Bölme denklemleri nasıl çözülür? Basit doğrusal denklemlerin çözümü. Doğrusal denklemlerin çözümü. Örnekler

Parantez açılıp benzer terimler getirildikten sonra şu şekli alan, bir bilinmeyenli denklem

balta + b = 0 a ve b'nin keyfi sayılar olduğu yere denir Doğrusal Denklem bilinmeyen biriyle. Bugün bu doğrusal denklemleri nasıl çözeceğimizi bulacağız.

Örneğin, tüm denklemler:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - doğrusal.

Denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bilinmeyenin değerine denir. karar veya denklemin kökü .

Örneğin, 3x + 7 = 13 denkleminde bilinmeyen x yerine 2 sayısını yazarsak, doğru eşitlik olan 3 2 +7 = 13'ü elde ederiz. Bu, x = 2 değerinin çözüm veya kök olduğu anlamına gelir. denklemin.

Ve x = 3 değeri, 3x + 7 = 13 denklemini gerçek eşitliğe dönüştürmez çünkü 3 2 +7 ≠ 13. Bu, x = 3 değerinin denklemin bir çözümü veya kökü olmadığı anlamına gelir.

Herhangi bir doğrusal denklemin çözülmesi, formdaki denklemlerin çözülmesine indirgenir

balta + b = 0.

Serbest terimi denklemin sol tarafından sağa taşıyalım, b'nin önündeki işareti tersine çevirelim, şunu elde ederiz:

a ≠ 0 ise x = ‒ b/a .

Örnek 1. 3x + 2 =11 denklemini çözün.

2'yi denklemin sol tarafından sağa doğru hareket ettirelim, 2'nin önündeki işareti ters tarafa çevirelim, şunu elde ederiz:
3x = 11 – 2.

O zaman çıkarma işlemini yapalım
3x = 9.

X'i bulmak için ürünü bilinen bir faktöre bölmeniz gerekir;
x = 9:3.

Bu, x = 3 değerinin denklemin çözümü veya kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: x = 3.

a = 0 ve b = 0 ise 0x = 0 denklemini elde ederiz. Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b de 0'a eşittir. Bu denklemin çözümü herhangi bir sayıdır.

Örnek 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 denklemini çözün.

Parantezleri genişletelim:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x – 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

İşte bazı benzer terimler:
0x = 0.

Cevap: x - herhangi bir sayı.

a = 0 ve b ≠ 0 ise 0x = - b denklemini elde ederiz. Bu denklemin hiçbir çözümü yoktur, çünkü herhangi bir sayıyı 0 ile çarptığımızda 0 elde ederiz, ancak b ≠ 0 olur.

Örnek 3. x + 8 = x + 5 denklemini çözün.

Bilinmeyen içeren terimleri sol tarafta, serbest terimleri ise sağ tarafta gruplayalım:
x – x = 5 – 8.

İşte bazı benzer terimler:
0х = ‒ 3.

Cevap: Çözüm yok.

Açık Şekil 1 doğrusal bir denklemin çözümü için bir diyagram gösterir

Tek değişkenli denklemleri çözmek için genel bir şema çizelim. Örnek 4'ün çözümünü ele alalım.

Örnek 4. Diyelim ki denklemi çözmemiz gerekiyor

1) Denklemin tüm terimlerini paydaların en küçük ortak katı olan 12 ile çarpın.

2) İndirgemeden sonra şunu elde ederiz:
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Bilinmeyen ve serbest terimler içeren terimleri ayırmak için parantezleri açın:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Bir bölümde bilinmeyenleri içeren terimleri, diğer bölümde ise serbest terimleri gruplayalım:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Benzer terimleri sunalım:
- 22x = - 154.

6) – 22'ye bölersek, şunu elde ederiz:
x = 7.

Gördüğünüz gibi denklemin kökü yedidir.

Genellikle böyle denklemler aşağıdaki şema kullanılarak çözülebilir:

a) denklemi tamsayı formuna getirin;

b) braketleri açın;

c) bilinmeyeni içeren terimleri denklemin bir kısmında, serbest terimleri ise diğer kısmında gruplandırın;

d) benzer üyeleri getirmek;

e) Benzer terimlerin getirilmesinden sonra elde edilen aх = b formundaki bir denklemi çözün.

