Alan teorisi. Bir vektör alanının tanımı. Gradyan alanı. Potansiyel alanlar, potansiyellik koşulları Verilen bir potansiyele göre bir vektör alanı bulun
Alan teorisi
Ayrıca şöyle bilinir vektör analizi. Ve bazıları için alan teorisi olarak bilinen vektör analizi =) Sonunda bu ilginç konuya ulaştık! Yüksek matematiğin bu bölümüne basit denemez, ancak gelecekteki makalelerde iki hedefe ulaşmaya çalışacağım:
a) herkesin konuşmanın neyle ilgili olduğunu anlaması için;
b) ve böylece "aptallar" en azından basit şeyleri çözmeyi öğrenirler - en azından yarı zamanlı öğrencilere sunulan görevler düzeyinde.
Tüm materyaller popüler bir tarzda sunulacak ve daha ayrıntılı ve eksiksiz bilgiye ihtiyacınız varsa, örneğin Fichtenholtz'un 3. cildini alabilir veya Wiki'ye bakabilirsiniz.
Ve hemen başlığı deşifre edelim. Teoride her şeyin açık olduğunu düşünüyorum - sitenin en iyi geleneklerinde temellerini analiz edeceğiz ve uygulamaya odaklanacağız. Peki “alan” kelimesini neyle ilişkilendiriyorsunuz?
Çim saha, futbol sahası... Daha fazla? Faaliyet alanı, deney alanı. Selam hümanistler! ...okuldaki bir kurstan mı? Elektrik alanı, manyetik, elektromanyetik..., tamam. Kendimizi içinde bulduğumuz Dünya'nın çekim alanı. Harika! Peki saha için bunu kim söyledi? geçerli Ve Karışık sayılar? ...bazı canavarlar burada toplandı! =) Çok şükür cebir zaten gecti.
Sonraki derslerde belirli bir kavramla tanışacağız alanlar, hayattan spesifik örnekler ve ayrıca vektör analizinin tematik problemlerinin nasıl çözüleceğini öğrenir. Alan teorisi, doğru tahmin ettiğiniz gibi, bir ormanın, bir nehrin, bir gölün, bir köy evinin olduğu bir alanda - doğada en iyi şekilde incelenir ve herkesi sıcak yaz gerçekliğine olmasa da kendilerini kaptırmaya davet ediyorum, sonra hoş anılarda:
Bugün ele alınan anlamda alanlar skaler Ve vektör ve onların "yapı taşları" ile başlayacağız.
İlk önce, skaler. Çoğu zaman bu terim yanlışlıkla şu şekilde tanımlanır: sayı. Hayır, işler biraz farklı: skaler her değeri ifade edilebilen bir miktardır sadece bir numara. Fizikte pek çok örnek vardır: uzunluk, genişlik, alan, hacim, yoğunluk, sıcaklık vb. Bunların hepsi skaler büyüklüklerdir. Ve bu arada kütle de bir örnektir.
İkincisi, vektör. Derste bir vektörün cebirsel tanımına değinmiştim. doğrusal dönüşümler ve onun özel enkarnasyonlarından biri Bilmemek kesinlikle imkansız=) Tipik vektör ifade edilir iki veya daha fazla sayılar(koordinatlarınızla birlikte). Ve tek boyutlu bir vektör için bile sadece bir numara yeterli değil– çünkü vektörün de bir yönü vardır. Ve vektör ise uygulama noktası tek değil. Vektörler fiziksel kuvvet alanlarını, hızı ve diğer birçok niceliği karakterize eder.
Artık alüminyum salatalık hasadına başlayabilirsiniz:
Skaler alan
Eğer her biri bir nokta uzay alanları belirli bir numara atanır (genellikle gerçek), sonra bu alanda verildiğini söylüyorlar skaler alan.
Örneğin yerden çıkan bir dikmeyi düşünün. ışın. Netlik sağlamak için bir kürek sokun =) Ne skaler alanlar bu kirişte sorabilir miyim? Aklıma ilk gelen şey yükseklik alanı– kirişin her noktasına zemin seviyesinden yüksekliği atandığında. Veya örneğin, atmosferik basınç alanı– burada ışının her noktası, belirli bir noktadaki atmosferik basıncın sayısal değerine karşılık gelir.
Şimdi göle yaklaşalım ve zihinsel olarak yüzeyinin üzerine bir uçak çizelim. Düzlemin "su" parçasının her noktası gölün derinliği ile ilişkiliyse, lütfen skaler alan verilir. Aynı noktalarda, örneğin su yüzeyinin sıcaklığı gibi diğer skaler büyüklükleri de dikkate alabilirsiniz.
