Рівняння прямої через 2 точки на площині. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки: приклади, рішення. Нормальне рівняння прямої

Властивості прямої в евклідової геометрії.

Через будь-яку точку можна провести нескінченно багато прямих.

Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.

Дві неспівпадаючі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

• прямі перетинаються;

• прямі паралельні;

• прямі схрещуються.

пряма лінія - алгебраїчна крива першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С \u003d 0,

причому постійні А, В нерівні нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої. Залежно від значень постійних А, В і З можливі наступні окремі випадки:

. C \u003d 0, А ≠ 0, В ≠ 0 - пряма проходить через початок координат

. А \u003d 0, В ≠ 0, С ≠ 0 (By + C \u003d 0)- пряма паралельна осі Ох

. В \u003d 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - пряма паралельна осі Оу

. В \u003d С \u003d 0, А ≠ 0 - пряма збігається з віссю Оу

. А \u003d С \u003d 0, В ≠ 0 - пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлено в різному вигляді в залежності від будь - яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої по точці і вектору нормалі.

визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний прямій, заданої рівнянням

Ах + Ву + С \u003d 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А (1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А \u003d 3 і В \u003d -1 рівняння прямої: 3х - у + С \u003d 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C \u003d 0, отже

С \u003d -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 \u003d 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай в просторі задані дві точки M 1 (x 1, y 1, z 1)і M2 (x 2, y 2, z 2), тоді рівняння прямої,

що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь з знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2 і х \u003d х 1 , якщо х 1 \u003d х 2 .

дріб \u003d k називається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А (1, 2) і В (3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої по точці і кутовому коефіцієнту.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С \u003d 0 привести до виду:

і позначити , То отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці і направляючої вектору.

За аналогією з пунктом, який розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання

прямий через точку і спрямовує вектор прямої.

визначення. Кожен ненульовий вектор (Α 1, α 2), Компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 називається напрямних вектором прямої.

Ах + Ву + С \u003d 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямних вектором (1, -1) і проходить через точку А (1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax + By + C \u003d 0. Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, тобто А \u003d В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C \u003d 0, або x + y + C / A \u003d 0.

при х \u003d 1, у \u003d 2отримуємо З / A \u003d -3, Тобто шукане рівняння:

х + у - 3 \u003d 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С \u003d 0 С ≠ 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або, де

Геометричний сенс коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох, а b - координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х - у + 1 \u003d 0.Знайти рівняння цієї прямої в відрізках.

С \u003d 1,, а \u003d -1, b \u003d 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С \u003d 0 розділити на число , Яке називається

нормується множником, То отримаємо

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормує множники треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р - довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 \u003d 0. Потрібно написати різні типи рівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої в відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (Ділимо на 5)

рівняння прямої:

cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Слід зазначити, що не кожного пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осях або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

визначення. Якщо задані дві прямі y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , То гострий кут між цими прямими

буде визначатися як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 \u003d k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 \u003d -1 / k 2 .

теорема.

прямі Ах + Ву + С \u003d 0і А 1 х + В 1 у + С 1 \u003d 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ. Якщо ще й З 1 \u003d λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

знаходяться як рішення системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямий.

визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у \u003d kx + b

представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С \u003d 0визначається як:

Доведення. нехай точка М 1 (х 1, у 1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

координати x 1 і у 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М 0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

Теорема доведена.

Нехай пряма проходить через точки М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2). Рівняння прямої, що проходить через точку М 1, має вигляд у-у 1 \u003d k (Х - х 1), (10.6)

де k - поки невідомий коефіцієнт.

Так як пряма проходить через точку М 2 (х 2 у 2), то координати цієї точки повинні задовольняти рівнянню (10.6): у 2-у 1 \u003d k (Х 2 х 1).

Звідси знаходимо Підставляючи знайдене значення k в рівняння (10.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М 1 і М 2:

Передбачається, що в цьому рівнянні х 1 ≠ х 2, у 1 ≠ у 2

Якщо х 1 \u003d х 2, то пряма, що проходить через точки М 1 (х 1, у I) і М 2 (х 2, у 2) паралельна осі ординат. Її рівняння має вигляд х \u003d х 1 .

Якщо у 2 \u003d у I, то рівняння прямої може бути записано у вигляді у \u003d у 1, пряма М 1 М 2 паралельна осі абсцис.

Рівняння прямої у відрізках

Нехай пряма перетинає вісь Ох у точці М 1 (а; 0), а вісь Оу - в точці М 2 (0; b). Рівняння прийме вигляд:
тобто
. Це рівняння називається рівнянням прямої в відрізках, тому що числа а і b вказують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку Мо (х О; у о) перпендикулярно даному ненульова вектор n \u003d (А; В).

Візьмемо на прямій довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор М 0 М (х - х 0; у - у о) (див. Рис.1). Оскільки вектори n і М о М перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю: тобто

А (х - хо) + В (у - уо) \u003d 0. (10.8)

Рівняння (10.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору .

Вектор n \u003d (А; В), перпендикулярний прямій, називається нормальним нормальним вектором цієї прямої .

Рівняння (10.8) можна переписати у вигляді Ах + Ву + С \u003d 0 , (10.9)

де А і В координати нормального вектора, С \u003d -О про - Ву про - вільний член. Рівняння (10.9) є загальне рівняння прямої (Див. Рис.2).

рис.1 Рис.2

Канонічні рівняння прямої

,

де
- координати точки, через яку проходить пряма, а
- спрямовує вектор.

Криві другого порядку Окружність

Окружністю називається безліч всіх точок площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром.

Канонічне рівняння кола радіуса R з центром в точці
:

Зокрема, якщо центр кола збігається з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

еліпс

Еліпсом називається безліч точок площині, сума відстаней від кожної з яких до двох заданих точок і , Які називаються фокусами, є величина постійна
, Велика ніж відстань між фокусами
.

Канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, а початок координат посередині між фокусами має вигляд
г деa довжина великої півосі;b - довжина малої півосі (рис. 2).

Залежність між параметрами еліпса
і виражається співвідношенням:

(4)

ексцентриситетом еліпсаназивається відношення межфокусного відстані2с до великої осі2а:

директрисами еліпса називаються прямі, паралельні осі Оу, які знаходяться від цієї осі на відстані. Рівняння директрис:
.

Якщо в рівнянні еліпса
, Тоді фокуси еліпса знаходяться на осі Оу.

Отже,

Нехай дано дві точки М 1 (х 1, у 1) і М 2 (х 2, у 2). Запишемо рівняння прямої у вигляді (5), де k поки невідомий коефіцієнт:

Так як точка М 2належить заданій прямій, то її координати задовольняють рівняння (5):. Висловлюючи звідси і підставивши його в рівняння (5) отримаємо шукане рівняння:

якщо це рівняння можна переписати у вигляді, більш зручному для запам'ятовування:

(6)

Приклад.Записати рівняння прямої, що проходить через точки М 1 (1,2) і М 2 (-2,3)

Рішення. . Використовуючи властивість пропорції, і виконавши необхідні перетворення, отримаємо загальне рівняння прямої:

Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі l 1 і l 2:

l 1:,, І

l 2: , ,

φ- кут між ними (). З рис.4 видно:.

Звідси , або

За допомогою формули (7) можна визначити один з кутів між прямими. Другий кут дорівнює.

приклад. Дві прямі задані рівняннями у \u003d 2х + 3 і у \u003d 3х + 2. знайти кут між цими прямими.

Рішення. З рівнянь видно, що k 1 \u003d 2, а k 2 \u003d -3. підставляючи дані значення в формулу (7), знаходимо

. Таким чином, кут між даними прямими дорівнює.

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

якщо прямі l 1 і l 2 паралельні, то φ=0 і tgφ \u003d 0. з формули (7) випливає, що, звідки k 2 \u003d k 1. Таким чином, умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.

якщо прямі l 1 і l 2 перпендикулярні, то φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. . Таким чином, умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти протилежні за величиною і протилежні за знаком.

Відстань від точки до прямої

Теорема. Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С \u003d 0 визначається як

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М і М 1:

Координати x 1 і у 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М 0 перпендикулярно заданої прямої.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

Теорема доведена.

Приклад. Визначити кут між прямими: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 \u003d 0 і 10х + 6У - 3 \u003d 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад. Дано вершини трикутника А (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.

Знаходимо рівняння сторони АВ:; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C \u003d 0 або y \u003d kx + b.

k \u003d. Тоді y \u003d. Оскільки висота проходить через точку С, то її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b \u003d 17. Разом:.

Відповідь: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.

Якщо пряма паралельна площині проекції (H | | П 1), То для того щоб визначити відстань від точки А до прямої h необхідно опустити перпендикуляр з точки А на горизонталь h.

Розглянемо більш складний приклад, коли пряма займає загальне положення. Нехай необхідно визначити відстань від точки М до прямої а загального положення.

Завдання на визначення відстані між паралельними прямими вирішується аналогічно попередньої. На одній прямій береться точка, з неї опускається перпендикуляр на іншу пряму. Довжина перпендикуляра дорівнює відстані між паралельними прямими.

Кривий другого порядку називається лінія, яка визначається рівнянням другого ступеня щодо поточних декартових координат. У загальному випадку Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Дх + 2Еу + F \u003d 0,

де А, В, С, Д, Е, F - дійсні числа і принаймні одне з чисел А 2 + В 2 + С 2 ≠ 0.

окружність

центр кола - це геометричне місце точок у площині равностоящих від точки площині С (а, b).

Окружність задається наступним рівнянням:

Де х, у - координати довільної точки кола, R - радіус кола.

Ознака рівняння окружності

1. Відсутня доданок з х, у

2. Чи рівні Коефіцієнти при х 2 і у 2

еліпс

еліпсом називається геометричне місце точок у площині, сума відстаней кожної з яких від двох даних точок цієї площини називається фокусами (постійна величина).

Канонічне рівняння еліпса:

Х і у належать еліпсу.

а - велика піввісь еліпса

b - мала піввісь еліпса

У еліпса 2 осі симетрії ОХ і ОУ. Осі симетрії еліпса - його осі, точка їх перетину - центр еліпса. Та ось на якій розташовані фокуси, називається фокальній віссю. Точка перетину еліпса з осями - вершина еліпса.

Коефіцієнт стиснення (розтягування): ε \u003d с / а - ексцентриситет (характеризує форму еліпса), чим він менший, тим менше витягнуть еліпс уздовж фокальної осі.

Якщо центри еліпса знаходяться не в центрі С (α, β)

гіпербола

гіперболою називається геометричне місце точок у площині, абсолютна величина різниці відстаней, кожне з яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами є величина постійна, відмінна від нуля.

Канонічне рівняння гіперболи

Гіпербола має 2 осі симетрії:

а - справжня піввісь симетрії

b - уявна піввісь симетрії

Ассімптоти гіперболи:

парабола

параболою називається геометричне місце точок у площині, рівновіддалених від даної точки F, званої фокусом і даної прямої, званої директоркою.

Канонічне рівняння параболи:

У 2 \u003d 2рх, де р - відстань від фокуса до директриси (параметр параболи)

Якщо вершина параболи С (α, β), то рівняння параболи (у-β) 2 \u003d 2р (х-α)

Якщо фокальную вісь прийняти за вісь ординат, то рівняння параболи набуде вигляду: х 2 \u003d 2qу

Нехай дано дві точки М(Х1 ,У1) і N(Х2, y2). Знайдемо рівняння прямої, що проходить через ці точки.

Так як ця пряма проходить через точку М, То згідно з формулою (1.13) її рівняння має вигляд

У – Y1 = K(X - x1),

де K - невідомий кутовий коефіцієнт.

Значення цього коефіцієнта визначимо з того умови, що шукана пряма проходить через точку N, А значить, її координати задовольняють рівняння (1.13)

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Звідси можна знайти кутовий коефіцієнт цієї прямої:

,

Або після перетворення

(1.14)

Формула (1.14) визначає Рівняння прямої, що проходить через дві точки М(X1, Y1) і N(X2, Y2).

В окремому випадку, коли точки M(A, 0), N(0, B), А ¹ 0, B ¹ 0, лежать на осях координат, рівняння (1.14) прийме більш простий вигляд

Рівняння (1.15) називається Рівнянням прямої в відрізках, тут А і B позначають відрізки, що відсікаються прямій на осях (рисунок 1.6).

малюнок 1.6

Приклад 1.10. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки М(1, 2) і B(3, –1).

. Згідно (1.14) рівняння шуканої прямої має вигляд

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Переносячи всі члени в ліву частину, остаточно отримуємо дані рівняння

3X + 2Y – 7 = 0.

Приклад 1.11. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М(2, 1) і точку перетину прямих X+ Y -1 = 0, Х - у+ 2 = 0.

. Координати точки перетину прямих знайдемо, вирішивши спільно дані рівняння

Якщо скласти почленно ці рівняння, отримаємо 2 X + 1 \u003d 0, звідки. Підставивши знайдене значення в будь-яке рівняння, знайдемо значення ординати У:

Тепер напишемо рівняння прямої, що проходить через точки (2, 1) і:

або.

Звідси або -5 ( Y – 1) = X – 2.

Остаточно отримуємо рівняння шуканої прямої у вигляді Х + 5Y – 7 = 0.

Приклад 1.12. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки M(2,1) і N(2,3).

Використовуючи формулу (1.14), отримаємо рівняння

Воно не має сенсу, так як другий знаменник дорівнює нулю. З умови задачі видно, що абсциси обох точок мають одне і те ж значення. Значить, шукана пряма паралельна осі ОY і її рівняння має вигляд: x = 2.

зауваження . Якщо під час запису рівняння прямої за формулою (1.14) один з знаменників виявиться рівним нулю, то шукане рівняння можна отримати, прирівнявши до нуля відповідний чисельник.

Розглянемо інші способи завдання прямої на площині.

1. Нехай ненульовий вектор перпендикулярний даній прямій L, А точка M0(X0, Y0) лежить на цій прямій (рисунок 1.7).

малюнок 1.7

позначимо М(X, Y) Довільну точку на прямій L. вектори і Ортогональні. Використовуючи умови ортогональності цих векторів, отримаємо або А(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Ми отримали рівняння прямої, що проходить через точку M0 перпендикулярно вектору. Цей вектор називається вектором нормалі до прямої L. Отримане рівняння можна переписати у вигляді

Ах + Ву + З \u003d 0, де З = –(АX0 + By0), (1.16),

де А і В- координати вектора нормалі.

Отримаємо загальне рівняння прямої в параметричному вигляді.

2. Пряму на площині можна задати так: нехай ненульовий вектор паралельний даній прямій L і крапка M0(X0, Y0) лежить на цій прямій. Знову візьмемо довільну точку М(Х, Y) на прямій (рисунок 1.8).

малюнок 1.8

вектори і колінеарні.

Запишемо умова коллинеарности цих векторів:, де T - довільне число, зване параметром. Розпишемо це рівність в координатах:

Ці рівняння називаються параметричними рівняннями прямий. Виключимо з цих рівнянь параметр T:

Ці рівняння інакше можна записати у вигляді

. (1.18)

Отримане рівняння називають Канонічним рівнянням прямої. вектор називають Напрямних вектором прямої .

зауваження . Легко бачити, що якщо - вектор нормалі до прямої L, То її направляють вектором може бути вектор, так як, т. Е..

Приклад 1.13. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0 (1, 1) паралельно прямій 3 Х + 2У– 8 = 0.

Рішення . Вектор є вектором нормалі до заданої і шуканої прямим. Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через точку M0 з заданим вектором нормалі 3 ( Х –1) + 2(У - 1) \u003d 0 або 3 Х + 2у - 5 \u003d 0. Отримали рівняння шуканої прямої.