Приклади розв'язання рівнянь з модулем. Модуль числа (абсолютна величина числа), визначення, приклади, властивості. Модуль числа - визначення, позначення і приклади
Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас вибирає.
Російський математик Ю.І. Манін
Рівняння з модулем
Найбільш складно вирішуваних завдань шкільної математики є рівняння, що містять змінні під знаком модуля. Для успішного вирішення таких рівнянь необхідно знати визначення і основні властивості модуля. Природно, що учні повинні мати навички розв'язання рівнянь такого типу.
Основні поняття і властивості
Модуль (абсолютна величина) дійсного числа позначається і визначається наступним чином:
До простих властивостями модуля належать такі співвідношення:
Відзначимо, що останні два властивості справедливі для будь-якої парного степеня.
Крім того, якщо, де, то й
Більш складні властивості модуля, які можна ефективно використовувати при вирішенні рівнянь з модулями, формулюються за допомогою наступних теорем:
Теорема 1. Для будь-яких аналітичних функцій і справедливо нерівність
Теорема 2. Рівність рівносильна нерівності.
Теорема 3. рівність рівносильна нерівності.
Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, містять змінні під знаком модуля ».
Рішення рівнянь з модулем
Найбільш поширеним в шкільній математиці методом вирішення рівнянь з модулем є метод, заснований на розкритті модулів. Цей метод є універсальним, проте в загальному випадку його застосування може призвести до дуже громіздким обчисленням. У зв'язку з цим учні повинні знати і інші, більш ефективні методи і прийоми вирішення таких рівнянь. Зокрема, необхідно мати навички застосування теорем, наведених у цій статті.
Приклад 1.Розв'язати рівняння . (1)
Рішення. Рівняння (1) будемо вирішувати «класичним» методом-методом розкриття модулів. Для цього розіб'ємо числову вісь точками і на інтервали і розглянемо три випадки.
1. Якщо, то,,, і рівняння (1) приймає вигляд. Звідси випливає. Однак тут, тому знайдене значення не є коренем рівняння (1).
2. Якщо, то з рівняння (1) отримуємо або.
Так як, то корінь рівняння (1).
3. Якщо, то рівняння (1) приймає вигляд або. Відмітимо, що .
Відповідь:,.
При вирішенні наступних рівнянь з модулем будемо активно використовувати властивості модулів з метою підвищення ефективності вирішення подібних рівнянь.
Приклад 2. Розв'язати рівняння.
Рішення. Так як і, то з рівняння слід. В зв'язку з цим , , , і рівняння набуває вигляду. Звідси отримуємо. Однак, тому вихідне рівняння коренів не має.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 3. Розв'язати рівняння.
Рішення. Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.
Звідси отримуємо.
Приклад 4. Розв'язати рівняння.
Рішення.Перепишемо рівняння в еквівалентному вигляді. (2)
Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.
Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівносильна нерівності. Звідси отримуємо.
Відповідь:.
Приклад 5. Розв'язати рівняння .
Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому, відповідно до теореми 3, тут маємо нерівність або.
Приклад 6. Розв'язати рівняння.
Рішення. Покладемо, що. Так як , то задане рівняння приймає вид квадратного рівняння, (3)
де . Оскільки рівняння (3) має єдиний позитивний корінь і то . Звідси отримуємо два кореня вихідного рівняння: і.
Приклад 7. Розв'язати рівняння. (4)
Рішення. Так як рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь: і, то при вирішенні рівняння (4) необхідно розглянути два випадки.
1. Якщо, то чи.
Звідси отримуємо, і.
2. Якщо, то чи.
Так як, то.
Відповідь:,,,.
Приклад 8. Розв'язати рівняння . (5)
Рішення. Так як і, то. Звідси і з рівняння (5) випливає, що і, тобто тут маємо систему рівнянь
Однак дана система рівнянь є несумісною.
Відповідь: коренів немає.
Приклад 9. Розв'язати рівняння. (6)
Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо
Або. (7)
Оскільки рівняння (7) має вигляд, то це рівняння рівносильне нерівності. Звідси отримуємо. Так як, то чи.
Відповідь:.
Приклад 10. Розв'язати рівняння. (8)
Рішення. Згідно з теоремою 1 можна записати
(9)
Беручи до уваги рівняння (8), робимо висновок про те, що обидві нерівності (9) звертаються в рівності, тобто має місце система рівнянь
Однак по теоремі 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей
(10)
Вирішуючи систему нерівностей (10) отримуємо. Так як система нерівностей (10) рівносильна рівняння (8), то вихідне рівняння має єдиний корінь.
