Dikdörtgen koordinat sistemi. Kartezyen koordinat sistemi: temel kavramlar ve örnekler Koordinat düzlemi ile çalışma

Düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemi, birbirine dik iki doğru tarafından verilir. Düz çizgilere koordinat eksenleri (veya koordinat eksenleri) denir. Bu çizgilerin kesişme noktasına orijin denir ve O harfi ile gösterilir.

Genellikle çizgilerden biri yatay, diğeri dikeydir. Yatay çizgi x (veya Ox) ekseni olarak adlandırılır ve apsis ekseni olarak adlandırılır, dikey olan y (Oy) eksenidir, ordinat ekseni olarak adlandırılır. Tüm koordinat sistemi xOy ile gösterilir.

O noktası, eksenlerin her birini, biri pozitif olarak kabul edilen (bir okla gösterilir), diğeri negatif olarak kabul edilen iki yarım eksene böler.

Düzlemin her F noktasına bir çift sayı (x;y) atanır - koordinatları.

X koordinatına apsis denir. Uygun işaretle alınan Öküz'e eşittir.

Y koordinatına ordinat denir ve F noktasından Oy eksenine olan mesafeye eşittir (karşılık gelen işaretle).

Aks mesafeleri genellikle (ancak her zaman değil) aynı uzunluk biriminde ölçülür.

Y ekseninin sağındaki noktalar pozitif apsislere sahiptir. Y ekseninin solunda kalan noktalar için apsisler negatiftir. Oy ekseni üzerinde bulunan herhangi bir nokta için x koordinatı sıfıra eşittir.

Pozitif ordinatı olan noktalar x ekseninin üzerinde, ordinatı negatif olan noktalar ise aşağıdadır. Bir nokta x ekseni üzerinde bulunuyorsa, y koordinatı sıfırdır.

Koordinat eksenleri, düzlemi koordinat çeyrekleri (veya koordinat açıları veya kadranlar) olarak adlandırılan dört parçaya böler.

1 koordinat çeyreği xOy koordinat düzleminin sağ üst köşesinde bulunur. I çeyreğinde bulunan noktaların her iki koordinatı da pozitiftir.

Bir çeyrekten diğerine geçiş saat yönünün tersine gerçekleştirilir.

2. çeyrek sol üst köşede bulunur. İkinci çeyrekte yer alan noktalar negatif bir apsise ve pozitif bir ordinata sahiptir.

3. çeyrek xOy düzleminin sol alt kadranda yer alır. III koordinat açısına ait noktaların her iki koordinatı da negatiftir.

4. koordinat çeyreği koordinat düzleminin sağ alt köşesidir. IV çeyreğinden herhangi bir noktanın pozitif bir ilk koordinatı ve negatif bir ikinci koordinatı vardır.

Dikdörtgen koordinat sistemindeki noktaların konumuna bir örnek:

Matematik oldukça karmaşık bir bilimdir. Onu incelemek, sadece örnekleri ve problemleri çözmekle kalmayıp, aynı zamanda çeşitli figürlerle ve hatta uçaklarla da çalışmak zorundadır. Matematikte en çok kullanılanlardan biri düzlemdeki koordinat sistemidir. Çocuklara bir yıldan fazla bir süredir onunla nasıl doğru çalışılacağı öğretildi. Bu nedenle, ne olduğunu ve onunla nasıl doğru çalışılacağını bilmek önemlidir.

Bu sistemin ne olduğunu, onunla hangi eylemleri gerçekleştirebileceğinizi ve ayrıca ana özelliklerini ve özelliklerini öğrenelim.

kavram tanımı

Koordinat düzlemi, üzerinde belirli bir koordinat sisteminin tanımlandığı bir düzlemdir. Böyle bir düzlem, dik açıyla kesişen iki düz çizgi ile tanımlanır. Bu çizgilerin kesişme noktası koordinatların başlangıç ​​noktasıdır. Koordinat düzlemindeki her nokta, koordinat adı verilen bir çift sayı ile verilir.

