Küplerin toplamı ve farkı nasıl çözülür? Fark küpü ve küp farkı: kısaltılmış çarpma formüllerini uygulama kuralları. FSO uygulama örnekleri
Kısaltılmış çarpma formülleri.
Kısaltılmış çarpma formüllerini incelemek: iki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi; iki ifadenin karelerinin farkı; iki ifadenin toplamının küpü ve farkının küpü; iki ifadenin küplerinin toplamı ve farkı.
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
İfadeleri basitleştirmek, polinomları çarpanlara ayırmak ve polinomları standart bir forma indirgemek için kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Ezbere bilmeniz gereken kısaltılmış çarpma formülleri.
a, b R olsun. O zaman:
1. İki ifadenin toplamının karesi birinci ifadenin karesi artı birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. İki ifadenin farkının karesi birinci ifadenin karesi eksi birinci ifadenin çarpımının iki katı ve ikinci artı ikinci ifadenin karesi.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. kareler farkı iki ifade, bu ifadelerin farkı ile toplamlarının çarpımına eşittir.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. toplam küp iki ifadenin toplamı, birinci ifadenin küpü artı üç çarpı birinci ifadenin karesi çarpı ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpımı çarpı ikincinin karesi artı ikinci ifadenin küpüne eşittir.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. fark küpü iki ifadenin toplamı, birinci ifadenin küpü eksi üç çarpı birinci ifadenin karesinin çarpımına ve ikinci artı üç çarpı birinci ifadenin çarpımına ve ikinci ifadenin karesi eksi ikinci ifadenin küpüne eşittir.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Küplerin toplamı iki ifade, birinci ve ikinci ifadelerin toplamının, bu ifadelerin farkının eksik karesiyle çarpımına eşittir.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. küp farkı iki ifadenin toplamı, birinci ve ikinci ifadelerin farkının bu ifadelerin toplamının eksik karesiyle çarpımına eşittir.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Örnekleri çözerken kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması.
örnek 1
Hesaplamak
a) İki ifadenin toplamının karesi için formülü kullanarak,
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) İki ifadenin kare farkının formülünü kullanarak,
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Örnek 2
Hesaplamak
İki ifadenin karelerinin farkı için formülü kullanarak şunu elde ederiz:
Örnek 3
İfadeyi Basitleştirin
(x - y) 2 + (x + y) 2
İki ifadenin toplamının karesi ve farkının karesi için formülleri kullanırız
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Bir tabloda kısaltılmış çarpma formülleri:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
kareler farkı
$a^2-b^2$ karelerinin farkının formülünü elde ederiz.
Bunu yapmak için aşağıdaki kuralı unutmayın:
İfadeye herhangi bir tek terimli eklenir ve aynı tek terim çıkarılırsa, doğru özdeşliği elde ederiz.
İfademize ekleyelim ve ondan tek terimli $ab$'ı çıkaralım:
Toplamda şunları elde ederiz:
Yani, iki tek terimlinin karelerinin farkı, farklarının ve toplamlarının çarpımına eşittir.
örnek 1
$(4x)^2-y^2$'ın bir ürünü olarak ifade edin
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\sol(2x-y\sağ)(2x+y)\]
Küplerin toplamı
$a^3+b^3$ küplerinin toplamının formülünü elde ederiz.
Parantez içindeki ortak çarpanları alalım:
$\left(a+b\right)$'ı parantezlerin dışına alalım:
Toplamda şunları elde ederiz:
Yani, iki tek terimlinin küplerinin toplamı, farklarının eksik karesiyle toplamlarının çarpımına eşittir.
Örnek 2
Ürün olarak ifade edin $(8x)^3+y^3$
Bu ifade aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Kareler farkı formülünü kullanarak şunları elde ederiz:
\[((2x))^3+y^3=\sol(2x+y\sağ)(4x^2-2xy+y^2)\]
küp farkı
$a^3-b^3$ küplerinin farkının formülünü elde ederiz.
Bunu yapmak için yukarıdakiyle aynı kuralı kullanacağız.
İfademize ekleyelim ve ondan $a^2b\ ve\ (ab)^2$ tek terimlilerini çıkaralım:
Parantez içindeki ortak çarpanları alalım:
$\left(a-b\right)$'ı parantezlerin dışına alalım:
Toplamda şunları elde ederiz:
Yani, iki tek terimlinin küplerinin farkı, farklarının toplamının eksik karesiyle çarpımına eşittir.
