DERSİN METİN KODU:

Uzayda düz çizgilerin karşılıklı düzenlendiği iki durumu zaten biliyorsunuz:

1. Kesişen düz çizgiler;

2. Paralel çizgiler.

Tanımlarını hatırlayalım.

Tanım. Uzaydaki çizgiler, aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve bir ortak noktaya sahiplerse, kesişme olarak adlandırılır.

Tanım. Uzaydaki çizgiler, aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa paralel olarak adlandırılırlar.

Bu tanımlarda ortak olan, çizgilerin aynı düzlemde yer almasıdır.

Uzayda her zaman durum böyle değildir. Birkaç düzlemle başa çıkabiliriz ve her iki düz çizgi aynı düzlemde bulunmayacaktır.

Örneğin, ABCDA1B1C1D1 küpünün kenarları

AB ve A1D1 farklı düzlemlerde bulunur.

Tanım. Bu çizgilerden geçecek bir düzlem yoksa iki çizgiye kesişen denir. Tanımdan, bu çizgilerin kesişmediği ve paralel olmadığı açıktır.

Kesişen doğruların kriterini ifade eden bir teoremi kanıtlayalım.

Teorem (kesişen çizgilerin bir işareti).

Çizgilerden biri belirli bir düzlemde bulunuyorsa ve diğer doğru bu çizgiye ait olmayan bir noktada bu düzlemi kesişiyorsa bu doğrular kesişiyor demektir.

AB çizgisi α düzleminde yer alır. CD çizgisi, AB çizgisine ait olmayan C noktasında α düzlemiyle kesişir.

AB ve DC hatlarının kesiştiğini kanıtlayın.

Kanıt

İspat çelişkili olacaktır.

AB ve CD'nin aynı düzlemde olduğunu varsayalım, bunu β gösteriyoruz.

Sonra uçak β AB çizgisinden ve C noktasından geçer.

Aksiyomların doğal sonucu olarak, AB doğrusu ve üzerinde olmayan bir C noktası üzerinden bir düzlem çizilebilir ve dahası, sadece bir tane.

Ama zaten böyle bir uçağımız var - α düzlemi.

Sonuç olarak, β ve α düzlemleri çakışır.

Ama bu imkansız çünkü çizgi CD α ile kesişir, ancak içinde yatmaz.

Bir çelişkiye vardık, bu nedenle varsayımımız yanlış. AB ve CD yatıyor

farklı uçaklar ve çaprazlanır.

Teorem kanıtlandı.

Dolayısıyla, uzayda düz çizgilerin karşılıklı olarak düzenlenmesinin üç olası yolu vardır:

A) Çizgiler kesişir, yani tek bir ortak noktaları vardır.

B) Çizgiler paraleldir, yani aynı düzlemde uzanır ve ortak noktaları yoktur.

C) Düz çizgiler kesişir, yani aynı düzlemde yatmayın.

Başka bir kesişen çizgi teoremini düşünün

Teorem. Kesişen iki çizginin her biri, diğer çizgiye paralel bir düzlem ve dahası sadece birinden geçer.

AB ve CD - düz çizgileri geçme

AB doğrusu α düzleminde uzanacak ve CD çizgisi α düzlemine paralel olacak şekilde bir α düzlemi olduğunu kanıtlayın.

Kanıt

Böyle bir uçağın varlığını kanıtlayalım.

1) A noktasından, CD'ye paralel bir AE çizgisi çizin.

2) Düz çizgiler AE ve AB kesiştiğinden, bunların içinden bir düzlem çizilebilir. Bunu α ile gösterelim.

3) CD çizgisi AE'ye paralel olduğundan ve AE α düzleminde bulunduğundan, α düzleminin CD ∥ çizgisi (doğrunun ve düzlemin dikliği teoremi ile).

Düzlem α istenen düzlemdir.

Koşulu sağlayan tek düzlemin α olduğunu kanıtlayalım.

AB çizgisinden geçen diğer herhangi bir düzlem AE ile kesişecektir ve dolayısıyla CD'ye paralel doğrudur. Yani, AB'den geçen herhangi bir başka düzlem CD çizgisi ile kesişir, bu nedenle ona paralel değildir.

Sonuç olarak, α düzlemi benzersizdir. Teorem kanıtlandı.

Bu yazımızda öncelikle kesişen çizgiler arasındaki açının tanımını vereceğiz ve grafik bir örnek vereceğiz. Ardından şu soruyu cevaplayacağız: "Dikdörtgen bir koordinat sisteminde bu düz çizgilerin yön vektörlerinin koordinatları biliniyorsa, düz çizgiler arasındaki açı nasıl bulunur?" Sonuç olarak, örnekleri ve problemleri çözerken kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmaya çalışacağız.

Sayfada gezinme.

Çapraz çizgiler arasındaki açı - tanım.

Kesişen çizgiler arasındaki açının tanımına yavaş yavaş yaklaşacağız.

İlk olarak, kesişen çizgilerin tanımını hatırlayın: üç boyutlu uzayda iki çizgi denir interbreedingaynı düzlemde yalan söylemezlerse. Bu tanımdan, kesişen çizgilerin kesişmediği, paralel olmadığı ve dahası çakışmadığı, aksi takdirde her ikisinin de belirli bir düzlemde uzanacağı sonucu çıkar.

İşte bazı ek argümanlar.