Ancak bu şema her denklem için gerekli değildir. Birçok basit denklemi çözerken, birinciden değil ikinciden başlamalısınız ( Örnek. 2), üçüncü ( Örnek. 13) ve hatta örnek 5'teki gibi beşinci aşamadan itibaren.

Örnek 5. 2x = 1/4 denklemini çözün.

Bilinmeyeni bulun x = 1/4:2,
x = 1/8 .

Ana durum sınavında bulunan bazı doğrusal denklemlerin çözümüne bakalım.

Örnek 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x denklemini çözün.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Cevap: - 0,125

Örnek 7. Denklemi çözün – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Cevap: 2.3

Örnek 8. Denklemi çözün

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Örnek 9. f(x + 2) = 3 7 ise f(6)'yı bulun

Çözüm

f(6)'yı bulmamız gerektiğinden ve f(x + 2)'yi bildiğimizden,
o zaman x + 2 = 6.

Doğrusal denklem x + 2 = 6'yı çözüyoruz,
x = 6 – 2, x = 4 elde ederiz.

Eğer x = 4 ise
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Cevap: 27.

Hala sorularınız varsa veya denklem çözmeyi daha detaylı anlamak istiyorsanız PROGRAM'daki derslerime kaydolun. Sana yardım etmekten memnun olacağım!

TutorOnline ayrıca eğitmenimiz Olga Alexandrovna'nın hem doğrusal denklemleri hem de diğerlerini anlamanıza yardımcı olacak yeni bir video dersini izlemenizi önerir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gıyabında verilen bir karar, kanunun öngördüğü istisnai karar verme yöntemlerine ek olarak, davalının talebi üzerine davanın esasa ilişkin olarak yeniden değerlendirilmesi ile aynı mahkeme tarafından iptal edilebilir. duruşmaya katılmamak geçerli sebeplerden kaynaklanmıştır.

Temyizde yasal olarak yürürlüğe giren bir kararın, mahkemenin haklı bir nedenden dolayı kaçırılan temyiz süresini yeniden belirlemesi halinde, yeniden gözden geçirilmesi mümkündür.

Ayrıcalıklılık özelliği:

Münhasırlık özelliği, aynı taraflar veya onların kanuni halefleri arasında açılan, aynı konu ve aynı koşullara (dava gerekçelerine) dayanan bir davada, bir iddia, şikâyet, beyanla mahkemeye yeniden başvurulmasının imkânsızlığıdır. Yasal olarak yürürlüğe girmiş bir karar varsa.

Davalıdan periyodik ödemelerin tahsil edilmesine ilişkin kararın yürürlüğe girmesinden sonra, ödeme tutarının belirlenmesini veya sürelerinin belirlenmesini etkileyen koşullar değişirse, o zaman taraflardan her biri yeni bir talepte bulunarak tazminat talebinde bulunma hakkına sahiptir. ödemelerin miktarında ve zamanlamasında değişiklik.

Bu durumda, yeni talepler mahkeme tarafından değerlendirmeye alınır, genel kurallara göre yasal olarak yürürlüğe giren yeni bir karar verilir.

Aynı başvurunun değerlendirilmek üzere sunulması, ilk değerlendirme sırasında taraflar arasındaki anlaşmazlığın nihai olarak bir uzlaşma anlaşmasının onaylanması veya başvuru sahibinin taleplerini reddetmesi üzerine bir kararla çözülmesi durumunda da kabul edilemez. Yargılamanın sona ermesi halinde mahkemeye ikinci bir itiraz yapılmasına izin verilmez.

Zorunlu özellik:

Zorunluluk, hükümet organlarının, yetkililerinin, kuruluşlarının ve vatandaşların faaliyetlerini kararın içeriğine tabi kılmak zorunda oldukları anlamına gelir.

Hukuk Muhakemeleri Kanunu, kararın Rusya Federasyonu toprakları genelinde bağlayıcı olduğunu ve yasaların öngördüğü durumlarda, Rusya Federasyonu mahkemelerinin kararların icrası talebiyle yabancı mahkemelere başvurabileceğini vurgulamaktadır.

