İkizkenar üçgenlerle ilgili problemler. İkizkenar üçgen nasıl oluşturulur Kenar boyunca bir ikizkenar üçgen nasıl oluşturulur

İkizkenar bu böyle üçgen iki tarafının uzunlukları birbirine eşit olan.

Konuyla ilgili problemleri çözerken "İkizkenar üçgen" aşağıdaki bilinenleri kullanmak gereklidir özellikler:

1. Eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.
2. Eşit açılardan çizilen ortaortalar, kenarortaylar ve yükseklikler birbirine eşittir.
3. Bir ikizkenar üçgenin tabanına çizilen açıortay, kenarortay ve yükseklik birbiriyle çakışır.
4. İç çemberin merkezi ve çevrel çemberin merkezi yükseklikte ve dolayısıyla tabana çizilen ortanca ve açıortay üzerinde yer alır.
5. Bir ikizkenar üçgende eşit olan açılar her zaman dardır.

Aşağıdaki özelliklere sahipse bir üçgen ikizkenardır işaretler:

1. Bir üçgenin iki açısı eşittir.
2. Yükseklik medyan ile çakışmaktadır.
3. Açıortay medyanla çakışıyor.
4. Yükseklik açıortay ile çakışmaktadır.
5. Bir üçgenin iki yüksekliği eşittir.
6. Bir üçgenin iki açıortayı eşittir.
7. Bir üçgenin iki medyanı eşittir.

Konuyla ilgili birkaç sorunu ele alalım "İkizkenar üçgen" ve ayrıntılı çözümlerini verin.

Görev 1.

Bir ikizkenar üçgende tabandan yükseklik 8, tabandan kenar 6:5'tir. Üçgenin tepe noktasından ortaortaylarının kesişme noktasına kadar olan mesafeyi bulun.

Çözüm.

ABC ikizkenar üçgeni verilsin (Şekil 1).

1) AC: BC = 6:5 olduğuna göre AC = 6x ve BC = 5x olur. ВН – ABC üçgeninin AC tabanına çizilen yükseklik.

H noktası AC'nin ortası olduğundan (ikizkenar üçgenin özelliğine göre), HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.

BC 2 = VN2 + NS2;

(5x)2 = 82 + (3x)2;

x = 2 ise

AC = 6x = 6 2 = 12 ve

BC = 5x = 5 2 = 10.

3) Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, içine yazılan dairenin merkezi olduğuna göre, o zaman
OH = r. Formülü kullanarak ABC üçgeninde yazılı dairenin yarıçapını buluyoruz

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, bu durumda OH = r = 48/16 = 3.

Dolayısıyla VO = VN – OH; SVO = 8 – 3 = 5.

Cevap: 5.

Görev 2.

ABC ikizkenar üçgeninde AD ortay çizilir. ABD ve ADC üçgenlerinin alanları 10 ve 12'dir. AC tabanına çizilen bu üçgenin yüksekliğinde oluşturulan karenin üç katlı alanını bulun.

Çözüm.

ABC üçgenini - ikizkenar, AD - A açısının açıortayını düşünün (İncir. 2).

1) BAD ve DAC üçgenlerinin alanlarını yazalım:

S KÖTÜ = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.

2) Alanların oranını bulun:

S KÖTÜ /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

S BAD = 10, S DAC = 12 olduğuna göre 10/12 = AB/AC;

AB/AC = 5/6 ise AB = 5x ve AC = 6x olsun.

AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.

3) ABN üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen AB 2 = AN 2 + BH 2;

25x2 = VN2 + 9x2;

4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .

S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22 olduğuna göre 22 = 12x 2;

x2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.

5) Karenin alanı VN 2 = 88/3'e eşittir; 3 88/3 = 88.

Cevap: 88.

Görev 3.

İkizkenar üçgende taban 4, kenar 8'dir. Kenara düşen yüksekliğin karesini bulun.

Çözüm.

ABC üçgeninde - ikizkenar BC = 8, AC = 4 (Şek. 3).

1) ВН – ABC üçgeninin AC tabanına çizilen yükseklik.

H noktası AC'nin ortası olduğundan (ikizkenar üçgenin özelliğine göre), HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.

2) VNS üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen BC 2 = VN 2 + NS 2;

64 = VN 2 + 4;

3) S ABC = 1/2 · (AC · BH) ve ayrıca S ABC = 1/2 · (AM · BC), formüllerin sağ taraflarını eşitlersek, şunu elde ederiz:

1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;

AM = (AC BH)/BC;

AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.

Cevap: 15.

Görev 4.

Bir ikizkenar üçgende taban ve üzerine düşen yükseklik 16'ya eşittir. Bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapını bulun.

Çözüm.

ABC üçgeninde – ikizkenar taban AC = 16, ВН = 16 – AC tabanına çizilen yükseklik (Şekil 4).

1) AN = NS = 8 (ikizkenar üçgenin özelliğine göre).