Üç boyutlu uzayda kesişen iki düz çizgi a ve b verilsin. Sırasıyla a ve b arasındaki kesişen doğrulara paralel olacak ve M 1 uzayının bir noktasından geçecek şekilde a 1 ve b 1 doğruları oluşturalım. Böylece, kesişen iki doğru a 1 ve b 1 elde ederiz. Kesişen düz çizgiler a 1 ve b 1 arasındaki açı, açıya eşit olsun. Şimdi, М1 noktasından farklı olarak, М2 noktasından geçen sırasıyla a ve b çizgilerine paralel olarak a 2 ve b 2 hatları oluşturacağız. Kesişen düz çizgiler a 2 ve b 2 arasındaki açı da açıya eşit olacaktır. Bu ifade doğrudur, çünkü düz çizgiler a 1 ve b 1 sırasıyla a 2 ve b 2 düz çizgileri ile çakışır, eğer paralel bir öteleme gerçekleştirirseniz, burada M1 noktası M2 noktasına gider. Bu nedenle, M noktasında kesişen iki düz çizgi arasındaki açının, sırasıyla verilen kesişen düz çizgilere paralel ölçüsü, M noktasının seçimine bağlı değildir.

Şimdi kesişen çizgiler arasındaki açıyı tanımlamaya hazırız.

Tanım.

Kesişen çizgiler arasındaki açı Verilen kesişen düz çizgilere sırasıyla paralel olan, kesişen iki düz çizgi arasındaki açıdır.

Tanımdan, kesişen çizgiler arasındaki açının da M noktası seçimine bağlı olmayacağı anlaşılmaktadır. Bu nedenle, bir M noktası olarak, kesişen çizgilerden birine ait herhangi bir noktayı alabilirsiniz.

Kesişen çizgiler arasındaki açının tanımının bir örneğini verelim.

Çapraz çizgiler arasındaki açıyı bulmak.

Kesişen düz çizgiler arasındaki açı, kesişen düz çizgiler arasındaki açı ile belirlendiğinden, kesişen düz çizgiler arasındaki açının bulunması, üç boyutlu uzayda karşılık gelen kesişen düz çizgiler arasındaki açının bulunmasına indirgenir.

Şüphesiz lisede geometri derslerinde öğretilen yöntemler, kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmak için uygundur. Yani, gerekli yapıları tamamladıktan sonra, istenen açıyı, şekillerin eşitliğine veya benzerliğine bağlı olarak durumdan bilinen herhangi bir açıyla ilişkilendirebilirsiniz, bazı durumlarda yardımcı olacaktır. kosinüs teoremive bazen sonuç bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımı sağ üçgen.

Bununla birlikte, düz çizgiler arasındaki açıyı bulma problemini koordinat yöntemi ile çözmek çok uygundur. Dikkate alacağımız şey bu.

Oxyz'in üç boyutlu uzayda tanıtılmasına izin verin (ancak birçok problemde bağımsız olarak girilmesi gerekir).

Kendimize bir görev belirleyelim: Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde uzayda düz bir çizginin bazı denklemlerine karşılık gelen kesişen düz çizgiler a ve b arasındaki açıyı bulun.

Hadi çözelim.

Üç boyutlu M uzayının rastgele bir noktasını alın ve düz çizgilerin sırasıyla a ve b'nin kesişen çizgilerine paralel olarak içinden geçtiğini varsayın. O zaman kesişen düz çizgiler a ve b arasındaki gerekli açı, tanım gereği kesişen düz çizgiler a 1 ve b 1 arasındaki açıya eşittir.

Böylece, kesişen düz çizgiler a 1 ve b 1 arasındaki açıyı bulmamız kalır. Uzayda kesişen iki düz çizgi arasındaki açıyı bulma formülünü uygulamak için, a 1 ve b 1 düz çizgilerinin yön vektörlerinin koordinatlarını bilmemiz gerekir.

Onları nasıl elde edebiliriz? Çok basit. Düz bir doğrunun yön vektörünün tanımı, paralel düz çizgilerin yön vektörleri kümelerinin çakıştığını iddia etmemize izin verir. Bu nedenle, a 1 ve b 1 doğrularının yön vektörleri olarak, yön vektörlerini alabiliriz. ve sırasıyla a ve b satırları.

Yani, iki çapraz düz çizgi arasındaki açı a ve b formülle hesaplanır
nerede ve - sırasıyla a ve b doğrularının yön vektörleri.

Kesişen düz çizgiler arasındaki açının kosinüsünü bulmak için formül a ve b formuna sahiptir .

Kosinüs biliniyorsa, kesişen çizgiler arasındaki açının sinüsünü bulmanızı sağlar: .

Örneklerin çözümlerini analiz etmeye devam ediyor.

Misal.

Denklemlerle Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan a ve b düz çizgilerinin kesişmesi arasındaki açıyı bulun ve .

Karar.

Uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemleri, bu düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatlarını hemen belirlemenizi sağlar - bunlar kesirlerin paydalarındaki sayılarla verilir, yani, ... Uzayda düz bir çizginin parametrik denklemleri, yön vektörünün koordinatlarını hemen yazmayı da mümkün kılar - bunlar parametrenin önündeki katsayılara eşittir, yani, - düz bir çizginin yönlendirme vektörü ... Böylece, kesişen çizgiler arasındaki açının hesaplandığı formülü uygulamak için gerekli tüm verilere sahibiz:

Cevap:

Verilen kesişen çizgiler arasındaki açı.

Misal.

Köşelerinin koordinatları biliniyorsa, ABCD piramidinin AD ve BC kenarlarının uzandığı çapraz düz çizgiler arasındaki açının sinüsünü ve kosinüsünü bulun:

Karar.

