Topu ölçün. Kürelerin çok boyutlu müziği perelman. Diğer kaynaklardan bazı faydalı uygulamalar
Bir süre önce, önbaskı sitesi arXiv.org'da aynı anda, topların 8 ve 24 boyutlarındaki boşluklarda en yakın paketlenmesi sorununa ayrılmış iki makale ortaya çıktı. Şimdiye kadar, benzer sonuçlar yalnızca 1, 2, ve 3 (ve burada her şey o kadar basit değil, ancak daha fazlası aşağıda). Atılım - ve gerçek bir devrimci atılımdan bahsediyoruz - şu anda Almanya'da çalışan Ukraynalı bir matematikçi olan Marina Vyazovskaya'nın çalışmaları sayesinde mümkün oldu. Bu başarının hikayesini on kısa hikayede anlatacağız.
1.
16. yüzyılda ünlü saray adamı ve şair Sir Walter Raleigh İngiltere'de yaşadı. Her şeyden önce, Majestelerinin ayaklarını kirletmemesi için pahalı pelerinini kraliçenin önüne bir su birikintisine atmasıyla ünlüydü. Ama bu yüzden ilgilenmiyoruz.
Sir Walter Raleigh'in bir tutkusu vardı - İspanyol gemilerini soymaktan ve El Dorado'yu aramaya çok düşkündü. Ve sonra bir gün Raleigh gemide bir grup top mermisi gördü. Ben de düşündüm (bu İngiliz saray mensuplarının başına geldi), diyorlar ki, bir yığında kaç tane çekirdek olduğunu saymadan bulabilirseniz iyi olur. Bu tür bilgilerin faydaları, özellikle İspanyol filosunu yağmalamaktan hoşlanıyorsanız, açıktır.
Walter Raleigh
Raleigh matematikte pek iyi değildi, bu yüzden bu problemi asistanı Thomas Harriot'a verdi. O da matematikte güçlüydü (bu arada Harriot, “>” ve “işaretlerinin mucidi.<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Yorumlar için zamanının ünlü matematikçisi Johannes Kepler'e döndü - o sırada Tycho Brahe'nin asistanıydı. Kepler cevap vermedi ama sorunu hatırladı. 1611'de dört soruyu tartıştığı küçük bir broşür yayınladı: arılarda peteklerin neden altıgen olduğu, çiçek yapraklarının neden en sık beşli gruplar halinde gruplandırıldığı ( Kepler muhtemelen sadecerosaceous - yakl. N+1), nar tanelerinin neden on iki yüzlü (düzensiz de olsa) şeklinde olduğu ve nihayet kar tanelerinin neden altıgen şeklinde olduğu.
Johannes Kepler
Broşür bir hediye olarak tasarlandı, bu yüzden gerçek bir bilimsel çalışmadan çok felsefi ve eğlenceli bir okumaydı. Kepler, ilk sorunun cevabını iki koşulla ilişkilendirdi - hücreler arasında boşluk olmamalı ve hücre alanlarının toplamı minimum olmalıdır. Yazar ikinci soruyu Fibonacci sayılarıyla ilişkilendirdi ve kar taneleri hakkındaki konuşma Kepler'i atomik simetriler hakkında akıl yürütmeye sevk etti.
Üçüncü soru şu hipotezi doğurdu: altıgen yakın paketleme(aşağıdaki resimdedir) en yoğun olanıdır (yani matematiksel anlamda da daha düşüktür). Elbette Kepler, Harriot'a atıfta bulunmayı gerekli görmedi. Bu nedenle, bu ifadeye Kepler hipotezi denir. Stigler yasası - diğer adıyla Arnold ilkesi - iş başında.
Evet, bu broşürün yayınlanmasından 7 yıl sonra Sir Walter Raleigh'in kafası idam edildi. Ancak bunun yoğun paketleme sorunuyla hiçbir ilgisi yoktu.
2.
Modern standartlara göre, Harriot'un çözdüğü görev zor değildi. Bu nedenle, daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Ve aynı zamanda altıgen yakın paketlemenin nasıl çalıştığını daha iyi anlayacağız.
Bu nedenle, ana koşul, atış sırasında bir grup çekirdeğin yuvarlanmamasıdır. Bu nedenle, çekirdekleri güvertede arka arkaya yerleştirin. Bir sonraki sırada, toplar ilk sıranın küreleri arasındaki yuvalara yerleştirilecek şekilde maçaları koyuyoruz. İlk sırada n top varsa, ikinci sırada n - 1 vardır (çünkü toplar arasında topların kendisinden daha az boşluk vardır). Bir sonraki satırda bir çekirdek eksik olacaktır. Ve böylece, böyle bir üçgen elde edene kadar (düzeni yukarıdan bakarsanız):
Aritmetik ilerlemenin ne olduğunu hatırlayanlar, ilk satırda n top varsa, böyle bir üçgende n (n + 1)/2 top olduğunu kolayca hesaplayacaktır. Yukarıdan bakıldığında toplar arasında uygun girintiler bulunmaktadır. Orada ikinci top katmanını ekleyeceğiz. Bu, ilki gibi organize edilmiş bir üçgenle sonuçlanacaktır, ancak yanda sadece bir tane daha az top vardır. Böylece yığına n(n - 1)/2 daha fazla top koyduk.
Bir top tabakası elde edene kadar katmanları yerleştirmeye devam ediyoruz. Üçgen bir çekirdek piramidimiz var. Kaç tane çekirdeğe sahip olduğunu bulmak için her katmandaki çekirdek sayısını toplamanız gerekir. İlk katman n kenarına sahipse, toplamda n(n + 1)(n + 2)/6 verecek olan n katman elde ederiz. Meraklı okuyucu bunun tam olarak C3 n + 2'nin binom katsayısı olduğunu fark edecektir. Bu kombinatoryal tesadüf sebepsiz değildir, ancak onu derinlemesine incelemeyeceğiz.
Bu arada, bu göreve ek olarak, Harriot, bir küp için ikincisinin şeklini alırsak, çekirdeklerin yeterince büyük bir kapta ne kadar pay kapladığını yaklaşık olarak belirleyebildi. Oranın π/(3√2) ≈ 0.74048 olduğu ortaya çıktı.
3.
Kelime ne anlama geliyor en yoğun sorun açıklamasında? Raleigh, Harriot ve hatta Kepler bile buna kesin bir cevap vermedi. Makul bir anlamda en yoğun olanı ima edildi. Ancak bu formülasyon matematik için uygun değildir. Açıklığa kavuşturulması gerekiyor.
Önce aşağıdaki boyuttan aşağı inelim ve uçakta her şeyin nasıl çalıştığını görelim. İki boyutlu durum için, problem şuna dönüşüyor: iç kısımda kesişmeyen (ancak muhtemelen dokunaklı - yani sınırda ortak bir noktaya sahip olan) sonsuz bir daire kümesi verilsin. uçak. Bir kare çizelim. Karenin içine düşen daire parçalarının alanlarının toplamını hesaplıyoruz. Bu toplamın karenin alanına oranını alalım ve orandaki değişime bakarak karenin kenarını artıralım.
bir fonksiyon elde ederiz f(a), nerede a- bir karenin kenarı. Şanslıysak, o zaman bu fonksiyon büyüme ile argüman asimptotik olarak bir sayıya yaklaşacaktır. Bu sayıya verilen ambalajın yoğunluğu denir. Bir noktada fonksiyonun kendisinin yoğunluktan daha büyük bir değer vermesi önemlidir. Gerçekten de, eğer kare küçükse, o zaman tamamen daireye sığar ve kesin oran 1'dir. Ama biz ortalama yoğunlukla ilgileniyoruz, yani gayri resmi olarak "yeterince geniş bir kenarı olan bir kare için".
Tüm bu yoğunluklar arasında maksimum bulunabilir. En yoğun olarak adlandırılacak olan, onu uygulayan ambalajın yanı sıra odur.
"En yoğun paketleme mutlaka benzersiz değildir (asimptotik anlamda). Brownsville'deki Texas Üniversitesi'nden Oleg Musin, 3 boyutlu uzayda sonsuz sayıda en yoğun paket vardır ve Kepler bile bunu biliyordu" diyor.
En yoğun paketleme kavramını tanımladıktan sonra, böyle bir tanımın kolaylıkla n boyutundaki bir uzaya genişletilebileceğini anlamak kolaydır. Gerçekten de, daireleri karşılık gelen boyuttaki toplarla, yani sabit olana (merkez olarak adlandırılır) olan mesafenin topun yarıçapı olarak adlandırılan belirli bir değeri aşmadığı nokta kümeleriyle değiştirelim. Yine, onları en iyi ihtimalle, en kötü ihtimalle temas edecek şekilde düzenleyelim - hiçbir ortak noktası olmayacak. n-boyutlu bir küpün hacmini ve karşılık gelen n-boyutlu topların hacimlerinin toplamını alarak önceki durumda olduğu gibi aynı işlevi tanımlarız.
4.
Böylece, Kepler'in varsayımının, üç boyutlu uzayda üç boyutlu topların en yakın paketlenmesi sorunu olduğunu anladık. Peki ya uçak (onunla başladığımızdan beri)? Hatta düz mü? Düz bir çizgi ile her şey basittir: düz bir çizgi üzerindeki top bir segmenttir. Düz bir çizgi, uçlarında kesişen özdeş parçalarla tamamen kaplanabilir. Bu kapsam ile fonksiyon f(a) sabittir ve 1'e eşittir.
Uçakta her şeyin biraz daha karmaşık olduğu ortaya çıktı. Öyleyse, düzlemde bir dizi nokta ile başlayalım. Tüm noktalar N*v + M*w olarak elde edilecek şekilde bir çift v ve w vektörü bulabilirsek, bu noktalar kümesinin bir kafes oluşturduğunu söyleriz, burada N ve M tam sayılardır. Benzer şekilde, bir kafes keyfi olarak büyük boyutlu bir uzayda tanımlanabilir - sadece daha fazla vektöre ihtiyaç vardır.
Kafesler birçok nedenden dolayı önemlidir (örneğin, katı malzemeler söz konusu olduğunda atomların yerleştirilmeyi tercih ettiği yerler kafes bölgelerindedir), ancak matematikçiler için iyidir çünkü birlikte çalışmak çok uygundur. Bu nedenle, tüm ambalajlardan, bilyelerin merkezlerinin kafes düğümlerinde bulunduğu bir sınıf ayrı olarak ayırt edilir. Kendimizi bu durumla sınırlayacak olursak, uçakta sadece beş çeşit kafes vardır. Bunların en yoğun ambalajı, noktaların düzenli altıgenlerin köşelerinde - arılardaki petekler veya grafen içindeki atomlar gibi - düzenlendiği bir şekilde elde edilir. Bu gerçek, 1773'te Lagrange tarafından kanıtlandı. Daha doğrusu: Lagrange yoğun paketlerle ilgilenmiyordu, ikinci dereceden formlarla ilgileniyordu. Daha 20. yüzyılda, iki boyutlu kafesler için paketleme yoğunluğuna ilişkin bir sonucun, proform sonuçlarından çıktığı açıkça ortaya çıktı.