Örnek 3
$(8x)^3-y^3$ çarpımı olarak ifade edin
Bu ifade aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Kareler farkı formülünü kullanarak şunları elde ederiz:
\[((2x))^3-y^3=\sol(2x-y\sağ)(4x^2+2xy+y^2)\]
Kareler farkı ve küplerin toplamı ve farkı için formülleri kullanma görevlerine bir örnek
Örnek 4
Çarpmak.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Çözüm:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Kareler farkı formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
\[((a+5))^2-3^2=\sol(a+5-3\sağ)\sol(a+5+3\sağ)=\sol(a+2\sağ)(a +8)\]
Bu ifadeyi şu şekilde yazalım:
Küp küp formülünü uygulayalım:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Bu ifadeyi şu şekilde yazalım:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\sol(\frac(1)(3)\sağ))^3-x^3\]
Küp küp formülünü uygulayalım:
\[(\sol(\frac(1)(3)\sağ))^3-x^3=\sol(\frac(1)(3)-x\sağ)\sol(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\sağ)\]
Azaltılmış çarpma formülleri veya kuralları, büyük cebirsel ifadelerin daha hızlı hesaplanması için aritmetikte ve daha özel olarak cebirde kullanılır. Formüllerin kendileri, birkaç polinomun çarpımı için cebirdeki mevcut kurallardan türetilir.
Bu formüllerin kullanımı, çeşitli matematik problemlerine oldukça hızlı bir çözüm sağlar ve ayrıca ifadeleri basitleştirmeye yardımcı olur. Cebirsel dönüşümlerin kuralları, ifadelerle bazı manipülasyonlar yapmanıza izin verir, ardından eşitliğin sol tarafındaki ifadeyi sağ taraftaki ifadeyi alabilir veya eşitliğin sağ tarafını dönüştürebilirsiniz (ifadeyi almak için). eşittir işaretinden sonraki sol taraf).
Genellikle problemlerin ve denklemlerin çözümünde kullanıldığı için, hafıza ile kısaltılmış çarpma için kullanılan formülleri bilmek uygundur. Bu listede yer alan başlıca formüller ve isimleri aşağıda listelenmiştir.
toplam kare
Toplamın karesini hesaplamak için birinci terimin karesi, birinci terim ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesinden oluşan toplamı bulmanız gerekir. Bir ifade şeklinde bu kural şu şekilde yazılır: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Farkın karesi
Farkın karesini hesaplamak için, ilk sayının karesi, birinci sayının ikinci ile çarpımının iki katı (zıt işareti ile alınır) ve ikinci sayının karesinden oluşan toplamı hesaplamanız gerekir. Bir ifade biçiminde, bu kural şöyle görünür: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
kareler farkı
İki sayının karesinin farkının formülü, bu sayıların toplamının ve farklarının çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde, bu kural şöyle görünür: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
toplam küp
İki terimin toplamının küpünü hesaplamak için, birinci terimin küpü, birinci terimin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci, birinci terimin üçlü ürünü ve ikincisinden oluşan toplamı hesaplamanız gerekir. karesi ve ikinci terimin küpü. Bir ifade biçiminde, bu kural şöyle görünür: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Küplerin toplamı
Formüle göre, bu terimlerin toplamının ve farklarının eksik karelerinin çarpımına eşittir. Bir ifade biçiminde, bu kural şöyle görünür: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Örnek vermek.İki küp eklenerek oluşturulan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Sadece kenarlarının büyüklükleri bilinmektedir.
Kenarların değerleri küçükse, hesaplamaları yapmak kolaydır.
Kenarların uzunlukları hantal sayılarla ifade edilirse, bu durumda hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan "Küplerin Toplamı" formülünü uygulamak daha kolaydır.
fark küpü
Kübik farkın ifadesi şu şekildedir: birinci terimin üçüncü kuvvetinin toplamı olarak, birinci terimin karesinin negatif ürününü ikinciyle üç katına, birinci terimin ürününü ikincinin karesiyle üçe katlayın. , ve ikinci terimin negatif küpü. Matematiksel bir ifade biçiminde, fark küpü şöyle görünür: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
küp farkı
Küplerin farkının formülü, küplerin toplamından yalnızca bir işaretle farklıdır. Böylece, küplerin farkı, bu sayıların farkının toplamlarının eksik karesiyle çarpımına eşit bir formüldür. Formda, küplerin farkı şöyle görünür: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Örnek vermek. Aynı zamanda bir küp olan sarı hacimsel rakamı mavi küpün hacminden çıkardıktan sonra kalan şeklin hacmini hesaplamak gerekir. Küçük ve büyük bir küpün sadece kenar ölçüsü bilinmektedir.