AD ve BC'yi kesişen hatların yönlendirme vektörleri, vektörlerdir ve. Koordinatlarını, vektörün sonu ve başlangıcı noktalarının karşılık gelen koordinatlarının farkı olarak hesaplayalım:

Formüle göre belirtilen kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü hesaplayabiliriz:

Şimdi kesişen çizgiler arasındaki açının sinüsünü hesaplayalım:

Cevap:

Sonuç olarak, kesişen düz çizgiler arasındaki açıyı bulmak ve dikdörtgen koordinat sistemine bağımsız olarak girilmesi gereken sorunun çözümünü ele alalım.

Misal.

AB \u003d 3, AD \u003d 2 ve AA 1 \u003d 7 birim olduğu dikdörtgen bir paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde. E noktası AA 1 kenarında bulunur ve onu A noktasından itibaren 5'e 2 oranında böler. Kesişen çizgiler BE ve A 1 C arasındaki açıyı bulun.

Karar.

Bir köşede dikdörtgen bir paralel yüzün kenarları karşılıklı olarak dik olduğundan, dikdörtgen bir koordinat sistemine girmek ve bu çizgilerin yön vektörleri arasındaki açı aracılığıyla koordinat yöntemini kullanarak belirtilen kesişme çizgileri arasındaki açıyı belirlemek uygundur.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi Oxyz'i şu şekilde tanıtalım: koordinatların orijini tepe A ile çakışsın, Ox ekseni AD çizgisiyle, Oy ekseni AB çizgisiyle ve Oz ekseni AA 1 çizgisiyle çakışsın.

Sonra B noktasının koordinatları, E noktası - (gerekirse makaleye bakın), A1 - noktası ve C - noktası vardır. Bu noktaların koordinatlarından vektörlerin koordinatlarını hesaplayabiliriz ve. Sahibiz , .

Yön vektörlerinin koordinatları boyunca kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmak için formülü uygulamak kalır:

Cevap:

Referans listesi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Ortaokul 10-11. Sınıflar için ders kitabı.
• Pogorelov A.V., Geometri. Eğitim kurumlarının 7-11. Sınıfları için ders kitabı.
• Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci Cilt: Doğrusal Cebir ve Analitik Geometrinin Elemanları.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Kesişen düz çizgilerin bu özelliklerle tanınması kolaydır. İşaret 1. Aynı düzlemde yer almayan iki çizgi üzerinde dört nokta varsa, bu çizgiler kesişir (Şekil 1.21).

Aslında, bu düz çizgiler kesişir veya paralel olursa, o zaman tek bir düzlemde uzanırlar ve o zaman bu noktalar, koşulla çelişen bir düzlemde yer alır.

İşaret 2. Eğer O doğrusu düzlemde bulunuyorsa ve b doğrusu bir noktada düzlemi a ile kesişiyorsa

M, düz çizgi üzerinde yatmazsa, sonra düz çizgiler a ve b kesişir (Şekil 1.22).

Aslında, a doğrusu üzerindeki herhangi iki noktayı ve b doğrusu üzerindeki herhangi iki noktayı alarak, kriter 1'e ulaşıyoruz, yani. a ve b kesişir.

Kesişen düz çizgilerin gerçek örnekleri, ulaşım kavşaklarıyla verilmiştir (Şekil 1.23).

Uzayda, paralel veya kesişen düz çizgilerden daha fazla kesişen düz çizgi çifti vardır. Bu şu şekilde açıklanabilir.

Uzayda bir A noktası ve A noktasından geçmeyen bazı düz bir a çizgisi alın. A noktasından a çizgisine paralel düz bir çizgi çizmek için, A noktasından düz bir çizgi çizmek ve A noktasından düz bir çizgi çizmek gerekir (Madde 1.1'deki Önerme 2) ve sonra düzlemde ve düz bir çizgiye a paralel düz bir çizgi b çizin (Şekil 1.24).

Böyle bir düz çizgi vardır b. A noktasından ve kesişen O çizgisinden geçen tüm çizgiler de a düzleminde uzanır ve b doğrusu dışında hepsini doldurur. A düzleminden geçen ve tüm boşluğu dolduran diğer tüm düz çizgiler, a düzlemi dışında düz a ile kesişir. Uzayda kesişen doğruların genel bir durum olduğunu ve kesişen ve paralel doğruların özel durumlar olduğunu söyleyebiliriz. Kesişen çizgilerdeki "küçük karışıklıklar" onları kesişmeye bırakıyor. Ancak uzayda paralel olma veya "küçük tedirginlikler" ile kesişme özellikleri korunmuyor.

Karşılıklı düzenleme uzayda iki düz çizgi.

İki çizginin ve boşluğun göreceli konumu, aşağıdaki üç olasılıkla karakterize edilir.

Çizgiler aynı düzlemde bulunur ve ortak noktaları yoktur - paralel çizgiler.

Çizgiler aynı düzlemde uzanır ve bir ortak noktaya sahiptir - çizgiler kesişir.

Uzayda, iki düz çizgi de herhangi bir düzlemde yatmayacak şekilde yerleştirilebilir. Bu tür düz çizgilere kesişme denir (kesişmeyin ve paralel değildir).

MİSAL:

PROBLEM 434 Düzlemde bir ABC, bir

ABC üçgeni düzlemde yer alır ve D noktası bu düzlemde değildir. Sırasıyla M, N ve K noktaları DA, DB ve DC segmentlerinin orta noktalarıdır.