Bir skaler alanın en önemli özelliği onun değişmezlik Koordinat sistemine göre. Bunu insan diline çevirirsek, kürek / göle hangi taraftan bakarsak bakalım - skaler bir alan (yükseklik, derinlik, sıcaklık vb.) bu değişmeyecek. Üstelik skaler alan, örneğin derinlik, başka bir yüzeye, örneğin uygun bir yüzeye ayarlanabilir. yarımküre veya doğrudan su yüzeyinde. Neden? Yarımkürenin gölün üzerinde yer alan her noktasına bir sayı atamak mümkün değil mi? Sadece kolaylık olması açısından düzlüğü önerdim.
Bir koordinat daha ekleyelim. Elinize bir taş alın. Bu taşın her noktası kendisine atanabilir. fiziksel yoğunluk. Ve yine - onu hangi koordinat sisteminde ele alırsak alalım, elimizde nasıl çevirirsek çevirelim - skaler yoğunluk alanı değişmeden kalacaktır. Ancak bazı kişiler bu gerçeğe itiraz edebilir =) Felsefe taşı böyledir.
Tamamen matematiksel bir bakış açısından (fiziksel veya diğer özel anlamın ötesinde) Skaler alanlar geleneksel olarak “sıradan” fonksiyonlarımız tarafından belirlenir bir , iki , üç ve daha fazla değişken. Aynı zamanda alan teorisinde bu fonksiyonların geleneksel nitelikleri yaygın olarak kullanılmaktadır. ihtisas, seviye çizgileri ve yüzeyler.
Üç boyutlu uzayda her şey benzerdir:
– burada, uzayda izin verilen her nokta, belirli bir noktada başlayan bir vektörle ilişkilendirilir. “Kabul edilebilirlik”, fonksiyonların tanım alanlarına göre belirlenir ve bunların her biri tüm “X”, “E”, “Z” için tanımlanmışsa, o zaman vektör alanı tüm uzayda belirtilecektir.
! Tanımlar : vektör alanları ayrıca veya harfiyle ve bileşenleri de sırasıyla veya ile gösterilir.
Yukarıdakilerden, en azından matematiksel olarak, skaler ve vektör alanların uzay boyunca tanımlanabileceği uzun zamandır açıktır. Ancak yine de karşılık gelen fiziksel örnekler konusunda dikkatliydim çünkü aşağıdaki gibi kavramlar sıcaklık, yer çekimi(veya diğerleri) sonuçta bir yerde hiç mevcut olmayabilir. Ama bu artık korku değil, bilim kurgu =) Ve sadece bilim kurgu değil. Çünkü rüzgar kural olarak taşların içinde esmez.
Bazı vektör alanlarının (aynı hız alanları) zamanla hızla değişir ve bu nedenle birçok fiziksel model ek bir bağımsız değişkeni dikkate alır. Bu arada, aynı şey skaler alanlar için de geçerlidir - aslında sıcaklık da zaman içinde "dondurulmaz".
Ancak matematik çerçevesinde kendimizi üçlüyle sınırlayacağız ve bu tür alanlar "buluştuğunda" zaman içinde sabit bir anı veya alanın değişmediği bir zamanı ima edeceğiz.
Vektör çizgileri
Skaler alanlar tanımlanmışsa çizgiler ve düz yüzeyler, o zaman vektör alanının "şekli" karakterize edilebilir vektör çizgileri. Muhtemelen pek çok kişi bu okul deneyimini hatırlıyor: Bir kağıdın altına bir mıknatıs yerleştirilir ve üstüne (görelim!) demir talaşları dökülüyor, sadece alan çizgileri boyunca "sıralanan".
Bunu daha basit bir şekilde formüle etmeye çalışacağım: Bir vektör çizgisinin her noktası başlangıçtır alan vektör belirli bir noktada teğet üzerinde bulunan: 
Elbette, genel durumda çizgi vektörleri farklı uzunluklara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki şekilde soldan sağa hareket ederken uzunlukları artar - burada örneğin bir mıknatısa yaklaştığımızı varsayabiliriz. Kuvvetli fiziksel alanlarda vektör çizgileri denir - Güç hatları. Başka, daha basit bir örnek Dünya'nın çekim alanıdır: alan çizgileri ışınlar başlangıç gezegenin merkezinde ve vektörler yer çekimi doğrudan ışınların üzerinde bulunur.
Hız alanlarının vektör çizgilerine denir mevcut çizgiler. Tekrar bir toz fırtınası hayal edin; toz parçacıkları hava molekülleriyle birlikte bu çizgiler boyunca hareket ediyor. Benzer şekilde bir nehirde de sıvı moleküllerinin (sadece değil) hareket ettiği yörüngeler, kelimenin tam anlamıyla akıcı çizgilerdir. Genel olarak alan teorisine ait birçok kavram, birden çok kez karşılaşacağımız hidrodinamikten gelmektedir.
Sıfırdan farklı bir fonksiyon tarafından "düz" bir vektör alanı verilirse, alan çizgileri şuradan bulunabilir: diferansiyel denklem. Bu denklemin çözümü şunu verir: aile düzlemdeki vektör çizgileri. Bazen görevlerde, genellikle zorluğa neden olmayan bu tür birkaç çizgi çizmek gerekebilir - "tse"nin birkaç uygun değerini seçtik, bazılarını çizdik abartılar, ve sipariş et.
