Tam kare seçme yöntemi nedir? Polinomların çarpanlara ayrılması. Tam kare seçim yöntemi. Yöntemlerin bir kombinasyonu. Numerator Yapay Dönüşüm Yöntemi

Daha önce belirttiğim gibi, integral hesabında bir kesri integral almak için uygun bir formül yoktur. Ve bu nedenle, üzücü bir eğilim var: kesir ne kadar “süslü”yse, ondan integrali bulmak o kadar zor olur. Bu bağlamda, şimdi tartışacağım çeşitli numaralara başvurmak gerekiyor. Hazırlanan okuyucular hemen kullanabilir içindekiler:

• Basit kesirler için diferansiyelin işareti altına alma yöntemi

Numerator Yapay Dönüşüm Yöntemi

örnek 1

Bu arada, dikkate alınan integral, ifade eden değişken yönteminin değiştirilmesiyle de çözülebilir, ancak çözüm çok daha uzun olacaktır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol yapın.

Bu bir kendin yap örneğidir. Burada değişken değiştirme yönteminin artık çalışmayacağını belirtmek gerekir.

Dikkat önemli! 1, 2 numaralı örnekler tipiktir ve yaygındır. Özellikle, bu tür integraller genellikle diğer integrallerin çözümü sırasında, özellikle irrasyonel fonksiyonların (köklerin) integrali alınırken ortaya çıkar.

Yukarıdaki yöntem bu durumda da çalışır payın en yüksek kuvveti paydanın en yüksek kuvvetinden büyükse.

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol yapın.

Numaratörle başlayalım.

Pay seçme algoritması şuna benzer:

1) Payda düzenlemem gerekiyor ama orada. Ne yapalım? Parantez içine alıp şununla çarpıyorum: .

2) Şimdi bu parantezleri açmaya çalışıyorum, ne oluyor? . Hmm ... zaten daha iyi, ancak payda başlangıçta ikili yok. Ne yapalım? Şununla çarpmanız gerekir:

3) Parantezleri tekrar açma: . Ve işte ilk başarı! İhtiyaç çıktı! Ancak sorun şu ki, fazladan bir terim ortaya çıktı. Ne yapalım? İfadenin değişmemesi için aynısını yapımıma eklemeliyim:
. Hayat daha kolay hale geldi. Payda tekrar organize etmek mümkün müdür?

4) Yapabilirsin. Deneriz: . İkinci terimin parantezlerini genişletin:
. Üzgünüm, ama aslında önceki adımda vardı ve . Ne yapalım? İkinci terimi şu şekilde çarpmamız gerekiyor:

5) Yine doğrulama için ikinci dönemde parantezleri açıyorum:
. Şimdi normal: 3. paragrafın son yapısından elde edildi! Ama yine küçük bir “ama” var, fazladan bir terim ortaya çıktı, bu da ifademe eklemem gerektiği anlamına geliyor:

Her şey doğru yapılırsa, tüm parantezleri açarken, integralin orijinal payını almalıyız. Kontrol ediyoruz:
İyi.

Böylece:

Hazır. Son dönemde fonksiyonu diferansiyelin altına getirme yöntemini uyguladım.

Cevabın türevini bulur ve ifadeyi ortak bir paydaya getirirsek, tam olarak orijinal integrali elde ederiz. Toplama genişletme yöntemi, ifadeyi ortak bir paydaya getirmek için ters eylemden başka bir şey değildir.

Bu tür örneklerde pay seçme algoritması en iyi şekilde bir taslak üzerinde gerçekleştirilir. Bazı becerilerle, zihinsel olarak da çalışacaktır. 11. güç için bir seçim yaptığımda rekor bir zaman hatırlıyorum ve payın genişlemesi neredeyse iki satır Werd aldı.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun. Bir kontrol yapın.

Bu bir kendin yap örneğidir.

Basit kesirler için diferansiyelin işareti altına alma yöntemi

Bir sonraki kesir türüne geçelim.
, , , (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).

Aslında, arksinüs ve arktanjantlı birkaç durum derste zaten kayıp Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi. Bu tür örnekler, fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getirerek ve sonra tabloyu kullanarak integral alarak çözülür. İşte uzun ve yüksek bir logaritmaya sahip daha tipik örnekler:

Örnek 5

Örnek 6

Burada bir integral tablosu almanız ve hangi formülleri ve hangi formülleri takip etmeniz önerilir. nasıl dönüşüm gerçekleşir. Not, nasıl ve neden Bu örneklerde kareler vurgulanmıştır. Özellikle, Örnek 6'da, önce paydayı şu şekilde temsil etmemiz gerekir: , sonra diferansiyelin işaretinin altına getirin. Standart tablo formülünü kullanmak için tüm bunları yapmanız gerekir. .

Ancak ne bakmalı, özellikle oldukça kısa oldukları için 7,8 numaralı örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın:

Örnek 7

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun:

Bu örnekleri de kontrol edebilirseniz, en iyi şekilde farklılaşma becerileriniz büyük saygı görür.

Tam kare seçim yöntemi

Formun integralleri, (katsayılar ve sıfıra eşit değildir) çözülür tam kare seçim yöntemi, derste zaten ortaya çıkmış olan Geometrik Parsel Dönüşümleri.

Aslında, bu tür integraller, az önce ele aldığımız dört tablo integralinden birine indirgenir. Ve bu, bilinen kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak elde edilir:

Formüller bu yönde uygulanır, yani yöntemin fikri, ifadeleri payda veya 'de yapay olarak düzenlemek ve ardından bunları sırasıyla veya'a dönüştürmektir.

Örnek 9

belirsiz integrali bulun

Bu en basit örnek burada terim ile - birim katsayısı(ve bir sayı veya eksi değil).

