Analitik fonksiyonlar kullanılarak trigonometrik serilerin toplamı. trigonometrik fourier serisi trigonometrik fourier serisi

Hemen hemen her periyodik fonksiyonun, trigonometrik seriler kullanılarak, elemanları basit harmonikler olan bir seri olarak temsil edilebileceğini gösterelim.

Tanım. Bir trigonometrik dizi, formun işlevsel bir dizisidir.

gerçek sayılar nerede a 0 , bir , bn serinin katsayıları denir.

Serinin serbest terimi daha sonra elde edilen formüllerin tekdüzeliği şeklinde yazılır.

İki sorunun ele alınması gerekiyor:

1) İşlev hangi koşullar altında gerçekleşir? f(x) periyot 2π ile bir seri halinde genişletilebilir (5.2.1)?

2) Oranlar nasıl hesaplanır a 0 ,… bir , bn ?

İkinci soruyla başlayalım. fonksiyon olsun f(x) aralıkta süreklidir ve bir periyodu vardır T=2π. Aşağıda ihtiyaç duyacağımız formülleri sunuyoruz.

Herhangi bir tamsayı için, işlev çift olduğundan.

Herhangi bir bütün için.

(m ve n tüm sayılar)

( m ve n(III, IV, V) integrallerinin her biri, (I) veya (II) integrallerinin toplamına dönüştürülür. ise, formül (IV)'te şunu elde ederiz:

Eşitlik (V) benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Şimdi, fonksiyonun, onun için yakınsak bir Fourier serisine bir açılım bulunacak şekilde ortaya çıktığını varsayalım, yani,

(Toplamın indeksin üzerinde olduğunu unutmayın. n).

Seri yakınsarsa, toplamını belirtin S(x).

Terimsel entegrasyon (serilerin yakınsaması varsayımından dolayı meşru) ile aralığında verir

çünkü birinci hariç tüm terimler sıfıra eşittir (ilişki I, II). Buradan buluyoruz

(5.2.2) ile ( m=1,2,…) ve ile ile aralığındaki terimleri terim terim entegre ederek katsayıyı buluruz. bir.

Eşitliğin sağ tarafında, bir hariç tüm terimler sıfıra eşittir. m=n(ilişki IV, V), Dolayısıyla şunu elde ederiz:

(5.2.2) ile ( m\u003d 1,2, ...) ve ile aralığındaki terimleri terimlerle entegre ederek, benzer şekilde katsayıyı buluruz bn

(5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) formülleriyle belirlenen değerlere Fourier katsayıları denir ve trigonometrik seri (5.2.2), belirli bir fonksiyon için Fourier serisidir. f(x).

Böylece, fonksiyonun ayrışmasını elde ettik. f(x) bir Fourier serisinde

İlk soruya dönelim ve fonksiyonun hangi özelliklere sahip olması gerektiğini bulalım. f(x), böylece oluşturulan Fourier serisi yakınsak olur ve serinin toplamı tam olarak şuna eşit olur: f(x).

Tanım. f(x) fonksiyonuna parçalı sürekli denir sürekli ise veya birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahipse.

Tanım. f(x) fonksiyonu, segmentte verilen denir parçalı monoton, segment noktalarla her biri fonksiyonun monoton olarak değiştiği (artan veya azalan) sonlu sayıda aralığa bölünebiliyorsa.

Fonksiyonları ele alacağız f(x), adet olmak T=2π. Bu tür işlevlere denir 2π- periyodik.

Bir fonksiyonun bir Fourier serisine genişletilmesi için yeterli bir koşulu temsil eden bir teorem formüle edelim.

Dirichlet teoremi(kanıtsız kabul et) . Eğer bir 2π-periyodik fonksiyon f(x) bir segmentte parçalı sürekli ve parçalı monoton, bu durumda fonksiyona karşılık gelen Fourier serisi bu segmentte yakınsar ve bu durumda:

1. Bir fonksiyonun süreklilik noktalarında, serinin toplamı fonksiyonun kendisiyle çakışır. S(x)=f(x);

2. Her noktada x 0 fonksiyon sonu f(x) serisinin toplamı,

onlar. noktanın solundaki ve sağındaki fonksiyonun sınırlarının aritmetik ortalaması x 0 ;

3. Noktalarda (parçanın sonunda) Fourier serisinin toplamı ,

onlar. argüman aralığın içinden bu noktalara yöneldiğinde, segmentin uçlarındaki fonksiyonun sınır değerlerinin aritmetik ortalaması.