Uzaysal vektör alanıyla ilgili durum daha ilginçtir. Alan çizgileri ilişkiler tarafından belirlenir. Burada karar vermemiz gerekiyor iki diferansiyel denklem sistemi ve iki aile al uzaysal yüzeyler. Bu ailelerin kesişim çizgileri uzaysal vektör çizgileri olacaktır. Tüm bileşenler (“pe”, “ku”, “er”) sıfır değilse, o zaman birkaç teknik çözüm vardır. Bu yöntemlerin hepsini dikkate almayacağım. (çünkü makale müstehcen boyutlara ulaşacak), ancak vektör alanının bileşenlerinden birinin sıfıra eşit olduğu genel bir özel duruma odaklanacağım. Tüm seçenekleri bir kerede listeleyelim:
eğer öyleyse sistemin çözülmesi gerekiyor;
eğer öyleyse sistem;
ve eğer öyleyse .
Ve bazı nedenlerden dolayı uzun süredir pratik yapmıyoruz:
örnek 1
Vektör alanının alan çizgilerini bulun
Çözüm: bu problemde, bu yüzden çözüyoruz sistem:
Anlamı çok basittir. Dolayısıyla, eğer bir fonksiyon göl derinliğinin skaler alanını belirtiyorsa, o zaman karşılık gelen vektör fonksiyonu kümeyi tanımlar. özgür olmayan her biri bir yönü gösteren vektörler hızlı yükseliş bir noktada dip ve bu yükselişin hızı.
Bir fonksiyon uzayın belirli bir bölgesinin skaler sıcaklık alanını belirtiyorsa, karşılık gelen vektör alanı yönü ve hızı karakterize eder. en hızlı ısınma Bu alanın her noktasında boşluk var.
Genel bir matematik problemine bakalım:
Örnek 3
Bir skaler alan ve bir nokta verildiğinde. Gerekli:
1) skaler alanın gradyan fonksiyonunu oluşturun;
hangisi eşittir potansiyel fark .
Yani potansiyel alanda rotanın yalnızca başlangıç ve bitiş noktaları önemlidir. Ve eğer bu noktalar çakışırsa, kapalı bir kontur boyunca kuvvetlerin toplam çalışması sıfıra eşit olacaktır:
Yerden bir tüy alıp başlangıç noktasına teslim edelim. Bu durumda hareketimizin gidişatı yine keyfidir; Hatta kalemi düşürebilir, tekrar alabilirsiniz vb.
Nihai sonuç neden sıfır?
Tüy “a” noktasından “b” noktasına mı düştü? Düştü. Yer çekimi kuvveti işi yaptı.
Kalem "a" noktasını geriye mi vurdu? Anladım. Bu, tamamen aynı işin yapıldığı anlamına gelir yer çekimine karşı ve hangi "maceraların" ve hangi güçlerin olduğu önemli değil - rüzgar onu geri püskürtse bile.
Not : Fizikte eksi işareti ters yönü simgelemektedir.
Dolayısıyla kuvvetlerin yaptığı toplam iş sıfırdır: 
Daha önce de belirttiğim gibi, fiziksel ve sıradan iş kavramları farklıdır. Ve bu fark, bir tüyü, hatta bir tuğlayı değil, örneğin bir piyanoyu iyi anlamanıza yardımcı olacaktır :)
Birlikte piyanoyu kaldırın ve merdivenlerden aşağı indirin. Onu sokağın aşağısına sürükleyin. Dilediğiniz kadar ve dilediğiniz yerde. Ve eğer kimse aptalı çağırmazsa, enstrümanı geri getir. Çalıştın mı? Kesinlikle. Yedinci tere kadar. Ancak fizik açısından bakıldığında hiçbir çalışma yapılmadı.
"Potansiyel fark" ifadesi, potansiyel elektrostatik alan hakkında daha fazla konuşmak için cazip gelebilir, ancak okuyucularınızı şok etmek hiç de insani değil =) Üstelik sayısız örnek var, çünkü herhangi bir gradyan alanı potansiyeldir, bunların bir düzinesi bir kuruştur.
Ancak "bir düzine kuruş" demek kolaydır: burada bize bir vektör alanı veriliyor - Potansiyel olup olmadığı nasıl belirlenir?
Vektör alanı rotoru
Ya da o girdap vektörlerle de ifade edilen bileşen.
Tüyü tekrar elimize alalım ve dikkatlice nehrin aşağısına gönderelim. Deneyin saflığı açısından homojen ve merkeze göre simetrik olduğunu varsayacağız. Aks ayağa kalkıyor.
Hadi düşünelim Vektör alanı mevcut hız ve su yüzeyinde tüyün merkezinin bulunduğu belirli bir nokta.