Paydaya bakıyoruz, burada her şey açıkça duruma indirgeniyor. Paydayı dönüştürmeye başlayalım:

Açıkçası, 4 eklemeniz gerekiyor. Ve ifadenin değişmemesi için - aynı dört ve çıkarma:

Şimdi formülü uygulayabilirsiniz:

Dönüşüm tamamlandıktan sonra HER ZAMAN ters bir hareket yapılması arzu edilir: her şey yolunda, hata yok.

Söz konusu örneğin temiz tasarımı şöyle görünmelidir:

Hazır. Diferansiyel işaretin altına "serbest" bir karmaşık fonksiyon getirmek: prensipte ihmal edilebilir.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun:

Bu kendi kendine çözme örneğidir, cevap dersin sonundadır.

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun:

Önde bir eksi olduğunda ne yapmalı? Bu durumda, parantez içindeki eksiyi çıkarmanız ve terimleri ihtiyacımız olan sıraya göre düzenlemeniz gerekir: Devamlı(bu durumda "çift") Dokunmayın!

Şimdi parantez içinde bir tane ekliyoruz. İfadeyi analiz ederek, parantezin arkasına ihtiyacımız olduğu sonucuna varıyoruz - şunu ekleyin:

İşte formül, uygulayın:

HER ZAMAN taslak üzerinde bir kontrol yapıyoruz:
, hangi doğrulanacaktı.

Örneğin temiz tasarımı şuna benzer:

Görevi karmaşıklaştırıyoruz

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun:

Burada terim ile artık tek bir katsayı değil, “beş”tir.

(1) 'de bir sabit bulunursa, onu hemen parantezlerden çıkarırız.

(2) Genel olarak, bu sabiti integralden çıkarmak her zaman daha iyidir, böylece engel olmaz.

(3) Her şeyin formüle indirgeneceği açıktır. Terimi anlamak gerekir, yani "iki" almak için

(4) Evet, . Yani, ifadeye ekliyoruz ve aynı kesri çıkarıyoruz.

(5) Şimdi tam bir kare seçin. Genel durumda, hesaplamak da gereklidir, ancak burada uzun bir logaritma formülümüz var. , ve eylemin gerçekleştirilmesi mantıklı değil, neden - biraz daha düşük netleşecek.

(6) Aslında formülü uygulayabiliriz , sadece "x" yerine elimizdeki tablo integralinin geçerliliğini reddetmez. Açıkçası, bir adım eksik - entegrasyondan önce, fonksiyon diferansiyel işaretinin altına getirilmiş olmalıydı: , ancak defalarca belirttiğim gibi, bu genellikle ihmal edilir.

(7) Kökün altındaki cevapta, tüm parantezleri geri açmak istenir:

Sert? Bu, integral hesabında en zoru değildir. Bununla birlikte, incelenen örnekler iyi bir hesaplama tekniği gerektirdiğinden çok karmaşık değildir.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun:

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda cevaplayın.

Paydada, bir değiştirme yardımı ile dikkate alınan türdeki integrallere indirgenen köklü integraller vardır, bunlar hakkında makalede okuyabilirsiniz. karmaşık integraller, ancak son derece hazırlıklı öğrenciler için tasarlanmıştır.

Payın diferansiyel işaretinin altına getirilmesi

Bu dersin son kısmıdır, ancak bu tür integraller oldukça yaygındır! Yorgunluk birikmişse, belki yarın okumak daha iyidir? ;)

Göz önünde bulunduracağımız integraller, önceki paragrafın integrallerine benzer, şu şekildedirler: veya (katsayılar , ve sıfıra eşit değildir).

Yani, payda lineer bir fonksiyonumuz var. Bu tür integraller nasıl çözülür?

Bu derste, daha önce çalışılan bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemlerini hatırlayacağız ve bunların uygulama örneklerini ele alacağız, ayrıca yeni bir yöntem - tam kare yöntemi üzerinde çalışacağız ve çeşitli problemleri çözmede nasıl uygulanacağını öğreneceğiz.

Başlık:çarpanlara ayırma polinomları

Ders:Polinomların çarpanlara ayrılması. Tam kare seçim yöntemi. yöntemlerin kombinasyonu

Daha önce incelenen bir polinomu çarpanlara ayırmanın ana yöntemlerini hatırlayın:

Parantezlerden ortak bir çarpan alma yöntemi, yani polinomun tüm üyelerinde bulunan bir çarpan. Bir örnek düşünün:

Bir monomialin güçlerin ve sayıların bir ürünü olduğunu hatırlayın. Örneğimizde, her iki üye de bazı ortak, özdeş öğelere sahiptir.

Öyleyse, ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:

;

Oluşturulan çarpanı parantez ile çarparak, oluşturmanın doğruluğunu kontrol edebileceğinizi hatırlayın.

gruplandırma yöntemi. Bir polinomda ortak bir çarpan almak her zaman mümkün değildir. Bu durumda, üyelerini gruplara ayırmanız gerekir, öyle ki her grupta bir ortak faktör çıkarabilir ve onu parçalamaya çalışabilirsiniz, böylece gruplardaki faktörleri çıkardıktan sonra, ortak bir faktör ortaya çıkar. tüm ifade ve genişleme devam edilebilir. Bir örnek düşünün:

İlk terimi dördüncü ile, ikinci terimi beşinci ile ve üçüncü terimi altıncı ile gruplayın:

Gruplardaki ortak çarpanları çıkaralım:

İfadenin ortak bir çarpanı vardır. Çıkaralım:

Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması. Bir örnek düşünün:

;

İfadeyi ayrıntılı olarak yazalım:

Açıktır ki, iki ifadenin karelerinin toplamı olduğundan ve bunların çift çarpımı bundan çıkarıldığından, farkın karesi için formüle sahibiz. Formüle göre yuvarlayalım:

Bugün başka bir yol öğreneceğiz - tam kare seçim yöntemi. Toplamın karesi ve farkın karesi formüllerine dayanır. Onları hatırlayın:

Toplamın karesi için formül (fark);

Bu formüllerin özelliği, iki ifadenin karelerini ve çift çarpımlarını içermeleridir. Bir örnek düşünün:

ifadesini yazalım:

Yani ilk ifade , ve ikincisi .