Teorem. İki düz çizgiden biri belirli bir düzlemde bulunuyorsa ve diğeri bu düzlemi ve ilk çizginin üzerinde olmayan bir noktayı kesiyorsa, bu doğrular kesişir.

İncirde. 26 a ve c çizgisi düzlemde bulunur ve c çizgisi N noktasında kesişir. A ve c çizgileri kesişiyor.

Teorem.Kesişen iki çizginin her birinden diğer çizgiye paralel olarak yalnızca bir düzlem geçer.

İncirde. 26 düz çizgi a ve b çapraz. Siyah düz çizgi ve çizilmiş düzlem a (alfa) || b (a1 hattı || b, B düzleminde (beta) belirtilmiştir).

Teorem 3.2.

Üçüncüye paralel iki düz çizgi paraleldir.

Bu mülk denir geçişlilikdüz çizgilerin paralelliği.

Kanıt

A ve b çizgileri aynı anda c çizgisine paralel olsun. Varsayalım ki a, b'ye paralel değildir, o zaman hipotez tarafından c doğrusu üzerinde bulunmayan bir noktada a çizgisi b doğrusu ile kesişir. Bu nedenle, A noktasından geçen, verilen c çizgisinde olmayan ve aynı anda ona paralel olan iki a ve b çizgimiz var. Bu Axiom 3.1 ile çelişir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 3.3.

Verilen bir doğru üzerinde bulunmayan bir noktadan, verilene paralel bir ve yalnızca bir düz çizgi çizilebilir.

Kanıt

(AB) verilen bir doğru olsun, C üzerinde olmayan bir nokta olsun. AC Hattı, düzlemi iki yarım düzleme böler. B noktası bunlardan birinde yatıyor. Aksiyom 3.2'ye göre açıya (CAB) eşit olan açıyı (ACD), C A ışınından başka bir yarı düzleme ertelemek mümkündür. ACD ve CAB, AB ve CD çizgileri ve sekant (AC) altındaki eşit iç çapraz çizgilerdir. O halde Teorem 3.1 (AB) || (CD). Aksiyomu dikkate alarak 3.1. Teorem kanıtlandı.

Paralel çizgilerin özelliği, Teorem 3.1'in tersi olan aşağıdaki teorem ile verilmiştir.

Teorem 3.4.

İki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesişirse, iç açılar çapraz olarak eşittir.

Kanıt

Hadi (AB) || (CD). ACD ≠ BAC varsayalım. EAC \u003d ACD olacak şekilde A noktasından AE çizgisi çizin. Ama sonra, Teorem 3.1 (AE) tarafından || (CD) ve hipoteze göre - (AB) || (CD). Teorem 3.2'ye (AE) göre || (AB). Bu, Teorem 3.3 ile çelişir, buna göre CD üzerinde bulunmayan bir A noktasından kendisine paralel tek bir düz çizgi çizilebilir. Teorem kanıtlandı.

Şekil 3.3.1.

Bu teoreme dayanarak, aşağıdaki özellikler kolayca doğrulanabilir.

İki paralel çizginin üçüncü bir çizgiyle kesişmesi durumunda, karşılık gelen açılar eşittir.

İki paralel çizgi üçüncü bir çizgi ile kesişirse, iç tek taraflı açıların toplamı 180 ° 'dir.

Sonuç 3.2.

Bir çizgi paralel çizgilerden birine dik ise, o zaman diğerine diktir.

Paralellik kavramı, Bölüm 11'de daha sonra ihtiyaç duyulacak olan aşağıdaki yeni kavramı tanıtmamızı sağlar.

İki ışın denir eşit yönlendirilmişilk olarak bu düz çizgiye dik olacak şekilde düz bir çizgi varsa ve ikinci olarak ışınlar bu düz çizgiye göre aynı yarı düzlemde uzanır.

İki ışın denir zıt yönlüher biri diğerini tamamlayan bir ışınla eşit olarak yönlendirilmişse.

Eşit olarak yönlendirilmiş ışınlar AB ve CD gösterilecektir: ve ters yönlendirilmiş ışınlar AB ve CD -

Şekil 3.3.2.

Çizgileri kesişme işareti.

İki düz çizgiden biri belirli bir düzlemde yer alıyorsa ve diğer düz çizgi bu düzlemi ilk düz çizgi üzerinde yatmayan bir noktada kesişiyorsa, o zaman bu çizgiler kesişir.

Düz çizgilerin uzayda karşılıklı düzenlenmesi durumları.

1. Uzayda iki düz çizginin dört farklı durumu vardır:

   
   

   - düz geçiş, yani aynı düzlemde yatmayın;

   - düz çizgiler kesişir, yani aynı düzlemde yatmak ve ortak bir noktaya sahip olmak;

   - paralel düz çizgiler, yani aynı düzlemde uzanın ve kesişmeyin;

   - düz çizgiler çakışır.

   
   

   Kanonik denklemler tarafından verilen bu karşılıklı düz çizgilerin düzenlenmesi durumlarının işaretlerini elde edelim.

   
   
   nerede - düz çizgilere ait noktalar ve sırasıyla, a - yön vektörleri (Şekil 4.34). Şununla gösterelim verilen noktaları bağlayan bir vektör.
   
   

   Düz çizgilerin karşılıklı düzenlemesinin yukarıdaki durumları ve aşağıdaki işaretlere karşılık gelir:

   
   

   - doğrudan ve çapraz vektörler eş düzlemli değildir;

   
   

   - düz çizgiler ve kesişen vektörler eş düzlemlidir, ancak vektörler eşdoğrusal değildir;

   
   

   - doğrudan ve paralel vektörler eşdoğrusaldır, ancak vektörler eşdoğrusal değildir;

   
   

   - düz ve çakışan vektörler eşdoğrusaldır.