Bir okul matematik dersinde, öğrenciler bir koordinat sistemiyle oldukça yakından çalışmak zorundadırlar - üzerinde şekiller ve noktalar oluşturmak, belirli bir koordinatın hangi düzleme ait olduğunu belirlemek ve ayrıca bir noktanın koordinatlarını belirlemek ve bunları yazmak veya adlandırmak. Bu nedenle, koordinatların tüm özellikleri hakkında daha ayrıntılı konuşalım. Ama önce yaratılış tarihine değinelim, ardından koordinat düzleminde nasıl çalışacağımızdan bahsedelim.

Geçmiş referansı

Bir koordinat sistemi oluşturmaya ilişkin fikirler Ptolemy zamanlarındaydı. O zaman bile, gökbilimciler ve matematikçiler, bir noktanın konumunu uçakta nasıl ayarlayacaklarını nasıl öğreneceklerini düşünüyorlardı. Ne yazık ki o zamanlar bildiğimiz bir koordinat sistemi yoktu ve bilim adamları başka sistemleri kullanmak zorunda kaldılar.

Başlangıçta, enlem ve boylam belirterek noktalar belirlerler. Uzun bir süre, şu veya bu bilgiyi haritalamanın en çok kullanılan yollarından biriydi. Ancak 1637'de Rene Descartes, daha sonra "Kartezyen" olarak adlandırılan kendi koordinat sistemini yarattı.

Zaten XVII yüzyılın sonunda. "koordinat düzlemi" kavramı matematik dünyasında yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bu sistemin yaratılmasından bu yana birkaç yüzyıl geçmesine rağmen, matematikte ve hatta hayatta hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

Koordinat düzlemi örnekleri

Teoriden bahsetmeden önce, hayal edebilmeniz için koordinat düzleminin bazı açıklayıcı örneklerini vereceğiz. Koordinat sistemi öncelikle satrançta kullanılır. Tahtada, her karenin kendi koordinatları vardır - bir harf koordinatı, ikincisi - dijital. Onun yardımıyla, belirli bir parçanın tahtadaki konumunu belirleyebilirsiniz.

En çarpıcı ikinci örnek ise sevilen oyun "Battleship". Oynarken, bir koordinatı nasıl adlandırdığınızı, örneğin B3'ü, böylece tam olarak nereye nişan aldığınızı gösterdiğinizi unutmayın. Aynı zamanda gemileri yerleştirirken koordinat düzleminde noktalar belirlersiniz.

Bu koordinat sistemi sadece matematikte, mantık oyunlarında değil, askerlik, astronomi, fizik ve diğer birçok bilimde de yaygın olarak kullanılmaktadır.

koordinat eksenleri

Daha önce belirtildiği gibi, koordinat sisteminde iki eksen ayırt edilir. Oldukça önemli oldukları için onlardan biraz bahsedelim.

İlk eksen - apsis - yataydır. olarak gösterilir ( Öküz). İkinci eksen, referans noktasından dikey olarak geçen ve ( Oy). Koordinat sistemini oluşturan bu iki eksen, düzlemi dörde böler. Orijin, bu iki eksenin kesişme noktasında bulunur ve değeri alır. 0 . Yalnızca düzlem, dik olarak kesişen ve bir referans noktasına sahip iki eksenden oluşuyorsa, bu bir koordinat düzlemidir.

Ayrıca eksenlerin her birinin kendi yönüne sahip olduğunu unutmayın. Genellikle, bir koordinat sistemi oluştururken, eksenin yönünü bir ok şeklinde belirtmek gelenekseldir. Ayrıca koordinat düzlemi oluşturulurken eksenlerin her biri işaretlenir.

çeyrek

Şimdi koordinat düzleminin çeyrekleri gibi bir kavram hakkında birkaç söz söyleyelim. Düzlem iki eksenle dörde bölünmüştür. Uçakların numaralandırılması saat yönünün tersine iken, her birinin kendi numarası vardır.

Mahallelerin her birinin kendine has özellikleri vardır. Yani ilk çeyrekte apsis ve ordinat pozitif, ikinci çeyrekte apsis negatif, ordinat pozitif, üçüncüde hem apsis hem de ordinat negatif, dördüncüde apsis negatif pozitif ve ordinat negatiftir.

Bu özellikleri hatırlayarak belirli bir noktanın hangi çeyreğe ait olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Ayrıca Kartezyen sistemi kullanarak hesaplamalar yapmak zorunda kalırsanız bu bilgiler işinize yarayabilir.

