Bir sayı sonsuza bölünürse bölüm sıfıra mı yaklaşır? İçeriye devam ettim ve en iyi cevabı aldım

Yanıtlayan: Olenka[acemi]
hepsi 0
Krab Вark
Kahin
(56636)
HAYIR. Tam sıfır. Bölen sonsuza yaklaştıkça bölüm sıfıra yaklaşacaktır. Ve eğer sonsuza giden bir sayıya değil, sonsuzluğun kendisine bölersek (bu arada, daha kesin olmak gerekirse, resmi olarak bir sayı olarak kabul edilmez, ancak sayıların belirlenmesini tamamlayan özel bir sembol olarak kabul edilir) - tam olarak sıfır.

Yanıtlayan: Iugeus Vladimir[guru]
Sıfırı bölseniz de, herhangi bir sayıyla çarpsanız da yine sıfır olur!

Yanıtlayan: 1 23 [guru]
eğer bazı saçmalıklar sıfıra yöneliyorsa, o zaman onu sonlu bir şeyle (bir sayı veya sınırlı bir fonksiyon) çarpmak anlamsızdır, çünkü her şey sıfıra yönelir.
ama bunu sonsuza uzanan bir şeyle çarparsanız seçenekler ortaya çıkabilir.

Yanıtlayan: Krab Вark[guru]
Herhangi bir sayı sonsuza bölündüğünde sonuç sıfırdır. Tam sıfır, “sıfıra doğru çabalamak” yok. Ve sonra, hangi sayıyla çarparsanız çarpın, sıfır. Ve sıfırın sıfırdan başka bir sayıya bölünmesinin sonucu sıfır olacaktır, ancak sıfırın sıfıra bölünmesiyle sonuç tanımlanmaz, çünkü herhangi bir sayı bölüm olarak uygun olacaktır.

Sınırları çözme yöntemleri. Belirsizlikler.
Fonksiyonun büyüme sırası. Değiştirme yöntemi

Örnek 4

Sınırı bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnektir. Önerilen örnekte yine belirsizlik vardır (kökten daha yüksek bir büyüme düzeyinde).

Eğer "x" "eksi sonsuza" yöneliyorsa

“Eksi sonsuzluk” hayaleti uzun zamandır bu yazıda dolaşıyordu. Polinomların limitlerini ele alalım; Çözüm ilkeleri ve yöntemleri, bir dizi nüans dışında dersin ilk bölümündekiyle tamamen aynı olacaktır.

Pratik görevleri çözmek için gerekli olacak 4 püf noktasına bakalım:

1) Limiti hesaplayın

Limitin değeri, en yüksek büyüme derecesine sahip olduğundan yalnızca vadeye bağlıdır. Eğer öyleyse modül olarak sonsuz büyük Negatif sayının EVEN kuvvetine oranı, bu durumda – dördüncüde “artı sonsuza” eşittir: . Sabit (“iki”) pozitif, Bu yüzden:

2) Limiti hesaplayın

İşte yine son derece eşit, Bu yüzden: . Ama önünde bir “eksi” var ( olumsuz sabit –1), dolayısıyla:

3) Limiti hesaplayın

Sınır değeri yalnızca bağlıdır. Okuldan hatırladığınız gibi, “eksi” tek derecenin altından “dışarı atlıyor”, yani modül olarak sonsuz büyük Negatif sayının tek kuvvetine oranı bu durumda "eksi sonsuz"a eşittir: .
Sabit (“dört”) pozitif, Araç:

4) Limiti hesaplayın

Köyün ilk adamı yine garip derece, ayrıca göğüste olumsuz sabit, bunun anlamı: Dolayısıyla:
.

