Урок «Обсяг конуса. Перетин циліндра і конуса Дан прямий круговий конус з вершиною

Діагностична робота складається з двох частин, що включають в себе 19 завдань. Частина 1 містить 8 завдань базового рівня складності з короткою відповіддю. Частина 2 містить 4 завдання підвищеного рівня складності з короткою відповіддю і 7 завдань підвищеного і високого рівнів складності з розгорнутою відповіддю.
На виконання діагностичної роботи з математики відводиться 3 години 55 хвилин (235 хвилин).
Відповіді до завдань 1-12 записуються у вигляді цілого числа або кінцевої десяткового дробу. Числа запишіть в поля відповідей в тексті роботи, а потім перенесіть в бланк відповідей № 1. При виконанні завдань 13-19 потрібно записати повне рішення і відповідь в бланк відповідей № 2.
Всі бланки заповнюються яскравими чорними чорнилами. Допускається використання гелевою, капілярної або пір'яний ручок.
При виконанні завдань можна користуватися чернеткою. Записи в чернетці не враховуються при оцінюванні роботи.
Бали, отримані Вами за виконані завдання, сумуються.
Бажаємо успіху!

умови завдань

1. Знайдіть, якщо
2. Для отримання на екрані збільшеного зображення лампочки в лабораторії використовується збирає лінза з головним фокусною відстанню \u003d 30 см. Відстань від лінзи до лампочки може змінюватися в межах від 40 до 65 см, а відстань від лінзи до екрана - в межах від 75 до 100 см. Зображення на екрані буде чітким, якщо виконано співвідношення. Вкажіть, на якому найбільшій відстані від лінзи можна помістити лампочку, щоб її зображення на екрані було чітким. Відповідь висловіть в сантиметрах.
3. Теплохід проходить за течією річки до пункту призначення 300 км і після стоянки повертається в пункт відправлення. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість теплохода в нерухомій воді дорівнює 15 км / год, стоянка триває 5 годин, а в пункт відправлення теплохід повертається через 50 годин після відплиття з нього. Відповідь дайте у км / год.
4. Знайдіть найменше значення функції на відрізку
5. а) Розв'яжіть рівняння б) Знайдіть всі корені цього рівняння, що належать відрізку
6. Дан прямий круговий конус з вершиною М. Осьовий переріз конуса - трикутник з кутом 120 ° при вершині М. Утворює конуса дорівнює. через точку М проведено розтин конуса, перпендикулярний однієї з утворюють.
   а) Доведіть, що вийшов в перетині трикутник - тупоугольние.
   б) Знайдіть відстань від центру Про підстави конуса до площини перетину.
7. Розв'яжіть рівняння
8. Коло з центром Простосується збоку АВрівнобедреного трикутника ABC,продовження збоку АСі продовження підстави ВСв точці N. Точка, крапка М- середина підстави ВС.
   а) Доведіть, що MN \u003d АС.
   б) Знайдіть ОС,якщо сторони трикутника ABCрівні 5, 5 і 8.
9. Бізнес-проект «А» передбачає протягом перших двох років зростання вкладених в нього сум на 34,56% щорічно і на 44% щорічно протягом наступних двох років. Проект «Б» передбачає зростання на постійне ціле число n відсотків щорічно. Знайдіть найменше значення n, При якому за перші чотири роки проект «Б» буде вигідніше проекту «А».
10. Знайдіть всі значення параметра,, при кожному з яких система рівнянь має єдине рішення
11. Аня грає в гру: на дошці написані два різних натуральних числа і, обидва менше 1000. Якщо і обидва натуральні, то Аня робить хід - замінює цими двома числами попередні. Якщо хоча б одне з цих чисел не є натуральним, то гра припиняється.
    а) Чи може гра тривати рівно три ходи?
    б) Чи існують два початкових числа таких, що гра буде тривати не менше 9 ходів?
    в) Аня зробила перший хід у грі. Знайдіть найбільше можливе ставлення твори отриманих двох чисел до твору

Нехай дано прямий круговий циліндр, горизонтальна площина проекцій паралельна його основи. При перетині циліндра площиною загального положення (вважаємо, що площина не перетинає підстав циліндра) лінією перетину є еліпс, саме перетин має форму еліпса, його горизонтальна проекція збігається з проекцією основи циліндра, а фронтальна також має форму еліпса. Але якщо січна площина складає з віссю циліндра кут, рівний 45 °, то перетин, що має форму еліпса, проектується окружністю на ту площину проекцій, до якої перетин нахилене на той же кут.

