Квадратне ур. Квадратні рівняння. Рішення повних квадратних рівнянь. Наведені та неприведення квадратні рівняння

Сподіваюся, вивчивши дану статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанту вирішуються тільки повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете в статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які ж квадратні рівняння називаються повними? це рівняння виду ах 2 + b x + c \u003d 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб вирішити повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D \u003d b 2 - 4ас.

Залежно від того яке значення має дискримінант, ми і запишемо відповідь.

Якщо дискримінант негативне число (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то х \u003d (-b) / 2a. Коли дискриминант позитивне число (D\u003e 0),

тоді х 1 \u003d (-b - √D) / 2a, і х 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Розв'язати рівняння х 2 - 4х + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Відповідь: 2.

Вирішити рівняння 2 х 2 + Х + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Відповідь: коренів немає.

Вирішити рівняння 2 х 2 + 5х - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

х 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

х 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже уявімо рішення повних квадратних рівнянь схемою на рісунке1.

За цими формулами можна вирішувати будь-повне квадратне рівняння. Потрібно тільки уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано многочленом стандартного вигляду

а х 2 + Bx + c, інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 \u003d 0, помилково можна вирішити, що

а \u003d 1, b \u003d 3 і з \u003d 2. Тоді

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 і тоді рівняння має два кореня. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано многочленом стандартного вигляду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати многочленом стандартного вигляду (на першому місці має стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , Потім з меншим – bx, А потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парних коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати і інші формули. Давайте познайомимося і з цими формулами. Якщо в повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b \u003d 2k), то можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повний квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q \u003d 0. Таке рівняння може бути дано для вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння на коефіцієнт а, Що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведена схема вирішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо на прикладі застосування розглянутих в даній статті формул.

Приклад. Розв'язати рівняння

3х 2 + 6х - 6 \u003d 0.

Давайте вирішимо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

х 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

х 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х в цьому рівнянні парне число, тобто b \u003d 6 або b \u003d 2k, звідки k \u003d 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

х 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти в цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х - 2 \u003d 0 Вирішимо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного
рівняння малюнок 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

х 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

х 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали один і той же відповідь. Тому добре засвоївши формули наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-повне квадратне рівняння.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Продовжуємо вивчення теми « рішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями і переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується в загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах детально розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до вирішення повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння і розглянемо рішення характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язку між країнами і коефіцієнтами.

Навігація по сторінці.

Що таке квадратне рівняння? їх види

Для початку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмова про квадратних рівняннях логічно почати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних з ним термінів. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені і неприведення, а також повні і неповні рівняння.

Визначення і приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння - це рівняння виду a · x 2 + b · x + c \u003d 0 , Де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівнянням другого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє привести приклади квадратних рівнянь. Так 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 \u003d 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

Визначення.

числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2, b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x, а c - вільним членом.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, тут старший коефіцієнт є 5, другий коефіцієнт дорівнює -2, а вільний член дорівнює -3. Зверніть увагу, коли коефіцієнти b і / або c негативні, як в тільки що наведеному прикладі, то використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, а не 5 · x 2 + (- 2 ) · x + (- 3) \u003d 0.

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a і / або b рівні 1 або -1, то вони в запису квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями записи таких. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 -y + 3 \u003d 0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює -1.

Наведені та неприведення квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені і неприведення квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є неприведення.

згідно цим визначенням, Квадратні рівняння x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2 -x-2/3 \u003d 0 і т.п. - наведені, в кожному з них перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5 · x 2 -x-1 \u003d 0, і т.п. - неприведення квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1.

Від будь-якого неприведення квадратного рівняння за допомогою ділення його обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням, тобто, отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне неприведення квадратне рівняння, або, так само як воно, не має коренів.

Розберемо на прикладі, як виконується перехід від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

Приклад.

Від рівняння 3 · x 2 + 12 · x-7 \u003d 0 перейдіть до відповідного наведеним квадратного рівняння.

Рішення.

Нам досить виконати поділ обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3, він відмінний від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, що те ж саме, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, і далі (3: 3) · x 2 + (12: 3) · x-7: 3 \u003d 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

відповідь:

Повні і неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння присутній умова a ≠ 0. Ця умова потрібно для того, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 було саме квадратним, так як при a \u003d 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b · x + c \u003d 0.