Eğer içindeyse Bu noktada kalem saat yönünün tersine döner, ardından onu giden kalemle eşleştiririz özgür olmayan yukarı doğru vektör. Aynı zamanda, kalem ne kadar hızlı dönerse, bu vektör o kadar uzun olur... nedense bana güneşin parlak ışınlarında çok siyah görünüyor... Dönme saat yönünde gerçekleşirse, vektör aşağıya "bakar". Kalem hiç dönmüyorsa vektör sıfırdır.
Tanışın - işte bu rotor vektör vektör hız alanı sıvının "dönme" yönünü karakterize eder. Bu noktada ve kalemin açısal dönüş hızı (ancak akımın yönü veya hızı değil!).
Nehrin tüm noktalarının (“su altında” olanlar dahil) bir döner vektöre sahip olduğu kesinlikle açıktır. akım hızının vektör alanı yeni bir vektör alanı tanımladık!
Bir vektör alanı bir fonksiyon tarafından veriliyorsa, rotor alanı aşağıdaki şekilde verilir: vektör işlevi:
Ayrıca eğer vektörler rotor alanı nehirler büyüktür ve yön değiştirme eğilimindedirler, bu kesinlikle dolambaçlı ve huzursuz bir nehirden bahsettiğimiz anlamına gelmez (örneğe geri dönelim). Bu durum düz bir kanalda da gözlemlenebilir; örneğin hız ortada daha yüksek ve kıyıların yakınında daha düşük olduğunda. Yani kalemin dönüşü oluşturulur farklı akış hızları V komşu güncel çizgiler.
Öte yandan, eğer rotor vektörleri kısaysa, o zaman bu “sarmal” bir dağ nehri olabilir! Önemli olan bitişik akım hatları akımın kendisinin hızı (hızlı veya yavaş) biraz farklılık gösterdi.
Ve son olarak yukarıda sorduğumuz soruya cevap verelim: potansiyel alanın herhangi bir noktasında rotoru sıfırdır:
Daha doğrusu sıfır vektörü.
Potansiyel alan da denir dönmeyen alan.
Elbette "ideal" bir akış mevcut değildir, ancak çoğu zaman şunu gözlemleyebiliriz: hız alanı nehirler potansiyele yakındır - çeşitli nesneler sakin bir şekilde yüzer ve dönmez, ...bu resmi siz de hayal ettiniz mi? Bununla birlikte, çok hızlı ve bir eğri çizerek yüzebilirler, sonra yavaşlayabilirler, sonra hızlanabilirler - akıntının hızının olması önemlidir. bitişik akım hatları korunmuş devamlı.
Ve elbette ölümlü çekim alanımız. Bir sonraki deney için oldukça ağır ve homojen herhangi bir nesne çok uygundur, örneğin kapalı bir kitap, açılmamış bir kutu bira veya bu arada kanatlarda bekleyen bir tuğla =) Uçlarını ellerinizle tutun yukarı kaldırın ve dikkatlice serbest düşüşe bırakın. Dönmeyecek. Ve eğer öyleyse, o zaman bu sizin "kişisel çabanızdır" veya aldığınız tuğla yanlıştır. Tembel olmayın ve bu gerçeği kontrol edin! Hiçbir şeyi pencereden dışarı atmayın, artık tüy değil
Bundan sonra, açık bir vicdan ve artan bir tonla pratik görevlere dönebilirsiniz:
Örnek 5
Bir vektör alanının potansiyel olduğunu gösterin ve potansiyelini bulun
Çözüm: koşul doğrudan alanın potansiyelini belirtir ve bizim görevimiz bu gerçeği kanıtlamaktır. Belirli bir alanın rotor fonksiyonunu veya daha sık söyledikleri gibi rotorunu bulalım:
Kolaylık sağlamak için alan bileşenlerini yazıyoruz:
ve onları bulmaya başlayalım kısmi türevler– bunları soldan sağa doğru “döner” sırayla “sıralamak” uygundur:
- Ve hemenŞunu kontrol et 
(sıfır olmayan bir sonuç durumunda ekstra iş yapmaktan kaçınmak için). Hadi devam edelim:
Böylece:
bu nedenle alan potansiyeldir ve bu nedenle bir gradyan fonksiyonunu temsil eder 
potansiyel tarafından belirlenen bazı skaler alanlar.
Bir vektör alanının tanımı. Gradyan alanı. Potansiyel alanlar, potansiyelin koşulları.
Vektör alanı. Eğer her nokta M bazı alanlar V uzay bazı vektör miktarlarının değerine karşılık gelir ( M ), sonra bölgede şunu söylüyorlar V verilen vektör alanı ( M ). Vektör alanlarına örnek olarak yerçekimi alanı, elektrik ve manyetik alanlar ve hareket eden bir sıvının parçacıklarının hız alanı verilebilir.
