План уроку пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику. Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику. Формулювання доведених тверджень

розділи: Математика

клас: 8

Тип заняття: комбінований.

Дидактична мета: створення умов для усвідомлення і осмислення поняття «середнім пропорційним», вдосконалення вмінь знаходити пропорційні відрізки з опорою на подобу трикутників, перевірки рівня засвоєння знань і умінь по темі.

завдання:

• встановити відповідність між сторонами прямокутного трикутника, висотою, проведеної до гіпотенузи і відрізками гіпотенузи;
• ввести поняття середнього пропорційного;
• формувати вміння застосовувати отримані знання до вирішення практичних завдань;

Навчально-методичні матеріали: підручник «Геометрія 7-9» Л. С. Атанасян, презентація «Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику». Додаток 1 .

Очікувані результати:

особистісні

• Уміння визначати кордон знання і незнання.
• Уміння математично грамотно викладати думки.
• Уміння розпізнавати некоректні висловлювання.

метапредметние

• Уміння планувати свою діяльність за рішенням навчального завдання.
• Уміння будувати ланцюжок логічних міркувань.
• Уміння давати словесну формулювання фактом, записаному у вигляді формули.

Предметні

• Уміння знаходити подібні трикутники і доводити їх подібність.
• Уміння висловлювати катети прямокутного трикутника і висоту, проведену з вершини прямого кута, Через відрізки гіпотенузи.
• Уміння читати математичну запис, використовуючи поняття «середнім пропорційним».

План конспект уроку.

1. Організаційний момент. Організація уваги; вольова саморегуляція. (Кожному учневі лунають робочі листи до уроку на два варіанти). Додаток 2 , додаток 3 .

2. Повторення:Повторимо основні відомості теми «Подібні трикутники» Слайд 1

• Дайте визначення подібних трикутників
• Як читається перша ознака подібності трикутників
• Як читається друга ознака подібності трикутників
• Як читається третя ознака подібності трикутників
• Що таке коефіцієнт подібності?
• Прямокутний трикутник. Катети. Гіпотенуза.

Тест на встановлення істинності чи хибності висловлень (відповідати "так" або "ні"). слайд 2

• Два трикутника подібні, якщо їх кути відповідно рівні і подібні боку пропорційні.
• Два рівносторонніх трикутника завжди подібні.
• Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
• Сторони одного трикутника мають довжини 3, 4, 6 см, сторони другого трикутника рівні 9, 14, 18 см. Чи подібні ці трикутники?
• Периметри подібних трикутників рівні.
• Якщо два кути одного трикутника дорівнюють 60 ° і 50 °, а два кути іншого трикутника рівні 50 ° і 80 °, то такі трикутники подібні.
• Два прямокутних трикутника подібні, якщо мають по рівному гострому куту.
• Два рівнобедрених трикутника подібні.
• Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
• Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Ключ до тесту:1. так; 2. так; 3. так; 4. немає; 5. немає; 6. немає; 7. да; 8. немає; 9. так; 10. немає.

Форма перевірки тесту - взаимопроверка. Відповіді та перевірка проводяться в робочих аркушах до уроку.

3. Теоретичне завдання по групах.Клас розбивається на три групи. Кожна група отримує завдання. додаток 4 .

Група № 1

1. Довести подобу «лівого» і «правого» прямокутних трикутників.
2. Записати пропорційність катетів.
3. Висловити з пропорції висоту.

Група № 2

За заздалегідь заготовленим кресленням прямокутного трикутника (рисунок 1)

1. Довести подобу «лівого» і «великого» прямокутних трикутників.
2. Висловити з пропорції ВС.

Група № 3

За заздалегідь заготовленим кресленням прямокутного трикутника (рисунок 1)

1. Довести подобу «правого» і «великого» прямокутних трикутників.
2. Записати пропорційність подібних сторін.
3. Висловити з пропорції АС.