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть бути рівні нулю, причому як окремо, так і разом. У цих випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0 називають неповним, Якщо хоча б один з коефіцієнтів b, c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повний квадратне рівняння - це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З таких міркувань це стане зрозуміло.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набирає вигляду a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0, і воно рівносильне рівнянню a · x 2 + c \u003d 0. Якщо c \u003d 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, то його можна переписати як a · x 2 + b · x \u003d 0. А при b \u003d 0 і c \u003d 0 ми отримаємо квадратне рівняння a · x 2 \u003d 0. Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданка зі змінною x, або вільного члена, або і того і іншого. Звідси і їх назва - неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 + x + 1 \u003d 0 і -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 - це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, -x 2 -5 · x \u003d 0 - це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 \u003d 0, йому відповідають коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0, коли b \u003d 0;
• і a · x 2 + b · x \u003d 0, коли c \u003d 0.

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a · x 2 \u003d 0

Почнемо з рішення неповних квадратних рівнянь, в яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто, з рівнянь виду a · x 2 \u003d 0. Рівняння a · x 2 \u003d 0 рівносильне рівняння x 2 \u003d 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Очевидно, коренем рівняння x 2 \u003d 0 є нуль, так як 0 2 \u003d 0. Інших коренів це рівняння не має, що пояснюється, дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2\u003e 0, звідки випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 \u003d 0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 \u003d 0 має єдиний корінь x \u003d 0.

Як приклад наведемо рішення неповного квадратного рівняння -4 · x 2 \u003d 0. Йому рівносильно рівняння x 2 \u003d 0, його єдиним коренем є x \u003d 0, отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Короткий рішення в цьому випадку можна оформити наступним чином:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · x 2 + c \u003d 0

Тепер розглянемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c ≠ 0, тобто, рівняння виду a · x 2 + c \u003d 0. Ми знаємо, що перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a · x 2 + c \u003d 0:

• перенести c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 \u003d -c,
• і розділити обидві його частини на a, одержуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a \u003d 1 і c \u003d 2, то) або позитивним, (наприклад, якщо a \u003d -2 і c \u003d 6, то), вона не дорівнює нулю , так як за умовою c ≠ 0. Окремо розберемо випадки і.

Якщо, то рівняння не має коренів. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є число невід'ємне. З цього випливає, що коли, то ні для якого числа p рівність не може бути вірним.

Якщо, то справа з корінням рівняння інакша. В цьому випадку, якщо згадати про, то відразу стає очевидним корінь рівняння, їм є число, так як. Нескладно здогадатися, що і число теж є коренем рівняння, дійсно,. Інших коренів це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від противного. Зробимо це.

Позначимо тільки що озвучені коріння рівняння як x 1 і -x 1. Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2, відмінний від зазначених коренів x 1 і -x 1. Відомо, що підстановка в рівняння замість x його коренів звертає рівняння в правильну числову рівність. Для x 1 і -x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівності і дає x 1 2 -x 2 + 2 \u003d 0. Властивості дій з числами дозволяють переписати отримане рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Ми знаємо, що твір двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманого рівності випливає, що x 1 -x 2 \u003d 0 і / або x 1 + x 2 \u003d 0, що те ж саме, x 2 \u003d x 1 і / або x 2 \u003d -x 1. Так ми прийшли до протиріччя, так як спочатку ми сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і -x 1. Цим доведено, що рівняння не має інших коренів, крім і.

Узагальнимо інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c \u003d 0 рівносильне рівнянню, яке

• не має коренів, якщо,
• має два кореня і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a · x 2 + c \u003d 0.

Почнемо з квадратного рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9 · x 2 \u003d -7. Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як в правій частині вийшло від'ємне число, то це рівняння не має коренів, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 \u003d 0 не має коренів.

Вирішимо ще одне неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 \u003d 0. Переносимо дев'ятку в праву частину: -x 2 \u003d -9. Тепер ділимо обидві частини на -1, отримуємо x 2 \u003d 9. У правій частині знаходиться позитивне число, звідки робимо висновок, що або. Після записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 \u003d 0 має два корені x \u003d 3 або x \u003d -3.

a · x 2 + b · x \u003d 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c \u003d 0. Неповні квадратні рівняння виду a · x 2 + b · x \u003d 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо, що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x. Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильному рівняння виду x · (a · x + b) \u003d 0. А це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь x \u003d 0 і a · x + b \u003d 0, останнє з яких є лінійним і має корінь x \u003d -b / a.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x \u003d 0 має два корені x \u003d 0 і x \u003d -b / a.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильно двом рівнянням x \u003d 0 і. вирішуємо отримане лінійне рівняння:, І виконавши розподіл змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x \u003d 0 і.

Після отримання необхідної практики, рішення подібних рівнянь можна записувати коротко:

відповідь:

x \u003d 0,.

