Підсумовування тригонометричних рядів за допомогою аналітичних функцій. Тригонометричний ряд фур'є

Покажемо, що будь-яку періодичну функцію можна як ряду, членами якого є прості гармоніки, з допомогою, так званого, тригонометричного ряду.

Визначення. Тригонометричним рядом називається функціональний ряд виду

де дійсні числа а 0 , а n , b nназиваються коефіцієнтамиряду.

Вільний член ряду записаний у вигляді для одноманітності формул, що виходять надалі.

Потрібно вирішити два питання:

1) За яких умов функція f(x)з періодом 2π може бути розкладена до ряду (5.2.1)?

2) Як обчислити коефіцієнти а 0 ,… а n , b n ?

Почнемо з вирішення другого питання. Нехай функція f(x)безперервна на відрізку має період Т=2π. Наведемо формули, які знадобляться нам надалі.

При будь-якому цілому, оскільки функція парна.

При будь-якому цілому.

(mі nцілі числа)

При ( mі nцілі числа) кожен із інтегралів (III, IV, V) перетворюється на суму інтегралів (I) або (II). Якщо ж , то у формулі (IV) отримуємо:

Анологічно доводиться рівність (V).

Припустимо тепер, що функція виявилася такою, що для неї знайшлося розкладання в ряд Фур'є, що сходиться, тобто

(Слід звернути увагу, що підсумовування йде за індексом n).

Якщо ряд сходиться, то його суму позначимо S(x).

Почленное інтегрування (законне з припущення про збіжність ряду) не більше від до дає

оскільки всі доданки крім першого дорівнюють нулю (співвідношення I, II). Звідси знаходимо

Помножуючи (5.2.2) на ( m=1,2,…) і почленно інтегруючи не більше від до , знайдемо коефіцієнт a n.

У правій частині рівності всі доданки дорівнюють нулю, крім одного m=n(Співвідношення IV, V), Звідси отримуємо

Помножуючи (5.2.2) на ( m=1,2,…) і почленно інтегруючи у межах від до ,аналогічно знаходимо коефіцієнт b n

Значення - зумовлені за формулами (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) називаються коефіцієнтами Фур'є, а тригонометричний ряд (5.2.2) – ряд Фур'є для цієї функції f(x).

Отже, отримали розкладання функції f(x)до ряду Фур'є

Повернемося до першого питання і з'ясуємо які властивості має функція f(x)щоб побудований ряд Фур'є був схожим, і сума ряду дорівнювала б саме f(x).

Визначення. Функція f(x) називається шматково-безперервноюякщо вона безперервна або має кінцеве число точок розриву I роду.

Визначення. Функція f(x), задана на відрізку називається шматково-монотонної, якщо відрізок можна розбити крапками на кінцеве число проміжків, у кожному з яких функція змінюється монотонно (зростаючи чи убуючи).

Розглянемо функції f(x), що мають період Т=2π. Такі функції називаються 2π- Періодичними.

Сформулюємо теорему, що представляє достатню умову розкладності функції до ряду Фур'є.

Теорема Діріхле(Приймемо без доказу) . Якщо 2π-періодична функція f(x)на відрізку є кусково-безперервною і кусочно-монотонною, то відповідний функції ряд Фур'є сходиться на цьому відрізку і при цьому:

1. У точках безперервності функції сума ряду збігається із самою функцією S(x)=f(x);

2. У кожній точці х 0розриву функції f(x)сума ряду дорівнює ,

тобто. середньої арифметичної межі функції ліворуч і праворуч від точки х 0 ;

3. У точках (на кінцях відрізка) сума ряду Фур'є дорівнює ,

тобто. середнього арифметичного граничних значень функції на кінцях відрізка, при прагненні аргументу до цих точок зсередини проміжку.

Примітка: якщо функція f(x)з періодом 2π безперервна і диференційована у всьому проміжку і значення її на кінцях проміжку рівні, тобто, через періодичність ця функція безперервна на всій числовій осі і при будь-якому хсума її ряду Фур'є збігається з f(x).