1831'de Ludwig Sieber üçlü ikinci dereceden formlar üzerine bir kitap yazdı. Bu kitapta, kafes salmastralar için Kepler varsayımına eşdeğer bir varsayım ileri sürülmüştür. Sieber'in kendisi, hipotezinin yalnızca zayıf bir biçimini kanıtlayabildi ve onu çok sayıda örnek için test edebildi. Bu kitap, büyük Carl Friedrich Gauss tarafından incelendi. Bu derlemede Gauss, 40 satıra uyan gerçekten şaşırtıcı bir kanıt sunuyor. Bu, şimdi söylediğimiz gibi, bir lise öğrencisinin anlayabileceği bir “Olimpiyat” kanıtıdır. Birçok matematikçi Gauss'un ispatında gizli bir anlam bulmaya çalıştı, ancak şimdiye kadar kimse başaramadı” diyor Oleg Musin.
Bununla birlikte, ağ koşulu terk edilirse ne olur? İşte bu noktada işler biraz daha karmaşık hale geliyor. Bu davayla başa çıkmak için ilk tam teşekküllü girişim, Norveçli matematikçi Axel Thue tarafından yapıldı. Vikipedi'de Salı'ya ayrılmış sayfaya bakarsanız, orada sıkı paketleme hakkında hiçbir şey bulamayacağız. Bu anlaşılabilir bir durumdur - Thue, normal matematiksel makalelerden daha çok denemeler gibi iki makale yayınladı, burada ona göründüğü gibi yoğun paketleme problemini tamamen çözdü. Tek sorun, Thue'dan başka kimsenin onun mantığına ikna olmamasıydı.
Laszlo Fejes Toth
Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons
Problem nihayet 1940 yılında Macar matematikçi Laszlo Fejes Toth tarafından çözüldü. Bu arada, en yoğun ambalajı gerçekleştiren düzlemdeki dairelerin düzenlenmesinin benzersiz olduğu ortaya çıktı.
5.
Yakın paketleme sorunuyla yakından ilgili, iletişim numarası sorunudur. Yine bir düzlemde bir daire düşünelim. Ortadaki daireye değecek şekilde aynı yarıçapa sahip kaç daire çevresine yerleştirilebilir? Cevap altı. Gerçekten de, merkezimizle temas halinde olan iki komşu çevreye bakalım. Merkez çemberin merkezinden bu ikisinin merkezlerine olan uzaklığa bakalım. eşittir 2R, nerede R dairenin yarıçapıdır. Komşu dairelerin merkezleri arasındaki mesafe geçmez 2R. Kosinüs teoremine göre merkezi dairenin merkezindeki açıyı hesaplayarak, 60 dereceden az olmadığını elde ederiz. Tüm merkez açıların toplamı 360 derece vermelidir, yani bu tür 6'dan fazla açı olamaz ve altı açılı dairelerin yerini biliyoruz.
Ortaya çıkan numaraya uçağın kontak numarası denir. Benzer bir soru herhangi bir boyuttaki uzaylar için sorulabilir. Uçaktaki çözümün basitliği okuyucuyu yanıltmasın - yoğun paketleme sorunundan daha basitse, iletişim numaraları sorunu fazla değildir. Fakat bu yönde daha fazla sonuç elde edilmiştir.
Üç boyutlu uzay için, kontak numarası 1694'te Isaac Newton'un kendisi ile James Gregory arasında bir kamu tartışmasının konusu oldu. Birincisi, temas numarasının 12 olması gerektiğine ve ikincisi - 13 olduğuna inanıyordu. Mesele şu ki, merkezi olanın etrafına 12 top yerleştirmek zor değil - bu tür topların merkezleri normal bir ikosahedronun köşelerinde yatıyor ( sadece 12 tanesi var). Ama bu toplar dokunmuyor! İlk bakışta, 13. topun sürünerek geçmesi için hareket ettirilebilecekleri görülüyor. Bu neredeyse doğrudur: toplar hafifçe birbirinden ayrılırsa, merkezleri ile merkezin merkezi arasındaki mesafeyi oluştururlar. 2R, ama sadece 2.06R, o zaman 13 top zaten sığacak. Ancak toplara dokunmak için Gregory yanılıyordu - bu gerçek 1953'te van der Waarden ve Schütte tarafından kanıtlandı.
4. boyut için bu sorun 2003 yılında Oleg Musin tarafından çözüldü. Orada, iletişim numarası 24 çıktı.
6.
Bu 1, 2, 3 ve 4 boyutlarına ek olarak, 8 ve 24 boyutlarında da kontak numaraları bilinmektedir. Neden bu boyutlar? Gerçek şu ki, onlar için E8 ve Sülük kafesi adı verilen çok ilginç kafesler var.
Yani, bir kafesin ne olduğunu zaten anladık. Bir kafesin matematik için önemli bir özelliği simetrisidir. Simetri ile, elbette, öznel duyumları kastetmiyoruz (ve bu örgüyü örneğin dört boyutta kim sunacak?), Ama bu kafesi kendi içine çeviren farklı türdeki uzay hareketlerinin sayısını kastediyoruz. Bir örnekle açıklayalım.
Düzlemdeki en yoğun dolguyu gerçekleştiren aynı altıgen örgüyü alalım. Tanımdaki v ve w vektörleri tarafından kaydırılırsa kafesin kendisine dönüştüğü kolayca anlaşılır. Ancak buna ek olarak, kafes altıgenin merkezi etrafında döndürülebilir. Ve böyle 6 dönüş vardır: 0, 60, 120, 180, 240, 300 derece. Ek olarak, kafes, bileşik altıgenin herhangi bir simetri ekseni etrafında simetrik olarak görüntülenebilir. Küçük bir alıştırma gösteriyor ki, vardiyaları saymazsak, 12 dönüşüm elde ediyoruz. Diğer kafeslerde, bu tür dönüşümler daha az olduğundan, daha az simetrik olduklarını söylüyoruz.
Şimdi, E8 ve Leach kafesi inanılmaz derecede simetrik kafeslerdir. E8, 8 boyutlu uzayda bulunur. Bu kafes, 1877'de Rus matematikçiler Korkin ve Zolotarev tarafından icat edildi. Tüm koordinatları tamsayı olan ve toplamları çift olan vektörlerden oluşur. Böyle bir kafes, eksi kaymalar, 696.729.600 dönüşüme sahiptir. Leach Izgarası yirmi dört boyutta mevcuttur. Tamsayı koordinatlarına sahip vektörlerden ve şu koşuldan oluşur - koordinatların toplamı eksi herhangi bir koordinatın 4 ile çarpımı 8'e bölünebilir. Sadece devasa bir simetri sayısına sahiptir - 8.315.553.613.086,720.000 parça.
Böylece, 8 boyutlu ve 24 boyutlu uzayda, aynı kafeslerin köşelerinde bulunan toplar sırasıyla 240 ve 19650 topa temas ediyor. Şaşırtıcı bir şekilde, ilgili boyutun boşlukları için kontak numaraları tam olarak budur (bkz. nokta 5).
7.
Şimdi üç boyutlu duruma ve Kepler'in hipotezine (en başta bahsettiğimiz) dönelim. Bu görevin öncekilerden çok daha zor olduğu ortaya çıktı.
Altıgen yoğun olanla aynı yoğunluğa sahip sonsuz sayıda ambalaj olduğu gerçeğiyle başlayalım. Altıgen kafesin düğümlerine yerleştirilen toplardan başlayarak yerleştirmeye başladık. Ancak bunu farklı şekilde yapabilirsiniz: örneğin, ilk seviyede, topları bir kareye katlayın, yani topların üstleri zaten kare bir kafesin düğümlerinde yer alacak şekilde. Bu durumda, her top dört komşuya dokunur. İkinci kat, altıgen olanda olduğu gibi, birinci katın topları arasındaki boşluklara yukarıdan yerleştirilecektir. Böyle bir paket denir yüz merkezli kübik ambalaj. Bu arada, bu uzaydaki en yoğun kafes ambalajıdır.
İlk bakışta, bu paketlemenin daha kötü olması gerektiği görülüyor, çünkü ilk katmandaki dört top arasındaki boşluklar (duyumlara göre) altıgen yoğun paketlemedeki boşluklardan çok daha büyük. Ama ikinci sırayı koyduğumuzda bilyeler -tam da boşluklar daha büyük olduğu için- daha derine batıyor. Sonuç olarak, ortaya çıktığı gibi, yoğunluk öncekiyle aynıdır. Aslında işin püf noktası, elbette, altıgene farklı bir açıdan bakıldığında böyle bir paketlemenin elde edilmesidir.
Üç boyutlu uzayda, örneğin bir düzlemde altıgen veya 8 boyutlu uzayda E8 gibi güzel benzersiz kafeslerin olmadığı ortaya çıktı. İlk bakışta, üç boyutlu uzayda en yoğun ambalajın nasıl aranacağı tamamen anlaşılmaz.
8.
Kepler'in hipotezinin çözümü birkaç aşamada doğdu.
İlk olarak, bir düzlemde yoğun kümelenme sorununu çözen aynı Macar Feiesz Toth, aşağıdaki varsayımı dile getirdi: Paketlemenin yoğun olup olmadığını anlamak için sonlu top kümelerini düşünmek yeterlidir. Öğrendiğimiz gibi, düzlemden farklı olarak, merkezdeki top 12 komşuya dokunursa, aralarında boşluklar vardır. Bu nedenle Feyesh Toth, merkezi bir top, komşuları ve komşuların komşularından oluşan kümeleri incelemeyi önerdi.
Mesele şu ki, bu varsayım geçen yüzyılın 60'larında yapıldı. Ve böyle bir kümenin hacmini en aza indirme sorunu, aslında, yaklaşık 150 değişkenli bir fonksiyon için doğrusal olmayan bir optimizasyon problemidir (her topun bir merkezi vardır, üç koordinatla verilir). Kabaca söylemek gerekirse, böyle bir fonksiyonun bazı ek koşullar altında minimum bulması gerekir. Bir yandan, görev sonlu hale geldi, ancak diğer yandan, bir kişi için hesaplama açısından tamamen dayanılmaz. Ancak Feyesh Tot üzülmedi ve bilgisayarların çok yakında gerekli bilgi işlem gücüne sahip olacağını söyledi. Onlar yardım edecekler.
Matematikçiler Fejes Toth'un hipotezini çok beğendiler ve bu yönde aktif olarak çalışmaya başladılar. 1990'ların başında, üç boyutlu uzayda kürelerin maksimum paketleme yoğunluğuna ilişkin tahminler giderek azalmaya başladı. Buradaki fikir, bir noktada tahminin yüzey merkezli kübik ambalajın yoğunluğuna eşit olacağı ve bu nedenle Kepler'in varsayımının kanıtlanacağıydı. Bu süre zarfında, matematikçi Thomas Hales paketleme üzerine ilk makalelerini yayınladı. İş için Delaunay yıldızları adlı bir nesne seçti (Sovyet matematikçi Boris Delaunay'ın onuruna). Cesur bir adımdı - o anda bu tür nesnelerin paketleme problemini incelemek için etkinliği şüpheliydi.