Bazı Kartezyen koordinat sistemlerinde vektör ( M ) koordinatları var R (M ), Q (M ), R (M ), O . Böylece, vektör alanını belirterek ( M ) üç skaler alanın belirtilmesine eşdeğerdir R (M ), Q (M ), R (M ). Vektör alanını çağıracağız düz, eğer koordinat fonksiyonları düzgün skaler alanlar ise.
Gradyan
diferansiyellenebilir skaler alan u(M)=u(x,y,z)'ye vektör denir 
. Onlar. kısmi türevlerin toplamının karşılık gelen birim vektörlerle çarpımı.
Genel durumda, gradyan, bir skaler alanın, yani her noktası belirli bir skalerin değerine karşılık gelen bir alanın vektör karakteristiği olarak tanıtılır. Gradyan, bu alanda bir yerde veya başka bir yerde skaler miktarın ne kadar hızlı değiştiğini karakterize eder.
Potansiyel vektör alanları.
A = (Ax, Ay, Az) vektör alanına potansiyel denir, eğer A vektörü bir skaler fonksiyonun gradyanı u = u(x, y, z): A = grad u = 
(16.7).
Bu durumda u fonksiyonuna bu vektör alanının potansiyeli denir.
Ne zaman olduğunu öğrenelim Bir vektör alanı potansiyeli hangi koşullar altında?
. (16.7)'den bu yana şu çıkıyor: 
, O 
,=,=. çünkü ikinci dereceden karışık türev, türev alma sırasına bağlı değildir. Bu eşitliklerden, çürük A = 0 - olduğunu kolaylıkla elde ederiz. vektör alanı potansiyel koşulu.
Vektör alanı rotoru ( M
) bir noktada vektör miktarı (vektör alanı) olarak adlandırılır. Hamilton operatörü cinsinden ifade edilen nabla: vektör çarpımına eşittir. Gerçekten mi, 
.
Bir yüzeyden geçen vektör alanı akışı. Bir vektör alanının diverjansının tanımı ve özellikleri. Kartezyen koordinatlarda diverjansın hesaplanması.
Bir yüzeyden geçen vektör alanı akışı
.
D kümesinde sürekli bir vektör alanı verilsin 
,. Bu vektör alanında bir S yüzeyi alalım ve onun spesifik tarafını seçelim. Seçilen tarafa karşılık gelen yüzeyin birim normallerinin alanı olsun. O zaman 2. tür yüzey integrali 
(çünkü) denir vektör akışıAyüzey boyuncaS belirtilen yönde.
İzin vermek . Gauss-Ostrogradsky formülü:
Sol taraf şu şekilde yazılabilir: 
,
,
. Bu nedenle:, beri. Bu, bir vektörün kapalı bir yüzeyden akışıdır. Sağ taraf şu şekilde yazılabilir: uyuşmazlık
(uyuşmazlık):
.
uyuşmazlık
Vektör alanı A MÎV noktasında fonksiyonun türevi denir 
bu noktada hacim olarak: 
. Diverjans kullanılarak da yazılabilir. operatör Nabla:
.Kartezyen koordinatlarda sapma
:
.
Diverjans özellikleri:
Diğer özellikler (test katılımcısının takdirine bağlı olarak ders sırasında ele alınmaz):
Solenoidal vektör alanları, solenoidalite koşulları.
Herhangi bir D bölgesinde sürekli bir vektör alanı (M)=(x,y,z) belirtilsin. Vektör alanı akışı D bölgesinde yer alan yönlendirilmiş parçalı pürüzsüz bir yüzey S'ye integral denir , Nerede - Yönünü gösteren, S yüzeyine birim normal vektör ve – yüzey alanı elemanı S.
Vektör alanı denir solenoidal D alanında, eğer bu alanın parçalı düzgün, kendisiyle kesişmeyen herhangi bir yüzeyden akışı, D'de bulunur ve D bölgesinin bazı sınırlı alt bölgelerinin sınırını temsil eder, sıfıra eşittir.
Diverjans sıfır ise alana vektör denir. solenoidal .
dolayısıyla akış her yerde, tüpün her bölümünde aynıdır.
Sürekli türevlenebilir bir vektör alanının olabilmesi için solenoidal
hacimsel olarak basit bağlantılı bir D bölgesinde, gerekli ve yeterli Böylece eşitlik her D noktasında geçerli olur. Bir vektör alanının diverjansının (“diverjansının”) skaler bir fonksiyon olduğu yer 
| " |
Bu konuyla ilgili teorik materyal s. Bu yayının 228-236.
Örnek 30. Bir vektör alanının olup olmadığını kontrol edin
Potansiyel; b) solenoidal. Alan potansiyel ise potansiyelini bulun.
Çözüm. A) Alan rotorunu bulun
Bu nedenle alan potansiyeldir.
B) Alan diverjansını bulun
Bu nedenle alan solenoidal değildir.
