Köklerle karmaşık örnekler nasıl çözülür? Köklerle örnekler nasıl çözülür? Radikal ifadeler neden olumsuz olmamalıdır?

Gerçek 1.
\(\bullet\) Negatif olmayan bir sayı \(a\) alalım (yani, \(a\geqslant 0\) ). O halde (aritmetik) kare kök\(a\) sayısından negatif olmayan bir sayı \(b\) olarak adlandırılır, karesi alındığında \(a\) sayısını elde ederiz: \[\sqrt a=b\quad \text(aynı ile )\quad a=b^2\] Tanımdan şu sonuç çıkıyor \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Bu kısıtlamalar karekökün varlığının önemli bir koşuludur ve hatırlanması gerekir!
Herhangi bir sayının karesi alındığında negatif olmayan bir sonuç verdiğini hatırlayın. Yani, \(100^2=10000\geqslant 0\) ve \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) neye eşittir? \(5^2=25\) ve \((-5)^2=25\) olduğunu biliyoruz. Tanım gereği negatif olmayan bir sayı bulmamız gerektiğinden, \(-5\) uygun değildir, dolayısıyla \(\sqrt(25)=5\) (çünkü \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) değerini bulmaya \(a\) sayısının karekökünü almaya, \(a\) sayısına ise köklü ifade denir.
\(\bullet\) Tanıma göre, \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), vb. ifadesi. mantıklı değil.

Gerçek 2.
Hızlı hesaplamalar için \(1\) ile \(20\) arasındaki doğal sayıların kareler tablosunu öğrenmek yararlı olacaktır: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Gerçek 3.
Kareköklerle hangi işlemler yapılabilir?
\(\madde işareti\) Kareköklerin toplamı veya farkı, toplamın veya farkın kareköküne EŞİT DEĞİLDİR, yani \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Bu nedenle, örneğin \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) hesaplamanız gerekiyorsa, başlangıçta \(\sqrt(25)\) ve \(\ değerlerini bulmalısınız. sqrt(49)\ ) ve ardından katlayın. Buradan, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a\) veya \(\sqrt b\) değerleri \(\sqrt a+\sqrt b\ eklenirken bulunamıyorsa), o zaman böyle bir ifade daha fazla dönüştürülmez ve olduğu gibi kalır. Örneğin, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) toplamında \(\sqrt(49)\)'ın \(7\) olduğunu bulabiliriz, ancak \(\sqrt 2\) dönüştürülemez her neyse, bu yüzden \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Maalesef bu ifade daha fazla basitleştirilemez\(\bullet\) Kareköklerin çarpımı/bölümü, çarpımın/bölümün kareköküne eşittir, yani \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eşitliğin her iki tarafının da anlamlı olması şartıyla)
Örnek: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bu özellikleri kullanarak, büyük sayıları çarpanlara ayırarak kareköklerini bulmak uygundur.
Bir örneğe bakalım. \(\sqrt(44100)\) bulalım. \(44100:100=441\) olduğundan, \(44100=100\cdot 441\) . Bölünebilme kriterine göre \(441\) sayısı \(9\)'a bölünebilir (rakamlarının toplamı 9 olduğundan ve 9'a bölünebildiğinden), dolayısıyla \(441:9=49\), yani, \(441=9\ cdot 49\) .
Böylece şunu elde ettik: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Başka bir örneğe bakalım: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) ifadesi örneğini kullanarak karekök işaretinin altına sayıların nasıl girileceğini gösterelim (\(5\cdot \sqrt2\) ifadesinin kısa gösterimi). \(5=\sqrt(25)\) olduğundan, o zaman \ Şunu da unutmayın, örneğin,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Nedenmiş? Örnek 1)'i kullanarak açıklayalım. Zaten anladığınız gibi, \(\sqrt2\) sayısını bir şekilde dönüştüremiyoruz. \(\sqrt2\) öğesinin bir \(a\) sayısı olduğunu düşünelim. Buna göre, \(\sqrt2+3\sqrt2\) ifadesi \(a+3a\)'dan (bir sayı \(a\) artı aynı sayıdan üç tane daha \(a\)) başka bir şey değildir. Ve bunun \(a\) gibi dört sayıya eşit olduğunu biliyoruz, yani \(4\sqrt2\) .