На дошці по заздалегідь зробленим кресленнями і в зошитах записати доказ даних тверджень. До дошки викликаються по одній людині з групи.

4. Формулювання теми уроку.У всіх трьох завданнях ми з вами склали деякі відносини. Як можна назвати елементи, що входять до ці відносини. Відповідь: пропорційні відрізки. Уточнимо пропорційні відрізки в ...? Відповідь: в прямокутному трикутнику. Отже, хлопці тема нашого уроку? Відповідь: «Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику».слайд 3

5. Формулювання доведених тверджень

Перш ніж працювати далі введемо деякі нові поняття і позначення.
Що називається середнім арифметичним двох чисел?
Відповідь: Середнє арифметичне чисел m і n називається число а, рівне напівсума чисел m і n
Запишіть формулу для середнього арифметичного чисел m і n.
Сформулюємо визначення середнього геометричного двох чисел: число a називається середнім геометричним (або середнім пропорційним) для чисел m і n, якщо виконується рівність Слайд 4
Вирішимо кілька вправ на закріплення даних визначень. слайд 5
1. Знайдіть середнє арифметичне і середнє геометричне чисел 3 і 12.
2. Знайти довжину середнього пропорційного (середнього геометричного) відрізків MN і KP, якщо MN \u003d 9 см, KP \u003d 27 см
Введемо поняття проекції катета на гіпотенузу. Слайд 6.
Тепер використовуючи нові поняття, спробуємо сформулювати доведені при роботі в групах висновки.
З цього слайду спробуйте сформулювати твердження, яке довели друга і третя група. слайд 7
Запишіть це твердження, використовуючи нові позначення (проекції катета на гіпотенузу) і потім сформулюйте його, застосовуючи визначення проекції катета на гіпотенузу. слайд 8
З цього слайду спробуйте сформулювати твердження, яке довели учні третьої групи. слайд 9
Запишіть це твердження, використовуючи нові позначення (проекції катета на гіпотенузу) і потім сформулюйте його, застосовуючи визначення проекції катета на гіпотенузу. слайд 10

6. Бліц-опитування на закріплення вивчених формул.слайд 11-12

• У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута C проведена висота СD. AD \u003d 16, DB \u003d 9. Знайти AC, AB, CB і CD. слайд 11
• У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута C проведена висота CD. AD \u003d 18, DB \u003d 2. Знайти AC, AB, CB і CD. слайд 12
• У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута C проведена висота СН. СА \u003d 6, АН \u003d 2. Знайти НВ. слайд 13

Тест з перевірки первинного засвоєння матеріалу

У презентації відкриваємо слайд з виведеними формулами (Слайд 14). У робочих аркушах надрукований тест: виконайте його, записавши вірні відповіді в табличку. Потім взаимопроверка (Слайд 15) за готовими відповідями в презентації.

Домашнє завдання

Кожному учневі лунає пам'ятка з формулами і текстом завдань на будинок з підказками (план поетапного виконання кожного завдання) додаток 5 .

9. Рефлексія

Підвести підсумки уроку. Зібрати робочі листи і виставити оцінку за урок кожного учня.

Література.

1. http://gorkunova.ucoz.ru/ Роздатковий матеріал до практикуму за темою "Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику»
2. Презентація «Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику» Савченко Є.М. м Полярні Зорі, Мурманської області.

Ознака подібності прямокутних трикутників

Введемо для початку ознака подібності прямокутних трикутників.

теорема 1

Ознака подібності прямокутних трикутників: Два прямокутних трикутника подібні тоді, коли у них є по одному рівному гострому куту (рис. 1).

Малюнок 1. Подібні прямокутні трикутники

Доведення.

Нехай нам дано, що $ \\ angle B \u003d \\ angle B_1 $. Так як трикутники прямокутні, то $ \\ angle A \u003d \\ angle A_1 \u003d (90) ^ 0 $. Отже, вони подібні за першою ознакою подібності трикутників.

