Рух тіла у полі тяжкості з урахуванням опору повітря. Вивчення руху тіла, кинутого під кутом до горизонту Дальність максимальна висота та час польоту тіла

Інструкція

Нехай тіло кинуто під кутом до горизонту з початковою швидкістю v0. Початкові координати тіла будуть нульовими: x(0)=0, y(0)=0. У проекціях на координатні осі початкова швидкість розкладеться за двома складовими: v0(x) та v0(y). Те саме швидкості взагалі. По осі Ox швидкість умовно вважається незмінною, по осі Oy змінюється під впливом . Прискорення вільного падіння g можна прийняти приблизно за 10м/с2.

Кут α, під яким кинуто тіло, не випадково заданий. Через нього можна розписати початкову швидкість координатних осях. Так, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Тепер можна отримати функцію координатних складових швидкості: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin(α)-g· t.

Координати тіла x і y залежить від часу t. Таким чином, можна скласти два рівняння залежності: x=x0+v0(x)·t+a(x)·t²/2, y=y0+v0(y)·t+a(y)·t²/2. Оскільки x0=0, a(x)=0, то x=v0(x)·t=v0·cos(α)·t. Також відомо, що y0=0, a(y)=-g (знак « » з'являється від того, що напрям прискорення вільного падіння g і позитивний напрямок осі Oy протилежні). Тому y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Час польоту можна виразити з формули швидкості, знаючи, що у максимальній точці тіло на мить зупиняється (v=0), а тривалості «підйому» і «спуску» рівні. Отже, при підстановці v(y)=0 у рівняння v(y)=v0·sin(α)-g·t виходить: 0=v0·sin(α)-g·t(p), де t(p) - піковий час, "t вершинний". Звідси t(p)=v0·sin(α)/g. Загальний час польоту тоді виразиться як t = 2 · v0 · sin (α) / g.

Ту ж формулу можна отримати і іншим способом, математичним, з рівняння координати y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Це рівняння можна переписати у трохи зміненому вигляді: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Видно, що це квадратична залежність, де y – функція, t – аргумент. Вершиною параболи, що описує траєкторію, є точка t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Мінуси та двійки скорочуються, тому t(p)=v0·sin(α)/g. Якщо позначити максимальну висоту за H і згадати, що пікова точка є вершиною параболи, якою рухається тіло, то H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. Тобто щоб отримати висоту, треба «t вершинне» підставити в рівняння для координати y.

Отже, час польоту записується як t = 2 · v0 · sin (α) / g. Щоб його змінити, треба відповідно змінювати початкову швидкість та кут нахилу. Чим більша швидкість – тим довше летить тіло. З кутом трохи складніше, адже час залежить не від самого кута, а від його синусу. Максимально можливе значення синуса – одиниця – досягається при куті нахилу 90°. Це означає, що довше тіло летить тоді, коли його кидають вертикально вгору.

Дальність польоту є кінцевою координатою x. Якщо підставити знайдений час польоту рівняння x=v0·cos(α)·t, легко знайти, що L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Тут можна застосувати тригонометричну формулу подвійного кута 2sin(α)cos(α)=sin(2α), тоді L=v0²sin(2α)/g. Синус двох альфа дорівнює одиниці тоді, коли 2α=п/2, α=п/4. Таким чином, дальність польоту максимальна в тому випадку, якщо кинути тіло під кутом 45°.

У статті розглянемо аналіз ситуації, коли тіло кинули під кутом до горизонту. Це може бути кидок каменю рукою, постріл снаряда з гармати, запуск стріли з лука і таке інше. Всі ці ситуації описуються однаково з математичної точки зору.

Особливість руху під кутом до горизонту

У чому подібність названих вище прикладів із погляду фізики? Воно полягає в характері сил, що діють на тіло. Під час вільного польоту деякого тіла на нього діють лише дві сили:

• Сила тяжіння.
• Опір повітря.