Örnek 5

Sınırı bulun

Yukarıdaki noktaları kullanarak burada bir belirsizlik olduğu sonucuna varıyoruz. Pay ve payda aynı büyüme düzeyindedir; bu, limitte sonucun sonlu bir sayı olacağı anlamına gelir. Tüm kızartmaları atarak cevabı bulalım:

Çözüm önemsiz:

Örnek 6

Sınırı bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve şimdi belki de en incelikli durum:

Örnek 7

Sınırı bulun

Öne çıkan terimlere baktığımızda burada bir belirsizlik olduğu kanaatine varıyoruz. Pay, paydadan daha yüksek bir büyüme derecesine sahiptir, dolayısıyla limitin sonsuza eşit olduğunu hemen söyleyebiliriz. Peki nasıl bir sonsuzluk, “artı” ya da “eksi”? Teknik aynı; pay ve paydadaki küçük şeylerden kurtulalım:

Biz karar veriyoruz:

Pay ve paydayı şuna bölün:

Örnek 15

Sınırı bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Değişken değiştirme konusuyla ilgili birkaç ilginç örnek daha:

Örnek 16

Sınırı bulun

Limitin yerine birliği koyarken belirsizlik elde edilir. Değişkeni değiştirmek zaten kendini belli ediyor, ancak önce formülü kullanarak teğeti dönüştürüyoruz. Aslında neden bir teğete ihtiyacımız var?

Bu nedenle şunu unutmayın. Tamamen net değilse sinüs değerlerine bakın. trigonometrik tablo. Böylece çarpandan hemen kurtuluruz, ayrıca daha tanıdık olan 0:0 belirsizliğini elde ederiz. Limitimiz sıfıra doğru yönelse iyi olurdu.

Değiştirelim:

Eğer öyleyse

Kosinüs altında "x" bulunur ve bunun da "te" ile ifade edilmesi gerekir.
Değiştirmeden şunu ifade ediyoruz: .

Çözümü tamamlıyoruz:

(1) Oyuncu değişikliğini gerçekleştiriyoruz

(2) Kosinüsün altındaki parantezleri açın.

(4) Organize etmek ilk harika sınır, payı yapay olarak ve karşılıklı sayıyla çarpın.

Bağımsız çözüm için görev:

Örnek 17

Sınırı bulun

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bunlar sınıflarında basit görevlerdi; pratikte her şey daha da kötü olabilir ve ayrıca azaltma formülleriçeşitli yöntemler kullanmanız gerekir trigonometrik formüller ve diğer hileler. Karmaşık Limitler makalesinde birkaç gerçek örneğe baktım =)

Tatil arifesinde nihayet bir başka ortak belirsizlikle durumu netleştireceğiz:

Belirsizliğin ortadan kaldırılması “bir üzeri sonsuzluğun gücü”

Bu belirsizlik “sunulmuştur” ikinci harika sınır ve bu dersin ikinci bölümünde çoğu durumda pratikte bulunan standart çözüm örneklerine çok detaylı bir şekilde baktık. Şimdi üslü resim tamamlanacak, ayrıca dersin son görevleri "sahte" limitlere ayrılacak, burada 2. harika limiti uygulamak gerekli gibi görünüyor, ancak bu hiç de öyle değil dava.

2. dikkate değer limit için iki çalışma formülünün dezavantajı, argümanın "artı sonsuza" veya sıfıra yönelmesi gerektiğidir. Peki ya argüman farklı bir sayıya yöneliyorsa?

Evrensel bir formül imdada yetişiyor (ki bu aslında ikinci dikkate değer sınırın bir sonucudur):

Belirsizlik şu formül kullanılarak ortadan kaldırılabilir:

Bir yerlerde köşeli parantezlerin ne anlama geldiğini zaten açıkladığımı düşünüyorum. Özel bir şey yok, parantez sadece parantezdir. Genellikle matematiksel gösterimi daha net vurgulamak için kullanılırlar.

Formülün önemli noktalarını vurgulayalım:

1) Yaklaşık sadece belirsizlikle ilgili ve başka hiçbir şeyle ilgili değil.

