Tetrahedronun hacmi, formülün türevidir. Bir tetrahedronun hacmi. Köşelerinin koordinatları biliniyorsa bir tetrahedronun hacmini hesaplama

Bir tetrahedronun hacmi için temel formülden

nerede S herhangi bir yüzün alanıdır ve H- üzerine indirilen yükseklik, tetrahedronun çeşitli elemanları aracılığıyla hacmi ifade eden bir dizi formül elde edebilirsiniz. Bu formülleri tetrahedron için veriyoruz ABCD.

(2) ,

nerede ∠ ( AD,ABC) kenar arasındaki açıdır AD ve yüz düzlemi ABC;

(3) ,

nerede ∠ ( ABC,ABD) yüzler arasındaki açıdır ABC Ve ABD;

nerede | AB,CD| - zıt kaburgalar arasındaki mesafe AB Ve CD, ∠ (AB,CD) bu kenarlar arasındaki açıdır.

(2)–(4) formülleri, doğrular ve düzlemler arasındaki açıları bulmak için kullanılabilir; formül (4) özellikle eğri çizgiler arasındaki mesafeyi bulabileceğiniz kullanışlıdır. AB Ve CD.

Formül (2) ve (3) formüle benzer S = (1/2)ab günah C bir üçgenin alanı için. formül S = rp benzer formül

nerede r tetrahedronun yazılı küresinin yarıçapıdır, Σ toplam yüzeyidir (tüm yüzlerin alanlarının toplamı). Ayrıca bir tetrahedronun hacmini bir yarıçapla birleştiren güzel bir formül var. r açıklanan kapsamı ( krille formülü):

burada Δ, kenarları sayısal olarak zıt kenarların ürünlerine eşit olan bir üçgenin alanıdır ( AB× CD, AC× BD,AD× M.Ö). Formül (2) ve üç yüzlü açılar için kosinüs teoreminden (bkz. Küresel trigonometri), Heron'un üçgenler için formülüne benzer bir formül türetilebilir.

Rastgele bir ABC üçgeni ve bu üçgenin düzleminde yer almayan bir D noktası düşünün. Bu noktayı segmentlerle ABC üçgeninin köşelerine bağlayın. Sonuç olarak, ADC , CDB , ABD üçgenlerini elde ederiz. ABC , ADC , CDB ve ABD dört üçgeni ile sınırlanan yüzeye tetrahedron denir ve DABC ile gösterilir .
Bir tetrahedron oluşturan üçgenlere yüzleri denir.
Bu üçgenlerin kenarlarına tetrahedronun kenarları denir. Ve onların köşeleri bir tetrahedronun köşeleridir.

tetrahedron vardır 4 yüz, 6 kaburga Ve 4 tepe.
Ortak bir köşesi olmayan iki kenara zıt denir.
Çoğu zaman, kolaylık sağlamak için, tetrahedronun yüzlerinden birine denir. temel, ve kalan üç yüz yan yüzlerdir.

Böylece, tetrahedron, yüzleri dört üçgen olan en basit çokyüzlüdür.

Ancak herhangi bir keyfi üçgen piramidin bir tetrahedron olduğu da doğrudur. O zaman bir tetrahedronun çağrıldığı da doğrudur. tabanında üçgen olan bir piramit.

tetrahedronun yüksekliği bir köşeyi karşı yüzünde bulunan ve ona dik olan bir noktaya bağlayan doğru parçası olarak adlandırılır.
Bir tetrahedronun medyanı karşı yüzün medyanlarının kesişme noktası ile tepe noktasını birleştiren bir segment olarak adlandırılır.
bimedyan tetrahedron tetrahedronun kesişen kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segment olarak adlandırılır.