Відповідь:.
Приклад 11. Розв'язати рівняння. (11)
Рішення. Нехай і, тоді з рівняння (11) випливає рівність.
Звідси випливає, що і. Таким чином, тут маємо систему нерівностей
Рішенням даної системи нерівностей є і.
Відповідь:,.
Приклад 12. Розв'язати рівняння. (12)
Рішення. Рівняння (12) будемо вирішувати методом послідовного розкриття модулів. Для цього розглянемо кілька випадків.
1. Якщо, то.
1.1. Якщо, то і,.
1.2. Якщо то . Однак, тому в даному випадку рівняння (12) коренів не має.
2. Якщо, то.
2.1. Якщо, то і,.
2.2. Якщо, то і.
Відповідь:,,,,.
Приклад 13. Розв'язати рівняння. (13)
Рішення. Оскільки ліва частина рівняння (13) неотрицательна, то і. У зв'язку з цим, і рівняння (13)
набуває вигляду або.
Відомо, що рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь і, вирішуючи які отримуємо,. Так як , то рівняння (13) має один корінь.
Відповідь:.
Приклад 14. Вирішити систему рівнянь (14)
Рішення. Так як і, то і. Отже, з системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:
Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).
Відповідь: ,,,,,,,.
Приклад 15. Вирішити систему рівнянь (15)
Рішення. Так як, то. У зв'язку з цим з системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь
Корінням першої системи рівнянь є і, а з другої системи рівнянь отримуємо і.
Відповідь:,,,.
Приклад 16. Вирішити систему рівнянь (16)
Рішення. З першого рівняння системи (16) випливає, що.
Так як, то . Розглянемо друге рівняння системи. оскільки, То, і рівняння набуває вигляду,, Або.
Якщо підставити значення в перше рівняння системи (16), То, або.
Відповідь:,.
Для більш глибокого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з рішенням рівнянь, містять змінні під знаком модуля, можна порадити навчальні посібники зі списку рекомендованої літератури.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / Под ред. М.І. Сканаві. - М .: Мир і Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М .: КД «Ліброком» / URSS, 2017. - 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи рішення задач. - М .: КД «Ліброком» / URSS, 2017. - 296 с.
Залишилися питання?
Щоб отримати допомогу репетитора - зареєструйтеся.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Модуль - це абсолютна величина вираження. Щоб хоч якось позначити модуль, прийнято використовувати прямі дужки. Те значення, яке укладено в рівних дужках, і є тим значенням, яке взято за модулем. Процес рішення будь-якого модуля полягає в розкритті тих самих прямих дужок, які математичною мовою іменуються модульними дужками. Їх розкриття відбувається за певним ряду правил. Також, в порядку вирішення модулів, знаходяться і безлічі значень тих виразів, які перебували в модульних дужках. У більшій частині всіх випадків, модуль розкривається таким способом, що вираз, яке було підмодульних, отримує і позитивні, і негативні значення, в числі яких також і значення нуль. Якщо відштовхуватися від встановлених властивостей модуля, то в процесі складаються різні рівняння або ж нерівності від вихідного вираження, які потім необхідно вирішити. Розберемося ж з тим, як вирішувати модулі.
процес рішення
Рішення модуля починається з запису вихідного рівняння з модулем. Щоб відповісти на питання про те, як вирішувати рівняння з модулем, потрібно розкрити його повністю. Для вирішення такого рівняння, модуль розкривається. Всі модульні вираження повинні бути розглянуті. Слід визначити при яких значеннях невідомих величин, що входять в його склад, модульне вираз в дужках звертається в нуль. Для того щоб це зробити, досить прирівняти вираз в модульних дужках до нуля, а потім вирахувати рішення утворився рівняння. Знайдені значення потрібно зафіксувати. Таким же способом потрібно визначити ще і значення всіх невідомих змінних для всіх модулів в даному рівнянні. Далі необхідно зайнятися визначенням і розглядом всіх випадків існування змінних у виразах, коли вони відмінні від значення нуль. Для цього потрібно записати деяку систему з нерівностей відповідно всіх модулів в вихідному нерівності. Нерівності повинні бути складені так, щоб вони охоплювали всі наявні та можливі значення для змінної, які знаходять на числовій прямій. Потім потрібно накреслити для візуалізації цю саму числову пряму, на якій в подальшому відкласти всі отримані значення.