Sadece 8 yıllık sıkı çalışmanın ardından, 1998'de Hales, Kepler varsayımının kanıtını tamamladı. Kanıtı, Delaunay yıldızları gibi farklı yapıların sonlu bir kombinatoryal sayımına indirdi. Bu tür kombinatoryal yapıların her biri için yoğunluğu maksimize etmek gerekliydi. Bilgisayar normal olarak yalnızca tam sayılarla çalıştığından (çünkü matematikte sayılar çoğunlukla sonsuz kesirlerdir), her durum için Delaunay, sembolik rasyonel hesaplamaları kullanarak (sonuçta onları ondalık sayıya çevirmezseniz rasyonel sayılar) otomatik olarak yukarıdan bir yaklaşım oluşturdu. kesirler, sadece birkaç tam sayı). Bu yaklaşımla, maksimum yoğunluk için bir üst tahmin elde etti. Sonuç olarak, tüm tahminlerin yüzey merkezli kübik paketleme tarafından verilenden daha az olduğu ortaya çıktı.
Bununla birlikte, birçok matematikçi, bir bilgisayarın bir yaklaşıklık oluşturmak için yapıldığı durumla karıştırıldı. Hales, ispatın bilgisayar kısmında hata olmadığını ispatlamak için, bilgisayar yardımıyla da olsa, resmileştirme ve doğrulama işlemlerini yürütmüştür. Oldukça büyük bir uluslararası ekip tarafından üzerinde çalışılan bu çalışma, Ağustos 2014'te tamamlandı. Kanıtta herhangi bir hata bulunamadı.
9.
8 ve 24 boyutlarının ispatları bir bilgisayar gerektirmez ve biraz daha basittir. Bir süre önce, bu boyutlardaki maksimum paketleme yoğunluğunu tahmin etmek için çok iyi tahminler elde edildi. Bu, 2003 yılında matematikçiler Kohn ve Elkies tarafından yapıldı. Bu arada, bu tahmin (aynı zamanda Kohn-Elkies sınırı olarak da adlandırılır), Kohn ve Elkies'in kendisinden birkaç yıl önce Tula'dan Rus matematikçi Dmitry Gorbaçov tarafından bulundu. Ancak bu eseri Rusça ve bir Tula dergisinde yayınladı. Cohn ve Elkies bu çalışmadan haberdar değillerdi ve kendilerine söylendiğinde, bu arada, ona atıfta bulundular.
“Kohn-Elkies sınırı, Jean Frederic Delsarte ve harika matematikçilerimiz Grigory Kabatyansky ve Vladimir Levenshtein'in çalışmaları temelinde ortaya çıktı. Kabatyansky ve Levenshtein tarafından elde edilen, n-boyutlu uzayda topların paket yoğunluğunun asimptotik (uzay boyutu açısından) tahmini, 1978'den beri "tutulmaktadır". Bu arada, bu Levenshtein ve bağımsız olarak Amerikalılar Odlyzhko ve Sloan, 1979'da 8 ve 24 boyutlarındaki iletişim numaraları sorununu çözdü. Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein yöntemini doğrudan kullandılar” diyor Oleg Musin.
Kohn ve Elkies tahminleri aslında tüm paketlemeler için doğrudur, ancak 8 ve 24 boyutlarında çok iyi bir yaklaşıklık verirler. Örneğin, matematikçinin tahmini, sekiz boyuttaki E8 yoğunluğundan yalnızca yüzde 0.0001 daha büyüktür. Bu nedenle, görev bu tahmini geliştirmek için ortaya çıktı - sonuçta, çözüm zaten yakınlarda görünüyor. Ayrıca, 2012'de aynı Dmitry Gorbaçov, Hanedan Vakfı'ndan bir hibe için başvurdu (ve kazandı). Başvuruda, E8'in paketleme yoğunluğunu sekiz boyutlu uzayda kanıtlamayı planladığını açıkça belirtti.
Başka bir matematikçi Andrei Bondarenko'nun Gorbaçov'u böyle cesur bir açıklama yapmaya teşvik ettiğini söylüyorlar, aslında bir akıl hocası, Marina Vyazovskaya'nın bilimsel süpervizörlerinden biri, sorunu 8 boyutlu uzay için çözen (ve için ortak yazar). 24 boyutlu uzay). Çığır açan çalışmasının sonunda teşekkür ettiği kişi Bondarenko. Böylece Bondarenko ve Gorbaçov başarısız oldu, ancak Vyazovskaya başardı. Niye ya?
Marina Vyazovskaya
Berlin Humboldt Üniversitesi
Kohn-Elkies tahmini, paketleme yoğunluğunu uygun bir kümeden bazı fonksiyonların bir özelliği ile ilişkilendirir. Kabaca söylemek gerekirse, bu tür her bir işlev için bir tahmin oluşturulur. Yani, asıl görev, ortaya çıkan tahminin ihtiyacımız olan şey olması için uygun bir fonksiyon bulmaktır. Bu nedenle, Vyazovskaya'nın yapımındaki ana bileşen modüler formlardır. Fermat'ın Son Teoreminin ispatıyla ilgili olarak bunlardan daha önce bahsetmiştik. Bu, matematiğin çeşitli dallarında sürekli olarak ortaya çıkan oldukça simetrik bir nesnedir. İstenen işlevi bulmayı mümkün kılan bu araç takımıydı.
24 boyutlu uzayda da aynı şekilde tahmin elde edilmiştir. Bu çalışmanın daha fazla yazarı var, ancak Vyazovskaya'nın aynı başarısına dayanıyor (elbette biraz uyarlanmış olsa da). Bu arada, makalede bir başka dikkate değer gerçek kanıtlanmıştır: Leach kafesi benzersiz bir periyodik en yoğun paketleme uygular. Yani diğer tüm periyodik paketlemeler bundan daha az yoğunluğa sahiptir. Oleg Musin'e göre periyodik paketleme için benzer bir sonuç 4 ve 8 boyutlarında da geçerli olabilir.
10.
Uygulamalar açısından, yüksek boyutlu uzaylarda yoğun paketleme sorunu, her şeyden önce, hata düzeltmeli optimal kodlama sorunudur.
Alice ve Bob'un radyo sinyallerini kullanarak iletişim kurmaya çalıştıklarını hayal edin. Alice, Bob'a 24 farklı frekanstan oluşan bir sinyal göndereceğini söylüyor. Bob, her frekansın genliğini ölçecektir. Sonuç olarak, bir dizi 24 genlik alacaktır. Elbette, 24 boyutlu uzayda bir nokta belirlediler - sonuçta 24 tane var. Bob ve Alice, diyelim ki bir Dahl sözlüğü alıyor ve her kelimeye kendi 24 genlik kümesini ataıyorlar. Dahl'ın sözlüğündeki kelimeleri 24 boyutlu uzay noktalarıyla kodladığımız ortaya çıktı.
İdeal bir dünyada, daha fazlasına ihtiyaç yoktur. Ancak gerçek veri iletim kanalları parazit ekler, bu da kod çözme sırasında Bob'un hiçbir kelimeyle eşleşmeyen bir dizi genlik alabileceği anlamına gelir. Ancak daha sonra deşifre edilmiş versiyonuna en yakın kelimeye bakabilir. Eğer varsa, muhtemelen öyledir. Bunu her zaman yapabilmek için uzaydaki noktaların mümkün olduğunca birbirinden uzak olması gerekir. Diğer bir deyişle, örneğin, gürültü seviyesi, sonucu en fazla bir uzunluktaki bir vektörle değiştiren bir bozulma ortaya çıkacak şekildeyse, o zaman iki kod noktası tam olarak en az iki ayrı olmalıdır. O zaman, çarpıtmalarla bile, Bob'un sonucu her zaman tek bir kelimeye yakın olacaktır - gerekli olan.
Aynı zamanda, gerçekten çok fazla kelimeyi şişirmek istemiyorum - bilgi iletebileceğimiz oldukça sınırlı bir aralığımız var. Diyelim ki Alice ve Bob röntgende iletişim kurmaya başlasaydı garip olurdu (ve çok etkili değil). Bu nedenle ideal olarak, bitişik kod sözcükleri arasındaki mesafe tam olarak iki olmalıdır. Ve bu, kelimelerin, 24 boyutlu bir uzayda yoğun bir şekilde paketlenmiş, yarıçapı 1 olan topların köşelerinde yer aldığı anlamına gelir.
Geçenlerde 3B sahneler için basit bir ışın izleyici yaptım. JavaScript ile yazılmıştı ve çok hızlı değildi. Eğlenmek için C'de bir ışın izleyici yazdım ve ona 4D render modu verdim - bu modda 4D sahneyi düz ekrana yansıtabilir. Kesimin altında bazı videolar, bazı resimler ve bir ışın izleme kodu bulacaksınız.
4B bir sahne çizmek için neden ayrı bir program yazalım? Sıradan bir ışın izleyici çekebilir, üzerine bir 4D sahne koyabilir ve ilginç bir resim elde edebilirsiniz, ancak bu resim kesinlikle tüm sahnenin ekrana yansıması olmayacaktır. Sorun şu ki, sahnenin 4 boyutu var ve ekran sadece 2 ve ışın izleyicisi ekran boyunca ışınları ateşlediğinde, sadece 3 boyutlu bir alt uzayı kaplıyor ve 4 boyutlu bir sahnenin sadece 3 boyutlu bir dilimi görüntülenecek. ekranda görünür olmak. Basit bir benzetme: 3B sahneyi 1B segmente yansıtmayı deneyin.
2 boyutlu görüşe sahip 3 boyutlu bir gözlemcinin 4 boyutlu sahnenin tamamını göremediği ortaya çıktı - en iyi ihtimalle sadece küçük bir kısmı görecek. 4 boyutlu bir sahneye 3 boyutlu görme ile bakmanın daha uygun olduğunu varsaymak mantıklıdır: belirli bir 4 boyutlu gözlemci bir nesneye bakar ve 3 boyutlu bir görüntünün 3 boyutlu analogunda 3 boyutlu bir izdüşüm oluşur. retina. Programım bu 3B projeksiyonu ışınla takip edecek. Başka bir deyişle, ışın izleyicim bir 4B gözlemcinin 3B vizyonuyla ne gördüğünü gösteriyor.
3D vizyonun özellikleri
Gözünüzün önünde duran bir kağıda baktığınızı hayal edin - bu durumda bir daire göreceksiniz. Bu daireyi masaya koyarsanız bir elips göreceksiniz. Bu daireye uzaktan bakarsanız, daha küçük görünecektir. Benzer şekilde, üç boyutlu görme için: dört boyutlu bir top, gözlemciye üç boyutlu bir elipsoid olarak görünecektir. Aşağıda birkaç örnek var. İlkinde, birbirine dik 4 özdeş silindir dönüyor. İkincisinde, 4 boyutlu bir küpün çerçevesi dönüyor.