   
   

   Bu koşullar, karma ve vektör ürünlerin özellikleri kullanılarak yazılabilir. Sağlak dikdörtgen koordinat sistemindeki vektörlerin karışık çarpımının aşağıdaki formülle bulunduğunu hatırlayın:

   
   
   ve belirleyici kesişimler sıfırdır ve ikinci ve üçüncü satırları orantılı değildir, yani.
   

   - determinantın düz ve paralel ikinci ve üçüncü çizgileri orantılıdır, yani. ve ilk iki satır orantılı değildir, yani

   
   

   - determinantın tüm çizgileri düzdür ve orantılıdır, yani.

Çapraz çizgilerin işaretinin kanıtı.

İki çizgiden biri bir düzlemde bulunuyorsa ve diğeri bu düzlemi ilk çizgiye ait olmayan bir noktada kesişirse, bu iki çizgi kesişir.

Kanıt

A a ait olsun, b α \u003d A ile kesişir, A a'ya ait değildir (çizim 2.1.2). A ve b çizgilerinin kesişmediğini, yani kesiştiklerini varsayalım. Sonra a ve b çizgilerinin ait olduğu bir β düzlemi vardır. A çizgisi ve A noktası bu düzlemde β bulunur. A çizgisi ve dışındaki A noktası benzersiz bir düzlemi tanımladığından β \u003d α. Ancak b, β ve b, α'ya ait değildir, dolayısıyla β \u003d α eşitliği imkansızdır.

Bir dakikadan kısa sürede yeni bir Vord dosyası oluşturdum ve böylesine heyecan verici bir konuya devam ettim. Çalışma havasının anlarını yakalamalısın, böylece lirik bir giriş olmayacak. Sıradan bir kırbaçlama olacak \u003d)

İki düz boşluk şunları yapabilir:

1) melezleşmiş;

2) bir noktada kesişir;

3) paralel olun;

4) eşleşme.

1 numaralı vaka temelde diğer vakalardan farklıdır. Aynı düzlemde yer almazlarsa iki düz çizgi kesişir... Bir elinizi yukarı kaldırın ve diğer elinizi ileri doğru uzatın - işte düz çizgileri geçmeye bir örnek. 2-4. Noktalarda düz çizgiler uzanmalıdır tek düzlemde.

Düz çizgilerin uzaydaki göreceli konumu nasıl bulunur?

İki düz alan düşünün:

- Düz, verilen nokta ve yön vektörü;
- bir nokta ve yön vektörüyle verilen düz bir çizgi.

Daha iyi anlamak için şematik bir çizim yapalım:

Çizim, örnek olarak çapraz düz çizgileri göstermektedir.

Bu düz çizgilerle nasıl başa çıkılır?

Noktalar bilindiği için vektörü bulmak kolaydır.

Düz ise melezlemek, sonra vektörler eş düzlemli değil (derse bakın Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. Vektör temeli) ve bu nedenle, koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır. Ya da aslında aynı olan sıfırdan farklı olacaktır: .

2-4 numaralı vakalarda, yapımız tek bir düzleme "düşerken" vektörler aynı düzlemdeve doğrusal bağımlı vektörlerin karma çarpımı sıfıra eşittir: .

Algoritmayı daha da döndürüyoruz. Hadi öyleymiş gibi yapalım bu nedenle, çizgiler ya kesişir, ya paralel ya da çakışır.

Yön vektörleri doğrusal, bu durumda çizgiler ya paraleldir ya da çakışır. Son bir çivi olarak, şu tekniği öneriyorum: bir düz çizginin herhangi bir noktasını alırız ve onun koordinatlarını ikinci düz çizginin denklemine koyarız; koordinatlar "sığarsa", o zaman düz çizgiler çakışır; "uymazlarsa", o zaman düz çizgiler paraleldir.

Algoritmanın akışı basittir, ancak pratik örnekler yine de zarar vermez:

Örnek 11

İki çizginin göreceli konumunu bulun

Karar: Birçok geometri probleminde olduğu gibi, çözümü noktalara göre hazırlamak uygundur:

1) Denklemlerden noktaları ve yön vektörlerini çıkarıyoruz:

2) Vektörü bulun:

Dolayısıyla, vektörler eş düzlemlidir, yani doğrular aynı düzlemde uzanır ve kesişebilir, paralel olabilir veya çakışabilir.

4) Doğrusallık için yön vektörlerini kontrol edin.

Bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından bir sistem oluşturalım:

Nın-nin her biri denklem, bu nedenle, sistemin tutarlı olduğunu, vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının orantılı olduğunu ve vektörlerin eşdoğrusal olduğunu ima eder.

Sonuç: düz çizgiler paraleldir veya çakışır.

5) Çizgilerin ortak noktaları olup olmadığını öğrenelim. İlk çizgiye ait bir noktayı alın ve koordinatlarını doğrunun denklemlerine koyun:

Dolayısıyla, çizgilerin ortak noktaları yoktur ve paralel olmaktan başka seçenekleri yoktur.

Cevap:

Bağımsız bir çözüm için ilginç bir örnek:

Örnek 12

Düz çizgilerin göreceli konumunu bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. İkinci satırın parametre olarak bir harf içerdiğine dikkat edin. Bu mantıklı. Genel olarak, bunlar iki farklı düz çizgidir, bu nedenle her düz çizginin kendi parametresi vardır.