Kenarların değerleri küçükse, hesaplamalar oldukça basittir. Ve kenarların uzunlukları önemli sayılarla ifade edilirse, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirecek olan "Küplerin Farkı" (veya "Fark Küpü") başlıklı bir formül kullanmaya değer.
Kısaltılmış çarpma formülleri (FSU), sayıları ve ifadeleri üs almak ve çarpmak için kullanılır. Genellikle bu formüller, hesaplamaları daha kompakt ve hızlı bir şekilde yapmanızı sağlar.
Bu yazıda, kısaltılmış çarpma için ana formülleri listeleyeceğiz, bir tablo halinde gruplandıracağız, bu formüllerin kullanım örneklerini ele alacağız ve ayrıca kısaltılmış çarpma formüllerini kanıtlama ilkeleri üzerinde duracağız.
İlk kez, FSU konusu 7. sınıf için "Cebir" dersi kapsamında ele alınmaktadır. Aşağıda 7 temel formül bulunmaktadır.
Kısaltılmış çarpma formülleri
- toplam kare formülü: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- fark kare formülü: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- toplam küp formülü: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- fark küpü formülü: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- kareler farkı formülü: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- küplerin toplamı için formül: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- küp fark formülü: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Bu ifadelerdeki a, b, c harfleri herhangi bir sayı, değişken veya ifade olabilir. Kullanım kolaylığı için yedi temel formülü ezbere öğrenmek daha iyidir. Bunları bir tabloda özetliyoruz ve bir kutu ile daire içine alarak aşağıda veriyoruz.
İlk dört formül, sırasıyla iki ifadenin toplamının veya farkının karesini veya küpünü hesaplamanıza izin verir.
Beşinci formül, ifadelerin karelerinin farkını, toplamlarını ve farklarını çarparak hesaplar.
Altıncı ve yedinci formüller, sırasıyla, ifadelerin toplamının ve farkının, farkın eksik karesi ve toplamın eksik karesi ile çarpılmasıdır.
Kısaltılmış çarpma formülü bazen kısaltılmış çarpma kimlikleri olarak da adlandırılır. Bu şaşırtıcı değildir, çünkü her eşitlik bir özdeşliktir.
Pratik örnekleri çözerken, genellikle yeniden düzenlenmiş sol ve sağ kısımlarla kısaltılmış çarpma formülleri kullanılır. Bu, özellikle bir polinomu çarpanlara ayırırken kullanışlıdır.
Ek kısaltılmış çarpma formülleri
Kendimizi 7. sınıf cebir dersiyle sınırlamayacağız ve FSU tablomuza birkaç formül daha eklemeyeceğiz.
İlk olarak, Newton'un binom formülünü düşünün.
a + b n = C n 0 bir n + C n 1 bir n - 1 b + Cn 2 bir n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Burada C n k, pascal üçgeninde n numaralı satırda bulunan binom katsayılarıdır. Binom katsayıları aşağıdaki formülle hesaplanır:
Cnk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Gördüğünüz gibi, fark ve toplamın karesi ve küpü için FSU, sırasıyla n=2 ve n=3 için Newton'un iki terimli formülünün özel bir halidir.
Ama ya toplamda bir güce yükseltilecek ikiden fazla terim varsa? Üç, dört veya daha fazla terimin toplamının karesi formülü faydalı olacaktır.
1 + 2 + . . + bir n 2 = bir 1 2 + bir 2 2 + . . + bir n 2 + 2 bir 1 bir 2 + 2 bir 1 bir 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 bir 2 bir n + 2 bir n - 1 bir n
Kullanışlı olabilecek başka bir formül, iki terimin n'inci kuvvetlerinin farkının formülüdür.
bir n - b n = a - b bir n - 1 + bir n - 2 b + bir n - 3 b 2 + . . + bir 2 b n - 2 + b n - 1
Bu formül genellikle iki formüle ayrılır - sırasıyla çift ve tek dereceler için.