Toplamın veya farkın karesini formüle etmek için ifadelerin çift çarpımı yeterli değildir. Eklenmesi ve çıkarılması gerekiyor:

Toplamın tam karesini daraltalım:

Ortaya çıkan ifadeyi dönüştürelim:

Kareler farkı formülünü uygularız, iki ifadenin karelerinin farkının ürün ve farklarına göre toplam olduğunu hatırlayın:

Dolayısıyla, bu yöntem, her şeyden önce, karesi alınmış a ve b ifadelerini tanımlamanın, yani bu örnekte hangi ifadelerin karesinin alındığını belirlemenin gerekli olduğu gerçeğinden oluşur. Bundan sonra, bir çift ürünün varlığını kontrol etmeniz gerekir ve orada değilse, ekleyin ve çıkarın, bu örneğin anlamını değiştirmeyecektir, ancak polinom, kare formülleri kullanılarak çarpanlara ayrılabilir. mümkünse karelerin toplamı veya farkı ve farkı.

Örnekleri çözmeye geçelim.

Örnek 1 - çarpanlara ayır:

Karesi alınmış ifadeleri bulun:

Çift çarpımlarının ne olması gerektiğini yazalım:

Çift çarpımı ekleyip çıkaralım:

Toplamın tam karesini daraltalım ve benzerlerini verelim:

Kareler farkı formülüne göre yazacağız:

Örnek 2 - denklemi çözün:

;

Denklemin sol tarafında bir üçlü terim var. Bunu hesaba katmanız gerekiyor. Farkın karesi formülünü kullanıyoruz:

İlk ifadenin karesi ve çift çarpımımız var, ikinci ifadenin karesi eksik, toplayıp çıkaralım:

Tam kareyi daraltalım ve benzer terimler verelim:

Kareler farkı formülünü uygulayalım:

Yani denklemimiz var

Çarpımlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürünün sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. Buna dayanarak denklemleri yazacağız:

İlk denklemi çözelim:

İkinci denklemi çözelim:

cevap: veya

;

Önceki örneğe benzer şekilde hareket ediyoruz - farkın karesini seçin.

Tanım

2 x 2 + 3 x + 5 gibi ifadelere kare trinom denir. Genel durumda, bir kare trinom, a x 2 + b x + c biçiminin bir ifadesidir; burada a, b, c a, b, c rasgele sayılardır ve a ≠ 0'dır.

Üç terimli x 2 - 4 x + 5'i düşünün. Bunu şu şekilde yazalım: x 2 - 2 2 x + 5. Bu ifadeye 2 2 ekleyip 2 2 çıkaralım, şunu elde ederiz: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2 olduğuna dikkat edin, yani x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Yaptığımız dönüşümün adı "bir kare trinomialden tam kare seçimi".

9 x 2 + 3 x + 1 kare üç terimlisinden tam kareyi seçin.

9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x` olduğuna dikkat edin. Sonra '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Sonuç olarak ortaya çıkan `(1/2)^2` ifadesine ekleyin ve çıkarın, şunu elde ederiz:

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırmak için bir kare üç terimliden tam kare çıkarma yönteminin nasıl kullanıldığını gösterelim.

Kare üç terimli 4 x 2 - 12 x + 5 çarpanlarına ayırın .

Kare üç terimliden tam kareyi seçiyoruz: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Şimdi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) formülünü uygulayın, şunu elde ederiz: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Kare üç terimli - 9 x 2 + 12 x + 5'i çarpanlarına ayırın.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Şimdi 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 olduğuna dikkat edin.

2 2 terimini 9 x 2 - 12 x ifadesine eklersek, şunu elde ederiz:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3x - 2 2 .

Kareler farkı için formülü uygularız, elimizde:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Üç terimli kareyi 3 x 2 - 14 x - 5 çarpanlarına ayırın .

3 x 2 ifadesini bir ifadenin karesi olarak gösteremeyiz çünkü bunu henüz okulda öğrenmedik. Bunu daha sonra gözden geçireceksiniz ve zaten Görev No. 4'te kare kökleri inceleyeceğiz. Verilen bir kare üç terimliyi nasıl çarpanlarına ayırabileceğimizi gösterelim:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Bir kare üç terimlinin en büyük veya en küçük değerlerini bulmak için tam kare yönteminin nasıl kullanıldığını göstereceğiz.
Üç terimli x 2 - x + 3'ü düşünün. Tam bir kare seçme:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. 'x=1/2' olduğunda kare üç terimlinin değerinin '11/4' olduğuna ve 'x!=1/2' olduğunda '11/4' değerine pozitif bir sayı eklendiğine dikkat edin. "11/4"den büyük bir sayı alın. Böylece kare üç terimlinin en küçük değeri '11/4' olur ve 'x=1/2' ile elde edilir.

Kare üç terimlinin en büyük değerini bulun - 16 2 + 8 x + 6 .

Kare üç terimliden tam kareyi seçiyoruz: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

'x=1/4' ile kare üç terimlinin değeri 7'dir ve 'x!=1/4' ile 7 sayısından pozitif bir sayı çıkarılır, yani 7'den küçük bir sayı elde ederiz. Böylece 7 sayısı kare üç terimlinin en büyük değeridir ve `x=1/4` ile elde edilir.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` ifadesinin payını ve paydasını çarpanlarına ayırın ve kesri iptal edin.