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для вирішення квадратних рівнянь існують формула коренів. запишемо формулу коренів квадратного рівняння:, Де D \u003d b 2 -4 · a · c - так званий дискриминант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що.

Корисно знати, як була отримана формула коренів, і як вона застосовується при знаходженні коренів квадратних рівнянь. Розберемося з цим.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

• Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо наведене квадратне рівняння.
• тепер виділимо повний квадрат в його лівій частині:. Після цього рівняння набуде вигляду.
• На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків в праву частину з протилежним знаком, маємо.
• І ще перетворимо вираз, що виявилося в правій частині:.

У підсумку ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Аналогічні за формою рівняння ми вже вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали. Це дозволяє зробити наступні висновки, що стосуються коренів рівняння:

• якщо, то рівняння не має дійсних рішень;
• якщо, то рівняння має вигляд, отже,, звідки видно його єдиний корінь;
• якщо, то або, що те ж саме або, тобто, рівняння має два кореня.

Таким чином, наявність або відсутність коренів рівняння, а значить і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу, що стоїть в правій частині. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, так як знаменник 4 · a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 -4 · a · c. Цей вислів b 2 -4 · a · c, назвали дискримінантом квадратного рівняння і позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсні корені, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння, перепишемо його з використанням позначення дискримінанту:. І робимо висновки:

• якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• якщо D \u003d 0, то це рівняння має єдиний корінь;
• нарешті, якщо D\u003e 0, то рівняння має два кореня або, які в силу можна переписати у вигляді або, а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо.

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд, де дискриминант D обчислюється за формулою D \u003d b 2 -4 · a · c.

З їх допомогою при позитивному дискримінант можна обчислити обидва дійсних кореня квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінант обидві формули дають одне і те ж значення кореня, відповідне єдиного рішення квадратного рівняння. А при негативному дискримінант при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося з витяганням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки і шкільної програми. При негативному дискримінант квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно сполучених коренів, які можна знайти за тим же отриманим нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

На практиці при вирішенні квадратних рівняння можна відразу використовувати формулу коренів, за допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставитися до знаходження комплексних коренів.

Однак в шкільному курсі алгебри зазвичай мова йде не про комплексних, а про справжні корінні квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він ненегативний (в іншому випадку можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм вирішення квадратного рівняння. Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c \u003d 0, треба:

• за формулою дискримінанту D \u003d b 2 -4 · a · c обчислити його значення;
• зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант від'ємний;
• обчислити єдиний корінь рівняння за формулою, якщо D \u003d 0;
• знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що при рівному нулю дискримінант можна використовувати і формулу, вона дасть той же значення, що і.

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму рішення квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо рішення трьох квадратних рівнянь з позитивним, негативним і рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх рішенням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

Приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 + 2 · x-6 \u003d 0.

Рішення.

У цьому випадку маємо наступні коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 1, b \u003d 2 і c \u003d -6. Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c в формулу дискримінанту, маємо D \u003d b 2 -4 · a · c \u003d 2 2 -4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28. Так як 28\u003e 0, тобто, дискриминант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх по формулі коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореня з подальшим скороченням дробу:

відповідь:

Переходимо до наступного характерному наприклад.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанту: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як, тобто,

відповідь:

x \u003d 3,5.

Залишається розглянути рішення квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 \u003d 0.

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a \u003d 5, b \u003d 6 і c \u003d 2. Підставляємо ці значення в формулу дискримінанту, маємо D \u003d b 2 -4 · a · c \u003d 6 2 -4 · 5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Якщо ж буде потрібно вказати комплексні коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння, і виконуємо дії з комплексними числами:

відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі:.

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якому вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексні корені.

Формула коренів для парних друге коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння, де D \u003d b 2 -4 · a · c дозволяє отримати формулу більш компактного вигляду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парних коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2 · n, наприклад,, або 14 · ln5 \u003d 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Припустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Знайдемо його коріння з використанням відомої нам формули. Для цього обчислюємо дискриминант D \u003d (2 · n) 2 -4 · a · c \u003d 4 · n 2 -4 · a · c \u003d 4 · (n 2 -a · c), І далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 -a · c як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів розглянутого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду , Де D 1 \u003d n 2 -a · c.

Нескладно помітити, що D \u003d 4 · D 1, або D 1 \u003d D / 4. Іншими словами, D 1 - це четверта частина дискримінанту. Зрозуміло, що знак D 1 такий же, як знак D. Тобто, знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб вирішити квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n, треба

• Обчислити D 1 \u003d n 2 -a · c;
• Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Якщо D 1 \u003d 0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
• Якщо ж D 1\u003e 0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої в цьому пункті формули коренів.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння 5 · x 2 -6 · x-32 \u003d 0.