Gerçek 4.
\(\bullet\) Bir sayının değerini bulurken kökün (radikal) \(\sqrt()\\) işaretinden kurtulamadığınızda sıklıkla “kökü çıkaramazsınız” derler . Örneğin \(16\) sayısının kökünü alabilirsiniz çünkü \(16=4^2\) , dolayısıyla \(\sqrt(16)=4\) . Ancak \(3\) sayısının kökünü çıkarmak, yani \(\sqrt3\'ü bulmak imkansızdır çünkü karesi \(3\) verecek bir sayı yoktur.
Bu tür sayılar (veya bu sayıları içeren ifadeler) irrasyoneldir. Örneğin sayılar \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ve benzeri. mantıksızdır.
Ayrıca \(\pi\) ("pi" sayısı, yaklaşık olarak \(3.14\)'e eşittir), \(e\) sayıları da irrasyoneldir (bu sayıya Euler sayısı denir, yaklaşık olarak \(2.7'ye eşittir) \)) vb.
\(\bullet\) Herhangi bir sayının ya rasyonel ya da irrasyonel olacağını lütfen unutmayın. Ve tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılar birlikte, adı verilen bir küme oluşturur. bir dizi gerçek sayı. Bu küme \(\mathbb(R)\) harfiyle gösterilir.
Bu, şu anda bildiğimiz tüm sayılara gerçek sayılar denildiği anlamına gelir.

Gerçek 5.
\(\bullet\) Bir \(a\) gerçel sayısının modülü, \(|a|\) noktasından \(a\) noktasından \(0\) noktasına olan mesafeye eşit, negatif olmayan bir sayıdır \(|a|\) gerçek çizgi. Örneğin, \(|3|\) ve \(|-3|\) 3'e eşittir, çünkü \(3\) ve \(-3\) ile \(0\) arasındaki mesafeler aynı ve eşit \(3 \) .
\(\bullet\) Eğer \(a\) negatif olmayan bir sayı ise \(|a|=a\) .
Örnek: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Eğer \(a\) negatif bir sayıysa, o zaman \(|a|=-a\) .
Örnek: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Negatif sayılar için modülün eksiyi “yer” olduğunu, pozitif sayıların ve \(0\) sayısının modül tarafından değişmeden kaldığını söylüyorlar.
ANCAK Bu kural yalnızca sayılar için geçerlidir. Modül işaretinizin altında bilinmeyen bir \(x\) (veya başka bir bilinmeyen), örneğin \(|x|\) varsa ve bunun pozitif mi, sıfır mı yoksa negatif mi olduğunu bilmediğimiz bir şey varsa, o zaman kurtulun modülün yapamayız. Bu durumda bu ifade aynı kalır: \(|x|\) . \(\bullet\) Aşağıdaki formüller geçerlidir: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))), \text( sağlanan ) a\geqslant 0\]Çoğu zaman şu hata yapılır: \(\sqrt(a^2)\) ve \((\sqrt a)^2\)'nin bir ve aynı olduğunu söylerler. Bu yalnızca \(a\) pozitif bir sayı veya sıfır ise doğrudur. Ancak eğer \(a\) negatif bir sayı ise bu yanlıştır. Bu örneği dikkate almanız yeterli. \(a\) yerine \(-1\) sayısını alalım. O halde \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ancak \((\sqrt (-1))^2\) ifadesi hiç mevcut değil (sonuçta, Negatif sayıları koyan kök işaretini kullanmak imkansızdır!).
Bu nedenle, \(\sqrt(a^2)\)'nin \((\sqrt a)^2\)'ye eşit olmadığı gerçeğine dikkatinizi çekeriz!Örnek 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Çünkü \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) olduğundan, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) ifadesi çift sayıyı belirtir)
Yani bir dereceye kadar olan bir sayının kökü alındığında bu derece yarıya iner.
Örnek:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (modül sağlanmazsa sayının kökünün \(-25\'e eşit olduğunu unutmayın) ) ); ancak kökün tanımı gereği bunun olamayacağını hatırlıyoruz: bir kökü çıkarırken her zaman pozitif bir sayı veya sıfır almalıyız)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (çünkü herhangi bir sayının çift üssü negatif değildir)