Практично всі зараз можна зробити в інтернеті. Не є винятком з правил і модуль. Вирішити онлайн його можна на одному з численних сучасних ресурсів. Всі ті значення змінної, які знаходяться в нульовому модулі, будуть особливим обмеженням, яке буде використано в процесі вирішення модульного рівняння. У вихідному рівнянні потрібно розкрити всі наявні модульні дужки, при цьому, змінюючи знак вираження, таким чином, щоб значення шуканої змінної збігалися з тими значеннями, які видно на числовій прямій. Отримане рівняння необхідно вирішити. Те значення змінної, яке буде отримано в ході рішення рівняння, потрібно перевіряти на обмеження, яке задано самим модулем. Якщо значення змінної повністю задовольняє умова, то воно є правильним. Всі коріння, які будуть отримані в ході вирішення рівняння, але не будуть підходити з обмежень, повинні бути відкинуті.
Одна з найбільш складних тем для учнів - це рішення рівнянь, що містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим же це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не найскладнішим поняттям як модуль має стільки проблем?
На мій погляд, всі ці труднощі пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь з модулем. Так, вирішуючи квадратне рівняння, Учень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанту, а потім формули коренів квадратного рівняння. А що робити, якщо в рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій на випадок, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.
Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа a називається саме це число, якщо a неотрицательно і -a, Якщо число a меньше нуля. Записати це можна так:
| A | \u003d A, якщо a ≥ 0 і | a | \u003d -A, якщо a< 0
Говорячи про геометричному сенсі модуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до 
оордіната. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого негативного числа є число позитивне. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти яке завгодно число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.
Тепер перейдемо безпосередньо до вирішення рівнянь.
1. Розглянемо рівняння виду | x | \u003d С, де с - дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою визначення модуля.
Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше нуля, ті, що менше нуля, і третя група - це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:
(± c, якщо з\u003e 0
Якщо | x | \u003d C, то x \u003d (0, якщо з \u003d 0
(Немає коренів, якщо з< 0
1) | x | \u003d 5, тому що 5\u003e 0, то x \u003d ± 5;
2) | x | \u003d -5, тому що -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | x | \u003d 0, то x \u003d 0.
2. Рівняння виду | f (x) | \u003d B, де b\u003e 0. Для вирішення даного рівняння необхідно позбутися від модуля. Робимо це так: f (x) \u003d b або f (x) \u003d -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне з отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, тому що 4\u003e 0, то
x + 2 \u003d 4 або x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, тому що 11\u003e 0, то
x 2 - 5 \u003d 11 або x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 немає коренів
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, тому що -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Рівняння виду | f (x) | \u003d G (x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більше або дорівнює нулю, тобто g (x) ≥ 0. Тоді матимемо:
f (x) \u003d g (x)або f (x) \u003d -g (x).
1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Дане рівняння буде мати коріння, якщо 5x - 10 ≥ 0. Саме з цього і починають рішення таких рівнянь.
1. О.Д.З. 5x - 10 ≥ 0
2. Рішення:
2x - 1 \u003d 5x - 10 або 2x - 1 \u003d - (5x - 10)
3. Об'єднуємо О.Д.З. і рішення, отримуємо:
Корінь x \u003d 11/7 не підходить по О.Д.З., він менше 2, а x \u003d 3 цій умові задовольняє.
Відповідь: x \u003d 3
2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.
1. О.Д.З. 1 - x 2 ≥ 0. Вирішимо методом інтервалів таку нерівність:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Рішення:
x - 1 \u003d 1 - x 2 або x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 або x \u003d 1 x \u003d 0 або x \u003d 1
3. Об'єднуємо рішення і О.Д.З .:
Підходять тільки коріння x \u003d 1 і x \u003d 0.
Відповідь: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. Рівняння виду | f (x) | \u003d | G (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f (x) \u003d g (x) або f (x) \u003d -g (x).
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 або x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 або x \u003d 4 x \u003d 2 або x \u003d 1
Відповідь: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Даний метод вирішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. По властивості модуля x 2 \u003d | x | 2, тому рівняння можна переписати так:
| X | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Зробимо заміну | x | \u003d T ≥ 0, тоді будемо мати:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t \u003d 1 або t \u003d 5. Повернемося до заміни:
| X | \u003d 1 або | x | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Відповідь: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Розглянемо ще один приклад:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. По властивості модуля x 2 \u003d | x | 2, тому
| X | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Зробимо заміну | x | \u003d T ≥ 0, тоді:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t \u003d -2 або t \u003d 1. Повернемося до заміни:
| X | \u003d -2 або | x | \u003d 1
Ні коренів x \u003d ± 1
Відповідь: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Ще один вид рівнянь - рівняння з «складним» модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є «модулі в модулі». Рівняння даного виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.