Not: eğer fonksiyon f(x) 2π periyodu ile tüm aralıkta süreklidir ve türevlenebilir ve aralığın sonundaki değerleri eşittir, yani periyodiklik nedeniyle, bu fonksiyon tüm gerçek eksende ve herhangi bir şey için süreklidir. X Fourier serisinin toplamı şuna eşittir: f(x).

Böylece, bir aralıkta integrallenebilen bir fonksiyon varsa f(x) Dirichlet teoreminin koşullarını karşılar, sonra eşitlik aralıkta gerçekleşir (Fourier serisinde genişleme):

Katsayılar (5.2.3) - (5.2.5) formülleriyle hesaplanır.

Dirichlet koşulları, matematikte ve uygulamalarında meydana gelen fonksiyonların çoğu tarafından karşılanır.

Fourier serileri, güç serileri gibi, fonksiyon değerlerinin yaklaşık hesaplanması için kullanılır. fonksiyonun açılımı ise f(x) trigonometrik bir seriye dönüşür, o zaman her zaman yaklaşık eşitliği kullanabilirsiniz, bu işlevi birkaç harmonik toplamı ile değiştirirsiniz, yani. kısmi toplam (2 n+1) Fourier serisinin terimi.

Trigonometrik seriler, elektrik mühendisliğinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve yardımlarıyla matematiksel fiziğin birçok problemini çözmektedir.

(-π; π) aralığında verilen, periyodu 2π olan bir fonksiyonu Fourier serisinde genişletin.

Karar. Fourier serisinin katsayılarını bulun:

Fourier serisinde fonksiyonun açılımını aldık

Süreklilik noktalarında Fourier serisinin toplamı fonksiyonun değerine eşittir. f(x)=S(x), noktada x=0 S(x)=1/2, noktalarda x=π,2π,… S(x)=1/2.

Gerçek analizde bir trigonometrik dizinin, çoklu yayın kosinüs ve sinüslerinde bir dizi olduğunu hatırlayın, yani. formun satırı

Biraz tarih. Bu tür serilerin teorisinin ilk dönemi, dizilerin toplamı olarak istenen fonksiyonun arandığı sicim titreşimleri sorunuyla bağlantılı olarak 18. yüzyılın ortalarına atfedilir (14.1). Böyle bir temsilin olasılığı sorusu, matematikçiler arasında birkaç on yıl süren hararetli tartışmalara neden oldu. Fonksiyon kavramının içeriği ile ilgili anlaşmazlıklar. O zaman, fonksiyonlar genellikle analitik atamalarıyla ilişkilendirildi, ancak burada (14.1)'in yanında, grafiği oldukça keyfi bir eğri olan bir fonksiyonu temsil etmek gerekli hale geldi. Ancak bu anlaşmazlıkların önemi daha büyüktür. Aslında, matematiksel analizin temel olarak önemli birçok fikriyle ilgili soruları gündeme getirdiler.

Ve gelecekte, bu ilk dönemde olduğu gibi, trigonometrik seriler teorisi yeni fikirlerin kaynağı olarak hizmet etti. Örneğin, küme teorisi ve gerçek bir değişkenin fonksiyonları teorisi ortaya çıktı.

Bu sonuç bölümünde, bir kez daha gerçek ve karmaşık analizi birbirine bağlayan, ancak TFCT ile ilgili ders kitaplarında çok az yansıtılan materyali ele alacağız. Analiz sırasında, önceden belirlenmiş bir fonksiyondan yola çıktılar ve onu trigonometrik bir Fourier serisine genişlettiler. Burada ters problemi ele alıyoruz: belirli bir trigonometrik seri için yakınsamasını ve toplamını belirleyin. Bunun için Euler ve Lagrange analitik fonksiyonları başarıyla kullanmışlardır. Görünüşe göre, Euler ilk kez (1744) eşitlikleri elde etti.