2) “x” argümanı şu yönde olabilir: keyfi değer(ve sadece sıfıra ya da değil), özellikle “eksi sonsuza” ya da herhangi biri sonlu sayı.

Bu formülü kullanarak dersteki tüm örnekleri çözebilirsiniz. Harika Sınırlar 2. dikkate değer limite aittir. Örneğin limiti hesaplayalım:

Bu durumda ve formüle göre :

Doğru, bunu yapmanızı önermiyorum; gelenek, eğer uygulanabiliyorsa, çözümün hala "olağan" tasarımını kullanmaktır. Fakat formülü kullanarak kontrol etmek çok uygundur 2. dikkat çekici sınıra kadar "klasik" örnekler.

Pek çok kişi çoğu zaman sıfıra bölmenin neden kullanılamayacağını merak ediyor? Bu yazımızda bu kuralın nereden geldiği ve sıfır ile hangi işlemlerin yapılabileceği hakkında çok detaylı konuşacağız.

Temas halinde

Sıfır en ilginç sayılardan biri olarak adlandırılabilir. Bu sayının hiçbir anlamı yok Kelimenin tam anlamıyla boşluk demektir. Ancak herhangi bir sayının yanına sıfır konulursa bu sayının değeri birkaç kat daha büyük olacaktır.

Sayının kendisi çok gizemli. Antik Maya halkı tarafından kullanılmıştır. Mayalar için sıfır “başlangıç” anlamına geliyordu ve takvim günleri de sıfırdan başlıyordu.

Çok ilginç bir gerçek, sıfır işareti ile belirsizlik işaretinin benzer olmasıdır. Mayalar bununla sıfırın belirsizlikle aynı işaret olduğunu göstermek istediler. Avrupa'da sıfır tanımı nispeten yakın zamanda ortaya çıktı.

Sıfırla ilgili yasağı da pek çok kişi biliyor. Bunu herkes söyleyecek sıfıra bölemezsin. Okuldaki öğretmenler bunu söyler ve çocuklar da genellikle onların sözlerine inanırlar. Genellikle çocuklar ya bunu bilmekle ilgilenmezler ya da önemli bir yasağı duyup hemen "Neden sıfıra bölemiyorsun?" diye sorarlarsa ne olacağını bilirler. Ancak yaşınız ilerledikçe ilginiz uyanıyor ve bu yasağın nedenlerini daha fazla öğrenmek istiyorsunuz. Ancak makul kanıtlar var.

Sıfır ile yapılan işlemler

Öncelikle sıfır ile hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini belirlemeniz gerekir. Var çeşitli eylem türleri:

• Ek;
• Çarpma işlemi;
• Çıkarma;
• Bölme (sayıya göre sıfır);
• Üs alma.

Önemli! Toplama sırasında herhangi bir sayıya sıfır eklerseniz bu sayı aynı kalacak ve sayısal değeri değişmeyecektir. Herhangi bir sayıdan sıfırı çıkardığınızda da aynı şey olur.

Çarpma ve bölme işlemleri biraz farklıdır. Eğer herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmak, o zaman çarpım da sıfır olacaktır.

Bir örneğe bakalım:

Ek olarak şunu yazalım:

Toplamda beş sıfır var, yani öyle görünüyor ki

Bir ile sıfırı çarpmayı deneyelim. Sonuç da sıfır olacaktır.

Sıfır, kendisine eşit olmayan herhangi bir sayıya da bölünebilir. Bu durumda sonuç, değeri de sıfır olacak olan olacaktır. Aynı kural negatif sayılar için de geçerlidir. Sıfır negatif bir sayıya bölünürse sonuç sıfırdır.

Ayrıca herhangi bir sayı oluşturabilirsiniz sıfır dereceye kadar. Bu durumda sonuç 1 olacaktır. “Sıfır üzeri sıfır” ifadesinin kesinlikle anlamsız olduğunu unutmamak gerekir. Sıfırın herhangi bir kuvvetine ulaşmaya çalışırsanız sıfır elde edersiniz. Örnek:

Çarpma kuralını kullanırız ve 0 alırız.