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна представити у вигляді 2 · (-3). Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5 · x 2 + 2 · (-3) · x-32 \u003d 0, тут a \u003d 5, n \u003d -3 і c \u003d -32, і обчислити четверту частину дискримінанту: D 1 \u003d n 2 -a · c \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Так як його значення позитивно, то рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Часом, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вид цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0, ніж 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або ділення його обох частин на деяке число. Наприклад, в попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0, розділивши обидві його частини на 100.

Подібне перетворення проводять з квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є. При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння на абсолютних величин його коефіцієнтів. Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. абсолютних величин його коефіцієнтів: НСД (12, 42, 48) \u003d НСД (НСД (12, 42), 48) \u003d НСД (6, 48) \u003d 6. Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильному йому квадратного рівняння 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай проводиться для позбавлення від дрібних коефіцієнтів. При цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК (6, 3, 1) \u003d 6, то воно прийме більш простий вигляд x 2 + 4 · x-18 \u003d 0.

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються від мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на -1. Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння -2 · x 2 -3 · x + 7 \u003d 0 переходять до вирішення 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0.

Зв'язок між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коренів квадратного рівняння висловлює коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням і коефіцієнтами.

Найбільш відомі і застосовуються формули з теореми Вієта виду і. Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а твір коренів - вільному члену. Наприклад, з вигляду квадратного рівняння 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0 можна відразу сказати, що сума його коренів дорівнює 7/3, а твір коренів одно 22/3.

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна висловити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти:.

Список літератури.

• алгебра: навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі

треба задане рівняння привести до стандартному виду, Тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Найголовніше - правильно

визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння.

Вираз під знаком кореня називається дискриминант . Як бачимо, для знаходження ікси, ми

використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо

значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками!

наприклад, В рівнянні:

а =1; b = 3; c = -4.

Підставляємо значення і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, bі з. Вірніше, з підстановкою

негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули

з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Розписуємо всі докладно, уважно, нічого не пропускаючи з усіма знаками і дужками:

Часто квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок.

прийом перший. Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду.

Що це означає?

Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с.

Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

Позбавтеся від мінуса. Як? Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад.

Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! за теоремі Вієта.

Для вирішення наведених квадратних рівнянь, тобто якщо коефіцієнт

x 2 + bx + c \u003d 0,

тоді x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Для повного квадратного рівняння, в якому a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

ділимо всі рівняння на а:

→ →

де x 1 і x 2 - корені рівняння.

прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! домножьте

рівняння на спільний знаменник.

Висновок. Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього

рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний

множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за

Квадратні рівняння. Загальна інформація.

В квадратному рівнянні обов'язково повинен бути присутнім ікс в квадраті (тому воно і називається

«Квадратним»). Крім нього, в рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) Просто ікс (в першого ступеня) і

просто число (вільний член). І не повинно бути іксів в ступеня, більше двійки.

Рівняння алгебри загального вигляду.

де x - вільна змінна, a, b, c - коефіцієнти, причому a≠0 .

наприклад:

вираз називають квадратним тричленної.

Елементи квадратного рівняння мають власні назви:

· Називають першим або старшим коефіцієнтом,

· Називають другим або коефіцієнтом при,

· Називають вільним членом.

Повний квадратне рівняння.

У цих квадратних рівняннях зліва є повний набір членів. Ікс в квадраті з

коефіцієнтом а, ікс в першого ступеня з коефіцієнтом b і вільний член с. Все коефіцієнти

повинні бути відмінні від нуля.

неповним називається таке квадратне рівняння, в якому хоча б один з коефіцієнтів, крім

старшого (або другий коефіцієнт, або вільний член), дорівнює нулю.

Припустимо, що b \u003d 0, - пропаде ікс в першого ступеня. Виходить, наприклад:

2х 2 -6х \u003d 0,

І т.п. А якщо обидва коефіцієнта, b і c дорівнюють нулю, то все ще простіше, наприклад:

2х 2 \u003d 0,

Зверніть увагу, що ікс в квадраті присутній у всіх рівняннях.

чому а не може дорівнювати нулю? Тоді зникне ікс в квадраті і рівняння стане лінійним .

І вирішується вже зовсім інакше ...

Неповне квадратне рівняння відрізняються від класичних (повних) рівнянь тим, що його множники або вільний член дорівнюють нулю. Графіком До таких засобів належать параболи. Залежно від загального вигляду їх ділять на 3 групи. Принципи рішення для всіх типів рівнянь однакові.