Ve yine örnekleri atlamamanızı tavsiye ediyorum, önerdiğim problemler rastgele olmaktan uzaktır ;-)

Uzayda düz bir çizgi ile ilgili sorunlar

Dersin son bölümünde, mekansal çizgilerle maksimum sayıda farklı problemi ele almaya çalışacağım. Bu durumda, anlatının başlangıç \u200b\u200bsırası gözlemlenecektir: önce kesişen düz çizgilerle, ardından kesişen düz çizgilerle ilgili sorunları ele alacağız ve sonunda uzaydaki paralel çizgilerden bahsedeceğiz. Bununla birlikte, bu dersin bazı görevlerinin, düz çizgilerin düzenlenmesi ile ilgili birkaç durum için aynı anda formüle edilebileceğini ve bu bağlamda, bölümün paragraflara bölünmesinin biraz keyfi olduğunu söylemeliyim. Fazlası var basit örneklerdaha karmaşık örnekler var ve umarım herkes ihtiyacı olanı bulur.

Çapraz düz çizgiler

Her ikisinin de yattığı bir düzlem yoksa düz çizgilerin kesiştiğini hatırlatırım. Uygulamayı düşünürken aklıma bir canavar sorunu geldi ve şimdi size dört başlı bir ejderha sunmaktan mutluluk duyuyorum:

Örnek 13

Verilen düz çizgilerdir. Gereklidir:

a) düz çizgilerin kesiştiğini kanıtlayın;

b) bu \u200b\u200bdüz çizgilere dik bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemlerini bulun;

c) içeren düz çizginin denklemlerini oluşturun ortak dik düz çizgileri geçmek;

d) çizgiler arasındaki mesafeyi bulun.

Karar: Yol, yürüyerek yönetilecektir:

a) Çizgilerin kesiştiğini kanıtlayalım. Bu çizgilerin noktalarını ve yön vektörlerini bulun:

Vektörü bulun:

Hesaplıyoruz vektörlerin karışık ürünü:

Böylece vektörler eş düzlemli değilBu, çizgilerin kesiştiği anlamına gelir, bu da kanıtlanması gereken şeydi.

Muhtemelen, uzun zaman önce herkes, çizgileri aşmak için doğrulama algoritmasının en kısa olduğunu fark etti.

b) Bir noktadan geçen ve düz çizgilere dik olan düz bir çizginin denklemlerini bulun. Şematik bir çizim yapalım:

Bir değişiklik için düz bir çizgi koydum ARKASI düz, geçiş noktalarında nasıl hafifçe silindiğine bakın. Çaprazlamaları? Evet, genel durumda düz çizgi "de" orijinal düz çizgilerle kesişecektir. Bu anla ilgilenmesek de, sadece dik bir çizgi oluşturmamız gerekiyor ve hepsi bu.

Doğrudan "de" hakkında nebilinir? Ona ait olan nokta biliniyor. Bir yön vektörü eksik.

Koşul olarak, düz çizgi düz çizgilere dik olmalıdır, yani yön vektörü yön vektörlerine dik olacaktır. Örnek No. 9 nedenine zaten aşina, çapraz çarpımı bulun:

Nokta ve yön vektörü ile "de" düz çizgisinin denklemlerini oluşturalım:

Bitti. Prensip olarak, paydalardaki işaretleri değiştirebilir ve cevabı forma yazabilirsiniz. ama buna gerek yok.

Kontrol etmek için, noktanın koordinatlarını elde edilen düz çizginin denklemlerine koymak, ardından kullanmak gerekir. vektörlerin iç çarpımıvektörün "pe bir" ve "pe iki" yön vektörlerine gerçekten ortogonal olduğundan emin olun.

Ortak bir dik içeren düz bir çizginin denklemleri nasıl bulunur?

c) Bu görev daha zor olacak. Aptallara bu noktayı atlamalarını tavsiye ederim, analitik geometriye karşı samimi sempatinizi soğutmak istemiyorum \u003d) Bu arada, daha hazırlıklı okuyucular için de beklemek daha iyi olabilir, gerçek şu ki, karmaşıklık açısından, örnek makalenin en sonuncusu, ancak sunum mantığına göre burada bulunmalıdır.

Bu nedenle, kesişen düz çizgilerin ortak dikini içeren düz çizginin denklemlerini bulmak gerekir.

Verilen çizgileri bağlayan ve verilen çizgilere dik olan bir doğru parçası:

İşte yakışıklı adamımız: - kesişen çizgilerin ortak dikeni. O tek kişi. Başka böyle bir şey yok. Ayrıca verilen parçayı içeren düz çizginin denklemlerini oluşturmamız gerekir.

Düz "uh" hakkında nebilinir? Önceki paragrafta bulunan yön vektörü bilinmektedir. Ama maalesef "uh" düz çizgisine ait tek bir noktayı bilmiyoruz, dik - noktaların uçlarını bilmiyoruz. Bu dikey çizgi iki orijinal çizgiyle nerede kesişiyor? Afrika'da, Antarktika'da mı? Durumun ilk incelemesinden ve analizinden, sorunun nasıl çözüleceği hiç de net değildir…. Ancak düz bir çizginin parametrik denklemlerinin kullanımıyla ilişkili zor bir hareket var.

Kararı noktalara göre yayınlayacağız:

1) İlk düz çizginin denklemlerini parametrik biçimde yeniden yazalım:

Bir noktayı düşünün. Koordinatları bilmiyoruz. FAKAT... Bir nokta belirli bir düz çizgiye aitse, koordinatlarına karşılık gelir, onu ifade ederiz. Daha sonra noktanın koordinatları şöyle yazılacaktır:

Hayat daha iyi hale geliyor, bir bilinmeyen - sonuçta üç bilinmeyen değil.