Gerçek 6.
İki karekök nasıl karşılaştırılır?
\(\bullet\) Karekökler için bu doğrudur: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aÖrnek:
1) \(\sqrt(50)\) ve \(6\sqrt2\)'yi karşılaştırın. Öncelikle ikinci ifadeyi şuna dönüştürelim: \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Böylece, \(50) beri<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) hangi tam sayılar arasında yer alır?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ve \(49) olduğundan<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) ile \(0.5\)'ı karşılaştıralım. Diyelim ki \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((her iki tarafa da bir tane ekleyin))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((her iki tarafın karesi alınır))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Yanlış bir eşitsizlik elde ettiğimizi görüyoruz. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştı ve \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Eşitsizliğin her iki tarafına belirli bir sayının eklenmesinin işaretini etkilemediğini unutmayın. Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpmak/bölmek de işaretini etkilemez, ancak negatif bir sayıyla çarpmak/bölmek eşitsizliğin işaretini tersine çevirir!
Bir denklemin/eşitsizliğin her iki tarafının karesini YALNIZCA her iki tarafın da negatif olmaması durumunda alabilirsiniz. Örneğin, önceki örnekteki eşitsizlikte, \(-3) eşitsizliğinde her iki tarafın karesini alabilirsiniz.<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Unutulmamalıdır ki \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Bu sayıların yaklaşık anlamlarını bilmek, sayıları karşılaştırırken size yardımcı olacaktır! \(\bullet\) Kareler tablosunda yer almayan büyük bir sayıdan kökü çıkarmak için (çıkarılabilirse), önce bunun hangi “yüzler” arasında, sonra – hangi “ arasında olduğunu belirlemelisiniz. onlarca” yazın ve ardından bu sayının son rakamını belirleyin. Bunun nasıl çalıştığını bir örnekle gösterelim.
\(\sqrt(28224)\) alalım. \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), vb. olduğunu biliyoruz. \(28224\) öğesinin \(10\,000\) ile \(40\,000\) arasında olduğunu unutmayın. Bu nedenle, \(\sqrt(28224)\) \(100\) ile \(200\) arasındadır.
Şimdi sayımızın hangi “onlar” arasında (yani \(120\) ile \(130\) arasında yer aldığını belirleyelim. Ayrıca kareler tablosundan şunu biliyoruz: \(11^2=121\) , \(12^2=144\) vb., sonra \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Böylece \(28224\) öğesinin \(160^2\) ile \(170^2\) arasında olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla \(\sqrt(28224)\) sayısı \(160\) ile \(170\) arasındadır.
Son rakamı belirlemeye çalışalım. Hangi tek basamaklı sayıların karesi alındığında sonunda \(4\) geldiğini hatırlayalım. Bunlar \(2^2\) ve \(8^2\)'dir. Bu nedenle \(\sqrt(28224)\) ya 2 ya da 8 ile bitecektir. Bunu kontrol edelim. \(162^2\) ve \(168^2\)'yi bulalım:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Bu nedenle, \(\sqrt(28224)=168\) . İşte!

Matematikte Birleşik Devlet Sınavını yeterince çözmek için öncelikle sizi çok sayıda teorem, formül, algoritma vb. ile tanıştıran teorik materyali incelemeniz gerekir. İlk bakışta bu oldukça basit görünebilir. Ancak matematikte Birleşik Devlet Sınavı teorisinin herhangi bir eğitim seviyesindeki öğrenciler için kolay ve anlaşılır bir şekilde sunulduğu bir kaynak bulmak aslında oldukça zor bir iştir. Okul ders kitapları her zaman el altında tutulamaz. Ve matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel formülleri bulmak internette bile zor olabilir.

Matematikte teoriyi incelemek sadece Birleşik Devlet Sınavına girenler için neden bu kadar önemli?

1. Çünkü ufkunuzu genişletir. Matematikte teorik materyali incelemek, etrafındaki dünyanın bilgisiyle ilgili çok çeşitli sorulara yanıt almak isteyen herkes için faydalıdır. Doğada her şey düzenlidir ve açık bir mantığı vardır. Bu tam olarak bilime yansıyan ve onun sayesinde dünyayı anlamanın mümkün olduğu şeydir.
2. Çünkü zekayı geliştirir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı için referans materyallerini inceleyerek ve çeşitli problemleri çözerek, kişi mantıklı düşünmeyi ve akıl yürütmeyi, düşünceleri yetkin ve net bir şekilde formüle etmeyi öğrenir. Analiz etme, genelleme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirir.