Aşağıda Euler'in ayak izlerini takip ediyoruz ve kendimizi sadece serilerin (14.1) özel durumları, yani trigonometrik serilerle sınırlandırıyoruz.

Yorum. Aşağıdaki gerçek esas olarak kullanılacaktır: eğer pozitif katsayılar dizisi bir p monoton olarak sıfıra eğilim gösterir, o zaman bu seriler, formda hiçbir nokta içermeyen herhangi bir kapalı aralıkta düzgün bir şekilde yakınsar. 2lx (gZ'ye).Özellikle (0.2n -) aralığında noktasal yakınsama olacaktır. Bu konuda bkz. çalışma, s. 429-430.

Euler'in (14.4), (14.5) dizisini toplama fikri, z = ikamesini kullanmaktır. e bir güç serisine git

Birim çemberin içinde toplamı açıkça bulunabilirse, problem genellikle reel ve sanal kısımlar ondan ayrılarak çözülür. Euler yöntemini kullanarak (14.4), (14.5) serilerinin yakınsaklığının kontrol edilmesi gerektiğini vurguluyoruz.

Bazı örneklere bakalım. Çoğu durumda geometrik seri faydalı olacaktır.

terim terim farklılaşma veya entegrasyon yoluyla ondan elde edilen serilerin yanı sıra. Örneğin,

Örnek 14.1. Serinin toplamını bulun

Karar. Kosinüslerle benzer bir dizi tanıtıyoruz

Her iki seri de her yerde yakınsamaktadır, çünkü geometrik seri ile majörleştirilmiş 1 + r + r2+.... Varsayalım z = eski, alırız

Burada kesir forma indirgenir

sorunun cevabını nereden alıyoruz:

Yol boyunca eşitliği sağladık (14.2): Örnek 14.2. toplam satır

Karar. Yukarıdaki açıklamaya göre, her iki seri de belirtilen aralıkta yakınsar ve tanımladıkları fonksiyonlar için Fourier serisi olarak hizmet eder. f(x) 9 g(x). Bu fonksiyonlar nelerdir? Soruyu cevaplamak için Euler yöntemine göre katsayılı (14.6) serileri oluşturuyoruz. bir p= -. Katılıyorum-

ama eşitlik (14.7) elde ederiz

Ayrıntıları atlayarak (okuyucu bunları yeniden üretmelidir), logaritma işaretinin altındaki ifadenin şu şekilde gösterilebileceğini belirtiyoruz.

Bu ifadenin modülü - eşittir ve argüman (daha doğrusu, ana değeri

• 2sin-

değer) eşittir Bu nedenle ^ = -ln(2sin

Örnek 14.3. saat -l toplam satır

Karar. Her iki seri de yakınsak olanın hakimiyetinde olduğundan her yerde yakınsar.

ortak üyenin yanında -! . Sıra (14.6)

n(n +1)

direkt olarak

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) P /1 + 1

ns bilinen bir miktar verecektir. Temelde, onu formda temsil ediyoruz

eşitlik

Burada parantez içindeki ifade ln(l + z) ve köşeli parantez içindeki ifade ^ ^ + ** ^--. Buradan,

= (1 + -)ln(1 + z). Şimdi

buraya konulmalı z = eLX ve önceki örnektekiyle aynı adımları gerçekleştirin. Ayrıntıları atlayarak belirtiyoruz ki

Parantezleri açmak ve cevabı yazmak için kalır. Bunu okuyucuya bırakıyoruz.

14. bölüm için görevler

Aşağıdaki satırların toplamlarını hesaplayın.

• 1.3.1. a) z = 0 ve z-- 2;
• b) z = l ve z=-1;
• içinde) z = ben ve z= -İ.
• 1.3.2. a) 1; 6)0; c) o.
• 2.1.1. Parabolün yayı, r = de 2 (1;1) noktasından (1;- 1) noktasına ve geriye doğru koşar.
• 2.1.2. Başlangıç ​​ile segment a, son b.
• 2.1.3. Ürdün, Şek. on dokuz.