1) | 3 - | x || \u003d 4. Будемо діяти так само, як і в рівняннях другого типу. Оскільки 4\u003e 0, то отримаємо два рівняння:
3 - | x | \u003d 4 або 3 - | x | \u003d -4.
Тепер висловимо в кожному рівнянні модуль х, тоді | x | \u003d -1 або | x | \u003d 7.
Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коренів, тому що -1< 0, а во втором x = ±7.
Відповідь x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:
3 + | x + 1 | \u003d 5 або 3 + | x + 1 | \u003d -5
| X + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 або x + 1 \u003d -2. Ні коренів.
Відповідь: x \u003d -3, x \u003d 1.
Існує ще і універсальний метод вирішення рівнянь з модулем. Це метод інтервалів. Але ми його розглянемо в подальшому.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Термін (module) в буквальному перекладі з латинської означає «міра». Це поняття було введено в математику англійським ученим Р. Котеса. А німецький математик К. Вейерштрасс ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.
Вконтакте
Вперше дане поняття вивчається в математиці за програмою 6 класу середньої школи. Відповідно до одного з визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатися модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.
Графічно абсолютне значення а позначається як | A |.
Основна відмінна риса цього поняття полягає в тому, що він завжди є неотрицательной величиною.
Числа, які відрізняються один від одного тільки знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, то протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.
геометричне значення
Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, то він буде позначати відстань, яке вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст досліджуваного терміна.
Графічно це можна виразити таким чином: | a | \u003d OA.
Властивості абсолютної величини
Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття і способи запису в вигляді буквених виразів:
Особливості вирішення рівнянь з модулем
Якщо говорити про рішення математичних рівнянь і нерівностей, в яких міститься module, то необхідно пам'ятати, що для їх вирішення потрібно відкрити цей знак.
Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить в собі деякий математичний вираз, то перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати чинні математичні визначення.
| А + 5 | \u003d А + 5, Якщо, А більше або дорівнює нулю.
5-А, Якщо, А значення менше нуля.
У деяких випадках знак може розкриватися однозначно при будь-яких значеннях змінної.
Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, на якій відзначимо все числові значення абсолютною величиною яких буде 5.
Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і задати розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які будуть дорівнюють величині одиничного відрізка.
Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатної прямої будуть дві цікаві для нас точки зі значеннями 5 і -5.
Модуль числа легко знайти, і теорія, яка лежить в його основі, важлива при вирішенні завдань.
Властивості і правила розкриття, використовувані при вирішенні вправ і на іспитах, будуть корисні школярам і студентам. Зароби гроші за допомогою своїх знань на https://teachs.ru!
Що таке модуль в математиці
Модуль числа описує відстань на числовій лінії від нуля до точки без урахування того, в якому напрямку від нуля лежить точка. математичне позначення : | X |.
Іншими словами, це абсолютна величина числа. Визначення доводить, що значення ніколи не буває негативним.
властивості модуля
Важливо пам'ятати про наступні властивості:
Модуль комплексного числа
Абсолютною величиною комплексного числа називають довжину спрямованого відрізка, проведеного від початку комплексної площині до точки (a, b).
Цей спрямований відрізок також є вектором, що представляє комплексне число a + bi, Тому абсолютна величина комплексного числа - це те ж саме, що і величина (або довжина) вектора, що представляє a + bi.
Як вирішувати рівняння з модулем
Рівняння з модулем - це рівність, яке містить вираз абсолютного значення. Якщо для дійсного числа воно представляє його відстань від початку координат на числової лінії, то нерівності з модулем є типом нерівностей, які складаються з абсолютних значень.
Рівняння типу | x | \u003d a
Рівняння | x | \u003d A має дві відповіді x \u003d a і x \u003d -a, Тому що обидва варіанти знаходяться на координатної прямої на відстані a від 0.
Рівність з абсолютною величиною не має рішення, якщо величина негативна.
Якщо | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Рівняння типу | x | \u003d | Y |
Коли є абсолютні значення по обидві сторони рівнянь, потрібно розглянути обидві можливості для прийнятних визначень - позитивні і негативні висловлювання.
Наприклад, для рівності | x - a | \u003d | X + b | є два варіанти: (x - a) \u003d - (x + b) або (x - a) \u003d (x + b).
Рівняння типу | x | \u003d y
Рівняння такого виду містять абсолютну величину вираження зі змінною зліва від нуля, а праворуч - ще одну невідому. Мінлива y може бути як більше, так і менше нуля.