B) olduğundan alan potansiyeli aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Toplam diferansiyelin çizgi integrali, entegrasyon yoluna bağlı değildir. Burada koordinatların kökenini başlangıç noktası olarak almak uygundur. Entegrasyon yolu olarak kesikli çizgiyi kullanıyoruz OAVM(Şekil 17).
|
1. Bu nedenle segmentte 
2. Buradan itibaren segmentte
3. Buradan itibaren segmentte
Peki, keyfi bir sabit nerede.
Nihayet, 
Test ödevleri No. 5-8
Görev numaraları, kodun son iki rakamına ve soyadının ilk harfine göre bir tablodan seçilir. Örneğin, 1-45-5815 kodlu öğrenci Ivanov, test 5'te 5, 15, 21,31 problemlerini, test 6'da 45, 51, 61, 71 problemlerini, test 7, 101, 111'de 85, 91 problemlerini çözüyor, test 8'de - problemler 125,135,141,151.
| Şifrenin son rakamı | |||||||||||
| Test numarası | |||||||||||
| Şifrenin sondan bir önceki rakamı | |||||||||||
| Test numarası | |||||||||||
| Soyadının ilk harfi | A,I T | B,OC | V,NH | G, FYA | D,ZL | E,MR | F, MF | KE | P | Sen, SHYU | |
| Test numarası | |||||||||||
Test No.5
1-10 arasındaki problemlerde birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun
11-20. problemlerde, ikinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümünü veya genel integralini bulun.
21-30. problemlerde ikinci dereceden doğrusal denklemlerin genel çözümünü bulun
31-40. problemlerde kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesini bulun
Test No.6
41-50. problemlerde fonksiyonu bir Maclaurin serisine genişletin, serinin yakınsaklık aralığını belirleyin
51-60. problemlerde integralin tanım kümesini oluşturun ve integralin sırasını değiştirin.
61. Kürenin bir kısmının yüzey alanını hesaplayın 
, silindirle kesilmiş 
ve uçak 
.
62. Çizgilerle sınırlanan düz bir plakanın alanını hesaplayın: ve (parabolün dışında).
63. Silindirin düzlemlerle kesilen yüzey alanını hesaplayın.
64. Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun 
, , , , .
65. Yüzeylerle sınırlanmış bir cismin hacmini bulun: ve 
, ilk sekizde yatıyor.
66. Düz bir levhanın çizgilerle sınırlanmış alanını bulun, 
.
67. Dairenin dairenin dışında bulunan kısmının alanını belirleyin 
(kutupsal koordinatları kullanın).
68. Homojen bir düz plakanın kütlesini hesaplayın (),
bir daire ve düz çizgilerle sınırlanmıştır ve .
69. Yoğunluğu olan bir levhanın kütlesini bulun 
, çizgilerle sınırlanmış , , .
70. Plakanın kütlesini yoğunlukla bulun 
eşitsizlikler tarafından verilen: 
.
71-80. problemlerde, eğri boyunca eğrisel integralleri hesaplayın:
Test No.7
81-86. problemlerde, fonksiyonları Fourier serisine genişletin; belirli bir fonksiyonun grafiğini çizme
81. 
82. 
83. 
84. 
85. 
86. 
87, 88 numaralı problemlerde fonksiyonu sinüs cinsinden bir Fourier serisine genişletin; Verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz.
87. 
88. 
89.90 problemlerinde, fonksiyonu kosinüs cinsinden Fourier serisine genişletin; Verilen fonksiyonun grafiğini çiziniz.
89. 
90. 
91-95. problemlerde, belirli bir parça üzerindeki dalga denklemini Fourier yöntemini kullanarak sınır koşullarıyla çözün 
ve başlangıç koşulları verildi.
91. 
93. 
95. 
96-100. problemlerde, belirli bir başlangıç koşulu ve sınır koşulları için Fourier yöntemini kullanarak belirli bir parça üzerindeki ısı iletimi denklemini çözün. .
96. 
97. 
98. 
99. 
100. 
101-106. problemlerde alan üzerinden üçlü integrali hesaplayın T eşitsizlikler tarafından verilir. Çizim yapmak.
103. 
(integralleri hesaplarken silindirik koordinatlara gidin).
105. (integralleri hesaplarken silindirik koordinatlara gidin).
107-110. problemlerde, eşitsizliklerin verdiği ve yoğunluğu verilen bir cismin kütlesini bulun. Çizim yapmak.
108. 
(üçlü integrali hesaplarken silindirik koordinatlara gidin).
110. (üçlü integrali hesaplarken silindirik koordinatlara gidin).
111-120. problemlerde yüzey integralini hesaplayın. Yüzeyin bir çizimini yapın.
111. 
uçağın bir parçası nerede 
koordinat düzlemleriyle sınırlıdır.
112. 
- dairesel bir silindirle sınırlanan parabolik silindirin bir kısmının üst tarafı ve uçak. İntegrali hesaplarken kutupsal koordinatlara gidin.
113. 