Koordinat düzlemi ile çalışma

Uçak kavramını ele alıp çeyreklerinden bahsettiğimizde, bu sistemle çalışmak gibi bir probleme geçebiliriz ve ayrıca üzerine noktaların, rakamların koordinatlarının nasıl konulacağından bahsedebiliriz. Koordinat düzleminde bu, ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir.

Her şeyden önce, sistemin kendisi inşa edilir, tüm önemli tanımlamalar ona uygulanır. Sonra doğrudan noktalarla veya rakamlarla çalışma var. Bu durumda, şekiller oluştururken bile, önce düzleme noktalar uygulanır ve daha sonra şekiller zaten çizilir.

Bir uçak inşa etme kuralları

Kağıt üzerinde şekilleri ve noktaları işaretlemeye karar verirseniz, bir koordinat düzlemine ihtiyacınız olacaktır. Noktaların koordinatları üzerine çizilir. Bir koordinat düzlemi oluşturmak için sadece bir cetvele ve bir kaleme veya kurşun kaleme ihtiyacınız var. İlk önce yatay apsis, ardından dikey - ordinat çizilir. Eksenlerin dik açılarda kesiştiğini hatırlamak önemlidir.

Bir sonraki zorunlu madde işaretlemedir. Birimler-segmanlar her iki yönde de eksenlerin her birinde işaretlenir ve imzalanır. Bu, daha sonra uçakla maksimum rahatlıkla çalışabilmeniz için yapılır.

Bir noktayı işaretleme

Şimdi koordinat düzleminde noktaların koordinatlarının nasıl çizileceğinden bahsedelim. Düzlemde çeşitli şekilleri başarılı bir şekilde yerleştirmek ve hatta denklemleri işaretlemek için bilmeniz gereken temel bilgiler budur.

Noktaları oluştururken, koordinatlarının nasıl doğru bir şekilde kaydedildiğini hatırlamalıyız. Bu nedenle, genellikle bir nokta belirlenirken, parantez içinde iki sayı yazılır. İlk basamak, apsis ekseni boyunca noktanın koordinatını, ikincisi - ordinat ekseni boyunca gösterir.

Nokta bu şekilde inşa edilmelidir. Önce eksende işaretle Öküz verilen noktayı, ardından eksende bir noktayı işaretleyin Oy. Ardından, bu gösterimlerden hayali çizgiler çizin ve kesişme yerlerini bulun - bu verilen nokta olacaktır.

Tek yapmanız gereken işaretlemek ve imzalamak. Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit ve özel beceriler gerektirmiyor.

Şekil Yerleştirme

Şimdi koordinat düzleminde rakamların inşası gibi bir soruya geçelim. Koordinat düzleminde herhangi bir figürü inşa etmek için, üzerine nasıl nokta yerleştirileceğini bilmelisiniz. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsanız, o zaman bir rakamı uçağa yerleştirmek o kadar zor değil.

Her şeyden önce, şeklin noktalarının koordinatlarına ihtiyacınız olacak. Koordinat sistemimize seçtiklerinizi üzerlerine uygulayacağız.Bir dikdörtgen, üçgen ve daire çizelim.

Bir dikdörtgenle başlayalım. Uygulaması oldukça kolaydır. İlk olarak, düzleme dikdörtgenin köşelerini gösteren dört nokta uygulanır. Daha sonra tüm noktalar sırayla birbirine bağlanır.

Bir üçgen çizmek farklı değil. Tek şey, üç köşeye sahip olmasıdır, bu, düzleme köşelerini gösteren üç noktanın uygulandığı anlamına gelir.

Çemberle ilgili olarak, burada iki noktanın koordinatlarını bilmelisiniz. İlk nokta dairenin merkezi, ikincisi yarıçapı gösteren noktadır. Bu iki nokta bir düzlemde çizilir. Daha sonra bir pusula alınır, iki nokta arasındaki mesafe ölçülür. Pusulanın noktası, merkezi gösteren bir noktaya yerleştirilir ve bir daire tanımlanır.

Gördüğünüz gibi, burada da karmaşık bir şey yok, asıl mesele her zaman bir cetvel ve bir pusulanın el altında olmasıdır.