Якщо маса тіла досить велика, яке форма є загостреною (снаряд, стріла), то опором повітря можна знехтувати.

Таким чином, рух кинутого під кутом до горизонту тіла – це завдання, в якому фігурує лише сила тяжіння. Саме вона визначає форму траєкторії, яка з хорошою точністю описується параболической функцією.

Рівняння руху по параболічній траєкторії. Швидкість

Тіло кинули під кутом до горизонту. Як можна описати його рух? Оскільки єдина діюча в процесі польоту тіла сила спрямована вниз, її горизонтальна складова дорівнює нулю. Це означає, що горизонтальне переміщення об'єкта однозначно визначається початковими умовами (кутом кидка або пострілу θ і швидкістю v). Вертикальне переміщення тіла - це яскравий приклад рівноприскореного руху, де роль прискорення грає постійна g (9,81 м/с 2).

Враховуючи сказане вище, можна записати дві компоненти для швидкості тіла, що летить в момент часу t:

v x = v * cos (θ);

v y = v * sin (θ) - g * t

Як видно, компонента v x від часу не залежить і залишається постійною протягом усієї траєкторії польоту (наслідок відсутності зовнішніх сил у напрямку осі x). Компонента ж y має максимум у початковий момент часу. А потім починає зменшуватись аж до того, що звертається в нуль у максимальній точці зльоту тіла. Після цього вона змінює знак і в момент падіння виявляється рівною модулю початкової компоненти y, тобто v * sin (θ).

Записані рівняння дозволяють визначити швидкість тіла, кинутого під кутом до горизонту у будь-який момент t. Її модуль дорівнюватиме:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v * sin (θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Рівняння руху по параболічній траєкторії. Дальність польоту

Тіло кинули під кутом до горизонту. Яка відстань вона пролетить? Питання дальності польоту стосується зміни координат x. Знайти цю величину можна, якщо інтегрувати обидві компоненти швидкості за часом. В результаті інтегрування отримуємо формули:

x = v * cos (θ) * t + x 0;

y = v * sin (θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Різниця координат x і x 0 – це і є дальність польоту. Якщо ж покласти, що x 0 = 0, тоді дальність дорівнюватиме x, для знаходження якої потрібно знати, скільки часу t тіло перебуватиме в повітрі.

Друге рівняння дозволяє розрахувати цей час за умови, якщо відомо величина y 0 (висота h, з якої кидають тіло). Коли об'єкт завершить свій рух (упаде на землю), його координата y звернеться в нуль. Розрахуємо час, коли це станеться. Маємо:

v * sin (θ) * t - g * t 2 / 2 + h = 0

Перед нами повна квадратна рівність. Вирішуємо його через дискримінант:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Відкидаємо негативний корінь. Отримуємо наступний час польоту:

t = (v * sin (θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h)) / g

Підставляємо тепер це значення на рівність для дальності польоту. Отримуємо:

x = v * cos (θ) * (v * sin (θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h)) / g

Якщо тіло кинуто із землі, тобто h = 0, тоді формула значно спроститься. І набуде вигляду:

x = 2 * v 2 * cos (θ) * sin (θ) / g = v 2 * sin (2 * θ) / g

Останній вираз було отримано з використанням зв'язку між тригонометричними функціями синуса та косинуса (формули приведення).

Оскільки синус має максимальне значення для прямого кута, тоді максимальна дальність польоту досягається, коли тіло кидають (вистрілюють) з землі під кутом 45°, і ця дальність дорівнює:

Висота тіла, кинутого під кутом до горизонту

Тепер визначимо ще один важливий параметр – висоту, на яку здатний піднятися кинутий об'єкт. Очевидно, що для цього достатньо розглянути лише зміну координати y.