Gelelim yansımalara. Yansıtıcı bir yüzeye sahip bir topa baktığınızda (örneğin bir Noel dekorasyonu), yansıma sanki kürenin yüzeyine çizilmiş gibidir. Ayrıca 3B görüntü için: 4B bir topa bakıyorsunuz ve yansımalar sanki topun yüzeyindeymiş gibi çiziliyor. Ancak şimdi 4 boyutlu bir topun yüzeyi üç boyutludur, bu nedenle topun 3 boyutlu bir izdüşümüne baktığımızda yansımalar yüzeyde değil içeride olacaktır. Işın izleyiciyi bir ışın yayar ve topun 3B izdüşümü ile en yakın kesişimi bulursak, siyah bir daire görürüz - 3B izdüşümün yüzeyi siyah olacaktır (bu, Fresnel formüllerinden gelir). Şuna benziyor:
3D görüntü için bu bir sorun değil, çünkü bunun için tüm 3D top görülebilir ve iç noktalar yüzeydekilerin yanı sıra görünür, ancak bir şekilde bu efekti düz bir ekrana aktarmam gerekiyor, bu yüzden ek bir tane yaptım. Işın izleyicinin modu, üç boyutlu nesnelerin dumanlı gibi olduğunu düşündüğünde: ışın bunların içinden geçer ve yavaş yavaş enerji kaybeder. Şu şekilde çıkıyor:
Aynısı gölgeler için de geçerlidir: yüzeye değil, 3B projeksiyonların içine düşerler. 3 boyutlu bir topun içinde - 4 boyutlu bir topun izdüşümü - bu küp topa gölge düşürürse, 4 boyutlu bir küpün izdüşümü şeklinde karanlık bir alan olabileceği ortaya çıktı. Bu etkiyi düz ekrana nasıl aktaracağımı çözemedim.
optimizasyonlar
4B bir sahneyi ışın izleme 3B olandan daha zordur: 4B durumunda, düz bir alanın değil, bir 3B alanın renklerini bulmanız gerekir. "Alnına" bir ışın izleyici yazarsanız, hızı son derece düşük olacaktır. 1000x1000'lik bir görüntünün oluşturma süresini birkaç saniyeye indirebilecek birkaç basit optimizasyon vardır.
Bu tür resimlere bakarken gözünüze çarpan ilk şey, bir grup siyah pikseldir. Işın izleyici ışının en az bir nesneye çarptığı alanı gösterirseniz, şöyle görünecektir:
Yaklaşık %70'inin siyah piksel olduğu ve beyaz alanın bağlı olduğu görülebilir (4D sahne bağlı olduğu için bağlıdır). Düzensiz piksellerin renklerini hesaplayabilirsiniz, ancak bir beyaz pikseli tahmin edin ve ondan bir dolgu yapın. Bu, yalnızca beyaz pikselleri + beyaz alanın 1 piksel sınırını temsil eden birkaç siyah pikseli ışınla izleyecektir.
İkinci optimizasyon, rakamların - toplar ve silindirler - dışbükey olması gerçeğinden elde edilir. Bu, böyle bir şekildeki herhangi iki nokta için, onları birleştiren parçanın da tamamen şeklin içinde olduğu anlamına gelir. Işın dışbükey bir nesneyi kesiyorsa, A noktası nesnenin içinde ve B noktası dışarıdaysa, B tarafından gelen ışının geri kalanı nesneyi kesmeyecektir.
Birkaç örnek daha
Burada küp merkez etrafında döner. Top kübe değmez, ancak 3D projeksiyonda kesişebilirler.
Bu videoda küp sabittir ve 4 boyutlu bir gözlemci küpün içinden uçar. Daha büyük görünen bu 3 boyutlu küp gözlemciye daha yakın, daha küçük olan ise daha uzaktır.
Aşağıda 1-2 ve 3-4 eksenlerinin düzlemlerindeki klasik dönüş görülmektedir. Böyle bir döndürme, iki Givens matrisinin çarpımı tarafından verilir.
Işın izleyicim nasıl çalışır?
Kod ANSI C 99'da yazılmıştır. İndirebilirsiniz. ICC+Windows ve GCC+Ubuntu'da test ettim.
Program, giriş olarak sahnenin açıklamasını içeren bir metin dosyasını kabul eder.
Scene = ( nesneler = -- sahnedeki nesnelerin listesi ( grup -- nesne grubuna atanmış bir afin dönüşümü olabilir ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4) ), ışıklar = -- ışıkların listesi ( light((0.2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), ışık((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 -- silindir yarıçapı axiscyl1 = silindir ( ( (-2, 0, 0, 0)), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, malzeme = (renk = (1, 0, 0))) axiscyl2 = silindir ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, malzeme = (renk = (0, 1, 0) ) axiscyl3 = silindir ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, malzeme = (renk = (0 , 0, 1))) ) axiscyl4 = silindir ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, malzeme = (renk = (1, 1, 0) ) )
Daha sonra bu açıklamayı ayrıştırır ve kendi iç temsilinde bir sahne oluşturur. Mekânın boyutuna bağlı olarak, sahneyi oluşturur ve yukarıdaki örneklerde olduğu gibi dört boyutlu veya normal üç boyutlu bir görüntü alır. 4D ışın izleyiciyi 3D ışın izleyiciye dönüştürmek için vector.h dosyasındaki vec_dim parametresini 4'ten 3'e değiştirmeniz gerekir.Ayrıca derleyici için komut satırı parametrelerinde ayarlayabilirsiniz. GCC'ye derleme:
cd /ev/ Kullanıcı adı/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Test sürüşü:
/ev/ Kullanıcı adı/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
Raytracer'ı vec_dim = 3 ile derlerseniz, o zaman cube3d.scene sahnesi için normal bir küp üretecektir.
video nasıl yapıldı
Bunu yapmak için, her kare için döndürme matrisini hesaplayan ve onu referans sahnesine ekleyen bir Lua betiği yazdım.
Eksenler = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- eksen 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- eksen 2 (0, 0, 0.933, 0.358), -- eksen 3 (0, 0 , -0.358, 0.933) -- eksen 4 ) sahne = ( nesneler = ( grup ( eksenler = eksenler, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ) )
Grup nesnesi, nesne listesine ek olarak, iki afin dönüştürme parametresine sahiptir: eksenler ve orijin. Eksenleri değiştirerek gruptaki tüm nesneleri döndürebilirsiniz.
Komut dosyası daha sonra derlenmiş ışın izleyiciyi çağırdı. Tüm kareler oluşturulduğunda, komut dosyası mencoder olarak adlandırıldı ve tek tek resimlerden video topladı. Video, otomatik tekrara alınabilecek şekilde yapılmıştır - yani. Videonun sonu ile başı aynı. Komut dosyası şu şekilde çalışır:
Luajit animasyon.lua
Ve son olarak bu arşivde 1000 × 1000 4 adet avi dosyası bulunmaktadır. Hepsi döngüseldir - otomatik tekrara koyabilir ve normal bir animasyon elde edebilirsiniz.
Etiketler:
- ışın izleyici
- dört boyutlu uzay
Birinci sınıf öğrencisiyken bile sınıf arkadaşlarımdan biriyle hararetli bir tartışma yaşadım. Dört boyutlu bir küpün hiçbir biçimde temsil edilemeyeceğini söyledi ve ben de onun oldukça net bir şekilde temsil edilebileceğini temin ettim. Sonra ataçlardan üç boyutlu uzayımıza bir hiperküp projeksiyonu bile yaptım ... Ama her şeyi sırayla konuşalım.
Hiperküp ve dört boyutlu uzay nedir
Alışılmış alanımızda üç boyut vardır. Geometrik bir bakış açısından, bu, içinde karşılıklı olarak dik üç çizginin gösterilebileceği anlamına gelir. Yani, herhangi bir doğru için birinciye dik ikinci bir çizgi bulabilirsiniz ve bir çift için ilk ikisine dik üçüncü bir çizgi bulabilirsiniz. Mevcut üç düz çizgiye dik dördüncü düz çizgiyi bulmak artık mümkün olmayacak.
4D uzay bizimkinden sadece bir ek yönü olması bakımından farklıdır. Zaten birbirine dik üç çizginiz varsa, dördüncüyü, üçüne de dik olacak şekilde bulabilirsiniz.
hiperküp o sadece dört boyutlu bir küp.
Dört boyutlu bir uzay ve bir hiperküp hayal etmek mümkün mü?
Bu soru şu soruya benzer: “Leonardo da Vinci'nin (1452-1519) aynı adlı (1495-1498) tablosuna bakarak Son Akşam Yemeği'ni hayal etmek mümkün müdür?”
Bir yandan tabii ki İsa'nın ne gördüğünü hayal etmeyeceksiniz (oturuyor bakana dönük), özellikle pencereden dışarıdaki bahçenin kokusunu ve masadaki yemeklerin tadını almadığınız için kuşları duymayacaksınız. şarkı söylemek ... O akşam olanların tam bir resmini elde edemezsiniz, ancak yeni bir şey öğrenmeyeceğiniz ve resmin ilgi çekici olmadığı söylenemez.
Durum hiperküp sorusuna benzer. Onu tam olarak hayal etmek imkansızdır, ancak ne olduğunu anlamaya daha da yaklaşabilirsiniz.
Hiperküp inşa etmek
0 boyutlu küp
En baştan başlayalım - 0 boyutlu bir küple. Bu küp 0 karşılıklı dik yüz içerir, yani sadece bir noktadır.
1 boyutlu küp
Tek boyutlu uzayda, sadece bir yönümüz var. Noktayı bu yöne kaydırıyoruz ve bir segment alıyoruz.
Bu tek boyutlu bir küp.
2 boyutlu küp
İkinci bir boyutumuz var, bir boyutlu küpümüzü (segment) ikinci boyut yönünde kaydırıyoruz ve bir kare elde ediyoruz.
İki boyutlu bir küp.
3 boyutlu küp
Üçüncü boyutun ortaya çıkmasıyla aynı şeyi yapıyoruz: kareyi kaydırıyoruz ve normal üç boyutlu küpü alıyoruz.
4 boyutlu küp (hiperküp)
Şimdi dördüncü bir boyuta sahibiz. Yani, elimizde öncekilerin üçüne de dik bir yön var. Aynı şekilde kullanalım. 4D küp böyle görünecek.
Doğal olarak, üç boyutlu ve dört boyutlu küpler, iki boyutlu bir ekran düzleminde tasvir edilemez. Çizdiklerim projeksiyon. Tahminler hakkında biraz sonra konuşacağız, ancak şimdilik birkaç çıplak gerçek ve rakam.
Köşe, kenar, yüz sayısı
Hiperküpün yüzünün normal 3B küpümüz olduğunu unutmayın. Hiperküp çizimine yakından bakarsanız, aslında sekiz küp bulabilirsiniz.
Dört boyutlu uzayda yaşayan birinin projeksiyonları ve vizyonu
Vizyon hakkında birkaç söz
Üç boyutlu bir dünyada yaşıyoruz ama onu iki boyutlu olarak görüyoruz. Bunun nedeni, gözlerimizin retinasının sadece iki boyutlu bir düzlemde bulunmasıdır. Bu yüzden iki boyutlu resimleri algılayabilir ve gerçeğe benzer bulabiliriz.
(Tabii ki, uyum sayesinde göz bir nesneye olan mesafeyi tahmin edebilir, ancak bu zaten gözümüze yerleştirilmiş optiklerle ilişkili bir yan etkidir.)