Нічого складного у визначенні типу неповного многочлена немає. Розглянути основні відмінності найкраще на наочних прикладах:

1. Якщо b \u003d 0, то рівняння має вигляд ax 2 + c \u003d 0.
2. Якщо c \u003d 0, то вирішувати слід вираз ax 2 + bx \u003d 0.
3. Якщо b \u003d 0 і c \u003d 0, то многочлен перетворюється в рівність типу ax 2 \u003d 0.

Останній випадок є швидше теоретичною можливістю і ніколи не зустрічається в завданнях для перевірки знань, так як єдино вірне значення змінної x в вираженні - це нуль. Надалі буде розглянуто способи і приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь 1) і 2) видів.

Загальний алгоритм пошуку змінних і приклади з рішенням

Не залежно від різновиду рівняння алгоритм рішення зводиться до таких кроків:

1. Привести вираз до зручного для пошуку коренів виду.
2. Провести обчислення.
3. Записати відповідь.

Вирішувати неповні рівняння найпростіше, розклавши на множники ліву частину і залишивши нуль в правій. Таким чином, формула неповного квадратного рівняння для пошуку коренів зводиться до обчислення значення x для кожного з множників.

Навчитися способам вирішення можна тільки лише на практиці, тому розглянемо конкретний приклад знаходження коренів неповного рівняння:

Як видно, в даному випадку b \u003d 0. Розкладемо ліву частину на множники і отримаємо вираз:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Очевидно, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Подібним вимогам відповідають значення змінної x1 \u003d 0,5 і (або) x2 \u003d -0,5.

Для того, щоб легко і швидко справлятися з завданням розкладання квадратного тричлена на множники, слід запам'ятати наступну формулу:

Якщо у виразі відсутній вільний член, завдання багаторазово спрощується. Досить буде всього лише знайти і винести за дужки спільний знаменник. Для наочності розглянемо приклад, як вирішувати неповні квадратні рівняння виду ax2 + bx \u003d 0.

Винесемо змінну x за дужки і отримаємо такий вираз:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Керуючись логікою, приходимо до висновку, що x1 \u003d 0, а x2 \u003d -3.

Традиційний спосіб вирішення і неповні квадратні рівняння

Що ж буде, якщо застосувати формулу дискримінанту і спробувати знайти коріння многочлена, при коефіцієнтах рівних нулю? Візьмемо приклад зі збірки типових завдань для ЄДІ з математики 2017 року, вирішимо його за допомогою стандартних формул і методом розкладання на множники.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Розрахуємо значення дискриминант: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Виходить, многочлен має два кореня:

Тепер, вирішимо рівняння розкладанням на множники і порівняємо результати.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Як видно, обидва методи дають однаковий результат, але вирішити рівняння другим спосіб вийшло набагато простіше і швидше.

теорема Вієта

А що ж робити з полюбилася теоремою Вієта? Чи можна застосовувати цей метод при неповному тричленне? Спробуємо розібратися в аспектах приведення неповних рівнянь до класичного вигляду ax2 + bx + c \u003d 0.

Насправді застосовувати теорему Вієта в даному випадку можливо. Необхідно лише привести вираз до загального вигляду, замінивши відсутні члени нулем.

Наприклад, при b \u003d 0 і a \u003d 1, щоб виключити ймовірність плутанини слід записати завдання в вигляді: ax2 + 0 + c \u003d 0. Тоді відношення суми і твори коренів і множників многочлена можна виразити таким чином:

Теоретичні викладки допомагають ознайомитися з суттю питання, і завжди вимагають відпрацювання навику при вирішенні конкретних завдань. Знову звернімося до довідника типових завдань для ЄДІ і знайдемо відповідний приклад:

Запишемо вираз в зручному для застосування теореми Вієта вигляді:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Наступним кроком складемо систему умов:

Очевидно, що корінням квадратного многочлена будуть x 1 \u003d 4 і x 2 \u003d -4.

Тепер, потренуємося приводити рівняння до загального вигляду. Візьмемо такий приклад: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Для того, щоб застосувати до вираження теорему Вієта необхідно позбутися від дробу. Перемножимо ліву і праву частини на 4, і подивимося на результат: x2- 4 \u003d 0. Отримане рівність готове для вирішення теоремою Вієта, але набагато простіше і швидше отримати відповідь просто перенісши з \u003d 4 в праву частину рівняння: x2 \u003d 4.

Підводячи підсумок, слід сказати, що найкращим способом вирішення неповних рівнянь є розкладання на множники, є найпростішим і швидким методом. При виникненні труднощів в процесі пошуку коренів можна звернутися до традиційного методу знаходження коренів через дискримінант.