2) Aynı öfke ikinci noktada da yapılmalıdır. İkinci düz çizginin denklemlerini parametrik biçimde yeniden yazalım:

Bir nokta belirli bir düz çizgiye aitse, o zaman çok özel bir değere sahipkoordinatları parametrik denklemleri sağlamalıdır:

Veya:

3) Vektör, daha önce bulunan vektör gibi, düz çizginin yön vektörü olacaktır. Eski zamanlarda derste bir vektörün iki noktadan nasıl oluşturulacağı ele alındı. Kuklalar için vektörler... Şimdi fark, vektörlerin koordinatlarının bilinmeyen parametre değerleri ile yazılmasıdır. Ne olmuş yani? Vektör orijininin karşılık gelen koordinatlarının vektörün sonunun koordinatlarından çıkarılmasını kimse yasaklamaz.

İki nokta var: .

Vektörü bulun:

4) Yön vektörleri eşdoğrusal olduğundan, bir vektör, belirli bir orantılılık katsayısı "lambda" ile diğeriyle doğrusal olarak ifade edilir:

Veya koordinat olarak:

En çok ortaya çıktı, her zamanki gibi değil doğrusal denklem sistemi standartta çözülebilir olan üç bilinmeyenli, örneğin, cramer yöntemi... Ancak burada biraz kandan kurtulmak için bir fırsat var, üçüncü denklemden "lambda" yı ifade ediyoruz ve onu birinci ve ikinci denklemlere koyuyoruz:

Böylece: ve bir "lambda" ya ihtiyacımız yok. Parametrelerin değerlerinin aynı çıkması tamamen tesadüftür.

5) Gökyüzü tamamen açık, bulunan değerleri değiştirin noktalarımıza:

Meslektaşı zaten bulunduğu için yön vektörüne özellikle ihtiyaç duyulmaz.

Uzun bir yolculuktan sonra kontrol etmek her zaman eğlencelidir.

:

Doğru eşitlikler elde edilir.

Noktanın koordinatlarını denklemlerin içine koyun :

Doğru eşitlikler elde edilir.

6) Son akor: bir nokta boyunca düz bir çizginin denklemlerini (bunu alabilirsin) ve bir yön vektörünü oluşturun:

Prensipte, tamsayı koordinatlarıyla "iyi" bir nokta alabilirsiniz, ancak bu zaten bir kozmetiktir.

Çapraz çizgiler arasındaki mesafe nasıl bulunur?

d) Dördüncü ejderha kafasını kestik.

Birinci yöntem... Bir yol bile değil, küçük bir özel durum. Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, ortak diklerinin uzunluğuna eşittir: .

Ortak dikin uç noktaları önceki paragrafta bulundu ve görev temeldir:

İkinci yöntem... Uygulamada, çoğu zaman ortak dikenin uçları bilinmemektedir, bu nedenle farklı bir yaklaşım kullanılmaktadır. Paralel düzlemler, kesişen iki çizgi ile çizilebilir ve bu düzlemler arasındaki mesafe, bu çizgiler arasındaki mesafeye eşittir. Özellikle, bu düzlemler arasında ortak bir dikey çıkıntı vardır.

Analitik geometri sırasında, yukarıdaki hususlardan, kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi bulmak için bir formül türetildi:
("uh bir, iki" noktalarımız yerine düz çizgilerin rastgele noktalarını alabilirsiniz).

Vektörlerin karışık ürünü "a" paragrafında zaten bulundu: .

Vektörlerin vektör çarpımı "bae" öğesinde bulundu: hadi uzunluğunu hesaplayalım:

Böylece:

Kupaları gururla tek bir sıraya dizelim:

Cevap:
ve) Bu, çizgilerin kesiştiği anlamına gelir, bu da kanıtlamak için gerekliydi;
b) ;
içinde) ;
d)

Düz çizgileri geçme konusunda bize başka ne söyleyebilirsin? Aralarında bir açı tanımlanmıştır. Ancak bir sonraki paragraftaki evrensel açı formülünü düşünün:

Kesişen düz uzay çizgileri mutlaka aynı düzlemde yer alır:

İlk düşünce, tüm gücünüzle kesişme noktasına yaslanmaktır. Ve hemen düşündüm, neden kendinizi doğru arzuları reddediyorsunuz? Şimdi ona saldıralım!

Uzamsal çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur?

Örnek 14

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Karar: Düz çizgilerin denklemlerini parametrik biçimde yeniden yazalım:

Bu görev, bu derste Örnek No. 7'de ayrıntılı olarak tartışılmıştır (bkz. Uzayda düz bir çizginin denklemleri). Ve düz çizgilerin kendisi, bu arada, Örnek No. 12'den aldım. Yalan söylemeyeceğim, yenilerini icat etmek için çok tembelim.

Çözüm standarttır ve kesişen doğruların ortak dikinin denklemlerini öğüttüğümüzde zaten karşılaşılmıştır.

