mga agwat ng pagtaas ng pag-andar, i.e. tulad nito, kung saan ang f '(x) ≥ 0. Sa graph mayroong dalawang ganyang agwat: (−8; −6) at (−3; 2). Kinakalkula natin ang kanilang mga haba:
l 1 \u003d - 6 - (−8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (−3) \u003d 5.

Dahil kinakailangan upang hanapin ang haba ng pinakamalaki ng mga agwat, sa sagot na isusulat namin ang halaga l 2 \u003d 5.