Bir tetrahedron üçgen tabanlı bir piramit olduğundan, herhangi bir tetrahedronun hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

• S herhangi bir yüzün alanıdır,
• H- bu yüzde alçaltılmış yükseklik

Düzenli tetrahedron - özel bir tetrahedron türü

Tüm yüzleri eşkenar üçgen olan tetrahedron denir. doğru.
Düzenli bir tetrahedronun özellikleri:

• Tüm kenarlar eşittir.
• Düzgün bir tetrahedronun tüm düzlem açıları 60°'dir.
• Köşelerinin her biri üç düzgün üçgenin tepe noktası olduğundan, her bir köşedeki düzlem açılarının toplamı 180°'dir.
• Düzenli bir dörtyüzlülüğün herhangi bir köşesi, karşı yüzün ortomerkezine (üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına) yansıtılır.

Bize kenarları a'ya eşit olan düzgün bir dörtyüzlü ABCD verilsin. DH onun yüksekliğidir.
Ek yapılar yapalım BM - ABC ve DM üçgeninin yüksekliği - ACD üçgeninin yüksekliği .
Yükseklik BM eşittir BM ve eşittir
BDM üçgenini düşünün, burada tetrahedronun yüksekliği olan DH aynı zamanda bu üçgenin yüksekliğidir.
MB kenarına düşen üçgenin yüksekliği formül kullanılarak bulunabilir.

, nerede
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Bu değerleri yükseklik formülünde değiştirin. Elde etmek


1/2a'yı çıkaralım. Elde etmek

Karelerin formül farkını uygula

Bazı küçük dönüşümlerden sonra,


Herhangi bir tetrahedronun hacmi, formül kullanılarak hesaplanabilir.
,
nerede ,

Bu değerleri yerine koyarsak,

Böylece düzgün bir tetrahedron için hacim formülü

nerede a–tetrahedron kenar

Köşelerinin koordinatları biliniyorsa bir tetrahedronun hacmini hesaplama

Bize tetrahedronun köşelerinin koordinatları verilsin.

, , , tepe noktasından vektörler çizin.
Bu vektörlerin her birinin koordinatlarını bulmak için, ilgili başlangıç ​​koordinatını bitiş koordinatından çıkarın. Elde etmek

Not. Bu, geometrideki problemlerin olduğu dersin bir parçasıdır (kesim katı geometri, piramit ile ilgili problemler). Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Görevlerde, "kare kök" sembolü yerine, sqrt'nin karekök sembolü olduğu ve radikal ifadenin parantez içinde belirtildiği sqrt () işlevi kullanılır..Basit radikal ifadeler için "√" işareti kullanılabilir.. düzenli tetrahedron tüm yüzleri eşkenar üçgen olan düzgün üçgen piramittir.

Düzgün bir dörtyüzlü için, kenarlardaki tüm dihedral açılar ve köşelerdeki tüm üç yüzlü açılar eşittir

Bir tetrahedronun 4 yüzü, 4 köşesi ve 6 kenarı vardır.

Düzenli bir tetrahedron için temel formüller tabloda verilmiştir.

Neresi:
S - Düzenli bir tetrahedronun yüzey alanı
V - hacim
h - tabana indirilen yükseklik
r - tetrahedronda yazılı dairenin yarıçapı
R - çevrelenmiş dairenin yarıçapı
a - kaburga uzunluğu

pratik örnekler

Bir görev.
Her kenarı √3'e eşit olan üçgen bir piramidin yüzey alanını bulun

Çözüm.
Üçgen piramidin tüm kenarları eşit olduğu için doğrudur. Düzenli bir üçgen piramidin yüzey alanı S = a 2 √3'tür.
O zamanlar
S = 3√3

Yanıt vermek: 3√3

Bir görev.
Düzgün bir üçgen piramidin tüm kenarları 4 cm'dir Piramidin hacmini bulun

Çözüm.
Düzenli bir üçgen piramitte, piramidin yüksekliği, aynı zamanda çevrelenmiş dairenin merkezi olan tabanın merkezine yansıtıldığından,

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Böylece OM piramidinin yüksekliği AOM dik üçgeninden bulunabilir.