Dört boyutlu uzayda yaşayan birinin gözleri üç boyutlu bir retinaya sahip olmalıdır. Böyle bir yaratık, üç boyutlu bir figürü anında tamamen görebilir: tüm yüzleri ve iç kısımları. (Aynı şekilde iki boyutlu bir figürü tüm yüzlerini ve içini görebiliriz.)
Bu nedenle, görme organlarımızın yardımıyla, dört boyutlu bir küpü, dört boyutlu bir uzayda yaşayan birinin algılayacağı şekilde algılayamayız. Ne yazık ki. Geriye sadece, neyse ki hiçbir fiziksel sınırlaması olmayan zihin gözüne ve fanteziye güvenmek kalıyor.
Bununla birlikte, bir hiperküpü bir düzlemde tasvir ederken, onu sadece iki boyutlu bir uzaya yansıtmam gerekiyor. Çizimleri incelerken bunu aklınızda bulundurun.
Kenar kavşakları
Doğal olarak hiperküpün kenarları kesişmez. Kavşaklar sadece rakamlarla görünüyor. Ancak bu sürpriz olmamalı çünkü şekillerdeki sıradan bir küpün kenarları da kesişiyor.
kaburga uzunlukları
Dört boyutlu bir küpün tüm yüzlerinin ve kenarlarının eşit olduğunu belirtmekte fayda var. Şekilde, sadece görüş yönüne göre farklı açılarda yer aldıkları için eşit değildirler. Bununla birlikte, hiperküpü, tüm projeksiyonların aynı uzunlukta olması için açmak mümkündür.
Bu arada, bu şekilde hiperküpün yüzleri olan sekiz küp açıkça görülüyor.
Hiperküp içinde boş
İnanması zor ama hiperküpü bağlayan küpler arasında biraz boşluk var (dört boyutlu uzayın bir parçası).
Bunu daha iyi anlamak için, normal bir 3B küpün 2B projeksiyonunu ele alalım (bunu bilerek biraz kabataslak yaptım).
Bundan küpün içinde biraz boşluk olduğunu tahmin etmek mümkün mü? Evet, ama sadece hayal gücüyle. Göz bu boşluğu görmez.
Bunun nedeni, üçüncü boyutta yer alan (düz bir çizimde tasvir edilemeyen) kenarların artık çizim düzleminde uzanan parçalara dönüşmesidir. Artık hacim sağlamıyorlar.
Küpün uzayını sınırlayan kareler üst üste biniyordu. Ancak orijinal şekilde (üç boyutlu küp) bu karelerin, şekilde ortaya çıktığı gibi, aynı düzlemde üst üste değil, farklı düzlemlerde bulunduğunu hayal edebilirsiniz.
Aynı şey hiperküp için de geçerlidir. Hiperküpün küp yüzleri, projeksiyonda bize göründüğü gibi aslında örtüşmez, ancak dört boyutlu uzayda bulunur.
raybalar
Böylece, dört boyutlu uzayın sakini, üç boyutlu bir nesneyi her yönden aynı anda görebilir. Üç boyutlu bir küpü aynı anda her yönden görebilir miyiz? Gözle, hayır. Ancak insanlar, üç boyutlu bir küpün tüm yüzlerini aynı anda düz bir çizim üzerinde göstermenin bir yolunu buldular. Böyle bir görüntüye süpürme denir.
3D küpün açılması
Herkes muhtemelen üç boyutlu bir küpün açılımının nasıl oluştuğunu bilir. Bu işlem animasyonda gösterilmiştir.
Anlaşılır olması için, küpün yüzlerinin kenarları yarı saydam yapılmıştır.
Unutulmamalıdır ki bu iki boyutlu resmi ancak hayal gücümüz sayesinde algılayabiliyoruz. Açılımın aşamalarını tamamen iki boyutlu bir bakış açısıyla düşünürsek, süreç tuhaf görünecek ve hiç de görsel olmayacaktır.
İlk önce çarpık karelerin ana hatlarının kademeli olarak ortaya çıkması ve ardından gerekli şeklin eşzamanlı olarak benimsenmesiyle bunların yerine yayılması gibi görünüyor.
Açılan bir kübe yüzlerinden birinin yönünde bakarsanız (bu açıdan küp bir kare gibi görünür), o zaman bir gelişimin oluşum süreci daha da net değildir. Her şey ilk kareden (katlanmamış bir küp değil) karelerden sürünerek çıkıyor gibi görünüyor.
Ancak görsel değil sadece için süpür göz.
4 boyutlu uzay nasıl anlaşılır?
Sadece hayal gücü sayesinde, ondan birçok bilgi toplanabilir.
4D Küpün Açılması
Hiperküpün animasyonlu sürecini en azından biraz görsel hale getirmek imkansızdır. Ancak bu süreç hayal edilebilir. (Bunu yapmak için dört boyutlu bir varlığın gözüyle bakmanız gerekir.)
Yayılma böyle görünüyor.
Hiperküpü sınırlayan sekiz küpün tamamı burada görülebilir.
Yüzler, katlanırken hizalanması gereken aynı renklerle boyanmıştır. Eşleştirilmişlerin görünmediği yüzler gri renkte bırakılır. Katladıktan sonra, üst küpün en üst yüzü, alt küpün alt yüzü ile aynı hizada olmalıdır. (Benzer şekilde, üç boyutlu bir küpün gelişimi çökmüştür.)
Lütfen katlandıktan sonra, sekiz küpün tüm yüzlerinin temas ederek hiperküpü kapatacağını unutmayın. Ve son olarak, katlama işlemini hayal ederken, katlama sırasında küplerin üst üste binmediğini, belirli (hiperkübik) dört boyutlu bir alanın etrafına sarıldığını unutmayın.
Salvador Dali (1904-1989) birçok kez çarmıha gerilmeyi tasvir etti ve birçok resminde haçlar görünüyor. The Crucifixion (1954) adlı resim bir hiperküp taraması kullanır.
Uzay-zaman ve Öklidyen dört boyutlu uzay
Umarım hiperküpü hayal etmeyi başarmışsınızdır. Ama içinde yaşadığımız dört boyutlu uzay-zamanın nasıl çalıştığını anlamaya yaklaşmayı başardınız mı? Ne yazık ki, gerçekten değil.
Burada Öklidyen dört boyutlu uzaydan bahsettik ama uzay-zamanın çok farklı özellikleri var. Özellikle, herhangi bir dönüşte, segmentler her zaman ya 45 dereceden küçük bir açıda ya da 45 dereceden büyük bir açıda zaman eksenine eğimli kalır.
Uzay-zamanın özelliklerine bir dizi not ayırdım.
3D görüntü
Dünya üç boyutludur. Görüntüsü iki boyutludur. Resmin ve şimdi fotoğrafçılığın önemli bir görevi, uzayın üç boyutluluğunu iletmektir. Romalılar zaten bazı tekniklerde ustalaşmışlardı, sonra unutuldular ve Rönesans ile birlikte klasik resme dönmeye başladılar.
Resimde üç boyutlu alan yaratmanın ana tekniği perspektiftir. İzleyiciden uzaklaşan demiryolu rayları görsel olarak dar. Boyamada raylar fiziksel olarak daraltılabilir. Fotoğrafçılıkta perspektif otomatik olarak ortaya çıkar: kamera rayları gözün gördüğü kadar dar çeker. Ancak, neredeyse kapanmasına izin vermeyin: artık bir perspektif gibi görünmeyecek, garip bir figür gibi görünecek; raylar, cadde kenarları, nehir kıyıları arasında gözle görülür bir boşluk bırakılmalıdır.
Doğrusal perspektifin dünyayı aktarmanın en ilkel, gerçekçi yolu olduğunu anlamak önemlidir.
navigasyon gönderisi
Görünüşünün tiyatro sahnesi ile ilişkili olması tesadüf değildir (Florensky, Ters Perspektif). Geleneksellik, küçük derinlikli bir tiyatro sahnesinin aktarım kolaylığı, resimde mevcut çeşitli tekniklerden yoksun, fotoğrafçılık için çok uygundur.
Doğrusaldan çok daha ilginç bakış açıları var. Çinli ustaların eserlerinde, nesneler aynı anda aşağıdan, yukarıdan ve önden tasvir edildiğinde yüzen bir perspektif vardır. Bu, beceriksiz sanatçıların teknik bir hatası değildi: Bu tekniğin efsanevi yazarı Guo Xi, böyle bir gösterimin kişinin dünyayı bütünüyle anlamasını sağladığını yazdı. Rus ikon resminin tekniği, izleyicinin aynı anda karakterin yüzünü ve arkasını görebildiği benzerdir. Batı Avrupalı sanatçılar arasında da bulunan ilginç bir ikon resmi yöntemi, uzaktaki nesnelerin tam tersine yakın olanlardan daha büyük olduğu ve önemlerini vurgulayan ters perspektifti. Böyle bir perspektifin doğru olduğu ancak günümüzde tespit edilmiştir: uzaktaki nesnelerin aksine, ön plan gerçekten ters perspektifte algılanır (Rauschenbach). Photoshop kullanarak arka plan nesnelerini büyüterek ters perspektif elde edebilirsiniz. Fotoğraf yasalarına alışmış bir izleyici için böyle bir görüntü garip görünecektir.
Binanın köşesinin, duvarların her iki yönde ayrıldığı çerçeveye yerleştirilmesi, izometrik bir perspektif görünümü yaratır. Beyin, duvarların dik açılarda olduğunu anlar ve görüntünün geri kalanını buna göre düzenler. Böyle bir perspektif önden daha dinamiktir ve ön plan için daha doğaldır. Sadece nesnelerin ve yakın aralıklı binaların uç köşelerini çerçeveye girin.
Genişletme nedeniyle, klasik bir portre için nadiren uygun olan izometrik perspektif önemlidir. Doğrusal perspektif, daralma nedeniyle küçük duyguları daha iyi iletir.
Çekim aşamasında, fotoğrafçının perspektifi vurgulaması için bir takım araçlar mevcuttur. Mesafeye giren eşit genişlikteki nesneler (yol, sokak, sütunlar, oluklar) daraltılarak ve hatta basitçe uzaklaşarak izleyiciye uzayın üç boyutluluğunu gösterir. Perspektif bozulmasını artırmak için düşük bir açıdan çekim yaparken efekt daha güçlüdür. Bu, manzara çekimi için yeterlidir, ancak küçük bir iç çekim görüntü derinliği ile efekt neredeyse hiç fark edilmez. Görüntünün üst kısmı daraltılarak (Dönüştürme Perspektifi) son işlemede biraz geliştirilebilir. Bununla birlikte, bir manzarada bile hipertrofik bir bakış açısı ilginç görünebilir.
Derinlik, görüntünün anlamında açık olabilir: binalar bir sokak veya nehirle ayrılır. Köşegen, üç boyutluluğu vurgular; nehir üzerindeki köprü gibi.
Arka planda izleyicinin bildiği boyuttaki nesneler ölçeği belirler ve buna göre perspektifi oluşturur. Manzara fotoğrafçılığında böyle bir konu bir araba olabilir, ancak portre fotoğrafçılığında bacağınızı (kameradan uzağa) bükmeyi ve sandalyenin altına sokmayı deneyin, böylece görünür kalırken daha küçük görünecek. Hatta bu bacağını son işlemede biraz azaltabilirsiniz.