Devlet organları ve yetkilileri, yasal olarak yürürlüğe giren bir mahkeme kararıyla belirlenen hakları resmileştirmek ve tescil ettirmek için gerekli önlemleri almakla yükümlüdür.

Mahkeme kararı, yasal olarak yürürlüğe girdikten sonra yükümlü kişiler tarafından gönüllü olarak ve gerekli durumlarda yürütme organları tarafından zorla yerine getirilmelidir.

Kararda öngörülen eylemlerin uygulanması ihtiyacına kararların uygulanabilirliği denir.

Bu, yükümlülüğün ayrılmaz bir parçasıdır. Yükümlülük kavramı icra edilebilirlikten daha geniş olup, belirli bir davada doğrudan hukuki menfaati bulunmayan tüm kişi ve kuruluşların, mahkeme kararının yetkisini dikkate alma ve uygulanmasına katkıda bulunma yükümlülüğünü de kapsar.

Her durumda kararlar bağlayıcıdır, ancak icra edilemedikleri için hepsinin infaz edilmesi gerekmez. Örneğin, tanınma taleplerine ilişkin kararlar, davalının itiraz ettiği hakkın korunmasına yönelik özel eylemler gerektirmez. Bunların bağlayıcı olması için mahkemenin belirli durumları veya hukuki ilişkileri tanıması yeterlidir (örneğin: babalığın tespiti, eser sahipliği hakkının tanınması vb.).

Tanınma taleplerine ilişkin kararlar, ödül talebine ilişkin bir davada zarar verici etki yaratabilir. Örneğin, babalığın tespit edilmesi kararı, nafakanın geri alınmasına ilişkin bir talep söz konusu olduğunda sakıncalıdır. Ayrıca yayınevinden telif ücreti alınması halinde mahkemenin yazarlık hakkını tanıma kararı vermesi zorunludur.

Rusya Federasyonu Aile Kanunu, aile hukuku konularına ek olarak, karar verildikten sonra mahkemenin eylemlerine (sorumluluklarına) ilişkin çeşitli usul kuralları getirmektedir. Örneğin, IC, mahkemenin, boşanmaya ilişkin mahkeme kararının yasal olarak yürürlüğe girdiği tarihten itibaren 3 gün içinde, bu kararın bir özetini, boşanmanın devlet tescili yerindeki nüfus dairesine göndermesi gerektiğini belirtmektedir. evlilik.

Aile hukuku, mahkemenin kararın uygulanması için belirli eylemlerde bulunmasını gerektirir. Mahkeme kararları, yasal olarak yürürlüğe girdikten sonra, yasal gücün özünden, önyargı niteliğinden (ön karar) türetilen özellikler kazanır.

Önyargı, mahkemece kurulan ve kararla kayıt altına alınan ilişki ve olguların, adli ve idari makamlar tarafından ikincil olarak incelenmesi sırasında çürütülmemesi anlamına gelir.

Önyargı kurallara bağlıdır:

1. Mahkeme, yargı organı olarak hareket eden idari organlar, içeriği mahkeme tarafından yasal olarak yürürlüğe giren bir kararla belirlenen olguları ve ilişkileri kısmen veya tamamen yeniden analiz ederek, bunları esas almakla yükümlüdür. bu olgulara ve ilişkilere ilişkin kararları, kurulduğu şekliyle, yani mahkeme kararında yer alan olgular bir daha ispatlanmamıştır.

2. İddialarını tamamen veya kısmen yasal olarak yürürlüğe girmiş bir mahkeme kararına konu olan hukuki ilişkilere dayandıran taraf, bu hukuki ilişkilerin varlığını, bileşenlerinin unsurlarının içeriğini tekrar tekrar kanıtlamak zorunda değildir, ve tarafların iddialarının altında yatan hukuki gerçekler.

Kararın hukuki geçerliliği devam ettiği sürece, yani karar iptal edilinceye kadar ilişkiler ve olgular geçerli kabul edilir ve ispata tabi değildir. Başvurucunun talebine itiraz eden diğer taraf, mahkemece önceden belirlenen olay ve koşulları çürütecek deliller sunamayacağı gibi, mahkemeden bunları inceleyerek davaya eklemesini de talep edemez.