Sizi, eğitim materyallerinin sistemleştirilmesi ve sunumuna yönelik yaklaşımımızın tüm avantajlarını kişisel olarak değerlendirmeye davet ediyoruz.

Yetkileri ve kökleri olan işlemler. Negatif derece ,

sıfır ve kesirli gösterge. Anlamı olmayan ifadeler hakkında.

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip kuvvetleri çarparken üsleri toplanır:

bir m · bir n = bir m + n .

2. Dereceleri aynı tabana göre bölerken üsleri düşüldü .

3. İki veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir.

(ABC… ) n = bir n· bn · cn…

4. Bir oranın derecesi (kesir), bölenin (pay) ve bölenin (payda) derecelerinin oranına eşittir:

(a/b ) n = a n / b n.

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken üsleri çarpılır:

(bir m ) n = a m n.

Yukarıdaki formüllerin tümü soldan sağa ve soldan sağa her iki yönde okunur ve yürütülür.

ÖRNEK (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Köklerle işlemler. Aşağıdaki formüllerin tamamında sembol araç aritmetik kök(Radikal ifade pozitiftir).

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü çarpıma eşittir Bu faktörlerin kökleri:

2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir güce yükseltirken, bu güce yükseltmek yeterlidir. radikal sayı:

4. Kökün derecesini arttırırsak M yükseltmek M inci kuvveti radikal bir sayıysa, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsak M kökü bir kez ve aynı anda çıkarın M bir radikal sayının kuvveti ise kökün değeri değildir değişecek:

Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak ile eylemler dereceler ve kökler de şunlara yol açabilir: olumsuz, sıfır Ve kesirli göstergeler. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.

Negatif üslü bir derece. Bir c sayısının kuvveti negatif (tamsayı) bir üs bir bölünmüş olarak tanımlanır mutlak değere eşit bir üs ile aynı sayının kuvveti ileolumsuz gösterge:

Tşimdi formül bir m: BİR= bir m - N sadece için kullanılamazM, bundan fazla N, ama aynı zamanda M, daha az N .

ÖRNEK A 4 :A 7 = bir 4 - 7 =a - 3 .

Eğer formülü istiyorsakbir m : BİR= bir m - Nne zaman adildim = n, sıfır derecenin tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEKLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için ve m/n gücüne , kökü çıkarmanız gerekiyor m'nin n'inci kuvveti bu sayının -inci kuvveti A :

Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var. herhangi bir numara.

Aslında bu ifadenin bir sayıya eşit olduğunu varsayarsak X, o zaman bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 · X. Ancak bu eşitlik şu durumlarda ortaya çıkar: herhangi bir sayı x Kanıtlanması gereken şey buydu.

Durum 3.

0 0 - herhangi bir numara.

Gerçekten mi,

Çözüm: Üç ana durumu ele alalım:

1) X = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor

(Neden?).

2) ne zaman X> 0 elde ederiz: x/x = 1, yani 1 = 1, bunun anlamı

Ne X- herhangi bir numara; ancak bunu dikkate alarak

Bizim durumumuzda X> 0, cevapX > 0 ;

3) ne zaman X < 0 получаем: – x/x= 1, yani e . –1 = 1, dolayısıyla

Bu durumda çözüm yoktur.

Böylece, X > 0.

Dersin başında kareköklerin temel özelliklerini gözden geçireceğiz ve ardından karekök içeren ifadeleri basitleştirmenin birkaç karmaşık örneğine bakacağız.

Ders:İşlev. Karekökün özellikleri

Ders:Köklerle daha karmaşık ifadeleri dönüştürme ve basitleştirme

1. Kareköklerin özelliklerinin gözden geçirilmesi

Teoriyi kısaca tekrarlayalım ve kareköklerin temel özelliklerini hatırlayalım.

Kareköklerin özellikleri:

1. dolayısıyla;

3. ;

4. .