Таким чином, якщо функція, що інтегрується на відрізку f(x)задовольняє умовам теореми Діріхле, то на відрізку має місце рівність (розкладання до низки Фур'є):

Коефіцієнти обчислюються за формулами (5.2.3) – (5.2.5).

Умови Діріхле задовольняє більшість функцій, які зустрічаються в математиці та її додатках.

Ряди Фур'є, як і статечні ряди, служать для наближеного обчислення значень функцій. Якщо розкладання функції f(x)в тригонометричний ряд має місце, завжди можна скористатися наближеною рівністю , замінюючи цю функцію сумою кількох гармонік, тобто. частковою сумою (2 n+1) члена ряду Фур'є.

Тригонометричні ряди широко використовують у електротехніці, з допомогою вирішують багато завдань математичної фізики.

Розкласти ряд Фур'є функцію з періодом 2π, задану на інтервалі (-π;π).

Рішення. Знайдемо коефіцієнти ряду Фур'є:

Отримали розкладання функції до ряду Фур'є

У точках безперервності сума ряду Фур'є дорівнює значенню функції f(x)=S(x), у точці х=0 S(x)=1/2, у точках х=π,2π,… S(x)=1/2.

Нагадаємо, що у дійсному аналізі тригонометричний ряд - це ряд по косинусів і синусів кратних дуг, тобто. ряд видів

Трішки історії. Початковий період теорії таких рядів відносять до середини 18 століття у зв'язку із завданням про коливання струни, коли шукана функція шукалася у вигляді суми ряду (14.1). Питання можливості такого уявлення викликав у математиків гострі суперечки, які тривали кілька десятиліть. Суперечки належали до змісту поняття функції. Тоді функції зазвичай пов'язувалися зі своїми аналітичним завданням, а тут виникла потреба уявити поруч (14.1) функцію, графіком якої є досить довільна крива. Але значення цих суперечок більше. Практично у них виникли питання, пов'язані з багатьма принципово важливими ідеями математичного аналізу.

І надалі, як і цей початковий період, теорія тригонометричних рядів служила джерелом нових ідей. Саме у зв'язку з ними, наприклад, виникли теорія множин та теорія функцій дійсного змінного.

У цій заключній главі розглянемо матеріал, який вкотре пов'язує дійсний і комплексний аналіз, але мало відображений у навчальних посібникахз ТФКП. В курсі аналізу виходили з наперед заданої функції і розкладали її в тригонометричний ряд Фур'є. Тут розглядається зворотне завдання: по заданому тригонометричному ряду встановити його збіжність та суму. Для цього Ейлер і Лагранж успішно застосовували аналітичні функції. Очевидно, Ейлер вперше (1744) здобув рівності

Нижче ми пройдемося слідами Ейлера, обмежуючись лише окремими випадками рядів (14.1), а саме, тригонометричними рядами

Зауваження.Суттєво використовуватиметься такий факт: якщо послідовність позитивних коефіцієнтів а пмонотонно прагне до нуля, то зазначені ряди сходяться рівномірно на будь-якому замкнутому проміжку, що нс містить точок виду 2лк (gZ).Зокрема, на інтервалі (0,2л -) буде крапкова збіжність. Зверніться до цього в роботі , стор. 429-430.

Ідея Ейлера підсумовування рядів (14.4), (14.5) у тому, що з допомогою підстановки z = е апереходять до статечного ряду

Якщо всередині одиничного кола його суму вдається знайти у явному вигляді, то виділенням з неї дійсної та уявної частин завдання зазвичай і вирішується. Наголосимо, що, застосовуючи метод Ейлера, слід перевіряти збіжність рядів (14.4), (14.5).