Peki sıfıra bölmek mümkün mü?

Yani asıl soruya geliyoruz. Sıfıra bölmek mümkün mü? hiç mi? Ve sıfır içeren diğer tüm eylemlerin mevcut olduğu ve uygulandığı göz önüne alındığında, neden bir sayıyı sıfıra bölemiyoruz? Bu soruyu cevaplamak için yüksek matematiğe yönelmek gerekir.

Kavramın tanımıyla başlayalım, sıfır nedir? Okul öğretmenleri sıfırın hiçbir şey olmadığını söylüyor. Boşluk. Yani 0 tutamacınız olduğunu söylediğinizde, hiç tutamacınız olmadığı anlamına gelir.

Yüksek matematikte “sıfır” kavramı daha geniştir. Bu kesinlikle boşluk anlamına gelmez. Burada sıfıra belirsizlik denir çünkü biraz araştırma yaparsak, sıfırı sıfıra böldüğümüzde, sıfır olmayabilecek başka herhangi bir sayıyla sonuçlanabileceğimiz ortaya çıkar.

Okulda okuduğunuz basit aritmetik işlemlerin birbirine pek eşit olmadığını biliyor muydunuz? En temel eylemler şunlardır: toplama ve çarpma.

Matematikçiler için “” ve “çıkarma” kavramları mevcut değildir. Diyelim ki beşten üçü çıkarırsanız geriye iki kalır. Çıkarma işlemi böyle görünür. Ancak matematikçiler bunu şu şekilde yazarlardı:

Böylece bilinmeyen farkın, 5 elde etmek için 3'e eklenmesi gereken belirli bir sayı olduğu ortaya çıkıyor. Yani hiçbir şey çıkarmanıza gerek yok, sadece uygun sayıyı bulmanız gerekiyor. Bu kural toplama işlemi için geçerlidir.

ile işler biraz farklı çarpma ve bölme kuralları. Sıfırla çarpmanın sıfır sonuca yol açtığı bilinmektedir. Örneğin, eğer 3:0=x ise girişi tersine çevirirseniz 3*x=0 elde edersiniz. Ve 0 ile çarpılan bir sayı çarpımda sıfır verecektir. Sıfır ile çarpımda sıfırdan başka değer verecek bir sayının olmadığı ortaya çıktı. Bu, sıfıra bölmenin anlamsız olduğu, yani bizim kuralımıza uyduğu anlamına gelir.

Peki sıfırın kendisini kendisine bölmeye çalışırsanız ne olur? Belirsiz bir sayıyı x olarak alalım. Ortaya çıkan denklem 0*x=0'dır. Çözülebilir.

X yerine sıfır almaya çalışırsak 0:0=0 elde ederiz. Mantıklı görünüyor mu? Ancak x yerine başka bir sayıyı (örneğin 1) almaya çalışırsak 0:0=1 sonucunu elde ederiz. Başka bir sayı alırsak da aynı durum olur ve bunu denklemin içine koy.

Bu durumda başka herhangi bir sayıyı faktör olarak alabileceğimiz ortaya çıkıyor. Sonuç sonsuz sayıda farklı sayı olacaktır. Bazen yüksek matematikte 0'a bölmek hala mantıklıdır, ancak genellikle belirli bir koşul ortaya çıkar, bu sayede yine de uygun bir sayı seçebiliriz. Bu eyleme "belirsizliğin açıklanması" denir. Sıradan aritmetikte, kümeden tek bir sayı seçemeyeceğimiz için sıfıra bölme yine anlamını yitirecektir.

Önemli! Sıfırı sıfıra bölemezsiniz.