2) VNS üçgeninden - Pisagor teoremine göre dikdörtgen

BC 2 = VN2 + NS2;

BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;

3) ABC üçgenini düşünün: sinüs 2R = AB/sin C teoremine göre, burada R, ABC üçgeni etrafında çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

sin C = BH/BC (sinüs tanımı gereği VNS üçgeninden).

günah C = 16/(8√5) = 2/√5, bu durumda 2R = 8√5/(2/√5);

2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.

Cevap: 10.

Görev 5.

Bir ikizkenar üçgenin tabanına çizilen yüksekliğin uzunluğu 36, yazılı dairenin yarıçapı ise 10'dur. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

ABC ikizkenar üçgeni verilsin.

1) Bir üçgenin içine çizilen bir dairenin merkezi, ortaortaylarının kesişme noktası olduğuna göre, O ϵ VN ve AO, A açısının açıortayıdır ve ayrıca OH = r = 10 (Şekil 5).

2)VO = VN – OH; SVO = 36 – 10 = 26.

3) ABN üçgenini düşünün. Bir üçgenin açıortay teoremine göre

AB/AN = VO/OH;

AB/AN = 26/10 = 13/5 ise AB = 13x ve AN = 5x olsun.

Pisagor teoremine göre AB 2 = AN 2 + VN 2;

(13x)2 = 362 + (5x)2;

169x2 = 25x2 + 362;

144x2 = (12 · 3)2;

144x2 = 144 9;

x = 3, bu durumda AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.

4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;

Cevap: 540.

Görev 6.

İkizkenar üçgende iki kenar 5 ve 20'ye eşittir. Üçgenin tabanındaki açının açıortayını bulun.

Çözüm.

1) Üçgenin kenarlarının 5 ve tabanının 20 olduğunu varsayalım.

Sonra 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (Şekil 6).

2) LC = x olsun, sonra BL = 20 – x olsun. Bir üçgenin açıortay teoremine göre

AB/AC = BL/LC;

20/5 = (20 – x)/x,

o zaman 4x = 20 – x;

Böylece LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.

3) Üçgen açının açıortay formülünü kullanalım:

AL 2 = AB AC – BL LC,

bu durumda AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;

Cevap: 6.

Hala sorularınız mı var? Geometri problemlerini nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

VIII . İnşaat görevleri grupları.

Yardımcı üçgen kullanarak problem gruplarını çözme.

Yöntemin özü, yardımcı üçgenlerin oluşturulması ve bunların özelliklerinin ve yeni elde edilen elemanların sonunda sorunu çözmek için kullanılmasıdır.

İnşaat analizi aşağıdaki adımlardan oluşur:

Analiz ederken yardımcı üçgeni arayın.

ABC üçgeninin inşa edilebileceği yeni unsurlar ortaya çıkarsa, hedefe ulaşılmış demektir.

Eğer bu gerçekleşmezse eksik elemanları sağlayacak başka bir yardımcı üçgen oluşturulabilir.

Örnekleri kullanarak yöntemin özüne bakalım.

Görev 1. ABC ikizkenar üçgenini oluşturun ( B= C) İle A, H B .

Yardımcı bir üçgen arıyoruz. Açıkçası, CDB üçgenini böyle bir üçgen olarak düşünmek uygundur.

Bu C açısını, dolayısıyla ABC açısını verecektir. Yani a, B açısı, C açısı var, bu da ABC üçgenini oluşturabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu şematik olarak şu şekilde yazacağız:

(a, h b) → Δ CDB →< C.

(A,< B, < C) → Δ ABC.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yukarıdakine benzer bir mantık kullanarak, aşağıdaki verileri kullanarak bir ikizkenar üçgen (b=c) oluşturmanızı öneririz:

A)< А, h b ;

B)< В, h с;

G)< В, h b ;

e)< С, h b .

Görev 2. Yazılı dairenin r yarıçapını, A açısını ve B açısını kullanarak bir üçgen oluşturun.

ABC üçgeninde yazılı çemberin merkezi I olsun.

(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;

(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;

(|AD| + |ВD| = |AB|) → (c,< А, < В) → Δ ABC.

Bağımsız çözüm için görevler:

Aşağıdaki elemanları kullanarak bir üçgen oluşturun:

a) a, hc, hb; b) a, ha, h b; c) a, m a, m b;

G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;

g) b, h b, m b (burada m ortancalardır, l ortaortaydır, h yüksekliklerdir).

Kendi başına:

BD köşegenini ve BM yüksekliğini kullanarak bir ABCD eşkenar dörtgeni oluşturun. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);

dört tarafta bir yamuk oluşturun.

1. Ana probleme göre problem gruplarını çözme.

   1. Ana görev:

İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

İki kenar boyunca dik bir üçgen oluşturun.

İki köşegen boyunca bir eşkenar dörtgen oluşturun.

İki eşit olmayan kenarı olan bir dikdörtgen oluşturun.

İki köşegen ve aralarındaki açıyı kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

Köşegenleri ve aralarındaki açıyı kullanarak bir dikdörtgen oluşturun.