Теорема доведена.

Теорема про висоту в прямокутному трикутнику

теорема 2

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібних прямокутних трикутника, кожен з яких подібний до даного трикутника.

Доведення.

Нехай нам дано прямокутний трикутник $ ABC $ з прямим кутом $ C $. Проведемо висоту $ CD $ (рис. 2).

Малюнок 2. Ілюстрація теореми 2

Доведемо, що трикутники $ ACD $ і $ BCD $ подібні трикутнику $ ABC $ і що трикутники $ ACD $ і $ BCD $ подібні між собою.

Так як $ \\ angle ADC \u003d (90) ^ 0 $, то трикутник $ ACD $ прямокутний. У трикутників $ ACD $ і $ ABC $ кут $ A $ загальний, отже, по теоремі 1, трикутники $ ACD $ і $ ABC $ подібні.

Так як $ \\ angle BDC \u003d (90) ^ 0 $, то трикутник $ BCD $ прямокутний. У трикутників $ BCD $ і $ ABC $ кут $ B $ загальний, отже, по теоремі 1, трикутники $ BCD $ і $ ABC $ подібні.

Розглянемо тепер трикутники $ ACD $ і $ BCD $

\\ [\\ Angle A \u003d (90) ^ 0- \\ angle ACD \\] \\ [\\ angle BCD \u003d (90) ^ 0- \\ angle ACD \u003d \\ angle A \\]

Отже, за теоремою 1, трикутники $ ACD $ і $ BCD $ подібні.

Теорема доведена.

середнім пропорційним

теорема 3

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним для відрізків, на які висота ділить гіпотенузу даного трикутника.

Доведення.

По теоремі 2, маємо, що трикутники $ ACD $ і $ BCD $ подібні, отже

Теорема доведена.

теорема 4

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини кута.

Доведення.

У доведенні теореми будемо користуватися позначеннями з малюнка 2.

По теоремі 2, маємо, що трикутники $ ACD $ і $ ABC $ подібні, отже

Теорема доведена.

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій створіть собі аккаунт (обліковий запис) Google і увійдіть в нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику Геометрія 8 клас

Домашнє завдання

1. Завдання 3, 5 A B C N M 3 4 Дано: MN || AC. Знайти: РΔАВС

А В С D М N P Q MNPQ - паралелограм? 2. Завдання

Подібність прямокутних трикутників А В С А 1 В 1 С 1 Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострого кута іншого прямокутного трикутника, то такі прямокутні трикутники подібні

Середнім пропорційним А В С D Х У Відрізок ХУ називається середнім пропорційним (середнім геометричним) для відрізків АВ і СД, якщо

Виріши завдання: 1. Чи є відрізок довжиною 8 см середнім пропорційним між відрізками з довжинами 16 см і 4 см? 2. Чи є відрізок довжиною 9 см середнім пропорційним між відрізками з довжинами 15 см і 6 см? 3. Чи є відрізок довжиною см середнім пропорційним між відрізками з довжинами 5 см і 4 см? так ні так

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику А В С Н Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним для відрізків, на які ділиться гіпотенуза цієї висотою

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику А В С М 9 4 × Завдання 1.

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику А В С М 9 7? Завдання 2.

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику А В С Н Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним для гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.

Пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику А В С Н 21 4 × Завдання 3.

А В С Н 20 30? Завдання 4.

Домашнє завдання

Виріши завдання 5 2 високоефективних? ? ? Виріши завдання 9 4 × ? ? вирішити трикутник

А В С Н 20 15? Завдання. У трикутнику, сторони якого рівні 15, 20 і 25, проведена висота до його більшій стороні. Знайдіть відрізки, на які висота ділить цю сторону 25

А В С Н 20 15? Завдання 5. У трикутнику, сторони якого рівні 15, 20 і 25, проведена висота до його більшій стороні. Знайдіть відрізки, на які висота ділить цю сторону 25