2. İfadelerin köklerle basitleştirilmesine ilişkin örnekler

Bu özellikleri kullanma örneklerine geçelim.

Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. Basitleştirmek gerekirse, 120 sayısı asal çarpanlarına ayrılmalıdır:

Uygun formülü kullanarak toplamın karesini ortaya çıkaracağız:

Örnek 2: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. Bu ifadenin değişkenin tüm olası değerleri için bir anlam ifade etmediğini dikkate alalım, çünkü bu ifade karekökleri ve kesirleri içerir, bu da izin verilen değerler aralığının "daralmasına" yol açar. ODZ: ().

Parantez içindeki ifadeyi ortak paydaya getirelim ve son kesrin payını kareler farkı olarak yazalım:

saatinde.

Cevap. en.

Örnek 3: Bir ifadeyi basitleştirme .

Çözüm. İkinci pay parantezinin sakıncalı bir görünüme sahip olduğu ve basitleştirilmesi gerektiği görülüyor; gruplama yöntemini kullanarak çarpanlara ayırmaya çalışalım.

Ortak bir çarpan elde edebilmek için kökleri çarpanlarına ayırarak sadeleştirdik. Ortaya çıkan ifadeyi orijinal kesrin yerine koyalım:

Kesirleri indirdikten sonra kareler farkı formülünü uyguluyoruz.

3. Mantıksızlıktan kurtulmanın bir örneği

Örnek 4. Paydadaki mantıksızlıktan (köklerden) kendinizi kurtarın: a) ; B) .

Çözüm. a) Paydadaki irrasyonellikten kurtulmak için, bir kesrin hem payını hem de paydasını paydaya eşlenik faktörle çarpmanın standart yöntemi kullanılır (aynı ifade, ancak zıt işaretle). Bu, kesrin paydasını kareler farkına tamamlamak için yapılır, bu da paydadaki köklerden kurtulmanıza olanak tanır. Bizim durumumuzda bunu yapalım:

b) benzer eylemleri gerçekleştirin:

Cevap.; .

4. Karmaşık bir radikalde tam karenin ispatı ve tanımlanması için örnek

Örnek 5. Eşitliği kanıtlayın .

Kanıt. Sağdaki ifadenin karesinin radikal ifadeye eşit olması gerektiği sonucunu çıkaran karekök tanımını kullanalım:

. Toplamın karesi formülünü kullanarak parantezleri açalım:

doğru eşitliği elde ettik.

Kanıtlanmış.

Örnek 6. İfadeyi basitleştirin.

Çözüm. Bu ifadeye genellikle karmaşık radikal (kökün altındaki kök) adı verilir. Bu örnekte, tam kareyi kök ifadeden nasıl ayıracağınızı bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, iki terimin, kare farkı formülünde çift çarpım rolüne aday olduğunu unutmayın (fark, çünkü bir eksi vardır). Bunu aşağıdaki çarpım şeklinde yazalım: 1 tam karenin şartlarından biri olduğunu, 1 ise ikincisi olduğunu iddia ediyor.

Bu ifadeyi kökün altına koyalım.

Bu makale köklerin özellikleri konusuyla ilgili ayrıntılı bilgilerin bir derlemesidir. Konuyu göz önünde bulundurarak özelliklerle başlayacağız, tüm formülasyonları inceleyeceğiz ve kanıt sunacağız. Konuyu pekiştirmek için n'inci derecenin özelliklerini ele alacağız.

Köklerin özellikleri

Özellikleri hakkında konuşacağız.

1. Mülk çarpılan sayılar A Ve B a · b = a · b eşitliğiyle temsil edilir. Pozitif veya sıfıra eşit faktörler şeklinde temsil edilebilir. a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k olarak;
2. a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 bölümünden a b = a b;
3. Bir sayının kuvvetinden elde edilen özellik Açift ​​üslü a 2 m = herhangi bir sayı için a m Aörneğin bir a sayısının karesinin özelliği 2 = a.

Sunulan denklemlerin herhangi birinde, tire işaretinden önceki ve sonraki kısımları değiştirebilirsiniz; örneğin, a · b = a · b eşitliği a · b = a · b olarak dönüştürülür. Eşitlik özellikleri genellikle karmaşık denklemleri basitleştirmek için kullanılır.