Artık şekil koordinatlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz. Koordinat düzleminde, ilk bakışta göründüğü gibi bunu yapmak o kadar zor değil.

sonuçlar

Bu yüzden, her öğrencinin uğraşması gereken matematik için en ilginç ve temel kavramlardan birini sizinle birlikte düşündük.

Koordinat düzleminin iki eksenin kesişmesiyle oluşan düzlem olduğunu öğrendik. Onun yardımıyla noktaların koordinatlarını ayarlayabilir, üzerine şekiller koyabilirsiniz. Uçak, her biri kendi özelliklerine sahip olan mahallelere bölünmüştür.

Koordinat düzlemi ile çalışırken geliştirilmesi gereken temel beceri, üzerinde verilen noktaları doğru bir şekilde çizebilme yeteneğidir. Bunu yapmak için, eksenlerin doğru konumunu, çeyreklerin özelliklerini ve ayrıca noktaların koordinatlarının ayarlandığı kuralları bilmelisiniz.

Sağladığımız bilgilerin erişilebilir ve anlaşılır olduğunu ve ayrıca sizin için yararlı olduğunu ve bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olduğunu umuyoruz.

• O noktasında kesişen karşılıklı olarak dik iki koordinat çizgisi - orijin, form dikdörtgen koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemi olarak da adlandırılır.
• Koordinat sisteminin seçildiği düzleme denir. koordinat uçağı. Koordinat çizgileri denir koordinat eksenleri. Yatay - apsis ekseni (Ox), dikey - ordinat ekseni (Oy).
• Koordinat eksenleri, koordinat düzlemini dört parçaya böler - çeyrek. Çeyreklerin seri numaraları genellikle saat yönünün tersine sayılır.
• Koordinat düzlemindeki herhangi bir nokta, koordinatlarıyla verilir - apsis ve ordinat. Örneğin, bir(3; 4). Okurlar: A noktası koordinatları 3 ve 4. Burada 3 apsis, 4 ordinattır.

I. A(3; 4) noktasının oluşturulması.

apsis 3 başlangıç ​​noktasından O noktasının sağa ertelenmesi gerektiğini gösterir 3 tek parça ve sonra bir kenara koyun 4 tek parça ve bir nokta koyun.

mesele bu A(3; 4).

B noktasının inşası (-2; 5).

Sıfırdan sola doğru bir kenara koyun 2 tek kesim ve sonra yukarı 5 tek kesim.

bir son verdik V.

Genellikle tek bir segment olarak alınır 1 hücre.

II. xOy koordinat düzleminde noktalar oluşturun:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Oluşturulan noktaların koordinatlarını belirleyin: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

Ortak bir orijin (köken) ve ortak bir uzunluk birimi ile birbirine dik iki veya üç kesişen eksenden oluşan düzenli bir sisteme denir. dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi .

Genel Kartezyen koordinat sistemi (afin koordinat sistemi) ayrıca mutlaka dik olmayan eksenleri de içerebilir. Fransız matematikçi Rene Descartes'ın (1596-1662) onuruna, tüm eksenlerde ortak bir uzunluk biriminin sayıldığı ve eksenlerin düz olduğu böyle bir koordinat sistemi adlandırılmıştır.

Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi iki ekseni vardır uzayda dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi - üç eksen. Bir düzlemdeki veya uzaydaki her nokta, sıralı bir dizi koordinat tarafından belirlenir - koordinat sisteminin birim uzunluğuna göre sayılar.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi, düz bir çizgi üzerinde, yani tek boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi olduğuna dikkat edin. Düz bir çizgi üzerinde Kartezyen koordinatların tanıtılması, düz bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktaya iyi tanımlanmış bir gerçek sayı, yani bir koordinat atanmasının yollarından biridir.

René Descartes'ın çalışmalarında ortaya çıkan koordinat yöntemi, tüm matematiğin devrim niteliğinde yeniden yapılandırılmasına işaret ediyordu. Cebirsel denklemleri (veya eşitsizlikleri) geometrik görüntüler (grafikler) şeklinde yorumlamak ve tersine analitik formüller, denklem sistemleri kullanarak geometrik problemlere çözüm aramak mümkün hale geldi. evet, eşitsizlik z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ve bu düzlemin üzerinde 3 birim bulunur.