Отже, тіло кинули під кутом до горизонту, яку висоту воно злетить? Ця висота буде відповідати рівності нулю компоненти швидкості v y. Маємо рівняння:

v y = v * sin (θ) - g * t = 0

Вирішуємо рівняння. Отримуємо:

Тепер слід підставити цей час у вираз координати y. Отримуємо:

y = v * sin (θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ) / g - g / 2 * v 2 * sin 2 (θ) / g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Ця формула свідчить про те, що максимальна висота, на відміну від дальності польоту, виходить, якщо кинути тіло вертикально (θ = 90). У цьому випадку приходимо до формули:

Цікаво відзначити, що у всіх наведених у статті формулах не фігурує маса тіла. Характеристики параболічної траєкторії від неї не залежать, але лише у разі відсутності опору повітря.

Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила - сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі ах = 0 ау = - g.

Малюнок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладення незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

де $v_0$ - початкова швидкість, $(\mathbf \alpha) $ - Кут кидання.

За нашого вибору початку координат початкові координати (рис. 1) $x_0=y_0=0$. Тоді отримаємо:

(1)

Проаналізуємо формули (1). Визначимо час руху покинутого тіла. І тому покладемо координату y рівної нулю, т.к. у момент приземлення висота тіла дорівнює нулю. Звідси отримуємо для польоту:

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення також має фізичне значення.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту - це значення координати x кінці польоту, тобто. у момент часу, що дорівнює $t_0$. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна одержати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

З рівнянь (1) можна здобути рівняння траєкторії тіла, тобто. рівняння, що зв'язує координати х та у тіла під час руху. Для цього потрібно з першого рівняння (1) виразити час:

і підставити його на друге рівняння. Тоді отримаємо:

Це рівняння є рівнянням траєкторії руху. Видно, що це рівняння параболи, розташованої гілками вниз, про що говорить знак «-» перед квадратичним доданком. Слід пам'ятати, що кут кидання $\alpha$ та її функції -- тут просто константи, тобто. постійні числа.

Тіло кинуте зі швидкістю v0 під кутом $(\mathbf \alpha)$ до горизонту. Час польоту $ t = 2 з $. Яку висоту Hmax підніметься тіло?

$$t_В = 2 з$$ $$H_max - ?$$

Закон руху тіла має вигляд:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $(\mathbf\alpha)$. Отже,

\ \ \

З вершини гори кидають під кутом = 30$()^\circ$ до горизонту камінь із початковою швидкістю $v_0 = 6 м/с$. Кут похилої площини = 30 $ () ^ \ circ $. На якій відстані від точки кидання впаде камінь?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Помістимо початок координат у точку кидання, ОХ - уздовж похилої площини вниз, OY - перпендикулярно похилій площині вгору. Кінематичні характеристики руху:

Закон руху:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Підставивши отримане значення $t_В$, знайдемо $S$:

Теорія

Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння та сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, залишається єдина сила – сила тяжкості. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, рівним прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі дорівнюють а х = 0, а у= -g.

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна як накладення незалежних рухів вздовж координатних осей, причому у напрямі різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить, можна представити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху вздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються згодом так:

,

де - Початкова швидкість, α - Кут кидання.

Координати тіла, отже, змінюються так:

При нашому виборі початку координат початкові координати (рис. 1)

Друге значення часу, у якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто. це значення також має фізичне значення.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту – це значення координати хнаприкінці польоту, тобто. в момент часу, рівний t 0. Підставляючи значення (2) у першу формулу (1), отримуємо:

.

(3)

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, що дорівнює 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому покинутого тіла можна одержати з другої формули (1). І тому необхідно підставити на цю формулу значення часу, рівне половині часу польоту (2), т.к. саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

Це творче завдання для майстер-класу з інформатики для школярів за ДВФУ.
Мета завдання – з'ясувати, як зміниться траєкторія тіла, якщо враховувати опір повітря. Також необхідно відповісти на запитання, чи дальність польоту, як і раніше, досягатиме максимального значення при куті кидання в 45°, якщо враховувати опір повітря.