İlk özelliklerin ispatı, karekök tanımına ve doğal üslü kuvvetlerin özelliklerine dayanmaktadır. Üçüncü özelliği doğrulamak için bir sayının modülünün tanımına bakmak gerekir.

Öncelikle a · b = a · b karekökünün özelliklerini kanıtlamak gerekir. Tanıma göre, a b'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu düşünmek gerekir; bu sayı şuna eşit olacaktır: bir b Inşaat sırasında bir kareye. a · b ifadesinin değeri, negatif olmayan sayıların çarpımı olarak pozitif veya sıfıra eşittir. Çarpan sayıların kuvvetleri özelliği, eşitliği (a · b) 2 = a 2 · b 2 biçiminde temsil etmemizi sağlar. Karekök tanımı gereği, a 2 = a ve b 2 = b, bu durumda a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Benzer şekilde üründen bunu kanıtlayabiliriz kçarpanlar a 1 , a 2 , … , a k bu faktörlerin kareköklerinin çarpımına eşit olacaktır. Aslında, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Bu eşitlikten şu sonuç çıkar: a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Konuyu pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

örnek 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ve 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Bölümün aritmetik karekökünün özelliğini kanıtlamak gerekir: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Bu özellik, a: b 2 = a 2: b 2 ve a 2: b 2 = a: b eşitliğini yazmamıza olanak tanır; a: b ise pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir. Bu ifade kanıt olacaktır.

Örneğin, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ve 30,121 = 30,121.

Bir sayının karesinin karekökü özelliğini ele alalım. 2 = a şeklinde bir eşitlik olarak yazılabilir. Bu özelliği kanıtlamak için çeşitli eşitlikleri ayrıntılı olarak ele almak gerekir. a ≥ 0 ve A< 0 .

Açıkçası, a ≥ 0 için a 2 = a eşitliği doğrudur. Şu tarihte: A< 0 a 2 = - a eşitliği doğru olacaktır. Aslında bu durumda - a > 0 ve (− a) 2 = a 2 . a 2 = a, a ≥ 0 - a, a sonucunu çıkarabiliriz< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 2

5 2 = 5 = 5 ve - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Kanıtlanmış özellik, 2 m = a m'nin gerekçelendirilmesine yardımcı olacaktır; A– gerçek ve M-doğal sayı. Gerçekten de, bir gücü yükseltme özelliği, o gücün yerini almamıza olanak sağlar. 2 m ifade (bir m) 2, bu durumda a 2 m = (a m) 2 = a m.

Örnek 3

3 8 = 3 4 = 3 4 ve (- 8, 3) ​​14 = - 8, 3 7 = (8, 3) ​​7 .

N'inci kökün özellikleri

Öncelikle n'inci köklerin temel özelliklerini dikkate almamız gerekiyor:

1. Sayıların çarpımından elde edilen özellik A Ve B Pozitif veya sıfıra eşit olan , a · b n = a n · b n eşitliği olarak ifade edilebilir, bu özellik çarpım için geçerlidir. k sayılar a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n olarak;
2. kesirli bir sayıdan a b n = a n b n özelliğine sahiptir, burada A pozitif veya sıfıra eşit olan herhangi bir gerçek sayıdır ve B– pozitif gerçek sayı;
3. Herhangi A ve hatta göstergeler n = 2 m a 2 · m 2 · m = a doğrudur ve tek sayı için n = 2 m - 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a eşitliği geçerlidir.
4. a m n = a n m'den çıkarma özelliği, burada A– pozitif veya sıfıra eşit herhangi bir sayı, N Ve M doğal sayılardır, bu özellik formda da gösterilebilir. . . bir n k n 2 n 1 = bir n 1 · n 2 . . . · nk ;
5. Negatif olmayan herhangi bir a ve keyfi için N Ve M doğaldır, adil eşitliği a m n · m = a n olarak da tanımlayabiliriz;
6. Derecenin özelliği N bir sayının kuvvetinden A pozitif veya sıfıra eşit olan doğal güce göre M a m n = a n m eşitliğiyle tanımlanır;
7. Aynı üslere sahip karşılaştırma özelliği: herhangi bir pozitif sayı için A Ve Böyle ki A< b , eşitsizlik a n< b n ;
8. Kök altında aynı sayılara sahip karşılaştırma özelliği: if M Ve N - doğal sayılar m > n, sonra 0 < a < 1 a m > a n eşitsizliği doğrudur ve ne zaman a > 1 bir m idam edildi< a n .