Kartezyen koordinat sistemi yardımıyla bir noktanın verilen bir eğriye ait olması, sayıların x ve y bazı denklemleri tatmin et. Böylece, belirli bir noktada ortalanmış bir dairenin bir noktasının koordinatları ( a; B) denklemi sağlayın (x - a)² + ( y - B)² = r² .

Düzlemde Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Ortak bir orijine ve aynı ölçek birimi formuna sahip bir düzlemde iki dik eksen Düzlemde kartezyen koordinat sistemi . Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya x ekseni , diğer - eksen Oy, veya y ekseni . Bu eksenlere koordinat eksenleri de denir. ile belirtmek mx ve my sırasıyla keyfi bir noktanın izdüşümü m aks üzerinde Öküz ve Oy. Projeksiyonlar nasıl alınır? Noktadan geçmek m Öküz. Bu çizgi ekseni kesiyor Öküz noktada mx. Noktadan geçmek m eksene dik doğru Oy. Bu çizgi ekseni kesiyor Oy noktada my. Bu, aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

x ve y puan m yönlendirilmiş bölümlerin büyüklüklerini sırasıyla arayacağız OMx ve OMy. Bu yönlü segmentlerin değerleri sırasıyla şu şekilde hesaplanır: x = x0 - 0 ve y = y0 - 0 . Kartezyen koordinatları x ve y puan m apsis ve ordinat . nokta olduğu gerçeği m koordinatları var x ve y, şu şekilde gösterilir: m(x, y) .

Koordinat eksenleri düzlemi dörde böler. kadran , numaralandırması aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Ayrıca, bir veya başka bir çeyrekteki konumlarına bağlı olarak, noktaların koordinatları için işaretlerin düzenini de gösterir.

Düzlemdeki Kartezyen dikdörtgen koordinatlarına ek olarak, kutupsal koordinat sistemi de sıklıkla dikkate alınır. Bir koordinat sisteminden diğerine geçiş yöntemi hakkında - derste kutupsal koordinat sistemi .

Uzayda Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi

Uzaydaki Kartezyen koordinatlar, bir düzlemdeki Kartezyen koordinatlarla tam bir analoji içinde tanıtılır.

Ortak bir orijine sahip uzayda birbirine dik üç eksen (koordinat eksenleri) Ö ve aynı ölçek birimi formu Uzayda kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi .

Bu eksenlerden birine eksen denir. Öküz, veya x ekseni , diğer - eksen Oy, veya y ekseni , üçüncü eksen Öz, veya uygulama ekseni . İzin vermek mx, my mz- keyfi bir noktanın projeksiyonları m eksen üzerindeki boşluklar Öküz , Oy ve Öz sırasıyla.

Noktadan geçmek m ÖküzÖküz noktada mx. Noktadan geçmek m eksene dik düzlem Oy. Bu düzlem ekseni kesiyor Oy noktada my. Noktadan geçmek m eksene dik düzlem Öz. Bu düzlem ekseni kesiyor Öz noktada mz.

Kartezyen dikdörtgen koordinatlar x , y ve z puan m yönlendirilmiş bölümlerin büyüklüklerini sırasıyla arayacağız OMx, OMy ve OMz. Bu yönlü segmentlerin değerleri sırasıyla şu şekilde hesaplanır: x = x0 - 0 , y = y0 - 0 ve z = z0 - 0 .

Kartezyen koordinatları x , y ve z puan m buna göre adlandırılır apsis , ordinat ve aplike .

Çiftler halinde alındığında, koordinat eksenleri koordinat düzlemlerinde bulunur. xOy , yOz ve zOx .

Kartezyen koordinat sistemindeki noktalarla ilgili problemler

örnek 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Bu noktaların x ekseni üzerindeki izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın x eksenine izdüşümü, x ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde bulunur. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsisi ve bir ordinatı (eksen üzerinde koordinat) vardır. Oy x ekseninin 0 noktasında kesiştiği, sıfıra eşittir. Böylece x eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Örnek 2 Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Bu noktaların y ekseni üzerindeki izdüşümlerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm. Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın y eksenine izdüşümü y ekseninin kendisinde, yani eksen üzerinde yer almaktadır. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir koordinata ve bir apsise (eksen üzerindeki koordinat) sahiptir. Öküz, y ekseni 0 noktasında kesişir), sıfıra eşittir. Böylece y eksenindeki bu noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Örnek 3 Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Öküz .