Süsleme, unsurları görsel olarak azaltarak perspektif aktarmaktadır. Bir örnek, zemindeki büyük fayanslar, yoldaki çizgiler olabilir.
Hipertrofik bir ön plan tekniği var. Orantısız olarak büyük, görüntü derinliği yaratır. Ön planın ölçeğini ve modeli karşılaştıran göz, modelin göründüğünden çok daha uzakta olduğu sonucuna varır. Hipertrofi, görüntünün bir hata olarak algılanmaması için ince kalmalıdır. Bu teknik yalnızca son işleme için değil, aynı zamanda çekim için de uygundur: 35 veya 50 mm lensle çekim yaparken oranları bozun. Geniş açılı bir mercekle çekim yapmak, alanı genişleterek oranların ihlali nedeniyle üç boyutluluğunu artırır. Modeli yakın mesafeden çekerseniz efekt daha güçlü olur, ancak grotesk oranlara dikkat edin: yalnızca dini görüntülerin yazarları bir binadan daha büyük bir kişiyi tasvir edebilir.
Geçiş harika çalışıyor. Elma armudu kısmen kaplıyorsa, beyin yanılmaz: elma armutun önündedir. Mobilyayı kısmen kaplayan model bu sayede iç mekanın derinliğini de oluşturuyor.
Açık ve koyu noktaların değişimi de görüntüye derinlik verir. Beyin, yakındaki nesnelerin yaklaşık olarak eşit şekilde aydınlatıldığını deneyimlerinden bilir, bu nedenle farklı aydınlatılmış nesneleri farklı mesafelerde konumlanmış olarak yorumlar. Bu etki için noktalar, perspektif ekseni yönünde değişir - görüntünün içinde, karşısında değil. Örneğin, karanlık bir çerçevede kameradan uzakta duran bir modeli çekerken, parlak noktaları kalçaların ve bacakların yanına yerleştirin. İşlem sonrası alanları aydınlatabilir/koyulaştırabilirsiniz.
Artan karanlık nesnelerin art arda azaldığı algılanıyor. Aktif çizgi boyunca nesneleri yavaş yavaş gölgeleyerek, ince bir perspektif duygusu elde edebilirsiniz. Benzer şekilde, derinlik ışığı azaltarak iletilir: mobilyaların veya zeminin üzerine bir ışık çizgisi geçirin.
Sadece ışık nedeniyle değil, aynı zamanda renk kontrastı nedeniyle üç boyutlu bir görüntü elde edilebilir. Bu teknik, natürmortlarına parlak renkli noktalar yerleştiren Flaman ressamlar tarafından biliniyordu. Kırmızı nar ve sarı limon yan yana, düz cephe aydınlatmasında bile üç boyutlu görünecek. Mor üzümlerin arka planında özellikle göze çarpacaklar: soğuk bir arka plana karşı sıcak bir renk. Parlak renkli yüzeyler, bir natürmort için tipik olan zayıf ışıkta bile karanlıktan iyi bir şekilde sıyrılır. Renk kontrastı, renk tonları yerine kırmızı, sarı, mavi ana renklerle daha iyi çalışır.
Siyah zeminde sarı öne çıkar, mavi arkaya gizlenir. Beyaz bir arka planda - aksine. Renk doygunluğu bu etkiyi artırır. Bu neden oluyor? Sarı renk asla karanlık değildir, bu nedenle beyin sarı bir nesnenin aydınlatılmamış karanlık bir arka plana daldırılabileceğine inanmayı reddeder. Öte yandan mavi karanlıktır.
Son işlemedeki perspektif geliştirme, atmosferik algıyı simüle etmeye indirgenir: uzaktaki nesneler bize daha hafif, bulanık, parlaklık, doygunluk ve ton açısından azaltılmış kontrast ile görünür.
Uzun mesafelere ek olarak, sabah pus, sis, dumanlı barda atmosferik etkiler doğal olarak görünür. Hava durumunu düşünün: Bulutlu bir günde veya alacakaranlıkta, ön plan ile arka plan arasında önemli bir fark olamaz.
Faktörlerin en güçlüsü parlaklıktaki kontrasttır. Ayarlarda, bu normal kontrasttır. Uzaktaki nesnelerin kontrastını azaltın, ön planın kontrastını yükseltin - ve görüntü şişkin hale gelir. Bu, ön plan ile arka plan arasındaki kontrastla ilgili değil, ön planın kontrastından daha düşük olması gereken arka planın kontrastıyla ilgilidir. Bu yöntem sadece manzara ve tür fotoğrafçılığı için değil, aynı zamanda stüdyo portreleri için de uygundur: yüzün ön tarafının kontrastını yükseltin, saç ve elmacık kemikleri, giysiler üzerindeki kontrastı azaltın. Portre filtreleri de benzer bir şey yapar, öznenin cildini bulanıklaştırır ve gözleri ve dudakları keskinleştirir.
Kontrast ayarı, bir görüntünün 3B son işlemesini yapmanın en kolay yoludur. Diğer süreçlerin aksine, izleyici maksimum doğallığı koruyacak değişiklikleri fark etmeyecektir.
Bulanıklaştırma, kontrastı azaltmaya benzer, ancak bunlar farklı süreçlerdir. Görüntü keskin kalırken düşük kontrastlı olabilir. Sınırlı alan derinliği nedeniyle, uzaktaki nesnelerin bulanıklaştırılması, fotoğrafçılıkta üç boyutluluğu aktarmanın en popüler yolu olmaya devam ediyor ve işlem sonrası arka planı bulanıklaştırarak bunu geliştirmek kolaydır. Bu nedenle, arka plana daha az ayrıntı yerleştirilmelidir - beyin uzaktaki ayırt edilebilir nesneleri beklemez. Bu arada, kontrastı düşürmek, doğal algıya daha iyi karşılık gelir: uzaktaki dağlar bulanık değil, düşük kontrastla görülür, çünkü manzarayı tararken, göz sürekli yeniden odaklanır, alan derinliği sorununa yabancıdır. Arka planı bulanıklaştırarak aynı zamanda ön planı netleştirebilirsiniz. Ek olarak, ön planda görüntünün çizgilerini iyileştirebilirsiniz (Yüksek Geçişli Filtre veya Netlik). Yüksek kaliteli lenslerin görüntüsünün karakteristik şişkinliğini açıklayan ön planın yüksek keskinliğidir. Dikkat: Üç boyutlulukta hafif bir artış uğruna, görüntüyü çok sert yapabilirsiniz.
Daha hafif nesneler daha uzak görünür. Bunun nedeni, doğada uzaktaki nesneleri ışık saçan havanın kalınlığında görmemizdir; uzak dağlar parlak görünüyor. Bu nedenle manzara fotoğrafçılığında ön plandaki hafif nesnelerin konumuna dikkat edilmelidir.
Uzaktaki nesneleri aydınlatın. Uzaklaştıkça, gökyüzünün parlaklığı ve tonuyla daha çok birleşirler. Lütfen yatay nesnelerin (kara, deniz) dikey olanlardan (duvarlar, ağaçlar) daha iyi aydınlatıldığını unutmayın, bu nedenle ikincisini aydınlatarak aşırıya kaçmayın. Her durumda, nesneler gökyüzünden belirgin şekilde daha az parlak kalmalıdır.
Pekala, arka planın parlaklığındaki kontrastı azaltmanın başka bir yolunun parlaklaştırma olduğunu fark ettiyseniz. Çıkıntı efektini geliştirmek için ön planı biraz karartın.
Görünüşe göre iç mekanda tam tersi doğru. Sokakta göz, mesafenin hafif olduğu gerçeğine alışırsa, o zaman odada ışık genellikle kişiye odaklanır ve iç mekan karanlığa daldırılır; beyin arka planda değil, ön planda aydınlatmaya alışıktır.
Sığ bir sahne derinliğine sahip iç mekan görüntülerinde, manzara görüntülerinin aksine, aydınlatılmış model karanlık bir arka plandan dışarı çıkar. Ancak bunun tam tersi bir faktör de var: Evriminin %99'u, insan geleceği açık bir alanda gözlemledi ve odaların ortaya çıkmasıyla beynin yeniden düzenlemeye henüz zamanı olmadı. Vermeer, portreler için açık renkli bir arka plan tercih etti ve bunlar gerçekten dışbükey. Fotoğrafta önerilen dikey bir arka planın aydınlatılması, yalnızca modeli modelden ayırmakla kalmaz, aynı zamanda arka planı aydınlatarak görüntüye hafif bir üç boyutluluk verir. Burada, beynin nesnelerin konumlarını çeşitli faktörlere göre analiz ettiği ve birbirleriyle çelişebilecekleri gerçeğiyle karşı karşıyayız.
Işık noktalarının modelin kameradan uzak alanlarında bulunduğu stüdyo aydınlatması ilginç görünüyor. Örneğin, kameradan uzaktaki sandık vurgulanır.
Uzaktaki nesnelerde renk doygunluğunu azaltın: bizi ayıran havanın kalınlığı nedeniyle, uzaktaki dağlar neredeyse monokrom seviyesine kadar doygun hale geldi ve mavi bir pusla kaplandı. Ön plan doygunluğu artırılabilir.
Sarı açık ve mavi ve kırmızı karanlık olduğundan, renk kontrastı aynı zamanda bir parlaklık kontrastıdır.
Uzak bir arka planı desatüre ederek, gözden kaybolmasına izin vermeyin. Çoğu zaman, tam tersine, onu ortaya çıkarmak için arka planın doygunluğunu artırmanız gerekir. Bu, üç boyutluluktan daha önemlidir.
3D fotoğrafçılık için birçok ipucu sıcaklık kontrastı ile ilgilidir. Aslında, bu etki çok zayıftır, parlaklıktaki kontrast tarafından kolayca kesintiye uğrar. Ek olarak, sıcaklık kontrastı can sıkıcı, çarpıcı.
Sıcak turuncu ışık hava tarafından emildiği için çok uzaktaki nesneler daha soğuk görünür. Arka planda ufukta gemiler varken sahilde bir modelin fotoğrafını çekerken, son işlemde uzaktaki denizin ve gemilerin renk sıcaklığını düşürün. Mavi denizden kırmızı mayo giymiş bir model, mavimsi alacakaranlıktan sokak lambasının sarı ışığında bir model çıkar.
Bu ayrı bir tonlamadır: modeli daha sıcak, arka planı daha soğuk yaparız. Beyin aynı düzlemde farklı renk sıcaklıkları olmadığını anlar ve böyle bir görüntüyü modelin arka plandan çıktığı üç boyutlu olarak algılar. Ayrı tonlama, manzaralara derinlik katar: ön planı daha sıcak, arka planı daha soğuk yapın.
Bölünmüş tonlamanın önemli bir istisnası: gün doğumu ve gün batımında, uzak arka plan hiç soğuk değil, sarı ve kırmızı-turuncu tonlarda sıcak. Açık çözüm - mor bir mayo içinde beyaz bir model kullanmak - işe yaramıyor çünkü gün batımı ışığı modelin vücuduna da sıcak bir renk katıyor.