Yukarıda verilen eşitlikler, eşittir işaretinden önceki ve sonraki kısımların yer değiştirmesi durumunda geçerlidir. Bu formda da kullanılabilirler. Bu genellikle ifadeleri basitleştirirken veya dönüştürürken kullanılır.

Bir kökün yukarıdaki özelliklerinin kanıtı, bir sayının tanımına, derecenin özelliklerine ve modülünün tanımına dayanmaktadır. Bu özelliklerin kanıtlanması gerekir. Ama her şey yolunda.

1. Öncelikle a · b n = a n · b n çarpımının n'inci kökünün özelliklerini kanıtlayalım. İçin A Ve b hangisiöyle pozitif veya sıfıra eşit , a n · b n değeri de pozitiftir veya sıfıra eşittir, çünkü negatif olmayan sayıların çarpılmasının bir sonucudur. Bir ürünün doğal güce sahip olması, a n · b n n = a n n · b n n eşitliğini yazmamızı sağlar. Bir kökün tanımı gereği N-'inci derece a n n = a ve b n n = b , dolayısıyla a n · b n n = a · b . Ortaya çıkan eşitlik tam olarak kanıtlanması gereken şeydir.

Bu özellik ürün için de benzer şekilde kanıtlanabilir. kçarpanlar: negatif olmayan sayılar için a 1, a 2, …, an n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Root özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler aşağıda verilmiştir NÇarpımdan gelen -inci kuvvet: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ve 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. a b n = a n b n bölümünün kökünün özelliğini kanıtlayalım. Şu tarihte: a ≥ 0 Ve b > 0 a n b n ≥ 0 koşulu karşılanmıştır ve a n b n n = a n n b n n = a b .

Örnekleri gösterelim:

Örnek 4

8 27 3 = 8 3 27 3 ve 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Bir sonraki adım için sayıdan dereceye kadar n'inci derecenin özelliklerini kanıtlamak gerekir. N. Bunu herhangi bir gerçek için a 2 m 2 m = a ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği olarak düşünelim. A ve doğal M. Şu tarihte: a ≥ 0 a = a ve a 2 m = a 2 m elde ederiz, bu da a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlar ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a eşitliği açıktır. Şu tarihte: A< 0 sırasıyla a = - a ve a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m elde ederiz. Bir sayının son dönüşümü kuvvet özelliğine göre geçerlidir. Bu tam olarak a 2 m 2 m = a eşitliğini kanıtlayan şeydir ve a 2 m - 1 2 m - 1 = a doğru olacaktır, çünkü tek derece dikkate alınır - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 herhangi bir sayı için C , pozitif veya sıfıra eşit.

Alınan bilgileri pekiştirmek için özelliği kullanan birkaç örneği ele alalım:

Örnek 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ve (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Aşağıdaki eşitliği kanıtlayalım: a m n = a n m. Bunu yapmak için, eşittir işaretinden önceki ve sonraki sayıların yerini değiştirmeniz gerekir a n · m = a m n . Bu, girişin doğru olduğu anlamına gelecektir. İçin A, hangisi olumlu veya sıfıra eşit , a m n formundaki pozitif veya sıfıra eşit bir sayıdır. Gelelim bir gücü güce yükseltme özelliğine ve tanımına. Onların yardımıyla eşitlikleri a m n n · m = a m n n m = a m m = a biçiminde dönüştürebilirsiniz. Bu, söz konusu kökün kökünün özelliğini kanıtlar.

Diğer özellikler de benzer şekilde kanıtlanmıştır. Gerçekten mi, . . . an k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · nk = . . . an k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · nk = . . . an k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · nk = . . . = bir n k n k = bir .