• 2.1.4. bir parabolün yayı y = x 2 başlangıç ​​(-1;0), bitiş (1;1) ile.
• 2.1.5. Daire dg 2 + (- 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Yarım düzlem Rez > .
• 2.2.2. Açık daire C x ""^) 2 + Y2
• 2.2.3. Bir parabolün içi 2y = 1 - x 2.
• 2.2.4. Kısır döngü (d: - 2) 2 + 2'de
• 2.2.5. parabolün görünüşü 2x \u003d - y 2.

3.1.a) Eğer w=u + iv, o zamanlar ve= -r- -v = -^-^ Dolayısıyla

l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d :) 2

(m, v) 9* (0; 0) V* e olduğundan, koordinatların orijini bu çemberden çıkarılmalıdır. R, ton ve= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• b). Elemek x,y eşitliklerden x + y \u003d l ve \u003d x 2 - y, v = 2 xy. Cevap: parabol 2v = l-ve 2 .
• 3.2. l: = i (l^O) düz çizgisi bir daireye giriyor
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 delinmiş noktalı (r/, v) = (0; 0). ile uygula
• 2a 2 bir

a = 1, a = 2.

• 3.4. a) ve b) durumlarında "limitin yokluğunun işareti"ni kullanın. c) durumunda limit mevcuttur ve 2'ye eşittir.
• 3.5. Değil. Sırasıyla ortak terimlere sahip iki dizi üzerindeki fonksiyon limitlerini düşünün

z "=-! + -> z,=-l -

• 4.1. a) hiçbir yerde türevlenemez; b) her yerde türevlenebilir.
• 4.2. a) doğrunun tüm noktalarında türevi vardır y = x, her biri içinde

onlara w = 2 kere; hiçbir yerde holomorfik değildir;

• b) C(0)'da holomorfiktir ve / = - j.
• 4.3. C'de holomorfik, W=3z 2 .
• 4.4. Eşitliklerden / ; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 w,v olmadığı sonucu çıkar

Aziz Aziz

"t" değişkenine bağlıdır. Cauchy-Riemann koşulları, bu fonksiyonların da y'den bağımsız olduğunu ima eder.

4.5. Örneğin, Re durumunu düşünün. f(z) = ben(x,y) = const. İle

Cauchy-Riemann koşullarını kullanarak, bundan Im/(z) = çıkarsa v(x 9 y) = const.

• 5.1. a) çünkü J=--=- =-* 0(z * -/) ve problemin durumuna göre
• (l-/z) 2 (z+/) 2

türevin argümanı sıfıra eşittir, o zaman sanal kısmı sıfırdır ve gerçek kısım pozitiftir. Buradan cevabı türet: düz de = -X-1 (X * 0).

b) daire z + i=j2.

• 5.3. Fonksiyonun sıfır değeri almadığını ve türevinin her yerde bulunduğunu ve verilen fonksiyona eşit olduğunu kontrol edin.
• 6.1. Tanjantın sinüsün kosinüs oranına oranı olarak tanımlanmasından şunu kanıtlayın: tg(z + n^-tgz geçerli argüman değerleriyle. İzin vermek T başka bir dönem tg(z + T) = tgz. Buradan ve önceki eşitlikten sin(/r- T)= 0, bunun sonucu Tçoklu ile .
• 6.2. Eşitlikleri (6.6) kullanın.
• 6.3. İlk formül doğru değil, çünkü her zaman arg(zH ,) = argz + argvv olmaz (örneğin, z = -1, w = -1 alın). İkinci formül de yanlış. Örneğin, z = 2 durumunu düşünün.
• 6.4. eşitlikten bir = e01 "0 burada sağ tarafın |i|« biçiminde olduğunu çıkarın , e ca(a^a+2 yak)? sli p r ve bazı farklı tamsayılar 19'dan 2'ye

parantez içindeki ifade aynı anlamı aldı, o zaman

mantıksızlığa aykırı a .