Розглянемо деякі приклади. У багатьох випадках виявиться корисним геометричний ряд

а також ряди, які виходять з нього почленним диференціюванням або інтегруванням. Наприклад,

Приклад 14.1.Знайти суму ряду

Рішення.Введемо аналогічний ряд із косинусами

Обидва ряди сходяться всюди, т.к. мажоруються геометричним рядом 1 + г + г 2+.... Вважаючи z = е" х, отримаємо

Тут дріб наводиться до вигляду

звідки отримуємо відповідь на запитання задачі:

Принагідно ми встановили рівність (14.2): Приклад 14.2.Підсумувати ряди

Рішення.Згідно з вищенаведеним зауваженням обидва ряди на зазначеному інтервалі сходяться і служать рядами Фур'є для визначених ними функцій f(x) 9 g(x).Що це за функції? Для відповіді питання відповідно до методом Ейлера складемо ряд (14.6) з коефіцієнтами а п= -. Погодження

але рівності (14.7) отримаємо

Опускаючи подробиці (читачеві їх слід відтворити), зазначимо, що вираз під знаком логарифму можна подати у вигляді

Модуль цього виразу дорівнює -, а аргумент (точніше, головне його зна-

• 2sin -

чення) дорівнює Тому ^ = -ln(2sin Отже,

Приклад 14.3.При -л підсумувати ряди

Рішення.Обидва ряди сходяться скрізь, тому що мажоруються схожим

поряд із загальним членом -! . Ряд (14.6)

п(п +1)

безпосередньо

J_ _\_ __1_

/?(/? +1) п /1 + 1

нс дасть відомої суми. На основі представимо його у вигляді

рівності

Тут вираз у круглих дужках дорівнює ln(l + z), а вираз у квадратних дужках – це ^ ^ + ** ^--. Отже,

= (1 + -) ln (1 + z). Тепер

треба підставити сюди z = e LXта виконати дії, аналогічні проведеним у попередньому прикладі. Опускаючи деталі, зазначимо, що

Залишилося розкрити дужки та записати відповідь. Надаємо виконати це читачеві.

Завдання до розділу 14

Обчислити суми наступних рядів.

• 1.3.1. a) z = 0 і z-- 2;
• б) z = l і z = -1;
• в) z = я і z = -я.
• 1.3.2. а) 1; 6) 0; в) оо.
• 2.1.1. Дуга параболи, г = у 2 , що пробігається від точки (1; 1) до точки (1; - 1) і назад.
• 2.1.2. Відрізок із початком а,кінцем Ь.
• 2.1.3. Жорданів спрямовується шлях на рис. 19.

• 2.1.4. Дуга параболи у = х 2з початком (-1; 0), кінцем (1; 1).
• 2.1.5. Окружність дг 2 + (у - 1) 2 = 4.
• 2.2.1. Напівплощина Rez > .
• 2.2.2. Відкрите коло С х ""^) 2 + У 2
• 2.2.3. Внутрішність параболи 2у = 1 - х 2 .
• 2.2.4. Замкнуте коло(д: - 2) 2 + у 2
• 2.2.5. Зовнішність параболи 2х = - у 2.

3.1.а).Якщо w=u + iv,то і= -г- -v = -^-^.Звідси

л: 2 +(1-.г) 2 .т 2 +(1-д:) 2

З цього кола слід виключити початок координат, оскільки (м, v) 9* (0;0) V* е R, ton і= lim v = 0.

x-yx>.v->oo

• б). Виключіть x,yз рівностей x + y = l, і = x 2 - у, v = 2 xy.Відповідь: парабола 2v = l-і 2 .
• 3.2. Пряма л: = я (л^О) переходить у коло
• (w--) 2 + v 2 = (-) 2 з виколотою точкою (г/, v) = (0; 0). Застосуйте це з
• 2а 2 а

а = 1, а = 2.

• 3.4. У випадках а) б) використовуйте «ознаку неіснування межі». У разі в) межа існує і дорівнює 2.
• 3.5. Не є. Розгляньте межі функції за двома послідовностями із загальними членами відповідно

z „=-! + -> z,=-l -

• 4.1. а) ніде нс диференційована; б) диференційована скрізь.
• 4.2. а) має похідну у всіх точках прямий у = х,у кожній із

них w = 2х; голоморфною ніде не є;

• б) голоморфна С (0), і/ = - j.
• 4.3. Голоморфна С, W=3z 2 .
• 4.4. З рівностей /; (z) = -- + i-/ / (z) = 0 слід, що w,v не

St St

залежить від змінної „т. З умов Коші-Рімана випливає незалежність цих функцій і від у.