Örneğin, 7 3 5 = 7 5 3 ve 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Aşağıdaki a m n · m = a n özelliğini kanıtlayalım. Bunu yapmak için n'nin pozitif veya sıfıra eşit bir sayı olduğunu göstermek gerekir. Nm gücüne yükseltildiğinde eşittir bir m. eğer sayı A pozitif veya sıfıra eşitse, o zaman N-aralarından derece A pozitif bir sayıdır veya sıfıra eşittir Bu durumda, a n · m n = a n n m , bunun kanıtlanması gerekiyor.

Edinilen bilgiyi pekiştirmek için birkaç örneğe bakalım.

1. Aşağıdaki özelliği kanıtlayalım: a m n = a n m formundaki bir kuvvetin kökünün özelliği. Açıkça görülüyor ki ne zaman a ≥ 0 a n m derecesi negatif olmayan bir sayıdır. Üstelik onun N inci kuvvet eşittir bir m, aslında, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Bu, söz konusu derecenin özelliğini kanıtlar.

Örneğin, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Herhangi bir pozitif sayı için bunu kanıtlamak gerekir. A ve b koşulu sağlanır A< b . a n eşitsizliğini düşünün< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Bu nedenle, bir n< b n при A< b .

Mesela 12 4'ü verelim< 15 2 3 4 .

1. Kökün özelliğini düşünün N-inci derece. Öncelikle eşitsizliğin ilk kısmını dikkate almak gerekir. Şu tarihte: m > n Ve 0 < a < 1 doğru a m > a n. a m ≤ a n olduğunu varsayalım. Özellikler, ifadeyi bir n m · n ≤ a m m · n şeklinde basitleştirmenize olanak tanır. O halde, doğal üssü olan bir derecenin özelliklerine göre, a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n eşitsizliği geçerlidir, yani, a n ≤ a m. Elde edilen değer m > n Ve 0 < a < 1 yukarıda verilen özelliklere uymuyor.

Aynı şekilde şu da kanıtlanabilir: m > n Ve a > 1 a m koşulu doğrudur< a n .

Yukarıdaki özellikleri birleştirmek için birkaç spesifik örneği ele alalım. Belirli sayıları kullanarak eşitsizliklere bakalım.

Örnek 6

0, 7 3 > 0, 7 5 ve 12 > 12 7.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını yeniden çözmeye başlar. Hiçbir durumda bunu yapmamalısınız! Bunun iki nedeni var:

1. Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metin olanlarda;
2. Bu köklerin neredeyse sözlü olarak hesaplandığı bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz karşı güçlü bir silaha sahip olacaksınız. Karekök.

Yani algoritma:

1. Üstte ve altta gerekli kök sayısını 10'un katı olan sayılarla sınırlayın. Böylece arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
2. Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
3. Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmayı uygulamaya koymadan önce her adıma tek tek bakalım.

Kök sınırlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katları olması oldukça arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne anlatıyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Resmin başlığı]

Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

[Resmin başlığı]

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Arama alanını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çarpmadan elde ettik. Devam etme zamanı geldi.

İster inanın ister inanmayın, artık aday sayısını ikiye indireceğiz - yine karmaşık hesaplamalara gerek kalmadan! Özel kuralı bilmeniz yeterlidir. İşte burada:

Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakın, orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Son sıraya gelebilecek sadece 10 rakam var. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu, örneğin 3364'ün kökünün 2 veya 8 ile bitmesi gerektiği anlamına gelir. Öte yandan önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:

[Resmin başlığı]

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök, 50 ile 60 arasında yer alır ve bu aralıkta yalnızca 2 ve 8 ile biten iki sayı bulunur:

[Resmin başlığı]

Bu kadar! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek bir aday olacaktır!

Son hesaplamalar

Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıyı veren kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede sayıları bir sütunda çarpmama bile gerek kalmadı! Bu, hesaplama optimizasyonunun başka bir düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök hesaplama örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama pratikte kontrol edelim.

[Resmin başlığı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:

Geriye kalan tek şey her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmaktır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son rakama bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Kare:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son rakama bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Kare:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son rakama bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenilen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyi değil. Nedenlerine bakalım. Bunlardan iki tane var:

• Herhangi bir normal matematik sınavında, ister Devlet Sınavı ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, hesap makinelerinin kullanılması yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi getirirseniz sınavdan kolaylıkla atılabilirsiniz.
• Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Köklere benzemeyenler iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.