Öküz Öküz Öküz, verilen nokta ile aynı apsise sahip olacak ve ordinat mutlak değerde verilen noktanın ordinatına eşit ve işaret olarak zıt olacaktır. Böylece eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Öküz :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Kartezyen koordinat sistemindeki sorunları kendiniz çözün ve ardından çözümlere bakın.

Örnek 4 Noktanın hangi kadranlarda (çeyrek, kadranlı şekil - "Düzlemdeki Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi" paragrafının sonunda) bulunabileceğini belirleyin m(x; y) , Eğer

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Örnek 5 Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; B) .

Bu noktalara eksen etrafında simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Sorunları birlikte çözmeye devam ediyoruz

Örnek 6 Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Bu noktalara eksen etrafında simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun Oy .

Çözüm. Eksen etrafında 180 derece döndürün Oy bir eksenden yönlendirilmiş çizgi parçası Oy bu noktaya kadar. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, eksene göre verilen noktaya simetrik olan noktayı görüyoruz. Oy, verilen nokta ile aynı ordinata ve verilen noktanın apsisine mutlak değerde eşit ve işarette zıt bir apsise sahip olacaktır. Böylece eksen etrafında bu noktalara simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Örnek 7 Noktalar düzlemde Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun.

Çözüm. Orijinden verilen noktaya giden yönlendirilmiş parçanın orijini etrafında 180 derece dönüyoruz. Düzlemin kadranlarının gösterildiği şekilde, koordinatların kökenine göre belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın, verilen noktanın apsis ve ordinatına mutlak değerde eşit bir apsis ve ordinata sahip olacağını görüyoruz. , ancak onlara işaret olarak zıttır. Böylece, orijine göre bu noktalara simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Örnek 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Bu noktaların izdüşümlerinin koordinatlarını bulun:

1) uçakta oksi ;

2) uçağa öküz ;

3) uçağa Oyz ;

4) apsis ekseninde;

5) y ekseninde;

6) aplike ekseninde.

1) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü oksi bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle verilen noktanın apsisi ve ordinatına eşit bir apsisi ve ordinatı ve sıfıra eşit bir uygulaması vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: oksi :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü öküz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle verilen noktanın apsis ve aplikasyonuna eşit bir apsisi ve aplikasyonu ve sıfıra eşit bir ordinatı vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: öküz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Bir noktanın bir düzlem üzerine izdüşümü Oyz bu düzlemin kendisinde bulunur ve bu nedenle verilen bir noktanın ordinatına ve aplikasyonuna eşit bir ordinatı ve aplikasyonu ve sıfıra eşit bir apsisi vardır. Bu noktaların izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz: Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Bu dersin teorik kısmından da anlaşılacağı gibi, bir noktanın x eksenine izdüşümü x ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde yer almaktadır. Öküz, ve bu nedenle noktanın kendisinin apsisine eşit bir apsise sahiptir ve projeksiyonun ordinatı ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü ordinat ve uygulama eksenleri apsisi 0 noktasında keser). Bu noktaların x ekseni üzerindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Bir noktanın y ekseni üzerindeki izdüşümü y ekseninin kendisinde yani eksen üzerinde bulunur. Oy, ve bu nedenle noktanın kendisinin koordinatına eşit bir ordinata sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve uygulaması sıfıra eşittir (çünkü apsis ve aplike eksenleri ordinat eksenini 0 noktasında keser). Bu noktaların y ekseni üzerindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Uygulama eksenindeki bir noktanın izdüşümü, uygulama ekseninin kendisinde, yani eksende bulunur. Öz, ve bu nedenle noktanın kendisinin uygulamasına eşit bir uygulamaya sahiptir ve projeksiyonun apsisi ve ordinatı sıfıra eşittir (çünkü apsis ve ordinat eksenleri uygulama eksenini 0 noktasında keser). Bu noktaların uygulama eksenindeki izdüşümlerinin aşağıdaki koordinatlarını alıyoruz:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Örnek 9 Noktalar uzayda Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir.