Sıfır ve sonsuzluk

Sonsuzluk yüksek matematikte çok sık bulunabilir. Okul çocukları için sonsuzlukla ilgili matematiksel işlemlerin de olduğunu bilmek önemli olmadığından, öğretmenler sıfıra bölmenin neden imkansız olduğunu çocuklara düzgün bir şekilde açıklayamazlar.

Öğrenciler temel matematik sırlarını ancak enstitünün ilk yılında öğrenmeye başlarlar. Yüksek matematik, çözümü olmayan geniş bir problemler kompleksi sağlar. En ünlü problemler sonsuzlukla ilgili problemlerdir. Kullanılarak çözülebilirler matematiksel analiz.

Sonsuzluğa da uygulanabilir temel matematik işlemleri: toplama, sayıyla çarpma. Genellikle çıkarma ve bölme işlemlerini de kullanırlar, ancak sonuçta yine de iki basit işleme ulaşırlar.

Ama ne olacak Eğer denersen:

• Sonsuzluk sıfırla çarpılır. Teorik olarak herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmaya çalışırsak sıfır elde ederiz. Ancak sonsuzluk belirsiz bir sayı kümesidir. Bu kümeden tek bir sayı seçemediğimiz için ∞*0 ifadesinin çözümü yoktur ve kesinlikle anlamsızdır.
• Sıfırın sonsuza bölümü. Yukarıdaki hikayenin aynısı burada da yaşanıyor. Tek bir sayı seçemiyoruz, bu da neye böleceğimizi bilmediğimiz anlamına geliyor. İfadenin hiçbir anlamı yok.

Önemli! Sonsuzluk belirsizlikten biraz farklıdır! Sonsuzluk belirsizlik türlerinden biridir.

Şimdi sonsuzluğu sıfıra bölmeyi deneyelim. Görünüşe göre belirsizlik olması gerekiyor. Ama bölmenin yerine çarpmayı koyarsak çok kesin bir cevap alırız.

Örneğin: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Bu şekilde çıkıyor matematiksel paradoks.

Neden sıfıra bölünemediğinin cevabı

Sıfıra bölmeye çalışan düşünce deneyi

Çözüm

Artık sıfırın, tek bir işlem dışında gerçekleştirilen hemen hemen tüm işlemlere tabi olduğunu biliyoruz. Sonuç belirsizlik diye sıfıra bölemezsiniz. Ayrıca sıfır ve sonsuzla işlem yapmayı da öğrendik. Bu tür eylemlerin sonucu belirsizlik olacaktır.

Temel temel fonksiyonları çözdük.

Daha karmaşık türdeki işlevlere geçtiğimizde, anlamı tanımlanmamış ifadelerin görünümüyle mutlaka karşılaşacağız. Bu tür ifadelere denir belirsizlikler.

Her şeyi listeleyelim ana belirsizlik türleri: sıfır bölü sıfır (0'a 0), sonsuz bölü sonsuza, sıfır çarpı sonsuzluk, sonsuz eksi sonsuzluk, bir üzeri sonsuz, sıfır üzeri sıfır, sonsuz üzeri sıfır.

DİĞER TÜM BELİRSİZLİK İFADELERİ TAMAMEN ÖZEL SONLU VEYA SONSUZ BİR DEĞER DEĞİLDİR VE ALINIR.

Belirsizliği ortaya çıkarın izin verir:

• fonksiyon tipinin basitleştirilmesi (kısaltılmış çarpma formülleri, trigonometrik formüller kullanılarak ifadelerin dönüştürülmesi, eşlenik ifadelerle çarpma ve ardından azaltma vb.);
• dikkate değer sınırların kullanımı;
• başvuru L'Hopital'in kuralları ;
• kullanım Sonsuz küçük bir ifadeyi eşdeğeriyle değiştirmek(eşdeğer sonsuz küçüklerden oluşan bir tablo kullanarak).