- silindir yüzeyinin düzlemlerle sınırlanan kısmı
114. 
, koni yüzeyinin bir kısmı nerede 
, düzlemlerle sınırlıdır ve (çift katlı integrali hesaplarken kutupsal koordinatlara gidin).
115. 
, - düzlemlerle sınırlanan dairesel bir silindirin parçası
116. 
- koni kısmının üst tarafı 
uçaklarla sınırlı 
. İntegrali hesaplarken kutupsal koordinatlara gidin.
117. 
kürenin üst tarafı nerede 
. Çift katlı integrali hesaplarken kutupsal koordinatlara gidin.
118. 
, düzlem kısmının üst tarafı nerede 
, koordinat düzlemleriyle sınırlıdır.
119. 
, - koordinat düzlemleri ve düzlemle sınırlı bir parabolik silindirin parçası.
120. 
; - dairesel bir silindirle sınırlanan dairesel bir silindirin bir kısmının üst tarafı ve düzlem Kutupsal koordinatlara gidin.
Test No. 8
Problem 121-130'da skaler alanın gradyanını bulun ve skaler alanın harmonik olup olmadığını kontrol edin.
131-135. problemlerde, yüzeyin birinci oktantta yer alan kısmından geçen vektör alanı akısını bulun. normal yönünde eksenle dar bir açı oluşturur. Çizim yapmak.
136-140. problemlerde, vektör alanının birinci oktantta yer alan cismin yüzeyinden dış normale doğru akışını hesaplamak için Ostrogradsky teoremini kullanın. ve belirli bir yüzey ve koordinat düzlemleriyle sınırlıdır. Çizim yapmak.
141-150 numaralı problemlerde, yüzeyin birinci oktantta yer alan kısmının koordinat düzlemleri ile kesişme yolu boyunca vektör alanının dolaşımını hesaplayın. . - sırasıyla yüzeyin eksenlerle kesişme noktaları. Çizim yapmak.
Problem 141-145'te Stokes teoremini kullanarak dolaşımları hesaplayın.
146-150. problemlerde, dolaşımını tanımını kullanarak hesaplayın.
151-160. problemlerde vektör alanının: a) potansiyel, b) solenoidal olup olmadığını kontrol edin. Alan potansiyel ise potansiyelini bulun.
152. 
155. 
Akım kontrolü
Test görevleri
1. Hangi denklemin aşağıdaki çözüme sahip olduğunu belirleyin 
.
A) 
B) 
V) 
2. Diferansiyel denklemin karakteristik denklemini belirleyin 
a) b) 
V)
3. D’Alembert testini kullanarak güç serisinin hangi değerde yakınsayacağını belirleyin 
.
4. Çift katlı integralin geometrik yorumunu formüle edin.
5. Üç katlı integralin geometrik yorumunu formüle edin.
6. Bir vektör alanının potansiyellik işaretini belirleyin:
a B C)
Son kontrol
Matematik sınavına hazırlanmak için sorular
(III yarıyıl)
Diferansiyel denklemler
1. Adi diferansiyel denklemin tanımı, mertebesi ve çözümü. Birinci mertebeden diferansiyel denklem, yön alanı, izoklinler.
2. Birinci dereceden diferansiyel denklem için Cauchy problemi. Cauchy probleminin çözümünün varlık ve teklik teoremi.
3. Birinci mertebeden bir diferansiyel denklemin genel ve özel çözümünün (integralinin) belirlenmesi.
4. Ayrılabilir değişkenli denklem, integrali.
5. Birinci mertebeden lineer denklem, integrali.
6. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklem, integrali.
7. Diferansiyel denklem N-inci sipariş. Diferansiyel denklem için Cauchy problemi N-inci sipariş. Denklemin Cauchy probleminin çözümü için varlık ve teklik teoremi N-inci sipariş.
8. Diferansiyel denklemin genel ve özel çözümlerinin belirlenmesi N-inci sipariş. Formun bir denkleminin entegrasyonu.
9. Sıranın azalmasına izin veren denklemler. Formdaki bir denklemin integralini alma yöntemi; k< N.
10. Formun denklemlerini entegre etme yöntemi 
.
11. Doğrusal diferansiyel denklemin tanımı N-inci sipariş. Homojen doğrusal denklem. Homojen bir doğrusal denklemin çözümlerinin özellikleri.
12. Doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız fonksiyonların tanımı. Örnekler.
13. Lineer homojen bir denklemin temel çözüm sisteminin belirlenmesi. Doğrusal homojen bir denklemin genel çözümünün yapısına ilişkin teorem N-inci sipariş.
14. Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün yapısına ilişkin teorem N-inci sipariş.
15. Sabit katsayılı doğrusal homojen denklem. Euler yöntemi, karakteristik denklem.
16. Temel bir çözüm sisteminin oluşturulması ve doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü N Karakteristik denklemin gerçel farklı kökleri durumunda -th mertebesinden. Örnek.