3. Çalışmanın konusu, içeriği hukuki olarak yürürlüğe girmiş bir kararla belirlenen bir ilişki ise, önceden belirleme yani önyargı, hukuki ilişkilerin herhangi bir bölümünde tam olarak ortaya çıktığı biçimde uygulanır. Adli araştırma konusuydu.

Yasal olarak yürürlüğe giren bir karar, bir ceza davasının değerlendirilmesinde zarar verici öneme sahiptir. Yasal olarak yürürlüğe giren bir ceza davasında karar, mahkemenin, bu eylemin gerçekleşip gerçekleşmediği ve hakkında mahkeme kararı verilen bir kişinin eylemlerinin medeni hukuki sonuçlarına ilişkin davayı dikkate alması zorunludur. suçun bu kişi tarafından işlenip işlenmediği.

Bu videoda aynı algoritma kullanılarak çözülen bir dizi doğrusal denklemi analiz edeceğiz; bu yüzden bunlara en basit denir.

Öncelikle şunu tanımlayalım: Doğrusal denklem nedir ve hangisine en basit denir?

Doğrusal bir denklem, yalnızca bir değişkenin ve yalnızca birinci dereceden olduğu bir denklemdir.

En basit denklem inşaat anlamına gelir:

Diğer tüm doğrusal denklemler algoritma kullanılarak en basit düzeye indirgenir:

1. Varsa parantezleri genişletin;
2. Değişken içeren terimleri eşittir işaretinin bir tarafına, değişken olmayan terimleri ise diğer tarafına taşıyın;
3. Eşittir işaretinin soluna ve sağına benzer terimler verin;
4. Ortaya çıkan denklemi $x$ değişkeninin katsayısına bölün.

Elbette bu algoritma her zaman yardımcı olmuyor. Gerçek şu ki, bazen tüm bu entrikalardan sonra $x$ değişkeninin katsayısının sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor. Bu durumda iki seçenek mümkündür:

1. Denklemin hiçbir çözümü yoktur. Örneğin, $0\cdot x=8$ gibi bir şey ortaya çıktığında, yani. solda sıfır, sağda ise sıfırdan farklı bir sayı var. Aşağıdaki videoda bu durumun mümkün olmasının çeşitli nedenlerine bakacağız.
2. Çözüm tüm sayılardır. Bunun mümkün olduğu tek durum, denklemin $0\cdot x=0$ yapısına indirgenmiş olmasıdır. Hangi $x$'ı değiştirirsek değiştirelim, yine de "sıfır sıfıra eşittir" sonucunun ortaya çıkması oldukça mantıklıdır, yani. Doğru sayısal eşitlik.

Şimdi gerçek hayattan örnekler kullanarak tüm bunların nasıl çalıştığını görelim.

Denklem çözme örnekleri

Bugün doğrusal denklemlerle ilgileniyoruz ve yalnızca en basitleriyle. Genel olarak doğrusal denklem, tam olarak bir değişken içeren herhangi bir eşitlik anlamına gelir ve yalnızca birinci dereceye kadar gider.

Bu tür yapılar yaklaşık olarak aynı şekilde çözülür:

1. Öncelikle varsa parantezleri genişletmeniz gerekiyor (son örneğimizde olduğu gibi);
2. Daha sonra benzerlerini birleştirin
3. Son olarak değişkeni izole edin, yani. Değişkenle bağlantılı olan her şeyi (içinde bulunduğu terimleri) bir tarafa, onsuz kalan her şeyi ise diğer tarafa taşıyın.

Daha sonra, kural olarak, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafına da benzerleri getirmeniz gerekir ve bundan sonra geriye kalan tek şey "x" katsayısına bölmek ve son cevabı alacağız.

Teorik olarak bu hoş ve basit görünüyor, ancak pratikte deneyimli lise öğrencileri bile oldukça basit doğrusal denklemlerde rahatsız edici hatalar yapabilir. Tipik olarak, parantez açılırken veya "artılar" ve "eksiler" hesaplanırken hatalar yapılır.