• 6.5. z \u003d 2? / r- / "ln (8 ± V63).
• 7.1. a) açı - İ w
• b) dairesel sektör | w2, | bağımsız değişken|
• 7.2. Her iki durumda da, orijinde merkezlenmiş yarıçapı 1 olan bir daire.
• 7.3. İç kısmı solda kalacak şekilde yarım dairenin sınırı boyunca hareket edeceğiz. notasyonu kullanıyoruz z = x + yi, w = u + vi. Konum açık

de= 0, -1 x 1 elimizde ve =--e [-1,1]" v = 0. Sınırın ikinci bölümünü - yarım daireyi düşünün z=ABtg. Bu bölümde ifade

forma dönüştürülür w=u=-- ,/* -. Arasında. (8.6)'ya göre, istenen integral şuna eşittir:

b). Alt yarım daire denklemi şu şekildedir: z(t) = e“,t e[l, 2n). Formül (8.8) ile, integral şuna eşittir:

• 8.2. a). İstenen integrali, segment üzerindeki integrallerin toplamına bölün O A ve segment boyunca AB. Denklemleri sırasıyla z= / + //,/ ile ve

z = t + ben,te. Cevap: - + - ben.

• b). İntegrasyon eğrisi denklemi z = olarak yazılabilir. e", t € . O zaman Vz'nin iki farklı değeri vardır, yani,

.1 .t+2/r

e 2, e 2. Sorunun koşullarından, kökün ana değerinden bahsettiğimiz anlaşılıyor: Vz, yani. Bunlardan ilki hakkında. O zaman integral

8.3. Problemin çözümünde çizim kasıtlı olarak verilmemiştir, ancak okuyucu onu tamamlamalıdır. Verilen iki noktayı birbirine bağlayan düz bir doğru parçasının denklemi kullanılır i, /> e C (a - Başlangıç, b - bitiş): z = (l - /)fl+ /?,/€ . İstenen integrali dörde bölelim:

I = I AB + I BC + I CD +1 D.A. segmentte AB sahibiz z- (1 -1) ? 1 +1 /, bu nedenle (8.8)'e göre bu segmentteki integral şuna eşittir:

Benzer şekilde ilerlersek, buluruz.

• 9.1. a) 2n7; b) 0.
• 9.2. bir değişiklik yap z = z0 + yeniden 11.0 t2/g.
• 9.3 İşlev f(z)=J, bazı basit bağlantılı durumlarda holomorfiktir z-a

Г içeren D alanı ve ns içeren a. /),/]'ye uygulanan integral teoremi ile istenen integral sıfıra eşittir.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); b) 34l-/.
• 9.5. a) durumunda, tekil noktalar ±2/ verilen dairenin içindedir, dolayısıyla integral şuna eşittir:

• b). ±3/ tekil noktalar da dairenin içindedir. Çözüm benzer. Cevap: 0.
• 10.1. Fonksiyonu /(z) = -----use olarak temsil edin
• 3 1 + -

geometrik seri 1 + q + q2 (||

• 1 -h
• 10.2. Bir geometrik diziyi terime göre ayırt edin.
• 10.3. a) | z+/1t = z2. Cevap: z.
• 11.1. Üs ve sinüsün güç açılımlarını kullanın. a) durumunda sıra 3, b) durumunda 2'dir.
• 11.2. Açık bir değişken değişikliğine kadar, denklem şu şekilde olabilir:

/(z) = /(-^z) biçiminde temsil edin. Genelliği kaybetmeden, şunu varsayabiliriz:

0 noktasında merkezli fonksiyonun Taylor serisinin yakınsaklık yarıçapı birden büyüktür. Sahibiz:

Fonksiyonun değerleri, yakınsama çemberine ait bir sınır noktası olan ayrık bir kümede aynıdır. Teklik teoremi ile /(z) = const.

11.3. İstenen analitik fonksiyonun /(z) olduğunu varsayalım. Değerlerini fonksiyonla karşılaştıralım (z) = z2 sette E,

noktalardan oluşan z n = - (n = 2,3,...). Anlamları aynıdır ve bu nedenle E

verilen daireye ait bir sınır noktasına sahiptir, ardından verilen dairenin tüm argümanları için benzersizlik teoremi /(z) = z 2 ile. Ancak bu, /(1) = 0 koşuluyla çelişir. Cevap: ns yoktur.