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Bu noktalara göre simetrik olan noktaların koordinatlarını bulun:

1) uçak oksi ;

2) uçak öküz ;

3) uçak Oyz ;

4) apsis ekseni;

5) y ekseni;

6) aplike ekseni;

7) koordinatların kökeni.

1) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "ilerlet" oksi oksi, verilen noktanın apsis ve ordinatına eşit bir apsis ve ordinatına ve verilen noktanın aplikasyonuna büyüklük olarak eşit, ancak işaret bakımından zıt bir aplikasyona sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. oksi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "ilerlet" öküz aynı mesafe için. Koordinat uzayını gösteren şekle göre, verilen noktanın eksene göre simetrik olduğunu görüyoruz. öküz, bir apsise sahip olacak ve verilen noktanın apsis ve aplikasyonuna eşit aplike ve verilen noktanın ordinatına büyüklük olarak eşit, ancak işaret olarak zıt bir ordinat olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. öküz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) Eksenin diğer tarafındaki noktayı "ilerlet" Oyz aynı mesafe için. Koordinat uzayını gösteren şekle göre, verilen noktanın eksene göre simetrik olduğunu görüyoruz. Oyz, verilen noktanın ordinata eşit bir ordinatı ve bir aplikasyonu ve verilen noktanın bir aplikasyonu ve verilen noktanın apsisine eşit büyüklükte, ancak işaret bakımından zıttı bir apsise sahip olacaktır. Böylece, düzleme göre verilere simetrik olan aşağıdaki noktaların koordinatlarını elde ederiz. Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Düzlemdeki simetrik noktalarla ve düzlemlere göre verilere simetrik olan uzaydaki noktalarla benzetme yaparak, uzayda Kartezyen koordinat sisteminin bir ekseni etrafında simetri olması durumunda, simetrinin ayarlandığı eksen üzerindeki koordinatın olacağını not ediyoruz. işaretini korur ve diğer iki eksendeki koordinatlar, verilen noktanın koordinatlarıyla mutlak değerde aynı, ancak işarette zıt olacaktır.

4) Apsis işaretini koruyacak, ordinat ve aplikasyon işaretleri değiştirecek. Böylece, x ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinat, işaretini korurken, apsis ve aplikasyon işaretleri değiştirir. Böylece, y ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Başvuru, işaretini koruyacak, apsis ve ordinat işaretleri değişecektir. Böylece, uygulama ekseni hakkındaki verilere simetrik olan aşağıdaki nokta koordinatlarını elde ederiz:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Bir düzlemdeki noktalar durumunda simetri ile analoji ile, orijine göre simetri durumunda, belirli bir noktaya simetrik olan bir noktanın tüm koordinatları, belirli bir noktanın koordinatlarına mutlak değerde eşit, ancak zıt olacaktır. onlara işarette. Böylece, orijine göre verilere simetrik olan noktaların aşağıdaki koordinatlarını elde ederiz.

Verilmiş olsun iki değişkenli denklem F(x; y). Bu tür denklemleri analitik olarak nasıl çözeceğinizi zaten öğrendiniz. Bu tür denklemlerin çözüm kümesi bir grafik şeklinde de gösterilebilir.

F(x; y) denkleminin grafiği, koordinatları denklemi karşılayan xOy koordinat düzleminin noktaları kümesidir.

İki değişkenli bir denklemi çizmek için önce y değişkenini denklemdeki x değişkeni cinsinden ifade edin.

Elbette, iki değişkenli çeşitli denklem grafiklerinin nasıl oluşturulacağını zaten biliyorsunuzdur: ax + b \u003d c düz bir çizgidir, yx \u003d k bir hiperboldür, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2, yarıçapı R olan ve merkezi O(a; b) noktasında olan bir dairedir.

örnek 1

x 2 - 9y 2 = 0 denklemini çizin.

Çözüm.

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, yani y = x/3 veya y = -x/3.

Cevap: şekil 1.

Ayrıntılı olarak üzerinde duracağımız mutlak değerin işaretini içeren denklemler tarafından düzlemdeki rakamların atanmasıyla özel bir yer işgal edilir. |y| formunun denklemlerini çizme aşamalarını düşünün. = f(x) ve |y| = |f(x)|.

İlk denklem sisteme eşdeğerdir

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) veya y = -f(x).