Ek olarak, doğrusal bir denklemin hiçbir çözümü olmadığı veya çözümün sayı doğrusunun tamamı olduğu durumlar da vardır; herhangi bir numara. Bugünkü dersimizde bu inceliklere bakacağız. Ancak zaten anladığınız gibi en basit görevlerle başlayacağız.

Basit doğrusal denklemleri çözme şeması

İlk olarak, en basit doğrusal denklemleri çözmek için şemanın tamamını bir kez daha yazayım:

1. Varsa parantezleri genişletin.
2. Değişkenleri izole ediyoruz, yani. Üzerinde “X” olan her şeyi bir tarafa, “X” içermeyen her şeyi diğer tarafa taşıyoruz.
3. Benzer terimleri sunuyoruz.
4. Her şeyi “x” katsayısına bölüyoruz.

Elbette bu şema her zaman işe yaramıyor, içinde bazı incelikler ve püf noktaları var ve şimdi bunları tanıyacağız.

Basit doğrusal denklemlerin gerçek örneklerini çözme

Görev No.1

İlk adım parantezleri açmamızı gerektiriyor. Ancak bu örnekte bunlar yok, dolayısıyla bu adımı atlıyoruz. İkinci adımda değişkenleri izole etmemiz gerekiyor. Lütfen unutmayın: yalnızca bireysel terimlerden bahsediyoruz. Bunu yazalım:

Solda ve sağda benzer terimleri sunuyoruz, ancak bu burada zaten yapıldı. Bu nedenle dördüncü adıma geçiyoruz: katsayıya bölelim:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Böylece cevabı aldık.

Görev No.2

Bu problemde parantezleri görebiliyoruz, hadi onları genişletelim:

Hem solda hem de sağda yaklaşık olarak aynı tasarımı görüyoruz ama hadi algoritmaya göre hareket edelim yani. değişkenleri ayırmak:

İşte benzerlerinden bazıları:

Bu hangi köklerde işe yarıyor? Cevap: herhangi biri için. Bu nedenle $x$'ın herhangi bir sayı olduğunu yazabiliriz.

Görev No.3

Üçüncü doğrusal denklem daha ilginçtir:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Burada birkaç parantez var, ancak hiçbir şeyle çarpılmıyorlar, sadece önlerinde farklı işaretler var. Bunları parçalayalım:

Zaten bildiğimiz ikinci adımı gerçekleştiriyoruz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hadi matematik yapalım:

Son adımı gerçekleştiriyoruz - her şeyi "x" katsayısına bölüyoruz:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Doğrusal Denklemleri Çözerken Hatırlanması Gerekenler

Çok basit görevleri göz ardı edersek şunu söylemek isterim:

• Yukarıda söylediğim gibi, her doğrusal denklemin bir çözümü yoktur; bazen kökler yoktur;
• Kökler olsa bile aralarında sıfır olabilir - bunda yanlış bir şey yok.

Sıfır diğerleriyle aynı sayıdır, hiçbir şekilde ayrımcılık yapmamalı, sıfır alırsanız yanlış yaptığınızı varsaymamalısınız.

Bir diğer özellik ise braketlerin açılmasıyla ilgilidir. Lütfen dikkat: Önlerinde bir “eksi” olduğunda onu kaldırırız, ancak parantez içindeki işaretleri şu şekilde değiştiririz: zıt. Ve sonra onu standart algoritmalar kullanarak açabiliriz: yukarıdaki hesaplamalarda gördüklerimizi elde edeceğiz.

Bu basit gerçeği anlamak, lisede böyle şeyler yapmanın olağan karşılandığı aptalca ve incitici hatalar yapmaktan kaçınmanıza yardımcı olacaktır.

Karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Daha karmaşık denklemlere geçelim. Artık yapılar daha karmaşık hale gelecek ve çeşitli dönüşümler gerçekleştirilirken ikinci dereceden bir fonksiyon ortaya çıkacak. Ancak bundan korkmamalıyız, çünkü yazarın planına göre doğrusal bir denklem çözüyorsak, dönüşüm süreci sırasında ikinci dereceden bir fonksiyon içeren tüm monomlar kesinlikle iptal edilecektir.