Eşit üsler için 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Tek üsler için 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + bir 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2+ . . + b 2 m
Tahmin ettiğiniz gibi karelerin farkı ve küplerin farkı formülleri, sırasıyla n = 2 ve n = 3 için bu formülün özel durumlarıdır. Küplerin farkı için b de - b ile değiştirilir.
Kısaltılmış çarpma formülleri nasıl okunur?
Her formül için karşılık gelen formülasyonları vereceğiz, ancak önce formülleri okuma ilkesini ele alacağız. Bunu yapmanın en kolay yolu bir örnektir. İki sayının toplamının karesi için ilk formülü alalım.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Derler ki: a ve b iki ifadesinin toplamının karesi, ilk ifadenin karesinin toplamına, ifadelerin çarpımının ve ikinci ifadenin karesinin iki katına eşittir.
Diğer tüm formüller benzer şekilde okunur. a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 kare farkı için şunu yazıyoruz:
iki a ve b ifadesinin farkının karesi, bu ifadelerin karelerinin toplamından birinci ve ikinci ifadelerin çarpımının iki katına eşittir.
a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 formülünü okuyalım. İki a ve b ifadesinin toplamının küpü, bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir, birinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci ifadenin karesinin çarpımının üç katı ve ikinci ifadenin karesinin çarpımının üç katıdır. ve ilk ifadesi.
a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 küplerinin farkı formülünü okumaya devam ediyoruz. İki a ve b ifadesinin farkının küpü, birinci ifadenin küpü eksi üç çarpı birinci ve ikinci ifadenin karesi, artı üç çarpı ikinci ifade ve birinci ifadenin karesi, eksi küp eşittir ikinci ifadeden.
Beşinci formül a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (kareler farkı) aşağıdaki gibidir: iki ifadenin karelerinin farkı, farkın ürününe ve iki ifadenin toplamına eşittir.
Kolaylık sağlamak için a 2 + a b + b 2 ve a 2 - a b + b 2 gibi ifadelere sırasıyla toplamın eksik karesi ve farkın eksik karesi denir.
Bunu akılda tutarak, küplerin toplamı ve farkı için formüller aşağıdaki gibi okunur:
İki ifadenin küplerinin toplamı, bu ifadelerin toplamının ve farklarının eksik karesinin çarpımına eşittir.
İki ifadenin küplerinin farkı, bu ifadelerin farkının toplamlarının eksik karesiyle çarpımına eşittir.
FSU Kanıtı
FSU'yu kanıtlamak oldukça basittir. Çarpma özelliklerine dayanarak, formüllerin parantez içindeki kısımlarının çarpımını yapacağız.
Örneğin, farkın karesi formülünü düşünün.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Bir ifadeyi ikinci kuvvete yükseltmek için ifadenin kendisi ile çarpılması gerekir.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Parantezleri genişletelim:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Formül kanıtlanmıştır. Diğer FSO'lar da benzer şekilde kanıtlanmıştır.
FSO uygulama örnekleri
Kısa çarpma formüllerini kullanmanın amacı, ifadeleri hızlı ve özlü bir şekilde çarpmak ve üslendirmektir. Ancak bu, FSO'nun tüm kapsamı değildir. İfadeleri azaltmada, kesirleri azaltmada, polinomları çarpanlara ayırmada yaygın olarak kullanılırlar. Örnekler verelim.
Örnek 1. FSO
9 y - (1 + 3 y) 2 ifadesini sadeleştirelim.
Kareler toplamı formülünü uygulayın ve şunu elde edin:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Örnek 2. FSO
Kesiri 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 azaltın .
Paydaki ifadenin küplerin farkı ve paydada - karelerin farkı olduğunu fark ettik.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Azaltıyoruz ve şunları elde ediyoruz:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU'lar ayrıca ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına yardımcı olur. Ana şey, formülün nereye uygulanacağını fark edebilmektir. Bunu bir örnekle gösterelim.
79 sayısının karesini alalım. Hantal hesaplamalar yerine şunu yazıyoruz:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Sadece kısaltılmış çarpım formülleri ve çarpım tablosu kullanılarak karmaşık bir hesaplamanın hızlı bir şekilde yapıldığı görülüyor.
Bir diğer önemli nokta ise binomun karesinin seçimidir. 4 x 2 + 4 x - 3 ifadesi 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4'e dönüştürülebilir. Bu tür dönüşümler entegrasyonda yaygın olarak kullanılmaktadır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