• 11.4. Evet, /(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Birim değerlerin sınır noktası fonksiyonun etki alanında olmadığı için çelişki yoktur.
• - 1 1
• 12.1. a) 0 ; b) 2

  12.2. a). Fonksiyonu formda temsil edin ve parantezleri genişletin.

  • b). Terimleri değiştirin, standart kosinüs ve sinüs açılımlarını kullanın.
  • 12.3.
  
  • 12.4. a) 0, ± 1 noktaları basit kutuplardır;
  • b) z = 0 - çıkarılabilir nokta;
  • c) z = 0 esasen tekil bir noktadır.
  • 13.1. a). a = 1, a = 2 noktaları integralin kutuplarıdır. Birinci (basit) kutba göre kalıntı (13.2)'ye göre bulunur, 1'e eşittir. İkinci kutba göre kalıntı, u = 2 çokluk sırasına göre formül (13.3) ile bulunur ve -1'e eşittir. Kalıntıların toplamı sıfırdır, dolayısıyla temel kalıntı teoremi ile integral sıfırdır.
  • b). Belirtilen köşeleri olan dikdörtgenin içinde üç

  basit kutuplar 1,-1,/. İçlerindeki kalıntıların toplamı -- ve integral eşittir

  içinde). kutuplar arasında 2 Türkiye(kGZ) integralin, verilen dairenin içinde sadece ikisi bulunur. 0 ve 2 İ ikisi de basit, içlerindeki kalıntılar 1'de eşittir. Cevap: 4z7.

  2/r/ ile çarpın. Ayrıntıları atlayarak, cevabı belirtiyoruz: / = -i .

  13.2. a). e"=z koyalım, o zaman e"id =dz , dt= - . Ho

  e" - e~" z-z~ x

  sin / =-=-, intefal forma indirgenecek

  

  Burada payda çarpanlara ayrılır (z-z,)(z-z 2), burada z, = 3 - 2 V2 / dairenin içindedir de , a z,=3 + 2V2 / üstte yer alır. Geriye, formülü (13.2) kullanarak basit z kutbuna göre kalıntıyı bulmak kalır ve

  b) . Yukarıdaki gibi varsayarsak, e" = z , intefal'i forma indiriyoruz

  

  Subintefal fonksiyonunun üç basit kutbu vardır (hangileri?). Okuyucuyu içlerindeki kalıntıları hesaplamaya bırakarak cevabı belirtiyoruz: ben= .

  • içinde) . Alt integral fonksiyonu 2(1--=-), istenen integrale eşittir
  • 1 + çünkü t

  eşittir 2(^-1- h-dt). İntegrali / ile parantez içinde belirtin.

  cos "/ = - (1 + cos2f) eşitliğini uygulayarak / = [- alıntı .

  a), b) durumlarına benzeterek bir ikame yapın e2,t = z, integrali forma indirge

  

  burada entegrasyon eğrisi aynı birim çemberdir. Diğer argümanlar a) durumundaki ile aynıdır. Cevap: orijinal, aranan integral /r(2-n/2)'ye eşittir.

  13.3. a). Yardımcı karmaşık integrali düşünün

  /(/?)= f f(z)dz, nerede f(z) = - p-, G (I) - oluşan bir kontur

  yarım daire y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 ve tüm çaplarda (çizim yapın). Bu integrali [-/?,/?] aralığına göre ve y(R).

  için.

  Devrenin içinde sadece basit kutuplar bulunur z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (Şek. 186). Kalıntılarına göre şunları buluyoruz:

  Geriye integralin üzerinde olduğunu doğrulamak kalır. y(R) olarak sıfıra eğilimlidir R. Eşitsizliğinden |g + A|>||i|-|/>|| ve integralin tahmininden z ve y(R) bunu takip ediyor

Bazı durumlarda, (C) biçimindeki serilerin katsayılarını inceleyerek veya bu serilerin yakınsadığı (belki de tek tek noktalar hariç) ve toplamları için Fourier serileri olduğu tespit edilebilir (örneğin, önceki n°'ye bakınız). ), ancak tüm bu durumlarda, soru doğal olarak ortaya çıkıyor

bu serilerin toplamlarının nasıl bulunacağı veya daha doğrusu, eğer böyle bir biçimde ifade edilirlerse, temel işlevler açısından son biçimde nasıl ifade edileceği. Euler (ve ayrıca Lagrange) bile, trigonometrik serileri nihai bir biçimde özetlemek için karmaşık bir değişkenin analitik fonksiyonlarını başarıyla kullandı. Euler yönteminin arkasındaki fikir aşağıdaki gibidir.