Örnek No.1

Açıkçası, ilk adım parantezleri açmaktır. Bunu çok dikkatli yapalım:

Şimdi gizliliğe bir göz atalım:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası bu denklemin çözümü yok, bu yüzden cevaba şunu yazacağız:

\[\varhiçbir şey\]

ya da kökleri yoktur.

Örnek No.2

Aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz. İlk adım:

Değişken olan her şeyi sola ve değişken olmadan sağa taşıyalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Açıkçası, bu doğrusal denklemin çözümü yok, bu yüzden onu şu şekilde yazacağız:

\[\varhiçbir şey\],

ya da kökleri yoktur.

Çözümün nüansları

Her iki denklem de tamamen çözülmüştür. Bu iki ifadeyi örnek olarak kullanarak, en basit doğrusal denklemlerde bile her şeyin bu kadar basit olmayabileceğine bir kez daha ikna olduk: ya bir olabilir, ya hiç olmayabilir ya da sonsuz sayıda kök olabilir. Bizim durumumuzda, her ikisinin de kökü olmayan iki denklemi ele aldık.

Ancak bir başka gerçeğe dikkatinizi çekmek istiyorum: parantezlerle nasıl çalışılır ve önlerinde eksi işareti varsa nasıl açılır. Bu ifadeyi düşünün:

Açmadan önce her şeyi “X” ile çarpmanız gerekir. Lütfen dikkat: çoğalır her bir terim. İçinde iki terim vardır - sırasıyla iki terim ve çarpılır.

Ve ancak bu görünüşte basit ama çok önemli ve tehlikeli dönüşümler tamamlandıktan sonra, parantezi kendisinden sonra bir eksi işareti olduğu gerçeği açısından açabilirsiniz. Evet, evet: ancak şimdi, dönüşümler tamamlandığında, parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğunu hatırlıyoruz, bu da aşağıdaki her şeyin yalnızca işaret değiştirdiği anlamına geliyor. Aynı zamanda parantezlerin kendisi de kaybolur ve en önemlisi öndeki "eksi" de kaybolur.

Aynısını ikinci denklem için de yapıyoruz:

Bu küçük, görünüşte önemsiz gerçeklere dikkat etmem tesadüf değil. Denklem çözmek her zaman bir dizi temel dönüşüm olduğundan, basit eylemleri net ve yetkin bir şekilde gerçekleştirememe, lise öğrencilerinin bana gelip bu kadar basit denklemleri çözmeyi yeniden öğrenmelerine yol açar.

Elbette bu becerileri otomatiklik noktasına kadar bileyeceğiniz gün gelecek. Artık her seferinde bu kadar çok dönüşüm yapmanıza gerek kalmayacak; her şeyi tek satıra yazacaksınız. Ancak henüz öğrenirken her eylemi ayrı ayrı yazmanız gerekir.

Daha da karmaşık doğrusal denklemleri çözme

Şimdi çözeceğimiz şeyin en basit görev olduğu söylenemez, ancak anlamı aynı kalıyor.

Görev No.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

İlk kısımdaki tüm elemanları çarpalım:

Biraz gizlilik yapalım:

İşte benzerlerinden bazıları:

Son adımı tamamlayalım:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

İşte son cevabımız. Ve çözme sürecinde ikinci dereceden fonksiyona sahip katsayılarımız olmasına rağmen, bunlar birbirini iptal etti, bu da denklemi ikinci dereceden değil doğrusal hale getiriyor.

Görev No.2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

İlk adımı dikkatli bir şekilde gerçekleştirelim: ilk parantezdeki her elemanı ikinci parantezdeki her elemanla çarpalım. Dönüşümlerden sonra toplam dört yeni terim bulunmalıdır:

Şimdi her terimde çarpma işlemini dikkatli bir şekilde yapalım:

Üzerinde “X” olan terimleri sola, olmayanları ise sağa taşıyalım:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

İşte benzer terimler:

Son cevabı bir kez daha aldık.