Özetlemek gerekirse, atmosferik etkilere dayalı bir fotoğrafa üç boyutluluk kazandırmak için ön plan ile arka plan arasında kontrast oluşturmak gerekir. Ana karşıtlık olağan karşıtlıktır: ön plan zıttır, arka plan düşük kontrastlıdır. İkinci karşıtlık keskinlikte: ön plan keskin, arka plan bulanık. Üçüncü karşıtlık açıklığa göredir: ön plan karanlık, arka plan aydınlıktır. Dördüncü karşıtlık doygunluğa göredir: ön plan renkleri doygun, arka plan renkleri doygunluğu azaltılmıştır. Beşinci karşıtlık sıcaklıktadır: ön plan sıcak, arka plan soğuk.
Bu faktörler genellikle çok yönlüdür. Sarı, maviden daha parlaktır ve açık renkli nesneler karanlık olanlardan daha uzak görünür. Sarının uzaklaşmasını ve mavinin izleyiciye yaklaşmasını beklemek doğal olurdu. Aslında tam tersi doğrudur: Soğuk bir arka plandan sıcak bir renk çıkar. Yani rengin parlaklıktan daha güçlü bir faktör olduğu ortaya çıkıyor. Bu, yansıma üzerine şaşırtıcı değil: sarı ve kırmızı, yalnızca yakından açıkça ayırt edilebilir ve izleyici, onlarla çok uzak bir mesafede karşılaşmayı beklemiyor.
Alt satır: arka planı düşük kontrastlı, soluk, hafif, doygunluğu giderilmiş, mavimsi tutun. Ve hipertrofik 3D filmlere alışık olan izleyicinin, yarattığınız üç boyutluluğu zar zor farkedecek ya da yok bulacağı gerçeğine hazırlıklı olun.
Portre çekiminde, modelin yüzünde görüntünün oldukça belirgin görünmesini sağlayacak, kanıtlanmış ışık-gölge etkisine, ışık ve gölge oyununa güvenmek en iyisidir. Tür fotoğrafçılığında perspektif, en belirgin üç boyutlu etkiyi verir. Hareketsiz yaşamda, ana faktör nesnelerin kesişimi (bindirmesi) olacaktır.
Bakış açısına kapılıp gitmeyin; sadece görüntünüzün titrediği ön düzlem için bir arka plandır. Modern resimde, gerçekçilikten uzak, perspektif yüksek itibar görmez.
Kitabın tamamını indirin: pdfepubazw3mobifb2litİçindekiler
|
|||||||||||||||||||||
|
1904'te Henri Poincare, üç boyutlu bir kürenin belirli özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesnenin 3 küreye dönüştürülebileceğini öne sürdü. Bu hipotezi kanıtlamak 99 yıl sürdü. (Dikkat! Üç boyutlu bir küre düşündüğünüz gibi değildir.) Rus matematikçi Grigory Perelman, yüz yıl önce yapılmış Poincaré varsayımını kanıtladı ve üç boyutlu uzayların şekillerinden oluşan bir katalog oluşturmayı tamamladı.
Poincaré, 3-kürenin benzersiz olduğunu ve başka hiçbir kompakt 3-manifoldun (Kompakt olmayan manifoldlar sonsuzdur veya kenarları vardır. Aşağıda, sadece kompakt manifoldlar ele alınmıştır) onu bu kadar basit kılan özelliklere sahip olmadığını öne sürdü. Daha karmaşık 3-manifoldlar, bir tuğla duvar gibi duran sınırlara veya çatallanan ve yeniden bağlanan bir orman yolu gibi bazı alanlar arasında çoklu bağlantılara sahiptir. 3 kürenin özelliklerine sahip herhangi bir üç boyutlu nesne, 3 kürenin kendisine dönüştürülebilir, bu nedenle topologlar için bu sadece onun bir kopyasıdır. Perelman'ın ispatı ayrıca üçüncü soruyu cevaplamamıza ve mevcut tüm 3-manifoldları sınıflandırmamıza izin veriyor.
3 küre hayal etmek için oldukça fazla hayal gücüne ihtiyacınız var. Neyse ki, tipik bir örneği yuvarlak bir balonun kauçuğu olan 2 küre ile çok ortak noktası vardır: iki boyutludur, çünkü üzerindeki herhangi bir nokta sadece iki koordinat tarafından verilir - enlem ve boylam. Güçlü bir büyüteç altında yeterince küçük bir bölümünü düşünürsek, düz bir levha parçası gibi görünecektir. Bir balonun üzerinde sürünen küçük bir böceğe, düz bir yüzey gibi görünecektir. Ancak sümük yeterince uzun bir düz çizgide hareket ederse, sonunda başlangıç noktasına geri dönecektir. Aynı şekilde Evrenimizin büyüklüğündeki 3 küreyi de "sıradan" üç boyutlu uzay olarak algılarız. Herhangi bir yönde yeterince uzağa uçarsak, sonunda "dünyayı daire içine alırız" ve başlangıç noktasına geri dönerdik.
Tahmin edebileceğiniz gibi, n-boyutlu bir küreye n-küre denir. Örneğin, 1-küre herkese tanıdık geliyor: bu sadece bir daire.
Daha yüksek boyutlu uzaylar hakkında teoremleri ispatlayan matematikçiler, çalışmanın nesnesini hayal etmek zorunda değildirler: daha az boyutlu analojilere dayanan sezgilerin rehberliğinde soyut özelliklerle uğraşırlar (bu tür analojiler dikkatli bir şekilde ele alınmalı ve kelimenin tam anlamıyla alınmamalıdır). Daha az sayıda boyuta sahip nesnelerin özelliklerine dayalı olarak 3 küreyi de ele alacağız.
1. Bir çemberi ve onu çevreleyen çemberi ele alarak başlayalım. Matematikçiler için daire iki boyutlu bir toptur ve daire tek boyutlu bir küredir. Ayrıca, herhangi bir boyuttaki bir top, karpuza benzeyen doldurulmuş bir nesnedir ve yüzeyi daha çok bir balon gibi bir küredir. Daire tek boyutludur, çünkü üzerindeki bir noktanın konumu tek bir sayı ile belirlenebilir.
2. İki daireden, birini Kuzey Yarımküre'ye, diğerini Güney'e çevirerek iki boyutlu bir küre oluşturabiliriz. Onları yapıştırmaya devam ediyor ve 2 küre hazır.
3. Sıfır ve 180. meridyen (solda) tarafından oluşturulan geniş bir daire içinde Kuzey Kutbu'ndan sürünen bir karınca hayal edin. Yolunu iki orijinal daireye (sağda) eşlersek, böceğin düz bir çizgide (1) kuzey dairenin (a) kenarına doğru hareket ettiğini, sonra sınırı geçtiğini, ilgili noktaya çarptığını görürüz. güney daire ve düz çizgiyi (2 ve 3) takip etmeye devam ediyor. Sonra karınca tekrar (b) kenarına ulaşır, onu geçer ve tekrar kuzey çemberinde kendini bulur, başlangıç noktasına - Kuzey Kutbu (4). 2 küre üzerinde bir dünya turu sırasında, bir daireden diğerine geçerken hareket yönünün tersine döndüğünü unutmayın.
4. Şimdi 2 küremizi ve içerdiği hacmi (3B top) düşünün ve daire ve daire ile yaptığımızın aynısını onlarla yapın: topun iki kopyasını alın ve sınırlarını birbirine yapıştırın. Topların dört boyutta nasıl bozulduğunu ve yarım kürelerin bir analoguna dönüştüğünü açıkça göstermek imkansızdır ve gerekli değildir. Yüzeylerdeki karşılık gelen noktaların, yani. 2 küre, dairelerde olduğu gibi birbirine bağlıdır. İki topun birleştirilmesinin sonucu 3 küredir - dört boyutlu bir topun yüzeyi. (3 küre ve 4 topun bulunduğu dört boyutta, cismin yüzeyi üç boyutludur.) Toplardan birine kuzey yarım küre, diğerine güney yarım küre diyelim. Dairelere benzeterek, kutuplar artık topların merkezindedir.
5. Söz konusu topların uzayın büyük boş alanları olduğunu hayal edin. Diyelim ki bir astronot Kuzey Kutbu'nu bir roketle terk ediyor. Zamanla, şimdi kuzey küresini çevreleyen küre olan ekvatora (1) ulaşır. Roket onu geçerek güney yarımküreye girer ve merkezinden - Güney Kutbu - ekvatorun (2 ve 3) karşı tarafına doğru düz bir çizgide hareket eder. Orada tekrar kuzey yarımküreye geçiş gerçekleşir ve gezgin Kuzey Kutbu'na döner, yani. başlangıç noktasına (4). Bu, 4 boyutlu bir topun yüzeyinde dünyayı dolaşmanın senaryosu! Göz önüne alınan üç boyutlu küre, Poincare varsayımında belirtilen uzaydır. Belki de Evrenimiz sadece 3 küredir.
Akıl yürütme beş boyuta genişletilebilir ve bir 4 küre oluşturulabilir, ancak hayal etmesi son derece zordur. Onları çevreleyen (n-1)-küreleri boyunca iki n-topu yapıştırırsak, (n+1)-topunu sınırlayan bir n-küresi elde ederiz.
Poincare varsayımının ortaya çıkmasından önce yarım yüzyıl geçti. 60'larda. 20. yüzyıl matematikçiler, beş veya daha fazla boyutlu küreler için buna benzer ifadeler kanıtladılar. Her durumda, n-küresi gerçekten de tek ve en basit n-manifoldudur. İşin garibi, çok boyutlu küreler için sonuç elde etmenin 3 ve 4 kürelerden daha kolay olduğu ortaya çıktı. Dört boyutun kanıtı 1982'de ortaya çıktı. Ve yalnızca 3 küre hakkındaki orijinal Poincaré varsayımı doğrulanmadı.
Belirleyici adım, Kasım 2002'de, St. Petersburg Matematik Enstitüsü Bölümü'nden bir matematikçi olan Grigory Perelman'ın atıldığı zaman atıldı. Steklov, www.arxiv.org sitesine dünyanın her yerinden fizikçilerin ve matematikçilerin bilimsel faaliyetlerinin sonuçlarını tartıştıkları bir makale gönderdi. Topologlar, yazar doğrudan bahsetmese de, Rus bilim adamının çalışması ile Poincaré hipotezi arasındaki bağlantıyı hemen yakaladılar.
Aslında, doğruluğunu henüz kimsenin sorgulayamadığı Perelman'ın ispatı, gerçek Poincare varsayımından çok daha geniş bir soru yelpazesini çözüyor. Cornell Üniversitesi'nden William P. Thurston tarafından önerilen geometrileştirme prosedürü, üstün basitliğinde benzersiz olan 3 küreye dayalı 3 manifoldun tam bir sınıflandırmasına izin verir. Poincare varsayımı yanlışsa, yani. Küre kadar basit birçok uzay olsaydı, 3-manifoldların sınıflandırılması çok daha karmaşık bir şey olurdu. Perelman ve Thurston sayesinde, Evrenimizin alabileceği matematiğin izin verdiği tüm üç boyutlu uzay biçimlerinin eksiksiz bir kataloğuna sahibiz (sadece zamansız uzayı düşünürsek).