Düz çizgilerin kesişme noktası düz çizgiye aittir, bu nedenle koordinatları verilen düz çizginin parametrik denklemlerini karşılar ve karşılık gelirler oldukça spesifik parametre değeri:

Ancak aynı nokta ikinci düz çizgiye aittir, bu nedenle:

Karşılık gelen denklemleri eşitliyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

İki bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemi elde edilir. Çizgiler kesişiyorsa (Örnek 12'de kanıtlandığı gibi), bu durumda sistem zorunlu olarak tutarlıdır ve benzersiz bir çözüme sahiptir. Çözülebilir gauss yöntemi, ama böyle bir anaokulu fetişizmi ile günah işlemeyeceğiz, daha kolay yapacağız: ilk denklemden "te sıfır" ı ifade edeceğiz ve onu ikinci ve üçüncü denklemlere koyacağız:

Son iki denklem aslında aynı çıktı ve onlardan bunu takip ediyor. Sonra:

Parametrenin bulunan değerini denklemlerin içine koyun:

Cevap:

Kontrol etmek için, parametrenin bulunan değerini denklemlere koyarız:
Doğrulanması gereken aynı koordinatlar elde edildi. Özenli okuyucular, düz çizgilerin orijinal kanonik denklemlerindeki bir noktanın koordinatlarının yerini alabilir.

Bu arada, tam tersini yapmak da mümkündü: "es sıfır" üzerinden bir nokta bulmak ve "te sıfır" üzerinden kontrol etmek.

İyi bilinen bir matematiksel işaret şöyle der: Düz çizgilerin kesişimini tartıştıkları yerde, her zaman dik gibi kokar.

Belirli bir alana dik bir uzay çizgisi nasıl oluşturulur?

(çizgiler kesişir)

Örnek 15

a) Düz bir çizgiye dik bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemlerini oluşturun (çizgiler kesişir).

b) Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Not : yan tümce "çizgiler kesişir" - gerekli... Noktadan
düz "ale" ile kesişecek sonsuz sayıda dikey düz çizgiler çizebilirsiniz. Tek çözüm, bu noktaya dik olarak düz bir çizgi çizildiğinde gerçekleşir. iki düz bir çizgiyle verilmiştir (bkz. Örnek No. 13, nokta "b").

ve) Karar: Bilinmeyen çizgi ile gösterilir. Şematik bir çizim yapalım:

Düz çizgi hakkında nebilinir? Koşul olarak bir puan verilir. Düz bir doğrunun denklemlerini oluşturmak için yön vektörünü bulmak gerekir. Bir vektör, böyle bir vektör olarak oldukça uygundur ve bununla ilgileneceğiz. Daha doğrusu, vektörün bilinmeyen ucunu çizikle alalım.

1) Düz çizgi "el" denklemlerinden yönlendirme vektörünü çıkaralım ve denklemleri parametrik formda yeniden yazalım:

Birçoğu, şimdi bir derste üçüncü kez sihirbazın şapkasından beyaz bir kuğu alacağını tahmin etti. Bilinmeyen koordinatlara sahip bir noktayı düşünün. Bir nokta olduğu için, koordinatları "el" düz çizgisinin parametrik denklemlerini karşılar ve parametrenin belirli bir değeri bunlara karşılık gelir:

Veya tek satırda:

2) Koşul olarak, düz çizgiler dik olmalıdır, bu nedenle yön vektörleri ortogonaldir. Ve vektörler ortogonal ise, o zaman onların skaler çarpım sıfıra eşittir:

Ne oldu? Bir bilinmeyenli en basit doğrusal denklem:

3) Parametrenin değeri biliniyor, noktayı buluyoruz:

Ve yön vektörü:
.

4) Bir doğrunun denklemlerini bir nokta ve bir yön vektörüyle oluşturalım:

Oranın paydalarının kesirli olduğu ortaya çıktı ve bu, kesirlerden kurtulmanın uygun olduğu durumdur. Onları -2 ile çarpacağım:

Cevap:

Not : Çözümün daha sıkı bir sonu şu şekilde oluşturulur: bir nokta boyunca düz bir çizginin denklemlerini ve bir yön vektörünü oluştururuz. Gerçekte, bir vektör düz bir çizginin yönlendirme vektörüyse, o zaman buna paralel bir vektör de doğal olarak belirli bir düz çizginin yönlendirici vektörü olacaktır.

Kontrol iki aşamadan oluşur:

1) diklik için düz çizgilerin yön vektörlerini kontrol edin;

2) noktanın koordinatlarını her düz çizginin denklemlerine koyarız, hem oraya hem de oraya "uymaları" gerekir.

Tipik eylemler hakkında çok şey söylendi, bu yüzden bir taslağı kontrol ettim.

Bu arada, "el" düz çizgisine göre "en" noktasına simetrik bir "siu" noktası inşa etme noktasını da unuttum. Bununla birlikte, makalede bulunabilecek iyi bir "düz analog" var Düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler... Burada, tüm fark ek "zeta" koordinatında olacaktır.

Uzayda bir noktadan bir çizgiye olan mesafe nasıl bulunur?

b) Karar: Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Birinci yöntem... Bu mesafe, dikenin uzunluğuna tam olarak eşittir: Çözüm ortada: Eğer noktalar biliniyorsa , sonra:

İkinci yöntem... Pratik görevlerde, dikenin tabanı genellikle yedi contanın ardındaki bir sırdır, bu nedenle hazır bir formül kullanmak daha mantıklıdır.

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe aşağıdaki formülle ifade edilir:
"el" düz çizgisinin yönlendirme vektörü nerede ve - keyfibu çizgiye ait nokta.

1) Düz çizginin denklemlerinden yön vektörünü ve en erişilebilir noktayı elde ederiz.

2) Nokta durumdan bilinir, vektörü keskinleştirin:

3) Bul Çapraz ürün ve uzunluğunu hesaplayın:

4) Yön vektörünün uzunluğunu hesaplayın:

5) Böylece, bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe: