C noktasından AB düz çizgisine olan uzaklık. Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi belirler. İki düz çizginin göreceli konumu

Bu makale konu hakkında konuşuyor « noktadan çizgiye uzaklık », koordinatlar yöntemi ile bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin gösterilen örneklerle belirlenmesi dikkate alınır. Sonundaki teorinin her bloğu, benzer problemleri çözme örneklerini göstermiştir.

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe, bir noktadan bir noktaya olan mesafenin tanımında bulunur. Hadi daha yakından bakalım.

Verilen doğruya ait olmayan bir a doğrusu ve bir M 1 noktası olsun. Üzerinden a çizgisine dik olan b çizgisini çizin. Çizgilerin kesişme noktası H 1 olarak alınmıştır. M 1 H 1'in, M 1 noktasından a çizgisine indirilen dikey olduğunu anlıyoruz.

Tanım 1

М 1 noktasından a çizgisine uzaklık M 1 ve H 1 noktaları arasındaki mesafe olarak adlandırılır.

Dikenin uzunluğu figürü ile tanım kayıtları vardır.

Tanım 2

Noktadan çizgiye uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye çizilen dikenin uzunluğudur.

Tanımlar eşdeğerdir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin mümkün olan en küçük mesafe olduğu bilinmektedir. Bir örneğe bakalım.

Düz a üzerinde uzanan ve M 1 noktası ile çakışmayan bir Q noktası alırsak, o zaman M 1 Q segmentinin eğimli olarak adlandırıldığını, M 1'den a çizgisine düştüğünü anlarız. M1 noktasından dik olanın, noktadan çizgiye çizilen diğer herhangi bir eğimli çizgiden daha az olduğunu belirtmek gerekir.

Bunu kanıtlamak için, M 1 Q 1'in hipotenüs olduğu bir M 1 Q 1 H 1 üçgenini düşünün. Uzunluğunun her zaman herhangi bir bacak uzunluğundan daha büyük olduğu bilinmektedir. Bizde M 1 H 1 var< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Bir noktadan düz bir çizgiye doğru bulmak için ilk veriler, birkaç çözüm yöntemi kullanmanıza izin verir: Pisagor teoremi aracılığıyla, sinüs, kosinüs, bir açının tanjantını belirleme ve diğerleri. Bu türden çoğu görev okulda geometri derslerinde çözülür.

Bir noktadan düz bir çizgiye kadar olan mesafeyi bulurken, dikdörtgen bir koordinat sistemi girebilirsiniz, o zaman koordinat yöntemi kullanılır. Bu paragrafta, belirli bir noktadan istenen mesafeyi bulmak için ana iki yöntemi ele alacağız.

İlk yöntem, mesafeyi M 1'den düz çizgi a'ya dik olarak çizilen bir dik olarak bulmayı içerir. İkinci yöntemde, istenen mesafeyi bulmak için düz çizginin normal denklemi a kullanılır.

Düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta varsa, düz çizgi a ve M 1 H 1 mesafesini bulmanız gerekiyorsa, iki şekilde hesaplayabilirsiniz. Onları düşünelim.

İlk yol

H 1 noktasının x 2, y 2'ye eşit koordinatları varsa, noktadan düz çizgiye olan mesafe, M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formülündeki koordinatlarla hesaplanır.

Şimdi H 1 noktasının koordinatlarını bulmaya geçelim.

O x y'deki düz bir çizginin, bir düzlemdeki düz bir çizginin denklemine karşılık geldiği bilinmektedir. Düz bir çizginin genel denklemini veya eğimli bir denklemi yazarak düz bir çizgi belirtmenin bir yolunu alalım. Verilen düz çizgi a'ya dik olan M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturuyoruz. Düz çizgi kayın b ile gösterilecektir. H 1, a ve b çizgilerinin kesişme noktasıdır; bu, koordinatları belirlemek için iki çizginin kesişme noktalarının koordinatlarını ele alan makaleyi kullanmanız gerektiği anlamına gelir.

Verilen bir M 1 (x 1, y 1) noktasından düz bir a çizgisine olan mesafeyi bulma algoritmasının aşağıdaki noktalara göre gerçekleştirildiği görülebilir:

Tanım 3

• a 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 formuna sahip düz a çizgisinin genel denklemini veya y \u003d k 1 x + b 1 formuna sahip eğimli bir denklemi bulmak;
• a 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 biçimine sahip olan b doğrusu genel bir denkleminin elde edilmesi veya eğer b doğrusu M1 noktasıyla kesişiyorsa ve verilen bir a doğrusuna dikse y \u003d k 2 x + b 2 eğimli bir denklem elde etmek;
• a ve b'nin kesişme noktası olan H 1 noktasının x 2, y 2 koordinatlarının belirlenmesi, bunun için sistem çözüldü doğrusal denklemler A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 veya y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• m 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formülünü kullanarak bir noktadan düz bir çizgiye gereken mesafeyi hesaplamak.

İkinci yol

Teorem, bir düzlemdeki belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulma sorusuna cevap vermeye yardımcı olabilir.

teorem

Dikdörtgensel koordinat sistemi O x y noktasına sahip bir M 1 (x 1, y 1) noktasına sahiptir, bu noktadan, cos α x + cos β y - p \u003d 0 şeklinde olan, düzlemin normal denklemi tarafından verilen düz bir çizgi a düzleme çizilir. x \u003d x 1, y \u003d y 1'de hesaplanan doğrunun normal denkleminin sol tarafında elde edilen değerin modülüsüne, yani M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

Kanıt

A çizgisi, cos α x + cos β y - p \u003d 0 biçimindeki düzlemin normal denklemine karşılık gelir, o zaman n → \u003d (cos α, cos β), orijinden a çizgisine kadar olan bir mesafedeki p birimiyle a çizgisinin normal vektörü olarak kabul edilir. ... Şekildeki tüm verileri görüntülemek, M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta eklemek gerekir, burada M 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1) noktasının yarıçap vektörü. M 1 H 1 ile gösterdiğimiz bir noktadan düz bir çizgiye düz bir çizgi çizmek gerekir. М 1 ve Н 2 noktalarının М 2 ve Н 2 projeksiyonlarını, n → \u003d (cos α, cos β) biçiminde bir yön vektörü ile O noktasından geçen düz bir doğru üzerine göstermek gerekir ve vektörün sayısal izdüşümü OM 1 → \u003d (x 1, y 1) n → \u003d (cos α, cos β) yönüne, npn → OM 1 → olarak.

Varyasyonlar, M 1 noktasının kendisinin konumuna bağlıdır. Aşağıdaki şekilde düşünün.

Sonuçları M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p formülünü kullanarak düzeltiriz. Daha sonra n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 elde etmek için eşitliği M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p formuna indirgiyoruz.

Sonuç olarak vektörlerin skaler çarpımı, n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 → şeklinde dönüştürülmüş bir formül verir, bu n →, OM formunun koordinat formunda bir üründür. 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. Dolayısıyla, n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1 olduğunu elde ederiz. Bunu takiben M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p. Teorem kanıtlandı.

Düzlemdeki M 1 (x 1, y 1) noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi bulmak için bunu anlıyoruz, birkaç eylem gerçekleştirmeniz gerekir:

Tanım 4

• düz çizginin normal denkleminin elde edilmesi a cos α x + cos β y - p \u003d 0, görevde olmaması şartıyla;
• elde edilen değerin M 1 H 1 aldığı cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ifadesinin hesaplanması.

Bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmakla ilgili problemleri çözmek için bu yöntemleri uygulayalım.

örnek 1

Koordinatları M 1 (- 1, 2) olan noktadan 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 doğrusuna olan mesafeyi bulun.

Karar

Çözmek için ilk yöntemi uygulayalım.

Bunu yapmak için, 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 düz çizgisine dik, belirli bir M 1 (- 1, 2) noktasından geçen b düz çizgisinin genel denklemini bulmak gerekir. Düz çizgi b'nin düz a çizgisine dik olması, ardından yön vektörünün (4, - 3) 'e eşit koordinatlara sahip olması koşulundan görülür. Böylece, düz b çizgisinin kanonik denklemini düzlemde yazma fırsatımız var, çünkü M 1 noktasının koordinatları var, b düz çizgisine ait. Düz çizginin yön vektörünün koordinatlarını belirleyin b. X - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 elde ederiz. Ortaya çıkan kanonik denklem genel olana dönüştürülmelidir. Sonra anlıyoruz

x + 1 4 \u003d y - 2-3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

H 1 olarak adlandıracağımız düz çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını bulalım. Dönüşümler şöyle görünür:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Yukarıdan, H 1 noktasının koordinatlarının (- 5; 5) olduğuna sahibiz.

M 1 noktasından a çizgisine olan mesafeyi hesaplamak gerekir. M 1 (- 1, 2) ve H 1 (- 5, 5) noktalarının koordinatlarına sahibiz, sonra mesafeyi bulmak için formülde yer değiştiririz ve bunu elde ederiz

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

İkinci çözüm.

Başka bir yolla çözmek için doğrunun normal denklemini elde etmek gerekir. Normalleştirme faktörünü değerlendirin ve 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 denkleminin her iki tarafını da çarpın. Buradan normalleştirme faktörünün - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5 olduğunu ve normal denklemin - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + şeklinde olacağını anlıyoruz 3 5 y - 7 \u003d 0.

Hesaplama algoritmasına göre, düz çizginin normal denklemini elde etmek ve x \u003d - 1, y \u003d 2 değerleri ile hesaplamak gerekir. Sonra anlıyoruz

4 5 - 1 + 3 5 2-7 \u003d - 5

Dolayısıyla, M 1 (- 1, 2) noktasından verilen 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 düz çizgisine olan mesafenin - 5 \u003d 5 değerine sahip olduğunu buluyoruz.

Cevap: 5 .

Bu yöntemde düz bir çizginin normal denklemini kullanmanın önemli olduğu görülebilir, çünkü bu yöntem en kısadır. Ancak ilk yöntem, daha fazla hesaplama noktasına sahip olmasına rağmen tutarlı ve mantıklı olması açısından uygundur.

Örnek 2

Düzlemde, M 1 (8, 0) noktası ve y \u003d 1 2 x + 1 düz çizgisi olan dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y vardır. Belirli bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Karar

Birinci yolla çözüm, eğimli verilen denklemin genel denkleme getirilmesi anlamına gelir. Basit olması için bunu farklı şekilde yapabilirsiniz.

Dikey çizgilerin eğimlerinin çarpımı - 1 değerine sahipse, verilen y \u003d 1 2 x + 1'e dik olan doğrunun eğimi 2'dir. Şimdi noktadan geçen düz çizginin denklemini M 1 (8, 0) koordinatlarıyla alıyoruz. Elimizde y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16 var.

H 1 noktasının koordinatlarını, yani y \u003d - 2 x + 16 ve y \u003d 1 2 x + 1 kesişme noktalarını bulmaya yöneliyoruz. Bir denklem sistemi oluştururuz ve şunu elde ederiz:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

M 1 (8, 0) koordinatlı noktadan y \u003d 1 2 x + 1 düz çizgiye olan mesafenin, başlangıç \u200b\u200bnoktası ve M 1 (8, 0) ve H 1 (6, 4) koordinatlarına sahip bitiş noktasına olan mesafeye eşit olduğu takip edilir. ... Hesaplıyoruz ve M 1 H 1 \u003d 6-8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5 olduğunu anlıyoruz.

İkinci yoldaki çözüm, katsayılı bir denklemden normal formuna gitmektir. Yani, y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 elde ederiz, o zaman normalleştirme faktörünün değeri - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 olacaktır. Doğrunun normal denkleminin - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0 biçimini aldığı takip edilir. M 1 8, 0 noktasından - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0 biçimindeki düz bir çizgiye kadar bir hesaplama yapalım. Biz alırız:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Cevap: 2 5 .

Örnek 3

M 1 (- 2, 4) koordinatlı noktadan 2 x - 3 \u003d 0 ve y + 1 \u003d 0 düz çizgilere olan mesafeyi hesaplamak gerekir.

Karar

2 x - 3 \u003d 0 düz çizgisinin normal formunun denklemini elde ederiz:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Ardından, M 1 - 2, 4 noktasından x - 3 2 \u003d 0 düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. Biz alırız:

M 1 H 1 \u003d - 2-3 2 \u003d 3 1 2

Düz doğrunun denklemi y + 1 \u003d 0 normalleştirme faktörü -1'dir. Bu, denklemin - y - 1 \u003d 0 biçimini alacağı anlamına gelir. M 1 (- 2, 4) noktasından düz - y - 1 \u003d 0 noktasına olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. - 4 - 1 \u003d 5'e eşit olduğunu anlıyoruz.

Cevap: 3 1 2 ve 5.

Düzlemin belirli bir noktasından O x ve O y koordinat eksenlerine olan mesafenin bulunmasını ayrıntılı olarak düşünün.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, O y ekseni, tamamlanmamış olan, x \u003d 0 ve O x - y \u003d 0 formuna sahip bir düz çizginin denklemine sahiptir. Denklemler koordinat eksenleri için normaldir, o zaman M 1 x 1, y 1 koordinatlı noktadan düz çizgilere olan mesafeyi bulmanız gerekir. Bu, M 1 H 1 \u003d x 1 ve M 1 H 1 \u003d y 1 formüllerine göre yapılır. Aşağıdaki şekilde düşünün.

Örnek 4

M 1 (6, - 7) noktasından O x y düzleminde bulunan koordinat çizgilerine olan mesafeyi bulun.

Karar

Y \u003d 0 denklemi O x düz çizgisine atıfta bulunduğundan, verilen koordinatlarla M 1'den bu düz çizgiye olan mesafeyi formülü kullanarak bulabilirsiniz. Bunu 6 \u003d 6 alıyoruz.

X \u003d 0 denklemi O y düz çizgisine atıfta bulunduğundan, formülü kullanarak M 1'den bu düz çizgiye olan mesafeyi bulabilirsiniz. Sonra bunu anlıyoruz - 7 \u003d 7.

Cevap:m 1'den O x'e uzaklık 6'dır ve M 1'den O y'ye 7'dir.

Üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktamız olduğunda, A noktasından a çizgisine olan mesafeyi bulmak gerekir.

Bir noktadan uzayda bulunan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanıza izin veren iki yöntemi düşünün. İlk durum, M 1 noktasından düz çizgiye olan mesafeyi dikkate alır; burada düz çizgi üzerindeki nokta H 1 olarak adlandırılır ve M 1 noktasından düz çizgi a'ya çizilen dikenin tabanıdır. İkinci durum, bu düzlemin noktalarının paralelkenarın yüksekliği olarak aranması gerektiğini göstermektedir.

İlk yol

Tanımdan, düz çizgi üzerinde bulunan M 1 noktasından mesafenin dik M 1 H 1'in uzunluğu olduğunu görüyoruz, sonra bunu H 1 noktasının bulunan koordinatlarıyla elde ediyoruz, sonra M 1 (x 1, y 1, z 1 arasındaki mesafeyi buluyoruz. ) ve H 1 (x 1, y 1, z 1), M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formülüne göre.

Tüm çözümün, М 1'den a doğrusuna çizilen dikdörtgenin tabanının koordinatlarını bulmaya gittiğini anlıyoruz. Bu şu şekilde yapılır: H 1, düz çizginin verilen noktadan geçen düzlemle kesiştiği noktadır.

Dolayısıyla, uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından a doğrusuna olan mesafeyi belirleyen algoritma birkaç noktayı ifade eder:

Tanım 5

• düz çizgiye dik olan belirli bir noktadan geçen düzlemin denklemi olarak χ düzleminin denklemini çizmek;
• düz çizgi ile plane düzleminin kesişme noktası olan H 1 noktasına ait koordinatların (x 2, y 2, z 2) belirlenmesi;
• m 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak.

İkinci yol

Düz bir a çizgisine sahip olduğumuz durumda, yön vektörünü a → \u003d a x, a y, a z x 3, y 3, z 3 koordinatlarıyla ve a düz çizgisine ait belirli bir M 3 noktası belirleyebiliriz. M 1 (x 1, y 1) ve M 3 x 3, y 3, z 3 noktalarının koordinatları verildiğinde, M 3 M 1 → hesaplayabilirsiniz:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

A → \u003d a x, a y, a z ve M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerini M 3 noktasından ertelemeli, bağlamalı ve bir paralelkenar şekli almalısınız. M 1 H 1 paralelkenarın yüksekliğidir.

Aşağıdaki şekilde düşünün.

M 1 H 1 yüksekliğinin istenen mesafe olduğunu biliyoruz, o zaman onu formülle bulmak gerekiyor. Yani M 1 H 1'i arıyoruz.

S harfi için paralelkenarın alanını ifade edelim, formülde a → \u003d (a x, a y, a z) ve M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3 vektörü kullanılarak bulunur. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Alan formülü S \u003d a → × M 3 M 1 → şeklindedir. Ayrıca, şeklin alanı, kenarlarının uzunluklarının yüksekliğine göre çarpımına eşittir, S \u003d a → M 1 H 1 ve a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2 vektörünün uzunluğu olan a → \u003d (ax, ay, az), paralelkenarın kenarına eşittir. Dolayısıyla, M 1 H 1, bir noktadan bir çizgiye olan mesafedir. M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → formülüyle bulunur.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan uzayda düz bir a çizgisine olan mesafeyi bulmak için, algoritmanın birkaç adımını gerçekleştirmeniz gerekir:

Tanım 6

• düz çizginin yönlendirme vektörünün belirlenmesi a - a → \u003d (a x, a y, a z);
• yön vektörünün uzunluğunun hesaplanması a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a düz çizgisi üzerinde bulunan M3 noktasına ait x 3, y 3, z 3 koordinatlarının elde edilmesi;
• m 3 M 1 → vektörünün koordinatlarının hesaplanması;
• a → (ax, ay, az) ve M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerinin a → × M 3 M 1 → \u003d i → çarpımını bulma j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → formülüyle uzunluğu elde etmek için;
• bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin hesaplanması M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulma ile ilgili problemleri çözme

Örnek 5

Koordinatları M 1 2, - 4, - 1 olan noktadan x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 doğrusuna olan mesafeyi bulun.

Karar

İlk yöntem, M 1'den geçen ve dik olan düzlemin denklemini yazmakla başlar. ayar noktası... Formun bir ifadesini alıyoruz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Düzlemle χ kesişme noktası olan H 1 noktasının koşul tarafından belirtilen doğrunun koordinatlarını bulmak gerekir. Kanonik olandan kesişen olana gitmelisiniz. Sonra formdaki bir denklem sistemi elde ederiz:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

X + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y sistemini hesaplamak gerekir Cramer'in yöntemine göre + 5 z \u003d 3, sonra şunu anlıyoruz:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1-1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Dolayısıyla H 1 (1, - 1, 0) var.

M 1 H 1 \u003d 1-2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

İkinci yol, koordinatları arayarak başlamaktır. kanonik denklem... Bunu yapmak için, kesrin paydalarına dikkat etmeniz gerekir. O zaman a → \u003d 2, - 1, 5, x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 doğrusunun yön vektörüdür. Uzunluğu a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30 formülüyle hesaplamak gerekir.

X + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 doğrusunun M3 (- 1, 0, - 5) noktasını kesiştiği açıktır, dolayısıyla M 3 (- 1, 0, - 5) orijinli vektörümüz var. ve M 1 2, - 4, - 1 noktasındaki sonu M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4'tür. A → \u003d (2, - 1, 5) ve M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4) vektör ürününü bulun.

A → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 şeklinde bir ifade elde ederiz J → \u003d 16 ben → + 7 j → - 5 k →

vektör çarpımının uzunluğunun a → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330 olduğunu anlıyoruz.

Düz bir çizgi için bir noktadan mesafeyi hesaplamak için formülü kullanmak için tüm verilere sahibiz, bu yüzden uygularız ve elde ederiz:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Cevap: 11 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Bir düzlemdeki bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için formül

Düz Ax + By + C \u003d 0 çizgisinin denklemi verilirse, M (M x, M y) noktasından düz çizgiye olan mesafe aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir.

Bir düzlemdeki bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için görev örnekleri

Örnek 1.

3x + 4y - 6 \u003d 0 doğrusu ile M (-1, 3) noktası arasındaki mesafeyi bulun.

Karar. Formülde doğrunun katsayılarını ve noktanın koordinatlarını değiştirin

Cevap: bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe 0,6'dır.

bir vektöre dik noktalardan geçen bir düzlemin denklemi Bir düzlemin genel denklemi

Belirli bir düzleme dik sıfır olmayan bir vektör denir normal vektör (veya kısaca, normal ) bu uçak için.

Koordinat alanı (dikdörtgen koordinat sisteminde) verilsin:

bir nokta ;

b) sıfır olmayan bir vektör (Şekil 4.8, a).

Bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini çizmek gerekir vektöre dik İspatın sonu.

Şimdi bir düzlemdeki düz bir çizginin çeşitli denklemlerini ele alalım.

1) Uçağın genel denklemiP .

Eşzamanlı olarak denklemin türetilmesinden izler bir, B ve C 0'a eşit değil (nedenini açıklayın).

Nokta uçağa ait P sadece koordinatları düzlem denklemini sağlıyorsa. Oranlara bağlı olarak bir, B, C ve Duçak P şu veya bu konumu kaplar:

- düzlem koordinat sisteminin başlangıcından geçer, - düzlem koordinat sisteminin başlangıcından geçmez,

- düzlem eksene paraleldir X,

X,

- düzlem eksene paraleldir Y,

- düzlem eksene paralel değil Y,

- düzlem eksene paraleldir Z,

- düzlem eksene paralel değil Z.

Bu ifadeleri kendiniz kanıtlayın.

Denklem (6), denklem (5) 'den kolayca türetilir. Doğrusu, noktanın uçakta kalmasına izin ver P... Daha sonra koordinatları denklemi (7) denkleminden (5) çıkararak ve terimleri gruplayarak denklemi (6) elde ederiz. Şimdi sırasıyla koordinatlı iki vektörü düşünün. Formül (6) 'dan, skaler ürününün sıfıra eşit olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle vektör, vektöre diktir.Son vektörün başı ve sonu sırasıyla düzleme ait noktalardadır. P... Bu nedenle, vektör düzleme diktir P... Noktadan düzleme uzaklık Pgenel denklemi formül tarafından belirlenir Bu formülün kanıtı, bir nokta ile bir doğru arasındaki mesafenin formülünün ispatına tamamen benzerdir (bkz. Şekil 2).
Şekil: 2. Bir düzlem ile bir doğru arasındaki uzaklık formülünün türetilmesi.

Doğrusu, mesafe d düz bir çizgi ile bir düzlem arasında

uçakta yatan nokta nerede. Dolayısıyla 11 numaralı derste olduğu gibi yukarıdaki formül elde edilir. Normal vektörleri paralel ise iki düzlem paraleldir. Bundan iki düzlemin paralellik durumunu elde ederiz - düzlemlerin genel denklemlerinin katsayıları. Normal vektörleri dikse iki düzlem diktir, bu nedenle genel denklemleri biliniyorsa, iki düzlemin diklik koşulunu elde ederiz.

Açı f iki düzlem arasındaki açı, normal vektörleri arasındaki açıya eşittir (bkz.Şekil 3) ve bu nedenle formülle hesaplanabilir
Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi.

(11)

Noktadan düzleme uzaklık ve onu bulmanın yolları

Noktadan uzaklık uçak - bir noktadan bu düzleme düşen dikenin uzunluğu. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmanın en az iki yolu vardır: geometrik ve cebirsel.

Geometrik yöntemle önce dikenin bir noktadan düzleme nasıl yerleştirildiğini anlamanız gerekir: belki uygun bir düzlemde yer alır, uygun (veya öyle değil) bir üçgenin yüksekliği veya belki de bu dikey, genellikle bir piramitteki yüksekliktir.

Bu ilk ve en zor aşamadan sonra, görev birkaç özel planimetrik göreve (belki farklı düzlemlerde) ayrılır.

Cebirsel şekilde Bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmak için, bir koordinat sistemi girmeniz, noktanın koordinatlarını ve düzlemin denklemini bulmanız ve ardından bir noktadan düzleme olan mesafe formülünü uygulamanız gerekir.

OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooBu nedenle ilk bölüme geçeceğiz, umarım makalenin sonunda neşeli bir zihin çerçevesini koruyacağım.

İki düz çizginin göreceli konumu

Seyircilerin koro ile birlikte şarkı söylediği durum. İki düz çizgi olabilir:

1) eşleşme;

2) paralel olun :;

3) veya tek bir noktada kesişir :.

Aptallar için Yardım : Lütfen kesişme noktasının matematiksel işaretini hatırlayın, çok yaygın olacaktır. Gösterim, düz bir çizginin bir noktada düz bir çizgiyle kesiştiğini belirtir.

İki düz çizginin göreceli konumu nasıl belirlenir?

İlk durumla başlayalım:

İki düz çizgi, ancak ve ancak karşılık gelen katsayıları orantılıysa çakışıryani öyle bir "lambda" sayısı vardır ki eşitlikler

Düz çizgiler düşünün ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturun: Her denklemden, bu nedenle bu çizgilerin çakıştığı anlaşılmaktadır.

Gerçekten, denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayılarını 2 ile azaltın, sonra aynı denklemi elde edersiniz :.

İkinci durum, çizgiler paralel olduğunda:

İki düz çizgi paraleldir ancak ve ancak değişkenler için katsayıları orantılıysa: fakat.

Örnek olarak, iki satırı düşünün. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak bu oldukça açık.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki düz çizgi ancak ve ancak değişkenler için katsayıları orantılı DEĞİLSE kesişiryani, eşitliklerin sağlandığı böyle bir lambda değeri YOKTUR

Yani, düz çizgiler için sistemi oluşturacağız:

İlk denklemden bunu izler ve ikinci denklemden:, bu nedenle, sistem tutarsız (çözüm yok). Dolayısıyla değişkenlerin katsayıları orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde, az önce ele alınan çözüm şemasını kullanabilirsiniz. Bu arada, derste ele aldığımız doğrusallık için vektörleri kontrol etme algoritmasına çok benziyor. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı kavramı. Vektör temeli... Ancak daha medeni bir ambalaj var:

örnek 1

Düz çizgilerin göreceli konumunu bulun:

Karar düz çizgilerin yön vektörlerinin çalışmasına dayanarak:

a) Denklemlerden düz çizgilerin yön vektörlerini buluruz: .

, dolayısıyla vektörler eşdoğrusal değildir ve çizgiler kesişir.

Her ihtimale karşı, kavşağa işaretçiler içeren bir taş koyacağım:

Gerisi taşın üzerinden atla ve devam et, doğruca Ölümsüz Kashchei'ye \u003d)

b) Düz çizgilerin yön vektörlerini bulun:

Çizgiler aynı yön vektörüne sahiptir, yani paralel veya çakışırlar. Burada determinantı saymaya gerek yok.

Bilinmeyenler için katsayıların orantılı olduğu açıktır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Düz çizgilerin yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
dolayısıyla yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışır.

Orantılılık katsayısı "lambda", doğrudan doğruya yön vektörlerinin oranından görülebilir. Bununla birlikte, denklemlerin katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki ücretsiz terim de sıfırdır, dolayısıyla:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (herhangi bir sayı genellikle onu karşılar).

Böylece çizgiler çakışır.

Cevap:

Çok yakında sözlü olarak kabul edilen problemi saniyeler içinde nasıl çözeceğinizi öğreneceksiniz (hatta zaten öğrendiniz). Bu bağlamda, bağımsız bir çözüm için herhangi bir teklifte bulunmak için hiçbir neden görmüyorum, geometrik temele başka bir önemli tuğla koymak daha iyidir:

Verilen bir çizgiye paralel düz bir çizgi nasıl oluşturulur?

Bu basit görevdeki cehalet yüzünden Hırsız Bülbül ağır bir şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklem tarafından verilmiştir. Bir noktadan geçen paralel bir çizgiyi eşitleyin.

Karar: Bilinmeyen doğrudan mektubu gösterelim. Durum onun hakkında ne söylüyor? Düz çizgi noktadan geçer. Ve eğer düz çizgiler paralel ise, o zaman düz çizgi "tse" nin yönlendirme vektörünün de "de" düz çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Denklemden yön vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Örneğin geometrisi basit görünüyor:

Analitik doğrulama aşağıdaki adımlardan oluşur:

1) Doğruların aynı yön vektörüne sahip olup olmadıklarını kontrol ederiz (eğer doğrunun denklemi düzgün bir şekilde sadeleştirilmezse, o zaman vektörler eşdoğrusal olacaktır).

2) Noktanın elde edilen denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Analitik incelemenin çoğu durumda sözlü olarak yapılması kolaydır. İki denkleme bakın ve çoğunuz herhangi bir çizim yapmadan düz çizgilerin paralelliğini hızla belirleyeceksiniz.

Bugün kendi kendine çözme örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü hala Baba Yaga ile rekabet etmek zorundasın ve o, biliyorsun, her türden bilmecenin sevgilisi.

Örnek 3

Düz bir çizgiye paralel bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemini yapın:

Akılcı ve pek akılcı olmayan bir çözüm var. En kısa yol dersin sonunda.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık ve onlara daha sonra döneceğiz. Çakışan düz çizgiler durumu pek ilgi çekmez, bu nedenle, sizin için iyi bilinen bir sorunu düşünün. okul müfredatı:

İki doğrunun kesişme noktası nasıl bulunur?

Düz ise bir noktada kesişir, o zaman koordinatları çözümdür doğrusal denklem sistemleri

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

Senin için çok fazla iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin geometrik anlamı Bir düzlemde kesişen (çoğunlukla) düz çizgilerdir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Karar: Çözümlemenin iki yolu vardır - grafiksel ve analitik.

Grafiksel yol, basitçe veri çizgilerini çizmek ve kesişme noktasını doğrudan çizimden bulmaktır:

İşte amacımız: Kontrol etmek için, koordinatlarını düz bir çizginin her denkleminde değiştirmelisiniz, hem oraya hem de oraya sığmaları gerekir. Başka bir deyişle, bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Temel olarak, çözmek için grafiksel bir yola baktık doğrusal denklem sistemleri iki denklem, iki bilinmeyen.

Grafik yöntem elbette fena değil, ancak göze çarpan dezavantajlar var. Hayır, asıl mesele yedinci sınıfların karar vermesi değil, önemli olan doğru ve KESİN bir çizim almanın zaman alacağıdır. Ek olarak, bazı düz çizgilerin oluşturulması o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi, defter sayfasının dışındaki otuz krallıkta bir yerde olabilir.

Bu nedenle, analitik yöntemi kullanarak kesişme noktasını aramak daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için, denklemlerin terime göre eklenmesi yöntemi kullanıldı. İlgili becerileri geliştirmek için dersi ziyaret edin. Bir denklem sistemi nasıl çözülür?

Cevap:

Kontrol önemsizdir - kesişme noktasının koordinatları sistemdeki her denklemi karşılamalıdır.

Örnek 5

Kesişirlerse çizgilerin kesişme noktasını bulun.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Görevi birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi, neye ihtiyaç duyulduğunu gösterir:
1) Düz çizginin denklemini yapın.
2) Düz çizginin denklemini yapın.
3) Düz çizgilerin göreceli konumunu bulun.
4) Çizgiler kesişiyorsa, kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi birçok geometrik problem için tipiktir ve ben buna tekrar tekrar odaklanacağım.

Tam çözüm ve eğiticinin sonundaki cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimiz için henüz bir çift ayakkabı giyilmedi:

Dikey düz çizgiler. Noktadan çizgiye uzaklık.
Düz çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok önemli bir görevle başlayalım. İlk bölümde, buna paralel düz bir çizginin nasıl oluşturulacağını öğrendik ve şimdi tavuk budu üzerindeki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl oluşturulur?

Örnek 6

Düz çizgi denklem tarafından verilmiştir. Bir noktadan geçen dik bir çizgiyi eşitleyin.

Karar: Şartlara göre biliniyor. Düz çizginin yön vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan, işin püf noktası basit:

Denklemden, düz çizginin yön vektörü olacak normal vektörü: "çıkarın".

Bir doğrunun denklemini bir nokta ve bir yön vektörüyle oluşturalım:

Cevap:

Geometrik çizimi genişletelim:

Hmmm ... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Denklemlerden yön vektörlerini çıkarın ve yardımla vektörlerin iç çarpımı Düz çizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz:

Bu arada, normal vektörleri kullanabilirsiniz, daha da kolay.

2) Noktanın elde edilen denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Kontrol, yine sözlü olarak yapmak kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa, dik çizgilerin kesişme noktasını bulun ve işaret edin.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Görevde birkaç eylem vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta hazırlamak uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye uzaklık

Önümüzde nehrin düz bir şeridi var ve bizim görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yoktur ve en uygun rota, dik doğrultudaki hareket olacaktır. Yani, bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe, dikey bir çizginin uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca "ro" harfiyle gösterilir, örneğin: - "em" noktasından düz "de" çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye uzaklık formülle ifade edilir

Örnek 8

Noktadan çizgiye olan mesafeyi bulun

Karar: ihtiyacınız olan tek şey, sayıları formüle dikkatlice eklemek ve hesaplamaları yapmaktır:

Cevap:

Çizimi yapalım:

Noktadan bulunan çizgiye olan mesafe, tam olarak kırmızı çizginin uzunluğudur. Kareli kağıda 1 birimlik bir ölçekte çizim yaparsanız. \u003d 1 cm (2 hücre), bu durumda mesafe sıradan bir cetvel ile ölçülebilir.

Aynı plan için başka bir görevi düşünün:

Görev, düz bir çizgiye göre bir noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulmaktır. ... Eylemleri kendiniz yapmayı öneriyorum, ancak çözüm algoritmasını ara sonuçlarla özetleyeceğim:

1) Çizgiye dik olan bir çizgi bulun.

2) Çizgilerin kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste detaylandırılmıştır.

3) Nokta, çizgi parçasının orta noktasıdır. Ortadaki ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. Tarafından segmentin orta noktasının koordinatları için formüller bulduk.

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek gereksiz olmayacaktır.

Hesaplamalarda burada zorluklar ortaya çıkabilir, ancak kulede bir mikro hesap makinesi, sıradan kesirleri saymanıza izin vererek harika bir şekilde yardımcı olur. Tekrar tekrar tavsiye edilir, tavsiye eder ve tekrar eder.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu, bağımsız bir çözüm için başka bir örnektir. Size küçük bir ipucu vereyim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu vardır. Dersin sonunda bilgi alma, ama kendiniz için tahmin etmeye çalışsanız iyi olur, bence yaratıcılığınızı oldukça iyi dağıtmayı başardınız.

İki düz çizgi arasındaki açı

Her açı bir pervazdır:


Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı EN KÜÇÜK açı olarak alınır ve buradan geniş olamayacağını otomatik olarak izler. Şekilde, kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen düz çizgiler arasındaki açı olarak kabul edilmemiştir. Ve "yeşil" komşusu böyle kabul edilir, veya zıt yönlü "Kızıl" köşe.

Düz çizgiler dikse, aralarındaki açı olarak 4 açıdan herhangi biri alınabilir.

Açılar nasıl farklılık gösterir? Oryantasyon. Birincisi, köşe "kaydırma" nın yönü temel öneme sahiptir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer.

Bunu neden söyledim? Görünüşe göre her zamanki açı kavramı ile idare edebilirsiniz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüllerde, kolayca olumsuz bir sonuç elde edebilirsiniz ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Çizimde, negatif bir açı için, yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur? İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Düz çizgiler arasındaki açıyı bulun

Karar ve Birinci yöntem

Genel formdaki denklemler tarafından verilen iki düz çizgiyi düşünün:

Düz ise dik değilsonra yönlü aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler çarpım düz çizgilerin yön vektörleri:

Eğer, o zaman formülün paydası yok olur ve vektörler ortogonal ve düz çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyondaki düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince yapılmıştır.

Yukarıdakilere dayanarak, iki adımda bir çözüm düzenlemek uygundur:

1) Düz çizgilerin yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayın:
bu nedenle, düz çizgiler dik değildir.

2) Düz çizgiler arasındaki açı aşağıdaki formülle bulunur:

Vasıtasıyla ters fonksiyon köşenin kendisinin bulunması kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri):

Cevap:

Cevapta, bir hesap makinesi kullanılarak hesaplanan tam değeri ve yaklaşık değeri (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Eh, eksi, yani eksi, sorun değil. İşte geometrik bir örnek:

Açının negatif bir yönelime sahip olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem ifadesinde ilk sayı düz bir çizgidir ve açının "bükülmesi" bununla başlamıştır.

Eğer gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız, düz çizgileri değiştirmelisiniz, yani katsayıları ikinci denklemden almalısınız. ve katsayılar ilk denklemden alınır. Kısacası düz bir çizgiyle başlamalısın .

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe, bir noktadan düz bir çizgiye düşürülen dikenin uzunluğudur. Tanımlayıcı geometride aşağıdaki algoritma kullanılarak grafiksel olarak belirlenir.

Algoritma

1. Düz çizgi, herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olacağı bir konuma aktarılır. Bunun için ortogonal projeksiyonları dönüştürme yöntemleri kullanılır.
2. Bir noktadan, düz bir çizgiye bir dik çizilir. Bu yapı projeksiyon teoremine dayanmaktadır dik açı.
3. Bir dikenin uzunluğu, çıkıntılarını dönüştürerek veya dik üçgen yöntemi kullanılarak belirlenir.

Aşağıdaki şekil, CD segmenti tarafından tanımlanan M noktası ve b çizgisinin karmaşık bir çizimini göstermektedir. Aralarındaki mesafeyi bulmak gerekiyor.

Algoritmamıza göre yapılacak ilk şey, çizgiyi projeksiyon düzlemine paralel bir konuma taşımaktır. Dönüşümlerden sonra nokta ile çizgi arasındaki gerçek mesafenin değişmemesi gerektiğini anlamak önemlidir. Bu nedenle, uzayda hareket eden figürleri içermeyen burada düzlemleri değiştirme yöntemini kullanmak uygundur.

İnşaatın ilk aşamasının sonuçları aşağıda gösterilmiştir. Şekil, ek bir P 4 ön düzleminin b'ye paralel olarak nasıl tanıtıldığını göstermektedir. Yeni sistemde (P 1, P 4) C "" 1, D "" 1, M "" 1 noktaları X ekseni 1 ile C "", D "", M "" eksenden aynı mesafede bulunmaktadır. X.

Algoritmanın ikinci bölümünü gerçekleştirerek, M "" 1'den dik M "" 1 N "" 1'i düz çizgi b "" 1'e indiriyoruz, çünkü b ve MN arasındaki dik MND açısı P 4 düzlemine tam boyutlu olarak yansıtılıyor. İletişim hattında, N "noktasının konumunu belirleriz ve MN segmentinin M" N "izdüşümünü gerçekleştiririz.

Son aşamada, MN segmentinin değerini M "N" ve M "" 1 N "" 1 projeksiyonları ile belirlemeniz gerekir. Bunun için inşa ediyoruz sağ üçgen M "" 1 N "" 1 N 0, burada N "" 1 N 0 ayağı, X1 ekseninden M "ve N" noktalarının çıkarılmasının farkına (Y M 1 - Y N "eşittir). M "" 1 N "" 1 N 0 üçgeninin hipotenüs M "" 1 N 0 uzunluğu, M'den b'ye istenen mesafeye karşılık gelir.

İkinci çözüm

• CD'ye paralel olarak, yeni bir ön düzlem P 4'ü sunuyoruz. X 1 ekseni boyunca П 1 ile X 1 ∥C "D" ile kesişir. Düzlemleri değiştirme yöntemine göre, şekilde gösterildiği gibi C "" 1, D "" 1 ve M "" 1 noktalarının projeksiyonlarını belirleriz.
• C "" 1 D "" 1'e dik olarak, üzerine düz çizgi b'nin C "2 \u003d b" 2 noktasına yansıtıldığı ek bir yatay düzlem P 5 oluşturuyoruz.
• M noktası ile b çizgisi arasındaki mesafe, kırmızı ile işaretlenmiş M "2 C" 2 segmentinin uzunluğu ile belirlenir.

Benzer görevler:

155 *. Genel pozisyonda AB çizgi parçasının gerçek boyutunu belirleyin (Şekil 153, a).

Karar. Bildiğiniz gibi, düz bir çizgi parçasının herhangi bir düzlemdeki izdüşümü, bu düzleme paralelse, parçanın kendisine eşittir (çizimin ölçeği dikkate alınarak)

(Şekil 153, b). Bundan, çizimi dönüştürerek karenin bu parçasının paralelliğini elde etmenin gerekli olduğu sonucu çıkar. V veya pl. H veya V, H sistemini pl'ye dik başka bir düzlemle destekleyin. V veya pl. H ve aynı zamanda bu segmente paralel.

İncirde. 153, pl'ye dik olan ek bir S düzleminin girişini göstermektedir. H ve belirli bir AB segmentine paralel.

Projeksiyon a s b s, AB segmentinin doğal değerine eşittir.

İncirde. 153, d, başka bir tekniği gösterir: AB segmenti, B noktasından geçen ve pl'ye dik olan düz bir çizgi etrafında döndürülür. H, paralel bir konuma

pl. V. Bu durumda, B noktası yerinde kalır ve A noktası yeni bir A 1 konumu alır. Ufuk yeni konumunda. projeksiyon а 1 b || x-ekseni. Projeksiyon a "1 b", AB segmentinin doğal değerine eşittir.

156. Bir piramit SABCD verilmiştir (şek. 154). Dönme yöntemini kullanarak projeksiyon düzlemlerini ve BS ve DS kenarlarını değiştirme yöntemini kullanarak AS ve CS piramidinin kenarlarının gerçek boyutunu belirleyin ve dönme eksenini kareye dik olarak alın. H.

157 *. A noktasından BC düz çizgisine kadar olan mesafeyi belirleyin (Şekil 155, a).

Karar. Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe, bir noktadan düz bir çizgiye çizilen dikey bir parça ile ölçülür.

Düz çizgi herhangi bir düzleme dik ise (Şekil 155.6), o zaman noktadan düz çizgiye olan mesafe, noktanın izdüşümü ile arasındaki mesafe ile ölçülür. noktadan çıkıntı bu düzlemde düz çizgi. Düz bir çizgi, V, H sisteminde genel bir konum işgal ediyorsa, projeksiyon düzlemlerini değiştirerek bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi belirlemek için, V, H sistemine iki ek düzlem eklenmelidir.

İlk olarak (Şekil 155, c) pl giriyoruz. BC segmentine paralel S (yeni S / H ekseni bc projeksiyonuna paraleldir) ve b s c s ve a s projeksiyonlarını oluşturun. Sonra (Şekil 155, d) başka bir pl ekliyoruz. BC doğrusuna dik T (yeni T / S ekseni b s c s'ye dik). T (b t) ve a t ile bir doğru ve bir noktanın projeksiyonlarını oluşturuyoruz. A t ve c t (b t) noktaları arasındaki mesafe, l noktasının A noktasından BC çizgisine olan mesafesine eşittir.

İncirde. 155e'de aynı görev, paralel hareket yöntemi olarak adlandırılan kendi biçimindeki döndürme yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir. İlk olarak, BC düz çizgisi ve A noktası, karşılıklı konumlarını değiştirmeden tutarak, pl'ye dik bir düz çizgi (çizimde gösterilmemiştir) etrafında dönerler. H, böylelikle BC doğrusu kareye paraleldir. V. Bu, kareye paralel düzlemlerdeki hareketli A, B, C noktalarına eşdeğerdir. H. Bu durumda ufuk. belirli bir sistemin (BC + A) izdüşümü büyüklük ya da konfigürasyon olarak değişmez, sadece x eksenine göre konumu değişir. Ufku konumlandırıyoruz. BC düz çizgisinin x eksenine paralel izdüşümü (konum b 1 c 1) ve projeksiyonu a 1, c 1 1 1 \u003d c-1 ve bir 1 1 1 \u003d a-1 ve bir 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 erteleyerek tanımlayın. X eksenine paralel düz çizgiler çizerek b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1, üzerlerinde ön tarafı buluruz. izdüşüm b "1, a" 1, c "1. Ardından, B 1, C 1 ve A 1 noktalarını, B 2 C 2 elde etmek için, V karesine paralel düzlemlerde (göreceli konumlarını da değiştirmeden) hareket ettirin. H karesi Bu durumda, düz çizginin izdüşümü şuna dik olarak yerleştirilecektir. x, b eksenleri 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 ve projeksiyonu oluşturmak için a" 2, b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 alın, 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 çizin ve erteleyin a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Şimdi, 1'den 2'ye ve 1'den 2'ye harcadıktan sonra || x 1 2 ve a 2 ile b 2 projeksiyonlarını ve A noktasından BC çizgisine gereken l mesafesini elde ederiz. A noktası ve BC doğrusu tarafından tanımlanan düzlemi bu düzlemin yatay çevresinde T konumuna döndürerek A'dan BC'ye olan mesafeyi belirleyebilirsiniz || pl. H (Şekil 155, f).

A noktası ve BC düz çizgisi tarafından belirlenen düzlemde, yatay bir A-1 çizgisi (Şekil 155, g) çizin ve B noktasını onun etrafında döndürün, B noktası kareye hareket eder. A-1'e dik olan R (çizimde R h iziyle verilmiştir); O noktasında B noktasının dönme merkezidir. Şimdi VO'nun dönme yarıçapının gerçek değerini belirliyoruz (Şekil 155, c). İstenilen pozisyonda, yani pl. A noktası ve BC çizgisiyle tanımlanan T, || olacaktır. pl. H, B noktası, O noktasından Ob 1 mesafede R h'de ortaya çıkacaktır (aynı R h izi üzerinde, ancak O'nun diğer tarafında başka bir pozisyon olabilir). B 1 noktası ufuktur. A noktası ve BC doğrusu ile tanımlanan düzlem T pozisyonunu aldığında, uzayda B 1 konumuna hareket ettirdikten sonra B noktasının izdüşümü.

Çizdikten sonra (Şekil 155, i) düz çizgi b 1 1, ufku elde ederiz. düz BC çizgisinin izdüşümü, zaten yerleştirilmiş || pl. H, A ile aynı düzlemde. Bu konumda, a'dan b'ye olan mesafe 1 1, istenen mesafe l'ye eşittir. Verilen elemanların bulunduğu P düzlemi pl ile birleştirilebilir. H (Şek. 155, j), pl. Çevresindeki ufuk. iz. Düzlemi A noktasıyla ve BC düz çizgisiyle belirlemekten BC ve A-1 düz çizgilerini belirlemeye geçersek (Şekil 155, l), bu düz çizgilerin izlerini buluruz ve bunların içinden P ϑ ve P h izlerini çizeriz. Pl ile birlikte inşa ediyoruz (Şekil 155, m). H pozisyonu ön. izleme - P ϑ0.

Ufku a noktasından çizin. önden projeksiyon; hizalanmış ön kısım, Р ϑ0'a paralel olarak Рh yolu üzerindeki 2 noktasından geçer. Nokta A 0 - pl ile birlikte. H, A noktasının konumudur. Benzer şekilde, B 0 noktasını buluruz. Doğrudan güneş pl ile birleştirildi. H konumu B 0 noktasından ve m noktasından (yatay çizgi izi) geçer.

A 0 noktasından B 0 C 0 noktasına kadar olan mesafe gerekli l mesafesine eşittir.

Sadece bir iz P h bularak belirtilen konstrüksiyonu gerçekleştirebilirsiniz (Şekil 155, n ve o). Tüm yapı, bir yatay etrafında bir dönüşe benzer (bkz. Şekil 155, g, c, i): iz Р h, karenin kontur çizgilerinden biridir. R.

Bu problemi çözmek için verilen bir çizimi dönüştürme yöntemlerinden, bir yatay veya ön taraf etrafında dönme yöntemi tercih edilir.

158. Piramit SABC verilmiştir (şek. 156). Mesafeleri belirleyin:

a) paralel hareketle tabanın üst B'sinden AC yanına;

b) yatay etrafında dönerek S piramidinin tepesinden tabanın BC ve AB taraflarına;

c) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek tabanın üst S'sinden AC tarafına.

159. Bir prizma verilmiştir (şek. 157). Mesafeleri belirleyin:

a) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek AD ve CF kenarları arasında;

b) ön çevresinde dönerek BE ve CF nervürleri arasında;

c) paralel hareketle AD ve BE kenarları arasında.

160. ABCD dörtgeninin gerçek boyutunu (Şekil 158) pl ile hizalayarak belirleyin. H. Yalnızca yatay düzlem izini kullanın.

161 *. AB ve CD kesişen çizgileri arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 159, a) ve bunlarla ortak olan dikey çıkıntıları oluşturun.

Karar. Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, her iki çizgiye dik olan segment (MN) ile ölçülür (Şekil 159, b). Açıktır ki, düz çizgilerden biri herhangi bir kareye dik olarak yerleştirilirse. T o zaman

her iki çizgiye dik olan MN segmenti kareye paralel olacaktır. Bu düzlemdeki T projeksiyonu istenen mesafeyi gösterecektir. Dik açı menad MN n AB'nin karede izdüşümü. T aynı zamanda m t n t ile a t b t arasında bir dik açıdır, çünkü dik açının AMN yanlarından biri olan MN. pl paralel. T.

İncirde. 159, c ve d istenilen mesafe l, projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemi ile belirlenir. İlk olarak, ek bir kare ekliyoruz. projeksiyonlar S, pl'ye dik. H ve düz CD çizgisine paralel (Şekil 159, c). Sonra başka bir kare ekliyoruz. T, pl'ye dik. S ve aynı CD düz çizgisine diktir (Şekil 159, d). Şimdi m t n t noktasından a t b t izdüşümüne dik olan c t (d t) noktasından çizerek ortak dikin bir izdüşümü oluşturabilirsiniz. M t ve n t noktaları, bu dikin AB ve CD düz çizgileriyle kesişme noktalarının projeksiyonlarıdır. M t noktasında (Şekil 159, e) a s b s üzerinde m s buluruz: m s n s izdüşümü T / S eksenine paralel olmalıdır. Dahası, m s ve n s ile ab ve cd'de m ve n'yi buluyoruz ve bunların üzerinde m "ve n", a "b" ve c "d" üzerinde

İncirde. 159, c bu problemin çözümünü paralel hareketler yöntemiyle göstermektedir. Önce kareye paralel düz bir CD koyarız. V: projeksiyon c 1 d 1 || x. Daha sonra, CD ve AB düz çizgilerini C 1 D 1 ve A 1 B 1 konumlarından C 2 B 2 ve A 2 B 2 konumlarına taşırız, böylece C 2 D 2 H'ye diktir: "2 d" 2 ⊥ x ile izdüşüm. Aranan dik parçanın parçası bulunur || pl. H ve dolayısıyla m 2 n 2, AB ile CD arasında istenen l mesafesini ifade eder. Projeksiyonlar m "2 ve n" 2'nin bir "2 b" 2 ve c "2 d" 2 üzerindeki konumunu, ardından çıkıntıları ve m 1 ve m "1, n 1 ve n" 1 ve son olarak m "ve n çıkıntılarını bulun ", m ve n.

162. SABC piramidi verilmiştir (şek. 160). Çıkıntı düzlemlerini değiştirme yöntemini uygulayarak, SB kenarı ile piramidin tabanının AC kenarı arasındaki mesafeyi belirleyin ve ortak SB ve AC'ye dik çıkıntılar oluşturun.

163. Bir piramit SABC verilmiştir (şek. 161). Kenar SH ile piramidin tabanının BC tarafı arasındaki mesafeyi belirleyin ve paralel hareket yöntemini uygulayarak SX ve BC'ye dik ortak çıkıntının projeksiyonunu oluşturun.

164 *. Düzlemin verildiği durumlarda A noktasından düzleme olan mesafeyi belirleyin: a) BCD üçgeni ile (Şekil 162, a); b) izler (Şekil 162, b).

Karar. Bildiğiniz gibi, bir noktadan düzleme olan mesafe, bir noktadan bir düzleme çizilen bir dikenin değeriyle ölçülür. Bu mesafe herhangi bir kareye yansıtılır. Bu düzlem kareye dik ise tam boyutlu çıkıntılar. çıkıntılar (Şekil 162, c). Bu durum, örneğin kareyi değiştirerek çizimi dönüştürerek elde edilebilir. projeksiyonlar. Pl tanıtıyoruz. S (Şekil 16c, d), pl'ye dik. üçgen BCD. Bunu yapmak için pl harcıyoruz. yatay üçgen B-1 ve projeksiyon eksenini S yatayın izdüşümü b-1'e dik olarak yerleştirin. Bir nokta ve bir düzlemin projeksiyonlarını oluşturuyoruz - a s ve bir segment c s d s. A s ile c s d s arasındaki mesafe, noktanın düzleme olan gerekli uzaklığı l'ye eşittir.

Rio'da. 162, e paralel hareket yöntemi uygulanmaktadır. B-1 düzleminin yatay V düzlemine dik olana kadar tüm sistemi hareket ettiririz: çıkıntı b 1 1 1 x eksenine dik olmalıdır. Bu pozisyonda, üçgenin düzlemi önden izdüşüm haline gelecek ve A noktasından ona olan l mesafesi kare olacaktır. V distorsiyonsuz.

İncirde. 162, b düzlem izlerle tanımlanır. Ek bir kare ekliyoruz (Şekil 162, e). S, pl'ye dik. P: P h'ye dik S / H ekseni. Gerisi çizimden temiz. İncirde. 162, sorun tek hareketle çözüldü: pl. P, P 1 konumuna gider, yani önden projeksiyon haline gelir. Izlemek. Р 1h, x eksenine diktir. Uçağın bu konumunda bir cephe inşa ediyoruz. yatay iz - nokta n "1, n 1. İz P 1ϑ, P 1x ve n 1'den geçecektir. a" 1'den P 1ϑ'ye olan mesafe istenen l mesafesine eşittir.

165. Piramit SABC verilmiştir (bkz. Şekil 160). Paralel hareket yöntemini kullanarak A noktasından piramidin SBC yüzüne olan mesafeyi belirleyin.

166. Bir piramit SABC verilmiştir (bkz. Şek. 161). Paralel hareket yöntemini kullanarak piramidin yüksekliğini belirleyin.

167 *. Bu çizgiler aracılığıyla çizilen paralel düzlemler arasındaki mesafe olarak AB ve CD kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi belirleyin (bkz. Şekil 159, a).

Karar. İncirde. 163, ve paralel düzlemleri P ve Q gösterir, bunlardan pl. Q, AB'ye paralel CD aracılığıyla gerçekleştirilir ve pl. R - AB'ye paralel olarak pl. S. Bu tür düzlemler arasındaki mesafe, AB ve CD kesişme çizgileri arasındaki mesafedir. Bununla birlikte, kendinizi AB'ye paralel olarak yalnızca bir düzlem inşa etmekle sınırlayabilir ve ardından en azından A noktasından bu düzleme olan mesafeyi belirleyebilirsiniz.

İncirde. 163c, AB'ye paralel olarak CD boyunca çizilen Q düzlemini gösterir; "e" ile çizilen projeksiyonlarda || a "b" ve ce || ab. Kareyi değiştirme yöntemini uygulamak. çıkıntılar (Şekil 163, c), ek bir kare ekliyoruz. S, pl'ye dik. V ve aynı zamanda

pl'ye dik S. S / V eksenini çizmek için, bu düzlemde ön D-1'i alın. Şimdi S / V'yi d "1" e dik olarak çiziyoruz (Şekil 163, c). Pl. Pl üzerinde Q görüntülenecektir. S, s ile düz bir çizgi olarak. Gerisi çizimden temiz.

168. SABC piramidi verilmiştir (bkz. Şek. 160). SC ve AB kenarları arasındaki mesafeyi belirleyin. Uygulayın: 1) Kareyi değiştirme yöntemi. çıkıntılar, 2) paralel hareket yöntemi.

169 *. Biri AB ve AC düz çizgileriyle, diğeri de DE ve DF düz çizgileriyle verilen paralel düzlemler arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 164, a). Ayrıca uçakların izlerle verildiği durum için inşaatı gerçekleştirin (Şekil 164, b).

Karar. Paralel düzlemler arasındaki mesafe (Şekil 164, c), bir düzlemin herhangi bir noktasından başka bir düzleme dik çizilerek belirlenebilir. İncirde. 164, g ek bir pl tanıttı. S pl'ye dik. H ve verilen her iki uçağa. S.H ekseni ufka diktir. düzlemlerden birinde çizilmiş yatay izdüşüm. Bu düzlemin bir izdüşümünü oluşturuyoruz ve kare üzerinde başka bir düzlemi işaret ediyoruz. 5. d s noktasının l s a s çizgisine olan uzaklığı, paralel düzlemler arasındaki gerekli mesafeye eşittir.

İncirde. 164, d başka bir yapı verilmiştir (paralel hareket yöntemine göre). Düzlem AB ve AC'nin kesişmesiyle ifade edilen düzlemin pl'ye dik olması için. V, ufuk. Bu düzlemin yatay izdüşümünü x eksenine dik olarak koyarız: 1 1 2 1 ⊥ x. Ön arasındaki mesafe. projeksiyon d "1 nokta D ve düz çizgi a" 1 2 "1 (düzlemin önden izdüşümü) düzlemler arasındaki gerekli mesafeye eşittir.

İncirde. 164, e ek bir pl girişini gösterir. S, H alanına ve verilen P ve Q düzlemlerine diktir (S / H ekseni, P h ve Q h izlerine diktir). P s ve Q s izlerini oluşturuyoruz. Aralarındaki mesafe (bkz. Şekil 164, c), P ve Q düzlemleri arasındaki gerekli l mesafesine eşittir.

İncirde. 164, g, ufuk olduğunda P 1 n Q 1 düzlemlerinin P 1 ve Q 1 pozisyonlarına hareketini gösterir. izlerin x eksenine dik olduğu ortaya çıkıyor. Yeni cephe arasındaki mesafe. P 1ϑ ve Q 1ϑ izleri ile gerekli l mesafesine eşittir.

170. Paralel yüzlü bir ABCDEFGH verilmiştir (şek. 165). Mesafeleri belirleyin: a) paralel yüzlü tabanları arasında - l 1; b) ABFE ve DCGH yüzleri arasında - 12; c) ADHE ve BCGF-13 kenarları arasında 3.