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 kesrinin paydasına dikkat edin. Üç terimli kareden tam kareyi çıkarma yöntemini kullanarak kesrin payını çarpanlara ayırırız. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Bu kesir `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` biçimine indirgendi ve (x - 3) azaltıldıktan sonra `(x+5)/(x-3'ü elde ederiz. )`.

Polinomu x 4 - 13 x 2 + 36 çarpanlarına ayırın.

Bu polinom için tam kare yöntemini uygulayalım. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Böyle bir prosedürü gerçekleştirme yeteneği, matematikle ilgili birçok konuda son derece gereklidir. kare üç terimlibalta 2 + sevgili + C . En genel:

1) Parabol çizimi y= balta 2 + sevgili+ C;

2) Kare üçlü terim için birçok görevi çözme (ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, parametrelerle ilgili problemler vb.);

3) Kare üç terimli bazı fonksiyonlarla çalışmak ve ikinci dereceden eğrilerle çalışmak (öğrenciler için).

Faydalı şey, kısaca! Beşe hazır mısın? O zaman öğrenelim!)

Kare bir üç terimli bir iki terimlinin tam karesini seçmek ne anlama gelir?

Bu görev, orijinal kare üç terimlinin bu forma yardımı ile dönüştürülmesi gerektiği anlamına gelir:

Numara a solda ne var sağda ne var aynı. X-kare katsayısı. Bu yüzden işaretlendi bir harf. Sağda köşeli parantezlerle çarpılır. Parantez içinde, bu konuda tartışılan aynı binom bulunur. Saf bir x ile bir sayının toplamı m. Evet, lütfen dikkat edin saf x! Bu önemli.

Ve işte harfler m ve n doğru - biraz yeni sayılar. Dönüşümlerimizin bir sonucu olarak ne elde edilecek. Olumlu, olumsuz, bütün, kesirli olabilirler - her türlü! Aşağıdaki örneklerde kendiniz göreceksiniz. Bu sayılar bağlıdır katsayılardana, BveC. Kendi özel genel formülleri vardır. Kesirler ile oldukça hantal. Bu nedenle, onları hemen burada ve şimdi vermeyeceğim. Parlak zihinlerinizin neden fazladan çöpe ihtiyacı var? Evet ve ilginç değil. Yaratıcı olalım.)

Bilmeniz ve anlamanız gerekenler nelerdir?

Her şeyden önce, ezbere bilmeniz gerekir. En az ikisi toplam kare ve farkın karesi.

Bunlar:

Bu birkaç formül olmadan - hiçbir yerde. Sadece bu derste değil, genel olarak neredeyse tüm diğer matematiklerde. İpucu açık mı?)

Ancak burada sadece ezberlenmiş formüller yeterli değildir. Daha fazla akıllıya ihtiyacınız var bu formülleri uygulayabilmek. Ve doğrudan değil, soldan sağa, ama tam tersi, sağdan sola doğru. Şunlar. orijinal kare trinomial ile, toplamın / farkın karesini deşifre edebilmek. Bu, tür eşitliklerini kolayca ve otomatik olarak tanımanız gerektiği anlamına gelir:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Bu yararlı beceri olmadan da olmaz... Yani bu basit şeylerle ilgili sorunlar varsa, o zaman bu sayfayı kapatın. Burada sizin için çok erken.) Önce yukarıdaki bağlantıya gidin. O senin için!

Oh, ne zamandır konuyla ilgileniyorsun? İyi! Sonra okumaya devam edin.)

Böyle:

Kare bir üç terimli bir iki terimlinin tam karesi nasıl seçilir?

Tabii ki, basit bir tane ile başlayalım.

Seviye 1. x'deki katsayı2 eşittir 1

Bu, minimum ek dönüşüm gerektiren en basit durumdur.

Örneğin, bir kare üç terimli verilen:

x 2 +4x+6

Dışarıdan, ifade toplamın karesine çok benzer. Toplamın karesinin birinci ve ikinci ifadelerin saf karelerini içerdiğini biliyoruz ( a 2 ve B 2 ), yanı sıra çift ürün 2 ab bu aynı ifadeler.

İlk ifadenin karesini saf haliyle zaten aldık. Bu x 2 . Aslında, bu seviyenin örneklerinin basitliği tam olarak budur. İkinci ifadenin karesini almamız gerekiyor B 2 . Şunlar. bulmak B. Ve bir ipucu olarak hizmet edecek birinci derecede x ile ifade, yani 4x. Nihayet 4x olarak temsil edilebilir çift ​​ürün bir ikili için xx. Bunun gibi:

4 x = 2 ́ x 2

öyleyse eğer 2 ab=2x2 ve a= x, sonra B=2 . Yazabilirsin:

x 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Böyle Bizİstiyorum. Fakat! Matematik Eylemlerimizin orijinal ifadenin özü olmasını istiyorum. değişmedi. O böyle yapılmış. Çift ürüne ekledik 2 2 , böylece orijinal ifadeyi değiştirir. Yani, matematiği rahatsız etmemek için, bu en 2 2 şu an buna ihtiyacım var götürmek. Bunun gibi:

…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….

Neredeyse hepsi. Orijinal üç terimliye göre sadece 6 eklemek kalır. Altı hiçbir yere gitmedi! Biz yazarız:

= x 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Şimdi ilk üç terim net (veya - tam dolu) iki terimli kare x+2 . Veya (x+2) 2 . Bunu başarmaya çalışıyoruz.) Tembel bile olmayacağım ve parantez koymayacağım:

… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Parantezler ifadenin özünü değiştirmez, ancak neyin, nasıl ve neden olduğunu açıkça belirtirler. Bu üç terimi formüle göre tam bir kareye daraltmak, kalan kuyruğu sayılarla saymak için kalır. -2 2 +6 (bu 2 olur) ve şunu yazın:

x 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Her şey. Biz seçildi köşeli ayraç (x+2) 2 orijinal kare üç terimliden x 2 +4x+6. Bir miktara çevirdi tam kare binom (x+2) 2 ve bazı sabit sayı (iki). Ve şimdi dönüşümlerimizin tüm zincirini kompakt bir biçimde yazacağım. Açıklık için.

Ve hepsi bu.) Tam bir kare seçme prosedürünün bütün amacı bu.

Bu arada, buradaki sayılar nedir? m ve n? Evet. Her biri ikiye eşittir: m=2, n=2 . Yani seçim sırasında oldu.

Başka bir örnek:

Binomun tam karesini seçin:

x 2 -6x+8

Ve yine, ilk bakış x ile terimdir. 6x'i x ve üçün çarpımının iki katı haline getiriyoruz. Çiftten önce - eksi. Yani ayrılıyoruz farkın karesi. (Tam bir kare elde etmek için) ekleriz ve karedeki üçlüyü hemen çıkarırız (telafi etmek için), yani. 9. Peki, sekizi unutma. Alırız:

Burada m=-3 ve n=-1 . İkisi de olumsuz.

İlkeyi anladın mı? Sonra ustalaşma zamanıydı ve genel algoritma. Her şey aynı ama mektuplar aracılığıyla. Yani, bir kare trinomiyalimiz var x 2 + sevgili+ C (a=1) . Biz ne yapıyoruz:

sevgili B /2 :

B İle.

Açıkça? İlk iki örnek tamsayılarla çok basitti. Tanışmak için. Daha da kötüsü, dönüşümler sırasında kesirler dışarı çıktığında. Buradaki en önemli şey korkmamak! Ve korkmamak için herkesin kesirli eylemleri bilmesi gerekiyor, evet...) Ama işte beş seviye değil mi? Görevi karmaşıklaştırıyoruz.

Diyelim ki aşağıdaki üç terimli verildi:

x 2 +x+1

Bu üç terimli toplamın karesi nasıl düzenlenir? Sorun yok! Benzer. Noktalar üzerinde çalışıyoruz.

1. Birinci derecede x olan terime bakıyoruz ( sevgili) ve x'in çarpımının iki katına dönüştürünB /2 .

x ile terimimiz sadece x'tir. Ne olmuş? Yalnız X'i nasıl dönüştürebiliriz? çift ​​ürün? Evet, çok kolay! Doğrudan talimatlara göre. Bunun gibi:

Numara B orijinal üç terimli - bir. Yani, B/2 kesirli olduğu ortaya çıkar. Yarım. 1/2. İyi tamam. Zaten küçük değil.)

2. Çift çarpımı ekliyoruz ve hemen sayının karesini çıkarıyoruz B/2. Tam kareyi tamamlamak için - ekliyoruz. Alırız - tazminat için. En sonunda ücretsiz bir terim ekliyoruz İle.

Devam ediyoruz:

3. İlk üç terimi, karşılık gelen formüle göre toplam / farkın karesine çeviriyoruz. Dışarıda kalan ifade sayılarla dikkatlice hesaplanır.

İlk üç terim parantez ile ayrılır. Ayrılamazsın tabii. Bu tamamen dönüşümlerimizin rahatlığı ve netliği için yapılır. Şimdi, toplamın tam karesinin parantez içinde olduğunu açıkça görebilirsiniz. (x+1/2) 2 . Ve toplamın karesinin dışında kalan her şey (eğer sayarsanız) +3/4 verir. Bitiş çizgisi:

Yanıt vermek:

Burada m=1/2 , a n=3/4 . Kesirli sayılar. Olur. Böyle bir üçlü yakalandı ...

Teknoloji böyle. Anladım? Bir sonraki seviyeye geçebilir misin?

Seviye 2. x 2'deki katsayı 1'e eşit değil - ne yapmalı?

Bu davadan daha genel bir durum a=1. Hesaplamaların hacmi elbette artar. Üzüyor evet... Ama genel çözüm genel olarak aynı kalır. Buna sadece bir yeni adım eklenir. Bu beni mutlu ediyor.)

Şimdilik, herhangi bir kesir ve diğer tuzaklar olmadan zararsız bir durum düşünün. Örneğin:

2 x 2 -4 x+6

Ortada bir eksi var. Yani, farkın karesine uyacağız. Ama x'in karesindeki katsayı bir ikili. Ve biriyle çalışmak daha kolay. Saf x ile. Ne yapalım? Ve hadi bu ikiliyi parantezlerden çıkaralım! Karışmamak için. hakkımız var! Alırız:

2(x 2 -2 x+3)

Bunun gibi. Şimdi parantez içindeki üç terim - zaten temiz X kare! Seviye 1 algoritmasının gerektirdiği gibi Ve şimdi bu yeni üçlü terimle eski iyi kurulmuş şemaya göre çalışmak zaten mümkün. Burada oyunculuk yapıyoruz. Ayrı ayrı yazıp dönüştürelim:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Yarısı bitti. Elde edilen ifadeyi parantezlerin içine yerleştirmek ve geri genişletmek için kalır. Almak:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Hazır!

Yanıt vermek:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Kafada düzeltiyoruz:

x'in karesindeki katsayı bire eşit değilse, bu katsayıyı parantezden çıkarırız. Parantez içinde kalan trinom ile, genel algoritmaya göre çalışırız. a=1. İçinde tam bir kare seçtikten sonra sonucu yerine yapıştırın ve dış parantezleri geri açın.

Peki ya b ve c katsayıları a'ya bölünemiyorsa? Bu en yaygın ve aynı zamanda en kötü durumdur. O zaman sadece kesirler, evet... Yapacak bir şey yok. Örneğin:

3 x 2 +2 x-5

Her şey aynı, üçünü parantez içinde gönderiyoruz, şunu elde ediyoruz:

Ne yazık ki, ne iki ne de beş üçe tam olarak bölünemez, bu nedenle yeni (indirgenmiş) üç terimlinin katsayıları kesirli. Önemli değil. Doğrudan kesirlerle çalışmak: 2üçte bir x dönüşüyor çift x'in çarpımı birüçüncüsü, üçte birinin karesini ekleyin (yani 1/9), çıkarın, 5/3 çıkarın...

Genel olarak, anlıyorsunuz!

Zaten orada ne olduğuna karar verin. Şöyle bitmeli:

Ve bir tırmık daha. Pek çok öğrenci, meşhur pozitif tamsayılara ve hatta kesirli olasılıklara karşı çıkıyor, ancak negatif olanlara bağlı kalıyor. Örneğin:

- x 2 +2 x-3

Önce eksi ile ne yapmalıx 2 ? Toplamın / farkın karesi formülünde herhangi bir artı gereklidir ... Soru değil! hepsi aynı. Parantez için bu eksiyi çıkarıyoruz. Şunlar. eksi bir. Bunun gibi:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

Ve her şey. Ve üç terimli parantez içinde - yine tırtıllı yol boyunca.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Yani, eksi:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Bu kadar. Ne? Eksileri parantezlerden nasıl çıkaracağınızı bilmiyor musunuz? Peki, bu yedinci sınıfın temel cebiri için bir soru, kare trinomlar için değil ...

Unutmayın: negatif bir katsayı ile çalışın a pozitif olanla çalışmaktan doğası gereği farklı bir şey yoktur. Negatifi ortaya çıkarmak a parantez dışında ve sonra - tüm kurallara göre.

Neden tam bir kare seçebilmeniz gerekiyor?

İlk yararlı şey, parabolleri hızlı ve hatasız çizmektir!

Örneğin, böyle bir görev:

Fonksiyonu çizin:y=- x 2 +2 x+3

Ne yapacağız? Puanlara göre inşa? Tabii ki mümkün. Uzun yolda küçük adımlar. Oldukça sıkıcı ve ilgisiz...

Her şeyden önce, size şunu hatırlatırım ki, inşa ederken herhangi paraboller, ona her zaman standart bir dizi soru sunuyoruz. İki tane var. Yani:

1) Parabolün dalları nereye yönlendirilir?

2) Üst nerede?

Dalların yönü ile orijinal ifadeden her şey açıktır. Şubeler yönlendirilecek aşağı, çünkü önceki katsayıx 2 - olumsuz. Eksi bir. x kareden önceki eksi Her zaman parabolü çevirir.

Ancak tepenin konumu ile her şey o kadar açık değil. Elbette, katsayılar aracılığıyla apsisini hesaplamak için genel bir formül var. a ve B.

Bu:

Ama herkes bu formülü hatırlamıyor, ah, herkes değil ... Ve hala hatırlayanların %50'si birdenbire tökezliyor ve banal aritmetiği karıştırıyor (genellikle bir oyunu sayarken). Yazık değil mi?)

Şimdi herhangi bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. aklımda bir dakika içinde! Hem x hem de y. Bir anda ve hiçbir formül olmadan düştü. Nasıl? Tam bir kare seçerek!

Yani ifademizde tam kareyi seçiyoruz. Alırız:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Fonksiyonlar hakkında genel bilgileri iyi bilen ve konuya hakim olan" fonksiyon grafiği dönüşümleri ", istediğimiz parabolün normal parabolden elde edildiğini kolayca anlayacaktır. y= x 2 üç dönüşüm yardımı ile. Bu:

1) Dalların yönünü değiştirin.

Bu, köşeli parantezlerin önündeki eksi işaretiyle gösterilir ( a=-1). Öyleydi y= x 2 , oldu y=- x 2 .

Dönüştürmek: F ( x ) -> - F ( x ) .

2) Parabolün paralel ötelenmesi y=- x 2 X 1 birim SAĞA.

Ara program bu şekilde elde edilir y=-(x-1 ) 2 .

Dönüştürmek: - F ( x ) -> - F ( x + m ) (m=-1).

Parantez içinde bir eksi olmasına rağmen neden sağa kayma sola değil? Bu, grafik dönüşümlerinin teorisidir. Bu ayrı bir konu.

Ve sonunda,

3) paralel aktarım paraboller y=-( x -1) 2 4 birim YUKARI.

Son parabol bu şekilde elde edilir. y=-(x-1) 2 +4 .

Dönüştürmek: - F ( x + m ) -> - F ( x + m )+ n (n=+4)

Ve şimdi dönüşüm zincirimize bakıyoruz ve şöyle düşünüyoruz: Parabolün tepe noktası nereye hareket eder?y=x 2 ? (0; 0) noktasındaydı, ilk dönüşümden sonra tepe hiçbir yere hareket etmedi (parabol basitçe döndü), ikincisinden sonra x +1 ve üçüncüden sonra y +4. Toplam üst nokta vuruşu (1; 4) . Bütün sır bu!

Resim aşağıdaki gibi olacaktır:

Aslında bu yüzden bu kadar ısrarla sayılara dikkatinizi çektim. m ve n tam bir kare seçme sürecinde elde edilir. Neden olduğunu tahmin etmedin mi? Evet. Mesele şu ki, koordinatları olan nokta (- m ; n ) - her zaman bir parabolün tepesi y = a ( x + m ) 2 + n . Sadece dönüştürülmüş üç terimli sayılara bakarız ve aklımda doğru cevabı veriyoruz, zirve neresi. Uygun, değil mi?)

Parabol çizmek ilk yararlı şeydir. İkinciye geçelim.

İkinci yararlı şey, ikinci dereceden denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümüdür.