Belirsizlikleri şu şekilde gruplayalım: belirsizlik tablosu. Her bir belirsizlik türü için, bunun açıklanmasına yönelik bir yöntemi (sınır bulma yöntemini) ilişkilendiririz.

Bu tabloyla birlikte temel temel fonksiyonların limit tablosu herhangi bir sınır bulurken ana araçlarınız olacaktır.

Değeri değiştirdikten hemen sonra her şeyin yoluna girdiği ve belirsizliğin ortaya çıkmadığı birkaç örnek verelim.

Örnek.

Limiti hesapla

Çözüm.

Değeri değiştirin:

Ve hemen bir cevap aldık.

Cevap:

Örnek.

Limiti hesapla

Çözüm.

Üstel kuvvet fonksiyonumuzun tabanına x=0 değerini koyarız:

Yani limit şu şekilde yeniden yazılabilir:

Şimdi göstergeye bir göz atalım. Bu bir güç fonksiyonudur. Hadi dönelim limit tablosu Negatif üslü güç fonksiyonları için. Oradan elimizde Ve bu nedenle yazabiliriz .

Buna göre limitimiz şu şekilde yazılacaktır:

Tekrar limit tablosuna dönüyoruz, ancak tabanı birden büyük olan üstel fonksiyonlar için:

Cevap:

Ayrıntılı çözümlerle örneklere bakalım İfadeleri dönüştürerek belirsizlikleri ortaya çıkarma.

Çoğu zaman limit işaretinin altındaki ifadenin belirsizliklerden kurtulmak için hafifçe dönüştürülmesi gerekir.

Örnek.

Limiti hesapla

Çözüm.

Değeri değiştirin:

Belirsizliğe ulaştık. Bir çözüm yöntemi seçmek için belirsizlik tablosuna bakıyoruz. İfadeyi basitleştirmeye çalışalım.

Cevap:

Örnek.

Limiti hesapla

Çözüm.

Değeri değiştirin:

Belirsizliğe geldik (0'dan 0'a). Bir çözüm yöntemi seçmek için belirsizlik tablosuna bakarız ve ifadeyi basitleştirmeye çalışırız. Hem pay hem de paydayı, paydaya eşlenik ifadeyle çarpalım.

Payda için eşlenik ifade şöyle olacaktır:

Kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) uygulayabilmek ve ardından elde edilen ifadeyi azaltabilmek için paydayı çarptık.

Bir dizi dönüşümün ardından belirsizlik ortadan kalktı.

Cevap:

YORUM: Bu türdeki limitler için eşlenik ifadelerle çarpma yöntemi tipiktir, bu nedenle bu yöntemi kullanmaktan çekinmeyin.

Örnek.

Limiti hesapla

Çözüm.

Değeri değiştirin:

Belirsizliğe ulaştık. Bir çözüm yöntemi seçmek için belirsizlik tablosuna bakarız ve ifadeyi basitleştirmeye çalışırız. x = 1'de hem pay hem de payda sıfır olduğundan bu ifadeler azaltılabilirse (x-1) belirsizlik ortadan kalkacaktır.

Payı çarpanlarına ayıralım:

Paydayı çarpanlara ayıralım:

Limitimiz şu şekilde olacaktır:

Dönüşümün ardından belirsizlik ortaya çıktı.

Cevap:

Kuvvet ifadelerinden sonsuzdaki limitleri ele alalım. Kuvvet ifadesinin üsleri pozitif ise sonsuzdaki limit sonsuzdur. Üstelik en büyük derece birincil öneme sahiptir; gerisi atılabilir.

Örnek.

Örnek.

Limit işaretinin altındaki ifade bir kesir ise ve hem pay hem de payda kuvvet ifadeleriyse (m payın kuvveti ve n paydanın kuvvetidir), o zaman sonsuzdan sonsuza formun belirsizliği olduğunda bu durumda ortaya çıkar belirsizlik ortaya çıkıyor pay ve paydayı ikiye bölerek

Örnek.

Limiti hesapla