Belirli bir katsayılar kümesi için (C) serisinin, yalnızca bireysel noktalar hariç, aralıktaki her yerde fonksiyonlara yakınsadığını varsayalım. Şimdi aynı katsayılara sahip, karmaşık bir değişkenin güçlerine göre düzenlenmiş bir güç serisini düşünün.

Birim çemberin çevresinde, yani 'de, bu seri, bireysel noktalar hariç tutularak varsayımla yakınsar:

Bu durumda, kuvvet serilerinin iyi bilinen özelliğine göre, seri (5) kesinlikle yani birim çemberin içinde yakınsar ve orada karmaşık bir değişkenin belirli bir fonksiyonunu tanımlar. Bildiğimiz kullanarak [bkz. Karmaşık bir değişkenin temel fonksiyonlarının açılımının XII.

ve Abel teoremi ile (6) serisi yakınsadığı anda toplamı limit olarak elde edilir.

Genellikle bu limit basitçe eşittir ve bu da fonksiyonu son formda hesaplamamıza izin verir.

Örneğin, dizi olsun

Önceki paragrafta kanıtlanan ifadeler, bu serilerin her ikisinin de yakınsadığı (ilk seri, 0 ve 0 noktaları hariç) sonucuna götürür.

tanımladıkları fonksiyonlar için Fourier serileri olarak hizmet ederler.Fakat bu fonksiyonlar nelerdir? Bu soruyu cevaplamak için bir dizi yapıyoruz.

Logaritmik seriye benzerliği ile toplamı kolayca belirlenir:

buradan,

Şimdi kolay bir hesaplama şunları verir:

yani bu ifadenin modülü , ve argüman .

ve böylece nihayetinde

Bu sonuçlar bize tanıdık geliyor ve hatta bir zamanlar "karmaşık" değerlendirmelerin yardımıyla elde edilmişti; ancak ilk durumda, ve işlevlerinden ve ikincisinde - analitik işlevden başladık.Burada, ilk kez, serilerin kendileri bir başlangıç ​​noktası görevi gördü. Okuyucu bir sonraki bölümde bu türden başka örnekler bulacaktır.

Yakınsaklık ve (C) serilerinden önceden emin olunması ve bunların toplamlarını sınırlayıcı eşitlik (7) kullanarak belirleme hakkına sahip olunması gerektiğini bir kez daha vurguluyoruz. Bu eşitliğin sağ tarafında sadece bir limitin bulunması, bahsi geçen serilerin yakınsadığı sonucuna henüz varmamıza izin vermemektedir. Bunu bir örnekle göstermek için, diziyi düşünün

Bilim ve teknolojide, genellikle periyodik fenomenlerle, yani. Belirli bir süre sonra yeniden üretilenler T dönem denir. Periyodik fonksiyonların en basiti (sabit hariç) sinüsoidal bir değerdir: de olduğu gibi(x+ ), harmonik salınım, orana göre dönemle ilgili bir “frekans” vardır: . Böyle basit periyodik fonksiyonlardan daha karmaşık olanlar oluşturulabilir. Açıktır ki, aynı frekansın sinüzoidal miktarlarının eklenmesi aynı frekansın sinüzoidal bir miktarı ile sonuçlandığından, kurucu sinüzoidal nicelikler farklı frekanslarda olmalıdır. Formun birkaç değerini eklersek

Örneğin, burada üç sinüzoidal niceliğin eklenmesini yeniden üretiyoruz: . Bu fonksiyonun grafiğini düşünün