Poincaré varsayımını ve Perelman'ın kanıtını daha iyi anlamak için topolojiye daha yakından bakmak gerekir. Matematiğin bu dalında, bir nesnenin şekli, sanki herhangi bir şekilde esnetilebilen, sıkıştırılabilen ve bükülebilen bir hamurdan yapılmış gibi önemli değildir. Neden hayali bir testten nesneler veya boşluklar hakkında düşünmeliyiz? Gerçek şu ki, bir nesnenin tam şekli - tüm noktaları arasındaki mesafe - geometri adı verilen yapısal seviyeye atıfta bulunur. Topologlar, testten bir nesneyi inceleyerek, geometrik yapıya bağlı olmayan temel özelliklerini ortaya çıkarırlar. Topoloji çalışması, herhangi bir bireye dönüştürülebilen bir "hamuru adama" bakarak insanların sahip olduğu en yaygın özellikleri aramaya benzer.
Popüler literatürde, topoloji açısından bakıldığında, bir fincanın bir donuttan farklı olmadığı konusunda genellikle basmakalıp bir iddia vardır. Gerçek şu ki, bir fincan hamur, malzemeyi basitçe ezerek bir çörek haline getirilebilir, yani. hiçbir şey yapışmaz veya delik açmaz. Öte yandan, bir toptan çörek yapmak için, kesinlikle içinde bir delik açmanız veya bir silindire yuvarlamanız ve uçlarını körlemeniz gerekir, bu nedenle top hiç çörek değildir.
Topologlar en çok bir kürenin ve bir çöreğin yüzeyleriyle ilgilenirler. Bu nedenle katı cisimler yerine balonlar hayal edilmelidir. Topolojileri hala farklıdır, çünkü küresel bir balon, torus adı verilen bir halka balona dönüştürülemez. İlk olarak, bilim adamları, farklı topolojilere sahip kaç tane nesnenin bulunduğunu ve bunların nasıl karakterize edilebileceğini bulmaya karar verdiler. Yüzeyler olarak adlandırmaya alıştığımız 2-manifoldlar için cevap zarif ve basittir: her şey "delik" sayısı veya eşdeğer olarak tutamaç sayısı ile belirlenir. XIX yüzyılın sonunda. matematikçiler yüzeyleri nasıl sınıflandıracaklarını buldular ve en basitinin küre olduğunu buldular. Doğal olarak, topologlar 3-manifoldlar hakkında düşünmeye başladılar: 3-küre basitliği açısından benzersiz mi? Cevap arayışının asırlık tarihi, yanlış adımlar ve hatalı kanıtlarla doludur.
Henri Poincare bu konuyu ciddiyetle ele aldı. 20. yüzyılın başlarındaki en güçlü iki matematikçiden biriydi. (diğeri David Hilbert'di). Son genelci olarak adlandırıldı - hem saf hem de uygulamalı matematiğin tüm bölümlerinde başarıyla çalıştı. Buna ek olarak, Poincare gök mekaniğinin gelişimine, elektromanyetizma teorisine ve hakkında birkaç popüler kitap yazdığı bilim felsefesine büyük katkı yaptı.
Poincare, cebirsel topolojinin kurucusu oldu ve yöntemlerini kullanarak 1900'de homotopi adı verilen bir nesnenin topolojik özelliğini formüle etti. Bir manifoldun homotopisini belirlemek için, ona zihinsel olarak kapalı bir döngü batırmak gerekir. O zaman, döngüyü manifoldun içinde hareket ettirerek bir noktaya kadar daraltmanın her zaman mümkün olup olmadığını bulmalıyız. Bir simit için cevap olumsuz olacaktır: simidin çevresine bir ilmek yerleştirirseniz, onu bir noktaya kadar daraltmak mümkün olmayacaktır çünkü çörek "deliği" karışacaktır. Homotopi, döngünün büzülmesini engelleyebilecek farklı yolların sayısıdır.
Bir n-küresinde, karmaşık bir şekilde bükülmüş olsa bile, herhangi bir döngü her zaman çözülebilir ve bir noktaya çekilebilir. (Bir döngünün kendi içinden geçmesine izin verilir.) Poincaré, 3 kürenin, herhangi bir döngünün bir noktaya daraltılabileceği tek 3-manifold olduğunu varsaydı. Ne yazık ki, daha sonra Poincare varsayımı olarak bilinen varsayımını hiçbir zaman kanıtlayamadı.
Perelman'ın 3-manifold analizi, geometrileştirme prosedürü ile yakından ilişkilidir. Geometri, artık hamurdan değil, seramikten yapılmış nesnelerin ve manifoldların gerçek şekliyle ilgilenir. Örneğin, bir fincan ve bir simit geometrik olarak farklıdır çünkü yüzeyleri farklı şekilde kavislidir. Fincan ve çörek, farklı geometrik şekiller verilen iki topolojik simit örneğidir.
Perelman'ın neden geometri kullandığını anlamak için 2-manifoldların sınıflandırmasını düşünün. Her topolojik yüzeye, eğriliği manifold boyunca eşit olarak dağılmış benzersiz bir geometri atanır. Örneğin, bir küre için bu tamamen küresel bir yüzeydir. Bir topolojik küre için başka bir olası geometri bir yumurtadır, ancak eğriliği her yere eşit olarak dağılmamıştır: keskin uç, kör olandan daha eğridir.
2-manifoldlar üç geometrik tip oluşturur. Küre, pozitif eğrilik ile karakterize edilir. Geometrik bir simit düzdür ve eğriliği sıfırdır. İki veya daha fazla "deliği" olan diğer tüm 2-manifoldlar negatif eğriliğe sahiptir. Önde ve arkada yukarı, sola ve sağa doğru aşağı doğru kıvrılan eyere benzer bir yüzeye karşılık gelirler. 2 manifoldun bu geometrik sınıflandırması (geometrikleştirme), Poincare tarafından Paul Koebe ve Felix Klein ile birlikte geliştirildi ve Klein şişesinin adını aldı.
Benzer bir yöntemi 3-manifoldlara uygulamak için doğal bir istek vardır. Her biri için, eğriliğin tüm manifolda eşit olarak dağıtılacağı böyle benzersiz bir konfigürasyon bulmak mümkün müdür?
3-manifoldların iki boyutlu muadillerinden çok daha karmaşık olduğu ve çoğunun homojen bir geometri ile ilişkilendirilemeyeceği ortaya çıktı. Sekiz kanonik geometriden birine karşılık gelen parçalara bölünmelidirler. Bu prosedür, bir sayının asal faktörlere ayrıştırılmasına benzer.
Bir manifold nasıl geometrikleştirilir ve ona her yerde düzgün bir eğrilik verilir? Çeşitli çıkıntılar ve girintilerle rastgele bir geometri almanız ve ardından tüm tümsekleri düzeltmeniz gerekir. 90'ların başında. 20. yüzyıl Hamilton, adını matematikçi Gregorio Ricci-Curbastro'dan alan Ricci akış denklemini kullanarak 3-manifoldları analiz etmeye başladı. Eşit olmayan şekilde ısıtılan bir cisimde sıcaklığı her yerde aynı olana kadar akan ısı akışını tanımlayan ısı denklemine biraz benzer. Aynı şekilde, Ricci akış denklemi, manifoldun eğriliğinde, tüm çıkıntıların ve çöküntülerin hizalanmasına yol açan bir değişikliği tanımlar. Örneğin, bir yumurta ile başlarsanız, yavaş yavaş küresel hale gelecektir.
Perelman, Ricci akış denklemine yeni bir terim ekledi. Bu değişiklik tekillik sorununu ortadan kaldırmadı, aksine çok daha derin bir analiz yapılmasına olanak sağladı. Rus bilim adamı, dambıl şeklindeki bir manifold üzerinde “cerrahi” bir operasyonun yapılabileceğini gösterdi: ortaya çıkan tutamın her iki tarafında ince bir tüp kesin ve toplardan çıkan açık tüpleri küresel kapaklarla kapatın. Ardından, Ricci akış denklemine göre “çalıştırılan” manifoldu değiştirmeye devam etmeli ve ortaya çıkan tüm tutamlara yukarıdaki prosedürü uygulamalıdır. Perelman ayrıca puro şeklindeki özelliklerin görünemeyeceğini de gösterdi. Böylece, herhangi bir 3-manifold, üniform geometriye sahip bir dizi parçaya indirgenebilir.
Ricci akışı ve "ameliyat" tüm olası 3-manifoldlara uygulandığında, bunlardan herhangi biri, 3 küre kadar basitse (başka bir deyişle, aynı homotopiye sahipse), zorunlu olarak aynı homojen geometriye indirgenir. , hangi ve 3 küre. Bu nedenle, topolojik bakış açısından, incelenen manifold 3-küredir. Böylece 3 küre benzersizdir.
Perelman'ın makalelerinin değeri, yalnızca Poincare varsayımının kanıtlanmasında değil, aynı zamanda yeni analiz yöntemlerinde de yatmaktadır. Dünyanın her yerindeki bilim adamları, Rus matematikçinin elde ettiği sonuçları çalışmalarında zaten kullanıyor ve onun geliştirdiği yöntemleri başka alanlarda da uyguluyor. Ricci akışının, parçacıkların çarpışma enerjisine bağlı olarak etkileşimlerin gücünün nasıl değiştiğini belirleyen renormalizasyon grubu ile ilişkili olduğu ortaya çıktı. Örneğin, düşük enerjilerde, elektromanyetik etkileşimin gücü 0.0073 (yaklaşık 1/137) sayısı ile karakterize edilir. Ancak, iki elektron neredeyse ışık hızında kafa kafaya çarpıştığında, bu kuvvet 0,0078'e yaklaşır. Fiziksel kuvvetlerdeki değişimi tanımlayan matematik, bir manifoldun geometrileştirilmesini tanımlayan matematiğe çok benzer.
Artan çarpışma enerjisi, daha kısa mesafelerde öğrenme kuvvetine eşdeğerdir. Bu nedenle, renormalizasyon grubu, süreci farklı ayrıntı seviyelerinde keşfetmenizi sağlayan değişken büyütme faktörüne sahip bir mikroskop gibidir. Benzer şekilde, Ricci akışı, manifoldlara bakmak için bir mikroskoptur. Bir büyütmede görünen çıkıntılar ve çöküntüler diğerinde kayboluyor. Planck uzunluğu ölçeğinde (yaklaşık 10-35 m), içinde yaşadığımız alanın karmaşık topolojik yapıya sahip bir köpük gibi görünmesi muhtemeldir. Ayrıca kütleçekiminin özelliklerini ve evrenin büyük ölçekli yapısını tanımlayan genel görelilik denklemleri, Ricci akış denklemi ile yakından ilişkilidir. Paradoksal olarak, Hamilton tarafından kullanılan ifadeye eklenen Perelman terimi, yerçekiminin kuantum teorisi olduğunu iddia eden sicim teorisinde karşımıza çıkar. Rus matematikçinin makalelerinde bilim adamlarının sadece soyut 3-manifoldlar hakkında değil, aynı zamanda içinde yaşadığımız uzay hakkında da çok daha yararlı bilgiler bulmaları mümkündür.