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM2 = 16 - 16/3
ÖM = √(32/3)
ÖM = 4√2 / √3

Piramidin hacmi V = 1/3 Sh formülüyle bulunur.
Bu durumda, tabanın alanını S \u003d √3/4 a 2 formülüyle buluruz.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Yanıt vermek: 16√2/3cm

Bir tetrahedron tanımı

dörtyüzlü- yüzleri ve tabanı üçgen olan en basit çokyüzlü gövde.

Cevrimici hesap makinesi

Bir tetrahedron, her biri üç kenardan oluşan dört yüze sahiptir. Tetrahedron, her biri üç kenarlı dört köşeye sahiptir.

Bu vücut birkaç türe ayrılmıştır. Aşağıda bunların sınıflandırması yer almaktadır.

1. izohedral tetrahedron- tüm yüzleri aynı üçgenlerdir;
2. ortosentrik tetrahedron- her tepe noktasından karşı yüze çizilen tüm yüksekliklerin uzunluğu aynıdır;
3. dikdörtgen tetrahedron- bir tepe noktasından çıkan kenarlar birbirleriyle 90 derecelik bir açı oluşturur;
4. çerçeve;
5. orantılı;
6. merkezsiz.

Dörtyüzlü hacim formülleri

Belirli bir cismin hacmi birkaç yolla bulunabilir. Onları daha ayrıntılı olarak analiz edelim.

Vektörlerin karışık çarpımı sayesinde

Tetrahedron koordinatları olan üç vektör üzerine kuruluysa:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)B= (B x​ , B y​ , B z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C x​ , C y​ , C z​ ) ,

o zaman bu tetrahedronun hacmi bu vektörlerin karışık ürünüdür, yani böyle bir belirleyici:

Determinant aracılığıyla bir tetrahedronun hacmi

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ B x​ C x​ ​ a y​ B y​ C y​ ​ a z​ B z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Görev 1

Oktahedronun dört köşesinin koordinatları bilinmektedir. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9), B(8 , 7 , 3) ​​​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Hacmini bulun.

Çözüm

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9)
B(8 , 7 , 3) ​​​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​​​C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

İlk adım, verilen cismin üzerine inşa edildiği vektörlerin koordinatlarını belirlemektir.
Bunu yapmak için, iki noktanın karşılık gelen koordinatlarını çıkararak vektörün her bir koordinatını bulmanız gerekir. Örneğin, vektör koordinatları A B → \overrightarrow(AB) bir B yani bir noktadan yönlendirilen bir vektör bir A diyeceğim şey şu ki BB B, bunlar noktaların karşılık gelen koordinatlarının farklılıklarıdır. BB B Ve bir A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)bir B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)AC= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)bir D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Şimdi bu vektörlerin karışık çarpımını bulalım, bunun için üçüncü dereceden bir determinant oluşturuyoruz, A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)bir B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)AC= B, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)bir D= C.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ B x​ Cx​ ​ ay​ By​ Cy​ ​ az​ Bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Yani, bir tetrahedronun hacmi:

$V=61\cdot |$

Yanıt vermek

$44.8\text{santimetre3 .}$

Kenarı boyunca bir izohedral tetrahedronun hacmi için formül

Bu formül yalnızca, tüm yüzleri aynı düzgün üçgenler olan bir dörtyüzlü dörtyüzlü, yani bir dörtyüzlü hacmini hesaplamak için geçerlidir.

Bir izohedral tetrahedron hacmi

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

bira tetrahedronun kenarının uzunluğudur.

Görev 2

Kenarı şuna eşit olarak verilirse bir tetrahedronun hacmini bulun. $11\text{santimetre.}$

Çözüm

$a=11$

Yerine geçmek bira bir tetrahedronun hacmi için formüle:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{santimetre3}}}}}$

Yanıt vermek

$156.8\text{santimetre3 .}$