Bu grafik sinüs dalgasından önemli ölçüde farklıdır. Bu, bu türden terimlerden oluşan sonsuz bir dizinin toplamı için daha da doğrudur. Soruyu ortaya koyalım: Periyodun belirli bir periyodik işlevi için mümkün mü? T sonlu veya en azından sonsuz bir sinüzoidal nicelik kümesinin toplamı olarak mı temsil edilir? Büyük bir fonksiyon sınıfıyla ilgili olarak, bu sorunun olumlu olarak yanıtlanabileceği ortaya çıktı, ancak bu ancak bu tür terimlerin sonsuz dizisini tam olarak dahil edersek. Geometrik olarak bu, bir dizi sinüzoidin üst üste bindirilmesiyle periyodik bir fonksiyonun grafiğinin elde edildiği anlamına gelir. Her sinüzoidal değeri belirli bir harmonik salınım hareketi olarak kabul edersek, bunun bir fonksiyon veya basitçe onun harmonikleri (birinci, ikinci, vb.) ile karakterize edilen karmaşık bir salınım olduğunu söyleyebiliriz. Periyodik bir fonksiyonun harmoniklere ayrıştırılması işlemine denir. harmonik analiz.

Bu tür açılımların genellikle yalnızca belirli bir sonlu aralıkta tanımlanan ve herhangi bir salınım olayı tarafından üretilmeyen fonksiyonların incelenmesinde faydalı olduğunun ortaya çıktığını belirtmek önemlidir.

Tanım. Bir trigonometrik dizi, şu şekilde bir dizidir:

Veya (1).

Gerçek sayılara trigonometrik serinin katsayıları denir. Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

Yukarıda sunulan türden bir seri yakınsaksa, toplamı 2p periyoduna sahip periyodik bir fonksiyondur.

Tanım. Trigonometrik bir serinin Fourier katsayıları şu şekilde adlandırılır: (2)

(3)

(4)

Tanım. Bir fonksiyon için yakın Fourier f(x) katsayıları Fourier katsayıları olan bir trigonometrik seri olarak adlandırılır.

Fonksiyonun Fourier serisi ise f(x) tüm süreklilik noktalarında ona yakınsar, o zaman fonksiyonun f(x) Fourier serisinde genişler.

Teorem.(Dirichlet teoremi) Bir fonksiyonun periyodu 2p ise ve bir segment üzerinde sürekliyse veya birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktasına sahipse, segment sonlu sayıda segmente bölünebilir, böylece fonksiyon her birinin içinde monoton olur. bunlardan sonra, fonksiyonun Fourier serisi tüm değerler için yakınsar. X ve fonksiyonun süreklilik noktalarında toplamı S(x) eşittir ve süreksizlik noktalarında toplamı eşittir, yani. sol ve sağdaki sınır değerlerin aritmetik ortalaması.

Bu durumda, fonksiyonun Fourier serisi f(x) fonksiyonun süreklilik aralığına ait herhangi bir aralıkta düzgün yakınsar.

Bu teoremin şartlarını sağlayan fonksiyona aralıkta parçalı düzgün denir.

Fourier serisindeki bir fonksiyonun açılımına ilişkin örnekleri ele alalım.

örnek 1. Fourier serisinde işlevi genişletin f(x)=1-x periyodu olan 2p ve segmentte verilmiştir.

Karar. Bu fonksiyonu çizelim

Bu fonksiyon segment üzerinde süreklidir, yani bir periyot uzunluğuna sahip bir segment üzerinde, bu nedenle bu segmentin her noktasında kendisine yakınsayan bir Fourier serisine genişletilebilir. Formül (2)'yi kullanarak bu serinin katsayısını buluyoruz: .

Parçalara göre entegrasyon formülünü uygularız ve sırasıyla (3) ve (4) formüllerini bulur ve kullanırız:

Katsayıları formül (1) ile değiştirerek elde ederiz veya .

Bu eşitlik, noktalar ve (grafiklerin yapıştırma noktaları) dışındaki tüm noktalarda gerçekleşir. Bu noktaların her birinde, serinin toplamı, sağ ve soldaki sınır değerlerinin aritmetik ortalamasına eşittir, yani.

Fonksiyonu genişletmek için bir algoritma sunalım Fourier serisinde.

Ortaya çıkan sorunu çözmek için genel prosedür aşağıdaki gibidir.