Çözümün nüansları

Bu iki denklemle ilgili en önemli not şudur: Birden fazla terim içeren parantezleri çarpmaya başladığımızda, bunu şu kurala göre yaparız: İlk terimden ilk terimi alırız ve her elemanla çarparız. ikinci; daha sonra birinciden ikinci elemanı alırız ve benzer şekilde ikinciden gelen her elemanla çarparız. Sonuç olarak dört dönemimiz olacak.

Cebirsel toplam hakkında

Bu son örnekle öğrencilere cebirsel toplamın ne olduğunu hatırlatmak istiyorum. Klasik matematikte $1-7$ ile basit bir yapıyı kastediyoruz: birden yediyi çıkarın. Cebirde bununla şunu kastediyoruz: “bir” sayısına başka bir sayı yani “eksi yedi” ekliyoruz. Cebirsel bir toplamın sıradan bir aritmetik toplamdan farkı budur.

Tüm dönüşümleri, her toplama ve çarpma işlemini gerçekleştirirken, yukarıda açıklananlara benzer yapılar görmeye başladığınız anda, polinomlar ve denklemlerle çalışırken cebirde herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.

Son olarak, az önce incelediklerimizden daha karmaşık olacak birkaç örneğe daha bakalım ve bunları çözmek için standart algoritmamızı biraz genişletmemiz gerekecek.

Kesirli Denklem Çözme

Bu tür görevleri çözmek için algoritmamıza bir adım daha eklememiz gerekecek. Ama önce size algoritmamızı hatırlatmama izin verin:

1. Parentezleri aç.
2. Ayrı değişkenler.
3. Benzerlerini getirin.
4. Orana bölün.

Ne yazık ki, bu harika algoritma, tüm etkinliğine rağmen, önümüzde kesirler varken pek de uygun olmadığı ortaya çıkıyor. Aşağıda göreceğimiz gibi, her iki denklemde de hem solda hem de sağda bir kesirimiz var.

Bu durumda nasıl çalışılır? Evet, çok basit! Bunu yapmak için algoritmaya, ilk eylemden önce ve sonra yapılabilecek, yani kesirlerden kurtulmaya bir adım daha eklemeniz gerekir. Yani algoritma aşağıdaki gibi olacaktır:

1. Kesirlerden kurtulun.
2. Parentezleri aç.
3. Ayrı değişkenler.
4. Benzerlerini getirin.
5. Orana bölün.

“Kesirlerden kurtulmak” ne anlama geliyor? Peki bu neden ilk standart adımdan hem sonra hem de önce yapılabiliyor? Aslında bizim durumumuzda tüm kesirler paydalarında sayısaldır, yani. Her yerde payda sadece bir sayıdır. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da bu sayıyla çarparsak kesirlerden kurtuluruz.

Örnek No.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Bu denklemdeki kesirlerden kurtulalım:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lütfen dikkat: her şey bir kez “dört” ile çarpılır, yani. iki parantezinizin olması her birini "dört" ile çarpmanız gerektiği anlamına gelmez. Hadi yazalım:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Şimdi genişletelim:

Değişkeni ayırıyoruz:

Benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştiriyoruz:

\[-4x=-1\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nihai çözümü bulduk, ikinci denkleme geçelim.

Örnek No.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Burada aynı eylemleri gerçekleştiriyoruz:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem çözüldü.

Aslında bugün sana söylemek istediğim tek şey buydu.

Anahtar noktaları

Temel bulgular şunlardır:

• Doğrusal denklemlerin çözüm algoritmasını bilir.
• Parantez açma yeteneği.
• Bir yerlerde ikinci dereceden fonksiyonlarınız varsa endişelenmeyin; büyük ihtimalle sonraki dönüşümler sürecinde bunlar azalacaktır.
• Doğrusal denklemlerde üç tür kök vardır, en basitleri bile: tek bir kök, sayı doğrusunun tamamı bir köktür ve hiç kökü yoktur.

Umarım bu ders, tüm matematiğin daha iyi anlaşılması için basit ama çok önemli bir konuda uzmanlaşmanıza yardımcı olur. Bir şey net değilse siteye gidin ve orada sunulan örnekleri çözün. Bizi izlemeye devam edin, daha birçok ilginç şey sizi bekliyor!