Bir sayının karekökünün bir üssü. Köklerin çarpımı: yöntemler ve uygulamalar. Temel Çarpma Kuralı

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda inşa etmek N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Kök çıkarma işlemini pratikte başarılı bir şekilde kullanmak için bu işlemin özelliklerine aşina olmanız gerekir.
Tüm özellikler yalnızca köklerin işaretleri altında bulunan değişkenlerin negatif olmayan değerleri için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır.

Teorem 1. Negatif olmayan iki çipin çarpımının n'inci kökü (n=2, 3, 4,...), bu sayıların n'inci köklerinin çarpımına eşittir:

Yorum:

1. Teorem 1, radikal ifadenin ikiden fazla negatif olmayan sayının çarpımı olduğu durum için geçerli kalır.

Teorem 2.Eğer, ve n, 1'den büyük bir doğal sayıysa eşitlik doğrudur

Kısa bilgi Pratikte kullanımı daha uygun olan (yanlış da olsa) formülasyon: bir kesirin kökü, köklerin kesrine eşittir.

Teorem 1 t'yi çarpmamıza izin verir sadece aynı dereceden kökler yani yalnızca aynı indekse sahip kökler.

Teorem 3.Eğer ,k bir doğal sayı ve n 1'den büyük bir doğal sayıysa eşitlik doğrudur

Yani bir kökü doğal bir güce yükseltmek için radikal ifadeyi bu güce yükseltmek yeterlidir.
Bu, Teorem 1'in bir sonucudur. Aslında, örneğin k = 3 için şunu elde ederiz: k üssünün başka herhangi bir doğal değeri durumunda da tamamen aynı şekilde akıl yürütebiliriz.

Teorem 4.Eğer ,k, n, 1'den büyük doğal sayılardır, bu durumda eşitlik doğrudur

Yani bir kökten kök çıkarmak için köklerin göstergelerini çarpmak yeterlidir.
Örneğin,

Dikkat olmak! Kökler üzerinde dört işlemin yapılabileceğini öğrendik: çarpma, bölme, üs alma ve kök çıkarma (kökten). Peki ya kök ekleme ve çıkarma işlemine ne dersiniz? Mümkün değil.
Örneğin, Gerçekten yazmak yerine Ama şurası açık ki

Teorem 5.Eğer kök ve radikal ifadenin göstergeleri aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse kökün değeri değişmez, yani.

Problem çözme örnekleri

Örnek 1. Hesaplamak

Çözüm. Köklerin ilk özelliğini (Teorem 1) kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. Hesaplamak
Çözüm. Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesire dönüştürün.
Köklerin ikinci özelliğini kullanıyoruz ( Teorem 2 ), şunu elde ederiz:

Örnek 3. Hesaplamak:

Çözüm. Cebirdeki herhangi bir formül, sizin de çok iyi bildiğiniz gibi, yalnızca “soldan sağa” değil aynı zamanda “sağdan sola” da kullanılır. Dolayısıyla köklerin ilk özelliği, bunların formda temsil edilebileceği ve bunun tersine ifadeyle değiştirilebileceği anlamına gelir. Aynı şey köklerin ikinci özelliği için de geçerlidir. Bunu dikkate alarak hesaplamaları yapalım.

İrrasyonel ifadeler ve dönüşümleri

En son ne olduğunu hatırladık (veya kime bağlı olarak öğrendik) , bu tür köklerin nasıl çıkarılacağını öğrendi, köklerin temel özelliklerini parça parça sıraladı ve köklerle basit örnekler çözdü.

Bu ders bir öncekinin devamı olacak ve her türlü kökü içeren çok çeşitli ifadelerin dönüşümlerine ayrılacaktır. Bu tür ifadelere denir mantıksız. Harfli ifadeler, ek koşullar, kesirlerde irrasyonellikten kurtulma ve köklerle çalışmanın bazı ileri teknikleri burada yer alacak. Bu derste tartışılacak teknikler, hemen hemen her karmaşıklık düzeyindeki (sadece değil) USE sorunlarını çözmek için iyi bir temel oluşturacaktır. Öyleyse başlayalım.

Öncelikle köklerin temel formüllerini ve özelliklerini burada kopyalayacağım. Konudan konuya atlamamak için. İşte buradalar:

en

Bu formülleri bilmeniz ve uygulayabilmeniz gerekir. Ve her iki yönde de - hem soldan sağa hem de sağdan sola. Herhangi bir karmaşıklık derecesine sahip kökleri olan çoğu görevin çözümü bunlara dayanmaktadır. Şimdilik en basit şeyle başlayalım - formüllerin veya bunların kombinasyonlarının doğrudan uygulanmasıyla.

Formüllerin kolay uygulanması

Bu bölümde harfler, ek koşullar ve diğer hileler olmadan basit ve zararsız örnekler ele alınacaktır. Ancak içlerinde bile kural olarak seçenekler var. Örnek ne kadar karmaşıksa, bu tür seçenekler de o kadar fazla olur. Ve deneyimsiz öğrenci asıl sorunla karşı karşıyadır: nereden başlamalı? Buradaki cevap basit - Neye ihtiyacınız olduğunu bilmiyorsanız elinizden geleni yapın. Yeter ki eylemleriniz matematik kurallarıyla barışık ve uyum içinde olsun ve aykırılık yaratmasın.) Örneğin bu görev:

Hesaplamak:

Bu kadar basit bir örnekte bile cevaba giden birkaç olası yol var.

Birincisi, kökleri ilk özellikle çarpmak ve sonuçtan kökü çıkarmaktır:

İkinci seçenek ise şu; ona dokunmayız, onunla çalışırız. Çarpanı kök işaretinin altından ve ardından ilk özelliğe göre çıkarıyoruz. Bunun gibi:

Dilediğiniz kadar karar verebilirsiniz. Seçeneklerden herhangi birinde cevap bir - sekizdir. Mesela 4 ile 128'i çarpıp 512 elde etmek benim için daha kolay oluyor ve bu sayıdan küp kökü rahatlıkla çıkarabiliyoruz. Birisi 512'nin 8 küp olduğunu hatırlamıyorsa, o zaman sorun yok: 512'yi 2 9 olarak yazabilirsiniz (ikinin ilk 10 kuvveti, umarım hatırlıyorsunuzdur?) ve kuvvetin kökü formülünü kullanabilirsiniz. :

Başka bir örnek.

Hesaplamak: .

İlk özelliğe göre çalışırsanız (her şeyi tek bir kökün altına koyarsanız), daha sonra kökün çıkarılabileceği büyük bir sayı elde edersiniz - şeker de değil. Ve tam olarak çıkarılacağı da bir gerçek değil.) Dolayısıyla burada sayının kök altındaki çarpanları çıkarmakta fayda var. Ve aşağıdakilerden en iyi şekilde yararlanın:

Ve şimdi her şey yolunda:

Geriye sekiz ve ikiyi tek kök altına yazmak (ilk özelliğe göre) kalıyor ve iş bitiyor. :)

Şimdi birkaç kesir ekleyelim.

Hesaplamak:

Örnek oldukça ilkel ama aynı zamanda seçenekler de var. Payı dönüştürmek ve paydayla azaltmak için çarpanı kullanabilirsiniz:

Veya kökleri bölmek için formülü hemen kullanabilirsiniz:

Gördüğümüz gibi, şu şekilde ve bu şekilde – her şey doğru.) Eğer yarı yolda tökezlemezseniz ve bir hata yapmazsanız. Gerçi burada nerede hata yapabilirim ki...

Şimdi son dersin ödevinden en son örneğe bakalım:

Basitleştirin:

Tamamen hayal edilemeyecek bir dizi kök ve hatta iç içe geçmiş kökler. Ne yapmalıyım? Önemli olan korkmamak! Burada ilk olarak köklerin altında 2, 4 ve 32 sayılarının - ikinin kuvvetleri - dikkatimizi çekiyor. Yapılacak ilk şey, tüm sayıları ikiye indirgemek: Sonuçta örnekte ne kadar çok aynı sayı ve ne kadar farklı sayı varsa, o kadar kolay olur.) İlk faktörle ayrı ayrı başlayalım:

Sayı, kök üssündeki dört ile kökün altındaki ikiyi azaltarak basitleştirilebilir:

Şimdi işin köküne göre:

.

Sayıda kök işareti olarak ikisini çıkarıyoruz:

Ve ifadeyi kök formülün kökünü kullanarak ele alıyoruz:

Yani ilk faktör şu şekilde yazılacaktır:

İç içe geçmiş kökler yok oldu, sayılar küçüldü, bu da şimdiden sevindirici. Sadece kökler farklı ama şimdilik bu şekilde bırakacağız. Gerekirse bunları aynı olanlara dönüştüreceğiz. İkinci faktörü ele alalım.)

İkinci faktörü de benzer şekilde çarpımın kökü ve kökün kökü formülünü kullanarak dönüştürüyoruz. Gerektiğinde beşinci formülü kullanarak göstergeleri azaltıyoruz:

Her şeyi orijinal örneğe yapıştırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Tamamen farklı bir grup kökün ürününü elde ettik. Hepsini tek bir göstergede toplamak güzel olurdu, sonra göreceğiz. Bu oldukça mümkün. Kök üslerin en büyüğü 12'dir ve diğerlerinin tümü - 2, 3, 4, 6 - 12 sayısının bölenleridir. Bu nedenle, beşinci özelliğe göre tüm kökleri bir üs - 12'ye indireceğiz:

Sayıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

İyi bir rakam alamadık ama sorun değil. bize soruldu basitleştirmek ifade değil saymak. Basitleştirilmiş? Kesinlikle! Ve yanıtın türü (tamsayı olsun ya da olmasın) artık burada herhangi bir rol oynamıyor.

Bazı toplama/çıkarma ve kısaltılmış çarpma formülleri

Maalesef genel formüller kök ekleme ve çıkarma matematikte hayır. Ancak görevlerde kökleri olan bu eylemlere sıklıkla rastlanır. Burada herhangi bir kökün cebirdeki harflerle tamamen aynı matematiksel semboller olduğunu anlamak gerekir.) Ve harflerle ilgili olarak kökler için de aynı teknikler ve kurallar geçerlidir - parantezleri açmak, benzerlerini getirmek, kısaltılmış çarpma formülleri vb.

Mesela bu herkes için açıktır. Benzer aynısı Kökler oldukça kolay bir şekilde birbirine eklenebilir/çıkarılabilir:

Kökler farklıysa, bir çarpan ekleyerek/çıkararak veya beşinci özelliği kullanarak onları aynı yapmanın bir yolunu ararız. Herhangi bir şekilde basitleştirilmemişse, belki de dönüşümler daha kurnazdır.

İlk örneğe bakalım.

İfadenin anlamını bulun: .

Her üç kök de kübik olmasına rağmen farklı sayılar. Tamamen çıkarılmış değiller ve birbirlerine ekleniyor/çıkarılıyorlar. Bu nedenle genel formüllerin kullanımı burada işe yaramamaktadır. Ne yapmalıyım? Her kökteki çarpanları çıkaralım. Her durumda, daha kötü olmayacak.) Üstelik aslında başka seçenek de yok:

Yani, .

Çözüm bu. Burada farklı köklerden aynı köklere geçtik. çarpanı kökün altından kaldırmak. Ve sonra benzerlerini getirdiler.) Daha ileri karar veriyoruz.

Bir ifadenin değerini bulun:

On yedinin kökü konusunda kesinlikle yapabileceğiniz hiçbir şey yok. İlk özelliğe göre çalışıyoruz - iki kökün çarpımından bir kök yapıyoruz:

Şimdi daha yakından bakalım. Büyük küp kökümüzün altında ne var? Fark şu... Tabii ki! Karelerin farkı:

Şimdi geriye kalan tek şey kökü çıkarmak: .

Hesaplamak:

Burada matematiksel ustalığı göstermeniz gerekecek.) Yaklaşık olarak şöyle düşünüyoruz: “Yani örnekte köklerin çarpımı. Bir kökün altında fark, diğerinin altında ise toplam bulunur. Kareler farkı formülüne çok benzer. Ama... Kökler farklı! Birincisi kare, ikincisi dördüncü dereceden... Bunları aynı yapsak güzel olur. Beşinci özelliğe göre, karekökten kolaylıkla dördüncü kökü elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için radikal ifadenin karesini almak yeterlidir.”

Eğer siz de aynısını düşündüyseniz, başarının yarısına ulaştınız demektir. Kesinlikle doğru! Birinci faktörü dördüncü köke çevirelim. Bunun gibi:

Artık yapılacak hiçbir şey yok ama farkın karesinin formülünü hatırlamanız gerekecek. Sadece köklere uygulandığında. Ne olmuş? Kökler neden diğer sayılardan veya ifadelerden daha kötü?! Biz inşa ediyoruz:

“Hmm, peki, onu inşa ettiler, ne olmuş yani? Yaban turpu turptan daha tatlı değildir. Durmak! Peki kökün altındaki dördünü çıkarırsan? O zaman ikinci kökün altındaki ifadenin aynısı sadece bir eksi ile ortaya çıkacak ve biz de tam olarak bunu başarmaya çalışıyoruz!”

Sağ! Dört tane alalım:

.

Ve şimdi - bir teknoloji meselesi:

Karmaşık örnekler bu şekilde çözülür.) Şimdi kesirlerle pratik yapma zamanı.

Hesaplamak:

Payın dönüştürülmesi gerektiği açıktır. Nasıl? Elbette toplamın karesi formülünü kullanarak. Başka seçeneğimiz var mı? :) Karesini alıyoruz, faktörleri çıkarıyoruz, göstergeleri azaltıyoruz (gerektiğinde):

Vay! Kesirimizin paydasını tam olarak elde ettik.) Bu, tüm kesrin açıkça bire eşit olduğu anlamına gelir:

Başka bir örnek. Şimdi kısaltılmış çarpmanın başka bir formülüyle karşınızdayım.)

Hesaplamak:

Uygulamada farkın karesinin kullanılması gerektiği açıktır. Paydayı ayrı ayrı yazıyoruz ve - hadi gidelim!

Faktörleri köklerin altından çıkarıyoruz:

Buradan,

Artık kötü olan her şey mükemmel bir şekilde azaldı ve ortaya çıktı:

Pekala, hadi bir sonraki aşamaya geçelim. :)

Mektuplar ve ek koşullar

Kökleri olan gerçek ifadeler, sayısal ifadelerden daha yanıltıcıdır ve can sıkıcı ve çok ciddi hataların tükenmez bir kaynağıdır. Bu kaynağı kapatalım.) Bu tür görevlerin çoğunlukla negatif sayı ve ifadeler içermesinden dolayı hatalar ortaya çıkar. Bunlar ya doğrudan görevin içinde bize verilir ya da görevin içinde gizlenir. mektuplar ve ek koşullar. Ve köklerle çalışma sürecinde, köklerde olduğunu sürekli hatırlamamız gerekir. çift ​​derece hem kökün altında hem de kökün çıkarılması sonucunda negatif olmayan ifade. Bu paragrafın görevlerindeki anahtar formül dördüncü formül olacaktır:

Kökleri tek dereceli olan hiçbir soru yoktur; hem olumlu hem de olumsuz her şey her zaman çıkarılır. Ve eksi varsa öne çıkarılır. Doğrudan köklere gidelim eşit derece.) Örneğin, bu kadar kısa bir görev.

Basitleştirin: , Eğer .

Görünüşe göre her şey basit. Sadece X olduğu ortaya çıkacak.) Peki neden o zaman ek koşul? Bu gibi durumlarda rakamlarla tahmin yapmakta fayda var. Tamamen kendim için.) EğerO halde x açıkça negatif bir sayıdır. Örneğin eksi üç. Veya eksi kırk. İzin vermek . Eksi üçün dördüncü kuvvetini yükseltebilir misiniz? Kesinlikle! Sonuç 81. 81'in dördüncü kökünü çıkarmak mümkün mü? Neden? Olabilmek! Üç tane alırsın. Şimdi tüm zincirimizi analiz edelim:

Ne görüyoruz? Giriş negatif bir sayıydı ve çıkış zaten pozitifti. Eksi üçtü, şimdi artı üç oldu.) Harflere dönelim. Şüphesiz, modulo tam olarak X olacaktır, ancak yalnızca X'in kendisi eksidir (koşulu itibariyle!) ve çıkarma sonucu (aritmetik kökten dolayı!) artı olmalıdır. Bir artı nasıl alınır? Çok basit! Bunu yapmak için, açıkça negatif olan bir sayının önüne bir eksi koymanız yeterlidir.) Ve doğru çözüm şöyle görünür:

Bu arada, formülü kullanırsak modülün tanımını hatırlayarak hemen doğru cevabı alırız. Çünkü

|x| = -x, x'te<0.

Çarpanı kök işaretinden çıkarın: , Nerede .

İlk bakış radikal ifadeyedir. Burada her şey yolunda. Her durumda, olumsuz olmayacaktır. Çıkarmaya başlayalım. Bir çarpımın kökü formülünü kullanarak her faktörün kökünü çıkarırız:

Modüllerin nereden geldiğini açıklamaya gerek yok sanırım.) Şimdi modüllerin her birini ayrı ayrı analiz edelim.

Çarpan | A | değiştirmeden bırakıyoruz: mektup için herhangi bir koşulumuz yokA. Olumlu mu olumsuz mu bilmiyoruz. Sonraki modül |b2 | güvenle ihmal edilebilir: her durumda, ifadeb2 negatif olmayan. Ama hakkında |c3 | - burada zaten bir sorun var.) Eğer, Daha sonra c3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть bir eksi ile: | c3 | = - c3 . Toplamda doğru çözüm şöyle olacaktır:

Ve şimdi sorun tam tersi. En kolayı değil, sizi hemen uyarıyorum!

Kök işaretinin altına bir çarpan girin: .

Çözümü hemen bu şekilde yazarsanız

o zaman sen tuzağa düştü. Bu yanlış karar! Sorun ne?

Kökün altındaki ifadeye daha yakından bakalım. Bildiğimiz gibi dördüncü derecenin kökü altında negatif olmayan ifade. Aksi halde kökün hiçbir anlamı yoktur.) Bu nedenle Ve bu da şu anlama gelir ve dolayısıyla kendisi de pozitif değildir: .

Ve buradaki hata, kökten tanıtmamızdır. olumlu değil sayı: dördüncü derece onu şuna dönüştürür: negatif olmayan ve yanlış sonuç elde ediliyor - solda kasıtlı bir eksi var ve sağda zaten bir artı var. Ve köküne uygula eşit derece sadece hakkımız var negatif olmayan sayılar veya ifadeler. Ve eğer varsa eksiyi kökün önüne bırakın.) Sayıda negatif olmayan bir faktörü nasıl tespit edebiliriz?kendisinin tamamen olumsuz olduğunu bilerek mi? Evet, tamamen aynı! Bir eksi koyun.) Ve hiçbir şeyin değişmemesi için bunu başka bir eksi ile telafi edin. Bunun gibi:

Ve şimdi zaten negatif olmayan Tüm kurallara göre sakince (-b) sayısını kökün altına giriyoruz:

Bu örnek, matematiğin diğer dallarından farklı olarak köklerde doğru cevabın her zaman formüllerden otomatik olarak çıkmadığını açıkça göstermektedir. Düşünmeniz ve kişisel olarak doğru kararı vermeniz gerekiyor.) Özellikle tabelalardaki işaretlere daha dikkat etmelisiniz. İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler.

Köklerle çalışırken bir sonraki önemli tekniğe bakalım - mantıksızlıktan kurtulmak.

Kesirlerde mantıksızlığı ortadan kaldırmak

İfade kök içeriyorsa, size hatırlatmama izin verin, böyle bir ifadeye denir mantık dışı ifade. Bazı durumlarda bu mantıksızlıktan (yani köklerden) kurtulmak faydalı olabilir. Kökü nasıl ortadan kaldırabilirsiniz? Kökümüz... bir güce yükseltildiğinde kaybolur. Bir gösterge ya kök göstergeye eşit ya da onun katıdır. Ancak kökü bir kuvvete yükseltirsek (yani kökü gerekli sayıda kendisiyle çarparsak), o zaman ifade değişecektir. İyi değil.) Ancak matematikte çarpma işleminin oldukça acısız olduğu konular vardır. Örneğin kesirlerde. Bir kesrin temel özelliğine göre pay ve payda aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesrin değeri değişmez.

Diyelim ki bize bu kesir veriliyor:

Paydadaki kökten kurtulmak mümkün mü? Olabilmek! Bunu yapmak için kökün küp şeklinde olması gerekir. Dolu bir küpün paydasında neyi kaçırıyoruz? Bir çarpanı kaçırıyoruz, yani.. Yani kesrin payını ve paydasını şu şekilde çarparız:

Paydadaki kök kaybolmuştur. Ama... payda göründü. Hiçbir şey yapılamaz, kader böyledir.) Bu artık bizim için önemli değil: paydayı köklerinden kurtarmamız istendi. Piyasaya sürülmüş? Şüphesiz.)

Bu arada, trigonometri konusunda zaten rahat olanlar, örneğin bazı ders kitaplarında ve tablolarda farklı şekilde işaretledikleri gerçeğine dikkat etmiş olabilirler: bir yerde ve bir yerde. Soru şu; doğru olan ne? Cevap: her şey doğru!) Eğer tahmin ediyorsanız– bu basitçe kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulmanın sonucudur. :)

Kesirlerdeki mantıksızlıktan neden kendimizi kurtarmalıyız? Kökün payda mı yoksa paydada mı olması ne fark eder? Hesap makinesi yine de her şeyi hesaplayacaktır.) Hesap makinesinden ayrılmayanlar için pratikte hiçbir fark yoktur... Ancak hesap makinesine güvenseniz bile şuna dikkat edebilirsiniz: bölmek Açık tüm numara her zaman daha kullanışlı ve daha hızlıdır mantıksız. Ve bir sütuna bölünme konusunda sessiz kalacağım.)

Aşağıdaki örnek sadece sözlerimi doğrulayacaktır.

Buradaki paydanın karekökünü nasıl yok edebiliriz? Pay ve payda ifadeyle çarpılırsa payda toplamın karesi olacaktır. Birinci ve ikinci sayıların karelerinin toplamı bize kökleri olmayan sadece sayılar verecektir ki bu çok sevindiricidir. Ancak... ortaya çıkacak çift ​​ürün ilk sayıdan ikinciye, burada üçün kökü hala kalacak. Kanal vermiyor. Ne yapmalıyım? Kısaltılmış çarpma için başka bir harika formülü hatırlayın! İkili çarpımların olmadığı, yalnızca karelerin olduğu yerde:

Belirli bir toplamla (veya farkla) çarpıldığında sonuç veren bir ifade kareler farkı, olarak da adlandırılır eşlenik ifade. Örneğimizde eşlenik ifade fark olacaktır. Yani pay ve paydayı bu farkla çarpıyoruz:

Ne söyleyebilirim? Yaptığımız manipülasyonlar sonucunda paydanın kökü kaybolmakla kalmadı, kesir tamamen ortadan kalktı! :) Hesap makinesiyle bile üçün kökünü üçten çıkarmak, kökü paydada olan bir kesir hesaplamaktan daha kolaydır. Başka bir örnek.

Bir kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarın:

Bundan nasıl çıkılır? Karelerle kısaltılmış çarpma formülleri hemen işe yaramıyor - bu sefer kökümüz kare olmadığı için kökleri tamamen ortadan kaldırmak mümkün olmayacak, ancak kübik. Kökün bir şekilde küp haline getirilmesi gerekiyor. Bu nedenle küplü formüllerden birinin kullanılması gerekir. Hangisi? Haydi bunun hakkında düşünelim. Payda toplamdır. Kökün küpünü nasıl elde edebiliriz? Şununla çarp: kısmi kare farkı! Yani formülü uygulayacağız küplerin toplamı. Bu:

Gibi Aüçümüz var ve kalite olarak B– beşin küp kökü:

Ve yine kesir ortadan kayboldu.) Bir kesrin paydasındaki irrasyonellikten kurtulduğunda kesrin kendisinin kökleriyle birlikte tamamen ortadan kaybolduğu bu tür durumlar çok sık meydana gelir. Bu örneği nasıl buldunuz?

Hesaplamak:

Bu üç kesri toplamayı deneyin! Hatalar yok! :) Bir ortak payda buna değer. Peki ya her kesrin paydasındaki mantıksızlıktan kendimizi kurtarmaya çalışsak? Peki deneyelim:

Vay, ne kadar ilginç! Bütün kesirler gitti! Tamamen. Ve şimdi örnek iki şekilde çözülebilir:

Basit ve zarif. Üstelik uzun ve sıkıcı hesaplamalar olmadan. :)

Bu yüzden irrasyonellikten kurtulma operasyonunu kesirlerde yapabilmek gerekir. Bu kadar karmaşık örneklerde kurtaran tek şey bu, evet.) Elbette kimse dikkati iptal etmedi. Mantıksızlıktan kurtulmanızın istendiği görevler var. pay. Bu görevler dikkate alınanlardan farklı değildir, sadece pay köklerden temizlenmiştir.)

Daha karmaşık örnekler

En basit örnekleri değil, köklerle çalışmak ve düğümleri çözmek için bazı özel teknikleri dikkate almaya devam ediyoruz. Ve sonra alınan bilgiler, herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki kökleri olan görevleri çözmek için yeterli olacaktır. Öyleyse - devam edin.) Öncelikle, kökten kök formülü işe yaramadığında iç içe geçmiş köklerle ne yapacağımızı bulalım. Örneğin, burada bir örnek var.

Hesaplamak:

Kök kökün altındadır... Üstelik köklerin altında toplam veya fark vardır. Bu nedenle, kökün kökü için formül (üslerin çarpımı ile) burada İşe yaramıyor. Yani bu konuda bir şeyler yapılması gerekiyor radikal ifadeler: Başka seçeneğimiz yok. Bu tür örneklerde çoğunlukla büyük kök şifrelenir mükemmel kare bir miktar. Veya farklılıklar. Ve karenin kökü zaten mükemmel bir şekilde çıkarılmış! Ve şimdi görevimiz onun şifresini çözmek.) Böyle bir şifre çözme, güzel bir şekilde yapılır. denklem sistemi. Artık her şeyi kendiniz göreceksiniz.)

Yani, ilk kökün altında şu ifadeye sahibiz:

Peki ya doğru tahmin etmediyseniz? Hadi kontrol edelim! Toplamın karesi formülünü kullanarak karesini alıyoruz:

Bu doğru.) Ama... Bu ifadeyi nereden aldım? Gökyüzünden?

Hayır.) Dürüst olmak gerekirse biraz daha düşüreceğiz. Basitçe bu ifadeyi kullanarak, görev yazarlarının bu tür kareleri tam olarak nasıl şifrelediğini gösteriyorum. :) 54 nedir? Bu birinci ve ikinci sayıların kareleri toplamı. Ve dikkat edin, zaten kökleri yok! Ve kök içeride kalır çift ​​ürün bizim durumumuzda eşittir. Dolayısıyla bu tür örneklerin çözülmesi çift çarpımın aranmasıyla başlar. Her zamanki seçimle çözerseniz. Ve bu arada, işaretler hakkında. Burada her şey basit. Çiftten önce bir artı varsa, o zaman toplamın karesi. Eksiyse, o zaman farklar vardır.) Bir artımız var - bu, toplamın karesi anlamına gelir.) Ve şimdi - vaat edilen analitik kod çözme yöntemi. Sistem üzerinden.)

Yani kökümüzün altında açıkça şu ifade var: (a+b) 2 ve bizim görevimiz bulmak A Ve B. Bizim durumumuzda kareler toplamı 54'ü verir. O halde şunu yazıyoruz:

Şimdi ürünü ikiye katlayın. Biz buna sahibiz. O halde şunu yazıyoruz:

Bu sistemi aldık:

Her zamanki yerine koyma yöntemiyle çözüyoruz. Örneğin ikinci denklemden ifade eder ve onu birincinin yerine koyarız:

İlk denklemi çözelim:

Var iki kareli denklem bağılA . Diskriminantı hesaplıyoruz:

Araç,

Dört olası değere sahibizA. Korkmuyoruz. Şimdi tüm gereksiz şeyleri ayıklayacağız.) Şimdi bulunan dört değerin her birine karşılık gelen değerleri hesaplarsak, sistemimize dört çözüm elde edeceğiz. İşte buradalar:

Ve burada soru şu: Hangi çözüm bizim için doğru? Haydi bunun hakkında düşünelim. Negatif çözümler hemen atılabilir: karesini alırken eksiler "tükenecek" ve radikal ifadenin tamamı bir bütün olarak değişmeyecek.) İlk iki seçenek kalıyor. Bunları tamamen keyfi olarak seçebilirsiniz: terimleri yeniden düzenlemek yine de toplamı değiştirmez.) Örneğin, a olsun.

Toplamda, kökün altında aşağıdaki toplamın karesini elde ettik:

Herşey temiz.)

Karar sürecini bu kadar detaylı anlatmam boşuna değil. Şifre çözmenin nasıl gerçekleştiğini açıklığa kavuşturmak için.) Ancak bir sorun var. Analitik kod çözme yöntemi, güvenilir olmasına rağmen, çok uzun ve hantaldır: iki ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz, sisteme dört çözüm bulmanız ve sonra yine de hangilerini seçeceğinizi düşünmeniz gerekir... Sorun mu yaşıyorsunuz? Katılıyorum, zahmetli. Bu yöntem, bu örneklerin çoğunda kusursuz bir şekilde çalışmaktadır. Bununla birlikte, çoğu zaman kendinizi birçok işten kurtarabilir ve her iki sayıyı da yaratıcı bir şekilde bulabilirsiniz. Seçime göre.) Evet, evet! Şimdi ikinci terim (ikinci kök) örneğini kullanarak, karenin tamamını kökün altına ayırmanın daha kolay ve hızlı bir yolunu göstereceğim.

Artık bu köke sahibiz: .

Şöyle düşünelim: “Kökün altında büyük olasılıkla şifrelenmiş tam bir kare var. Çiftin önünde bir eksi varsa, bu farkın karesi anlamına gelir. Birinci ve ikinci sayıların karelerinin toplamı bize sayıyı verir. 54. Peki bunlar ne tür kareler? 1 ve 53? 49 ve 5 ? Çok fazla seçenek var... Hayır, iki kat ürünle düğümleri çözmeye başlamak daha iyi. Bizimolarak yazılabilir. Ürün bir kez iki katına çıktı, ardından ikisini hemen atarız. Daha sonra rol için adaylar a ve b, 7 ve olarak kalır. Ya saat 14 ise ve/2 ? Mümkün. Ama her zaman basit bir şeyle başlıyoruz!” Yani, a . Karelerin toplamını kontrol edelim:

Olmuş! Bu, radikal ifademizin aslında farkın karesi olduğu anlamına gelir:

İşte sistemle uğraşmaktan kaçınmanın hafif bir yolu. Her zaman işe yaramıyor ama bu örneklerin çoğunda oldukça yeterli. Yani köklerin altında tam kareler var. Geriye kalan tek şey kökleri doğru bir şekilde çıkarmak ve örneği hesaplamaktır:

Şimdi köklerle ilgili daha da standart dışı bir göreve bakalım.)

A sayısını kanıtlayın– tamsayı, eğer .

Hiçbir şey doğrudan çıkarılmaz, kökler gömülür ve hatta farklı derecelerde... Bir kabus! Ancak görev mantıklıdır.) Dolayısıyla onu çözmenin bir anahtarı vardır.) Ve buradaki anahtar da budur. Eşitliğimizi düşünün

Nasıl denklem bağıl A. Evet evet! Köklerden kurtulmak güzel olurdu. Köklerimiz kübik olduğundan denklemin her iki tarafının da küpünü alalım. Formüle göre toplamın küpü:

Küpler ve kübik kökler birbirini götürür ve her büyük kökün altına kareden bir parantez alırız ve fark ile toplamın çarpımını bir kareler farkına indiririz:

Ayrı olarak köklerin altındaki karelerin farkını hesaplıyoruz:

Dersin başında kareköklerin temel özelliklerini gözden geçireceğiz ve ardından karekök içeren ifadeleri basitleştirmenin birkaç karmaşık örneğine bakacağız.

Ders:İşlev. Karekökün özellikleri

Ders:Köklerle daha karmaşık ifadeleri dönüştürme ve basitleştirme

1. Kareköklerin özelliklerinin gözden geçirilmesi

Teoriyi kısaca tekrarlayalım ve kareköklerin temel özelliklerini hatırlayalım.

Kareköklerin özellikleri:

1. dolayısıyla;

3. ;

4. .

2. İfadelerin köklerle basitleştirilmesine ilişkin örnekler

Bu özellikleri kullanma örneklerine geçelim.

Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. Basitleştirmek gerekirse, 120 sayısı asal çarpanlarına ayrılmalıdır:

Uygun formülü kullanarak toplamın karesini ortaya çıkaracağız:

Örnek 2: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. Bu ifadenin değişkenin tüm olası değerleri için bir anlam ifade etmediğini dikkate alalım, çünkü bu ifade karekökleri ve kesirleri içerir, bu da izin verilen değerler aralığının "daralmasına" yol açar. ODZ: ().

Parantez içindeki ifadeyi ortak paydaya getirelim ve son kesrin payını kareler farkı olarak yazalım:

saatinde.

Cevap. en.

Örnek 3: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. İkinci pay parantezinin sakıncalı bir görünüme sahip olduğu ve basitleştirilmesi gerektiği görülüyor; gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırmaya çalışalım.

Ortak bir çarpan elde edebilmek için kökleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirdik. Ortaya çıkan ifadeyi orijinal kesrin yerine koyalım:

Kesirleri indirdikten sonra kareler farkı formülünü uyguluyoruz.

3. Mantıksızlıktan kurtulmanın bir örneği

Örnek 4. Paydadaki mantıksızlıktan (köklerden) kendinizi kurtarın: a) ; B) .

Çözüm. a) Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için, bir kesrin hem payını hem de paydasını paydaya eşlenik faktörle çarpmanın standart yöntemi kullanılır (aynı ifade, ancak zıt işaretle). Bu, kesrin paydasını kareler farkına tamamlamak için yapılır, bu da paydadaki köklerden kurtulmanıza olanak tanır. Bizim durumumuzda bunu yapalım:

b) benzer eylemleri gerçekleştirin:

Cevap.; .

4. Karmaşık bir radikalde tam karenin ispatı ve tanımlanması için örnek

Örnek 5. Eşitliği kanıtlayın .

Kanıt. Sağdaki ifadenin karesinin radikal ifadeye eşit olması gerektiği sonucunu çıkaran karekök tanımını kullanalım:

. Toplamın karesi formülünü kullanarak parantezleri açalım:

doğru eşitliği elde ettik.

Kanıtlanmış.

Örnek 6. İfadeyi basitleştirin.

Çözüm. Bu ifadeye genellikle karmaşık radikal (kökün altındaki kök) adı verilir. Bu örnekte, tam kareyi kök ifadeden nasıl ayıracağınızı bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, iki terimin, kare farkı formülünde çift çarpım rolüne aday olduğunu unutmayın (fark, çünkü bir eksi vardır). Bunu aşağıdaki çarpım şeklinde yazalım: 1 tam karenin şartlarından biri olduğunu, 1 ise ikincisi olduğunu iddia ediyor.

Bu ifadeyi kökün altına koyalım.

Hesap makinelerinden önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplıyordu. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap veriyor.

Adımlar

Asal çarpanlara ayırma

Radikal sayıyı kare sayı olan çarpanlara ayırın. Radikal sayıya bağlı olarak yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, karekökünün tamamı alınabilen sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğundan 25, 36, 49 sayıları kare sayıdır, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 olduğundan kare çarpanlar. kare sayılar olan faktörlerdir. Öncelikle radikal sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.

• Örneğin 400'ün karekökünü hesaplayın (elle). İlk önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölerseniz 16 olur. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına ayrılabilir, yani 25 x 16 = 400.
• Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).

1. Bazı terimlerin çarpımının karekökü, her terimin kareköklerinin çarpımına eşittir, yani √(a x b) = √a x √b. Cevabı bulmak için her kare faktörün karekökünü almak ve sonuçları çarpmak için bu kuralı kullanın.

   • Örneğimizde 25 ve 16'nın kökünü alın.
     • √(25x16)
     • √25x√16
     • 5 x 4 = 20

2. Eğer radikal sayı iki kare faktörü hesaba katmıyorsa (ve bu çoğu durumda olur), tam sayı biçiminde kesin cevabı bulamazsınız. Ancak radikal sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (kendisinden karekökün tamamının alınamayacağı bir sayı) ayrıştırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Daha sonra kare faktörünün karekökünü alacaksınız ve ortak faktörün kökünü alacaksınız.

   • Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare faktöre bölünemez ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Sorunu şu şekilde çözün:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Gerekirse kökün değerini tahmin edin. Artık kökün değerini, radikal sayıya en yakın (sayı doğrusunun her iki tarafında) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak tahmin edebilirsiniz (yaklaşık bir değer bulabilirsiniz). Kök değerini, kök işaretinin arkasındaki sayıyla çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.

   • Örneğimize dönelim. Radikal sayı 3'tür. Ona en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayıları olacaktır. Dolayısıyla √3'ün değeri 1 ile 2 arasında yer alıyor. √3'ün değeri muhtemelen 1'den çok 2'ye yakın olduğundan tahminimiz: √3 = 1,7. Bu değeri kök işaretindeki sayıyla çarpıyoruz: 7 x 1,7 = 11,9. Eğer matematiği hesap makinesinde yaparsanız 12.13 sonucunu elde edersiniz ki bu bizim cevabımıza oldukça yakındır.
     • Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin √35'i düşünün. Radikal sayı 35'tir. Ona en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayıları olacaktır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasında yer alır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğundan (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in 6'dan biraz küçük olduğunu söyleyebiliriz. Hesap makinesini kontrol edersek bize 5,92 cevabını verir - haklıydık.

4. Diğer yol - radikal sayıyı asal çarpanlara ayırın . Asal çarpanlar yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebilen sayılardır. Asal faktörleri bir seri halinde yazın ve aynı faktör çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kök işaretinden çıkarılabilir.

   • Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Radikal sayıyı asal çarpanlara ayırırız: 45 = 9 x 5 ve 9 = 3 x 3. Böylece √45 = √(3 x 3 x 5) olur. 3 kök işareti olarak çıkarılabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5'i tahmin edebiliriz.
   • Başka bir örneğe bakalım: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç tane 2 çarpanı aldınız; birkaçını alın ve kök işaretinin ötesine taşıyın.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Artık √2 ve √11'i hesaplayabilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.

   Karekökü manuel olarak hesaplama

   Uzun bölmeyi kullanma

   1. Bu yöntem uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk önce sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından sağa ve sayfanın üst kenarının biraz altına dikey çizgiye yatay bir çizgi çizin. Şimdi radikal sayıyı, virgülden sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Yani 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.

      • Örneğin 780,14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve verilen sayıyı sol üst köşeye “7 80, 14” şeklinde yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevabı (bu sayının kökünü) sağ üst köşeye yazacaksınız.

   2. Soldan ilk sayı çifti (veya tek sayı) için, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya tek sayı) küçük veya ona eşit olan en büyük n tam sayısını bulun. Başka bir deyişle, soldan ilk sayı çiftine (veya tek sayıya) en yakın ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bu kare sayının karekökünü alın; n sayısını alacaksınız. Bulduğunuz n'yi sağ üst tarafa, n'nin karesini de sağ alt tarafa yazın.

      • Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonra 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya tek sayıdan) çıkarın. Hesaplamanın sonucunu çıkanın altına (n sayısının karesi) yazın.

      • Örneğimizde 7'den 4'ü çıkarın ve 3'ü elde edin.

   4. İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın. Daha sonra sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.

      • Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Daha sonra sağ üstteki sayının iki katı 4 verir. Sağ alta "4__×_=" yazın.

   5. Sağdaki boşlukları doldurunuz.

      • Bizim durumumuzda tire yerine 8 sayısını koyarsak 48 x 8 = 384 olur, bu da 380'den fazladır. Dolayısıyla 8 çok büyük bir sayı ama 7 de işe yarar. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 = 329. Sağ üst köşeye 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenilen karekökündeki ikinci rakamdır.

   6. Ortaya çıkan sayıyı soldaki mevcut sayıdan çıkarın. Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkanın altına yazın.

      • Örneğimizde 380'den 329'u çıkarın, bu da 51'e eşittir.

   7. 4. adımı tekrarlayın. Aktarılan sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmı ise, sağ üst köşedeki gerekli karekökte tamsayı ile kesirli kısım arasına bir ayırıcı (virgül) koyun. Sol tarafta bir sonraki sayı çiftini aşağı indirin. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.

      • Örneğimizde, kaldırılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstte istediğiniz karekök içine yerleştirin. 14'ü indirip sol alt köşeye yazın. Sağ üstteki sayının (27) iki katı 54 olduğundan sağ alta "54_×_=" yazın.

   8. 5. ve 6. adımları tekrarlayın.Çarpmanın sonucunun soldaki mevcut sayıdan küçük veya ona eşit olması için sağdaki tire işaretleri yerine en büyük sayıyı bulun (tireler yerine aynı sayıyı kullanmanız gerekir).

      • Örneğimizde 549 x 9 = 4941, soldaki mevcut sayıdan (5114) küçüktür. Sağ üste 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki mevcut sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.

   9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa mevcut sayının soluna birkaç sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. Yanıt kesinliğini (ondalık basamak sayısı) elde edene kadar adımları tekrarlayın. ihtiyaç.

   Süreci Anlamak

   Bu yöntemde ustalaşmak için karekökünü S karesinin alanı olarak bulmanız gereken sayıyı hayal edin. Bu durumda böyle bir karenin L kenarının uzunluğunu arayacaksınız. L değerini L² = S olacak şekilde hesaplıyoruz.

   Cevaptaki her sayı için bir harf verin. L değerinin ilk rakamını (arzu edilen karekök) A ile gösterelim. B ikinci rakam olacak, C üçüncü rakam olacak ve böyle devam edecek.

   Her ilk rakam çifti için bir harf belirtin. S değerindeki ilk rakam çiftini S a ile, ikinci rakam çiftini S b ile vb. gösterelim.

   Bu yöntemle uzun bölme arasındaki bağlantıyı anlayın. Tıpkı her seferinde böldüğümüz sayının yalnızca bir sonraki rakamıyla ilgilendiğimiz bölme işleminde olduğu gibi, karekök hesabı yaparken de bir rakam çifti üzerinde sırayla çalışırız (karekök değerindeki bir sonraki rakamı elde etmek için) .

   1. S sayısının ilk Sa rakamı çiftini (örneğimizde Sa = 7) düşünün ve bunun karekökünü bulun. Bu durumda, istenen karekök değerinin ilk rakamı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir rakam olacaktır (yani, A² ≤ Sa eşitsizliğini sağlayacak bir A arıyoruz)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: 88962 (8) bölünebilir sayısının ilk rakamını dikkate alıyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'den küçük veya ona eşit bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.