Evet evet! Çoğu durumda tam karenin seçimi çok daha hızlı ve daha verimli Bu tür sorunları çözmek için geleneksel yöntemler. Şüphe? Rica ederim! İşte size bir görev:

Eşitsizliği çözün:

x 2 +4 x+5 > 0

Öğrendi? Evet! bu klasik kare eşitsizliği . Tüm bu eşitsizlikler standart algoritma ile çözülür. Bunun için ihtiyacımız var:

1) Eşitsizlikten standart formun bir denklemini yapın ve çözün, kökleri bulun.

2) X eksenini çizin ve denklemin köklerini noktalarla işaretleyin.

3) Orijinal ifadeye göre bir parabolü şematik olarak gösterin.

4) Şekildeki +/- alanları belirleyin. Orijinal eşitsizliğe göre istenen alanları seçin ve cevabı yazın.

Aslında tüm bu süreç can sıkıcı, evet...) Üstelik bu örnek gibi standart dışı durumlarda sizi her zaman hatalardan kurtarmaz. Önce kalıbı deneyelim, olur mu?

Öyleyse ilk noktayı yapalım. Eşitsizlikten bir denklem yaparız:

x 2 +4 x+5 = 0

Standart ikinci dereceden denklem, hile yok. Biz karar veririz! Ayrımcıyı düşünüyoruz:

D = B 2 -4 AC = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Bu kadar! Ve ayrımcı negatif! Denklemin kökü yok! Ve eksende çizecek bir şey yok... Ne yapmalıyım?

Burada bazıları orijinal eşitsizliğin şu sonuca varabilir: ayrıca çözümleri yok.. Bu ölümcül bir yanılsama, evet... Ama tam kareyi vurgulayarak, bu eşitsizliğe yarım dakikada doğru cevap verilebilir! Şüphe? Peki, zamana bırakabilirsin.

Yani ifademizde tam kareyi seçiyoruz. Alırız:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Orijinal eşitsizlik şöyle görünmeye başladı:

(x+2) 2 +1 > 0

Ve şimdi, hiçbir şeyi daha fazla çözmeden veya dönüştürmeden, basit mantığı açıp düşünüyoruz: eğer bir ifadenin karesine (değer açıkça negatif olmayan!) bir tane daha ekle, o zaman hangi sayıyı elde edeceğiz? Evet! kesinlikle pozitif!

Şimdi eşitsizliğe bakalım:

(x+2) 2 +1 > 0

Girişi matematik dilinden Rusça'ya çeviriyoruz: bunun için x kesinlikle pozitif ifade kesinlikle olacak daha fazla sıfır? Tahmin etmedin mi? Evet! Herhangi biriyle!

İşte cevabınız: x herhangi bir sayıdır.

Şimdi algoritmaya geri dönelim. Yine de, özü anlamak ve basit ezber yapmak iki farklı şeydir.)

Algoritmanın özü, standart eşitsizliğin sol tarafından bir parabol yapıp, X ekseninin neresinde ve nerede aşağıda olduğuna bakmamızdır. Şunlar. sol tarafın pozitif değerleri nerede, nerede negatif.

Sol tarafımızdan bir parabol yaparsak:

y=x 2 +4 x+5

Ve grafiğini çiz, göreceğiz Tümü bütün parabol x ekseninin üstünden geçer. Resim şöyle görünecek:

Parabol eğri, evet... Bu yüzden şematik. Ama aynı zamanda, ihtiyacımız olan her şey resimde görünüyor. Parabolün X ekseni ile kesişme noktası yoktur, oyunun sıfır değeri yoktur. Ve elbette, olumsuz değerler de yoktur. Bu, tüm X ekseninin gölgelenmesiyle gösterilir. Bu arada, Y ekseni ve köşenin koordinatları burada iyi bir sebeple tasvir ettim. Parabol tepe koordinatlarını (-2; 1) ve dönüştürülmüş ifademizi karşılaştırın!

y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Ve nasılsın? Evet! bizim durumumuzda m=2 ve n=1 . Bu nedenle, parabolün tepe noktasının koordinatları vardır: (- m; n) = (-2; 1) . Hepsi mantıklı.)

Başka bir görev:

Denklemi çözün:

x 2 +4 x+3 = 0

Basit ikinci dereceden denklem. Eski moda bir şekilde karar verebilirsiniz. aracılığıyla mümkündür. Nasıl istersen. Matematik önemli değil.)

Kökleri alalım: x 1 =-3 x 2 =-1

Ve eğer ne biri ne de diğer yolu ... hatırlamıyor musun? Pekala, bir ikili senin için iyi bir şekilde parlıyor, ama ... Öyle olsun, seni kurtaracağım! Sadece yedinci sınıfın yöntemlerini kullanarak bazı ikinci dereceden denklemleri nasıl çözebileceğinizi göstereceğim. Yine tam bir kare seçin!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Ve şimdi ortaya çıkan ifadeyi şöyle yazıyoruz ... kare farkı! Evet, evet, yedinci sınıfta bir tane var:

a 2 -B 2 = (a-b)(a+b)

Döküm a parantez çıkıntı(x+2) , ve rolde B- bir. Alırız:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Bu açılımı denkleme kare üç terimli yerine ekleriz:

(x+1)(x+3)=0

Faktörlerin ürününün sıfıra eşit olduğunu anlamaya devam ediyor. o zaman ve ancak o zaman bunlardan herhangi biri sıfıra eşit olduğunda. Bu yüzden (zihinde!) Her bir parantezi sıfıra eşitliyoruz.

Alırız: x 1 =-3 x 2 =-1

Bu kadar. Aynı iki kök. Yetenekli alıcı böyledir. Ayrımcıya ek olarak.)

Bu arada, ikinci dereceden denklemin kökleri için diskriminant ve genel formül hakkında:

Derste bu hantal formülün türetilmesini atladım. İşe yaramazlık için. Ama onun yeri burası.) Nasıl olduğunu bilmek ister misiniz? bu formülü al? Diskriminant ifadesi nereden geliyor ve neden tam olarakB 2 -4ac, ama başka bir şekilde değil mi? Yine de, olup bitenlerin özünün tam olarak anlaşılması, her türlü harf ve sembolün düşüncesizce karalanmasından çok daha faydalıdır, değil mi?)