17. Temel bir çözüm sisteminin oluşturulması ve doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü N Karakteristik denklemin karmaşık eşlenik kökleri durumunda -. Örnek.
18. Temel bir çözüm sisteminin oluşturulması ve doğrusal homojen bir denklemin genel çözümü N Karakteristik denklemin gerçel eşit kökleri durumunda -. Örnek.
19. Sağ taraf aşağıdaki şekle sahipse, sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir denklemin özel bir çözümünü bulma kuralı 
burada derece polinomu var.
20. Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan bir denklemin belirli bir çözümünü bulma kuralı, eğer sağ taraf aşağıdaki şekle sahipse, burada 
.
21. Formdaki doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi çözme yöntemi (süperpozisyon ilkesi).
22. Normal formda lineer diferansiyel denklem sistemi. Cauchy sorunu. Cauchy probleminin çözümünün varlık ve teklik teoremi. Sistemin genel ve özel çözümlerinin belirlenmesi. Normal diferansiyel denklem sistemleri için yok etme yöntemi.
23. Lineer diferansiyel denklem sistemleri. Çözümlerin özellikleri. Sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü.
Satırlar
24. Sayı serisi. Tanım N-serinin kısmi toplamı. Bir sayı serisinin yakınsaklığı ve ıraksaklığı kavramları. Yakınsak bir serinin toplamı. Geometrik seriler.
25. Yakınsak serilerin özellikleri: Bir serinin bir sayı ile çarpılması, serinin terim terim eklenmesi.
26. Sıranın geri kalanı. Bir serinin ve kalanının eşzamanlı yakınsaklığı ile ilgili teorem.
27. Bir serinin yakınsamasının gerekli bir işareti. Yetersizliğinin bir örnekle gösterilmesi.
28. Pozitif seri. Pozitif bir serinin yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul.
29. Pozitif serileri karşılaştırmanın birinci ve ikinci işaretleri.
30. D'Alembert'in işareti.
31. İntegral Cauchy testi.
32. Genelleştirilmiş harmonik seriler, burada P– herhangi bir gerçek sayı. Serinin davranışı P<1, P=1, P>1.
33. Alternatif seriler. Mutlak ve mutlak olmayan yakınsaklık. Mutlak yakınsak bir serinin yakınsaklığına ilişkin teorem.
34. Alternatif serilerin yakınsaklığı için Leibniz testi. Yakınsak bir serinin toplamını ilk serinin toplamı ile değiştirirken mutlak hatanın tahmini N
42. Fonksiyonun binom serileri.
Teorem 1. T bölgesinde belirtilen bir vektör alanının solenoidal olabilmesi için bu alanın belirli bir vektörün rotor alanı olması gerekli ve yeterlidir; Böylece T bölgesinin her noktasında koşulu karşılayan bir vektör vardır.
Kanıt.
Yeterlilik. Sahibiz
Gereklilik.İzin vermek
Öyle bir fonksiyon bulalım ki
Aşağıda fonksiyonun benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını göstereceğiz, bu nedenle bu fonksiyona ek koşullar getirilebilir. İzin vermek
Fonksiyonları seçelim
Bu fonksiyonların denklem sistemini (1) karşıladığını gösterelim. Gerçekten de elimizde
Gerçekte, inşa edilen fonksiyon koşulu karşılamaktadır
Fonksiyona vektör potansiyeli denir.
Teoremi ispatlarken alanın vektör potansiyelini belirlememizi sağlayan bir yöntem önerdik.
Açıklama 1. Eğer fonksiyon alanın vektör potansiyeli ise, o zaman fonksiyon
burada keyfi bir skaler fonksiyon ve aynı zamanda alanın vektör potansiyelidir.
Kanıt.
Sonuç olarak, vektör potansiyeli belirsiz bir şekilde belirlenir.
Örnek 1: Bir alanın olduğunu gösterin
Çözüm. Sahibiz.
Haydi hesaplayalım
Bulunan fonksiyon istenen vektör potansiyelidir. Bu ifadeyi kontrol edelim, yani. rotoru bulalım:
Koşul karşılanıyor. Bu alanın vektör potansiyelinin daha simetrik bir fonksiyon olup olmadığını kontrol etmek kolaydır.
Örnek 2: Bir alanın olduğunu gösterin
solenoidal ve bu alanın vektör potansiyelini bulun.
Çözüm. Sahibiz.
Haydi hesaplayalım
Hadi kontrol edelim:
Koşul karşılanıyor. Bu alanın vektör potansiyelinin daha simetrik fonksiyonlar olabileceğini kontrol etmek kolaydır.
Yukarıdaki örneklerden, aynı alan için vektör potansiyeline ilişkin ifadelerin önemli ölçüde farklı olabileceği açıktır. Bunun nedeni herhangi bir skaler fonksiyonun gradyanının bulunan vektör potansiyeline eklenebilmesidir.