4.5. Розглянемо, наприклад, випадок Re f(z) = і(х,у) = const. З

за допомогою умов Коші-Рімана вивести звідси, що Im/(z) = v(x 9 y) = const.

• 5.1. а) оскільки J=--=- =-* 0(z * -/) та за умовою задачі
• (l-/z) 2 (z+/) 2

аргумент похідної дорівнює нулю, її уявна частина нульова, а дійсна частина позитивна. Звідси вивести відповідь: пряма у = -х-1 (х * 0).

б) коло z + i = j2.

• 5.3. Перевірте, що функція не набуває нульового значення і її похідна скрізь існує і дорівнює цій функції.
• 6.1. З визначення тангенсу як відношення синуса до косинусу доведіть, що tg(z + n^-tgzза допустимих значень аргументу. Нехай Т-якийсь інший період: tg(z + T) = tgz.Звідси і з попередньої рівності вивести, що sin(/r- Т)= 0, звідки випливає, що Ткратно до .
• 6.2. Використовуйте рівність (6.6).
• 6.3. Перша формула не вірна, тому що не завжди arg(zH,) = argz + argvv (беріть, наприклад, z = -1, w = -1). Друга формула також не вірна. Розгляньте, наприклад, випадок z=2.
• 6.4. З рівності а а = е 01 " 0виведіть, що права частина має вигляд |я|« , еса(а^а+2 як)? слі П р І деяких різних цілих до 19 до 2

вираз у круглих дужках прийняв те саме значення, то мали б

що суперечить ірраціональності а .

• 6.5. z = 2?/r-/"ln(8±V63).
• 7.1. а) кут - я w;
• б) круговий сектор | w 2, | arg vr |
• 7.2. В обох випадках коло радіусу 1 з центром на початку координат.
• 7.3. Рухатимемося по межі півкола так, щоб його начинка залишалася зліва. Використовуємо позначення z = x + yi, w = u + vi.На ділянці

у= 0, -1 х 1 маємо і =--е [-1,1]» v = 0. Розглянемо другу ділянку кордону - півколо z =e u,t g. На цій ділянці вираз

перетворюється на вигляд w=u =- ,/* -. На проміжку. Відповідно до (8.6) шуканий інтеграл дорівнює

б). Рівняння нижнього півкола має вигляд z(t) = e“, t е[л, 2я).За формулою (8.8) інтеграл дорівнює

• 8.2. а). Шуканий інтеграл розбийте на суму інтегралів по відрізку Про Аі за відрізком АВ. Їхні рівняння відповідно z= / + //, / с і

z = t + i,te. Відповідь: - + - i.

• б). Рівняння кривої інтегрування можна записати як z = е", t € . Тоді Vz має два різні значення, а саме,

.1 .t+2/r

е 2 ,е 2 .З умови завдання випливає, що мова йдеголовне значення кореня: Vz, тобто. про перший із зазначених. Тоді інтеграл дорівнює

8.3. У вирішенні завдання креслення навмисне не наводиться, але читачеві його слід виконати. Використовується рівняння прямолінійного відрізка, що з'єднує дві задані точкия, /> е С (а -початок, Ь -кінець): z = (l - /) fl + /?, / €. Розіб'ємо шуканий інтеграл на чотири:

I = I AB + I BC + I CD +1 DA. На відрізку АВмаємо z - (1 -1) ? 1 +1 /, тому інтеграл але цьому відрізку, згідно (8.8), дорівнює

Вчиняючи аналогічним чином, знайдемо

• 9.1. а) 2л7; б) 0.
• 9.2. Зробити підстановку z = z 0 + re 11,0 t 2/р.
• 9.3.Функція f(z)=J голоморфна в деякій однозв'язковій z - a

області D, що містить Г і нс містить а. За інтегральною теоремою, застосованою до /),/], шуканий інтеграл дорівнює нулю.

• 9.4. a) 2/n(cosl2 + /sinl2); б) 34л-/.
• 9.5. У випадку а) особливі точки ±2/ лежать усередині даного кола, тому інтеграл дорівнює

• б). Особливі точки±3/ також лежать усередині кола. Рішення аналогічне. Відповідь: 0.
• 10.1. Подати функцію у вигляді /(z) = -----скористатися
• 3 1 + -

геометричним рядом 1 + q + q 2 (||

• 1 -ч
• 10.2. Диференціювати почленно геометричний ряд.
• 10.3. а) | z+/1t = z2. Відповідь: z.
• 11.1. Використовуйте статечні розкладання експоненти та синуса. Що стосується а) порядок дорівнює 3, у разі б) він дорівнює 2.
• 11.2. З точністю до очевидної заміни змінної рівняння можна

уявити як /(z) = /(-^z). Не применшуючи спільності, можна вважати, що

радіус збіжності ряду Тейлора функції з центром у точці 0 більше одиниці. Маємо:

Значення функції однакові на дискретному множині з граничною точкою, що належить колу збіжності. По теоремі єдиності / (z) = const.

11.3. Припустимо, що аналітична функція /(z), що шукається. Порівняємо її значення з функцією (z) = z 2на безлічі Е,

що складається з точок z n = - (п = 2,3,...). Їх значення однакові, оскільки Е

має граничну точку, що належить даному колу, то теорема єдиності /(z) = z 2 всім аргументів даного кола. Але це суперечить умові / (1) = 0. Відповідь: нс існує.

• 11.4. Так,/(*) = -L
• 2 + 1
• 11.5. Суперечності немає, оскільки гранична точка одиничних значень лежить у області визначення функції.
• - 1 1
• 12.1. a) 0; б) 2

  12.2. а). Подайте функцію у вигляді і розкрийте дужки.

  • б). Поміняйте доданки місцями, використовуйте стандартні розкладання косинуса та синуса.
  • 12.3.
  
  • 12.4. а) точки 0 ± 1 є простими полюсами;
  • б) z = 0 - точка, що усувається;
  • в) z = 0 - суттєво особлива точка.
  • 13.1. а). Точки а = 1,а = 2 є полюсами підінтегральної функції. Вирахування щодо першого (простого) полюса знаходиться згідно з (13.2), він дорівнює 1. Відрахування щодо другого полюса знаходиться за формулою (13.3) з порядком кратності і = 2 і дорівнює -1. Сума відрахувань дорівнює нулю, так що інтеграл дорівнює нулю за основною теоремою про відрахування.
  • б). Усередині прямокутника із зазначеними вершинами лежать три

  простих полюсів 1,-1,/. Сума вирахувань у них дорівнює --, а інтеграл дорівнює

  в). Серед полюсів 2 Trki(kGZ)підінтегральної функції лише два лежать усередині цього кола. Це 0 та 2 яобидва вони прості, відрахування в них дорівнюють по 1. Відповідь: 4я7.

  помножити його на 2/г/. Опускаючи деталі, зазначимо відповідь: / = -i.

  13.2. а). Покладемо e" = z, тоді e"idt =dz , dt= - . Ho

  e“ - e~“ z-z~ x

  sin / =-=-, інтефал зведеться до вигляду

  

  Тут знаменник розкладається на множники (z-z,)(z-z 2), де z, = 3 - 2 V2 / лежить усередині кола у , a z, = 3 + 2V2 / лежить вис се. Залишилося знайти відрахування щодо простого полюса z, за формулою (13.2) та

  б). Вважаючи, як і вище, е" = z , зведемо інтефал на вигляд

  

  Подинтефальна функція має три простих полюси (яких?). Надаючи читачеві обчислення відрахувань у них, вкажемо відповідь: I = .

  • в). Підинтефальна функція дорівнює 2(1--=-), шуканий інтеграл
  • 1 + cos t

  дорівнює 2(^-1- ч-dt). Інтеграл, що стоїть у дужках, позначимо через /.

  Застосуванням рівності cos"/ = - (1 + cos2f) отримаємо, що / = [- cit .

  За аналогією з випадками а), б) зробити підстановку e 2,t = z, звести інтеграл на вигляд

  

  де крива інтегрування - те ж одиничне коло. Далі міркування самі, що у разі а). Відповідь: вихідний, шуканий інтеграл дорівнює /г(2-л/2).

  13.3. а). Розглянемо допоміжний комплексний інтеграл

  /(/?) = f f(z)dz,де f(z) = -р-, Г(Я) - контур, складений з

  півкола y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 і се діаметра (зробіть креслення). Розіб'ємо цей інтеграл на два - по відрізку [-/?,/?] і по y(R).

  к. я.

  Усередині контуру лежать лише прості полюси z 0 = е 4, z, = е 4 (рис. 186). Знайдемо щодо їх відрахування:

  Залишається перевірити, що інтеграл щодо y(R)прагне до нуля зі зростанням R. З нерівності |д + Л|>||я|-|/>|| і з оцінки інтеграла при z е y(R)випливає, що

У ряді випадків, досліджуючи коефіцієнти рядів виду (С) або можна встановити, що ці ряди сходяться (виключаючи, можливо, окремі точки) і є рядами Фур'є для своїх сум (див., наприклад, попередній п °), але у всіх цих випадках природно виникає питання,

як знайти суми цих рядів або - точніше - як висловити їх у кінцевому вигляді через елементарні функції, якщо вони взагалі в такому вигляді виражаються. Ще Ейлер (а також Лагранж) з успіхом застосовував для підсумовування тригонометричних рядів у кінцевому вигляді аналітичні функції комплексної змінної. Ідея методу Ейлера полягає у наступному.

Припустимо, що з деякому наборі коефіцієнтів ряди (З) і сходяться до функцій скрізь у проміжку виключаючи хіба що окремі точки. Розглянемо тепер статечний ряд з тими ж коефіцієнтами, розташований за ступенями комплексної змінної

На колі одиничного кола т. е. за цей ряд за припущенням сходиться, виключаючи окремі точки:

У такому разі, за відомою властивістю статечних рядів ряд (5) свідомо сходиться при т. е. всередині одиничного кола, визначаючи там деяку функцію комплексної змінної. Використовуючи відомі нам [див. § 5 глави XII] розкладання елементарних функцій комплексної змінної, часто вдається звести до них і функцію.

і за теоремою Абеля , тільки ряд (6) сходиться, його сума виходить як межа

Зазвичай ця межа дорівнює просто що і дозволяє обчислити в кінцевому вигляді функції

Нехай, наприклад, запропоновано ряди

Доведені у попередньому п° твердження приводять до висновку, що обидва ці ряди сходяться (перший - виключаючи точки 0 і

служать рядами Фур'є для функцій, що визначаються ними Але що це за функції? Для відповіді на це запитання складемо низку

За подібністю до логарифмічного ряду легко встановлюється його сума:

отже,

Тепер легке обчислення дає:

так що модуль цього виразу є, а аргумент.

і, таким чином, остаточно

Ці результати нам знайомі і навіть були одного разу отримані за допомогою «комплексних» міркувань; Але в першому випадку ми виходили з функцій і, а в другому - з аналітичної функції Тут же вперше нам відправною точкою послужили самі лави. Подальші приклади такого роду читач знайде наступного п°.