Üçüncü yararlı şey, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesidir.

İşte başlıyoruz! Genel formda bir kare üçlü terim alıyoruz balta 2 + sevgili+ C ve… tam bir kare seçmeye başlıyoruz! evet, düz mektuplar aracılığıyla! Aritmetik vardı, cebir oldu.) Önce her zamanki gibi harfi çıkarıyoruz. a parantezlerin dışında ve diğer tüm katsayıları şuna bölün: a:

Bunun gibi. Bu tamamen yasal bir dönüşümdür: a sıfıra eşit değil, ve ona bölünebilir. Ve yine normal algoritmaya göre parantezlerle çalışıyoruz: x teriminden bir çift çarpım yapıyoruz, ikinci sayının karesini ekliyoruz / çıkarıyoruz ...

Her şey aynı ama harflerle.) Kendin bitirmeye çalış! Sağlıklı!)

Tüm dönüşümlerden sonra şunu almalısınız:

Ve neden zararsız bir üç terimden böyle yığınlar inşa etmemiz gerekiyor - soruyorsunuz? Hiçbir şey, şimdi ilginç olacak! Ve şimdi, elbette, bu şeyi eşitliyoruz sıfıra:

Normal bir denklem gibi çözüyoruz, tüm kurallara göre çalışıyoruz, sadece harflerle. İlköğretim yapıyoruz:

1) Büyük kesri sağa hareket ettirin. Artı hareket ederken, eksi olarak değişiriz. Kesirin önüne eksi çizmemek için paydaki tüm işaretleri değiştireceğim. Payda solda4ac-b 2 , ve transfer olduktan sonra -( 4ac-b 2 ) , yani B 2 -4 AC. Tanıdık bir şey, sence de öyle değil mi? Evet! Diskriminant, en çok o...) Şöyle olacak:

2) Köşeli parantezleri katsayıdan temizliyoruz. Her iki parçayı da " ile bölüyoruz. a". Solda, parantezlerden önce harf a kaybolur ve sağda büyük bir kesrin paydasına girerek onu 4 a 2 .

Bu eşitlik ortaya çıkıyor:

Senin için işe yaramadı mı? O zaman "" teması tam size göre. Hemen oraya git!

Sonraki adım kökü çıkar. X ile ilgileniyoruz, değil mi? Ve X karenin altına oturuyor... Kök çıkarma kurallarına göre elbette ayıklıyoruz. Çıkardıktan sonra, olan budur:

Soldaki toplamın karesi kaybolur ve sadece toplamın kendisi olarak kalır. Hangisi gereklidir.) Ancak sağda görünür Artı eksi. Büyük kesirimiz için, harika görünümüne rağmen, sadece bir numara. Kesirli sayı. katsayıya bağlı a, B, C. Aynı zamanda, bu kesrin payından gelen kök güzel bir şekilde çıkarılmaz, iki ifade farkı vardır. Ve işte paydanın kökü 4 a 2 oldukça çıkarılabilir! kolay çıkacak 2 a.

Doldurmak için "zor" soru: ifadeden kökü çıkarmaya hakkım var mıydı? 4 a2, cevap ver sadece 2a? Sonuçta, çıkarma kuralı kare kök modülün işaretini koymakla yükümlüdür, yani.2|a| !

Modül işaretini neden hala atladığımı bir düşünün. Çok yararlı. İpucu: cevap işarette yatıyor Artı eksi kesirden önce.)

Kalan boşluklar var. Sol tarafta temiz bir x sağlıyoruz. Bunu yapmak için küçük kesri sağa hareket ettirin. İşaret değişikliği ile biber açıktır. Bir kesirdeki işaretin her yerde ve herhangi bir şekilde değiştirilebileceğini hatırlatırım. Kesirden önce değiştirmek istiyoruz, paydada istiyoruz, payda istiyoruz. işaret değiştireceğim payda. Öyleydi + B, oldu – B. Umarım bir itiraz yoktur?) Transferden sonra durum şöyle olacak:

Aynı paydalara sahip iki kesir ekliyoruz ve (sonunda!)

Peki? Ne söyleyebilirim? Vay!)

Dördüncü yararlı şey, öğrencilerin not almasıdır!

Şimdi okuldan üniversiteye sorunsuz bir şekilde geçelim. Buna inanmayacaksınız, ancak daha yüksek matematikte tam bir kare seçimi de gerekli!

Örneğin, böyle bir görev:

Belirsiz integrali bulun:

Nereden başlamalı? Doğrudan uygulama yuvarlanmaz. Sadece tam bir kare seçerek kaydeder, evet ...)

Tam kareyi nasıl seçeceğini bilmeyenler bu basit örneğe sonsuza kadar takılacaktır. Ve kim bilir nasıl tahsis eder ve alır:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

Ve şimdi integral (bilenler için) bir solla alınmış!

Harika, değil mi? Ve bu sadece integraller değil! Analitik geometri hakkında zaten sessizim. ikinci dereceden eğriler – elips, hiperbol, parabol ve daire.

Örneğin:

Denklemde verilen eğrinin türünü belirleyin:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Tam bir kare seçme yeteneği olmadan, görev çözülemez, evet ... Ama örnek daha kolay olamazdı! Bilenler için tabi.

Terimleri x ve y ile öbekler halinde gruplandırıyoruz ve her değişken için tam kareler seçiyoruz. Almak:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Peki nasıl? Ne tür bir hayvan buldunuz mu?) Tabii ki! Nokta (3; 4) olan, yarıçapı üç olan bir daire.

Ve hepsi bu.) Yararlı bir şey tam bir kare seçmektir!)