У розділі "Аналітичне дослідження" викладено теорію. Цей розділ можна пропустити, але він повинен бути, в основному, зрозумілим для вас, тому що б проБільшість з цього ви проходили в школі.
У розділі "Кількісне дослідження" міститься опис алгоритму, який необхідно реалізувати на комп'ютері. Алгоритм простий і короткий, тому всі повинні впоратися.

Аналітичне дослідження

Введемо прямокутну систему координат так, як показано на малюнку. У початковий момент часу тіло масою mзнаходиться на початку координат. Вектор прискорення вільного падіння спрямований вертикально вниз і має координати (0, - g).
- Вектор початкової швидкості. Розкладемо цей вектор за базисом: . Тут , де модуль вектора швидкості, - кут кидання.

Запишемо другий закон Ньютона: .
Прискорення у кожен час є (миттєва) швидкість зміни швидкості, тобто похідна від швидкості за часом: .

Отже, 2-й закон Ньютона можна переписати у такому вигляді:
де - це рівнодіюча всіх сил, що діє на тіло.
Так як на тіло діють сила тяжіння та сила опору повітря, то
.

Ми будемо розглядати три випадки:
1) Сила опору повітря дорівнює 0: .
2) Сила опору повітря протилежно спрямована з вектором швидкості, та її величина пропорційна швидкості: .
3) Сила опору повітря протилежно спрямована з вектором швидкості, та її величина пропорційна квадрату швидкості: .

Спочатку розглянемо перший випадок.
В цьому випадку , або .


Зі сліду, що (Рівноприскорений рух).
Так як ( r- радіус-вектор), то .
Звідси .
Ця формула є нічим іншим, як знайома вам формула закону руху тіла при рівноприскореному русі.
Оскільки , то .
Враховуючи, що і отримуємо з останньої векторної рівності скалярні рівності:

Проаналізуємо отримані формули.
Знайдемо час польотутіла. Прирівнявши yдо нуля, отримаємо

Дальність польотудорівнює значенню координати xу момент часу t 0:

З цієї формули випливає, що максимальна дальність польоту досягається при .
Тепер знайдемо рівняння тракторії тіла. Для цього висловимо tчерез x

І підставимо отриманий вираз для tв рівність для y.

Отримана функція y(x) - квадратична функція, її графіком є ​​парабола, гілки якої спрямовані вниз.
Про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту (без урахування опору повітря), розповідається у цьому відеоролику.

Тепер розглянемо другий випадок: .

Другий закон набуває вигляду ,
звідси .
Запишемо цю рівність у скалярному вигляді:

Ми отримали два лінійні диференціальні рівняння.
Перше рівняння має рішення

У чому можна переконатися, підставивши цю функцію в рівняння для v xі в початкову умову .
Тут e = 2,718281828459 ... - Число Ейлера.
Друге рівняння має рішення

Так як , , то за наявності опору повітря рух тіла прагне рівномірного, на відміну випадку 1, коли швидкість необмежено збільшується.
У наступному відеоролику йдеться про те, що парашутист спочатку рухається прискорено, а потім починає рухатися рівномірно (навіть до розкриття парашута).

Знайдемо вирази для xі y.
Так як x(0) = 0, y(0) = 0, то

Нам залишилося розглянути випадок 3, коли .
Другий закон Ньютона має вигляд
, або .
У скалярному вигляді це рівняння має вигляд:

Це система нелінійних диференціальних рівнянь. Цю систему не вдається вирішити у явному вигляді, тому необхідно застосовувати чисельне моделювання.

Чисельне дослідження

У попередньому розділі ми побачили, що у перших двох випадках закон руху тіла можна отримати у явному вигляді. Проте у разі необхідно вирішувати завдання чисельно. За допомогою чисельних методів ми отримаємо лише наближене рішення, але нас влаштує і невелика точність. (Кількість π або квадратний корінь з 2, до речі, не можна записати абсолютно точно, тому при розрахунках беруть якесь кінцеве число цифр, і цього цілком вистачає.)