Наголосимо ще раз, що потрібно наперед бути впевненим у сході та рядах (С) і щоб мати право визначити їх суми за допомогою граничної рівності (7). Одне існування межі у правій частині цієї рівності ще дозволяє зробити висновок про збіжності згаданих рядів. Щоб показати це на прикладі, розглянемо ряди

У науці та техніці нерідко доводиться мати справу з періодичними явищами, тобто. такими, що відтворюються через певний проміжок часу T, Називається періодом. Найпростішою з періодичних функцій (якщо не вважати постійною) є синусоїдальна величина: Asin(x+ ), гармонійне коливання, де є «частота», що з періодом співвідношенням: . З таких найпростіших періодичних функцій може бути складені складніші. Очевидно, що складові синусоїдальні величини повинні бути різних частот, оскільки додавання синусоїдальних величин однієї і тієї ж частоти призводить до синусоїдальної величини тієї ж частоти. Якщо скласти кілька величин виду

Наприклад ми відтворюємо тут додавання трьох синусоїдальних величин: . Розглянемо графік цієї функції

Цей графік значно відрізняється від синусоїди. Ще більшою мірою це має місце для суми нескінченного ряду, складеного із доданків цього виду. Поставимо питання: чи можна цю періодичну функцію періоду Тпредставити у вигляді суми кінцевої чи хоча б нескінченної множини синусоїдальних величин? Виявляється, по відношенню до великого класу функцій на це питання можна дати ствердну відповідь, але це тільки якщо залучити всю нескінченну послідовність таких доданків. Геометрично це означає, що графік періодичної функції виходить шляхом накладання ряду синусоїд. Якщо ж розглядати кожну синусоїдальну величину як певний гармонійний коливальний рух, то можна сказати, що це складне коливання, яке характеризується функцією або просто її гармоніками (першою, другою тощо). Процес розкладання періодичної функції на гармоніки зветься гармонійного аналізу

Важливо відзначити, що такі розкладання часто виявляються корисними і при дослідженні функцій, заданих лише в певному кінцевому проміжку і зовсім не породжених ніякими коливальними явищами.

Визначення.Тригонометричним рядом називається ряд виду:

Або (1).

Справжні числа називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду. Цей ряд можна записати і так:

Якщо ряд представленого вище типу сходиться, його сума є періодичною функцією з періодом 2p.

Визначення.Коефіцієнтами Фур'є тригонометричного ряду називаються: (2)

(3)

(4)

Визначення.Поруч Фур'є для функції f(x)називається тригонометричний ряд, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фур'є.

Якщо ряд Фур'є функції f(x)сходиться до неї у всіх її точках безперервності, то кажуть, що функція f(x)розкладається до ряду Фур'є.

Теорема.(Теорема Діріхле) Якщо функція має період 2p і на відрізку безперервна або має кінцеву кількість точок розриву першого роду, відрізок можна розбити на кінцеве число відрізків так, що всередині кожного з них функція монотонна, то ряд Фур'є для функції сходиться при всіх значеннях х, причому у точках безперервності функції його сума S(x)дорівнює, а точках розриву його сума дорівнює, тобто. середнього арифметичного граничних значень ліворуч і праворуч.

При цьому ряд Фур'є функції f(x)сходиться поступово будь-якому відрізку, який належить інтервалу безперервності функції .

Функція, що задовольняє умовам цієї теореми, називається шматково - гладкою на відрізку.

Розглянемо приклади на розкладання функції ряд Фур'є.

Приклад 1. Розкласти в ряд Фур'є функцію f(x)=1-x, що має період 2pта задану на відрізку.

Рішення. Побудуємо графік цієї функції

Ця функція безперервна на відрізку, тобто на відрізку довжиною в період, тому допускає розкладання в ряд Фур'є, що сходить до неї в кожній точці цього відрізка. За формулою (2) знайдемо коефіцієнт цього ряду: .

Застосуємо формулу інтегрування частинами і знайдемо і за формулами (3) і (4) відповідно:

Підставляючи коефіцієнти у формулу (1), отримуємо або .

Ця рівність має місце у всіх точках, крім точок і (точки склеювання графіків). У кожній із цих точок сума ряду дорівнює середньому арифметичному її граничних значень праворуч і ліворуч, тобто .

Наведемо алгоритм розкладання функціїдо ряду Фур'є.

Загальний порядок вирішення поставленої задачі зводиться до наступного.