1. Ana görev:

Bir kenar ve iki bitişik açıyı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Bağımsız çözüm için görevler:

Tabanını ve komşu açısını kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Bir bacak ve bitişik dar açıyı kullanarak bir dik üçgen oluşturun.

Bir açı ve bu açının tepe noktasından geçen bir köşegen kullanarak bir eşkenar dörtgen oluşturun.

Yükseklik ve tepe açısına göre bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Verilen köşegen boyunca bir kare oluşturun.

1. Ana görev:

Hipotenüsü ve dar açıyı kullanarak bir dik üçgen oluşturun.

Bağımsız çözüm için görevler:

Tabanın kenarı ve köşesi boyunca bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Yan ve tepe açısını kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.

1. Ana görev:

Üç kenarı kullanarak bir üçgen oluşturun.

Bağımsız çözüm için görevler:

Tabanını ve kenarlarını kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Kenarlar ve köşegenler boyunca bir eşkenar dörtgen oluşturun.

İki eşit olmayan kenar ve bir köşegen kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

Bir kenar ve iki köşegen kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

1. Ana görev:

Bir kenar ve hipotenüs kullanarak bir dik üçgen oluşturun.

Bağımsız çözüm için görevler:

Yükseklik ve kenar boyunca bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Tabanı ve tabanın ucundan kenara dik olan bir çizgiyi kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Tabanını, yüksekliğini ve köşegenini kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

Yüksekliği ve köşegeni boyunca bir eşkenar dörtgen oluşturun.

Yan tarafı ve ondan indirilen yüksekliği kullanarak bir ikizkenar üçgen oluşturun.

Tabanı, yüksekliği ve kenarı temel alarak bir üçgen oluşturun.

Edebiyat:

B. I. Argunov, M. B. Balk “Uçakta geometrik yapılar”, M, “Prosveshchenie” 1955.

Glazer G.I. “Okulda matematik tarihi” IV – VI sınıfları, M, “Aydınlanma”, 1981

I. Goldenblant “Geometrik yapı problemlerini çözme deneyimi” “Okulda Matematik” No. 3, 1946

I. A. Kushnir “İnşaat problemlerini çözmenin tek yolu” “Okulda matematik” No. 2, 1984

A. I. Mostovoy “İnşaat problemlerini çözmek için çeşitli yöntemler uygulayın” “Okulda Matematik” No. 5, 1983

A. A. Popova “Matematik” Ders Kitabı. “Çelyabinsk Devlet Pedagoji Üniversitesi”, 2005

E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova “Ortaokul I – V sınıflarında geometrik yapılar” Metodolojik gelişmeler. Sverdlovsk, 1974

İkizkenar üçgen nasıl oluşturulur? Bunu bir cetvel, kurşun kalem ve defter hücreleriyle yapmak kolaydır.

Tabandan bir ikizkenar üçgenin inşasına başlıyoruz. Deseni eşit yapmak için tabandaki hücre sayısının çift sayı olması gerekir.

Segmenti - üçgenin tabanını - ikiye bölün.

Üçgenin tepe noktası tabandan herhangi bir yükseklikte seçilebilir, ancak her zaman tam olarak ortanın üzerindedir.

Akut ikizkenar üçgen nasıl oluşturulur?

Bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar yalnızca dar olabilir. Bir ikizkenar üçgenin dar olması için tepe noktasındaki açının da dar olması gerekir.

Bunu yapmak için üçgenin tepe noktasını tabandan uzakta, daha yüksekte seçin.

Tepe noktası ne kadar yüksek olursa, tepe açısı o kadar küçük olur. Tabandaki açılar da buna göre artar.

Geniş bir ikizkenar üçgen nasıl oluşturulur?

Bir ikizkenar üçgenin tepe noktası tabana yaklaştıkça tepe noktasındaki açının derece ölçüsü artar.

Bu, bir ikizkenar geniş üçgen oluşturmak için daha düşük bir köşe seçeceğimiz anlamına gelir.

İkizkenar dik üçgen nasıl oluşturulur?

Bir ikizkenar dik üçgen oluşturmak için, tabanın yarısına eşit bir mesafede bir tepe noktası seçmeniz gerekir (bu, ikizkenar dik üçgenin özelliklerinden kaynaklanmaktadır).

Örneğin tabanın uzunluğu 6 hücre ise üçgenin tepe noktasını tabanın ortasından 3 hücre yüksekliğe yerleştiriyoruz. Lütfen dikkat: Bu durumda, tabandaki köşelerdeki her hücre çapraz olarak bölünmüştür.

İkizkenar dik üçgenin inşasına tepe noktasından başlanabilir.

Bir tepe noktası seçiyoruz ve ondan dik açılarla eşit parçaları yukarı ve sağa yerleştiriyoruz. Bunlar üçgenin kenarlarıdır.

Bunları birleştirelim ve ikizkenar dik üçgen elde edelim.

Bir başka konuda bölmeleri olmayan bir pusula ve cetvel kullanarak ikizkenar üçgenin yapımını ele alacağız.