Розглянемо другий випадок, коли сила опору повітря визначається формулою . Зазначимо, що при k= 0 отримуємо перший випадок.

Швидкість тіла підпорядковується наступним рівнянням:

У лівих частинах цих рівнянь записано компоненти прискорення .
Нагадаємо, що прискорення є (миттєва) швидкість зміни швидкості, тобто похідна від швидкості часу.
У правих частинах рівнянь записано компоненти швидкості. Таким чином, дані рівняння показують, як швидкість зміни швидкості пов'язана зі швидкістю.

Спробуємо знайти розв'язання цих рівнянь з допомогою чисельних методів. Для цього введемо на часовій осі сітку: Виберемо число і розглядатимемо моменти часу виду : .

Наше завдання – приблизно обчислити значення у вузлах сітки.

Замінимо в рівняннях прискорення ( миттєву швидкістьзміни швидкості) на середню швидкістьзміни швидкості, розглядаючи рух тіла на проміжку часу:

Тепер підставимо отримані апроксимації до наших рівнянь.

Отримані формули дозволяють нам визначити значення функцій у наступному вузлі сітки, якщо відомі значення цих функцій у попередньому вузлі сітки.

За допомогою описаного способу ми можемо отримати таблицю наближених значень компонент швидкості.

Як визначити закон руху тіла, тобто. таблицю наближених значень координат x(t), y(t)? Аналогічно!
Маємо

Значення vx[j] дорівнює значенню функції для інших масивів аналогічно.
Тепер залишається написати цикл, всередині якого ми обчислюватимемо vx через вже обчислене значення vx[j], і з іншими масивами те саме. Цикл буде по jвід 1 до N.
Не забудьте ініціалізувати початкові значення vx, vy, x, y за формулами x 0 = 0, y 0 = 0.

У Паскалі та Сі для обчислення синуса та косинуса є функції sin(x), cos(x). Зауважте, що ці функції приймають аргумент у радіанах.

Вам необхідно побудувати графік руху тіла при k= 0 і k> 0 і порівняти отримані графіки. Графіки можна побудувати Excel.
Зазначимо, що розрахункові формули настільки прості, що з обчислень можна використовувати лише Excel і навіть використовувати мову програмування.
Однак надалі вам потрібно буде вирішити задачу в CATS, в якій потрібно обчислити час та дальність польоту тіла, де без мови програмування не обійтися.

Зверніть увагу, що ви можете протестувативашу програму і перевірити ваші графіки, порівнявши результати обчислень при k= 0 з точними формулами, наведеними у розділі "Аналітичне дослідження".

Поекспериментуйте зі своєю програмою. Переконайтеся, що за відсутності опору повітря ( k= 0) максимальна дальність польоту при фіксованій початковій швидкості досягається при куті 45°.
А з урахуванням опору повітря? За якого вугілля досягається максимальна дальність польоту?

На малюнку представлені траєкторії тіла при v 0 = 10 м/с, α = 45°, g= 9,8 м/с 2 m= 1 кг, k= 0 та 1, отримані за допомогою чисельного моделювання при Δ t = 0,01.

Ви можете ознайомитись із чудовою роботою 10-класників з м. Троїцька, представленої на конференції "Старт у науку" у 2011 р. Робота присвячена моделюванню руху тенісної кульки, кинутої під кутом до горизонту (з урахуванням опору повітря). Застосовується як чисельне моделювання, і натурний експеримент.

Таким чином, це творче завдання дозволяє познайомитися з методами математичного та чисельного моделювання, які активно використовуються на практиці, але мало вивчаються у школі. Наприклад, дані способи використовувалися при реалізації атомного і космічного проектів у СРСР середині ХХ століття.