Якщо січна площина перетинає бічну поверхню циліндра і одне з його підстав (рис. 8.6), то лінія перетину має форму неповного еліпса (частини еліпса). Горизонтальна проекція перетину в цьому випадку - частина кола (проекції підстави), а фронтальна - частина еліпса. Площина може розташовуватися перпендикулярно будь-якої площини проекцій, тоді на цю площину проекцій перетин буде проектуватися прямою лінією (частина сліду січної площини).

Якщо циліндр перетинається площиною, паралельної утворює, то лінії перетину з бічною поверхнею - прямі, а саме перетин має форму прямокутника, якщо циліндр прямої, або паралелограма, якщо циліндр похилий.

Як відомо, і циліндр, і конус утворені лінійчатими поверхнями.

Лінією перетину (лінією зрізу) лінійчатої поверхні і площини в загальному випадку є деяка крива, яка будується по точках перетину утворюють з січною площиною.

нехай дано прямий круговий конус. При перетині його площиною лінія перетину може мати форму: трикутника, еліпса, кола, параболи, гіперболи (рис. 8.7) в залежності від розташування площини.

Трикутник виходить в разі, коли січна площина, перетинаючи конус, проходить через його вершину. При цьому лінії перетину з бічною поверхнею є пересічні в вершині конуса прямі, які разом з лінією перетину підстави утворюють трикутник, проектується на площині проекцій з спотворенням. Якщо площина перетинає вісь конуса, то в перерізі виходить трикутник, у якого кут з вершиною, що збігається з вершиною конуса, буде максимальним для перетинів-трикутників даного конуса. В цьому випадку перетин проектується на горизонтальну площину проекцій (вона паралельна його основи) відрізком прямої.

Еліпсом лінія перетину площини і конуса буде, якщо площину не паралельна жодної з утворюють конуса. Це рівнозначно тому, що площина перетинає всі утворюють (всю бічну поверхню конуса). Якщо січна площина при цьому паралельна основі конуса, то лінія перетину є колом, саме перетин проектується на горизонтальну площину проекцій без спотворень, а на фронтальну - відрізком прямої лінії.

Параболою лінія перетину буде тоді, коли січна площина паралельна тільки якоїсь однієї котра утворює конуса. Якщо ж січна площина паралельна одночасно двом утворюючим, то лінія перетину - гіпербола.

Усічений конус виходить, якщо прямий круговий конус перетнути площиною, паралельної підставі і перпендикулярній осі конуса, і відкинути верхню частину. У разі, коли горизонтальна площина проекцій паралельна основам усіченого конуса, ці підстави проектуються на горизонтальну площину проекцій без спотворень концентричними колами, а фронтальна проекція є трапецію. При перетині усіченого конуса площиною в залежності від її розташування лінія зрізу може мати форму трапеції, еліпса, кола, параболи, гіперболи або частини однієї з даних кривих, кінці якої з'єднані прямий.

V циліндра \u003d S осн. ∙ h

Приклад 2. Дан прямий круговий конус АВС рівносторонній, ВО \u003d 10. Знайдіть об'єм конуса.

Рішення

Знайдемо радіус підстави конуса. С \u003d 60 0, В \u003d 30 0,

Нехай ОС \u003d а, Тоді ВС \u003d 2 а. По теоремі Піфагора:

відповідь: .

приклад 3. Обчислити обсяги фігур, утворених обертанням площ, обмежених зазначеними лініями.

y 2 \u003d 4x; y \u003d 0; x \u003d 4.

Межі інтегрування a \u003d 0, b \u003d 4.

V \u003d | \u003d 32π

завдання

Варіант 1

1. Осьовий переріз циліндра - квадрат, діагональ якого дорівнює 4 дм. Знайти об'єм циліндра.

2. Зовнішній діаметр полого кулі дорівнює 18 см, товщина стінок 3 см. Знайти об'єм стінок кулі.

х фігури, обмеженої лініями у 2 \u003d х, у \u003d 0, х \u003d 1, х \u003d 2.

Варіант 2

1. Радіуси трьох куль рівні 6 см, 8 см, 10 см. Визначити радіус кулі, обсяг якого дорівнює сумі обсягів даних куль.

2. Площа основи конуса 9 см 2, площа повної поверхні його 24 см 2. Знайти обсяг конуса.

3. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Про х фігури, обмеженої лініями у 2 \u003d 2х, у \u003d 0, х \u003d 2, х \u003d 4.

Контрольні питання:

1. Напишіть властивості об'ємів тіл.

2. Напишіть формулу для обчислення об'єму тіла обертання навколо осі Оу.