Yani, grafiği iki fonksiyonun grafiklerinden oluşur: y = f(x) ve y = -f(x), burada f(x) ≥ 0.

İkinci denklemin grafiğini çizmek için iki fonksiyonun grafiği çizilir: y = f(x) ve y = -f(x).

Örnek 2

|y| denklemini çizin = 2 + x.

Çözüm.

Verilen denklem sisteme eşdeğerdir

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 veya y = -x - 2.

Bir dizi nokta oluşturuyoruz.

Cevap: şekil 2.

Örnek 3

|y – x| denklemini çizin = 1.

Çözüm.

y ≥ x ise y = x + 1, y ≤ x ise y = x - 1.

Cevap: şekil 3.

Modül işareti altında bir değişken içeren denklemlerin grafiklerini oluştururken, kullanımı uygun ve rasyoneldir. alan yöntemi, koordinat düzlemini, her bir alt modül ifadesinin işaretini koruduğu parçalara ayırmaya dayanır.

Örnek 4

x + |x| denklemini çizin + y + |y| = 2.

Çözüm.

Bu örnekte, her bir alt modül ifadesinin işareti koordinat çeyreğine bağlıdır.

1) İlk koordinat çeyreğinde x ≥ 0 ve y ≥ 0. Modül genişletildikten sonra verilen denklem şöyle görünecektir:

2x + 2y = 2 ve sadeleştirmeden sonra x + y = 1.

2) ikinci çeyrekte, burada x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Üçüncü çeyrekte x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Dördüncü çeyrekte x ≥ 0 ve y için< 0 получим, что x = 1.

Bu denklemi çeyrekler halinde çizeceğiz.

Cevap: şekil 4.

Örnek 5

Koordinatları |x – 1| eşitliğini sağlayan bir dizi nokta çizin. + |y – 1| = 1.

Çözüm.

x = 1 ve y = 1 alt modül ifadelerinin sıfırları, koordinat düzlemini dört bölgeye ayırır. Modülleri bölgelere göre ayıralım. Tablo şeklinde yerleştirelim.

Bölge	Alt modül ifade işareti	Modülü genişlettikten sonra ortaya çıkan denklem
Bence	x ≥ 1 ve y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 ve y< 1	x – y = 1

Cevap: şekil 5.

Koordinat düzleminde rakamlar belirtilebilir ve eşitsizlikler.

eşitsizlik grafiği iki değişkenli, koordinatları bu eşitsizliğin çözümleri olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir.

Düşünmek iki değişkenli bir eşitsizliği çözmek için bir model oluşturmak için algoritma:

1. Eşitsizliğe karşılık gelen denklemi yazın.
2. 1. adımdaki denklemi çizin.
3. Yarım düzlemlerden birinde rastgele bir nokta seçin. Seçilen noktanın koordinatlarının verilen eşitsizliği karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.
4. Eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesini grafiksel olarak çizin.

Her şeyden önce, ax + bx + c > 0 eşitsizliğini göz önünde bulundurun. ax + bx + c = 0 denklemi, düzlemi iki yarım düzleme bölen bir düz çizgi tanımlar. Her birinde, f(x) = ax + bx + c işlevi işaret koruyucudur. Bu işareti belirlemek için yarım düzleme ait herhangi bir noktayı almak ve fonksiyonun bu noktadaki değerini hesaplamak yeterlidir. Eğer fonksiyonun işareti eşitsizliğin işareti ile çakışıyorsa bu yarım düzlem eşitsizliğin çözümü olacaktır.

İki değişkenli en yaygın eşitsizliklerin grafik çözüm örneklerini düşünün.

1) balta + bx + c ≥ 0. Şekil 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Şekil 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Şekil 8.

4) y ≥ x2. Şekil 9

5) xy ≤ 1. Şekil 10.

Sorularınız varsa veya iki değişkenli eşitsizliklerin tüm çözüm kümelerini matematiksel modelleme kullanarak modelleme alıştırması yapmak istiyorsanız, çevrimiçi bir öğretmenle ücretsiz 25 dakikalık ders sonrasında . Öğretmenle daha fazla çalışmak için size en uygun olanı seçme fırsatına sahip olacaksınız.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Koordinat düzleminde nasıl şekil çizileceğini bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.