Для отримання відповіді в такому рівність потрібно вирішити систему з кількох рівнянь, в якій потрібно переконатися, що y - невід'ємна величина:
Рішення нерівностей з модулем
Щоб краще зрозуміти, як розкрити модуль в різних типах рівностей і нерівностей, потрібно проаналізувати приклади.
Рівняння виду | x | \u003d a
приклад 1 (Алгебра 6 клас). Вирішити: | x | + 2 \u003d 4.
Рішення.
Такі рівняння вирішуються так само, як і рівності без абсолютних значень. Це означає, що, переміщаючи невідомі вліво, а константи - вправо, вираз не змінюється.
Після переміщення константи вправо отримано: | X | \u003d 2.
Оскільки невідомі пов'язані з абсолютним значенням, це рівність має дві відповіді: 2 і −2 .
відповідь: 2 і −2 .
приклад 2(Алгебра 7 клас). Вирішити нерівність | x + 2 | ≥ 1.
Рішення.
Перше, що потрібно зробити, це знайти точки, де абсолютне значення зміниться. Для цього вираз прирівнюється до 0 . отримано: x \u003d -2.
Це означає, що –2 - поворотна точка.
Розділимо інтервал на 2 частини:
- для x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- для х + 2< 0
Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал (−∞; –3].
остаточне рішення – об'єднання відповідей окремих частин:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
відповідь: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Рівняння виду | x | \u003d | Y |
приклад 1 (Алгебра 8 клас). Вирішити рівняння з двома модулями: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.
Рішення:
відповідь: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.
приклад 2 (Алгебра 8 клас). Вирішити нерівність:
Рішення:
Рівняння виду | x | \u003d y
приклад 1 (Алгебра 10 клас). Знайти x:
Рішення:
Дуже важливо провести перевірку правій частині, інакше можна написати у відповідь помилкові коріння. Із системи видно, що не лежить в проміжку.
відповідь: x \u003d 0.
модуль суми
модуль різниці
Абсолютна величина різниці двох чисел x і y дорівнює відстані між точками з координатами X і Y на координатної прямої.
Приклад 1.
Приклад 2.
Модуль негативного числа
Для знаходження абсолютного значення числа, яке менше нуля, потрібно дізнатися, як далеко воно розташоване від нуля. Оскільки відстань завжди є позитивним (неможливо пройти «негативні» кроки, це просто кроки в іншому напрямку), результат завжди позитивний. Тобто,
Простіше кажучи, абсолютна величина негативного числа має протилежне значення.
модуль нуля
Відомо властивість:
Ось чому не можна сказати, що абсолютна величина - позитивне число: нуль не є ні негативним, ні позитивним.
Модуль в квадраті
Модуль в квадраті завжди дорівнює висловом в квадраті:
Приклади графіків з модулем
Часто в тестах і на іспитах зустрічаються завдання, які можливо вирішити, лише проаналізувавши графіки. Розглянемо такі завдання.
Приклад 1.
Дана функція f (x) \u003d | x |. Необхідно побудувати графік від - 3 до 3 з кроком 1.
Рішення:
пояснення: З малюнка видно, що графік симетричний відносно осі Y.
приклад 2. Необхідно намалювати і порівняти графіки функцій f (x) \u003d | x-2 | і g (x) \u003d | x | -2.
Рішення:
Пояснення: константа всередині абсолютної величини переміщує весь графік вправо, якщо її значення негативне, і вліво, якщо позитивне. Але постійна зовні буде пересувати графік вгору, якщо значення позитивне, і вниз, якщо воно негативне (як - 2 в функції g (x)).
координата вершини x (Точка, в якій поєднуються дві лінії, вершина графа) - це число, на яке графік зсувається вліво або вправо. А координата y - це значення, на яке графік зсувається вгору або вниз.
Будувати такі графіки можна за допомогою онлайн додатків для побудови. З їх допомогою можна наочно побачити, як константи впливають на функції.
Метод інтервалів в задачах з модулем
Метод інтервалів - один з кращих способів знайти відповідь в завданнях з модулем, особливо якщо в вираженні їх кілька.
Для використання методу потрібно зробити наступні дії:
- Прирівняти кожен вираз до нуля.
- Знайти значення змінних.
- Нанести на числову пряму точки, отримані в пункті 2.
- Визначити на проміжках знак виразів (негативне або позитивне значення) і намалювати символ - або + відповідно. Найпростіше визначити знак за допомогою методу підстановки (підставивши будь-яке значення з проміжку).
- Вирішити нерівності з отриманими знаками.
приклад 1. Вирішити методом інтервалів.
Рішення:
